Bài tập toán cao cấp 1 | Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh

lOMoAR cPSD| 49519085
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG
ThS Phùng Duy Quang (Chủ biên)
ThS Nguyễn Dương Nguyễn, ThS Phan Thị Hương ThS Lâm Văn
Sơn, CN Trần Đức Thịnh BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 1
HÀ NỘI, THÁNG 6 – 2010 LỜI MỞ ĐẦU
Cuốn Bài tập Toán cao cấp 1 được biên soạn tương ứng với các phần lý thuyết trong chương
trình Toán cao cấp 1 (2 tín chỉ ) trong chương trình đào tạo các ngành Kinh tế, Tài chính Ngân
hàng, Quản trị Kinh doanh, Kinh tế quốc tế của Đại học Ngoại thương. lOMoAR cPSD| 49519085
Với mục đích là rèn luyện tư duy toán học bằng các tri thức của đại số tuyến tính trang bị
trong lý thuyết, cũng như các kỹ năng giải toán bằng các công cụ của đại số tuyến tính khi tiếp
cận các bài tập. Nhằm mục đích đổi mới việc giảng dạy và học tập các môn Toán của sinh viên
Đại học Ngoại Thương theo phương thức đào tạo tín chỉ, sách Bài tập Toán cao cấp 1 được biên
soạn trên tinh thần hỗ trợ và giúp đỡ các bạn sinh viên học tập tốt môn Toán cao cấp 1.
Bài tập Toán cao cấp 1 gồm các bài tập được các tác giả chọn lọc và sắp xếp một cách có
hệ thống, bám sát các nội dung lý thuyết nhằm giúp sinh viên sử dụng một cách độc lập với các
giáo trình lý thuyết Toán cao cấp 1 nhằm củng cố các kiến thức đã học và nâng cao kỹ năng giải toán.
Với mục đích trên, ngoài lời nói đầu, mục lục, phụ lục, tài liệu tham khảo cuốn sách được kết cấu như sau:
Chương 1. Tập hợp và ánh xạ
Chương 2. Định thức và ma trận
Chương 3. Không gian véc tơ
Chương 4. Hệ phương trình tuyến tính
Chương 5. Ánh xạ tuyến tính và dạng toàn phương
Phần phụ lục. Bài tập trắc nghiệm, một số đề thi kết thúc học phần TCC1
Mỗi chương gồm 3 phần chính: Phần A. Tóm tắt lý thuyết: Phần này tóm tắt các kiến thức
cơ bản nhất cần thiết cho giải các bài tập; Phần B. Các ví dụ giải toán: Giới thiệu các ví dụ áp
dụng các kiến thức và các phương pháp áp dụng vào giải toán, phần này các tác giả cố gắng
giới thiệu một cách đầy đủ nhất các kỹ năng và phương pháp cơ bản nhất; Phần C. Bài tập
chương: hệ thống các bài tập theo thứ tự từ dễ đến khó của chương, có đáp số và hướng dẫn
các bài tập khó. Các bài tập trong mỗi chương, các tác giả chủ yếu cho đáp số và gợi ý những
bài tập khó khi cần thiết với hy vọng chính sinh viên là những người đưa ra lời giải hay hơn và sáng tạo hơn.
Phân công biên soạn cuốn sách như sau: *
Chương 1, Chương 3 và hiệu định sách do ThS Phùng Duy Quang biên soạn *
Chương 2 do CN Trần Đức Thịnh biên soạn *
Chương 4 do ThS Nguyễn Dương Nguyễn biên soạn *
Chương 5 do ThS Phùng Duy Quang, ThS Phan Thị Hương biên soạn *
Bài tập trắc nghiệm và một số đề thi kết thúc học phần TCC1 do ThS Phùng Duy
Quang, ThS Lâm Văn Sơn biên soạn.
Tập thể tác giả chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Ban Giám đốc dự án FTUTRIP, Phòng
Quản lý khoa học, Hội đồng thẩm định giáo trình, tài liệu tham khảo trường Đại học Ngoại 2 lOMoAR cPSD| 49519085
thương về quá trình tạo điều kiện cho việc xuất bản cuốn sách này, cảm ơn các đồng nghiệp ở
Bộ môn Toán – Khoa Cơ bản đã dành nhiều thời gian đọc bản thảo và cho nhiều ý kiến đóng
góp quý báu về nội dung của cuốn sách.
Cuối cùng cuốn sách lần đầu ra mắt bạn đọc nên không thể tránh được các sai sót. Tập thể
tác giả mong nhận được những lời góp ý của bạn đọc để cuốn sách ngày càng hoàn thiện hơn.
Mọi góp ý xin gửi về Bộ môn Toán – Khoa Cơ bản, trường Đại học Ngoại Thương.
Hà nội, ngày 16 tháng 12 năm 2010 CÁC TÁC GIẢ lOMoAR cPSD| 49519085 BẢNG CÁC KÝ HIỆU A =[a ij]m xn hoặc A
a ijm x n : ma trận cấp m x n A =[a ij]n x n hoặc A
a ijn x n : ma trận vuông cấp n
m x n : ma trận không cấp m x n
En: ma trận đơn vị cấp n
det(A) hoặc A : định thức của ma trận vuông A
Trường K là trường số thực R hoặc trường số phức C
Matmxn(K): tập các ma trận cấp m x n với các phần tử trên trường K
Mat n(K): tập các ma trận vuông n với các phần tử trên trường K
12.... n 1 n : hoán vị của tập hợp n số tự nhiên đầu tiên {1, 2, 3, … , n}
N( ): số nghịch thế của hoán vị
Di (Ci): dòng (cột) thứ i của ma trận A
Di D (Cj i C )j : hoán vị dòng (cột) i cho dòng (cột) j kDi (kDi)
: nhân dòng (cột) i lên k lần
kDi + Dj (kCi + Cj) : nhân dòng (cột) i lên k lần rồi cộng vào dòng (cột) j
AT : ma trận chuyển vị của ma trận A
A : ma trận phụ hợp của ma trận vuông A
Mij : định thức con cấp n- 1 có được từ định thức ma trận vuông A bằng cách bỏ đi dòng i và cột j.
Aij = (-1)i + i.Mij : phần phụ đại số của phần tử aij
A-1 : ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A
r(A) : hạng của ma trận A dimE: chiều của không gian véc tơ E
L[U]: không gian véc tơ con sinh bởi hệ véc tơ U ~
A : B : ma trận bổ sung của hệ phương trình A A.X = B. 4 lOMoAR cPSD| 49519085
E : không gian riêng ứng với giá trị riêng det(A -
E): đa thức đặc trưng của ma trận vuông A MỤC LỤC
CHƯƠNG 1. TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ ...................................................................................... 6
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ...................................................................................................... 6
1.1. Tập hợp ................................................................................................................................ 6
1.2. Ánh xạ ................................................................................................................................. 8
1.3. Cấu trúc đại số ..................................................................................................................... 9
1.4. Trường số thực .................................................................................................................. 10
1.5. Trường số phức ................................................................................................................. 11
B. CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN .................................................................................................... 14
C. BÀI TẬP CHƯƠNG 1 ......................................................................................................... 20
CHƯƠNG 2. ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN ............................................................................ 27
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT .................................................................................................... 27
2.1. Định thức ........................................................................................................................... 27
2.2. Ma trận .............................................................................................................................. 33
B. CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN .................................................................................................... 41
C. BÀI TẬP CHƯƠNG 2 ......................................................................................................... 54
CHƯƠNG 3. KHÔNG GIAN VÉCTƠ .................................................................................... 63
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT .................................................................................................... 63
3.1. Khái niệm .......................................................................................................................... 63
3.2. Mối quan hệ tuyến tính giữa các véctơ ............................................................................. 65
3.3. Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính .................................................................. 65
3.4. Hạng của hệ véctơ, cơ sở và số chiều của không gian véctơ ............................................ 66
3.5. Không gian véctơ con........................................................................................................ 69
3.6. Toạ độ của véctơ đối với một cơ sở................................................................................... 70
3.7. Không gian Euclide thực ................................................................................................... 70
B. CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN .................................................................................................... 72
C. BÀI TẬP CHƯƠNG 3 ......................................................................................................... 89
CHƯƠNG 4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH .............................................................. 97
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT .................................................................................................... 97
4.1. Các khái niệm cơ bản ........................................................................................................ 97
4.2. Điều kiện có nghiệm ......................................................................................................... 98
4.3. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính ................................................................... 98
4.4. Hệ thuần nhất .................................................................................................................... 99
4.5. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế ......................................................... 101
B. CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN .................................................................................................. 105
C. BÀI TẬP CHƯƠNG 4 ....................................................................................................... 120
CHƯƠNG 5. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG ................................ 139
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT .................................................................................................. 139
5.1. Ánh xạ tuyến tính ............................................................................................................ 139
5.2. Giá trị riêng và véc tơ riêng............................................................................................. 144 lOMoAR cPSD| 49519085
5.3. Dạng toàn phương ........................................................................................................... 147
B. CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN .................................................................................................. 152
C. BÀI TẬP CHƯƠNG 5 ....................................................................................................... 163
PHỤ LỤC: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................. 170
MỘT SỐ ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN ......................................................................... 188
BẢNG TỪ KHÓA ................................................................................................................. 194
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................................... 196
CHƯƠNG 1. TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.1. Tập hợp
1.1.1. Các khái niệm cơ bản
Tập hợp là khái niệm nguyên thuỷ cũng giống như khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong hình học.
Các đối tượng lập nên tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp. Người ta thường dùng
các ký hiệu chỉ tập hợp A, B, C, … và các phần tử của tập hợp thường ký hiệu là a, b, c, ….
Nếu a là phần tử của tập hợp A thì ta ký hiệu: a A (đọc là: a thuộc A)
Nếu a không là phần tử của tập hợp A thì ta ký hiệu:
a A (đọc là : a không thuộc A) *
Lực lượng của tập hợp:
Một tập được gọi là hữu hạn nếu nó gồm một số nhất định các phần tử, số phần tử của tập
hợp người ta gọi là lực lượng của tập hợp.
Tập hợp gồm vô hạn phần tử được gọi là tập hợp vô hạn. Người ta phân biệt:
Tập hợp vô hạn đếm được là tập hợp tuy số phần tử vô hạn song có thể đánh số thứ tự các phần tử của nó.
Tập hợp vô hạn không đếm được là tập có vô số phần tử và không có cách nào đánh số thứ
tự các phần tử của nó.
Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu: *
Tập con: Cho hai tập hợp A, B. Nếu bất kỳ phần tử nào của A cũng đều là phần
tử của B thì tập A được gọi là tập con của B, ký hiệu A B. Quan hệ bao hàm có tính chất
bắc cầu : nếu A B và B C thì A C.
Quy ước tập rỗng là tập con của mọi tập hợp. 6 lOMoAR cPSD| 49519085 *
Tập hợp bằng nhau : Nếu A là tập con của B và B là tập con của A thì ta nói A bằng B. Ký hiệu A = B
* Cách cho một tập hợp:
Người ta thường cho một tập hợp bằng cách:
+) Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp.
+) Nêu các tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp đó.
1.1.2. Các phép toán trên tập hợp * Phép hợp: x A
Hợp của hai tập hợp A và B, ký hiệu A Bđược xác định: A B x: x B * Phép giao: x A
Giao của hai tập hợp A và B, ký hiệu A Bđược xác định: A B x: x B Nếu A B
thì ta nói các tập hợp A, B không giao nhau hay rời nhau. * Phép lấy hiệu: x A
Hiệu của hai tập A và B, ký hiệu A\B được xác định: A \ B x: x B
Đặc biệt, nếu A E thì hiệu E\A được gọi là phần bù của A trong E, ký hiệu A .
* Tích đề các của hai tập hợp:
Tích đề các của hai tập hợp A và B là tập hợp, ký hiệu A x B được xác định A xB (a;b):a A;b B
Đặc biệt A2 = A x A = (a b, ) : a A b; A .
Tương tự, ta có thể mở rộng cho tích đề các của n tập hợp.
Các tính chất của phép toán trên tập hợp
Giả sử A, B, C là các tập hợp con của tập E. Các phép toán hợp, giao, lấy phần bù có các tính chất sau : lOMoAR cPSD| 49519085 A A A A A A A A A A A A E A E E A E A A A A A B BA A B B A (A B) C A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C (A C) (B C) (A B) C (A C) (B C) A B A B A B A B 1.2. Ánh xạ
1.2.1. Khái niệm về ánh xạ
Định nghĩa 1.1. Một ánh xạ f từ tập A đến tập B, ký hiệu f : A B, là một quy tắc ứng với
mỗi phần tử x của A với một phần tử duy nhất của B được ký hiệu là f(x). Ta gọi f(x) là ảnh của x.
Hai ánh xạ f, g : A B được gọi là bằng nhau, ký hiệu f = g nếu f(x) = g(x) với mọi x A.
Định nghĩa 1.2. Cho E, F lần lượt là các tập con của A, B và ánh xạ f: A B Tập f E( )
y B x: E f x,( ) y gọi là tập ảnh của E. Tập f 1(F)
x A :f(x) F gọi là tập tạo ảnh của F.
Khi tập F chỉ có duy nhất một phần tử y ta dùng ký hiệu f -1(y).
1.2.2. Một số ánh xạ
Định nghĩa 1.3. Cho ánh xạ f: A B
Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu với mọi x1, x2 A mà x 1 x2 thì f(x1) f(x2).
Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu f(A) = B hay với y bất kỳ thuộc B thì luôn tồn tại x thuộc A để f(x) = y.
Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu nó vừa đơn ánh lại vừa toàn ánh.
* Ánh xạ hợp: Cho hai ánh xạ f : A B;g :B C . Ánh xạ h: A C xác định bởi: h(x) =
g[f(x)], x A được gọi là ánh xạ hợp của f và g, ký hiệu h = gf.
* Ánh xạ ngược: Nếu f: A B là song ánh thì luôn tồn tại một ánh xạ từ g: B A sao cho
g(f(x)) = x, nó cũng là song ánh và được gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f, ký hiệu: f-1 8 lOMoAR cPSD| 49519085
1.3. Cấu trúc đại số
Cho một tập hợp E. Ta xác định được một phép toán hai ngôi trên E hay một luật hợp thành
trong trên E nếu với mỗi cặp phần tử (a, b) của E cho tương ứng với một phần tử c cũng thuộc
E. Ký hiệu phép toán đó bởi dấu * và viết: c = a * b với a, b, c E (Nếu phép toán là phép cộng
ta dùng dấu +, phép nhân ta dùng dấu . ).
Phép toán * có tính chất kết hợp nếu:
(a *b)*c = a* (b *c), với mọi a, b, c
Phép toán * có tính chất giao hoán nếu: a * b = b * a, với mọi a, b
Phép toán * có phần tử trung hoà e nếu: a * e = e * a với mọi a
Phần tử a’ thuộc E được gọi là phần tử đối xứng của a nếu a * a’ = a’ * a = e
Thường ký hiệu phần tử đối xứng của a là a-1 (với phép cộng, phần tử đối xứng của a chính
là số đối – a; với phép nhân, đó chính là số nghịch đảo 1/a, a 0.
1.3.1. Cấu trúc nhóm
Định nghĩa 1.4. Tập hợp E với phép toán * được gọi là có cấu trúc nhóm hay gọi tắt là
nhóm nếu phép toán * thoả mãn các tính chất: kết hợp, luôn có phần tử trung hoà e và mọi phần
tử của E luôn có phần tử đối xứng. Nếu phép toán * có tính giao hoán thì nhóm đó được gọi là
nhóm giao hoán hay nhóm Abel.
Một số tính chất của nhóm
* Phần tử trung hoà e của nhóm là duy nhất.
* Phần tử đối xứng a’ của a là duy nhất.
* Trên nhóm E, có quy tắc giản ước a*x = a* y thì x = y.
* Trên nhóm E, phương trình a * x = b có nghiệm duy nhất x = a’ * b.
1.3.2. Cấu trúc vành
Định nghĩa 1.5. Tập E khác rỗng, trên đó có trang bị hai phép toán, phép cộng (+) và phép
nhân (.), ký hiệu (E, +, .). Bộ ba (E, +, . ) được gọi là có cấu trúc vành hay gọi tắt là vành nếu thoả mãn:
* (E, +) lập thành một nhóm giao hoán với phần tử trung hoà ký hiệu là 0.
* Phép toán . có tính chất kết hợp.
* Phép nhân . có tính phân phối hai phía đối với phép toán cộng nghĩa là với mọi a, b, c E
ta có a.(b + c) = a.b + a.c (phân phối trái) lOMoAR cPSD| 49519085
(b + c).a = b.a + c. a (phân phối phải)
Nếu phép nhân . có tính giao hoán thì vành E được gọi là vành giao hoán.
Ngoài ra nếu phép nhân . có phần tử trung hoà, ký hiệu là 1 thì vành E được gọi là vành có đơn vị.
1.3.3. Cấu trúc trường
Định nghĩa 1.6. Tập E khác rỗng có trang bị hai phép toán: Phép cộng (+) và phép nhân (.),
ký hiệu (E, +, .). Bộ ba (E, +, .) được gọi là có cấu trúc trường hay gọi tắt là trường nếu thoả mãn:
* (E, +, . ) là một vành giao hoán có đơn vị 1.
* Với mọi phần tử a E;a 0 tồn tại phần tử đối xứng a’ của phép nhân .,
tức là a’. a = a. a’ = 1; a’ được gọi là phần tử nghịch đảo của a, ký hiệu a-1 hay 1 .
a Một số tính chất của trường :
* Trên trường E: nếu a.b = 0 thì a = 0 hoặc b = 0.
* Nếu E là một trường thì E \ {0} là một nhóm đối với phép nhân.
* Nếu E là một trường thì phương trình a. x = b (a 0) luôn có nghiệm duy nhất.
1.4. Trường số thực
Tập hợp R cùng với hai phép toán cộng và nhân có cấu trúc trường, người ta gọi là trường số thực R.
Trên tập số thực, ta xét một tập con ký hiệu R+ và xác định tập R- là những số đối của x nếu x R sao cho +) R R +) R 0 R R
+) Với mọi số thực a, b R ta có a +b, a.b R
Khi đó, người ta nói rằng trường số thực R là một trường có thứ tự. Các số thực thuộc R+
được gọi là các số thực dương, các số thực thuộc R- được gọi là các số thực âm.
Trên R ta xác định một quan hệ thứ tự ký hiệu < (đọc là bé hơn) như sau: với hai số thực a,
b ta có a < b khi và chỉ khi b – a = b + (- a) R . Quan hệ này có tính chất bắc cầu nghĩa là a < b và b < c thì a < c.
Trường số thực có tính chất: với hai số thực tuỳ ý a, b với a >0 bao giờ cũng tìm được số
tự nhiên n sao cho n.a > b. Khi đó, trường số thực R được gọi là trường sắp thứ tự Acsimet. 10 lOMoAR cPSD| 49519085
* Giá trị tuyệt đối của số thực
Với mọi số thực x, ta định nghĩa giá trị tuyệt đối của x, ký hiệu x như sau: x khi x 0 x 0 khi x 0 x khix 0
* Tập số thực mở rộng: R R
; với mọi số thực x ta quy ước: x x + ( ) = ( ) + x = x + ( ) = ( ) + x = ( ) Với x > 0 ta có : x.( )= ( ). x = ( ) x. ( ) = ( ). x = ( ) ( ) + ( ) = ; ( ). ( ) = ( ) + ( ) = ; ( ).( ) = 1.5. Trường số phức 1.5.1. Khái niệm
Xét tập hợp C xác định bởi: C
z (a;b),a R;b R , phần tử z thuộc C được gọi là một số phức.
Cho hai số phức z = (a; b) và z’ = (a’; b’)
+) z và z’ được gọi là bằng nhau, ký hiệu z = z’ nếu a = a’ và b = b’
+) Phép cộng hai số phức: z + z’ = (a + a’; b + b’)
+) Phép nhân hai số phức: z. z’ = (a.a’ – b.b’; a.b’ + a’. b)
Có thể kiểm chứng rằng các phép toán cộng, nhân trên tập số phức tạo cho C có cấu trúc
trường và được gọi là trường số phức. Trường số thực R coi là trường con của trường số phức C .
1.5.2. Các phép toán trên trường số phức
* Dạng chính tắc của số phức:
Có thể viết số phức z = (a; b) = (a; 0) + (b; 0). (0; 1) = a + bi với i = (0; 1) thoả mãn tính
chất i2 = (0; 1). (0; 1) = (- 1; 0) = - 1; số i được gọi là đơn vị ảo. Dạng z = a + bi được gọi là lOMoAR cPSD| 49519085
dạng đại số của số phức z; a được gọi là phần thực, ký hiệu Re(z); b được gọi là phần ảo, ký hiệu Im(z).
* Các phép toán dưới dạng đại số: Cho hai số phức z = a + bi; z’ = a’ + b’i
+) z + z’ = (a + a’) + (b + b’)i
+) z.z’ = aa’ – bb’ + (ab’ + a’b)i
Số phức liên hợp của z là z a bi . Môđun của số phức z là z a 2 b2
+) nghịch đảo của số phức z 0 là z 1 1 z2 z z
+) phép chia số phức z’ cho số phức z 0 : z' 1 z'.z z'. 2 z z z
* Căn bậc hai của một số phức:
Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi được gọi là căn bậc hai của z nếu 2 = z (x +yi)2 = a + bi x 2 y 2 a w 2xy b
Khái niệm căn bậc 3, 4, … , n tương tự.
* Giải phương trình bậc hai trên trường số phức
Trên trường số phức mọi phương trình bậc hai luôn có nghiệm
Thật vậy, xét phương trình bậc hai hệ số phức az2 bz c 0 a z 2ba ac 2 b24 a4 2 0 (a 0).
Đặt b2 4ac. Gọi là một căn bậc hai của số phức . Khi đó phương trình này có b hai nghiệm z1,2 . 2a
1.5.3. Dạng lượng giác của số phức 12 lOMoAR cPSD| 49519085
Định nghĩa 1.7. Cho số phức z = a + bi, z 0, số phức z có điểm biểu diễn M(a ; b) trên
mặt phẳng toạ độ 0xy; đặt r = 0M = z , gọi là góc giữa tia 0M và chiều dương của trục
0x, được gọi là argumen của số phức z, ký hiệu Arg(z) (góc này sai khác k.2 ;k Z). Khi đó z = a + bi = r(cos
isin ) được gọi là dạng lượng giác của số phức z.
Khi z = 0 ta lấy r = 0 còn không xác định.
* Các phép toán của số phức dưới dạng lượng giác Cho hai số phức z 1 r (cos1 isin r (cos isin 1 1);z2 2 2 2 ) r1 r2 +) z1 z 2 1 2 k2 ;k Z +) z .z ) 1 2 r .r cos(1 2 1 2 ) isin( 1 2 z1
r1 . cos( 1 2 ) isin( 1 2 ) ;(z 2 0) +) z 2 r2 +) z n n 1 r . cos(n )1 isin(n ) ;n N Đặc biệt (cos isin )n cosn
isin n , công thức này được gọi là công thức Moivre.
* Căn bậc n của số phức
Giả sử cho số phức z r(cos
isin ), tìm căn bậc n của z (n là số nguyên dương) là tìm số phức w để wn = z. Gọi w (cos isin ) w n n (cosn
isin n ) . Khi đó, có n căn bậc n của số phức z là z n k r. cos nk.2 isin nk.2 ;k 0,1,...,n 1.
1.5.4. Giải phương trình
Người ta đã chứng minh ([13]) được kết quả sau: lOMoAR cPSD| 49519085
Định lý cơ bản của đại số: Phương trình bậc n với hệ số phức (n N* ) anzn + an-1zn-1+ ... + a1z + ao = 0 (*) (a n
0 ) có đúng n nghiệm kể cả thực, phức và bội của nó.
B. CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN
Ví dụ 1.1. Giả sử A, B là các tập con của E. Chứng minh rằng a) Nếu A B thì B A b) A B A B Giải: a) Lấy x B x B mà A Bnên x A x A
b) Trước hết, ta chứng minh A B A B (1) Thật vậy x A x A x A B. Với mọi x A B x A B x B x B Suy ra (1)
Tương tự, ta chứng minh A B A B (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Ví dụ 1.2. Ánh xạ f : A B cho dưới đây là đơn ánh, toàn ánh, song ánh? Xác định ánh xạ
ngược nếu có của các ánh xạ xác định như sau:
a) A = B = R, f(x) = x2 - 3x +2;
b) A = [2; 5], B =[0; 12], f(x) = x2 - 3x + 2; c) A = R, B = (0; ), f(x) = e2x Giải:
a) Ta có f(1) = f(2) = 0 nên f không là đơn ánh. Mặt khác, với y = - 4 chẳng hạn thì không
tồn tại x để f(x) = - 4 nên f không là toàn ánh suy ra cũng không là song ánh và không có ánh xạ ngược. 14 lOMoAR cPSD| 49519085 b) Xét với mọi y
0;12 thì phương trình x2 – 3x + 2 – y = 0 có nghiệm duy nhất trên
[2 ; 5] (sử dụng bảng biến thiên) nên f là song ánh và ánh xạ ngược là f- 1(y) = . d) Với mọi y (0;
) dùng bảng biến thiên ta chứng minh được phương trình e2x
- y = 0 có duy nhất một nghiệm thực nên f là song ánh và ánh xạ ngược là f-1(y) = ln y .
Ví dụ 1.3. Cho các ánh xạ f : E F;g : F G . Chứng minh rằng
a) Nếu f và g toàn ánh thì gf là toàn ánh
b) Nếu f và g đơn ánh thì gf là đơn ánh
c) Nếu f và g song ánh thì gf là song ánh Giải:
Ta chỉ cần chứng minh a) và b)
a) Giả sử f và g là toàn ánh : f(E) = F và g(F) = G suy ra (gf)(E) = g[f(E)]
= g(F) = G nên gf là toàn ánh.
b) Giả sử f và g là đơn ánh. Xét x1 và x2 E . Ta có: x 1
E;f(x )1 y1 F;g(y )1 z1 G ; x 2 E;f(x )2 y2 F;g(y )2 z2 G . Và (g ) f )(x 1) g f x ( 1 g y( 1) z1 (g ) f )(x 2 ) g f x ( 2 g y( 2 ) z2
Giả sử z1 = z2 do g đơn ánh nên y1 = y2. Từ đó, vì f đơn ánh nên x1 = x2. Vậy nếu (g f)(x ) 1
(g f)(x )2 thì x1 = x2. Do đó, g f là đơn ánh.
c) Từ hai kết quả trên suy ra đpcm.
Ví dụ 1.4. Chứng minh rằng z = (1 + 2i)(2-3i)(2 +i)(3-2i) là một số thực Giải:
Thực hiện phép nhân với lưu ý: i2 = -1; i3 = i; i4 = 1 ta được z = 65.
Ví dụ 1.5. Cho a, b là các số thực xác định x, y R sao cho (x + ai)(b + yi) = 4 + 3i lOMoAR cPSD| 49519085 Biện luận theo a, b. Giải: bx ay 4
Từ giả thiết ta có x và y là nghiệm của hệ: ab xy 3
Xét các trường hợp sau: * a = 0; b = 0: vô nghiệm * a = 0; b 0 : x 4;y 3b b 4 * 3a a 0; b = 0: x ;y 4 4 a
* ab 0 : đưa về biện luận phương trình bậc hai bx2 – 4x + a2b – 3a = 0.
Khi ab < -1 hoặc ab > 4: vô nghiệm. Khi ab = -1 hoặc ab = 4: 2 x 2;y . b a bx 4 2 4 ab(ab 3)
Khi -1< ab < 4 có 2 nghiệm: x ;y . b a
Ví dụ 1.6. Thực hiện các phép tính sau a) 1 itana b) (1 i)55 1 1 itana (1 i) 1 Giải: a) Ta có 1 i tan a cosa isina 1 i tana cosa isina cos a ( a)
isin a ( a) cos2a isin2a 16 lOMoAR cPSD| 49519085
b) Ta có (1 – i)5 = - 4 + 4i và (1 + i)5 = - 4 – 4i nên (1 i)55 1 5 4i 2 32i (1 i) 1 3 4i 25
Ví dụ 1.7. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau a) z = 3 -4i b) z = - 8 + 6i Giải:
Gọi căn bậc 2 của z có dạng x + yi. Ta có
(x + yi)2 = z (x 2 y )2 2xyi z a) Với z = 3 – 4i ta có x 2 2xxy2 y 2 4 3 xy4 3xx22 4 0 xyy 121
Vậy z = 3 - 4i có 2 căn bậc hai là 2 - i và - 2 + i.
b) Tương tự câu a) ta có z = - 8 + 6i có 2 căn bậc hai là 1 + 3i và -1-3i.
Ví dụ 1.8. Giải các phương trình sau
a) x4 + 6x3 + 9x2 + 100 = 0 b) z2 – (2 + i)z + 7i – 1 = 0 Giải: a) Ta có PT
x2 3x 2 (10 )i 2 0
x2 3x 10i 0 2
x 3x 10i 0 x 12i x 42i x 12i lOMoAR cPSD| 49519085 x 42i b) Ta có (2 i)2 4(7i 1) 7 24i 16 2.4.3i 9i2 (4 3i)2
Nên có một căn bậc hai là 4-3i. Do đó phương trình có hai nghiệm là z1 2 i 4 3i 3i;z 2 2 i4 3i 1 2i. 2 2
Ví dụ 1.9. Tìm dạng lượng giác của số phức sau a) z 1 i 3 b) z 1 i 3 3 i Giải: a) Ta có z 1 i 3 2 21 i 23 2 cos 43 isin 43
b) Có thể sử dụng hai cách:
Cách 1: Thực hiện phép chia dạng đại số sau đó đưa kết quả về dạng lượng giác.
Cách 2: Đưa các số phức về dạng lượng giác sau đó thực hiện phép chia. Ta có z 1 i 3 1 3 i cos isin 3 i 2 6 6
Ví dụ 1.10. Thực hiện phép tính a) (1+ i)25 b) 1 32 i 24 Giải:
a) Ta có (1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 2i 18 lOMoAR cPSD| 49519085
Nên (1 + i)25 = (1 + i)24. (1 + i) = (2i)12. (1 + i) = 212(1+ i)
b) Đưa số phức 1 3 i về dạng lượng giác. 2 Ta có z =1 3 i 2 3 cos isin . 2 12 12 Khi đó z 24 2 3 cos12 isin12 24 2 3 12 . cos2 isin2 2 3 12
Ví dụ 1.11. Tìm các căn bậc 8 của số phức z 1 i . 3 i
Giải: Đưa số phức z về dạng lượng giác, ta có z 1 cos 5 isin 5 2 12 12
Gọi căn bậc 8 của z là cos isin 8 8 cos8 isin8 Ta có 8 8 1 z 2 8 5 k.2 ;k Z 12 16 1 2 lOMoAR cPSD| 49519085
5 24k ;k 0;1;...;7 96
Vậy có 8 căn bậc 8 của z là 1 k16 cos 5 24k isin 5 24k ;k 0;1;...;7. 2 96 96 C. BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Bài 1.1. Cho A, B, C là các tập con của E.
Chứng minh rằng, nếu A C A B và A C A B thì C B.
Bài 1.2. Cho A, B là các tập con của E. Chứng minh
a) Nếu A Bthì A B B ,
b) Nếu A và B rời nhau thì mọi phần tử của E sẽ thuộc A hoặc thuộc B , c) A B A B B A B E , d) A B A B A.
Bài 1.3. Các ánh xạ f : A B sau đây là đơn ánh, toàn ánh, song ánh ? Xác định ánh xạ ngược nếu có :
a) A = R, B = R, f(x) = x + 7,
b) A = R, B = R, f(x) = x2 + 2x – 3,
c) A = [4 ; 9], B = [21 ; 96], f(x) = x2 + 2x – 3,
d) A = R, B = R, f(x) 3x 2 x ,
e) A = R, B = (0 ; + ), f(x) = ex + 1,
f) A = N, B = N, f(x) = x(x + 1).
Bài 1.4. a) Cho ánh xạ f :R R xác định bởi f(x) 2x 2 1 x
Ánh xạ đó có là đơn ánh, là toàn ánh hay không ? Tìm f(R), b) Cho ánh xạ g :R 1 *
R;R* R \{0}xác định bởi g(x)
. Xác định ánh xạ fg. x
Bài 1.5. Cho ánh xạ f :E F và A, B là các tập con của E. 1) Chứng minh rằng a) A B f(A) f(B) , 20