Ôn tập Xác suất Thống kê ứng dụng (
Math132901) Cô Nhung - Năm học 2019-2020
NỘI DUNG KIỂM TRA CUỐI KÌ
Tự luận - 90ph- Được sử dụng tài liệu
PHẦN I: (4,5 điểm) Xác suất
Gồm 4 câu hỏi
• Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển
• Tính xác suất theo công thức xác suất:
công thức cộng xác suất
𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴𝐵),
𝐴, 𝐵 xung khắc 𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵).
Công thức nhân xác suất
𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵/𝐴) = 𝑃(𝐵)𝑃(𝐴/𝐵) ,
𝐴, 𝐵 độc lập 𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵).
Công thức xác suất điều kiện 𝑃(𝐴 𝐵 ⁄ ) = 𝑃(𝐴𝐵) , 𝑃(𝐵)
Công thức xác suất đầy đủ
𝑃(𝐸) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐸/𝐴) + 𝑃(𝐵)𝑃(𝐸/𝐵) + 𝑃(𝐶)𝑃(𝐸/𝐶)
Công thức Bayes 𝑃(𝐴 𝐸
⁄) = 𝑃(𝐴𝐸) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐸/𝐴). 𝑃(𝐸) 𝑃(𝐸)
• Biến ngẫu nhiên rời rạc: Tìm hàm xác suất của biến ngẫu nhiên X từ đó tính E(X),
V(X); Dạng phân phối xác suất của BNN rời rạc: Bernouli, Nhị thức, Poisson, siêu
bội, nhị thức âm, hình học.
• Biến ngẫu nhiên liên tục: Xác định hàm mật độ xác suất f(x); Phân phối đều, phân
phối chuẩn. Định lý xấp xỉ phân phối nhị thức B(n, p) thành phân phối chuẩn khi n rất lớn.
PHẦN II: (5,5 điểm) Thống kê (4,5 điểm) 4 câu hỏi • Xử lý dữ liệu
• Ước lượng cho trung bình hay tỷ lệ
• Tìm khoảng ước lượng cho tỷ lệ từ đó suy ra khoảng ước lượng cho số phần tử có
tính chất quan tâm hoặc đưa ra khoảng ước lượng cho số phần tử của tổng thể.
• Xác định cỡ mẫu để khoảng ước lượng cho tỷ lệ p t ỏ
h a mãn điều kiện cho trước.
• Xác định độ tin cậy cho khoảng ước lượng của tỷ lệ hoặc trung bình thỏa mãn điều kiện cho trước.
• Kiểm định giả thuyết cho trung bình hoặc tỷ lệ
• So sánh 2 tỷ lệ của 2 tổng thể hay đám đông độc lập
• So sánh 2 trung bình của 2 tổng thể hay đám đông độc lập 1
Ôn tập Xác suất Thống kê ứng dụng (
Math132901) Cô Nhung - Năm học 2019-2020
• So sánh 2 tỷ lệ của cùng 1 đám đông hay tổng thể cần đưa về dạng so sánh tỷ lệ với 1 số p0 cho trước.
• Mẫu ghép cặp (X, Y) suy ra D=X-Y tìm khoảng ước lượng cho trung bình của D hoặc kiểm định cho D. Lưu ý:
• Chú ý nhận diện khoảng ước lượng đối xứng hay không? Trong đó giá trị tối
đa hay tối thiểu không trả lời cả 1 khoảng .
• Chú ý nhận diện đối thuyết là 1 phía hay 2 phía. 1 điểm (1 câu)
• Tương quan hồi quy tuyến tính.
PHẦN I: Xác suất
• Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển
Ví dụ: Ba người A, B, C đặt vé ô tô hãng Z đi đến cùng một nơi, cùng ngày và cùng giờ.
Hãng xe Z sắp xếp 3 người này lên 5 xe một cách độc lập. Tính xác suất 3 người này đi trên 3 xe khác nhau. Giải
Số cách sắp xếp 3 người lên 5 chuyến xe là |𝑆| = 53
Gọi A là biến cố 3 người đi trên 3 chuyến xe khác nhau là |𝐴| = 𝐶35.3!; |𝐴| 𝐶3. 3! 12 𝑃(𝐴) = 5 |𝑆| = 53 = 25
Bài tập: Trong một buồng tầu hỏa có hai dãy ghế đối diện, mỗi ghế có 4 chỗ. Trong số 8
hành khách thì có 3 người muốn ngồi theo hướng tầu chạy và 2 người ngồi theo hướng
ngược lại. Tính xác suất vé họ mua thỏa mãn mong muốn của hành khách về hướng ngồi.
Bài tập: Trong một lô hàng có 3 sản phẩm loại 1, 4 sản phẩm loại 2 và 5 sản phẩm loại 3.
Chia ngẫu nhiên 12 sản phẩm này ra làm 2 phần bằng nhau. Tính xác suất để mỗi phần đều
có cả 3 loại sản phẩm.
• Tính xác suất theo công thức xác suất: công thức cộng, nhân, xác suất điều kiện, đầy đủ, Bayes.
Ví dụ: Công ty M đầu tư vào 2 dự án A, B một cách độc lập, với xác suất dự án A, B mang
lại lợi nhuận lần lượt là 0,7 và 0,8. Biết chỉ có một dự án mang lại lợi nhuận, tính xác suất đó là dự án A. 2
Ôn tập Xác suất Thống kê ứng dụng (
Math132901) Cô Nhung - Năm học 2019-2020
Giải Gọi A, B là biến cố dự án A, B mang lại lợi nhuận
𝑃(𝐴) = 0,7; 𝑃(𝐵) = 0,8.
Gọi C là biến cố chỉ có 1 dự án mang lại lợi nhuận. Suy ra 𝐶 = 𝐴 ’ 𝐵 + 𝐴’𝐵
𝑃(𝐶) = 𝑃(𝐴𝐵’ + 𝐴’𝐵) = 𝑃(𝐴𝐵’) + 𝑃(𝐴’𝐵) = 0,7.0,2 + 0,3.0,8 = 0,38
Xác suất dự án A mang lại lợi nhuận khi chỉ có 1 dự án mang lại lợi nhuận là 𝑃(𝐴 ′ 𝐵 ) 0,14 7 𝑃(𝐴 𝑃(𝐴𝐶) 𝐶
⁄ ) = 𝑃(𝐶)= 𝑃(𝐶) = 0,38 = 19
Ví dụ: Công ty E sử dụng ba dây chuyền lắp ráp khác nhau 1, 2, 3 để sản xuất loại sản phẩm
M. Tỷ lệ sản phẩm M cần khắc phục khuyết điểm tại dây chuyền 1, 2, 3 lần lượt là 3%; 5%
và 2%. Giả sử 20% số sản phẩm M sản xuất trên dây chuyền 1 và sản xuất trên dây chuyền
2, 3 lần lượt là 30% và 50% số sản phẩm M.
1. Tính tỷ lệ sản phẩm M cần khắc phục khuyết điểm của công ty E.
2. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩn của công ty E thấy bị lỗi, vậy khả năng sản phẩm này do
dây chuyền 2 sản xuất là bao nhiêu?
Giải Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm M của công ty E.
Gọi 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 lần lượt là biến cố sản phẩm lấy ra do dây chuyền 1, 2, 3 lắp ráp;
𝑃(𝐴1) = 0,2; 𝑃(𝐴2) = 0,3; 𝑃(𝐴3) = 0,5
Gọi B là biến cố sản phẩm lấy ra cần khắc phục khuyết điểm. 𝑃 (𝐵 𝐴
⁄ ) = 0,03; 𝑃 (𝐵⁄ ) = 0,05; 𝑃 (𝐵⁄ ) = 0,02 1 𝐴2 𝐴3
1. Tỷ lệ sản phẩm M cần khắc phục khuyết điểm là
𝑃(𝐵) = 𝑃 (𝐵⁄𝐴 )𝑃(𝐴 ⁄ ) 𝑃(𝐴 ⁄ ) 𝑃(𝐴 1 1) + 𝑃 (𝐵 𝐴2 2) + 𝑃 (𝐵 𝐴3 3)
= 0,03.0,2 + 0,05.0,3 + 0,02.0,5 = 0,031
2. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩn của công ty E thấy bị lỗi, vậy khả năng sản phẩm này do
dây chuyền 2 sản xuất là 𝑃(𝐵𝐴
𝑃 (𝐵 ⁄ ) 𝑃(𝐴2) 0,05.0,3 𝑃 (𝐴2 2) 𝐴2 𝐵 ⁄ ) = 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵) = 0,031 =
• Biến ngẫu nhiên rời rạc:
+) Tìm hàm xác suất của biến ngẫu nhiên X từ đó tính E(X), V(X); 3
Ôn tập Xác suất Thống kê ứng dụng (
Math132901) Cô Nhung - Năm học 2019-2020
Ví dụ: Lấy ngẫu nhiên từng sản phẩm từ lô hàng có 3 sản phẩm loại I và 2 sản phẩm loại II
cho đến khi số sản phẩm loại I và loại II còn lại bằng nhau thì dừng. Gọi X là số sản phẩm
lấy ra. Tìm hàm xác suất của X, tính E(X) và V(X).
Giải Tập các giá trị có thể có của X là 𝑈𝑋 = {1, 3, 5} 𝑝 3 𝑋(1) = 𝑃(𝑋 = 1) = 5 3.2.2 𝑝 1
𝑋(3) = 𝑃(𝑋 = 3) = 5.4.3 = 5 3.2.1.2.1 + 3.2.2.1.1 𝑝 1 𝑋(5) = 𝑃(𝑋 = 5) = 5! = 5 3 𝑘ℎ𝑖 𝑢 = 1 5 1
Hàm xác suất của X có dạng 𝑝𝑋(𝑢) = 𝑘ℎ𝑖 𝑢 = 3 5 1 { 𝑘ℎ𝑖 𝑢 = 5 5 11 64
𝐸(𝑋) = 5 ;𝑉(𝑋) = 25
+) Dạng phân phối xác suất của BNN rời rạc: Bernouli, Nhị thức, Poisson, siêu bội, nhị thức âm, hình học.
Ví dụ: Một đồng xu thiên vị với xác suất xuất hiện mặt có hình gấp đôi mặt không có hình.
Gọi p là xác suất xuất hiện mặt không có hình thì 2p là xác suất xuất hiện mặt có hình.
Vì đồng xu chỉ xuất mặt có hình hoặc không có hình nên theo tính chất hàm xác suất ta có 3𝑝 = 1 suy ra 𝑝 = 1. 3
1) Tung đồng xu này 1 lần, hãy xác định hàm xác suất cho biến ngẫu nhiên X là số lần
xuất hiện mặt có hình.
X có phân phối Bernoulli với tham số 𝑝0 = 2. 3 2 𝑘ℎ𝑖 𝑢 = 1
Hàm xác suất của X có dạng 𝑝 3
𝑋(𝑢) = 𝑃(𝑋 = 𝑢) = {1 𝑘ℎ𝑖 𝑢 = 0 3
2) Tung đồng xu này 10 lần, hãy xác định hàm xác suất cho biến ngẫu nhiên Y là số lần
xuất hiện mặt có hình.
Y có phân phối nhị thức với n=10 và 𝑝0 = 2. 3 4
Ôn tập Xác suất Thống kê ứng dụng (
Math132901) Cô Nhung - Năm học 2019-2020
Hàm xác suất của biến ngẫu Y có dạng 𝑢 2 10−𝑢 𝑝 𝑢 2
𝑌(𝑢) = 𝑃(𝑌 = 𝑢) = 𝐶10 ( 3) (1 − 3) ; 𝑢 = 0,1, 2, … ,10
3) Tung đồng xu này cho đến khi xuất hiện mặt có hình thì dừng lại. Hãy tìm hàm xác suất cho số lần tung.
Tung đồng xu này cho đến khi xuất hiện mặt có hình thì dừng lại, gọi Z là số lần tung.
Z có phân phối hình học với tham số 𝑝0 = 2 3 𝑢−1
Hàm xác suất của Z có dạng 𝑝𝑍(𝑢) = 𝑃(𝑍 = 𝑢) = (2) (1 − 2 ) ; 𝑢 = 1, 2, 3, …. 3 3
4) Tung đồng xu này cho đến khi xuất hiện mặt có hình 3 lần thì dừng lại. Hãy tìm hàm
xác suất cho số lần tung.
Tung đồng xu này cho đến khi xuất hiện mặt có hình 3 lần thì dừng lại, T là số lần tung.
T có phân phối nhị thức âm với tham số r=3 và 𝑝0 = 2. 3 3 𝑢−3
Hàm xác suất của T có dạng 𝑝 3−1
𝑇(𝑢) = 𝑃(𝑇 = 𝑢) = 𝐶𝑢−1 (2) (1 − 2) ; 𝑢 = 3, 4, 5, … 3 3
Ví dụ: Trong kho hàng có 30% sản phẩm là của công ty A, 45% sản phẩm là của công ty
B và 25% sản phẩm là của công ty C. Tỷ lệ sản phẩm của công ty A, B, C đạt chuẩn tương
ứng là 0,97; 0,94 và 0,91.
1) Tính tỷ lệ phế phẩm của kho hàng.
2) Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho hàng này và thấy nó là sản phẩm đạt chuẩn.
Tính xác suất lấy được sản phẩm của công ty B.
3) Lấy ngẫu nhiên từ kho hàng ra 30 sản phẩm. Tính xác suất có không quá 3 sản phẩm
là phế phẩm trong số xác sản phẩm lấy ra.
4) Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm từ kho hàng cho đến khi lấy được sản phẩm
là phế phẩm thì dừng. Tính xác suất không phải lấy ra quá 10 sản phẩm.
5) Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm cho đến khi lấy được 3 phế phẩm thì dừng.
Xác suất phải lấy ra ít nhất 15 sản phẩm là bao nhiêu? Giải
1) Tính tỷ lệ phế phẩm của kho hàng.
Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm trong kho hàng
Gọi A, B, C là biến cố lấy được sản phẩm công ty A, B, C
𝑃(𝐴) = 0,3; 𝑃(𝐵) = 0,45; 𝑃(𝐶) = 0,25 5
Ôn tập Xác suất Thống kê ứng dụng (
Math132901) Cô Nhung - Năm học 2019-2020
Gọi X là biến cố lấy được sản phẩm không đạt chuẩn.
𝑃(𝑋/𝐴) = 0,03; 𝑃(𝑋/𝐵) = 0,06; 𝑃(𝑋/𝐶) = 0,09
Tỷ lệ phế phẩm của kho hàng là
𝑃(𝑋) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝑋/𝐴) + 𝑃(𝐵)𝑃(𝑋/𝐵) + 𝑃(𝐶)𝑃(𝑋/𝐶)
= 0,3.0,03 + 0,45.0,06 + 0,25.0,09 = 0,0585
2) Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho hàng này và thấy nó là sản phẩm đạt chuẩn.
Tính xác suất lấy được sản phẩm của công ty B.
Gọi 𝑋′ là biến cố sản phẩm lấy ra đạt chuẩn
𝑃(𝐵𝑋′) 𝑃(𝐵)𝑃(𝑋′/𝐵) 0,45.0,94
𝑃(𝐵/𝑋′) = 𝑃(𝑋′) = 1 − 𝑃(𝑋) = 1 − 0,0585 =
3) Lấy ngẫu nhiên từ kho hàng ra 30 sản phẩm. Tính xác suất có không quá 3 sản phẩm
là phế phẩm trong số sản phẩm lấy ra.
Gọi Y là số sản phẩm là phế phẩm trong 30 sản phẩm lấy ra Y~B(30; 0,0585)
Xác suất có không quá 3 sản phẩm là phế phẩm trong số xác sản phẩm lấy ra l à 3 3
𝑃(𝑌 ≤ 3) = ∑ 𝑃(𝑌 = 𝑢) = ∑ 𝐶 𝑢 30
0,0585𝑢(1 − 0,0585)30−𝑢= 𝑢=0 𝑢=0
3’) Biết đã lấy ra một sản phế phẩm, tính xác suất trong 30 sản phẩm lấy ra số phế phẩm không quá 3.
𝑃(1 ≤ 𝑌 ≤ 3) ∑ 3 𝑃 𝑢=1 (𝑌 = 𝑢) 𝑃 (𝑌 ≤ 3 𝑌
⁄ ≥ 1) = 𝑃(𝑌 ≥ 1) = ∑30 = 𝑢=1 𝑃(𝑌 = 𝑢)
4) Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm từ kho hàng cho đến khi lấy được sản phẩm
là phế phẩm thì dừng. Tính xác suất không phải lấy ra quá 10 sản phẩm.
5) Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm cho đến khi lấy được 3 phế phẩm thì dừng.
Xác suất phải lấy ra ít nhất 15 sản phẩm là bao nhiêu?
Ví dụ: Số lỗi chính tả trong mỗi chương của một cuốn tiểu thuyết A là biến ngẫu nhiên có
phân phối Poisson với trung bình bằng 2. Tính xác suất từ chương 1 đến chương 5
1) Có không quá 10 lỗi chính tả.
2) Mỗi chương có không quá 2 lỗi chính tả.
3) Có ít nhất 4 chương có không quá 2 lỗi chính tả.
Giải Gọi X là số lỗi chính tả trong 1 chương của cuốn tiểu thuyết A. X~P(2)
Gọi Y là số lỗi chính tả trong các chương từ 1 đến 5 của cuốn tiểu thuyết A. Y~P(10)
Xác suất có không quá 10 lỗi chính tả trong các chương từ 1 đến 5 của cuốn tiểu thuyết A 6
Ôn tập Xác suất Thống kê ứng dụng (
Math132901) Cô Nhung - Năm học 2019-2020 10 10 10
𝑃(0 ≤ 𝑌 ≤ 10) = ∑ 𝑝𝑌(𝑢) = ∑ 𝑃(𝑌 = 𝑢) = ∑ 𝑒−1010𝑢 𝑢! 𝑢=0 𝑢=0 𝑢=0
2) Xác suất mỗi chương có không quá 2 lỗi chính tả l à 2 2 2
𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 2) = ∑ 𝑝 𝑒−22𝑢
𝑋(𝑢) = ∑ 𝑃(𝑋 = 𝑢) = ∑ 𝑢! = 𝑝0 𝑢=0 𝑢=0 𝑢=0
3) Gọi Z là số chương trong 5 chương của cuốn tiểu thuyết A c
ó không quá 2 lỗi chính tả 𝑍~𝐵(5, 𝑝0 )
Xác suất có ít nhất 4 chương có không quá 2 lỗi chính tả l à
𝑃(𝑍 ≥ 4) = 𝑃(𝑍 = 4) + 𝑃(𝑍 = 5) = 𝐶4 4 5 5 𝑝0(1 − 𝑝0) + 𝑝0
• Biến ngẫu nhiên liên tục:
+) Xác định hàm mật độ xác suất f(x);
Ví dụ: Tuổi thọ của sản phẩm do nhà máy M sản xuất là biến ngẫu nhiên X (đơn vị: năm)
có hàm mật độc xác suất 𝑓(𝑥) = 𝑘(9 − 𝑥)4 nếu 𝑥 ∈ [0; 9]; 𝑓(𝑥) = 0 nếu 𝑥 ∉ [0; 9]. Mua
một sản phẩm của nhà máy M.
1) Tính tuổi thọ trung bình của sản phẩm này.
2) Tính tỷ lệ sản phẩm có thời gian sử dụng vượt quá tuổi thọ trung bình.
3) Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm đã qua sử dụng được 3 năm, tính xác suất sản phẩm
này sử dụng được thêm ít nhất 3 năm nữa. Giải
𝑓(𝑥) = {𝑘(9 − 𝑥)4 , 𝑥 𝜖 [0; 9] 0 , 𝑥 ∉ [0; 9] +∞ (𝑥 − 9)5 9 9 5 5
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1 ⇔ 𝑘 ∫ (9 − 𝑥)4𝑑𝑥 = 1 ⇔ 𝑘 ⇔ 𝑘 = −∞ 0 5 | 59049 = 95 0
1) Tuổi thọ trung bình của sản phẩm này là +∞ 5 9 5 177147 3
𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥= −∞
95 ∫ 𝑥(9 − 𝑥)𝑑𝑥 = 0 95 . 10 = 2
2) Tỷ lệ sản phẩm có thời gian sử dụng vượt quá tuổi thọ trung bình là ∞ 5 9
𝑃(𝑋 > 𝐸(𝑋)) = 𝑃(𝑋 > 1,5) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥= ∫ 𝑑𝑥 = 1,5 1,5 95 (9 − 𝑥)4
3) Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm đã qua sử dụng được 3 năm, tính xác suất sản phẩm
này sử dụng được thêm ít nhất 3 năm nữa là 7
Ôn tập Xác suất Thống kê ứng dụng (
Math132901) Cô Nhung - Năm học 2019-2020 ∫9 5 𝑑𝑥 𝑃(𝑋 > 6 𝑃(𝑋 > 6) 6 95 (9 − 𝑥)4 𝑋
⁄ > 3) = 𝑃(𝑋 > 3) = = ∫9 5 3 95 (9 − 𝑥)4 𝑑𝑥
Bài tập Tuổi thọ (đơn vị: tháng) của một loại thiết bị điện tử là biến ngẫu nhiên X liên tục
có hàm mật độ xác suất có dạng:
𝑓(𝑥) = { 𝐴𝑥(4 − 𝑥) với 𝑥 ∈ [0,4] 0 với 𝑥 ∉ [0, 4]
1. Tìm A, từ đó tính tuổi thọ trung bình của loại thiết bị này.
2. Quan sát ngẫu nhiên một thiết bị điện tử thuộc loại này, tính xác suất thiết bị này
ngừng hoạt động trước 3 tháng.
3. Quan sát ngẫu nhiên 20 thiết bị thuộc loại này, tính xác suất có không quá 10 thiết
bị có thời gian sử dụng không quá 3 tháng.
4. Quan sát ngẫu nhiên từng thiết bị cho đến khi gặp thiết bị có thời gian sử dụng không
quá 3 tháng thì dừng. Tính xác suất cần quan sát ít nhất 5 thiết bị loại này.
+) Phân phối đều, phân phối chuẩn, phân phối mũ.
Ví dụ (phân phối đều): Thời gian cần thiết để sản xuất một sản phẩm loại M là biến ngẫu
nhiên X (đơn vị : phút) có hàm mật độ xác suất 𝑓(𝑥) = 𝑘 nếu 𝑥 ∈[8; B] , 𝑓(𝑥) = 0 nếu
𝑥 ∉ [8 ; 𝐵]. Tìm 𝑘, 𝐵 và thời gian trung bình để sản xuất một sản phẩm loại này, biết xác
suất để một sản phẩm M có thời gian sản xuất không quá 9 phút là 0,25.
Giải X là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên [8; B] nên ta có 𝑘 = 1 𝐵−8
Xác suất để một sản phẩm có thời gian sản xuất không quá 9 phút là 9 9 1
𝑃(𝑋 ≤ 9) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥= ∫ 𝑘𝑑𝑥 = −∞ 8 4
Suy ra 𝑘 = 1 dẫn đến B=12 4
Vậy thời gian trung bình để sản xuất 1 sản phẩm loại M là 𝐸(𝑋) = 8+12 = 10 (𝑝ℎú𝑡). 2
Bài tập Xe buýt xuất hiện tại bến đợi từ 7 giờ sáng và cứ 15 phút có một chuyến. Thời gian
đi từ nhà đến bến đợi của cô H là biến ngẫu nhiên X (đơn vị: phút) có phân phối đều trên
(10; 20). Cô H phải rời nhà lúc mấy giờ để xác suất cô H đi được chuyến xe buýt lúc 7 giờ là 0,2.
Ví dụ (phân phối chuẩn): Nhà máy M sản xuất một loại trục máy có đường kính là biến
ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với giá trị trung bình là 1,5 cm và độ lệch chuẩn là
0,01cm. Nhà máy M đã sản xuất 10000 trục máy loại này. Gọi Y là số trục máy có đường 8
Ôn tập Xác suất Thống kê ứng dụng (
Math132901) Cô Nhung - Năm học 2019-2020
kính từ 1,58cm đến 1,62cm trong 100 trục máy đã sản xuất. Tính kỳ vọng và phương sai của Y và P(Y≥95). Giải 𝑋 − 1,4
𝑋~𝑁 (1,4; 0,012) ⇒ 𝑍 = 0,01 ~𝑁(0,1)
Xác suất 1 trục máy có đường kính từ 1,58cm đến 1,62cm 𝑝
1,38 − 1,4 𝑋 − 1,4 1,42 − 1,4
0 = 𝑃(1,38 ≤ 𝑋 ≤ 1,42) = 𝑃 ( 0,01 ≤ 0,01 ≤ 0,01 )
= 𝑃(−2 ≤ 𝑍 ≤ 2) = 2∅(2) = 0,9545
Gọi Y là số trục máy có đường kính từ 1,58cm đến 1,62cm trong 100 trục máy đã sản xuất
𝑌~𝐵(100; 𝑝0) ⇒ 𝐸(𝑌) = 𝑛𝑝0 = 95,45
𝐷(𝑌) = 𝑛𝑝0(1 − 𝑝0) = 95,45.0,0455 100
𝑃(𝑌 ≥ 95) = ∑ 𝐶 𝑘 𝑘
100 𝑝0 (1 − 𝑝0)100−𝑘 𝑘=95
Bài tập Tuổi thọ một thiết bị điện là X (năm) có phân phối chuẩn N(25;9). Quan sát một
thiết bị điện đã sử dụng 10 năm và vẫn còn hoạt động. Tính xác suất thiết bị đó có tuổi thọ dưới 30 năm.
Ví dụ (phân phối mũ): Thời gian sử dụng (đơn vị: năm) của một sản phẩm G là biến ngẫu
nhiên có phân phối mũ. Biết thời gian sử dụng trung bình của sản phẩm G là 3 năm và mỗi
sản phẩm G được bảo hành 1 năm. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm G, tính xác suất sản
phẩm này có thời gian sử dụng vượt quá thời gian bảo hành. Giải
Gọi 𝑋 là thời gian sử dụng của một sản phẩm G; 𝑋 có phân phối mũ với tham số 𝜆 = 1. 3
Tỷ lệ sản phẩm G có thời gian sử dụng vượt quá thời gian bảo hành là 1
𝑃(𝑋 > 1) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 1 − 𝐹(1) = 𝑒−13 = √3 𝑒
Bài tập Tuổi thọ X (đơn vị: năm) của sản phẩm do nhà máy M sản xuất là biến ngẫu nhiên
có phân phối mũ với tham số bằng 0,1. Mua một sản phẩm của nhà máy M đã sử dụng rồi,
tính xác suất sử dụng được sản phẩm thêm 10 năm nữa.
+) Định lý xấp xỉ phân phối nhị thức B(n, p) thành phân phối chuẩn khi n rất lớn. 9
Ôn tập Xác suất Thống kê ứng dụng (
Math132901) Cô Nhung - Năm học 2019-2020
Ví dụ: Nhà máy M sản xuất các sản phẩm với xác suất đạt chuẩn mỗi sản phẩm là 0,85.
Một nhà phân phối mua 100.000 sản phẩm. Gọi Y là số sản phẩm đạt chuẩn trong 100000
sản phẩm này. Tính E(Y), D(Y) và P(Y>85.000). 10