Bài tập xác suất và thống kê | Môn Xác suất thống kê Trường đại học sư phạm kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh

Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
BÀI TẬP XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ( 03 chỉ)
BÀI TẬP CHƯƠNG 2: PHÉP TÍNH XÁC SUẤT
A. Không gian mẫu và biến cố:
Bài 1: Lớp có 10 sinh viên giỏi toán, 7 sinh viên giỏi anh và 3 sinh viên vừa giỏi toán, giỏi anh.
A là biến cố sinh viên giỏi toán .
B là biến cố sinh viên giỏi anh.
Tìm C = biến cố sinh viên giỏi 2 môn = ?
D = biến cố sinh viên giỏi ít nhất 1 môn = ? Giải Cách 1:
1 môn: chỉ giỏi toán: 10-3=7 sinh viên
Chỉ giỏi anh : 7-3=4 sinh viên 2 môn: 3 sinh viên
Giỏi ít nhất 1 môn : 7+4+3= 14 sinh viên Cách 2: 10+7-3=14
Bài 2: Tung 1 con xúc xắc. Các biến cố nào xung khắc, các biến cố nào đối lập nhau? A={1,3,5} B={2,3,6} C={2,6} D={1,4} E={2,4,6} Giải
Cặp xung khắc A,C / A,E / B,D / C,D Cặp đối lập A,E B. Giải tích tổ hợp:
Bài 3: 5 người lên 7 toa tàu một cách ngẫu nhiên. Có bao nhiêu trường hợp xảy ra 1
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
a/ có thể xảy ra ĐS: (16807)
b/ 5 người cùng lên toa thứ 3 ĐS: (1)
c/ 5 người cùng lên một toa ĐS: (7)
d/ 5 người lên 5 toa đầu và mỗi người một toa. ĐS: (120)
Bài 4 : Ba người A, B, C đặt vé ô tô hãng Z đi đến cùng một nơi, cùng ngày và cùng giờ.
Hãng xe Z sắp xếp 3 người này lên 5 xe một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất 3 người này
đi trên 3 xe khác nhau. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 5: Một lô hàng có 10 sp trong đó có 8 sp tốt. Lấy ngẫu nhiên 1 sp từ lô hàng này.
Tính xác suất để được sản phẩm tốt. ĐS: (0.8)
Bài 6: Trong một hộp có 6 chiếc tất mầu trắng và 8 chiếc tất màu đen. Lấy ngẫu nhiên 2
chiếc từ hộp. Tính xác suất lấy được 2 chiếc cùng mầu. Người lấy cần lấy ra tối thiểu bao
nhiêu chiếc để chắc chắn lấy được 2 chiếc cùng màu. ĐS: (43/91; 7) Lời giải
Xác suất để lấy ra 2 chiếc cùng màu: 𝐶   + 𝐶 43 𝐶 =  91
Cần lấy tối thiểu 3 chiếc để có được 2 chiếc cùng màu.
Bài 7: Một cửa hàng có 30 máy tính, trong đó có 20 máy tính do cty A sản xuất và 10
máy tính do cty B sản xuất. Một khách hàng đến cửa hàng mua 3 máy tính. Giả sử khả
năng được mua của mỗi máy là như nhau. Tính xác suất để khách hàng này mua được 2
máy của A và 1 máy của B.
Bài 8: Một hộp có 8 quả cam và 7 quả táo. Lấy ra 5 quả. Tính Xác suất lấy được ít nhất 1 quả cam trong 5 quả. ĐS: (142/143) Lời giải 𝐶 142 1 −  𝐶  =  143
Bài 9: Một lớp có 30 sinh viên, trong đó có 5 nữ sinh giỏi tiếng anh; 6 nam sinh giỏi vi
tính. Chọn ngẫu nhiên 2 sinh viên lớp này. Tính xác suất chọn được 2 sinh viên cùng giới
và cùng giỏi tiếng anh hoặc cùng giỏi vi tính. Đs: 5/87 Giải 2
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
Gọi A là biến cố chọn được 2 sinh viên cùng giới và cùng giỏi tiếng anh hoặc cùng giỏi vi tính
Số cách chọn 2 sinh viên bất kì: 2   C 30 Số cách cho biến cố A: 2 2 A  C  C 5 6 2 2  Vậy xs cần tìm là: C C 5 5 6 P(A)   2 C 87 30
Bài 10: Lớp A có 30 sinh viên trong đó có 20 sinh viên nữ. Lớp B có 40 sinh viên trong
đó có 28 sinh viên nữ. Gọi ngẫu nhiên 2 sinh viên lớp A và 2 sinh viên lớp B. Tính xác
suất trong các sinh viên gọi được có hai sinh viên nữ. ĐS: (215/754)
Bài 11: Có 2 lô hàng: lô I gồm 10 sản phẩm trong đó có 2 phế phẩm; lô II gồm 8 sản
phẩm trong đó có 1 phế phẩm. Từ mỗi lô lấy ngẫu nhiên cùng lúc 2 sản phẩm để kiêm
tra. Tình xác suất cả 4 sản phẩm đều tốt. Đs: 7/15
Hướng dẫn: Lô 1: 10 sp ( 2 xấu , 8 tốt)
Lô 2: 8 sp (1 xấu, 7 tốt) Lấy mỗi lô 2 tốt 2 2 Xs: C C 7 8 7 ( P ) A  .  2 2 C C 15 10 8
Bài 12: Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ một lô hàng có 15 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm
xấu bỏ vào một lô khác có 13 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu. Tính xác suất để số sản
phẩm tốt hoặc số sản phẩm xấu trong 2 lô bằng nhau. Đs: 5/38
Hướng dẫn : Lô 1: 15 tốt, 5 xấu => 3sp Lô 2: 13 tốt, 1 xấu
Để số tốt hoặc xấu bằng nhau thì lấy từ lô 1 ra 1 tốt và 2 xấu Gọi A là…. 1 2 C .C 5 Vậy xs là: 15 5 P(A)   3 C 38 20 3
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
Bài 13: Một lô hàng có 50 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm. Một người mua kiểm tra
bằng cách lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm từ lô hàng, nếu có không quá một phế phẩm trong
các sản phẩm được lấy ra thì mua lô hàng. Tính xác suất lô hàng được mua. Đs: 0,8258
Hướng dẫn: ko quá 1 phế phẩm trong 10 sp (  1 phế phẩm)
 0 phế phẩm + 1 phế phẩm Gọi A là biến cố…… 10 1 9 C  C C Vậy xác suất là : 46 4 46 P(A)   0.8258 10 C50
Bài 14: Một lô hàng gồm 9 sản phẩm loại 1; 6 sản phẩm loại 2. Lấy ngẫu nhiên 2 sản
phâm từ lô hàng này. Tính xác suất 2 sản phẩm lấy ra khác loại . Đs: 18/35
Bài 15: Cho hai đường thẳng song song  ;  . Năm điểm A , B ,C ,D ,E nằm trên 1 2 1 1 1 1 1
 và sáu điểm A ,B ,C ,D , E ,F nằm trên  . Lấy ngẫu nhiên 3 điểm trong 11 1 2 2 2 2 2 2 2
điểm. Tính xác suất lấy được 3 đỉnh của một tam giác. Đs: 9/11 Giải 2 1 1 2 C .C  C .C 5 6 5 6 P(A)  3 C11
Bài 16: Có 3 đường thẳng song song nằm ngang cắt 4 đường thẳng song song thẳng
đứng. Tính xác suất để được một hình chữ nhật ? (đáp án: xem video bài giải)
Bài 17: Gieo đồng thời 2 con xúc sắc đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện
trên 2 con xúc sắc bằng 9. ĐS: (1/9) Lời giải
Tổng số chấm = 9 có các trường hợp (3,6) và (4,5)
n = 62 = 36, có 4 trường hợp thỏa mãn  Xác suất = 1/9
Bài 18: Có 5 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 5. Lấy ngẫu nhiên 3 tấm và xếp thành một
hàng, tính xác suất để được một số chia hết cho 3. ĐS: (2/5) 4
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021 Lời giải
Từ 1 đến 5, có các số chia 3 dư 1 (1,4), chia 3 dư 2 (2,5) và chia hết cho 3(3).
Muốn chia hết cho 3 thì cần 1 số chia dư 1, 1 số chia dư 2, và một số chia hết.
Số thứ nhất có 3 loại số để chọn, số thứ 2 có 2 loại, số thứ 3 có 1 loại.
Trong đó loại 1( chia 3 dư 1) có 2 cách, loại 2 (chia 3 dư 2) có 2 cách, chia hết có 1 cách.  ××××  =  =  ××  
Bài 19: Xếp chỗ 9 người trong đó có 2 người A và B vào một bàn dài. Tính xác suất hai
người A và B ngồi cách nhau đúng 3 người. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 20: Mỗi bàn có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 3 ghế. Người ta muốn xếp cho
3 sinh viên nữ và 3 sinh viên nam vào bàn trên. Tính xác suất để hai sinh viên bất kỳ ngồi
đối diện thì khác giới tính nhau? (đáp án: xem video bài giải) Hướng dẫn: Nam 1: có 6 cách Nam 2: 4 cách Nam 3: 2 cách 3 nữ: 3! Suy ra m= 6.4.2.3! Còn n=6! Rồi tính xac suất
Bài 21*: Xếp ngẫu nhiên 30 sinh viên, trong đó có 2 sinh viên là A và B, ngồi trong 1
phòng có 15 bàn, mỗi bàn có 3 ghế. Tính xác suất để 2 sinh viên A và B ngồi cùng 1 bàn. Đs: 0,04545 Hướng dẫn: m P( ) A A  n
Số trường hợp xếp 30 người vào 15x3 chỗ: 30 n  A 45
Số trường hợp xếp A: 45 5
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021 B cạnh A: 2
28 người còn lại vào 43 chỗ: 28 A 43 28 m  A .45.2 A 43 Rồi tính……
Bài 22*: Chia ngẫu nhiên 30 sản phẩm, trong đó có 20 sản phẩm loại 1 và 10 sản phẩm
loại 2 thành 2 phần, mỗi phần 15 sản phẩm. Tính xác suất để phần nào cũng có ít nhất 9
sản phẩm loại 1. Đ/s: 0,7549 Giải 9 6 11 4 C *C C *C
P(phần I có 9 loại I, phần II có 11 loại I)= 20 10 11 4 *  15 15 C C 30 15 11 4 C *C
P(phần I có 11 loại I, phần II có 9 loại I)= 20 10  15 C30 10 10 C *C
P(phần I có 10 loại I, phần II có 10 loại I)= 20 10  15 C30
Bài 23: Trong một lô hàng có 3 sản phẩm loại 1, 4 sản phẩm loại 2 và 5 sản phẩm loại 3.
Chia ngẫu nhiên 12 sản phẩm này ra làm 2 phần bằng nhau. Tính xác suất để mỗi phần
đều có cả 3 loại sản phẩm ĐS: (60/77) Lời giải
Gọi A là biến cố một phần có 1 sản phẩm loại 1, 1 sản phẩm loại 2 và 4 sản phẩm loại 3;
B là biến cố một phần có 1 sản phẩm loại 1, 2 sản phẩm loại 2 và 3 sản phẩm loại 3; C là biến cố
một phần có 1 sản phẩm loại 1, 3 sản phẩm loại 2 và 2 sản phẩm loại 3. Khi đó D = A + B + C là
biến cố mỗi phần đều có cả 3 loại sản phẩm. 2 2
𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) = 2(3 × 4 × 5 + 3 × 𝐶4 + 3 × 4 × 𝐶5 ) 60 𝐶 =  77 6
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
Bài 24: Một hộp chứa 18 sản phẩm loại I và 7 sản phẩm loại II. Hai người lần lượt lấy
ngẫu nhiên không hoàn lại mỗi người 2 sản phẩm từ hộp này. Tính xác suất trong các sản
phẩm lấy ra có ít nhất 2 sản phẩm loại I. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 25: Một hộp có 20 vé, trong đó có 4 vé trúng thưởng. Hai người lần lượt lấy ngẫu
nhiên mỗi người 2 vé từ hộp này. Tính xác suất để mỗi người lấy được ít nhất 1 vé trúng thưởng. ĐS: (0.11287) Lời giải
Xác suất mỗi người trúng 2 vé: 𝐶   × 𝐶 𝐶  = 𝐴  × 𝐶
Xác suất mỗi người trúng 1 vé: 𝐶   
 × 𝐶 × 𝐶 × 𝐶 𝐶   = 𝐵  × 𝐶
Xác suất 1 người trúng 1 vé, 1 người trúng 2 vé: 𝐶   
 × 𝐶 × 𝐶 × 𝐶 𝐶  = 𝐶  × 𝐶 Kết quả: A+B+C = 0.112487
Bài 26: Xếp chỗ ngẫu nhiên 4 sinh viên vào 3 phòng. Tính xác suất phòng nào cũng có
sinh viên trong 4 sinh viên này. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 27*: 6 khách vào 1 ngân hàng có 4 quầy phục vụ. Tính xác suất để quầy nào cũng
có khách đến. Đs: 0,3808 Hướng dẫn: TH1: 6=3+1+1+1
C2họn 1 quầy 3 người : 1 C 4
Chọn 3 người vào quầy 3 người: 3 C 6 3 người còn lại : 3! Số cách: 1 C . 3 C .3! 4 6 TH2: 6=2+2+1+1 Chọn 2 quầy 2 người: 2 C 4 7
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
Chọn 2 người vào quầy 2 người thứ nhất: 2 C 6
Chọn 2 người vào quầy 2 người thứ hai: 2 C 4 2 người còn lại: 2! Số cách 2 C . 2 C . 2 C .2! 4 6 4 m= TH1 +TH2 rồi n= 4^6 từ đó tính xs
Bài 28*: Trong một lớp có 30 sinh viên có 8 sinh viên giỏi tiếng anh; 7 sinh viên giỏi tin
học và 4 sinh viên giỏi cả 2 môn. Chọn ngẫu nhiên 4 sinh viên từ lớp để thực hiện nhiệm
vụ. Tính xác suất 4 sinh viên này hoàn thành nhiệm vụ, biết nhiệm vụ chỉ có thể hoàn
thành nếu 4 sinh viên này phải có sinh viên giỏi Anh và phải có sinh viên giỏi vi tính. Đs: 0,551 Hướng dẫn:
P( hoàn thành nhiệm vụ)= 1-P(ko hoàn thành nhiệm vụ)
=1-P(có người giỏi anh hoặc ko giỏi gì+ có người giỏi tin hoặc ko giỏi gì – 4 người không giỏi gì) 4 4 4 C  C  C = 22 23 19 1  0,551 4 C30
Bài 29* Có 4 cầu thủ mặc áo có số lần lượt là 1, 2, 3, 4 ngồi ngẫu nhiên vào 4 ghế được
đánh số là 1, 2, 3, 4. Tính xác suất để có ít nhất một cầu thủ có số áo và số ghế trùng nhau. ĐS: (0.625) Lời giải TH1: 4 cặp trùng: A = 1
TH2: 2 cặp trùng: B = 𝐶 × 1
TH3: 1 cặp trùng: C = 𝐶 × 2 Không gian mẫu n = 4! = 24
Đáp số: 𝑃 =  = 0.625  8
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
C. Công thức xác suất cơ bản:
* Công thức cộng, điều kiện, nhân:
Bài 30 (công thức cộng): Một công ty sản xuất giày dép thống kê được trong số các
khách đến xem sản phẩm có 50% khách mua giày (những người này có thể mua dép hoặc
không), 40% khách mua dép (những người này có thể mua giày hoặc không) và 20%
khách mua cả giày và dép. Tính xác suất để một khách đến xem có mua sản phẩm của công ty. ĐS: (70%)
Bài 31: Công ty M đấu thấu 2 dự án A, B với xác suất trúng thầu lần lượt là 0,4 và 0,3.
Xác suất cả 2 dự án cùng trúng thầu là 0,1
a/ Tính xác suất có ít nhất 1 dự án trúng thầu.
b/ Tính xác suất không có dự án nào trúng thầu.
c/ Tính xác suất chỉ có dự án A trúng thầu. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 32 : Chia ngẫu nhiên 12 sản phẩm gồm 7 sản phẩm loại A và 5 sản phẩm loại B
thành 3 phần, mỗi phần có 4 sản phẩm. Tính xác suất có ít nhất một phần chỉ có đúng 1
loại sản phẩm. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 33 (công thức điều kiện): Gieo 3 con xúc sắc đồng chất thấy số chấm xuất hiện trên
3 mặt là khác nhau.Tính xác suất có ít nhất một mặt có số chấm chia hết cho 5 xuất hiện.
(đáp án: xem video bài giải)
Bài 34 (công thức nhân): Một thủ kho có 1 chùm chìa khóa gồm 9 chiếc bề ngoài giống
hệt nhau, trong đó chỉ có 2 chiếc mở được kho. Anh ta thử ngẫu nhiên từng chìa (chìa nào
không đúng thì mở ra). Tính xác suất anh ta mở được cửa ở lần thứ ba. Đs: 1/6
Bài 35: Một hộp có 4 sản phẩm A và 6 sản phẩm B. Một người lấy ngẫu nhiên lần lượt
không hoàn lại từng sản phẩm trong hộp cho đến khi lấy được các sản phẩm khác loại thì
dừng. Tính xác suất người này dừng lại ở lần lấy thứ 3. Đs: (4/15) Lời giải
Gọi A là biến cố dừng lại ở lần 3, khi đó: 6 5 4 4 3 6 4
𝑃(𝐴) = 10 ×9 ×8 + 10 ×9 × 8 = 15
Bài 36: Một chi tiết được gia công qua 3 công đoạn liên tiếp với khả năng gây ra khuyết
tật cho chi tiết ở mỗi công đoạn là độc lập và lần lượt là 0,1; 0,05 và 0,04.
Tính xác suất sau khi gia công chi tiết có lỗi. (đáp án: xem video bài giải) 9
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
Bài 37: Một phân xưởng có 3 máy hoạt động độc lập. Xác suất các máy đó hỏng trong
một ngày làm việc tương ứng là 0,02; 0,04; 0,07. Biết có đúng 1 máy bị hỏng, tính xác
suất máy thứ nhất bị hỏng.
Đs: (0.02 x (1-0.04) x (1-0.07) = 0.017856)
Bài 38: Công ty M đầu tư vào 2 dự án A, B một cách độc lập, với xác suất dự án A, B
mang lại lợi nhuận lần lượt là 0,7 và 0,8. Biết chỉ có một dự án mang lại lợi nhuận, tính
xác suất đó là dự án A. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 39 : Trong lớp có 40 sinh viên nam và 10 sinh viên nữ. Gọi ngẫu nhiên lần lượt
từng sinh viên cho đến khi được 3 sinh viên nam thì dừng. Tính xác suất sinh viên gọi ra
thứ hai là nam biết rằng gọi tới sinh viên thứ 5 thì dừng. Giải ( P ) AB (
P sv thu hai la nam *dung o sv thu nam)
P(sv thu hai la nam / dung o sv thu nam)  P(A / B)   P(B) P(dung o sv thu nam) P (YYXXY X YYXY X YXYY) 3.P (YYXXY) 1    (
P YYXXY X YYXY X YXYY YXY XY YXXY Y XXYYY) 6.(YYXXY) 2
Do khi lấy lần lượt không hoàn lại , cấu trúc giống nhau ( yêu cầu 3 nam ) thì xác suất
các trường hợ bằng nhau.
Bài 40 : Biết 𝑃(𝐴) = 0,5; 𝑃(𝐵) = 0,4 và 𝑃(𝐴𝐵) = 0,2.
Tính xác suất ít nhất một trong hai biến cố 𝐴, 𝐵 xảy ra. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 41: Biết 𝑃(𝐴) = 0,5; 𝑃(𝐵) = 0,4 và 𝑃(𝐴𝐵) = 0,3
Tính xác suất hai biến cố 𝐴, 𝐵 không xảy ra. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 42: Biết 𝑃(𝐴) = 0,5; 𝑃(𝐵) = 0,4 và 𝑃(𝐴𝐵) = 0,2.
1/ Tính xác suất chỉ có cố 𝐴 xảy ra.
2/ Biết biến cố B đã xảy ra tính xác suất biến cố 𝐴 xảy ra. Đs: (0.3;0.5)
Bài 43: Biết 𝑃(𝐴) = 0,4; 𝑃(𝐵) = 0,65 và 𝑃(𝐴𝐵) = 0,25
Tính xác suất chỉ có biến cố 𝐴 xảy ra. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 44: Cho hai biến cố A, B xung khắc nhau và P(A)  0,3 ; P(B)  0,4 . Câu nào dưới đây sai: a / P(A / B)  0 b / ( P AB) 0,12 c/ ( P A  ) B  0,7 d / ( P A ) B  0,3
Bài 45 : Tính Biết 𝑃(𝐴) = 0,3; 𝑃(𝐵) = 0,25; 𝑃(𝐶) = 0,4 và 10
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
𝑃(𝐴𝐵) = 0,1; 𝑃(𝐴𝐶) = 0,2; 𝑃(𝐵𝐶) = 0,15; 𝑃(𝐴𝐵𝐶) = 0,05
1/ Tính xác suất không có biến cố nào trong 3 biến cố 𝐴, 𝐵, 𝐶 xảy ra
2/ Tính xác suất 2 biến cố A và B không xảy ra
3/ Tính xác suất có chỉ có biến cố C xảy ra trong 3 biến cố 𝐴, 𝐵, 𝐶
4/ Tính xác suất có ít nhất một biến cố A hoặc B xảy ra biết biến cố C xảy ra ĐS:
1/ Tính xác suất không có biến cố nào trong 3 biến cố 𝐴, 𝐵, 𝐶 xảy ra
𝑃(𝐴’𝐵’𝐶’) = 1 − 𝑃(𝐴 + 𝐵 + 𝐶) = 1 − (0,3 + 0,25 + 0,4 − 0,1 − 0,2 − 0,15 + 0,05) = 1 − 0,55 = 0,45
2/ Tính xác suất 2 biến cố A và B không xảy ra
𝑃(𝐴’𝐵’) = 1 − 𝑃(𝐴 + 𝐵) = 1 − (0,3 + 0,25 − 0,1) = 0,55
3/ Tính xác suất có chỉ có biến cố C xảy ra trong 3 biến cố 𝐴, 𝐵, 𝐶
𝑃(𝐴’𝐵’𝐶) = 𝑃(𝐴’𝐵’) − 𝑃(𝐴’𝐵’𝐶’) = 0,55 − 0,45 = 0,1
4/ Tính xác suất có ít nhất một biến cố A hoặc B xảy ra biết biến cố C xảy ra 𝑃(𝐴𝐶 + 𝐵𝐶) 𝑃 󰇡(𝐴 + 𝐵) 𝑃((𝐴 + 𝐵)𝐶) 𝐶  󰇢 = 𝑃(𝐶) = 𝑃(𝐶) = 0,75
𝑃(𝐴𝐶 + 𝐵𝐶) = 𝑃(𝐴𝐶) + 𝑃(𝐵𝐶) − 𝑃(𝐴𝐵𝐶) = 0,2 + 0,15 − 0,05 = 0,3
Bài 46 : Thống kê tại một cửa hàng tiện lợi cho thấy có 50% khách hàng đến mua đồ ăn
và 35% khách hàng đến mua đồ uống. Trong số những người đến mua đồ ăn có 20% là
mua đồ uống. Tính xác suất 1 khách hàng đến cửa hàng này mua ít nhất một nhóm mặt
hàng đồ ăn, thức uống. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 47 : Khu vực A trong thời gian thiếu điện bị cắt điện theo quy luật:
+) ngày lẻ xác suất bị cắt điện là 0,2;
+) ngày chẵn xác suất bị cắt điện khi ngày lẻ trước đó bị cắt điện là 0,1 còn nếu ngày lẻ
trước đó không bị cắt điện thì xác suất bị mất điện là 0,4.
Hỏi khả năng ngày chẵn bị mất điện là bao nhiêu? ĐS: (0.34) 11
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
Bài 48 : Thống kê tại một cửa hàng tạp hóa cho thấy có 40% khách hàng đến mua bột
giặt. Trong số những người đã mua nước xả có 35% mua bột giặt. Trong số những người
đến mua bột giặt có 20% là mua nước xả. Tính xác suất 1 khách hàng đến cửa hàng này
mua ít nhất một nhóm mặt hàng bột giặt, nước xả. Giải
P  A 0.4 , P A/ B  0.35 , PB / A 0.2  P  A B  Ta tính  P A B P A B P B / A  .   .        P  A 0.2 0.2 P  . A B  0.08 0.4  P A B P A / B  .  0.08   0.35  0.35 P  B  P B P B 0.22857
 P  A  B  P  A  P B  P  .
A B 0.4 0.22857 0.08  0.548 7 5 *Công thức đầy đủ:
Bài 49 : Ở một trạm xăng, 40% khách đổ xăng A95, 40% khách đổ xăng A92, và 20%
khách đổ xăng E5. Trong số những khách đổ xăng A95 chỉ có 50% khách đổ đầy bình;
với xăng A92 thì chỉ có 40% khách đổ đầy bình và với xăng E5 thì có 30% khách đổ đầy
bình. Biết người khách đến trạm xăng đã đổ đầy bình, tính xác suất người này đổ xăng A95. 12
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
Bài 50: Trong một kho hàng có 40% sản phẩm công ty A; 35 % sản phẩm công ty B, còn
lại là sản phẩm công ty C. tỷ lệ phế phẩm của công ty A là 1,5%; của công ty B là 1,7%
và của công ty C là 2%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho này. Tính xác suất để được
phế phẩm. Đs P(B)  0,4*0,015  0,35*0, 017  (1 0,4  0,35)*0,02  0,01695
Bài 51: Một công ty có 3 phân xưởng I, II, III cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỷ lệ
phế phẩm của phân xưởng I, II, III lần lượt là 2%,3%,5%. Một lô hàng của công ty này
có 48% sản phẩm của phân xưởng I, 22% sản phẩm của phân xưởng II, 30% sản phẩm
của phân xưởng III. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng, biết sản phẩm đó là phế
phẩm. Tính xác suất phế phẩm đó là của phân xưởng I. Đs : 0, 48* 0, 02
P (xuong 1/ fe fam )  P (A / B )   30,7% 1
0, 48 *0, 02  0, 22 *0, 03  0,3* 0, 05
Bài 52: 2% dân số một vùng có người mắc một loại bệnh A. Một loại xét nghiệm cho ra
kết quả dương tính đối với 94% người có bệnh và 4% với người không mắc bệnh. Già sử
các xét nghiệm được áp dụng độc lập với hai mẫu máu khác nhau từ cùng một cá thể
được lựa chọn ngẫu nhiên.
a/ Một người nhận được kết quả dương tính, tính xác suất cá nhân này thật sự mắc bệnh.
b/ Tính xác suất cả hai kết quả xét nghiệm có cùng chung 1 kết luận giải P(B/A1)= 0,94
B là biến cố dương tính
P (A )  2% that sư bị bệnh 1 Một người ( P B / A1) = 1- 0,94 âm tính P(B/A2)=4% dương tính
P(A ) 1 2% ko bị bệnh 2 13
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021 P(B / A 2) =
P(dương tính)=P(B)=2% * 0.94 + (1-2%)*4%=0.058 P(A ).P(B / A ) 2%*0.94 1 1
P(duong tinh that / duong tinh)  P(A / B)   1 P(B) 0.058 =
Bài 53: Ba cửa hàng bán nón bảo hiểm. Tỉ lệ nón không đạt tiêu chuẩn ở cửa hàng 1,2,3
lần lượt là 10%; 15%; 20%. Một người đến ngẫu nhiên một cửa hàng mua một nón thì
được nón đạt chất lượng. Tính xác suất người này mua ở cửa hàng thứ hai. Đs: 1/3
Bài 54: Một người có 4 nơi để đi câu cá với xác suất câu được cá lần lượt là 0,2; 0,25;
0,3 và 0,35. Người này đến ngẫu nhiên 1 nơi để câu cá. Tính xác suất người này câu được cá. ĐS: (0.275) Lời giải
Có 4 cách chọn nơi đi câu cá, do đó xác suất mỗi nơi là 1/4.
Gọi B là biến cố khi câu được cá:
P(B) = ¼ x (0.2 + 0.25 + 0.3 + 0.35) = 0.275
Bài 55: Có 3 lô hàng. Lô 1 có 8 sp tốt và 2 sp xấu. Lô 2 có 7 sp tốt và 1 sp xấu.Lô 3 có 9
sp tốt và 3 sp xấu. Chọn ngẫu nhiên 1 lô, rồi từ lô này lấy ra 2 sp thì được 2 sp khác loại.
tính xác suất 2 sp này là 2 sp của lô hàng 2. a/ 0,25 b/ 0,2678 c/0,2463 d/0,5463 ĐS: (0.2463) Lời giải
Xác suất chọn ra được mỗi loại 1 sp: 1 7 × 1 9 × 3 8 × 2
3 󰇧 𝐶 +  +  󰇨 = 0.338 = 𝐵  𝐶 𝐶
Xác suất chọn theo yêu cầu: 14
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021 1 3 7 × 1 𝐶   𝐵 = 0.2463
Bài 56: Có 3 kiện hàng. Kiện thứ nhất có 15 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Kiện thứ
hai có 17 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Kiện thứ ba có 19 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm
xấu. Lấy ngẫu nhiên một kiện hàng rồi từ kiện đó chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm và được 2
sản phẩm khác loại. Tính xác suất các sản phẩm được lấy từ kiện thứ hai. Đs: 0,39
Bài 57: Có 3 lô hàng. Lô 1: 8 sản phẩm tốt – 2 sản phẩm xấu. Lô 2: 7 sản phẩm tốt và 1
sản phẩm xấu. Lô 3: 9 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên một lô rồi từ lô
đó lấy ra 2 sản phẩm thì được 2 sản phẩm khác loại. Tính xác suất 2 sản phẩm này là 2
sản phẩm của lô 2. Đs:0,2464
Bài 58 : Có 3 gói quà được gửi tới tặng cho trẻ em ở nơi A. Gói thứ nhất đóng gói 25
bóng xanh và 15 bóng đỏ; gói thứ hai đóng gói 25 bóng xanh và 25 bóng đỏ; gói thứ ba
đóng gói 25 bóng xanh và 35 bóng đỏ. Một người chọn ngẫu nhiên một gói quà và từ đó
lấy ngẫu nhiên ra một quả bóng, thấy là bóng mầu đỏ. Tính xác suất quả bóng lấy ra này của gói quà thứ 2. ĐS: (12/35) Lời giải
Gọi A1 là biến cố lấy gói I. P(A1) = 1/3
Gọi A2 là biến cố lấy gói II. P(A2) = 1/3
Gọi A3 là biến cố lấy gói III. P(A3) = 1/3
B là biến cố lấy ra 1 bóng đỏ:
P(B| A1) = 3/8; P(B| A2) = 1/2; P(B| A3) = 7/12
=> P(B) = P(B| A1). P(A1) + P(B| A2). P(A2) + P(B| A3). P(A3) = 35/72
Xác suất bi đỏ của gói II = P(B| A2). P(A2)/ P(B) = 12/35
Bài 59: Một thùng có 3 túi I và 5 túi II. Túi I có 3 bi xanh, 4 bi đỏ. Túi II có 5 bi xanh, 7
bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên một túi từ thùng, sau đó lấy 2 bi từ túi vừa lấy được.
a/Tính xác suất lấy được hai bi xanh.
b/ Giả sử lấy được 2 bi xanh, tính xác suất bi xanh này của túi I ĐS: (137/924;99/274) Lời giải
Gọi A1 là biến cố lấy túi I. P(A1) = 3/8
Gọi A2 là biến cố lấy túi II. P(A2) = 5/8
B là biến cố lấy 2 bi xanh. P(B| A1) = 1/7; P(B| A2) = 5/33
=> P(B) = P(A1). P(B| A1) + P(A2). P(B| A2) = 137/924
Xác suất 2 bi xanh của túi I = P(A1). P(B| A1)/ P(B) = 99/274 15
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
Bài 60: Một lô hàng chứa 70 sản phẩm của nhà máy A và 30 sản phẩm của nhà máy B.
Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lô hàng này để kiểm tra và thấy cả 2 sản phẩm đều đạt chuẩn.
Tính xác suất để cả 2 sản phẩm đạt chuẩn này đều là sản phẩm của nhà máy A, biết xác
suất mỗi sản phẩm của nhà máy A đạt chuẩn là 0,9 và xác suất mỗi sản phẩm của nhà
máy B đạt chuẩn là 0,95
(đáp án: xem video bài giải) * Công thức Bernoulli:
Bài 61: Công ty M đấu thấu 2 dự án A, B một cách độc lập với xác suất trúng thầu lần lượt là 0,4 và 0,3.
a/ Tính xác suất có ít nhất 1 dự án trúng thầu.
b/ Tính xác suất không có dự án nào trúng thầu.
c/ Tính xác suất chỉ có dự án A trúng thầu. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 62*: (2011) Một người đem bán 5 lô hàng; mỗi lô có 10 sản phẩm, trong đó có 1 sản
phẩm hỏng. Người mua lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô 2 sản phẩm để kiểm tra, nếu lô nào có 2
sản phẩm kiểm tra đều tốt thì mua lô đó. Tính xác suất người này bán được ít nhất 2 lô. Đs: 0,99328
Bài 63*: Có 5 sinh viên trường Đại học M và 4 sinh viên trường Đại học P cùng nộp hồ
sơ tuyển dụng vào công ty X. Xác suất mỗi sinh viên trường M; P được tuyển lần lượt là
0,6 và 0,5. Tính xác suất có đúng 2 sinh viên được chọn trong 9 sinh viên này biết việc
lựa chọn các ứng viên là độc lập. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 64*: Có 5 người tốt nghiệp loại Khá, 2 người tốt nghiệp Trung bình và 3 người tốt
nghiệp loại Giỏi cùng ứng tuyển vào công ty A. Thống kê cho thấy xác suất một người
tốt nghiệp loại Giỏi, Khá, Trung bình được tuyển là 0,8; 0,7 và 0,5; Biết có đúng 1 người
được tuyển, tính xác suất người đó tốt nghiệp loại Khá. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 65*: (2009) Công ty A cần tuyển nhân viên. Có 2 sinh viên tốt nghiệp loại giỏi, 5
sinh viên tốt nghiệm loại khá và 9 sinh viên tốt nghiệp loại trung bình dự tuyển vào công
ty A. Xác suất để một sinh viên tốt nghiệp loại giỏi, khá, trung bình được dự tuyển vào
công ty A tương ứng là 0,9 ; 0,7 ; 0,5. Công ty A chỉ tuyển được 1 người. Tính xác suất
để người được tuyển tốt nghiệp loại trung bình. Đs: 0,2327 16
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
CHƯƠNG 3: BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC và PHÂN PHỐI XÁC SUẤT A. Biến rời rạc:
Bài 1 : Hộp có 10 viên bi đỏ và 4 bi xanh. Lấy ra 3 bi. X là số bi đỏ trong 3 bi lấy ra.
a/ Tìm hàm xác suất của X
b/ Tìm hàm phân phối tích luỹ của X. c/ Tính kì vọng của X
d/ Tính phương sai của X, độ lệch chuẩn của X
(đáp án: xem video bài giải)
Bài 2: Tính a/ E (5X  7Y 1) b/V (4X  2Y  3) (đáp án: xem video bài giải)
Bài 3: Cho X là BNN có luật phân phối. Tính P(X  20)? đ/s: 0.8 X 10 25 40 P 0,2 0,19 0,61
Bài 4: Gọi X là điểm số của học sinh một lớp, có hàm phân phối xác suất như sau : X 3 4 6 7 8 P 0.2 0.2 0.1 0.2 0.3
Tìm điểm trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn, giá trị tin chắc và trung vị? 17
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
Đs: 5.8; 3.96; 1.989; 8; Med X = 6 hoặc 7
Bài 5: Cho BNN X có tập các giá trị có thể có là 0, 1, 3 và 5. U 0 1 3 5 PX(u) 0,1 0,15 p 0,35 1) p? đ/s: 0,4
2) P(13) P(X2>1)= ? đ/s: 0,75
4) P((X>1)/(X<5)) ? đ/s: 8/13 5) E(X)=? đ/s: 3,1 6) V(X)=? đ/s : 2,8 Giải:
7) 0,1+0,15+p+0,35=1 Nên p=0,4
8) P(19) P(X2>1)= P(X>1)+P(X<-1)=P(X=3)+P(X=5)=0,75
10) P((X>1)/(X<5)) =() = () = , =  =  ()
()()() ,  
11) E(X)=0.0,1+1.0,15+3.0,4+5.0,35=3,1
12) V(X)=E(X2)-(E(X))2= 02.0,1+12.0,15+32.0,4+52.0,35 - 3,12 = 2,89
Bài 6: Một hộp có 4 chiếc tất màu xanh, 6 chiếc tất mầu trắng và 8 chiếc tất mầu đen.
Một người lấy ngẫu nhiên ra 2 chiếc tất. Gọi X là số tất màu xanh được lấy ra.
a. Hãy tìm hàm xác suất của X; từ đó tính E(X); V(X). đs E(X)=0.44 ; V(X)=0.325
b. Người này cần lấy ra ngẫu nhiên mấy chiếc tất để chắc chắn lấy được 2 chiếc cùng mầu? đs: 4
Bài 7: Một kiện hàng có 4 sản phẩm loại A và 6 sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên không
hoàn lại từ kiện ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại A trong hai sản phẩm lấy ra. Tính phương sai của X. a/ 87/225 b/ 32/75
c/ 0,5267 d/ cả a/b/c đều sai đs: b
Bài 8*: Trong một chiếc hộp có 5 bóng đèn trong đó có 3 bóng tốt và 2 bóng hỏng. Một
người thử lần lượt từng chiếc cho đến khi lấy được 2 bóng tốt thì dừng lại. Gọi X là số 18
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
lần thử bóng đèn của người này. Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X. đs: E(X)=3; V(X)= 0.6; 0.7745 Giải P(TT)=P(X=2)=3/5*2/4=3/10
P(TXT+XTT)=P(X=3)=2*3/5*2/4*2/3=24/60=2/5 3 2 1 2 3
P(TXXT +XXTT+XTXT)=P(X=4)=  . . . *3  5 4 3 2 10
Bài 9: Lấy ngẫu nhiên 6 sản phẩm trong một lô hàng có 60 sản phẩm của nhà máy A và
40 sản phấm của nhà máy B. Gọi X là số sản phẩm của nhà máy A trong các sản phẩm
lấy ra. Tính xác suất có nhiều nhất 3 sản phẩm của nhà máy A.
Bài 10: Một hộp có 5 bi nặng 10g; 5 bi nặng 50g và 2 bi nặng 20g. Chọn ngẫu nhiên 1 bi
và gọi X là trọng lượng bi đó. Tính EX; VX ;  (X ) ; Mod X. Giải
P(X=10)=5/12 ; P(X=50)=5/12 ; P(X=20)=2/12 …..
đs : 85/3 ; 3125/9 ; 10 hoặc 50
Bài 11: Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 7 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu
nhiên ra 3 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm xấu lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của
X. Tính kì vọng và phương sai X, Mod X, Med X. Đs: 0,49
Bài 12: Một lô hàng có 9 sản phẩm loại 1 và 6 sản phẩm loại 2. Lấy ngẫu nhiên 2 sản
phẩm từ lô hàng này. Gọi X là số sản phẩm loại 1 còn lại trong lô hàng. Tìm luật phân
phối xác suất của X và tính EX, DX. Đs: EX=7,8 Giải
P(lấy 2 loại 2)=P(X=9)=6C2 / 15C2
P(lấy 2 loại 1)=P(X=7)=9C2 / 15C2
P(lấy 1 loại 2, 1 loại 1)=P(X=8)=9*6 / 15C2 19
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
Bài 13: Một tổ sản xuất 3 mô tơ hoạt động độc lập nhau, xác suất bị hư của mô tơ 1,2,3
trong ca làm việc lần lượt là 0,1 ; 0,2 ; 0,3. Gọi X là số mô tơ bị hư trong ca làm việc. Tính EX. a/ 0,45 b/ 0,3 c/ 0,6 d/ 0,8 đs :c
Bài 14: Lớp A có 30 sinh viên trong đó có 20 sinh viên nữ. Lớp B có 40 sinh viên trong
đó có 25 sinh viên nữ. Gọi ngẫu nhiên 2 sinh viên trong lớp A và 2 sinh viên trong lớp B.
Gọi X là số sinh viên nữ trong số 4 sinh viên gọi ra. Tìm hàm xác suất của X, từ đó tính
số sinh viên nữ trung bình trong số 4 sinh viên gọi ra. Giải X 0 1 2 3 4 P 2 2 C C 2 20*10 C 2 2 2 2 C C C C 2 2 C 15*25 10*30 C 2 2 C C 10 15 * 15 * 10 25 20 15 *  * 20 25 *  * 20 25 * 2 2 C C 2 2 C C 2 2 2 2 C C C C 2 2 2 2 C C C C 2 2 C C 30 40 30 40 30 40 30 40 30 40 30 40 30 40 2 C 25*15 10* 20 15*25 10  *  * 2 2 C C 2 2 C C 30 40 30 40
Bài 15*: Xác suất mỗi sản phẩm của công ty A hỏng trong thời gian bảo hành là 0,1.
Khi bán 1 sản phẩm lãi 100 000 đ, nhưng nếu phải bảo hành thì lỗ 400 000đ. Công ty đã
bán được 45 000 sản phẩm. Gọi X là số tiền lãi công ty A thu được. Tính EX (đáp án: xem video bài giải)
Bài 16: Xác suất mỗi sản phẩm của công ty A hỏng trong thời gian bảo hành là 0,15. Khi
bán 1 sản phẩm lãi 100.000 đ, nhưng nếu phải bảo hành thì lỗ 300.000đ. Công ty đã bán
được 55.000 sản phẩm. Gọi X là số tiền lãi công ty A thu được. Tính EX . Đs: 2200 triệu
Bài 17*: Lấy ngẫu nhiên từng sản phẩm từ lô hàng có 3 sản phẩm loại I và 2 sản phẩm
loại II cho đến khi số sản phẩm loại I và loại II còn lại bằng nhau thì dừng. Gọi X là số
sản phẩm lấy ra. Tìm hàm xác suất của X, tính E(X) và V(X). đs: E(X)= 2.2 Giải
Hàm phân phối xác suất của X 𝑋 0 1 2 3 4 5 𝑝(𝑥) 0 0.6 0 0.2 0 0.2
Xác suất để sau 1 lần lấy thì số sản phẩm loại I và loại II còn lại bằng nhau 20