cấu trúc đề thi và bài tập môn toán cao cấp | Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh

lOMoAR cPSD| 47206071
CẤU TRÚC ĐỀ THI DỰ KIẾN
Câu 1: 2.5 đ (Chương 1+2) gồm 2 bài
- Tính định thức của ma trận
- Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cấp 3 (sử dụng ma trận phụ hợp, hoặc biến đổi Gauss-Jordan)
- Giải phương trình ma trận: AX=B hoặc XA=B
- Giải hệ phương trình Cramer bằng phương pháp Cramer
+ Mô hình cân bằng thị trường 3 hàng hóa
- Giải hệ phương trình tổng quát bằng phương pháp Gauss
- Tính hạng của ma trận
Câu 2: 2.0 đ (Chương 3+4) gồm 2 bài
- Tính giới hạn dạng 0 /0; / hoặc 1
(sử dụng quy tắc thay thế VCB tương đương, quy tắc Lôpitan)
- Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm (hay trên miền xác định) hoặc tìm tham số a
để hàm số liên tục tại 1 điểm (hay trên miền xác định) - Ứng dụng của đạo hàm 1 biến trong kinh tế:
+Tìm hàm cận biên, hàm bình quân,
+ Tính hệ số co dãn, Sự lựa chọn tối ưu trong kinh tế Câu
3: 2.5 đ (Chương 5+6) gồm 2 bài
- Tìm cực trị tự do của hàm hai biến
- Tìm cực trị có điều kiện bằng phương pháp Lagrange
- Các bài toán về sự lựa chọn của người tiêu dùng và nhà sản xuất
+ Bài toán tối đa hóa lợi ích
+ Bài toán tối thiểu chi phí tiêu dùng
+ Bài toán tối đa hóa sản lượng
+ Bài toán tối đa hóa lợi nhuận
Câu 4: 2.0 đ (Chương 7) gồm 2 bài
- Tính tích phân bất định hoặc xác định
- Tính tích phân suy rộng với cận vô hạn 1 lOMoAR cPSD| 47206071
- Ứng dụng của tích phân trong kinh tế:
+ Tìm hàm số kinh tế khi biết hàm cận biên của nó
+ Tìm hàm cầu p(x) khi biết p’(x)
+ Tính thặng dư của nhà sản xuất và người tiêu dùng
Câu 5: 1.0 đ (Chương 8) gồm 1 bài
Giải phương trình vi phân
- PTVP tuyến tính cấp 1
- PTVP đưa về dạng biến số phân ly
- PTVP cấp 2 với hệ số hằng số, vế phải dạng f x( ) P x en( ) ax. PHẦN BÀI TẬP
Bài 1. Tính ịnh thức 1 1 1 11 2 3 41 1 1 1 1 2 3 42 3 4 11 2 3 4 ;) a) b ;) c 1 3 6 83 4 1 21 4 9 16 1 5 10 184 1 2 31 8 27 64 2 lOMoAR cPSD| 47206071
Bài 2. Tính ma trận nghịch ảo của các ma trận sau 1 2 3 2 2 3 1 2 5 a) A 0 1 2 b) B 1 1 0 1 3 4 c) C 1 4 2 1 2 1 2 5 6
Bài 3. Giải phương trình ma trận
1 1 1 1 1 3 1 2 a) X 2 1 0 4 3 3 5 1 1 1 1 2 5 2 1 3 2 b) 3 2 4 X 2 0 0 1 9 Bài 4. Giải hệ phương trình bằng
phương pháp Cramer (hoặc Gauss) x 1 x2 x3 1 x1 x2 2x3 1 x1 x2 2x3 1 a)
x1 x2 2x3 2 b)
2x1 x2 2x3 4 c)
2x1 x x2 3 1 2x1 x2 x3 2
4x1 x2 4x3 2 x1 x x2 3 2
x1 x2 3x x3 4 0
x1 2x x3 3 3x4 5
x1 2x2 3x x3 4 1
x x1 2 3x3 4x4 3 d) x1 2x2 x x3 4 1 e)
x1 3x2 4x x3 4 9
2x1 3x2 2x x3 4 2
x1 x2 2x3 x4 1
Bài 5. Mô hình cân bằng thị trường
Hãy xác ịnh giá và lượng cân bằng của thị trường ba hàng hóa, cho biết hàm cung và hàm cầu
của mỗi mặt hàng lần lượt như sau: a)Q s 10 100 5p b) Q 106P P Q 59 1 2p Q1; d1 1 3p p2 3 s1 1 3;d1 5P P1 2 3 lOMoAR cPSD| 47206071 120 Q s 20 2p 60 P 171 P 2 5p Q2; d2 1
8p2 3p3 Qs2 1 9P P Q2 3;d2 1 6P P2 3 Qs3 13p Q3; d 300 10 p 3 1 5p p2 3 Q s 802P P Q 8 249 P 3 1 3; d3 2 4P 3
Bài 6. Tìm hạng của các ma trận sau : 1 0 2 1 3 4 2 1 1 3 2 5 a) A 1 34 1 57 b) B 3 1 1 41 2 1 2 c) C 12 2 6 4 101 2 0 7 5 0 10 1 2 1 4 1
Bài 7. Tính các giới hạn e 1) 2
x e3x 5x 4) lim sinx x 7) lim 1x 0
x e2 x 1 cos1 2x lim x 0 1-cos2x x 0 ln(1 x3) e2x 2sinx 1
ex sin3x 4 1x 8) lim ln(cos3x) 2)
limx 0 tan .ln(1x 2 )x 5)xlim 0 ln(1 x ) x 0 ln(cos5 )x 2 lnx 3) lim
x 0 e e x 3x 2x
6) limx 0 ex x 1x 9) limx 0 ln(sinx) x 4 lOMoAR cPSD| 47206071
Bài 8. Xét sự liên tục của các hàm số sau tại x=0 biết b) f x( ) e2x
sinxeln(1 3 )x2 1 x 0
sin32 x 1 khi x 0 khi x a) f x( ) x x 3 khi x 0 x2 3x 1 khi x 0
Bài 9. Tìm a sao cho các hàm số sau liên tục tại x=0 khi x ex sinx-12 0
sin3 ln(1 2 )xex2 1 x khi x 0 a) f x( ) x b) f x( ) 2 a khi x 0 3x2 a 1 khi x 0
Bài 10. Một công ty ộc quyền sản xuất một loại sản phẩm có hàm cầu ngược P=1312-2Q và
hàm tổng chi phí: TC Q 77Q 1000Q 40000 3 2
(Q là mức sản lượng của công ty cho thị trường).
a. Hãy tìm mức sản lượng Q và giá bán P ể hàm lợi nhuận ạt tối a.
b. Tại mức sản lượng tối ưu, nếu Q tăng 1 ơn vị thì tổng chi phí thay ổi như thế nào?
c. Tính hệ số co giãn của chi phí theo Q tại mức sản lượng tối ưu, và giải thích ý nghĩa. Bài 11.
Một công ty cạnh tranh hoàn hảo có hàm tổng chi phí: TC Q 2Q 10Q 36 3 2
(Q là mức sản lượng của công ty cho thị trường).
a. Nếu giá bán sản phẩm là P=50, hãy tìm mức sản lượng Q ể hàm lợi nhuận ạt tối a.
b. Tại mức sản lượng tối ưu, nếu Q tăng 1 ơn vị thì tổng chi phí, doanh thu thay ổi thế nào?
c. Tính hệ số co giãn của chi phí theo sản lượng Q tại Q=15 và giải thích ý nghĩa. Bài 12.
Tìm cực trị của hàm hai biến sau: 1) z x2 2y2 3xy x7y 2) z x3 y3 3xy 1 3) z x33xy2 30x 18y 1 4) z x4 2y4 14x2 y224x 1 5) z x28xy 4y3 10y 1 6) z 2y3 3xy2 2x3 3x2 8) z x3 y22xy x 2y
7) z x 3 8y3 6xy 5 4 Bài 13.
Tìm cực trị có iều kiện của các hàm sau
1. f x2 2y, x y 5 3. f xy 2x, 2x y 30 5 lOMoAR cPSD| 47206071
2. f x2 y2, 3x 2y 6 4. f 6 4x 3y, x2 y2 1 Bài 14.
Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất kết hợp 2 loại sản phẩm với
hàm chi phí như sau (Qi là lượng sản phẩm i): TC Q 2 2 1 2QQ1 2Q 7 . Hãy tìm 2 2
mức sản lượng kết hợp (QQ1,
2 )ể DN có lợi nhuận tối a khi giá sản phẩm 1 là $32, giá sản phẩm 2 là $16. Bài 15.
Một công ty ộc quyền sản xuất kết hợp 2 loại sản phẩm với hàm chi phí như sau
(Qi là lượng sản phẩm i): TC 3Q 2 2 1 2QQ1 2Q
55. Hãy chọn mức sản lượng kết 2 2 hợp(QQ1,
2 ) và giá bán các sản phẩm ể công ty có ược lợi nhuận tối a, khi cầu của thị
trường ối với các sản phẩm 1, 2 của công ty như sau: Q1 120 P1 và Q2 140 P2. Bài 16.
Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: U (x1 3)x2, trong ó x1 là lượng hàng hóa
A, x2 là lượng hàng hóa B. Hãy chọn túi hàng lợi ích tối a trong iều kiện giá hàng hóa A là $5,
giá hàng hóa B là $20, ngân sách tiêu dùng là $185. Bài 17.
Tính các tích phân suy rộng sau: 2 dx dx x dx 1) 2 2) 3 2 3) 0 3
3 2 xln x x 3 2x x 6 4) xe dx x 5) dx 6) dx 2 0 1 x x( 3) 3 x 1 x
Bài 18. Một doanh nghiệp ộc quyền có hàm chi phí cận biên: MC Q Q 5 6 2 và chi phí cố
định: FC=25. Cho biết hàm cầu xác định bởi: 2P +Q = 510. a. Tìm hàm TC(Q), TR(Q).
b. Lập hàm lợi nhuận và tìm Q để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa. Bài 19.
Cho biết một doanh nghiệp có hàm doanh thu cận biên MR 140 6 Q và hàm
chi phí cận biên làMC 20 Q Q2 , chi phí cố ịnh: FC=25.
a. Hãy tìm hàm TR(Q), TC(Q) và xác định cầu đối với sản phẩm của nhà sản xuất.
b. Lập hàm lợi nhuận và tìm mức sản lượng Q sao cho doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. Bài
20. Cho biết hàm cung và hàm cầu ối với 1 sản phẩm
Qs p 1 1, QD 50 6p 6 lOMoAR cPSD| 47206071
a. Xác ịnh giá cân bằng của thị trường.
b. Tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng Bài 21.
Cho biết hàm cung và hàm cầu ối với 1 sản phẩm: Qs 3 P Q, D 15 P2
a. Xác ịnh giá cân bằng của thị trường.
b. Tính thặng dư của người tiêu dùng và thặng dư của nhà sản xuất.
Giá p (USD) của 1 loại hàng hóa A thay ổi theo quy luật: p '(x) 20x 2 Bài 22. (7 x)
Trong ó x (trăm) là số ơn vị hàng hóa ược cung cấp ra thị trường. Biết rằng nhà sản xuất
cung cấp 200 ơn vị hàng hóa (x=2) khi giá là 2 USD. a. Tìm hàm cầu của hàng hóa là p(x).
b. Nếu nhà sản xuất cần cung cấp ra thị trường 500 ơn vị sản phẩm thì giá của hàng hóa là bao nhiêu? Bài 23.
Giải các PTVP tuyến tính cấp 1 ' 1. y y x 1
3. y ' 2xy xe x2 5. (1 x y2) ' 2xy (1 x2 2) 2. xy x y'
4. y ' 1 .y x x ( 1) 6. y ' 1 .y 12 x x x
Bài 24. Giải các phương trình có biến số phân ly 1. xydx
x ( 1)dy 0 4. y e' x y ' 2. 2x yy y2 2 2
5. (x2 1)y' 2xy2 0 ' 3. y xy 2 2xy
6. x(1 y dx y2 ) (1 x dy2 ) 0 Bài 25.
Giải các phương trình vi phân cấp hai có hệ số hằng số sau a) y y'' ' 2y 7x 5
d) y'' 4y'5y e 2x
b) y '' 4y ' 2x 5
e) y '' 3y'4y ex c) y '' 6y ' 10 2x2 3x 7
f) y'' 7y' 12y (4x 5)e2x 7