Bài toán chứa tham số trong phương trình bậc hai

Tài liệu gồm 38 trang, hướng dẫn phương pháp giải bài toán chứa tham số trong phương trình bậc hai, giúp học sinh rèn luyện khi học chương trình Đại số 9 và ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Mời bạn đọc đón xem.

Môn:

Toán 9 2.5 K tài liệu

Thông tin:
38 trang 9 tháng trước
Tác giả:
H
Hà Việt Anh
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Bài toán chứa tham số trong phương trình bậc hai

Tài liệu gồm 38 trang, hướng dẫn phương pháp giải bài toán chứa tham số trong phương trình bậc hai, giúp học sinh rèn luyện khi học chương trình Đại số 9 và ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Mời bạn đọc đón xem.

161 81 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn 22 tài liệu

Môn: Toán 9 2.5 K tài liệu

Thông tin:

38 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 1/38
BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ
TRONG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN
Ứng dụng hệ thức Vi-ét:
Xét phương trình bậc hai:
2 2
0 * , 0 , 4
ax bx c a b ac
.
Gọi
S
,
P
lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm
,
x x
. Hệ thức Viét:
1 2
1 2
b
S x x
a
c
P x x
a
.
Điều kiện
*
PT có hai nghiệm trái dấu
0
P
.
Điều kiện
*
PT có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
0
0
P
.
Điều kiện
*
PT có hai nghiệm phân biệt dương
0
0
0
S
P
.
Điều kiện
*
PT có hai nghiệm phân biệt âm
0
0
0
S
P
.
Các hệ thức thường gặp:
2
2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 . 2 . 2 . 2
x x x x x x x x x x x x S P
.
2
2
1 2 1 2 1 2
4 4
x x x x x x S P
.
2
2
2 1 1 2 1 2
4 4
x x x x x x S P
.
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4 . 4
x x x x x x x x x x x x S S P
.
2
3 3 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
. 3 . . 3
x x x x x x x x x x x x x x S S P
.
2
2 2 2
2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 . 2 2
x x x x x x x x x x x x x x
.
2
2 2
2 2
S P P
.
1 2
1 2 1 2
1 1
x x
S
x x x x P
.
2
2
1 2 1 2
2 1
1 2 1 2 1 2
4
1 1 4
x x x x
x x
S P
x x x x x x P
.
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 2/38
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 1 1 2 1 2 1 2
4
. 4
x x x x x x
x x x x
x x x x
S S P
x x x x x x x x P
2
3 3 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
. .
x x x x x x x x x x x x x x
.
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
4 . 4
x x x x x x x x S P S P
.
2 2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 . 4
x x x x x x x x S P S S P
.
II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1: Cho phương trình
2
2 1 2 1 0
m x mx
. Xác định
m
để phương trình trên có nghiệm thuộc
khoảng
1;0
.
Lời giải
Xét
1
2 1 0
2
m m
phương trình trở thành
1 0 1 1;0
x x
Xét
1
2 1 0
2
m m
khi đó ta có:
2
2 2
' 2 1 2 1 1 0
m m m m m
mọi
m
.
Suy ra phương trình có nghiệm với mọi
m
.
Ta thấy nghiệm
1
x
không thuộc khoảng
1;0
Với
1
2
m
phương trình còn có nghiệm là
1 1
2 1 2 1
m m
x
m m
Phương trình có nghiệm trong khoảng
suy ra
1 2
1 0 0
1
1 0 0
2 1 2 1
2 1
2 1 0 2 1 0
m
m
m m
m
m m
Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng
1;0
khi và chỉ khi
0
m
.
Câu 2: Cho phương trình
2 2
2 1 1 0
x m x m
(
x
là ẩn số)
a) Tìm điều kiện của
m
để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
b) Định
m
để hai nghiệm
1
x
,
2
x
của phương trình đã cho thỏa mãn:
2
1 2 1 2
3
x x x x
.
Lời giải
a)
2
2
2 1 4. 1 5 4
m m m
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
5
4
m
b) Phương trình hai nghiệm
5
4
m
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
1 2
2
1 2
2 1
1
x x m
x x m
Theo đề bài:
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 3/38
2
1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
2
2
1 2
1 2
3
4 3
2 1 4 1 3
3 5 4
x x x x
x x x x x x
m m x x
x x m
Ta có hệ phương trình:
1
1 2
1 2
2
1
2 1
2
3 5 4 3( 1)
2
m
x
x x m
x x m m
x
2
2 2
2
1 3( 1)
1
2 2
3 1 4 1
1 0
1
m m
m
m m
m
m
Kết hợp với điều kiện
1
m
là các giá trị cần tìm
Câu 3: Tìm
m
để phương trình
2
5 3 1 0
x x m
(
x
là ẩn số,
m
là tham số) có hai nghiệm
1
x
,
2
x
thỏa mãn
3 3
1 2 1 2
3 75
x x x x
Lời giải
2
5 4.1. 3 1 29 12
m m
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt
29
0
12
m
Áp dụng hệ thức Vi-ét
1 2
1 2
5
3 1
x x
x x m
Ta có:
3 3
1 2 1 2
3 75
x x x x
2
1 2 1 2 1 2 1 2
3 75
x x x x x x x x
1 2 1 2 1 2
25 3 75
x x x x x x
1 2 1 2 1 2 1 2
25 3 75
x x x x x x x x
1 2
3
x x
Kết hợp
1 2
5
x x
suy ra
1 2
1; 4
x x
Thay vào
1 2
3 1
x x m
suy ra
5
3
m
Vậy
5
3
m
là giá trị cần tìm
Câu 4: Cho phương trình
2
10 9 0
x mx m
(
m
là tham số)
a) Giải phương trình đã cho với
1
m
.
b) Tìm các giá trị của tham số
m
để phương trình đã cho có hai nghiệm
1
x
,
2
x
thỏa điều kiện
1 2
9 0
x x
Lời giải
a) Với
1
m
phương trình đã cho trở thành
2
10 9 0
x x
Ta có
0
a b c
nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là
1
2
1
9
x
x
b)
2
2
' 5 1.9 25 9
m m m m
Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là
2
' 0 25 9 0
m m
(*)
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 4/38
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
1 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1
2
1 2 1 2
10 10 10
9 0 9 9 9 ,(*) 1
9 9
0
9 9 0
1
x x m x m x m x m
x x x x x m x m m
x x m x x m
m
m m
m
Câu 5: Cho phương trình
2 2
2( 1) 1 0
x m x m m
(
m
là tham số)
a) Giải phương trình đã cho với
0
m
.
b) Tìm
m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt
1
x
,
2
x
thỏa mãn điều kiện
1 2
1 1
4
x x
Lời giải
a) Với
0
m
, phương trình đã cho trở thành:
2
2 1 0
x x
1,2
' 2 ; x 1 2
Vậy với
0
m
thì nghiệm của phương trình đã cho là
1,2
1 2
x .
b)
' 2
m
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
0 2 0 2
m m
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
1 2
2
1 2
2( 1)
1
x x m
x x m m
Do đó:
1 2
2
1 2 1 2
2 2
2 2
1 1 2( 1)
4 4 4
1
1
1 0 1 0
3
1 2( 1) 2 3 0
2
x x m
x x x x m m
m
m m m m
m
m m m m m
Kết hợp với điều kiện
3
1;
2
m
là các giá trị cần tìm.
Câu 6: Cho phương trình
2
2 (2 1) 1 0
x m x m
(
m
là tham số). Không giải phương trình, tìm
m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt
1
x
,
2
x
thỏa mãn
1 2
3 4 11
x x
Lời giải
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt
1
x
,
2
x
thì
0
2
2 1 4.2. 1 0
m m
2
2
4 12 9 0
2 3 0
3
2
m m
m
m
Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét và giả thiết ta có:
1 2
1 2
1 2
2m 1
x x
2
m 1
x .x
2
3x 4x 11
2
1
13 - 4m
x
7
7m 7
x
26 -8m
13 - 4m 7m 7
3 4 11
7 26 - 8m
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 5/38
Giải phương trình
13 - 4m 7m 7
3 4 11
7 26 - 8m
Ta được
2
4,125
m
m
Vậy
2
4,125
m
m
là các giá trị cần tìm
Câu 7: Cho phương trình
2 2
2( 1) 3 0
x m x m
(
m
là tham số).
a) Tìm
m
để phương trình đã cho có nghiệm.
b) Tìm
m
để phương trình đã cho có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.
Lời giải
a) Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
'
0
2
2
1 1. 3 0
m m
2 4 0
m
2
m
Vậy
2
m
là các giá trị cần tìm
b) Với
2
m
thì phương trình đã cho có hai nghiệm.
Gọi một nghiệm của phương trình đã cho là
a
thì nghiệm kia là
3
a
. Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
2
3 2 2
.3 3
a a m
a a m
2
2
1 1
3 3
2 2
m m
a m
2
6 15 0
m m
3 2 6
m
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy
3 2 6
m
là các giá trị cần tìm.
Câu 8: Cho phương trình
2 2
1 1
4 1 0
2 2
x mx m m
(
m
là tham số).
a) Giải phương trình đã cho với
1
m
.
b) Tìm
m
để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn
1 2
1 2
1 1
x x
x x
Lời giải
a) Với
1
m
phương trình trở thành
2 2
1 9
0 2 9 0
2 2
x x x x
1
2
1 10
1 10
x
x
b) Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì
0
2
2
1 1 1
4. . 4 1 0 8 2 0
2 2 4
m m m m m
Để phương trình có nghiệm khác 0
2
1
4 1 0
2
m m
1
2
4 3 2
4 3 2
m
m
Ta có
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
0
1 1
1 0
1 0
x x
x x x x x x
x x
x x
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 6/38
2
0
2 0
4 19
8 3 0
4 19
m
m
m
m m
m
Kết hợp với điều kiện ta được
0
4 19
m
m
Vậy
0
4 19
m
m
là các giá trị cần tìm.
Câu 9: Tìm tất cả các số tự nhiên
m
để phương trình
2 2
1 0
x m x m
(
m
là tham số) có nghiệm
nguyên.
Lời giải
2
2 4
4.1. 1 4 4
m m m m
Phương trình có nghiệm nguyên khi
4
4 4
m m
là số chính phương
Nếu
0
1
m
m
thì
0
(loại)
Nếu
2
m
thì
2
4 2
(nhận)
Nếu
3
m
thì
2
2 2 5 2 4 5 0
m m m m
2
4 2 4
2 2
2 2
2 4 5 4 4
2 1
1
m m m
m m m
m m
không là số chính phương.
Vậy
2
m
là giá trị cần tìm
Câu 10: Cho phương trình
2
2( 1) 3 0
x m x m
(
m
là tham số).
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào
m
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2
1 2
P x x
(với
1
x
,
2
x
là nghiệm của phương trình đã cho)
Lời giải
a)
2
2
' 2
3 7
1 1. 3 3 4 0
2 4
m m m m m
,
m
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
1 2 1 2
1 2 1 2
2( 1) 2 2
3 2 2 6
x x m x x m
x x m x x m
1 2 1 2
2 4 0
x x x x
không phụ thuộc vào
m
.
c)
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
2 4 1 2 3
P x x x x x x m m
2
5 15 15
2
2 4 4
m
,
m
Do đó
min
15
4
P
và dấu
" "
xảy ra khi
5 5
2 0
2 4
m m
Vậy
min
15
4
P
với
5
4
m
.
Câu 11: Cho phương trình
2
1 0
x mx m
(
m
là tham số).
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 7/38
a) Gọi hai nghiệm của phương trình là
1
x
,
2
x
. Tính giá trị của biểu thức
2 2
1 2
2 2
1 2 1 2
1
x x
M
x x x x
. Từ
đó tìm
m
để
0
M
.
b) Tìm giá trị của
m
để biểu thức
2 2
1 2
1
P x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
a) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
1 2
1 2
1
x x m
x x m
Ta có
2
2
2 2
1 2 1 2
1 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 1 2 1 1
1
1
x x x x m m
x x
M
x x x x x x x x m m
2
2
1
2 1
1 1
m
m m
m m m m
Để
2
0
1 0
1
1
0 0 1 0
0
1
0
1 0
m
m
m
m
M m m
m
m m
m
m
b) Ta có
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 1
P x x x x x x m m
2
2
2 1 1 0
m m m
,
m
Do đó
min
0
P
và dấu
" "
xảy ra khi
1 0 1
m m
Vậy
min
0
P
với
1
m
.
Câu 12: Cho phương trình
2
2 2 2 0
x m x m
(
m
là tham số). Tìm
m
để phương trình có hai
nghiệm
1
x
,
2
x
thỏa mãn
1 2
2
x x
Lời giải
Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm
1
x
,
2
x
là
1 2
1 2
' 0
0
0
x x
x x
2
1 0
2( 1) 0 0
2 0
m
m m
m
Theo hệ thức Vi-ét:
1 2
1 2
2 1
2
x x m
x x m
Ta có
1 2
2
x x
1 2 1 2
2 2
x x x x
2 2 2 2 2 0
m m m
(thoả mãn)
Vậy
0
m
là giá trị cần tìm.
Câu 13: Cho phương trình
2
1 0
x m x m
(
m
là tham số). Gọi
1
x
,
2
x
là hai nghiệm của phương
trình đã cho. Tìm giá trị của
m
để
2 2
1 2 1 2
2007
A x x x x
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ
nhất đó.
Lời giải
Ta có
2 2 2
[-(m+1)] 4 2 1 ( 1)
m m m m
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt
2
0 1 0 1
m m
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 8/38
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
1 2
1 2
1
x x m
x x m
Ta có
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2007 2007
A x x x x x x x x
2 2
1 1 3
1 2007 2007 2. . 2006
2 4 4
m m m m m m
2
1 8027 8027
2 4 4
m
,
m
Dấu
" "
xảy ra
1 1
0
2 2
m m
Vậy
min
8027
4
A với
1
2
m
.
Câu 14: Cho phương trình
2
2 2 1 0
x mx m
(
m
là tham số). Gọi
1
x
,
2
x
là hai nghiệm của phương
trình đã cho. Tìm giá trị của
m
để
2 2
1 2 1 2
A x x x x
đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
Ta có
2 2
2
2 4.1. 2 1 4 8 4 4 1
m m m m m
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt
2
0 1 0 1
m m
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
1 2
1 2
2
2 1
x x m
x x m
Ta có
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
A x x x x x x x x
2 2
1
1 2007 2 1 2 4 2 4
2
m m m m m m m m
2
2
1 1 1 1 1 1
4 2. . 4
4 16 16 4 4 4
m m m
,
m
Dấu
" "
xảy ra
1 1
0
4 4
m m
Vậy
max
1
4
A
với
1
4
m
.
Câu 15: Cho phương trình
2
2 1 2 5 0
x m x m
(
m
là tham số).
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
m
.
b) Tìm giá trị của
m
để phương trình có hai nghiệm
1
x
,
2
x
thỏa mãn
1 2
1
x x
.
Lời giải
a) Ta có
2
2
2 1 4.1. 2 5 4 12 22
m m m m
2 2
2 2.2 .3 9 13 2 3 13 0
m m m
,
m
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
m
.
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có
1 2
1 2
2 2
2 5
x x m
x x m
(I)
Theo giả thiết
1
1 2 1 2 1 2 1 2
2
1 0
1 1 1 0 1 0
1 0
x
x x x x x x x x
x
(II)
Thay (I) vào (II) ta có:
2 5 2 2 1 0 0. 2 0
m m m
, đúng với mọi
m
.
Vậy với mọi
m
thì phương trình trên có hai nghiệm
1
x
,
2
x
thỏa mãn
1 2
1
x x
.
Câu 16: Cho phương trình
2
2 0
x mx m
(
m
là tham số).
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 9/38
a) Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị
m
.
b) Định
m
để hai nghiệm
1
x
,
2
x
của phương trình thỏa mãn
2 2
1 2
1 2
2 2
. 4
1 1
x x
x x
.
Lời giải
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị
m
.
2 2 2
4.( 2) 4 8 ( 2) 4 4 0
m m m m m
,
m
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi
m
.
b) Vì
1 2 1 0
a b c m m
,
m
nên phương trình có 2 nghiệm
1 2
, 1
x x
,
m
.
Phương trình
2 2
2 0 2
x mx m x mx m
Ta có
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
. 4 . 4
1 1 1 1
x x mx m mx m
x x x x
2
2
1 2
1 2
( 1)( 1)
4 4 2
( 1)( 1)
m x x
m m
x x
Vậy
2
m
là các giá trị cần tìm.
Câu 17: Cho phương trình
2
1 0
x mx
(1) (
m
là tham số).
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.
b) Gọi
1
x
,
2
x
là các nghiệm của phương trình (1):
Tính giá trị của biểu thức:
2 2
1 1 2 2
1 2
1 1
x x x x
P
x x
Lời giải
a) Ta có
. 1. 1 1 0
a c
, với
m
nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu với
mọi
m
.
b) Ta có
2
1 1
2
2 2
1
1
x mx
x mx
do
1
x
,
2
x
là nghiệm của phương trình (1).
Do đó
2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 1 2
1 1 1 1 1 1
x x x x mx x mx x
P
x x x x
1 2
1 2
1 1
1 1 0
x m x m
m m
x x
vì
1
x
,
2
x
0
.
Vậy
0
P
.
Câu 18: Cho phương trình
2 2
2 1 1 0
x m x m
1
(
m
là tham số).
a) Tìm điều kiện của
m
để phương trình
1
có 2 nghiệm phân biệt.
b) Định
m
để hai nghiệm
1
x
,
2
x
của phương trình
1
thỏa mãn:
2
1 2 1 2
3
x x x x
.
Lời giải
a)
2
2
2 1 4.1. 1 4 5
m m m
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi
5
0 4 5 0
4
m m
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có
1 2
2
1 2
2 1
1
x x m
x x m
Ta có
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
3 4 4
x x x x x x x x x x x
2
2
2 2 2
3 3
2 1 4 1 2 1 4 6 6 4 0
2
m
m m m x m x x
Suy ra
1
1
2
m
x
Do đó
2 2
1 3 3
. 1 1 0 1
2 2
m m
m m m
(thỏa mãn điều kiện có nghiệm)
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 10/38
Vậy
1
m
là các giá trị cần tìm.
Câu 19: Tìm
m
để phương trình
2
2 2 1 0
x x m
(
m
là tham số) có hai nghiệm phân biệt
1
x
,
2
x
thỏa mãn điều kiện
2 2 2 2
2 1 1 2
( 1) ( 1) 8
x x x x
.
Lời giải
2
2 4.1. 2 1 8
m m
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi
0 8 0 0
m m
Theo hệ thức Vi-ét, ta có
1 2
1 2
2
2 1
x x
x x m
(I)
Ta có
2
2 2 2 2 2 2
2 1 1 2 1 2 1 2
( 1) ( 1) 8 2 ( ) 8
x x x x x x x x
2
2
1 2 1 2 1 2
2 ( ) 2 8
x x x x x x
(II)
Thay (I) vào (II) ta có:
2 2
2( 2 1) 4 2 2 1 8 2 3 2 0
m m m m
1
2
2
m
m
So với điều kiện có nghiệm
0
m
.
Vậy
2
m
là giá trị cần tìm.
Câu 20: Xác định giá trị
m
trong phương trình
2
8 0
x x m
để
4 3
là nghiệm của phương trình.
Với
m
vừa tìm được, phương trình đã cho còn một nghiệm nữa. Tìm nghiệm còn lại.
Lời giải
Do
4 3
là nghiệm của phương trình nên thỏa:
2
4 3 8 4 3 0
m
13 0 13
m m
Thay
13
m
vào phương trình ta được phương trình:
2
8 13 0
x x
*
2
'
4 1.13 3
Phương trình
*
có hai nghiệm phân biệt là:
1
2
4 3
4 3
x
x
Vậy
4 3
x
là giá trị cần tìm.
Câu 21: Cho phương trình
2 2
2 1 1 0
x m x m m
(
m
là tham số).
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi
m
.
b) Gọi
1
x
,
2
x
là hai nghiệm của phương trình. Tìm
m
sao cho
1 2 2 1
2 2
A x x x x
đạt giá
trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải
a) Ta có
2
2
2 1 4.1. 1 5 0
m m m
,
m
.
Nên phương trình luôn có nghiệm với mọi
m
.
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
1 2
2
1 2
2 1
1
x x m
x x m m
Ta có
2
2 2
1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 5 2 9 2
A x x x x x x x x x x x x
2
2 2
9 1 2 2 1 11
m m m m m
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 11/38
2
2
1 1 1 1 45 45
2. . 11
2 4 4 2 4 4
m m m
,
m
Dấu
" "
xảy ra
1 1
0
2 2
m m
Vậy
min
45
4
A
với
1
2
m
.
Câu 22: Cho phương trình
2 2
1
2 0
2
x mx m
(
m
là tham số).
a) Chứng minh rằng hhương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị
m
.
b) Tìm
m
để hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau.
c) Tìm
m
để hai nghiệm đó là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền
bằng 3.
Lời giải
a)
2
' 2
1 1
1. 0
2 2
m m
,
m
.
Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị
m
.
b) Hai nghiệm của phương trình là
1
2
2
2
2
2
x m
x m
Theo đề bài ta có
2 2
2 2 1 1
2 2
2 2 2 2
m m m m m m
2 2 0 0
m m
c) Theo định lý Pitago ta có:
2 2
2 2
2
2 2
9 2 8 0 4 0
2
2 2
m
m m m m
m
Vậy
2
2
m
m
là các giá trị cần tìm.
Câu 23: Cho phương trình
2
2 3 0
x x m
(
m
là tham số).
a) Tìm
m
để phương trình có nghiệm
1
x
. Tính nghiệm còn lại.
b) Tìm
m
để hai nghiệm phân biệt
1
x
,
2
x
thỏa mãn hệ thức
3 3
1 2
8
x x
Lời giải
a) Vì phương trình
2
2 3 0
x x m
có nghiệm
1
x
nên ta có:
2
( 1) 2.( 1) 3 0 6 0 6
m m m
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
1 2 2 2
2 1 2 3
x x x x
Vậy
6
m
và nghiệm còn lại là
3
x
.
b)
2
' 1 1. 3 2
m m
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
'
0 2
m
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
1 2
1 2
2
3
x x
x x m
Ta có
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 12/38
3 3
1 2
3
1 2 1 2 1 2
3
8
( ) 3 ( ) 8
2 3.( 3).2 8
6( 3) 0
3 0
x x
x x x x x x
m
m
m
3
m
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy
3
m
là giá trị cần tìm.
Câu 24: Tìm các giá trị của tham số
m
để phương trình
2 2
2 1 1 0
x m x m
có hai nghiệm phân
biệt
1
x
,
2
x
sao cho biểu thức
2 2
1 2
P x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
2
2
2 1 4.1. 1 4 5
m m m
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt
5
0
4
m
.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
1 2
2
1 2
2 1
1
x x m
x x m
Ta có
2
2 2
1 2 1 2 1 2
2
P x x x x x x
2
2 2
2 1 2 1 2 4 3
m m m m
2
2
2 2. .1 1 1 3 2 1 1 1
m m m
,
m
Dấu
" "
xảy ra
1 0 1
m m
(nhận)
Vậy
min
1
P
khi
1
m
.
Câu 25: Cho phương trình
2
5 2 6 0
x m x m
(
x
là ẩn số)
a) Chứng minh rằng: phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của
m
.
b) Tìm
m
để phương trình có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn:
2 2
1 2
35
x x
.
Lời giải:
a)
2
Δ m 5 4.1. 2m 6
2
5 4. 2 6
m m
2
10 25 8 24
m m m
2
2 1
m m
2
1 0;
m m
Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn luôn có hai nghiệm.
b) Với mọi
m
, phương trình đã cho có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa hệ thức Vi-ét:
1 2
1 2
5;
2 6
b
S x x m
a
c
P x x m
a
Ta có:
2 2
1 2
35
x x
2
1 2 1 2
2 35
x x x x
2
5 2 2 6 35
m m
2
10 25 4 12 35 0
m m m
2
6 22 0 1
m m
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 13/38
2
' 3 1. 22 9 22 31 0
Vì
' 0
nên phương trình
1
có hai nghiệm phân biệt:
1 2
3 31; 3 31
m m
Vậy
3 31; 3 31
m
Câu 26: Cho phương trình
2
2 2 0
x x m
1
(
m
là tham số)
a) Tìm
m
để phương trình
1
có nghiệm
b) Tìm
m
để phương trình
1
có 2 là một nghiệm và tìm nghiệm còn lại
Lời giải
a) Phương trình
1
có nghiệm :
' 0
1 2 0
m
3 0
m
3
m
Vậy phương trình
1
có nghiệm khi
3
m
b) Do phương trình
1
có 2 là một nghiệm nên thỏa:
2
2 2.2 2 0
m
6 0
m
6
m
Thay
6
m
vào phương trình
1
ta được phương trình:
2
2 8 0
x x
*
2
' 1 1. 8 1 8 9 0, ' 9 3
Do
' 0
nên phương trình
*
có hai nghiệm phân biệt:
1 2
1 3 1 3
2; 4
1 1
x x
Vậy
6
m
và nghiệm còn lại là
4
là các giá trị cần tìm.
Câu 27: Cho phương trình
2
1 0
x mx m
1
với
x
là ẩn số
a) Giải phương trình khi
2
m
b) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của
m
.
c) Gọi
1 2
,
x x
là nghiệm của phương trình. Tính giá trị của biểu thức
2 2
1 2
1 1 2016
A x x
.
Lời giải
a) Khi m = 2, phương trình
1
trở thành:
2
2 1 0
x x
2
Ta có
1 2 1 0
a b c
nên phương trình
2
có hai nghiệm:
1 2
2
1; 2
1
c
x x
a
Vậy khi
2
m
, tập nghiệm của phương trình
2
là
1; 2
S
b)
2
2 2
4.1. 1 4 4 2 0;
m m m m m
với mọi
m
.
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của
m
.
c) Với mọi
m
, phương trình đã cho có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa hệ thức Vi-ét:
1 2
1 2
1
b
S x x m
a
c
P x x m
a
Ta có:
2 2
1 2
1 1 2016
A x x
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 14/38
2
1 2
1 1 2016
A x x
2
1 2 1 2
1 2016
A x x x x
2
1 1 2016
A m m
2
0 2016
A
2016
A
Câu 28: Cho phương trình
2
2 1 2 0
x m x m
với
x
là ẩn số;
m
là tham số. Tìm
m
để phương
trình có nghiệm
2
x
. Tìm nghiệm còn lại.
Lời giải
Do phương trình có nghiệm
2
x
nên thỏa:
2
2 2 1 .2 2 0
m m
4 4 2 2 0
m m
2 2 0
m
2 2
m
1
m
Thay
1
m
vào phương trình ta được phương trình:
2
3 2 0
x x
*
Ta có
1 3 2 0
a b c
nên phương trình
*
có hai nghiệm:
1 2
2
1; 2
1
c
x x
a
Vì
2
2
x
nên nghiệm còn lại là
1
1
x
Vậy
1
m
và nghiệm còn lại là
1
là giá trị cần tìm.
Câu 29: Cho phương trình
2
1 2 0
x m x m
(
x
là ẩn số,
m
là tham số)
a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
b) Tính tổng và tích của hai nghiệm
1 2
,
x x
của phương trình theo
m
c) Tính biểu thức
2 2
1 2 1 2
6
A x x x x
theo
m
và tìm
m
để
A
đạt giá trị nhỏ nhất
Lời giải
a)
2
1 4.1. 2
m m
2
1 4 2
m m
2
2 1 4 8
m m m
2
2 9
m m
2
2 1 8
m m
2
1 8 0
m
; với mọi
m
Vậy phương trình lương có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
với mọi
m
.
b) Với mọi
m
, phương trình đã cho có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa hệ thức Vi-ét:
1 2
1 2
1
2
b
S x x m
a
c
P x x m
a
c) Ta có
2 2
1 2 1 2
6
A x x x x
2
1 2 1 2
8
x x x x
2
1 8 2
m m
2
2 1 8 16
m m m
2
6 17
m m
2
6 9 8
m m
2
3 8 8
m
; với mọi
m
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
3
m
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là:
8
MinA
khi và chỉ khi
3
m
.
Câu 30: Cho phương trình:
2
2 1 4 0
x m x m
(
x
là ẩn số,
m
là tham số).
a) Giải phương trình với
1
m
.
b) Tìm
m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải
a) Với
1
m
phương trình trở thành:
2
4 4 0
x x
*
2
' 2 1.4 0
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 15/38
Vì
' 0
nên phương trình
*
có nghiệp kép:
1 2
' 2
2
1
b
x x
a
Vậy với
1
m
, tập nghiệm của phương trình
*
là
2
S
b) Ta có
2
' 1 1. 4
m m
2
1 4
m m
2
2 1 4
m m m
2
2 1
m m
2
1
m
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt
2
' 0 1 0 1 0 1
m m m
Vậy
1
m
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Câu 31: Cho phương trình
2 2
2 1 0
x x m
(
m
là tham số)
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
m
.
b) Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình trên theo
m
.
c) Tìm
m
để phương trình trên có hai nghiệm thỏa:
1 2
3
x x
Lời giải
a) Ta có
2 2
' 1 1. 1
m
2
1 1
m
2
2 0
m
, với mọi
m
Vì
' 0
, với mọi
m
nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
m
.
b) Với mọi
m
, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
thỏa hệ thức Vi-ét:
1 2
2
2
1 2
2
2
1
1
1
1
b
S x x
a
c m
P x x m
a
c) Ta có
1 2
2
x x
(do trên) và
1 2
3
x x
nên ta có hệ phương trình sau:
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 1
2 2 2
2 2 2
3 3 0 3 0
2 1 2 3
*
2 2 1 1
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x
Thay
*
vào biểu thức
2
1 2
1
x x m
ta được:
2 2
3 .1 1 2 2
m m m
Vậy
2
m là các giá trị cần tìm.
Câu 32: Cho phương trình:
2
2 1 0
x m x m
(
m
là tham số)
a) Chứng minh: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của
m
b) Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình. Tìm
m
để có
2 2
1 2 1 2
13
x x x x
Lời giải
a) Ta có
2
2 4.1. 1
m m
2
4 4 4 4
m m m
2
8 0
m
, với mọi
m
.
Vì
0
, với mọi
m
nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của
m
.
b) Với mọi
m
, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt nên thỏa hệ thức Vi-ét:
1 2
1 2
2
2
1
1
1
1
m
b
S x x m
a
c m
P x x m
a
Theo đề bài, ta có:
2 2
1 2 1 2
13
x x x x
2
1 2 1 2 1 2
2 13 0
x x x x x x
2
1 2 1 2
3 13 0
x x x x
2
2 3 1 13 0
m m
2
2 3 1 13 0
m m
2
4 4 3 3 13 0
m m m
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 16/38
2
6 0
m m
*
2
1 4.1. 6 1 24 25 0; 25 5
Do
0
nên phương trình
*
có hai nghiệm phân biệt:
1 2
1 5 1 5
2; 3
2.1 2.1
m m
Vậy
1 2
2; 3
m m
là các giá trị cần tìm .
Câu 33: Cho phương trình
2
2 0
x x m
với
m
là tham số và
x
là ẩn số
a) Tìm điều kiện của
m
để phương trình có nghiệm
b) Giả sử
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm
m
để
3 3
1 2 1 2
10
x x x x
Lời giải
a) Ta có
2
1 4.1. 2
m
1 4 8
m
9 4
m
Để phương trình có nghiệm
9
0 9 4 0 4 9
4
m m m
Vậy
9
4
m
thì phương trình có nghiệm .
b)
Với
9
4
m
thì phương trình trên có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa hệ thức Vi-ét:
1 2
1 2
1
1
1
2
2
1
b
S x x
a
c m
P x x m
a
Ta có
3 3
1 2 1 2
10
x x x x
2 2
1 2 2 1
10
x x x x
2
1 2 1 2 1 2
2 10 0
x x x x x x
2
1 . 1 2. 2 10 0
m
1 2 4 10 0
m
1 2 4 10 0
m
2 5 0
m
2 5
m
5
2
m
Vậy
5
2
m
thì phương trình trên có nghiệm.
Câu 34: Cho phương trình
2
4 3 0
x x m
(
x
là ẩn)
a) Tìm
m
để phương trình có nghiệm
1 2
,
x x
b) Tìm
m
để phương trình có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa
2 2 2 2
1 2 1 2
51
x x x x
Lời giải
a)
Ta có
2
' 2 1. 3
m
4 3
m
1
m
Để phương trình có nghiệm
1 2
,
x x
' 0 1 0 1
m m
b) Theo câu a, ta có
1
m
thì phương trình có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa hệ thức Vi-ét:
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 17/38
1 2
1 2
4
4
1
3
3
1
b
S x x
a
c m
P x x m
a
Ta có
2 2 2 2
1 2 1 2
51
x x x x
2 2
1 2 1 2 1 2
2 51 0
x x x x x x
2 2
4 2. 3 3 51 0
m m
2
16 2 6 6 9 51 0
m m m
2
4 32 0
m m
*
2
' 2 1. 32 4 32 36 0; ' 36 6
Do ∆’ > 0 nên phương trình
*
có 2 nghiệm phân biệt:
1
2 6
4
1
m
(loại);
2
2 6
; 8
1
m
(nhận)
Vậy
m 8
là giá trị cần tìm .
Câu 35: Cho phương trình:
2 2
2 3 3 1 0
x m x m m
(
x
là ẩn số,
m
là tham số)
a) Tìm
m
để phương trình luôn có nghiệm với mọi
m
.
b) Tìm
m
để
1 2 2
1
A x x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
a)
Ta có
2
2
' 3 1. 3 1
m m m
2 2
6 9 3 1
m m m m
9 8
m
Để phương trình luôn có nghiệm với mọi
m
8
' 0 9 8 0 9 8
9
m m m
Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi
8
9
m
.
b) Theo câu a, với mọi
8
9
m
thì phương trình luôn luôn có nghiệm thỏa hệ thức Vi-ét:
1 2
2
2
1 2
2 3
2 3
1
3 1
3 1
1
m
b
S x x m
a
c m m
P x x m m
a
Ta có
1 2 2
1
A x x x
1 2 1 2
x x x x
1 2 1 2
x x x x
2
3 1 2 3
m m m
2
3 1 2 6
m m m
2
7
m m
2
1 27
4 4
m m
2
1 27 27
2 4 4
m
, với mọi
m
(vì
2
1
0
2
m
, với mọi
m
)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
2
m
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là:
27
4
MinA
khi và chỉ khi
1
2
m
Câu 36: Cho phương trình bậc 2 có ẩn
x
:
2
2 2 1 0
x mx m
1
a) Chứng tỏ phương trình
1
luôn có nghiệm
1 2
,
x x
với mọi giá trị của
m
b) Đặt
2 2
1 2 1 2
2 5
A x x x x
, tìm m sao cho
27
A
Lời giải
a) Ta có
2
' 1. 2 1
m m
2
2 1
m m
2
1 0
m
; với mọi
m
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 18/38
Do
' 0
(với mọi m) nên phương trình
1
luôn có nghiệm
1 2
,
x x
với mọi giá trị của
m
.
b) Theo câu a, với mọi m thì phương trình
1
luôn có nghiệm
1 2
,
x x
thỏa hệ thức Vi-ét:
1 2
1 2
2
2
1
2 1
2 1
1
b m
S x x m
a
c m
P x x m
a
Ta có
2 2
1 2 1 2
2 5
A x x x x
2
1 2 1 2 1 2
2 2 5
x x x x x x
2
1 2 1 2 1 2
2 4 5
x x x x x x
2
1 2 1 2
2 9
x x x x
2
2 2 9 2 1
m m
2
8 18 9
m m
Do A = 27 nên thỏa:
2
8 18 9 27
m m
2
8 18 18 0
m m
2
4 9 9 0
m m
*
Ta có
2
9 4.4. 9 81 144 225 0; 225 15
Do
0
nên phương trình
*
có hai nghiệm phân biệt:
1 2
9 15 9 15 3
3;
2.4 2.4 4
m m
Vậy
1 2
3
3;
4
m m
là các giá trị cần tìm.
Câu 37: Cho phương trình
2
3 5 0
x m x m
(
x
là ẩn)
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của
m
b) Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm
m
để
2 2
1 1 2 2
4 4 11
x x x x
Lời giải
a)
Ta có
2
3 4.1. 5
m m
2
3 4. 5
m m
2
6 9 4 20
m m m
2
10 29
m m
2
10 25 4
m m
2
5 4 0
m
; với mọi
m
.
Vì
0
(với mọi
m
) nên phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của
m
b) Theo câu a, ta có với mọi
m
thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
thỏa hệ
thức Viet:
1 2
1 2
3
3
1
5
5
1
m
b
S x x m
a
c m
P x x m
a
Ta có
2 2
1 1 2 2
4 4 11
x x x x
2 2
1 2 1 2
4 11 0
x x x x
2
1 2 1 2 1 2
2 4 11 0
x x x x x x
2
3 2 5 4 3 11 0
m m m
2
6 9 2 10 4 12 11 0
m m m m
2
12 20 0
m m
*
Ta có
2
' 6 1.20 36 20 16 0; ' 16 4
Do ∆’ > 0 nên phương trình (6) có 2 nghiệm phân biệt:
1 2
6 4 6 4
10; 2
1 1
m m
Vậy
1 2
10; 2
m m
là các giá trị cần tìm.
Câu 38: Cho phương trình:
2
2 4 0
x mx m
(
x
là ẩn số)
a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của
m
b) Tính tổng và tích của hai nghiệm theo
m
c) Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình. Định
m
để
2 2
1 2
5
x x
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 19/38
Lời giải
a) Ta có:
2
4.1. 2 4
m m
2
8 16
m m
2
4 0
m
; với mọi
m
.
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của
m
.
b) Với mọi
m
, phương trình đã cho có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa hệ thức Vi-ét:
1 2
1 2
2 4
b
S x x m
a
c
P x x m
a
Ta có
2 2
1 2
5
x x
2
1 2 1 2
2 5 0
x x x x
2
2. 2 4 5 0
m m
2
4 8 5 0
m m
2
4 3 0
m m
*
Vì
1 4 3 0
a b c
nên phương trình
*
có hai nghiệm:
1 2
3
1; 3
1
c
m m
a
Vậy
1 2
1; 3
m m
là các giá trị cần tìm.
Câu 39: Cho phương trình
2
2 4 1 0
x x m
(
x
là ẩn số)
a) Tìm điều kiện của
m
để phương trình có nghiệm
b) Tìm
m
để phương trình có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa
2 2
1 2 1 2
2 2 12
x x x x
Lời giải
a)
Ta có
2
' 1 1. 4 1
m
1 4 1
m
2 4
m
Để phương trình có nghiệm
1
' 0 2 4 0 4 2
2
m m m
.
Vậy
1
2
m
thì phương trình có nghiệm.
b) Theo câu a, với
1
0
2
m
thì phương trình có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa hệ thức Vi-ét:
1 2
1 2
2
2
1
4 1
4 1
1
b
S x x
a
c m
P x x m
a
Ta có
2 2
1 2 1 2
2 2 12
x x x x
2
1 2 1 2 1 2
2 2 12 0
x x x x x x
2
2 2 4 1 2.2 12 0
m
4 8 2 4 12 0
m
8 2 0
m
1
4
m
(thỏa)
Vậy
1
4
m
là giá trị cần tìm.
Câu 40: Cho phương trình bậc hai:
2
– 2 4 – 4 0
x mx m
(
x
là ẩn)
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi
m
b) Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình. Tìm
m
để
2
1 2
2 8 5 0
x mx m
Lời giải
a)
Ta có
2
' 1. 4 4
m m
2
4 4
m m
2
2 0,
m m
Do
' 0,
m
nên phương trình luôn có nghiệm với mọi
m
.
b) Theo câu a)
' 0 2
m
nên phương trình luôn có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa hệ thức Vi-
ét:
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 20/38
1 2
1 2
2
2
1
4 4
4 4
1
b m
S x x m
a
c m
P x x m
a
Do
1
x
là nghiệm của phương trình nên thỏa:
2
1 1
2 4 4 0
x mx m
2
1 1
2 4 4
x mx m
*
Ta có
2
1 2
2 8 5 0
x mx m
1 2
2 4 4 2 8 5 0
mx m mx m
(do
*
)
1 2
2m x x 12m 9 0
2m.2m 12m 9 0
(do hệ thức Vi-ét)
2
2
4m 12m 9 0
2m 3 0
2m 3 0
2m 3
3
m
2
Vậy
3
m
2
là giá trị cần tìm.
Câu 41: Cho phương trình:
2
2 4 6 0
x m x m
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Tính theo m biểu thức
1 2
1 1
A
x x
rồi tìm
m
để
A
.
Lời giải
a) Ta có:
2
' 4 6
m m
2
' 4 6
m m
2
' 8 16 6
m m m
2
' 9 22
m m
2
9 7
' 0,
2 2
m m
Do
' 0,
m
nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Theo câu a,
' 0,
m
nên phương trình luôn có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa hệ thức Vi-ét:
1 2
1 2
2 4 2 4 2 8
. 6
b
x x m m m
a
c
x x m
a
Có:
1 2
1 2 1 2
2 6 12 8
1 1 2 8
. 6 6
m
x x m
A
x x x x m m
2 6 4 2 6
4 4
2
6 6 6 6
m m
m m m m
Để
A
thì
4
6
m
suy ra
4 6
m
hay
6
m
Ư(4)=
4; 2; 1;1;2;4
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 21/38
Lập bảng:
6
m
-4 -2 -1 1
2
4
m
2
4
5
7
8
10
Vậy
2;4;5;7;8;10
m thì
A
.
Câu 42: Cho phương trình:
2
2 2 2 0
x m x m
1
với
x
là ẩn số.
a) Chứng tỏ phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
b) Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức
2
2 1 1
x x x
.
Lời giải
a) Ta có:
2
' 2 2
m m
2
2 2
m m
2
4 4 2
m m m
2
2 4
m m
2
1 3 0,
m m
Do
' 0,
m
nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Theo câu a,
' 0,
m
nên phương trình luôn có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa hệ thức Vi-ét:
1 2
1 2
2 2 2 2 2 4
. 2
b
S x x m m m
a
c
P x x m
a
Ta có:
2
2 1 1
x x x
2 1 1
2 2 2
x x m x m
1 1 1
2 4 2 2 2
m x x m x m
1 1
4 2 2 4
x m x
1
4 2
2 2 1
x
m m
Thay
1
2
1
x
m
vào
1
,ta được:
2
2 2
2 2 2 0
1 1
m m
m m
2
2 2 2
4 2 1 2 1
4
0
1 1 1
m m m m
m m m
2 2
4 4 3 2 2 1 2 0
m m m m m
2 2 3
4 4 12 8 2 4 2 0
m m m m m
3 2
2 8 14 12 0
m m m
3 2
4 7 6 0
m m m
2
2 2 3 0
m m m
2
m
Vậy
m 2
là giá trị cần tìm.
Câu 43: Cho phương trình:
2 2
2 2 0
x x m
1
với
x
là ẩn số.
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi
m
.
b) Tìm giá trị của
m
để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức
2 2
1 2
4
x x
.
Lời giải
a) Ta có:
2
2 2
' 1 2 1 2 0, m
m m
Do
' 0,
m
nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 22/38
b) Theo câu a,
' 0,
m
nên phương trình luôn có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa hệ thức Vi-ét:
1 2
2
1 2
2 2
. 2 3
b
S x x
a
c
P x x m
a
Có:
1 2
2 2
1 2
1 2
2
4
2
x x
x x
x x
TH1:
1
1 2
1 2
2
4
2
3
2 2
3
x
x x
x x
x
thay vào
3
.Ta được:
2
4 2
2
3 3
m
(vô lý)
TH2:
1 2 1
1 2 2
2 4
2 2
x x x
x x x
thay vào
3
. Ta được:
2 2
4 2 2 4 2
m m m
.
Vậy
m 2
là giá trị cần tìm .
Câu 44: Cho phương trình:
2 2
3 2 2 3 0
x m x m m
1
,(với
x
là ẩn số).
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của
m
.
b) Gọi
1 2
,
x x
là các nghiệm của
1
. Tìm m để
1 2
3
x x
.
Lời giải
a) Ta có:
2
2
3 2 4 2 3
m m m
2
2
3 2 8 4 12
m m m
2 2
9 12 4 8 4 12
m m m m
2
2
8 16 4 0,
m m m m
Do
0,
m
nên phương trình luôn có nghiệm với mọi
m
.
b) Theo câu a,
0 4
m
nên phương trình luôn có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa hệ thức Vi-ét:
1 2
2
1 2
3 2 3 2
. 2 3 3
b
S x x m m
a
c
P x x m m
a
Ta có hệ phương trình sau:
1
1 2
1 2
2
9 6
3
4
3 2 3 2
4
m
x
x x
x x m m
x
, thay vào
3
, ta được:
2
9 6 3 2
2 3
4 4
m m
m m
2
9 6 3 2 16 2 3
m m m m
2 2
27 36 12 32 16 48
m m m m
2
5 20 60 0
m m
2
4 12 0
m m
2, 6
m m
Vậy
2, 6
m m
là giá trị cần tìm.
Câu 45: Cho phương trình:
2 2
2 2 0 1
x m x m với x là ẩn số.
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 23/38
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Tìm
m
để phương trình có 2 nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
2 2
1 2 1 2 2 1
1 1 2
x x x x x x
.
Lời giải
a) Ta có:
2 2
2 2
' 2 2 0,
m m m m m
Do
' 0,
m
nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Theo câu a,
' 0,
m
nên phương trình luôn có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa hệ thức Vi-ét:
1 2
2
1 2
2 2 4 2
. 3
b
S x x m m
a
c
P x x m
a
Ta có:
2 2
1 2 1 2 2 1
1 1 2
x x x x x x
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
x x x x x x x x
2 2
4 2 1 4 2 2
m m m m
2 2 3 2
2 5 4 2 2
m m m m m
3 2
2 5 2 5 0
m m m
2
2 5 2 5 0
m m m
2
2 5 1 0
m m
5
2
m
Vậy
5
2
m
là giá trị cần tìm.
Câu 46: Cho phương trình:
2 2
2 1 3 0
x m x m
1
( với
x
là ẩn số)
a) Tìm điều kiện để
1
có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
2 2
1 2 2 1 1 2
2 1 1 2 1 1 14
x x x x x x
.
Lời giải
a) Ta có:
2
2
' 1 3
m m
2
2
1 3
m m
2 2
2 1 3
m m m
2 4
m
Để
1
có nghiệm thì
' 2 4 0 2
m m
b) Theo câu a)
' 0 2
m
nên phương trình luôn có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa hệ thức Vi-
ét:
1 2
2
1 2
2 1 2 2
. 3 3
b
S x x m m
a
c
P x x m
a
Ta có:
2 2
1 2 2 1 1 2
2 1 1 2 1 1 14
x x x x x x
2
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2
2 2 1 2 2 1 2 14
x x x x x x x x x x x x
2
1 2 1 2 1 2 1 2
4 2 2 14
x x x x x x x x
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 24/38
2
1 2 1 2 1 2
6 16 0
x x x x x x
2
2
2 2 6 3 2 2 16 0
m m m
2 2
4 8 4 6 18 2 2 16 0
m m m m
2
2 6 36 0
m m
2
3 18 0
m m
3, 6
m m
Vậy
6
m
là giá trị cần tìm.
Câu 47: Tìm
m
để phương trình
2
3 0
x mx
(
m
là tham số) có hai nghiệm thoả mãn
1 2
3 6
x x
Lời giải
Ta có:
2
12
m
Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì
0
2 3
m
hoặc
2 3
m
Kết hợp với hệ thức Viét ta có :
1 2
1 2
1 2
(1)
3 6 (2)
3 (3)
x x m
x x
x x
Giải hệ
1 , 2
ta được
1
6
2
m
x
;
2
3 6
2
m
x
Thay
1
6
2
m
x
,
2
3 6
2
m
x
vào
3
ta được :
6 3 6
3
2 2
m m
6 3 6 12
m m
4
m
Vậy
4
m
là giá trị cần tìm .
Câu 48: Cho phương trình
2 2
5 1 6 2 0
x m x m m
1
(
m
là tham số)
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi
m
.
b) Gọi
1 2
,
x x
là nghiệm của phương trình. Tìm
m
để
2 2
1 2
1.
x x
Lời giải
a) Ta có:
2
2
5 1 4 6 2
m m m
2 2
25 10 1 24 8
m m m m
2
2 1
m m
2
1 0,
m m
Vì
0,
m
nên phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
b) Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình
Ta có:
1
5 1 1
3 1
2
m m
x m
;
2
5 1 1
2
2
m m
x m
Theo đề bài:
2 2
1 2
1
x x
2 2
3 1 2 1
m m
2 2
9 6 1 4 1 0
m m m
2
13 6 0
m m
0
m
6
;
13
m
Vậy
0
m
;
6
13
m
là giá trị cần tìm.
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 25/38
Câu 49: Cho phương trình:
2
2( 1) 3 0
x m x m
1
a) Chứng minh rằng phương trình
1
luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b) Gọi
1 2
,
x x
là 2 nghiệm của phương trình
1
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1 2
P x x
.
c) Tìm hệ thức giữa
1
x
và
2
x
không phụ thuộc vào
m
.
Lời giải
a) Ta có:
2
' ( 1) 3
m m
2
' 2 1 3
m m m
2
' 3 4
m m
2 2
2
3 3 3
' 2. . 4
2 2 2
m m
2
3 7
' 0,
2 4
m m
Do
' 0,
m
nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình
1
Áp dụng định lý Vi-ét:
1 2
1 2
2 1 2
3 3
b
S x x m
a
c
P x x m
a
Theo đề bài ta có:
2 2
1 2
P x x
2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
P x x x x x x
2
1 2 1 2
2
P x x x x
2
4 1 2 3
P m m
2
4 8 4 2 6
P m m m
2
4 10 10
P m m
2 2
2
5 5 5
2 2.2 . 10
2 2 2
P m m
2
5 15 15
2 ,
2 2 2
P m m
Dấu
" "
xảy ra
5 5
2 0
2 4
m m
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 26/38
Vậy
2 2
1 2
15
2
Min x x
khi
5
4
m
.
c) Từ
3
1 2
3
m x x
Thay
1 2
3
m x x
vào
2
, ta được:
1 2 1 2
2 3 1
x x x x
1 2 1 2
2 4
x x x x
Câu 50: Cho phương trình bậc hai (ẩn
x
, tham số
m
):
2
– 2 2 1 0
x mx m
1
Với giá trị nào của
m
thì phương trình
1
có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
3
x x
.
Lời giải
Ta có:
2
' 2 1
m m
2
' 2 1
m m
2
' 1 0,
m m
Với
1
m
thì phương trình
1
có hai nghiệm
1 2
,
x x
Áp dụng Định lý Vi-ét:
1 2
1 2
2 2
2 1 3
b
S x x m
a
c
P x x m
a
Giải hệ:
1 2
1 2
2
3 0
x x m
x x
2
1 2
4 2
3 0
x m
x x
2
1
2
4
3
2
m
x
m
x
Thay
4
vào
3
, ta được:
2
3
2 1
4
m
m
2
3 8 4 0
m m
*
2
' 4 3.4
' 4
' 2 0
Nên phương trình
*
có 2 nghiệm phân biệt:
1 2
2
2;
3
m m
Vậy
1 2
2
2;
3
m m
là giá trị cần tìm.
Câu 51: Cho phương trình:
2
– 5 0
x x m
1
(
m
là tham số).
a) Giải phương trình trên khi
6
m
.
b) Tìm
m
để phương trình trên có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn:
1 2
3
x x
.
Lời giải
a) Với
6
m
phương trình
1
trở thành
2
– 5 6 0
x x
*
25 – 4.6 1 0
. Suy ra phương trình có hai nghiệm:
1 2
3; 2.
x x
b) Ta có:
25 4
m
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 27/38
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm
,
x x
thì
25
0
4
m
.
Kết hợp với hệ thức Vi-ét, ta có :
1 2
1 2
1 2
5 1
2
3 3
x x
x x m
x x
. Giải hệ
1 , 3
:
1
1 2
2
1 2
1
2
1
5 4
4
3
4
1
x
x x x
x x
x
x
Từ
2
và
4
suy ra:
4
m
. Thử lại thì thoả mãn.
Vậy
4
m
là giá trị cần tìm.
Câu 52: Cho phương trình ẩn
x
:
2
– 2 4 0
x mx
1
a) Giải phương trình đã cho khi
3
m
.
b) Tìm giá trị của
m
để phương trình
1
có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn:
2 2
1 2
1 1 2
x x
.
Lời giải
a) Với m = 3 phương trình
1
trở thành:
2
– 6 4 0
x x
2
Giải
2
ra ta được hai nghiệm:
1 2
3 5, 3 5
x x
.
b) Ta có:
2
' 4
m
.
Phương trình
1
có nghiệm
2
' 0
-2
m
m
*
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
1 2
2
4
b
S x x m
a
c
P x x
a
Ta có :
2 2
1 2
1 1 2
x x
2 2
1 1 2 2
2 1 2 1 2
x x x x
2 2
1 2 1 2
2 0
x x x x
2
1 2 1 2 1 2
2 2 0
x x x x x x
2
2 2.4 2.2 0
m m
2
4 4 8 0
m m
2
2 0
m m
1
2
1
2
m
m
.
Đối chiếu với điều kiện
*
ta thấy chỉ có nghiệm
2
2
m
thỏa mãn.
Vậy
2
m
là giá trị cần tìm.
Câu 53: Cho phương trình ẩn
x
:
2
– 2 1 0
x mx
1
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt
1
x
và
2
x
.
b) Tìm các giá trị của
m
để:
2 2
1 2 1 2
– 7
x x x x
.
Lời giải
a) Ta có:
2
' 1 0,
m m
Do đó phương trình
1
luôn có hai nghiệm phân biệt
1
x
và
2
x
.
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 28/38
b) Theo định lí Vi-ét:
1 2
1 2
S 2
1
b
x x m
a
c
P x x
a
Ta có:
2 2
1 2 1 2
– 7
x x x x
2
1 2 1 2
3 7
x x x x
2
2 3 1 7
m
2
4 3 7
m
1
m
Vậy
1
m
là giá trị cần tìm.
Câu 54: Cho phương trình ẩn
x
:
2
– 1 0
x x m
1
a) Giải phương trình đã cho với
0
m
.
b) Tìm các giá trị của
m
để phương trình
1
có hai nghiệm
,
x x
thỏa mãn:
1 2 1 2 1 2
– 2 3
x x x x x x
.
Lời giải
a) Với
0
m
phương trình
1
trở thành
2
– 1 0
x x
2
Ta có :
2
1 4.1.1 3 0
, nên phương trình
2
vô nghiệm.
b) Ta có:
2
1 – 4 1 3 – 4
m m
Để phương trình có nghiệm thì
4
0 3 4 0
3
m m
*
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
1 2
1
P= 1
b
S x x
a
c
x x m
a
Thay vào đẳng thức:
1 2 1 2 1 2
– 2 3
x x x x x x
ta được:
–1 2
1 .1
3
m m
–1
1 3
m m
2
1 3
m
2
4
m
2
m
Đối chiếu với điều kiện
*
suy ra chỉ có
2
m
thỏa mãn.
Vậy
2
m
là giá trị cần tìm.
Câu 55: Cho phương trình
4 2 2
( 4 ) 7 1 0
x m m x m
. Định
m
để phương trình có 4 nghiệm phân
biệt và tổng bình phương tất cả các nghiệm bằng 10
Lời giải
Đặt
2
0
X x X
Phương trình trở thành
4 2 2
( 4 ) 7 1 0
X m m X m
(1)
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt (1) có 2 nghiệm phân biệt dương
0
0
0
S
P
2 2
2
( 4 ) 4(7 1) 0
4 0
7 1 0
m m m
m m
m
(I)
Với điều kiện (I), (1) có 2 nghiệm phân biệt dương
1
X
,
2
X
.
Phương trình đã cho có 4 nghiệm
1,2 1
x X
;
3,4 2
x X
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 29/38
2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2
2( ) 2( 4 )
x x x x X X m m
Vậy ta có
2 2
1
2( 4 ) 10 4 5 0
5
m
m m m m
m
Với
1
m
, (I) thỏa mãn
Với
5
m
, (I) không thỏa mãn.
Vậy
1
m
là giá trị cần tìm.
Câu 56: Cho phương trình
2
2 2 1 1 0
x m x m
. Không giải phương trình, tìm
m
để phương
trình có hai nghiệm phân biệt
1
x
,
2
x
thỏa mãn
1 2
3 4 11
x x
.
Lời giải.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
1
x
,
2
x
khi
0
2
2 1 4.2. 1 0
m m
2
4 4 1 8 8 0
m m m
2
4 12 9 0
m m
2
2 3 0
m
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
1
x
,
2
x
với mọi
3
1
2
m
.
Theo định lí Vi-et, ta có:
1
1 2
1 2 2
1 2
13 4
2 1
7
2
1 7 7
*
2 26 8
3 4 11
13 4 7 7
3. 4. 11
7 26 8
m
m
x
x x
m m
x x x
m
x x
m m
m
Giải phương trình
*
ta được:
2 4,125
m m
.
So với điều kiện
1
, ta được:
2 4,125
m m
.
Câu 57: Cho phương trình:
2 2
2 1 3 0 1
x m x m (
m
là tham số).
a) Tìm
m
để phương trình
1
có nghiệm.
b) Tìm
m
để phương trình
1
có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.
Lời giải.
a) Tìm
m
để phương trình
1
có nghiệm.
Phương trình
1
có nghiệm khi và chỉ khi
0
2
2
2 1 4. 3 0
m m
2 2
4 8 4 4 12 0
m m m
2
m
.
Vậy với
2
m
phương trình
1
luôn có nghiệm.
b) Tìm
m
để phương trình
1
có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.
Với
2
m
phương trình
1
có 2 nghiệm.
Gọi
a
là một nghiệm thì nghiệm kia là
3
a
.
Theo Vi-et, ta có:
2
3 2 1
.3 3
a a m
a a m
Giải hệ phương trình trên, ta được:
3 2 6
m
thỏa mãn điều kiện.
Vậy
3 2 6
m
phương trình
1
có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lân nghiệm
kia.
Câu 58: Cho phương trình:
2
1 0
x mx m
.
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 30/38
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi
m
.
b) Gọi
1
x
,
2
x
là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2 1
x x
P
x x x x
.
Lời giải.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi
m
.
Phương trình luôn có nghiệm với mọi
m
khi và chỉ khi
0
2
4 1 0
m m
2
2 0
m
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi
m
.
b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2 1
x x
P
x x x x
.
Theo Vi-et, ta có:
1 2
1 2
. 1
x x m
x x m
.
Khi đó:
2
2 1
2
m
P
m
Tìm điều kiện để
P
có nghiệm theo ẩn
Suy ra
1
1
2
P
.
Vậy giá trị lớn nhất bằng
1
khi
1
m
, giá trị nhỏ nhất bằng
1
2
khi
2
m
.
Câu 59: Cho phương trình
2 2
2 2
4 1 0 1
2 3 2 3
x mx m m
a) Giải phương trình
1
với
1
m
.
b) Tìm
m
để phương trình
1
có 2 nghiệm thỏa mãn
1 2
1 2
1 1
x x
x x
.
Lời giải.
a) Giải phương trình
1
với
1
m
.
Thế
1
m
vào phương trình
1
ta được
2
2 9 0
x x
.
Giải phương trình này ta được:
1
2
1 10
1 10
x
x
.
b) Tìm
m
để phương trình
1
có 2 nghiệm thỏa mãn
1 2
1 2
1 1
x x
x x
.
Để phương trình có 2 nghiệm thì
0
8 2 0
m
1
*
4
m
.
Để phương trình có nghiệm khác
0
thì:
2
2
4 1 0
2 3
m m
Hay
1
2
4 3 2
**
4 3 2
m
m
.
Theo đề bài, ta có:
1 2
1 2
1 1
x x
x x
1 2 1 2
1 0
x x x x
1 2
1 2
0
1 0
x x
x x
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 31/38
2
2 0
8 3 0
m
m m
0
4 19
4 19
m
m
m
.
Kết hợp với điều kiện
*
và
**
, ta được
0 4 19
m m .
Câu 60: Xác định các giá trị của tham số
m
để phương trình:
2
5 6 0
x m x m
.
Có hai nghiệm
1
x
,
2
x
thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:
a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị.
b)
1 2
2 3 13
x x
.
Lời giải.
Để phương trình có hai nghiệm
1
x
,
2
x
thì
0
2
5 4 6 0
m m
2
14 1 0
m m
7 4 3 7 4 3 *
m m
a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị.
Giả sử
1 2
x x
, theo Vi-et, ta có:
2 1
1 2
1 2
1
5
6
x x
x x m
x x m
.
Giải hệ trên ta được:
0 14
m m
thỏa mãn
*
.
b) Theo giả thiết ta có:
1 2
1 2
1 2
2 3 13
5
6
x x
x x m
x x m
Giải hệ trên ta được:
0 1
m m
thỏa mãn
*
.
Câu 61: Cho phương trình:
2
2 1 3 0 1
x m x m
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình
1
mà không phụ thuộc vào
m
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2
1 2
P x x
(với
1
x
,
2
x
là 2 nghiệm của phương trình
1
)
Lời giải.
a) Để phương trình
1
luôn có hai nghiệm phân biệt thì:
0
2
1 3 0
m m
2
3 4 0
m m
2
3 7
0
2 4
m
luôn đúng với mọi
m
.
Vậy phương trình
1
luôn có hai nghiệm với mọi
m
.
b) Theo Vi-ét:
1 2
1 2
2 1
. 3
x x m
x x m
1 2
1 2
2 2
2 . 2 6
x x m
x x m
.
d) Suy ra
1 2 1 2
2 4
x x x x
hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình
1
mà không
phụ thuộc vào
m
.
2
2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
5
2 2 2 2 6 4 10 10 2 4 4
2
P x x x x x x m m m m m
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 32/38
Vậy
min
4
P
khi và chỉ khi
5
4
m
.
Câu 62: Cho ph-¬ng tr×nh:
2 2
2 1 6 0 *
x m m m
a) Tìm
m
để phương trình
*
có hai nghiệm.
b) Tìm
m
để phương trình
*
có hai nghiệm
1
x
,
2
x
thỏa mãn
3 3
1 2
50
x x
.
Lời giải.
a) Để phương trình
*
có hai nghiệm thì:
0
2
2
2 1 4 6 0
m m m
25 0
Vậy phương trình
*
luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
m
.
Để phương trình
*
có hai nghiệm âm thì:
1 2
1 2
. 0
0
x x
x x
2
6 0
2 1 0
m m
m
3 2
1
2
m m
m
3
m
Vậy với
3
m
thì phương trình
*
luôn có hai nghiệm âm.
b) Với
25
suy ra
1 2
2; 3
x m x m
Theo giả thiết, ta có:
3 3
1 2
50
x x
3 3
2 3 50
m m
2
5 3 3 7 50
m m
2
1 0
m m
1
2
1 5
2
1 5
2
m
m
.
Câu 63: Bài 9. Cho phương trình có ẩn
x
:
2
1 0
x mx m
(
m
là tham số )
1. Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm
1
x
,
2
x
với mọi
m
.
2. Đặt
2 2
1 2 1 2
6 .
A x x x x
a) Chứng minh
2
8 8
A m m
b) Tìm
m
sao cho
8
A
.
c) Tính giá trị nhỏ nhất của
A
và giá trị của
m
tương ứng.
d) Tìm
m
sao cho
1 2
3
x x
.
Lời giải.
1. Để phương trình có hai nghiệm
1
x
,
2
x
thì
0
2
4 1 0
m m
2
2 0
m
Vậy với
2
m
phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt.
2.
2 2
1 2 1 2
6 .
A x x x x
a)
2 2
1 2 1 2
6 .
A x x x x
2
1 2 1 2
8
x x x x
2
8 1
m m
2
8 8
m m
b) Với
8
A
2
8 8 8
m m
8 0
m m
c)
2
2
8 8 4 8 8
A m m m
Vậy
min
8
A
khi và chỉ khi
4
m
.
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 33/38
d) Theo Vi-et, ta có:
1 2
1 2
1 2
1
3
x x m
x x m
x x
1
2
4
4
3
m
m
.
Câu 64: Bài 10. Cho phương trình bậc 2 có ẩn
x
:
2
2 2 1 0
x mx m
1. Chứng tỏ phương trình có nghiệm
1
x
,
2
x
với mọi
m
.
2. Đặt
2 2
1 2 1 2
2 5
A x x x x
a) Chứng minh
2
8 18 9
A m m
b) Tìm
m
sao cho
27
A
.
c) Tìm
m
để
A
đạt giá trị nhỏ nhất.
d) Tìm
m
sao cho
1 2
3
x x
.
Lời giải.
1. Chứng tỏ phương trình có nghiệm
1
x
,
2
x
với mọi
m
.
Để phương trình có 2 nghiệm thì
0
2
4 4 2 1 0
m m
2
2 2 0
m
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm
1
x
,
2
x
với mọi
m
.
2.
2 2
1 2 1 2
2 5
A x x x x
2
1 2 1 2 1 2
2 2 5
A x x x x x x
2
1 2 1 2
2 9
A x x x x
Theo Vi-et, ta có:
1 2
1 2
2
2 1
x x m
x x m
.
a)
2
2
2 2 9 2 1 8 18 9
A m m m m
(đpcm).
b) Theo giả thiết, ta có:
27
A
2
8 18 9 27
m m
2
4 9 9 0
m m
1
2
3
3
4
m
m
.
c) Tìm
m
để
A
đạt giá trị nhỏ nhất:
2
2
9 9 9
8 18 9 2 2
8 8
2 2
A m m m
Vậy
min
9
8
A
khi
9
8
m
.
d) Tìm
m
sao cho
1 2
3
x x
.
Theo Vi-et, ta có:
1 2
1 2
1 2
2
2 1
3
x x m
x x m
x x
1
2
2
2
3
m
m
.
Câu 65: Bài 11. Cho phương trình bậc hai ẩn
x
(
m
tham số ):
2
2 1 2 5 0 1
x m x m
1. Giải và biện luận số nghiệm của
1
x
,
2
x
của
m
theo tham số
m
.
2. Tìm
m
sao cho
1
x
,
2
x
thỏa mãn:
a)
1 2
2 1
2.
x x
x x
b)
1 2 1 2
2 6
x x x x
c)
1 2
2 3 5.
x x
d) Tìm
m
sao cho
2 2
1 2 1 2
12 10
x x x x
đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải.
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 34/38
1. Giải và biện luận số nghiệm của
1
x
,
2
x
của
1
theo tham số
m
.
2
2
1 2 5 4
m m m
.
- Nếu
0
2
4 0
m
2 2
m
Phương trình
1
vô nghiệm.
- Nếu
0
2
4 0
m
2
2
m
m
Phương trình
1
có nghiệm duy nhất
1
x
.
- Nếu
0
2
4 0
m
2 2
m
Phương trình
1
có hai nghiệm phân biệt.
2. Tìm
m
sao cho
1
x
,
2
x
thỏa mãn
- Theo Vi-et, ta có:
1 2
1 2
2 1
2 5
x x m
x x m
- Điều kiện nghiệm khác
5
0 *
2
m
a)
1 2
2 1
2
x x
x x
2 2
1 2 1 2
2
x x x x
2
1 2 1 2
4 0
x x x x
2
4 1 8 20 0
m m
2
m
b)
1 2 1 2
2 6
x x x x
2 1 4 10 6
m m
1
m
c) Theo giả thiết, ta có:
1 2
1 2
1 2
2 1
2 5
2 3 5
x x m
x x m
x x
1 2
13
2
6
m m
d) Tìm
m
sao cho
2 2
1 2 1 2
12 10
x x x x
đạt giá trị lớn nhất.
Ta có:
2 2
1 2 1 2
12 10
x x x x
2
1 2 1 2
12 8
x x x x
2
12 8 2 5 4 1
m m
2
4 24 32
m m
2
4 3 23 92
m
Đẳng thức đạt giá trị lớn nhất bằng
92
khi
3
m
.
Câu 66: Bài 12. Cho phương trình:
2 2
2 1 3 0
x m x m
(
m
là tham số )
a) Định
m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm giá trị của
m
để
2 2
1 2
4,
x x
với
1
x
,
2
x
là hai nghiệm của phương trình.
Lời giải.
a) Định
m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì
0
2 4
m
2
m
b) Theo Vi-et, ta có:
1 2
2
1 2
2 2
1 2
2 1
3
4
x x m
x x m
x x
1 3
m m
Câu 67: Bài 13. Cho phương trình:
2
1 0
x mx m
(1) (
m
là tham số )
a) Chứng minh phương trình (1) có 2 nghiệm với mọi
m
.
b) Tìm
m
để phương trình (1) có hai nghiệm
1
x
,
2
x
thỏa mãn hệ thức
2 2
1 2 1 2
2
x x x x
.
Lời giải.
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 35/38
a)
2
2
4 4 2 0
m m m
với mọi
m
.
b)
2 2
1 2 1 2
2
x x x x
1 2 1 2
2
x x x x
1 2
m m
2
2 0
m m
1 2
m m
.
Câu 68: Bài 14. Cho phương trình:
2
2 2 3 0
x mx m
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của
m
.
b) Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình theo
m
.
c) Tìm
m
để
1 2 1 2
2 3
x x x x
(
1
x
,
2
x
là nghiệm của phương trình trên ).
Lời giải.
a)
2
2
2 3 1 2 0
m m m
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của
m
.
b) Theo Vi-et, ta có:
1 2
1 2
2
2 3
x x m
x x m
c)
1 2 1 2
2 3
x x x x
2 3
m
3
2
m
.
Câu 69: Bài 15. Cho phương trình:
2
2 2 2 5 0
x m x m
(
x
là ẩn số )
a) Chứng tỏ phương trình trên có 2 nghiệm
1
x
,
2
x
với mọi
m
.
b) Tìm
m
để
2 2
1 2 1 2
A x x x x
đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải.
a)
2 2
2 2 5 3 0
m m m
Vậy với mọi
m
phương trình luôn có 2 nghiệm
1
x
,
2
x
.
b)
2
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
9 3 3
2 5 4 2 2
2 4 4
A x x x x x x x x m m m
Vậy
max
3
4
A
khi
9
4
m
.
Câu 70: Bài 16. Cho phương trình:
2
2 1 0
x m x m
(
m
là tham số )
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
m
.
b) Tìm
m
để
2
1 1 2 1 2
2
A x x mx x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải.
a)
2 2
2
2 1 4 4 8 4 4 1 0
m m m m m
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
m
.
b) Theo Vi-et, ta có:
1 2
2 1
x x m
và
1 2
x x m
Khi đó:
2
3 3
4
2 2
A m
. Vậy
min
3
2
A
khi
0
m
.
Câu 71: Bài 17. Cho phương trình:
2 2
2 3 1 0
x m x m m
(
x
là ẩn )
a) Tìm
m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Cho
2 2
1 2 1 2
5
B x x x x
tìm
m
để
B
đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải.
a)
2
2
2 3 4 1
m m m
8 5
m
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 36/38
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì
0
5
8
m
.
b)
2
1 2 1 2
7
B x x x x
2
2
2 3 7 1
B m m m
2
5 49 49
3
6 36 12
B m
Vậy
max
49
12
B khi
5
6
m
.
Câu 72: Bài 18. Cho phương trình:
2 2
2 1 4 3 0
x m x m m
a) Tìm giá trị của
m
để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 2 1 2
2
A x x x x
và giá trị của
m
tương ứng.
Lời giải.
a)
2
2
1 4 3 2 2
m m m m
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì
0
1
m
.
b) Theo Vi-et, ta có:
1 2
2 1
x x m
và
2
1 2
4 3
x x m m
Khi đó:
2
4 3 4 1
A m m m
2
1 1
A m
Vậy
min
1
A
khi
0
m
.
Câu 73: Bài 19. Cho phương trình:
2
2 2 1 1 0
x m x m
a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm
1
x
,
2
x
.
b) Viết tổng và tích hai nghiệm theo m.
c) Tìm m để 2 nghiệm
1
x
,
2
x
của phương trình thỏa mãn:
1 2
2 1
4 1 4 1
9
x x
x x
Lời giải.
a)
2
2 1 4.2. 1
m m
2
2 3 0
m
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm
1
x
,
2
x
.
b) Theo Vi-et, ta có:
1 2
2 1
2
m
x x
và
1 2
1
2
m
x x
\.
c) Điều kiện để
1
x
và
2
x
khác
0
là
1
m
Theo giả thiết, ta có:
1 2
2 1
4 1 4 1
9
x x
x x
2
1 2 1 2 1 2
4 0
x x x x x x
2
2 1
2 1 1 0
2
m
m m
2
8 4 0
m m
0 2
m m
thỏa điều kiện
1
m
.
Câu 74: Cho phương trình
2
2 2 1 0
x mx m
a) Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm
1
x
,
2
x
với mọi
m
.
b) Đặt
2 2
1 2 1 2
2 5
A x x x x
. Tìm
m
sao cho A = 27.
Lời giải.
a)
2
2
1 7
2 0
2 4
m m m
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 37/38
Vậy phương trình trên luôn có hai nghiệm với mọi
m
.
b)
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 5 2 9 8 18 9
A x x x x x x x x m m
Theo giả thiết, có:
27
A
2
8 18 9 27
m m
2
8 18 18 0
m m
3
3
4
m m
.
Câu 75: Bài 21. Cho phương trình
2
2 2 0 1
x mx m
(
x
là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị
m
.
b) Định
m
để hai nghiệm
1
x
,
2
x
của phương trình (1) thỏa mãn:
2 2
1 2 2 1 1 2
1 2 1 2 2
x x x x x x
Lời giải.
a)
2
2
1 3
2 0
2 2
m m m
Vậy phương trình
1
luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của
m
.
b) Theo Vi-et, ta có:
1 2
2
x x m
và
1 2
2
x x m
Theo giả thiết, ta có:
2 2
1 2 2 1 1 2
1 2 1 2 2
x x x x x x
2
1 2 1 2
2 0
x x x x
2
4 2 2 0
m m
1
1
2
m m
.
Câu 76: Bài 22. Cho phương trình:
2
2 0 1
x mx m (
x
là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình
1
luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của
m
.
b) Định
m
để hai nghiệm
1
x
,
2
x
của
1
thỏa mãn:
2 2
1 2
1 2
2 2
. 4
1 1
x x
x x
.
Lời giải.
a)
2
2 2
4.( 2) 4 8 2 4 0
m m m m m
Vậy phương trình
1
luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
m
.
b) Theo Vi-et, ta có:
1 2
x x m
và
1 2
2
x x m
.
Theo giả thiết:
2 2
1 2
1 2
2 2
. 4
1 1
x x
x x
2 2
1 2 1 2 1 2
2 4 0
x x x x x x
2
2
2 2 4 0
m m m
2
m
.
Câu 77: Cho phương trình
2
2 1 0 1
mx x (
x
lầ ẩn số).
a) Chứng minh phương trình
1
luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của
m
.
b) Gọi
1
x
,
2
x
là hai nghiệm của phương trình
1
. Tính giá trị của biểu thức:
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2
4 2 4 2 2
A x x x x x x
Lời giải.
Phương trình
2
1 2 2 0
x mx
a)
2
2 0
m
. Vậy phương trình
1
luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
m
.
b) Theo Vi-et, ta có:
1 2
2
x x m
và
1 2
2
x x
.
Theo giả thiết, ta có:
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2
4 2 4 2 2
A x x x x x x
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 38/38
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4 8 16 4
A x x x x x x x x x x
2
4 16 16 32 4
A m m m
2
4 32 28
A m m
.
----------------------------- HẾT -----------------------------
| 1/38

Tài liệu khác của Toán 9

Preview text:

BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ
TRONG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  I – KIẾN THỨC CƠ BẢN
 Ứng dụng hệ thức Vi-ét:
Xét phương trình bậc hai: 2
ax  bx  c    a   2 0 * , 0 ,   b  4ac .  b S  x  x    1 2 
Gọi S , P lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm x , x . Hệ thức Viét: a . 1 2  c P  x x  1 2  a  Điều kiện PT  
* có hai nghiệm trái dấu  P  0 .   0  Điều kiện PT  
* có hai nghiệm phân biệt cùng dấu   . P  0   0   Điều kiện PT  
* có hai nghiệm phân biệt dương  S  0 . P  0    0   Điều kiện PT  
* có hai nghiệm phân biệt âm  S  0 . P  0 
 Các hệ thức thường gặp:
 x  x  x  2x .x  x   2x .x  x  x 2 2 2 2 2 2  2x .x  S  2P . 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
 x  x    x  x 2 2  4x x   S  4P . 1 2 1 2 1 2
 x  x    x  x 2 2  4x x   S  4P . 2 1 1 2 1 2
 x  x   x  x x  x    x  x   x  x 2 2 2 2  4x x  S. S  4P . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
 x  x   x  x x  x .x  x    x  x  x  x 2 3 3 2 2  3x .x   S. 2 S  3P 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2    .
 x  x  x   x   x  x   2x .x  x  x  2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2  2x x   2x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2   .  S  P2 2 2 2  2P . 1 1 x  x S  1 2    . x x x x P 1 2 1 2 1 1 x  x x  x  4x x 1 2 2 2 S  4P  1 2 2 1       . x x x x x x P 1 2 1 2 1 2
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 1/38 x x x  x x  x x  x x  x x  x  4x x S. S  4P 1 2 1 2  1 2  1 2   1 2  1 22 2 2 2  1 2        x x x x x x x x P 2 1 1 2 1 2 1 2
 x  x   x  x x  x .x  x   x  x x  x 2 3 3 2 2  x .x  1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2   .
  x  x 2 4x x x  x 2  x .x       2S 4P 2 S  P . 1 2 1 2 1 2 1 2   2 2  4 4 x  x   2 x    2 x    2 2 x  x  2 2 x  x    2 S  2P 2 S. S  4P . 1 2 1 2 1 2 1 2 
II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1: Cho phương trình  m   2 2
1 x  2mx 1  0 . Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng 1;0 . Lời giải  1
Xét 2m 1  0  m  phương trình trở thành x 1  0  x  1 1  ;0 2  1
Xét 2m 1  0  m  khi đó ta có: 2
  m   m    m  m   m  2 2 2 ' 2 1 2 1 1  0 mọi m .
Suy ra phương trình có nghiệm với mọi m .
Ta thấy nghiệm x  1không thuộc khoảng 1;0 1 m  m 1 1
Với m  phương trình còn có nghiệm là x   2 2m 1 2m 1
Phương trình có nghiệm trong khoảng 1;0 suy ra  1  2m 1  1  0   0 1  0  2m 1  2m 1  m  0 2m 1 2m 1 0 2m 1 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng 1;0 khi và chỉ khi m  0 . Câu 2: Cho phương trình 2 x   m   2 2
1 x  m 1  0 ( x là ẩn số)
a) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
b) Định m để hai nghiệm x , x của phương trình đã cho thỏa mãn:  x  x  x  3x . 1 2 2 1 2 1 2 Lời giải
a)    m  2   2 2 1 4. m   1  5  4m 5
Phương trình có hai nghiệm phân biệt  m  4 5
b) Phương trình hai nghiệm  m  4 x  x  2m 1
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2  2 x x  m 1  1 2 Theo đề bài:
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 2/38 x  x 2  x 3x 1 2 1 2
  x  x 2  4x x  x 3x 1 2 1 2 1 2  2m  2 1  4 2 m   1  x  3x 1 2  x  3x  5  4m 1 2  m 1 x       1 x x 2m 1  Ta có hệ phương trình: 1 2 2    x  3x  5  4m 3(m 1)  1 2 x  2  2 m 1 3(m 1) 2    m 1 2 2  3 2 m   1  4 2 m   1 2  m 1  0  m  1
Kết hợp với điều kiện  m  1 là các giá trị cần tìm
Câu 3: Tìm m để phương trình 2
x  5x  3m 1  0 ( x là ẩn số, m là tham số) có hai nghiệm x , x 1 2 thỏa mãn 3 3 x  x  3x x  75 1 2 1 2 Lời giải 2
  5  4.1.3m   1  29 12m 29
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt    0  m  12 x  x  5  Áp dụng hệ thức Vi-ét 1 2  x x  3m 1  1 2 Ta có: 3 3 x  x  3x x  75 1 2 1 2
  x  x  x  x 2  x x 3x x  75 1 2 1 2 1 2  1 2
 x  x 25  x x  3x x  75 1 2   1 2  1 2
 25x  x  x  x x x  3x x  75 1 2   1 2 1 2 1 2  x  x  3 1 2 5 Kết hợp x  x  5  suy ra x  1  ; x  4
 Thay vào x x  3m 1 suy ra m  1 2 1 2 1 2 3 5
Vậy m  là giá trị cần tìm 3 Câu 4: Cho phương trình 2
x 10mx  9m  0 (m là tham số)
a) Giải phương trình đã cho với m  1.
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm x , x thỏa điều kiện 1 2 x  9x  0 1 2 Lời giải
a) Với m  1 phương trình đã cho trở thành 2 x 10x  9  0 x  1
Ta có a  b  c  0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là 1  x  9  2 b)    m2 2 ' 5 1.9m  25m  9m
Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là 2
 '  0  25m  9m  0 (*)
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 3/38
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:   x  x  10m 1  0x  10m x  m x  m 1 2 2 2  2    
x  9x  0  x  9x  x  9m  x  9m,(*)  m 1 1 2 1 2 1 1    2 x x 9m x x 9m      9  m  9m  0 m  0 1 2 1 2  m 1 Câu 5: Cho phương trình 2 2
x  2(m 1)x  m  m 1  0 (m là tham số)
a) Giải phương trình đã cho với m  0 . 1 1
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn điều kiện   4 1 2 x x 1 2 Lời giải
a) Với m  0 , phương trình đã cho trở thành: 2 x  2x 1  0  '  2 ; x  1 2 1,2
Vậy với m  0 thì nghiệm của phương trình đã cho là x  1 2 . 1,2
b)  '  m  2 Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt    0  m  2  0  m  2 x  x  2(m 1)
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2  2 x x  m  m 1  1 2 Do đó: 1 1 x  x 2(m 1) 1 2   4   4   4 2 x x x x m  m 1 1 2 1 2   2 2 m 1 m  m 1  0 m  m 1  0       3 2 2
m 1  2(m  m 1) 2m  m  3  0 m    2  3 
Kết hợp với điều kiện  m  1
 ;  là các giá trị cần tìm.  2  Câu 6: Cho phương trình 2
2x  (2m 1)x  m 1  0 (m là tham số). Không giải phương trình, tìm m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 3x  4x  11 1 2 1 2 Lời giải
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x thì   0 1 2   m  2 2 1  4.2.m   1  0 2  4m 12m  9  0  2m  32  0 3  m  2
Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét và giả thiết ta có:  2m   13- 4m x  x   1  x  1 2  1  2  7  m 1  7m  7  x .x    x  1 2 2  2  26 -8m 3x  4x  11  13- 4m 7m  7  1 2 3  4  11   7 26 -8m
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 4/38 13- 4m 7m  7 Giải phương trình 3  4  11 7 26 -8m m  2 Ta được  m  4,125 m  2  Vậy 
là các giá trị cần tìm m  4,125 Câu 7: Cho phương trình 2 2
x  2(m 1)x  m  3  0 (m là tham số).
a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia. Lời giải
a) Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi '   0    m   2     2 1 1. m  3  0  2m  4  0  m  2
Vậy m  2 là các giá trị cần tìm
b) Với m  2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm.
Gọi một nghiệm của phương trình đã cho là a thì nghiệm kia là 3a . Theo hệ thức Vi-ét, ta có: a  3a  2m  2  2  . a 3a  m  3 2 m 1  m 1 2  a   3  m  3   2  2  2  m  6m 15  0
 m  3  2 6 (thỏa mãn điều kiện) Vậy  m  3
  2 6 là các giá trị cần tìm. 1 1 Câu 8: Cho phương trình 2 2
x  mx  m  4m 1  0 2 2 ( m là tham số).
a) Giải phương trình đã cho với m  1 . 1 1
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn   x  x 1 2 x x 1 2 Lời giải 1 9
a) Với m  1 phương trình trở thành 2 2
x  x   0  x  2x  9  0 2 2 x  1 10 1   x  1 10  2
b) Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì   0     m2 1 1 1 2  4. . m  4m 1  0  8  m  2  0  m    2  2  4 1
Để phương trình có nghiệm khác 0 2  m  4m 1  0 2 m  4   3 2 1   m  4  3 2  2 1 1 x  x  0 Ta có 
 x  x  x  x  x x   1 2 1  0  1 2 1 2 1 2  x x x x 1  0 1 2  1 2
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 5/38 m  0 2m  0     m  4   19 2 m  8m  3  0 m  4   19  m  0
Kết hợp với điều kiện ta được  m  4   19 m  0 Vậy 
là các giá trị cần tìm. m  4   19
Câu 9: Tìm tất cả các số tự nhiên m để phương trình 2 2
x  m x  m 1  0 (m là tham số) có nghiệm nguyên. Lời giải   m 2 2  m   4 4.1. 1  m  4m  4
Phương trình có nghiệm nguyên khi 4
  m  4m  4 là số chính phương m  0 Nếu  thì   0 (loại) m  1 Nếu m  2 thì 2   4  2 (nhận)
Nếu m  3 thì mm   2 2
2  5  2m  4m  5  0     2
2m  4m  5      4m  4 4 2 4
 m  2m 1    m  m  2 1    m 2 2 2
 không là số chính phương.
Vậy m  2 là giá trị cần tìm Câu 10: Cho phương trình 2
x  2(m 1)x  m  3  0 (m là tham số).
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2
P  x  x (với x , x là nghiệm của phương trình đã cho) 1 2 1 2 Lời giải 2  3  7 a)     m   2 ' 1  1.  m 3 2  m  3m  4  m    0   , m   2  4
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt. x  x  2(m 1) x  x  2m  2
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2 1 2    x x  m  3 2x x  2m  6  1 2  1 2
 x  x  2x x  4  0 không phụ thuộc vào m . 1 2 1 2
c) P  x  x   x  x 2  2x x  4m  2 2 2 1  2 m  3 1 2 1 2 1 2   2  5  15 15  2m      , m   2  4 4 15 5 5 Do đó P 
và dấu "  " xảy ra khi 2m   0  m  min 4 2 4 15 5 Vậy P  với m  . min 4 4 Câu 11: Cho phương trình 2
x  mx  m 1  0 (m là tham số).
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 6/38 2 2 x  x 1
a) Gọi hai nghiệm của phương trình là x , x . Tính giá trị của biểu thức 1 2 M  . Từ 1 2 2 2 x x  x x 1 2 1 2 đó tìm m để M  0 .
b) Tìm giá trị của m để biểu thức 2 2
P  x  x 1 đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 Lời giải x  x  m
a) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2  x x  m 1  1 2 2 2 x  x 1 x  x
 2x x 1 m  2 m 1 1 1 2  1 2 2 2 1 2   Ta có M    2 2 x x  x x x x x  x m 1 m 1 2 1 2 1 2  1 2    m  2m 1 m  2 2 1   mm   1 mm   1 m  0   m  2 1 m 1  0 m  1 Để M  0        mm   0 m m  1 0 1  m  0 m  0  m 1 0
b) Ta có P  x  x 1   x  x 2 2 2 2
 2x x 1  m  2 m 1 1 1 2 1 2 1 2  
 m  m   m  2 2 2 1 1  0 , m
Do đó P  0 và dấu "  " xảy ra khi m 1  0  m  1 min Vậy P  0 với m  1. min Câu 12: Cho phương trình 2
x  2m  2 x  2m  0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai
nghiệm x , x thỏa mãn x  x  2 1 2 1 2 Lời giải
Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm x , x là 1 2  '  0 2 m 1  0  
x  x  0  2(m 1)  0  m  0 1 2 x x  0   2m  0 1 2  x  x  2 m 1 1 2   Theo hệ thức Vi-ét:  x x  2m  1 2
Ta có x  x  2  x  x  2 x x  2 1 2 1 2 1 2
 2m  2  2 2m  2  m  0 (thoả mãn)
Vậy m  0 là giá trị cần tìm. Câu 13: Cho phương trình 2 x  m  
1 x  m  0 (m là tham số). Gọi x , x là hai nghiệm của phương 1 2
trình đã cho. Tìm giá trị của m để 2 2
A  x x  x x  2007 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ 1 2 1 2 nhất đó. Lời giải Ta có 2 2 2
  [-(m+1)]  4m  m  2m 1  (m 1)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt    m  2 0 1  0  m  1
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 7/38 x  x  m 1
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2  x x  m  1 2 Ta có 2 2
A  x x  x x  2007  x x x  x  2007 1 2 1 2 1 2  1 2   mm   1 1 3 2 2
1  2007  m  m  2007  m  2. . m   2006  2 4 4 2  1  8027 8027  m      , m   2  4 4 1 1 
Dấu "  " xảy ra m   0  m  2 2 8027 1 Vậy A  với m   . min 4 2 Câu 14: Cho phương trình 2
x  2mx  2m 1  0 (m là tham số). Gọi x , x là hai nghiệm của phương 1 2
trình đã cho. Tìm giá trị của m để 2 2
A  x x  x x đạt giá trị lớn nhất. 1 2 1 2 Lời giải Ta có    m2 
 m    m  m   m  2 2 2 4.1. 2 1 4 8 4 4 1
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt    m  2 0 1  0  m  1 x  x  2m
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2  x x  2m 1  1 2 Ta có 2 2
A  x x  x x  x x x  x 1 2 1 2 1 2  1 2     mm   1  2007  2m   1  2  m 1 2 2  4  m  2m  4  m  m    2  2  1 1 1   1  1 1 2  4  m  2. . m    4  m        , m   4 16 16   4  4 4 1 1
Dấu "  " xảy ra m   0  m  4 4 1 1 Vậy A  với m  . m ax 4 4 Câu 15: Cho phương trình 2 x  2m  
1 x  2m  5  0 (m là tham số).
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn x  1  x . 1 2 1 2 Lời giải a) Ta có     m   2     m   2 2 1 4.1. 2 5  4m 12m  22   m2  m     m  2 2 2.2 .3 9 13 2 3 13  0 , m
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . x  x  2m  2
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có 1 2  (I) x x  2m  5  1 2 x 1  0 Theo giả thiết 1 x  1  x  
 x 1 x 1  0  x x  x  x 1  0 (II) 1 2  1  2  1 2  1 2 x 1  0  2 Thay (I) vào (II) ta có:
2m 52m  2 1 0  0.m  2  0 , đúng với mọi m .
Vậy với mọi m thì phương trình trên có hai nghiệm x , x thỏa mãn x  1  x . 1 2 1 2 Câu 16: Cho phương trình 2
x  mx  m  2  0 (m là tham số).
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 8/38
a) Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m . 2 2 x  2 x  2
b) Định m để hai nghiệm x , x của phương trình thỏa mãn 1 2 .  4 . 1 2 x 1 x 1 1 2 Lời giải
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m . 2 2 2
  m  4.(m  2)  m  4m  8  (m  2)  4  4  0 , m
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m .
b) Vì a  b  c  1 m  m  2  1
  0 , m nên phương trình có 2 nghiệm x , x  1, m . 1 2 Phương trình 2 2
x  mx  m  2  0  x  2  mx  m 2 2 x  2 x  2 mx  m mx  m 2 m (x 1)(x 1) Ta có 1 2 1 2 .  4  .  4 1 2 2 
 4  m  4  m  2 x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1)(x 1) 1 2 1 2 1 2
Vậy m  2 là các giá trị cần tìm. Câu 17: Cho phương trình 2
x  mx 1  0 (1) (m là tham số).
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.
b) Gọi x , x là các nghiệm của phương trình (1): 1 2 2 2 x  x 1 x  x 1
Tính giá trị của biểu thức: 1 1 2 2 P   x x 1 2 Lời giải a) Ta có . a c  1.  1  1  0 , với m
 nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m . 2 x  mx 1 b) Ta có 1 1 
do x , x là nghiệm của phương trình (1). 2 x  mx 1 1 2  2 2 2 2
x  x 1 x  x 1 mx 1 x 1 mx 1 x 1 Do đó 1 1 2 2 1 1 2 2 P     x x x x 1 2 1 2 x m 1 x m 1 1   2      m   1  m   1  0 vì x , x  0 . x x 1 2 1 2 Vậy P  0 . Câu 18: Cho phương trình 2 x   m   2 2 1 x  m 1  0   1 ( m là tham số).
a) Tìm điều kiện của m để phương trình  
1 có 2 nghiệm phân biệt.
b) Định m để hai nghiệm x , x của phương trình   1 thỏa mãn:  x  x  x  3x . 1 2 2 1 2 1 2 Lời giải a)      m   2     2 2 1 4.1. m   1  4  m  5 5
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi   0  4m  5  0  m  4 x  x  2m 1
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có 1 2  2 x x  m 1  1 2
Ta có  x  x 2  x  3x   x  x 2  4x x  x  x  4x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2  m   2m  2 1  4 3 3 2 m  
1  2m 1 4x  6m  6  4x  0  x  2 2 2 2 m 1 Suy ra x  1 2 m 1 3m  3 Do đó 2 2 .
 m 1  m 1  0  m  1 
(thỏa mãn điều kiện có nghiệm) 2 2
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 9/38
Vậy m  1 là các giá trị cần tìm.
Câu 19: Tìm m để phương trình 2
x  2x  2m 1  0 (m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x , x 1 2 thỏa mãn điều kiện 2 2 2 2
x (x 1)  x (x 1)  8 . 2 1 1 2 Lời giải    2 2  4.1.2m   1  8m
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi   0  8m  0  m  0 x  x  2
Theo hệ thức Vi-ét, ta có 1 2  (I) x x  2  m 1  1 2
Ta có x (x 1)  x (x 1)  8  2 x x 2 2 2 2 2 2 2  (x  x )  8 2 1 1 2 1 2 1 2  2x x 2 2
 (x  x )  2x x   8 1 2  1 2 1 2  (II) Thay (I) vào (II) ta có: 2  m       m   2 2( 2 1) 4 2 2
1   8  2m  3m  2  0   1 m     2  m  2
So với điều kiện có nghiệm m  0 .
Vậy m  2 là giá trị cần tìm.
Câu 20: Xác định giá trị m trong phương trình 2
x  8x  m  0 để 4  3 là nghiệm của phương trình.
Với m vừa tìm được, phương trình đã cho còn một nghiệm nữa. Tìm nghiệm còn lại. Lời giải
Do 4  3 là nghiệm của phương trình nên thỏa:   2 4
3  84  3  m  0  m 13  0  m 13
Thay m  13 vào phương trình ta được phương trình: 2 x  8x 13  0 *    2 ' 4 1.13  3 x  4  3
Phương trình * có hai nghiệm phân biệt là: 1  x  4  3  2
Vậy x  4  3 là giá trị cần tìm. Câu 21: Cho phương trình 2 x   m   2 2
1 x  m  m 1  0 (m là tham số).
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m .
b) Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình. Tìm m sao cho A  2x  x 2x  x đạt giá 1 2   2 1  1 2
trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó. Lời giải a) Ta có      m   2     2 2 1 4.1. m  m   1  5  0 , m  .
Nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m . x  x  2m 1
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2  2 x x  m  m 1  1 2
Ta có A  2x  x 2x  x   5x x  2x  x   9x x  2 x  x 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2
 m  m     m  2 2 2 9 1 2 2 1  m  m 11
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 10/38 2 1 1 1  1  45 45 2  m  2. . m   11  m       , m  2 4 4  2  4 4 1 1
Dấu "  " xảy ra m   0  m   2 2 45 1 Vậy A   với m   . min 4 2 1 Câu 22: Cho phương trình 2 2 x  2mx  m   0 2 ( m là tham số).
a) Chứng minh rằng hhương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m .
b) Tìm m để hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau.
c) Tìm m để hai nghiệm đó là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3. Lời giải  1  1 a)   m2 ' 2 1. m    0   , m .  2  2
Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m .  2 x  m  1
b) Hai nghiệm của phương trình là 2   2 x  m  2  2 2 2 1 1 Theo đề bài ta có 2 2 m   m 
 m  2m   m  2m  2 2 2 2  2 2m  0  m  0
c) Theo định lý Pitago ta có: 2 2  2   2  m  2 2 2  m     m 
  9  2m 8  0  m  4  0   2   2       m  2  m  2 Vậy 
là các giá trị cần tìm. m  2  Câu 23: Cho phương trình 2
x  2x  m  3  0 (m là tham số).
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x  1. Tính nghiệm còn lại.
b) Tìm m để hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn hệ thức 3 3 x  x  8 1 2 1 2 Lời giải a) Vì phương trình 2
x  2x  m  3  0 có nghiệm x  1 nên ta có: 2 ( 1  )  2.( 1
 )  m  3  0  m  6  0  m  6 
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x  x  2  1   x  2  x  3 1 2 2 2
Vậy m  6 và nghiệm còn lại là x  3. b) 2
 ' 1 1.m  3  m  2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt '    0  m  2  x  x  2
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2  x x  m  3  1 2 Ta có
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 11/38 3 3 x  x  8 1 2 3
 (x  x )  3x x (x  x )  8 1 2 1 2 1 2 3  2  3.(m  3).2  8  6(m  3)  0  m  3  0  m  3
 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy m  3 là giá trị cần tìm.
Câu 24: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 2 x   m   2 2
1 x  m 1  0 có hai nghiệm phân
biệt x , x sao cho biểu thức 2 2
P  x  x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2 Lời giải    m  2   2 2 1 4.1. m   1  4m  5 5
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt    0  m  . 4 x  x   2m 1  1 2  
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  2 x x  m 1  1 2
Ta có P  x  x   x  x 2 2 2  2x x 1 2 1 2 1 2     m   2     2 m   2 2 1 2 1  2m  4m  3
 m  m      m  2 2 2 2. .1 1 1 3 2 1 1  1, m
Dấu "  " xảy ra m 1  0  m  1 (nhận) Vậy P  1 khi m  1. min Câu 25: Cho phương trình 2
x  m  5 x  2m  6  0 ( x là ẩn số)
a) Chứng minh rằng: phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m .
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn: 2 2 x  x  35. 1 2 1 2 Lời giải: a)       2 Δ m 5   4.1.  2m  6  m  2 5  4.2m  6 2
 m 10m  25  8m  24 2  m  2m 1  m  2 1  0; m 
Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn luôn có hai nghiệm.
b) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm x , x 1 2 thỏa hệ thức Vi-ét:  b  S  x  x   m  5;  1 2  a  c P  x x   2m  6 1 2  a Ta có: 2 2 x  x  35 1 2
  x  x 2  2x x  35 1 2 1 2  m  2 5  22m  6  35 2
 m 10m  25  4m 12  35  0 2
 m  6m  22  0   1
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 12/38 2
 '  3 1.22  9  22  31  0
Vì  '  0 nên phương trình  
1 có hai nghiệm phân biệt: m  3   31;m  3   31 1 2 Vậy m  3   31;  3  3  1 Câu 26: Cho phương trình 2
x  2x  m  2  0   1 ( m là tham số)
a) Tìm m để phương trình   1 có nghiệm
b) Tìm m để phương trình  
1 có 2 là một nghiệm và tìm nghiệm còn lại Lời giải a) Phương trình   1 có nghiệm :   '  0  1 m  2  0  3  m  0  m  3 Vậy phương trình   1 có nghiệm khi m  3 b) Do phương trình  
1 có 2 là một nghiệm nên thỏa: 2 2  2.2  m  2  0  m  6  0  m  6 
Thay m  6 vào phương trình  
1 ta được phương trình: 2 x  2x  8  0 * 2
 '  1 1.8 18  9  0,  '  9  3 1   3 1 3
Do  '  0 nên phương trình * có hai nghiệm phân biệt: x   2; x   4 1 2 1 1
Vậy m  6 và nghiệm còn lại là 4 là các giá trị cần tìm. Câu 27: Cho phương trình 2
x  mx  m 1  0   1 với x là ẩn số
a) Giải phương trình khi m  2
b) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
c) Gọi x , x là nghiệm của phương trình. Tính giá trị của biểu thức 1 2 A   x  2 1  x  2 1  2016 . 1 2 Lời giải
a) Khi m = 2, phương trình   1 trở thành: 2 x  2x 1  0 2 c 2
Ta có a  b  c  1 2 1  0 nên phương trình 2 có hai nghiệm: x  1  ; x      2  1 2 a 1
Vậy khi m  2 , tập nghiệm của phương trình 2 là S   1  ;  2 b)   m 
m    m  m   m  2 2 2 4.1. 1 4 4 2  0; với mọi m .
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
c) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm x , x 1 2 thỏa hệ thức Vi-ét:  b  S  x  x   m  1 2  a  c P  x x   m 1 1 2  a Ta có: A   x  2 1  x  2 1  2016 1 2
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 13/38 A  x   1  x   2 1   2016 1 2 
A   x x  x  x  2 1  2016 1 2 1 2 A  m   m  2 1 1  2016 2 A  0  2016 A  2016 Câu 28: Cho phương trình 2 x  2m  
1 x  2m  0 với x là ẩn số; m là tham số. Tìm m để phương
trình có nghiệm x  2 . Tìm nghiệm còn lại. Lời giải
Do phương trình có nghiệm x  2 nên thỏa: 2 2  2m   1 .2  2m  0
 4  4m  2  2m  0  2m  2  0  2m  2  m  1 
Thay m  1vào phương trình ta được phương trình: 2 x  3x  2  0 * c 2
Ta có a  b  c  1  3
   2  0 nên phương trình * có hai nghiệm: x 1; x    2 1 2 a 1
Vì x  2 nên nghiệm còn lại là x  1 2 1
Vậy m  1 và nghiệm còn lại là 1 là giá trị cần tìm. Câu 29: Cho phương trình 2 x  m  
1 x  m  2  0 ( x là ẩn số, m là tham số)
a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x , x 1 2
b) Tính tổng và tích của hai nghiệm x , x của phương trình theo m 1 2 c) Tính biểu thức 2 2
A  x  x  6x x theo m và tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất 1 2 1 2 Lời giải a)    2  m   2 1   4.1.  m  2  m   1  4m  2 2  m  2m 1 4m  8 2  m  2m  9   2 m  2m   1  8  m  2 1  8  0 ; với mọi m
Vậy phương trình lương có hai nghiệm phân biệt x , x 1 2 với mọi m .
b) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm x , x 1 2 thỏa hệ thức Vi-ét:  b  S  x  x   m 1  1 2  a  c P  x x   m  2 1 2  a c) Ta có 2 2
A  x  x  6x x   x  x  8x x  m  2 1  8m  2 2  m  2m 1 8m 16 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2  m  6m 17 2
 m  6m  9  8  m  2 3  8  8 ; với mọi m
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m  3
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là: MinA  8 khi và chỉ khi m  3 .
Câu 30: Cho phương trình: 2 x  2m  
1 x  4m  0 ( x là ẩn số, m là tham số).
a) Giải phương trình với m  1.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Lời giải
a) Với m  1 phương trình trở thành: 2 x  4x  4  0 * 2  '  2 1.4  0
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 14/38 b ' 2
Vì  '  0 nên phương trình * có nghiệp kép: x  x      2  1 2 a 1
Vậy với m  1, tập nghiệm của phương trình * là S    2 b) Ta có     m   2 ' 1  1.  4m  m  2 1  4m 2  m  2m 1 4m 2
 m  2m 1  m  2 1
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt     m  2 ' 0
1  0  m 1  0  m  1 
Vậy m  1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. Câu 31: Cho phương trình 2 2
x  2x  m 1  0 ( m là tham số)
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
b) Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình trên theo m .
c) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa: x  3  x 1 2 Lời giải a) Ta có 2     2 ' 1 1. m   1 2  1 m 1 2
 m  2  0 , với mọi m
Vì  '  0 , với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
b) Với mọi m , phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa hệ thức Vi-ét: 1 2  b  2 S  x  x    2  1 2  a 1  2 c m 1  2 P  x x    m 1 1 2  a 1
c) Ta có x  x  2 (do trên) và x  3
 x nên ta có hệ phương trình sau: 1 2 1 2 x  x  2  x  x  2   x  x  2  1 2 1 2 1 2      x  3x  x  3x  0 x  3x  0 1 2  1 2  1 2 x  x  2  x 1  2  x  3  1 2 1 1       * 2x  2  x  1 x  1 2  2  2
Thay * vào biểu thức 2
x x  m 1 ta được: 1 2   2 2
3 .1  m 1  m  2  m   2
Vậy m   2 là các giá trị cần tìm.
Câu 32: Cho phương trình: 2
x  m  2 x  m 1  0 ( m là tham số)
a) Chứng minh: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để có 2 2 x  x 13  x x 1 2 1 2 1 2 Lời giải
a) Ta có   m  2 2  4.1.m   1 2
 m  4m  4  4m  4 2
 m  8  0 , với mọi m .
Vì   0 , với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m .
b) Với mọi m , phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt nên thỏa hệ thức Vi-ét:  b  m  2 S  x  x     m  2  1 2    a 1  c m 1  P  x x    m 1 1 2  a 1 Theo đề bài, ta có: 2 2
x  x 13  x x   x  x
 2x x 13  x x  0   x  x  3x x 13  0 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2   2  m   2 2   3 
m  113  0  m  2 3m  1 13  0 2
 m  4m  4  3m  3 13  0
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 15/38 2
 m  m  6  0 * 2
 1  4.1.6 1 24  25  0;   25  5
Do   0 nên phương trình * có hai nghiệm phân biệt: 1 5 1   5 m   2; m   3 1 2 2.1 2.1
Vậy m  2; m  3 là các giá trị cần tìm . 1 2 Câu 33: Cho phương trình 2
x  x  m  2  0 với m là tham số và x là ẩn số
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm
b) Giả sử x , x là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để 3 3 x x  x x  10 1 2 1 2 1 2 Lời giải a) Ta có 2
  1  4.1.m  2  1 4m  8  9  4m 9
Để phương trình có nghiệm    0  9  4m  0  4m  9   m  4 9
Vậy m  thì phương trình có nghiệm . 4 9
b) Với m  thì phương trình trên có hai nghiệm x , x 4 1 2 thỏa hệ thức Vi-ét:  b  1 S  x  x    1   1 2  a 1  c m  2 P  x x    m  2 1 2  a 1 Ta có 3 3
x x  x x  10  x x  2 2 x  x  1  0 1 2 2 1  1 2 1 2
 x x  x  x 2  2x x  10  0 1 2 1 2 1 2       2 1 .
1  2.m  2 10  0  
 1 2m  4 10  0  1   2m  4 10  0  2m  5  0  2m  5 5  m   2 5 Vậy m  
2 thì phương trình trên có nghiệm. Câu 34: Cho phương trình 2
x  4x  m  3  0 ( x là ẩn)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x , x 1 2
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa 2 2 2 2 x  x  x x  51 1 2 1 2 1 2 Lời giải 2
a) Ta có  '  2 1.m  3  4  m  3  1 m
Để phương trình có nghiệm x , x   '  0  1 m  0  m  1 1 2
b) Theo câu a, ta có m  1 thì phương trình có hai nghiệm x , x 1 2 thỏa hệ thức Vi-ét:
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 16/38  b 4
S  x  x      4   1 2  a 1  c m  3 P  x x    m  3 1 2  a 1 Ta có 2 2 2 2
x  x  x x  51   x  x  2x x  x x  51  0 1 2 2 1 2  1 22 1 2 1 2
  2  m    m  2 4 2. 3 3  51  0 2
 16  2m  6  m  6m  9  51  0 2
 m  4m  32  0 * 2
 '  2 1.32  4  3 2  36  0; '  36  6
Do ∆’ > 0 nên phương trình * có 2 nghiệm phân biệt: 2  6 2  6 m   4 (loại); ;m   8 (nhận) 1 1 2 1
Vậy m  8 là giá trị cần tìm .
Câu 35: Cho phương trình: 2 x  m   2 2
3 x  m  3m 1  0 ( x là ẩn số, m là tham số)
a) Tìm m để phương trình luôn có nghiệm với mọi m .
b) Tìm m để A  x x 1  x đạt giá trị nhỏ nhất. 1  2  2 Lời giải 2 2 2 2
a) Ta có  '  m  3 1.m  3m  
1  m  6m  9  m  3m 1  9m 8 8 
Để phương trình luôn có nghiệm với mọi m   '  0  9m  8  0  9m  8  m  9 8
Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m  . 9 8 
b) Theo câu a, với mọi m 
thì phương trình luôn luôn có nghiệm thỏa hệ thức Vi-ét: 9  b  2m  3 S  x  x    2  m  3 1 2    a 1  2  c m  3m 1 2 P  x x    m  3m 1 1 2  a 1
Ta có A  x x 1  x  x x  x  x  x x  x  x 1 2  1 2 1  2  2 1 2 1 2  1  27 2
 m  3m 1 2m  3 2  m  3m 1 2m  6 2  m  m  7 2  m  m      4  4 2  1  27 27 2  1   m    , với mọi m (vì m   0, với     mọi m )  2  4 4  2  1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m  . 2 27 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là: MinA  khi và chỉ khi m  4 2
Câu 36: Cho phương trình bậc 2 có ẩn x : 2
x  2mx  2m 1  0   1
a) Chứng tỏ phương trình  
1 luôn có nghiệm x , x với mọi giá trị của m 1 2 b) Đặt A  2 2 2
x  x  5x x , tìm m sao cho A  27 1 2  1 2 Lời giải a) Ta có   m2 ' 1.2m   1 2
 m  2m 1  m  2 1  0 ; với mọi m
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 17/38
Do  '  0 (với mọi m) nên phương trình  
1 luôn có nghiệm x , x với mọi giá trị của m . 1 2
b) Theo câu a, với mọi m thì phương trình  
1 luôn có nghiệm x , x thỏa hệ thức Vi-ét: 1 2  b  2m S  x  x    2m  1 2  a 1  c 2m 1 P  x x    2m 1 1 2  a 1 Ta có A  2 2 2
x  x  5x x  2  x  x  2x x   5x x 1 2  1 2  2 1 2 1 2 1 2  
 2x  x 2  4x x 5x x  2 x  x  9x x   m2 2 2  92m   1 2  8m 18m  9 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Do A = 27 nên thỏa: 2 8m 18m  9  27 2  8m 18m 18  0 2
 4m  9m  9  0 * Ta có    2 9  4.4. 9
   81144  225  0;   225 15 9 15 9 15 3
Do   0 nên phương trình * có hai nghiệm phân biệt: m   3; m   1 2 2.4 2.4 4 3 Vậy m  3; m 
là các giá trị cần tìm. 1 2 4 Câu 37: Cho phương trình 2
x  m  3 x  m  5  0 ( x là ẩn)
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để 2 2 x  4x  x  4x  11 1 2 1 1 2 2 Lời giải 2 2 2 a) Ta có     m  3  4.1. 
m 5  m3  4.m5  m 6m94m 20 2   2 m 10m  25  m 10m  29  4  m  2
5  4  0 ; với mọi m .
Vì   0 (với mọi m ) nên phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Theo câu a, ta có với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x , x 1 2 thỏa hệ thức Viet:  b m  3 S  x  x      m  3  1 2  a 1  c m  5 P  x x    m  5 1 2  a 1 Ta có 2 2 x  4x  x  4x  11 2 2
 x  x  4 x  x 11  0  x  x 2  2x x  4 x  x 11  0 1 2 1 2  1 2  1 2  1 2  1 1 2 2  m  2
3  2m  5  4m  3 11  0 2
 m  6m  9  2m 10  4m 12 11  0 2
 m 12m  20  0   * Ta có    2 '
6 1.20  36  20  16  0;  '  16  4 6  4 6  4
Do ∆’ > 0 nên phương trình (6) có 2 nghiệm phân biệt: m   10; m   2 1 2 1 1
Vậy m  10; m  2 là các giá trị cần tìm. 1 2
Câu 38: Cho phương trình: 2
x  mx  2m  4  0 ( x là ẩn số)
a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
b) Tính tổng và tích của hai nghiệm theo m
c) Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình. Định m để 2 2 x  x  5 1 2 1 2
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 18/38 Lời giải a) Ta có: 2
  m  4.1.2m  4 2
 m  8m 16  m 2 4  0 ; với mọi m .
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
b) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm x , x 1 2 thỏa hệ thức Vi-ét:  b S  x  x   m  1 2  a  c P  x x   2m  4 1 2  a Ta có 2 2 x  x  5   x  x
 2x x  5  0  m2  2.2m  4  5  0 1 2 2 1 2 1 2 2  m  4m  8  5  0 2
 m  4m  3  0 * c 3
Vì a  b  c  1  4
   3  0 nên phương trình * có hai nghiệm: m 1; m    3 1 2 a 1
Vậy m  1; m  3 là các giá trị cần tìm. 1 2 Câu 39: Cho phương trình 2
x  2x  4m 1  0 ( x là ẩn số)
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa 2 2 x  x  2x  2x  12 1 2 1 2 1 2 Lời giải 2 a) Ta có  '    1 1.4m  
1  1 4m 1  2  4m 1
Để phương trình có nghiệm   '  0  2  4m  0  4  m  2  m  . 2 1
Vậy m  thì phương trình có nghiệm. 2 1
b) Theo câu a, với   0  m  thì phương trình có hai nghiệm x , x thỏa hệ thức Vi-ét: 2 1 2  b 2  S  x  x      2  1 2  a 1  c 4m 1 P  x x    4m 1 1 2  a 1 Ta có 2 2
x  x  2x  2x  12   x  x 2  2x x  2 x  x 12  0 1 2 1 2  1 2  1 2 1 2  2  2  24m  
1  2.2 12  0  4  8m  2  4 12  0  8  m  2  1 0  m  (thỏa) 4 1  Vậy m  là giá trị cần tìm. 4
Câu 40: Cho phương trình bậc hai: 2
x – 2mx  4m – 4  0 ( x là ẩn)
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để 2 x  2mx  8m  5  0 1 2 1 2 Lời giải 2 2
a) Ta có  '  m 1.4m  4  m  4m  4  m  2 2  0, m  Do  '  0, m
 nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m .
b) Theo câu a)  '  0  m  2 nên phương trình luôn có hai nghiệm x , x thỏa hệ thức Vi- 1 2 ét:
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 19/38  b 2m S  x  x    2m  1 2  a 1  c 4m  4 P  x x    4m  4 1 2  a 1
Do x là nghiệm của phương trình nên thỏa: 2 x  2mx  4m  4  0 1 1 1 2
 x  2mx  4m  4 * 1 1 Ta có 2 x  2mx  8m  5  0 1 2
 2mx  4m  4  2mx 8m  5  0 * ) 1 2 (do  
 2mx  x 12m  9  0 1 2 
 2m.2m 12m  9  0 (do hệ thức Vi-ét) 2  4m 12m  9  0  2m  32  0  2m  3  0  2m  3 3  m  2 3
Vậy m  là giá trị cần tìm. 2
Câu 41: Cho phương trình: 2
x  2m  4 x  m  6  0
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. 1 1
b) Tính theo m biểu thức A  
rồi tìm m   để A . x x 1 2 Lời giải a) Ta có:     m   2 ' 4    m 6   m  2 ' 4  m  6 2
 '  m 8m 16  m  6 2  '  m  9m  22 2  9  7  '  m    0, m     2  2 Do  '  0, m
 nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Theo câu a,  '  0, m
 nên phương trình luôn có hai nghiệm x , x thỏa hệ thức Vi-ét: 1 2  b x  x     2
 m  4   2 m  4  2m 8  1 2       a  c x .x   m  6 1 2  a 1 1 x  x 2m  8 2 m  6 12  8 1 2   Có: A      x x x .x m  6 m  6 1 2 1 2
2m  6  4 2m  6 4 4     2  m  6 m  6 m  6 m  6 4 Để A  thì
 suy ra 4m  6 hay m  6 Ư(4)= 4  ; 2  ; 1  ;1; 2;  4 m  6
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 20/38 Lập bảng: m  6 -4 -2 -1 1 2 4 m 2 4 5 7 8 10 Vậy m 2;4;5;7;8;1  0 thì A  .
Câu 42: Cho phương trình: 2
x  2m  2 x  2m  0   1 với x là ẩn số.
a) Chứng tỏ phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x , x 1 2
b) Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức 2 x  x  x . 2 1 1 Lời giải a) Ta có:     m   2 ' 2    2m  m  2 2  2m 2  m  4m  4  2m 2
 m  2m  4  m  2 1  3  0, m  Do  '  0, m
 nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Theo câu a,  '  0, m
 nên phương trình luôn có hai nghiệm x , x thỏa hệ thức Vi-ét: 1 2  b  S  x  x 
  2 m  2   2 m  2  2m  4  1 2       a  c P  x .x   2m 1 2  a Ta có: 2
x  x  x  x  x  2 m  2 x  2m  2m  4  x  x  2 m  2 x  2m 1 1   2 1   2 1 1 1 1   4 2
4  2x  2m  4 x  x   1   1 1 2  2m 1 m 2 2  2   2  Thay x  vào  2 m  2  2m  0   1 ,ta được:     1   1 m 1 m  1 m  4
4m  21 m 2m1 m2     0 1 m2 1 m2 1 m2    2 m  m    m 2 4 4 3 2 2 1 2m  m   0 2 2 3
 4  4m 12m  8  2m  4m  2m  0 3 2
 2m  8m 14m 12  0 3 2
 m  4m  7m  6  0  m   2 2 m  2m  3  0  m  2
Vậy m  2 là giá trị cần tìm.
Câu 43: Cho phương trình: 2 2 x  2x  2m  0   1 với x là ẩn số.
a) Chứng minh rằng phươ ng trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m .
b) Tìm giá trị của m đ ểhai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức 2 2 x  4x . 1 2 Lời giải
a) Ta có:    2   2  m  2 ' 1 2  1 2m  0, m Do  '  0, m
 nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 21/38 b) Theo câu a,  '  0, m
 nên phương trình luôn có hai nghiệm x , x thỏa hệ thức Vi-ét: 1 2  b  S  x  x    2   2  1 2    a  c 2 P  x .x   2m 3 1 2    a x  2x Có: 2 2 1 2 x  4x  1 2 x  2x  1 2  4 x     1 x 2x  4 2 TH1: 1 2 3   
thay vào 3 .Ta được: 2   2m (vô lý) x  x  2 2  3 3 1 2 x  2  3 x  2  x x  4 TH2: 1 2 1   
thay vào 3 . Ta được:   2 2
4 2  2m  m  4  m  2  . x  x  2 x  2   1 2  2
Vậy m  2 là giá trị cần tìm .
Câu 44: Cho phương trình: 2 x   m   2 3
2 x  2m  m  3  0   1 ,(với x là ẩn số).
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
b) Gọi x , x là các nghiệm của   1 . Tìm m để x  3x . 1 2 1 2 Lời giải a) Ta có:      m   2     2 3 2 4 2m  m  3   m  2 2 3 2  8m  4m 12 2 2
 9m 12m  4 8m  4m 12  m  m   m  2 2 8 16 4  0, m  Do   0, m
 nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m .
b) Theo câu a,   0  m  4 nên phương trình luôn có hai nghiệm x , x thỏa hệ thức Vi-ét: 1 2  b  S  x  x 
   3m  2   3m  2  1 2     a   c 2
P  x .x   2m  m 3 3 1 2    a
Ta có hệ phương trình sau:  9m  6 x     1 x 3x   1 2  4 9m 6 3m 2   
, thay vào 3 , ta được: 2   2m  m  3 x  x  3m  2 3m  2  4 4 1 2 x  2  4
  m   m     2 9 6 3 2 16 2m  m  3 2 2
 27m  36m 12  32m 16m  48 2  5m  20m  60  0 2  m  4m 12  0  m  2,m  6 Vậy m  2
 , m  6 là giá trị cần tìm. 2
Câu 45: Cho phương trình: x  m   2 2 2 x  m  0   1 với x là ẩn số.
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 22/38
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x , x thỏa mãn  x 1 x 1  x x  x x  2 . 1  2  2 2 1 2 1 2 2 1 Lời giải
a) Ta có:   m  2  m   m  2 2 2 ' 2 2  m  0, m  Do  '  0, m
 nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Theo câu a,  '  0, m
 nên phương trình luôn có hai nghiệm x , x thỏa hệ thức Vi-ét: 1 2  b  S  x  x   2 m  2  4  2m  1 2    a  c 2 P  x .x   m 3 1 2    a Ta có:  x   1  x   2 2 1  x x  x x  2 1 2 1 2 2 1
 x x  x  x 1  x x x  x  2 1 2  1 2  1 2  1 2  2 2
 m  4  2m 1  m 4  2m  2 2 2 3 2
 m  2m  5  4m  2m  2m 3 2
 2m  5m  2m  5  0 2
 m 2m  5  2m 5  0   m   2 2 5 m   1  0 5  m  2 5
Vậy m  là giá trị cần tìm. 2
Câu 46: Cho phương trình: 2 x  m   2 2 1 x  m  3  0   1 ( với x là ẩn số)
a) Tìm điều kiện để   1 có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x , x thỏa mãn 1 2 2x  1x   1  2x   1  x   2 2 1  x  x 14 . 1 2 2 1 1 2 Lời giải a) Ta có:     m   2     2 ' 1 m  3  m  2 2 1  m  3 2 2
 m  2m 1 m  3  2m  4 Để  
1 có nghiệm thì  '  2m  4  0  m  2
b) Theo câu a)  '  0  m  2 nên phương trình luôn có hai nghiệm x , x thỏa hệ thức Vi- 1 2 ét:  b  S  x  x 
  2 m 1   2m  2  1 2     a   c 2 P  x .x   m 3 3 1 2    a Ta có: 2x  1x   1  2x   1  x   2 2 1  x  x 14 1 2 2 1 1 2
 2x x  2x  x 1 2x x  2x  x 1  x  x 2  2x x 14 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2
 4x x  x  x   2  x  x 2  2x x 14 1 2 1 2 1 2 1 2
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 23/38
  x  x 2  6x x  x  x 16  0 1 2 1 2  1 2   m  2   2 2 2
6 m  3  2m  2 16  0 2 2
 4m  8m  4  6m 18  2m  2 16  0 2  2m  6m  36  0 2  m  3m 18  0  m  3  ,m  6
Vậy m  6 là giá trị cần tìm.
Câu 47: Tìm m để phương trình 2
x  mx  3  0 ( m là tham số) có hai nghiệm thoả mãn 3x  x  6 1 2 Lời giải Ta có: 2   m 12
Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì   0  m  2 3 hoặc m  2  3  x  x  m (1) 1 2 
Kết hợp với hệ thức Viét ta có : 3  x  x  6 (2) 1 2  x x  3 (3)  1 2 6  m 3m  6 Giải hệ   1 ,2 ta được x  ; x  1 2 2 2 6  m 3m  6 Thay x  , x  vào 3 ta được : 1 2 2 2 6  m 3m  6 
 3  6  m3m  6 12  m  4 2 2
Vậy m  4 là giá trị cần tìm . Câu 48: Cho phương trình 2 x   m   2 5
1 x  6m  2m  0   1 ( m là tham số)
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m .
b) Gọi x , x là nghiệm của phương trình. Tìm m để 2 2 x  x  1. 1 2 1 2 Lời giải a) Ta có:      m   2     2 5 1 4 6m  2m 2 2
 25m 10m 1 24m  8m 2
 m  2m 1  m  2 1  0, m Vì   0, m
 nên phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
b) Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình 1 2 5m 1 m 1 5m 1 m   1 Ta có: x   3m 1 ; x   2m 1 2 2 2 Theo đề bài: 2 2
x  x  1   m  2   m2 3 1 2 1 2 2
 9m  6m 1 4m 1  0 1 2 2  13m  6m  0  m  6 0 ; m  13 6 Vậy m  0 ; m  là giá trị cần tìm. 13
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 24/38
Câu 49: Cho phương trình: 2
x  2(m 1)x  m  3  0   1
a) Chứng minh rằng phương trình  
1 luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b) Gọi x , x là 2 nghiệm của phương trình  
1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 2 2 P  x  x . 1 2
c) Tìm hệ thức giữa x và x không phụ thuộc vào m . 1 2 Lời giải
a) Ta có:    m  2 ' ( 1)  m  3 2
 '  m  2m 1 m  3 2  '  m  3m  4 2 2  3 3     3 2   '  m  2. . m
     4    2  2     2   2  3  7  '  m    0, m     2  4 Do  '  0, m
 nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình   1 1 2  b S  x  x   2 m 1 2  1 2     
Áp dụng định lý Vi-ét: a  c P  x x   m 3 3 1 2    a Theo đề bài ta có: 2 2 P  x  x 1 2 P   2 2 x  x  2x x  2x x 1 2 1 2  1 2
P   x  x 2  2x x 1 2 1 2 P  m  2 4 1  2m  3 2
P  4m  8m  4  2m  6 2 P  4m 10m 10 2 2       P   m2 5 5 5 2  2.2 . m
    10    2  2     2   2  5  15 15 P  2m    , m     2  2 2 5 5
Dấu "  " xảy ra  2m   0  m  2 4
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 25/38 15 5 Vậy Min  2 2 x  x  khi m  . 1 2  2 4
c) Từ 3  m  x x  3 1 2
Thay m  x x  3 vào 2 , ta được: x  x  2 x x  31  x  x  2x x  4 1 2  1 2  1 2 1 2 1 2
Câu 50: Cho phương trình bậc hai (ẩn x , tham số m ): 2
x – 2mx 2m 1  0   1
Với giá trị nào của m thì phương trình  
1 có hai nghiệm x , x thỏa mãn x  3x . 1 2 1 2 Lời giải Ta có:   m2 '  2m   1 2  '  m  2m 1   m  2 ' 1  0, m 
Với m  1 thì phương trình   1 có hai nghiệm x , x 1 2  b S  x  x   2m 2  1 2   
Áp dụng Định lý Vi-ét: a  c
P  x x   2m 1 3 1 2    a  m   x  x  2m 4x  2m x  2  Giải hệ: 1 2 2  2     4 x  3x  0  x  3x  0 3m 1 2  1 2 x  1  2 2 3m
Thay 4 vào 3 , ta được:  2m 1 2
 3m  8m  4  0 * 4    2 ' 4  3.4  '  4  '  2  0 2
Nên phương trình * có 2 nghiệm phân biệt: m  2; m  1 2 3 2
Vậy m  2; m  là giá trị cần tìm. 1 2 3
Câu 51: Cho phương trình: 2 x – 5x  m  0   1 ( m là tham số).
a) Giải phương trình trên khi m  6 .
b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x , x thỏa mãn: x  x  3. 1 2 1 2 Lời giải
a) Với m  6 phương trình   1 trở thành 2 x – 5x  6  0 *
  25 – 4.6  1  0. Suy ra phương trình có hai nghiệm: x  3; x  2. 1 2 b) Ta có:   25  4m
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 26/38 25
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm x , x thì   0  m  . 1 2 4
Kết hợp với hệ thức Vi-ét, ta có : x 1 x  x  5 1 1 1 2     x  x  5 x  4  
x x  m 2 . Giải hệ   1 , 3 : 1 2 2   4 1 2     x x 3     x  4 x  x  3 3 1 2 1   1 2    x  1  2
Từ 2 và 4 suy ra: m  4 . Thử lại thì thoả mãn.
Vậy m  4 là giá trị cần tìm.
Câu 52: Cho phương trình ẩn x : 2 x – 2mx  4  0   1
a) Giải phương trình đã cho khi m  3 .
b) Tìm giá trị của m để phương trình  
1 có hai nghiệm x , x thỏa mãn: 1 2  x  2 1   x  2 1  2 . 1 2 Lời giải
a) Với m = 3 phương trình   1 trở thành: 2 x – 6x  4  0 2
Giải 2 ra ta được hai nghiệm: x  3  5, x  3  5 . 1 2 b) Ta có: 2  '  m  4 . m  2 Phương trình  
1 có nghiệm   '  0   * m  -2  b S  x  x   2m  1 2 
Theo hệ thức Vi-ét ta có: a  c P  x x   4 1 2  a Ta có :  x  2 1   x  2 1  2 2 2
 x 2x 1 x 2x 1  2 2 2  x x  2 x x  0 1 2  1 2  1 2 1 1 2 2
  x x 2  2x x  2 x x  0   m2 2  2.4  2.2m  0 2  4m  4m  8  0 1 2 1 2  1 2  m  1 2  m  m  2  0 1   . m  2   2
Đối chiếu với điều kiện * ta thấy chỉ có nghiệm m  2  thỏa mãn. 2
Vậy m  2 là giá trị cần tìm.
Câu 53: Cho phương trình ẩn x : 2 x – 2mx 1  0   1
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x và x . 1 2
b) Tìm các giá trị của m để: 2 2 x  x – x x  7 . 1 2 1 2 Lời giải a) Ta có: 2  '  m 1  0, m 
Do đó phương trình  
1 luôn có hai nghiệm phân biệt x và x . 1 2
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 27/38  b S  x  x   2m  1 2  b) Theo định lí Vi-ét: a  c P  x x    1 1 2  a Ta có: 2 2
x  x – x x  7   x  x  3x x  7   m2 2  3  1  7 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2  4m  3  7  m  1 
Vậy m  1là giá trị cần tìm.
Câu 54: Cho phương trình ẩn x : 2
x – x 1 m  0   1
a) Giải phương trình đã cho với m  0 .
b) Tìm các giá trị của m để phương trình  
1 có hai nghiệm x , x thỏa mãn: 1 2 x x x x – 2  3 x  x . 1 2  1 2   1 2  Lời giải
a) Với m  0 phương trình   1 trở thành 2 x – x 1  0 2 Ta có :    2 1  4.1.1  3
  0 , nên phương trình 2 vô nghiệm. b) Ta có:    2 1 – 41 m  3  – 4m 4 
Để phương trình có nghiệm thì   0  3m  4  0  m  * 3
Theo hệ thức Vi-ét ta có:  b  S  x  x  1  1 2  a  c P=x x  1 m 1 2  a
Thay vào đẳng thức: x x x x – 2  3 x  x ta được: 1 m1 m – 2  3.1 1 2  1 2   1 2   1 mm –  1  3 2  m 1  3 2  m  4  m  2
Đối chiếu với điều kiện * suy ra chỉ có m  2 thỏa mãn.
Vậy m  2 là giá trị cần tìm. Câu 55: Cho phương trình 4 2 2
x  (m  4m)x  7m 1  0 . Định m để phương trình có 4 nghiệm phân
biệt và tổng bình phương tất cả các nghiệm bằng 10 Lời giải Đặt 2 X  x  X  0 Phương trình trở thành 4 2 2
X  (m  4m)X  7m 1  0 (1)
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt  (1) có 2 nghiệm phân biệt dương   0 2 2
(m  4m)  4(7m 1)  0    S  0 2  m  4m  0 (I) P  0   7m 1  0 
Với điều kiện (I), (1) có 2 nghiệm phân biệt dương X , X . 1 2
 Phương trình đã cho có 4 nghiệm x   X ; 1,2 1 x   X 3,4 2
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 28/38 2 2 2 2 2
 x  x  x  x  2(X  X )  2(m  4m) 1 2 3 4 1 2 m  1 Vậy ta có 2 2
2(m  4m)  10  m  4m  5  0   m  5
Với m  1, (I) thỏa mãn
Với m  5 , (I) không thỏa mãn.
Vậy m  1 là giá trị cần tìm. Câu 56: Cho phương trình 2 2x  2m  
1 x  m 1  0 . Không giải phương trình, tìm m để phương
trình có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 3x  4x  11 . 1 2 1 2 Lời giải.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x khi   0   m  2 2 1  4.2.m   1  0 1 2 2
 4m  4m 1 8m  8  0 2
 4m 12m  9  0   m  2 2 3  0 3
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x , x với mọi m   1 . 1 2 2  2m 1  13  4m x  x   x   1 2  1 2 7    m 1  7m  7
Theo định lí Vi-et, ta có: x x   x  * 1 2 2   2 26  8m   3  x  4x  11  13  4m 7m  7 1 2 3.  4. 11     7 26  8m
Giải phương trình * ta được: m  2  m  4,125 .
So với điều kiện  
1 , ta được: m  2  m  4,125 .
Câu 57: Cho phương trình: 2 x  m   2 2 1 x  m  3  0   1 ( m là tham số).
a) Tìm m để phương trình   1 có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình  
1 có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia. Lời giải.
a) Tìm m để phương trình   1 có nghiệm. Phương trình  
1 có nghiệm khi và chỉ khi   0    m   2     2 2 1 4. m  3  0 2 2
 4m  8m  4  4m 12  0  m  2 .
Vậy với m  2 phương trình   1 luôn có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình  
1 có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.
Với m  2 phương trình   1 có 2 nghiệm.
Gọi a là một nghiệm thì nghiệm kia là 3a . a  3a  2m   1 Theo Vi-et, ta có:  2  . a 3a  m  3
Giải hệ phương trình trên, ta được: m  3
  2 6 thỏa mãn điều kiện. Vậy m  3
  2 6 phương trình  
1 có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lân nghiệm kia.
Câu 58: Cho phương trình: 2 x  mx  m 1  0 .
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 29/38
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m .
b) Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu 1 2 2x x  3 thức: 1 2 P  . 2 2 x  x  2 x x 1 1 2  1 2  Lời giải.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m .
Phương trình luôn có nghiệm với mọi m khi và chỉ khi   0 2  m  4m   1  0  m  2 2  0
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m . 2x x  3
b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 2 P  . 2 2 x  x  2 x x 1 1 2  1 2  x  x  m Theo Vi-et, ta có: 1 2  . x .x  m 1  1 2 2m 1 Khi đó: P  2 m  2
Tìm điều kiện để P có nghiệm theo ẩn 1 Suy ra   P  1. 2 1
Vậy giá trị lớn nhất bằng 1 khi m  1, giá trị nhỏ nhất bằng  khi m  2 . 2 2 2 Câu 59: Cho phương trình 2 2 x  mx  m  4m 1  0   1 2  3 2  3
a) Giải phương trình   1 với m  1. 1 1
b) Tìm m để phương trình   1 có 2 nghiệm thỏa mãn   x  x . 1 2 x x 1 2 Lời giải.
a) Giải phương trình   1 với m  1.
Thế m  1 vào phương trình   1 ta được 2 x  2x  9  0 . x  1   10
Giải phương trình này ta được: 1  . x  1   10  2 1 1
b) Tìm m để phương trình   1 có 2 nghiệm thỏa mãn   x  x . 1 2 x x 1 2 1
Để phương trình có 2 nghiệm thì   0  8  m  2  0  m    * . 4 2
Để phương trình có nghiệm khác 0 thì: 2 m  4m 1  0 2  3 m  4   3 2 Hay 1  ** . m  4   3 2  2 1 1 x  x  0 Theo đề bài, ta có: 
 x  x   x  x x x 1  0 1 2  1 2   1 2  1 2 x x x x 1 0 1 2  1 2
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 30/38 m  0 2m  0     m  4  19 . 2  m  8m  3  0 m  4 19 
Kết hợp với điều kiện * và ** , ta được m  0  m  4  19 .
Câu 60: Xác định các giá trị của tham số m để phương trình: 2
x  m  5 x  m  6  0 .
Có hai nghiệm x , x thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: 1 2
a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị. b) 2x  3x  13 . 1 2 Lời giải.
Để phương trình có hai nghiệm x , x thì   0 1 2  m  2 5  4m  6  0 2
 m 14m 1  0  m  7   4 3  m  7   4 3   *
a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị. x  x  1 2 1 
Giả sử x  x , theo Vi-et, ta có: x  x  m  5 . 1 2 1 2 x x  m  6  1 2
Giải hệ trên ta được: m  0  m  14 thỏa mãn * . 2x  3x  13 1 2 
b) Theo giả thiết ta có: x  x  m  5 1 2 x x  m  6  1 2
Giải hệ trên ta được: m  0  m  1 thỏa mãn * .
Câu 61: Cho phương trình: 2 x  2m   1 x  m  3  0   1
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình  
1 mà không phụ thuộc vào m .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2
P  x  x (với x , x là 2 nghiệm của phương trình   1 ) 1 2 1 2 Lời giải.
a) Để phương trình  
1 luôn có hai nghiệm phân biệt thì:   0 2    3  7 m  2 1  m  3  0 2
 m  3m  4  0  m    0   luôn đúng với mọi m .  2  4 Vậy phương trình  
1 luôn có hai nghiệm với mọi m . x  x  2 m 1 x  x  2m  2 1 2   b) Theo Vi-ét:  1 2   . x .x  m  3  2x .x  2m  6 1 2  1 2
d) Suy ra x  x  2x x  4 hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình   1 mà không 1 2 1 2 phụ thuộc vào m . 2  
P  x  x   x  x 2  2x x  2m  22 5 2 2 2
 2m  6  4m 10m 10  2m   4  4 1 2 1 2 1 2    2 
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 31/38 5
Vậy P  4 khi và chỉ khi m  . min 4 Câu 62: Cho ph-¬ng tr×nh: 2 x   m   2 2
1  m  m  6  0 *
a) Tìm m để phương trình * có hai nghiệm.
b) Tìm m để phương trình * có hai nghiệm   x , x thỏa mãn 3 3 x x 50 . 1 2 1 2 Lời giải.
a) Để phương trình * có hai nghiệm thì:   0   m  2   2 2 1
4 m  m  6  0  25  0
Vậy phương trình * luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . x .x  0 2 m  m  6  0
Để phương trình * có hai nghiệm âm thì: 1 2    x  x  0  2m 1  0 1 2  m  3   m  2    1  m  3 m    2
Vậy với m  3 thì phương trình * luôn có hai nghiệm âm.
b) Với   25 suy ra x  m  2; x  m  3 1 2 Theo giả thiết, ta có: 3 3
x  x  50  m  3  m  3 2 3  50   2 5 3m  3m  7  50 1 2  1   5 m  1 2  m  m 1  0 2   .  1   5 m  2  2
Câu 63: Bài 9. Cho phương trình có ẩn x : 2
x  mx  m 1  0 ( m là tham số )
1. Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm x , x với mọi m . 1 2 2. Đặt 2 2 A  x  x  6x .x 1 2 1 2 a) Chứng minh 2 A  m  8m  8 b) Tìm m sao cho A  8 .
c) Tính giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng. d) Tìm m sao cho x  3x . 1 2 Lời giải.
1. Để phương trình có hai nghiệm x , x thì   0 2  m  4m   1  0  m  2 2  0 1 2
Vậy với m  2 phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt. 2. 2 2 A  x  x  6x .x 1 2 1 2 a) 2 2
A  x  x  6x .x  x  x 8x x 2  m 8m   1 2  m 8m  8 1 2 2 1 2 1 2 1 2 b) Với A  8 2
 m  8m  8  8  m  8  m  0
c) A  m  m   m  2 2 8 8 4  8  8 Vậy A
 8 khi và chỉ khi m  4 . min
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 32/38 x  x  m 1 2 m  4  1
d) Theo Vi-et, ta có: x x  m 1   . 1 2 4  m  x  3x  2  1 2 3
Câu 64: Bài 10. Cho phương trình bậc 2 có ẩn x : 2 x  2mx  2m 1  0
1. Chứng tỏ phương trình có nghiệm x , x với mọi m . 1 2 2. Đặt A  2 2 2 x  x  5x x 1 2  1 2 a) Chứng minh 2 A  8m 18m  9 b) Tìm m sao cho A  27 .
c) Tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất. d) Tìm m sao cho x  3x . 1 2 Lời giải.
1. Chứng tỏ phương trình có nghiệm x , x với mọi m . 1 2
Để phương trình có 2 nghiệm thì   0 2  4m  42m   1  0   m  2 2 2  0
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm x , x với mọi m . 1 2 2. A  2 2 2
x  x  5x x  A  2  x  x
 2x x   5x x  A  2 x  x  9x x 1 2 2 1 2  1 2 1 2 1 2    2 1 2 1 2 x  x  2m Theo Vi-et, ta có: 1 2  . x x  2m 1  1 2
a) A   m2   m   2 2 2 9 2
1  8m 18m  9 (đpcm). m  3 1
b) Theo giả thiết, ta có: A  27 2  8m 18m  9  27 2  4m  9m  9  0   3 . m   2  4 2  9  9 9
c) Tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất: 2
A  8m 18m  9  2 2m        2 2  8 8 9 9 Vậy A   khi m   . min 8 8 d) Tìm m sao cho x  3x . 1 2 x  x  2m 1 2 m  2  1
Theo Vi-et, ta có: x x  2m 1   . 1 2 2  m  x  3x  2  1 2 3
Câu 65: Bài 11. Cho phương trình bậc hai ẩn x ( m tham số ): 2 x  2m   1 x  2m  5  0   1
1. Giải và biện luận số nghiệm của x , x của m theo tham số m . 1 2
2. Tìm m sao cho x , x thỏa mãn: 1 2 x x a) 1 2   2. x x 2 1 b) x  x  2x x  6 1 2 1 2 c) 2x  3x  5  . 1 2
d) Tìm m sao cho 12 10x x   2 2
x  x đạt giá trị lớn nhất. 1 2 1 2  Lời giải.
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 33/38
1. Giải và biện luận số nghiệm của x , x của   1 theo tham số m . 1 2   m  2 2 1  2m  5  m  4 . - Nếu   0 2  m  4  0  2   m  2 Phương trình   1 vô nghiệm. m  2 - Nếu   0 2  m  4  0   m  2  Phương trình  
1 có nghiệm duy nhất x  1 . - Nếu   0 2  m  4  0  2   m  2 Phương trình  
1 có hai nghiệm phân biệt.
2. Tìm m sao cho x , x thỏa mãn 1 2 x  x  2 m 1 1 2   - Theo Vi-et, ta có:  x x  2m  5  1 2 5 -
Điều kiện nghiệm khác 0  m  * 2 x x a) 1 2   2 x x 2 1 2 2
 x  x  2x x  x  x  4x x  0  m  2 4
1  8m  20  0  m  2  1 2 2 1 2 1 2 1 2
b) x  x  2x x  6  2  m  
1  4m 10  6  m  1 1 2 1 2 x  x  2 m 1 1 2    13
c) Theo giả thiết, ta có: x x  2m  5  m   m  2 1 2 1 2  6 2x  3x  5  1 2
d) Tìm m sao cho 12 10x x   2 2
x  x đạt giá trị lớn nhất. 1 2 1 2  Ta có:12 10x x   2 2 x  x  12  8x x  x  x 
  m    m  2 12 8 2 5 4 1 1 2  1 2 2 1 2 1 2  2  4
 m  24m  32   m  2 4 3  23  9  2  
Đẳng thức đạt giá trị lớn nhất bằng 92 khi m  3 .
Câu 66: Bài 12. Cho phương trình: 2 x  m   2 2
1 x  m  3  0 ( m là tham số )
a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm giá trị của m để 2 2
x  x  4, với x , x là hai nghiệm của phương trình. 1 2 1 2 Lời giải.
a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì   0    2  m  4  m  2 x  x  2 m 1 1 2    b) Theo Vi-et, ta có: 2 x x  m  3  m  1 m  3 1 2  2 2 x  x  4  1 2
Câu 67: Bài 13. Cho phương trình: 2
x  mx  m 1  0 (1) ( m là tham số )
a) Chứng minh phương trình (1) có 2 nghiệm với mọi m .
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x , x thỏa mãn hệ thức 2 2 x x  x x  2 . 1 2 1 2 1 2 Lời giải.
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 34/38
a)   m  m   m  2 2 4 4 2  0 với mọi m . b) 2 2
x x  x x  2  x x x  x  2  m   1 m  2 2
 m  m  2  0  m  1 m  2 . 1 2  1 2  1 2 1 2
Câu 68: Bài 14. Cho phương trình: 2 x  2mx  2m  3  0
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
b) Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình theo m .
c) Tìm m để x  x  2x x  3 ( x , x là nghiệm của phương trình trên ). 1 2 1 2 1 2 Lời giải.
a)   m  m   m  2 2 2 3 1  2  0
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . x  x  2m b) Theo Vi-et, ta có: 1 2  x x  2m  3  1 2
c) x  x  2x x  3  2m  3 3  m  . 1 2 1 2 2
Câu 69: Bài 15. Cho phương trình: 2
x  2m  2 x  2m  5  0 ( x là ẩn số )
a) Chứng tỏ phương trình trên có 2 nghiệm x , x với mọi m . 1 2 b) Tìm m để 2 2
A  x x  x  x đạt giá trị lớn nhất. 1 2 1 2 Lời giải.
a)   m  2   m    m  2 2 2 5 3  0
Vậy với mọi m phương trình luôn có 2 nghiệm x , x . 1 2 2  9 3    3
b) A  x x  x  x  x x   x  x 2  2m  5  4m  22 2 2    2m        1 2 1 2 1 2 1 2  2  4   4  3 9 Vậy A   khi m  . max 4 4
Câu 70: Bài 16. Cho phương trình: 2 x  2m  
1 x  m  0 ( m là tham số )
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . b) Tìm m để 2
A  x  x  2mx  x x đạt giá trị nhỏ nhất. 1 1 2 1 2 Lời giải.
a)    m  2  m  m  m   m  2 2 2 1 4 4 8 4 4 1  0
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
b) Theo Vi-et, ta có: x  x  2m 1 và x x  m 1 2 1 2 3 3 3 Khi đó: 2 A  4m   . Vậy A  khi m  0 . 2 2 min 2
Câu 71: Bài 17. Cho phương trình: 2 x   m   2 2
3 x  m  m 1  0 ( x là ẩn )
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Cho 2 2
B  x  x  5x x tìm m để B đạt giá trị lớn nhất. 1 2 1 2 Lời giải.
a)    m  2   2 2 3 4 m  m   1  8m  5
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 35/38
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì   5 0  m  . 8
b) B   x  x 2  7x x 1 2 1 2 B   m  2   2 2 3 7 m  m   1 2  5 49    49 B  3 m        6  36   12  49 5 Vậy B  khi m   . max 12 6
Câu 72: Bài 18. Cho phương trình: 2 x  m   2 2 1 x  m  4m  3  0
a) Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A  x x  2 x  x và giá trị của m tương ứng. 1 2  1 2  Lời giải.
a)   m  2   2 1
m  4m  3  2m  2
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì   0  m  1 .
b) Theo Vi-et, ta có: x  x  2 m 1 và 2 x x  m  4m  3 1 2   1 2 Khi đó: 2
A  m  4m  3  4m   1 2  A  m 1  1  Vậy A  1 khi m  0. min
Câu 73: Bài 19. Cho phương trình: 2 2x  2m   1 x  m 1  0
a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm x , x . 1 2
b) Viết tổng và tích hai nghiệm theo m. 4x 1 4x 1
c) Tìm m để 2 nghiệm x , x của phương trình thỏa mãn: 1 2   9  1 2 x x 2 1 Lời giải. a)    m  2 2 1  4.2.m   1   m  2 2 3  0
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm x , x . 1 2 2m 1 m 1
b) Theo Vi-et, ta có: x  x   và x x  \. 1 2 2 1 2 2
c) Điều kiện để x và x khác 0 là m  1 1 2 4x 1 4x 1 Theo giả thiết, ta có: 1 2   9
  4x  x 2  x  x  x x  0 1 2  1 2 x x 1 2 2 1    m  2 2m 1 2 1   m 1  0 2
 8m  4m  0  m  0  m  2 thỏa điều kiện m  1. 2 Câu 74: Cho phương trình 2 x  2mx  2m 1  0
a) Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm x , x với mọi m . 1 2 b) Đặt A  2 2 2
x  x  5x x . Tìm m sao cho A = 27. 1 2  1 2 Lời giải. 2  1  7 a) 2
  m  m  2  m    0    2  4
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 36/38
Vậy phương trình trên luôn có hai nghiệm với mọi m .
b) A  2x  x  5x x  2x  x 2 2 2 2  9x x  8m 18m  9 1 2 1 2 1 2 1 2 3
Theo giả thiết, có: A  27 2  8m 18m  9  27 2
 8m 18m 18  0  m  3 m   . 4
Câu 75: Bài 21. Cho phương trình 2
x  2mx  m  2  0   1 ( x là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m .
b) Định m để hai nghiệm x , x của phương trình (1) thỏa mãn: 1 2
1 x 2 x 1 x 2  x  2 2  x  x  2 1 2 2 1 1 2 Lời giải. 2  1  3 a) 2
  m  m  2  m    0    2  2 Vậy phương trình  
1 luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m .
b) Theo Vi-et, ta có: x  x  2m và x x  m  2 1 2 1 2
Theo giả thiết, ta có: 1 x 2  x   1 x 2  x  2 2  x  x  2 1 2 2 1 1 2
  x  x 2  x  x  2  0 2  4m  2m  2  1 0  m  1 m   . 1 2  1 2  2
Câu 76: Bài 22. Cho phương trình: 2
x  mx  m  2  0   1 ( x là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình  
1 luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m . 2 2 x  2 x  2
b) Định m để hai nghiệm x , x của   1 thỏa mãn: 1 2 .  4 . 1 2 x 1 x 1 1 2 Lời giải. a)   m  m 
 m  m   m  2 2 2 4.( 2) 4 8 2  4  0 Vậy phương trình  
1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
b) Theo Vi-et, ta có: x  x  m và x x  m  2 . 1 2 1 2 2 2 x  2 x  2 Theo giả thiết: 1 2 .
 4  2x  x 2  x x 2  4 x  x  0 1 2 1 2  1 2  x 1 x 1 1 2  m  m  2 2 2 2  4m  0  m  2  .
Câu 77: Cho phương trình mx   2 2 1  x  0   1 ( x lầ ẩn số).
a) Chứng minh phương trình  
1 luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m .
b) Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình  
1 . Tính giá trị của biểu thức: 1 2 A   2 x  4x  2 2 x  4x  2  2 2 2 x  x 1 1 2 2 1 2  Lời giải. Phương trình   2 1  x  2mx  2  0 a) 2
  m  2  0. Vậy phương trình  
1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
b) Theo Vi-et, ta có: x  x  2m và x x  2  . 1 2 1 2
Theo giả thiết, ta có: A   2 x  4x  2 2 x  4x  2  2 2 2 x  x 1 1 2 2 1 2 
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 37/38
 A   x x 2  4x x x  x 8 x  x 16x x  4 1 2 1 2  1 2   1 2  1 2 2
 A  4m 16m 16m  32  4 2  A  4m  32m  28 .
----------------------------- HẾT -----------------------------
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 38/38