Chương 1: Ma trận định thức | Môn toán cao cấp
. Cho ma trận Aýij m n . Khi ó ma trận ( 1) A ý m nô được gọi là ma trận đối của ma trận A, kí hiệh là –A. Ví dụ trên chứng tỏ phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán. Định nghĩa.Cho hai ma trận A và B. Nếu AB = BA thì ta nói hai ma trận A và B là giao hoán với nhau. Dưới đây ta chỉ ra một trường hợp quan trọng mà ở đó phép nhân có tính chất giao hoán. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem !
Môn: Toán Cao Cấp (KTHCM)
Trường: Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 1. Ma trận – Định thức
1.1 Các khái niệm cơ bản về ma trận
1.1.1 Định nghĩa. Một ma trận cấp m ô n là một bảng chữ nhật gồm m ô n phần tử ược xếp thành m dòng và n cột.
Ma trận thường ược ký hiệu bởi một chữ cái in hoa, chẳng hạn như A, B, C. ùa11 a ... a12 1n ù ú ú ú ú A = úa 21 a 22 ... a 2n ú ú û ú û öa11 a ... a12 ö ÷ 1n ÷ ÷
hoặc A = ÷÷a21 a22 ... a2n hoặc A = (aij)m ô n hoặc A = [aij]m×n. ÷ ÷ ÷ ø ø
trong ó aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) là phần tử nằm trên dòng thứ i và cột thứ j của ma trận A.
Các vectơ Cj = (a1j, a2j, …, amj) (j = 1
, n ) ược gọi là các vectơ cột của ma trận A.
Các vectơ Di = (ai1, ai2, …, ain) (i = 1
, m ) ược gọi là các vectơ dòng của ma trận A.
Ví dụ. Cho ma trận cấp 3 ô 4 sau ù2 3 7 1 ù ú ú A = ú0 6 1 5 ú úû4 13 9 22úû có
a11 = 2, a12 = -3, a13 = 7, a14 = 1 a21
= 0, a22 = 6, a23 = -1, a24 = 5 a31 = 4, a32 = 13, a33 = 9, a34 = 22
Hệ vectơ cột của ma trận A là
{C1 = (2, 0, 4), C2 = (-3, 6, 13), C3 = (7, -1, 9), C4 = (1, 5, 22)}
Hệ vectơ dòng của ma trận A là
{D1 = (2, -3, 7, 1), D2 = (0, 6, -1, 5), D3 = (4, 13, 9, 22)} *
Ma trận không là ma trận mà tất cả các phần tử của nó ều bằng 0. Ký hiệu ma trận
không cấp m ô n là (O)môn hoặc (O) (nếu cấp của ma trận ược xác ịnh trước): ù0 0 ... 0ù
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 1 lOMoAR cPSD| 49519085 ú (O)môn = ú...0 ...0ú ...... ...0 úú ú ú ú û0 0 ... 0û *
Hai ma trận bằng nhau. Hai ma trận A, B ược gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng
cấp và các phần tử ở các vị trí tương ứng bằng nhau, ký hiệu A = B.
A = [a ij ]m ô n, B = [b ij ]m ô n,
A = B a ij = b ij , i = 1, m , j = 1, n . ù 1 11 7ù ùa b cù
Ví dụ. Cho A ýúû13 8 9úû;B ýúûd e f úû üa ý ÿ 1 ÿb ý11 ÿc ý 7 A ý B ýÿd ý13 ÿe ý 8 ÿ þf ý 9
* Ma trận chuyển vị. Ma trận chuyển vị của ma trận A = [a ij ]m ô n là ma trận nhận ược từ
ma trận A bằng cách ổi dòng thành cột và cột thành dòng.
Ký hiệu ma trận chuyển vị của ma trận A là AT. Như vậy AT = [aji]n ô m. Ví dụ. A = ùúú10 34 53 81 ùúú A = úùúú 133 504 1272 ùúúú T úû2 7 12 16úû úû 8 1 16úû
1.1.2 Ma trận vuông
a) Định nghĩa. Ma trận A ược gọi là ma trận vuông nếu nó có số dòng bằng số cột: ùa a 11 12 a1n ù ú ú
A = úúa a21 22 a2n úú , viết gọn lại là A ýù ùû ûaij nôn hoặc A = ù ùû
ûaij n ú ú ûa an1 n2 ann û
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 2 lOMoAR cPSD| 49519085
Khi ó, các phần tử a11, a22, …, ann ược gọi là các phần tử nằm trên ường chéo chính.
Ta gọi tổng các phần tử trên ường chéo chính là vết của A, ký hiệu là Tr(A).
Tr(A) = a11 + a22 + … + ann. ù ù
b) Một số ma trận vuông ặc biệt: Cho ma trận vuông A = û ûaij n
• Ma trận ường chéo: Ma trận A ược gọi là ma trận ường chéo nếu mọi phần tử
ở ngoài ường chéo chính của A ều bằng 0 (tức là aij = 0, i j): ùa11 0 ... 0 ù úú 0 a22 ... 0 úú ú ... ... ... ... ú ú ú û 0 0 ... a û nn ù1 0 0ù ú Ví dụ: 5 0ú ú 0 ú0 úû0 7úû
• Ma trận ơn vị: Ma trận A ược gọi là ma trận ơn vị nếu mọi phần tử trên ường
chéo chính của A ều bằng 1 và mọi phần tử còn lại ều bằng 0, ký hiệu là E. ù1 0 ... 0ù ú ú E = ú0 1 ... 0 ú ú... ... ... ...ú ú ú û0 0 ... 1û üa ý ý ii 1, i j ýþaij ý 0, i j ù1 0 0 0ù
Ví dụ: ùúúúû100 100 100úûùú úúú0 1 0 00 0 1
0úúúú ú , ú û0 0 0 1û
• Ma trận tam giác
+) Ma trận A ược gọi là ma trận tam giác trên nếu mọi phần tử nằm bên dưới ường chéo
chính của A ều bằng 0 (tức là a ij = 0, i > j): ùa11 a12 ... a1n ù úú 0 a22 ... a2n úú ú ... ...
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 3 lOMoAR cPSD| 49519085 ... ... ú ú ú û 0 0 ... a û nn ù1 13 0ù ú ú
Ví dụ: ú0 5 9 ú úû0 0 4úû
+ ) Ma trận A ược gọi là ma trận tam giác dưới nếu mọi phần tử nằm bên trên ường chéo
chính của A ều bằng 0 (a ij = 0, i < j): ùa11 0 ... 0 ù ú ú a a ... 22 ú 0 ú 21 ... ... ú ... ... ... ú ú ú an2 û ann an1 û ù 1 0 0ù ú ú 2
Ví dụ: ú 3 8 0ú úû 0 7úû
Ma trận ối xứng: Ma trận A ược gọi là ma trận ối xứng nếu AT = A, tức là: a ij = a ji , i, j = 1, n. ù 5 3 2 ù
Ví dụ. Ma trận ý ú ú A ú 3 8 34 ú là ma trận ối xứng úû 2 34 45úû
1.2 Các phép toán cơ bản của ma trận
1.2.1 Phép cộng ma trận
Định nghĩa. Cho hai ma trận cùng cấp là Aýù ùû ûaij m nô và B ýù ùû ûbij m nô . Tổng của A và
B là một ma trận cùng cấp với A và B, ký hiệu là A + B, ược xác ịnh như sau: A ýB ùûaij bijùûm nô
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 4 lOMoAR cPSD| 49519085
Ví dụ. úûù30 -4 13 1 7 ùûú + ùûú-12 15 -14 69ùúû = ùúû30 + 2 -4 + 15 7 + + (-1) 13 + (-
14) 1 + 96ùúû = ùûú5-1 11 -1 1013ùúû
Tính chất. Cho A ýû ûù ùaij m nô , Býù ùû ûbij m nô , C ýû ûù ùcij m nô . Ta có
1) Tính giao hoán: A + B = B + A.
2) Tính kết hợp: (A + B) + C = A + (B + C). 3) A + (O)môn = A.
1.2.2 Phép nhân vô hướng của ma trận với một số thực
Định nghĩa. Tích của một số thực k với một ma trận Aýù ùû ûaij m nô là một ma trận cùng
cấp với A, kí hiệu là k.A, ược xác ịnh như sau k.A ýùûk.aijùûm nô ù5 12 -7 11ù ù3.5 3.12 3.(-7) 3.11 ù ù15 36 -21 33ù Ví dụ. ú ú ú ú ú
3 ú2 0 9 -1 ú = ú3.2 3.0 3.9 3.(-1) ú = ú6 0 27 -3 ú ú ú ú
ú úû6 -21 4 8 û úû3.6 3.(-21) 3.4 3.8 û úû18 -63 12 24 û
Tính chất. Cho hai ma trận Aýù ùû ûaij m nô , B ýù ùû ûbij m nô và các số thực ñ, ò. Ta có
1) ñ(òA) = ò(ñA) = (ñ. ò)A.
2) ñ(A + B) = ñA + ñB. 3) (ñ + ò)A = ñA + òA. 4) 1.A = A, 0.A = (O)môn ù
Định nghĩa. Cho ma trận Aýù ùû ûa û
ij m nô . Khi ó ma trận ( 1) A ý ùû aij m nô ược gọi là
ma trận ối của ma trận A, kí hiệh là –A. Ta có A + (-A) = (O)môn.
Định nghĩa. Cho hai ma trận cùng cấp là Aýù ùû ûaij m nô và B ýù ùû ûbij m nô . Hiệu của A
và B là một ma trận cùng cấp với A và B, ký hiệu là A - B, ược xác ịnh như sau:
A ý BA ø Bùýùûaij ø bijùùûm nô ýùûaij bijùûm nô ù5 6ù ù 1 3ù ù6 3ù
Ví dụ. úû78ú úû û 26ú úû ûý 5 2úû .
1.2.3 Tích của ma trận
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 5 lOMoAR cPSD| 49519085
a) Định nghĩa. Tích của ma trận Aýù ùû ûaij m kô với ma trận B ýù ùû ûbij k nô là một ma trận ù ù
có cấp là m nô , ký hiệu A.B =
û ûcij m nô , trong ó các phần tử c ij ược xác ịnh như sau: c ý ij a bi1 1j a bi2 2j
... a bik kj , i = 1, m, j = 1, n
Chú ý. +) Từ ịnh nghĩa trên, ta thấy iều kiện ể tồn tại tích A.B là số cột của ma trận của A
phải bằng số dòng của ma trận B.
+) Ma trận tích A.B có số dòng bằng số dòng của A và số cột bằng số cột của B. ù 2 1 3 -8 ù
Ví dụ. Cho A = úùû17 0 -3 45ùúû, B = úúúû 0 6 13 -511 4 2 -3úúúû. Tính AB và BA (nếu có).
Khi ó ma trận tích A.B ýù ùû ûcij2ô4 gồm các phần tử
c11 = 7.2 + (-3).(-11) + 4.0 = 47; c12 =
7.1 + (-3).4 + 4.6 = 19; c13 = 7.3 + (-
3).2 + 4.13 = 67; c14 = 7.(-8) + (-3).(-
3) + 4.(-5) = -67; c21 = 1.2 + 0.(-11) +
5.0 = 2; c22 = 1.1 + 0.4 + 5.6 = 31; c23
= 1.3 + 0.2 + 5.13 = 68; c24 = 1.(-8) + 0.(-3) + 5.(-5) = -33. Vậy, ù47 19 67 -67ù A.B = úû2 31 68 -33úû BA không tồn tại.
b) Tính chất. Cho các ma trận A, A' có cấp là m ô n, B, B' có cấp là n ô p, C có cấp là pôs và số thực ñ.
1) Tính kết hợp: (A.B).C = A.(B.C)
2) Tính phân phối của phép nhân ối với phép cộng:
(A + A').B = A.B + A'.B A.(B + B') = A.B + A.B' 3) (ñA)B = A(ñB) = ñ(AB)
4) Với En, Em lần lượt là các ma trận ơn vị có cấp là n và m: A.En = Em.A = A ù 1 8ù ù 1 8ù
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 6 lOMoAR cPSD| 49519085
Ví dụ. úúû 4 95úúùúû10 10ùúûýúûúú 74 95úúúû ú 7 úû Ví dụ ú ùú . Cho A = ù 2 0 6 5ùú 1 3 û, B = ùúû 4 0
û. Tính A.B và B.A. So sánh hai ma trận A.B và B.A? û
Ta có ù 2.( 6) + 0.4 2.5 + 0.0 ù ù 12 10ù
A.B = úû(-1).(-6) + 3.4 (-1).5 + 3.0úû = úû 18 5úû ù 6.2
+ 5.(-1) -6.0 + 5.3ù ù 17 15ù
B.A = úû4.2 + 0.(-1) 4.0 + 0.3úû = úû 8 0 úû Vậy A.B ≠ B.A
Chú ý. Ví dụ trên chứng tỏ phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán.
Định nghĩa. Cho hai ma trận A và B. Nếu AB = BA thì ta nói hai ma trận A và B là giao hoán với nhau.
Dưới ây ta chỉ ra một trường hợp quan trọng mà ở ó phép nhân có tính chất giao hoán.
Định nghĩa. Ma trận vô hướng là ma trận vuông có mọi phần tử nằm trên ường chéo
chính bằng nhau và khác 0 còn các phần tử khác ều bằng 0. ùk 0 ... 0ù ù1 0 ... 0ù
D = úú0 k ... 0úú = kúú0 1 ... 0úú = kE.
ú... ... ... ...ú ú... ... ... ...ú ú ú ú ú û0 0 ... kû û0 0 ... 1û Định lý.
Ma trận vô hướng luôn giao hoán với một ma trận vuông cùng cấp bất kỳ:
D.A = (kE)A = k(EA) = k(AE) = A(kE) = AD
Ma trận D giao hoán ược với mọi ma trận vuông cùng cấp thì ma trận D là ma trận vô hướng. ýú ùú Ví dụ. Cho A ùû 1 2 1 1
û. Tìm tất cả các ma trận giao hoán với A. ù
Giải. Giả sử ma trận B ýúùûx y
z t úû giao hoán với A, tức là AB BAý. Ta có
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 7 lOMoAR cPSD| 49519085 ùx 2z y 2tù ùx y 2x yù
AB ýúû x z y túû;BA ýúû z t 2z t úû.
Ta có hệ phương trình sau: üx 2z ý x y üy ý 2z ý
ÿ ÿ ý yx 2tzý 2zx ty ÿÿÿxx ý y t ýüx ý ý 22zz t ÿ ý ý 2z t þy ÿþ ýy t 2z t ÿþy ý 2z
Vậy ma trận giao hoán với A có dạng ù 2z t 2zù úû z t úû .
c) Lũy thừa của ma trận: Cho ma trận vuông A và k N*: Ak = A.A...A . k lÇn
Đặc biệt: Ek = E, k N* Quy ước: A0 = E.
ù Ví dụ 1. Cho ma trận A 3ù 2 – 4x – 12. Tính f(A). ú và f(x) =
ýú15 û Giải. Ta có x
3û f A ø ù ý A – 4A – 12E2 Ta tính A ,4A2 và 12E 2 2ô : 2 2ô ù 2 1 3ùù1 3ù ù16 12ù
A ý A.A ýúû5 3úúûû53ú úû ûý 2024úû . 4A ýúùû2041212ùúû .
12E2 2ô ýúùû120120 ùúû. Vậy
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 8 lOMoAR cPSD| 49519085 ú f A ø ù ý ùú 0ù
1620 1224ùúû – ùúû204 1212 ûù – ú.
ùúû120 120 ù ùú úû ûý 00 û 0û ýú ùú
Ví dụ 2. Cho ma trận B û1 1 0 1 û. Tính Bs, s N*. ù Giải. Ta có B ýú 2 10 11ùùúúûû10 11ù ùú úû ûý 10 12ùúû ù û
B3 ý B .B2 ýú10 1ù ù1 3ù ú 12ùùúúûû10 ù û úý ú ý Giả sử s 1 1û û0 1û Bs 1 ú10 1 ùúû. Ta có ù û ý 1ù ù1 sù ú B ý ú s Bs 1 .B 10 úý ú. s1 1ùùúúû 1û û0 1û û10 ù û
Ví dụ 3. Cho A là ma trận ường chéo cấp n: ù ú ... 0 ù a1 0 0 a ú ... ú 0 A = 2 ú... ... ú ú ... ... ...ú û 0 0 Tính Ak. Giải. Ta ú có a û n ù ú ... 0 ùùa ... 2 ... 0 ù a 1 0 0 ù ùa1 0 ú ú 1 0 0 a úú ú A ... ... 2 ... 2 = ú 2 ú... ... ú 0 úú 0 a 0 ú ... 2 ... 0 úýú 0 a 2 ... ...ú û 0 0 ... ...úú... ... ... ... úú ...ú ú... ú a ... ú ú a ûû n2 n 0 0 a û úû úû n 0 0 ùa úú 12 0 ... 0 ùùa1 0 ... 0 ù 0 ... 0 ù ú ù 3 ú ú a ... 0 úú 0 a a 1 a ú 2 32 ... 0 úýú 0 ú A 22 3 = A2.A = úú...0 ú ... ...úú... ... ... ... 0 úû ... úú ... ...ú ú... 0 0 ú ú 0 ... ...ú 0 ... a 2 úûû 0 Vậy n ú ... a û úû ... a3n n 0 úû
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 9 lOMoAR cPSD| 49519085 ùa 1k 0 ... 0 ù ú a ú k2 Ak = úú...0 ú ... ... 0 ú . úû 0 0 ... ... ú ú ... a k úû n
Công thức nhị thức Niu tơn. Nếu A và B là hai mai trận giao hoán với nhau: AB = BA thì n
(A B)n ý C A0n n C A1nn 1 B ...Cn 1n ABn 1 C Bnnn ýõC Akn n k Bk k 0ý
Việc tìm ma trận An thường rất khó khăn. Chúng ta thường tìm ược ở một số lớp ma
trận ặc biệt, chẳng hạn ma trận chéo hoá ược (mà ta sẽ trình bày trong chương 5). Ngoài ra
ta có thể phân tích ma trận A thành tổng hai ma trận B và C sao cho B là ma trận vô hướng,
còn C là ma trận dễ dàng tìm ược Ck, k = 1, 2, …, n rồi sử dụng khai triển nhị thức Niu tơn. ýú ùú
Ví dụ 1. Cho A ùû 31 0 3 û. Tìm An ù3 0ù ù0 1ù
Giải. A = úû03ú úû û 00úûý B C
Bk ýùú3k 0kùú, Ck ýùú0 0ù k ó 2 ú, û 0 3 û û0 0û
An ý (B C)n ý C B0n n C B1n n 1C C B2n n 2C ...2 ý Bn nBn 1C ù3n 0 ù ùn3n 1 0 ùù0 1ù = ú ú nú ú n 1 úú0 û 0û 0 3 û û 0 n3 ûû ù3 n 0 ù ù0 n.3n 1 ù = ú nú ú ú û 0 3 û û0 0 û ù3 n n3n 1 = ú ù û 0 ú n 3 û
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 10 lOMoAR cPSD| 49519085 ýú Ví dụ 2. Cho 4 1 A ù0 3ùúû. Tìm An û ù Giải. A = úùû 1
0303ú úù ùû û 10 0 úûý B C
Ck ýúùû1010ùúûý C, k ó 1
Xét úùûd0d0úúûûùù1010ú úû ûù ùý d0 d0ùúû A õ
n ý (B C)n ýõn C Bkn n k Ck ý Bn n C Bkn n k C k 0ý k 1ý = úù3
n 0núù õn Ckn úù3n k 3n k ùú û 0 3 û k 1ý û 0 0 û = úû n n úû úúúûõkný1 C 30kn õ n k kný1 C 30kn n k úùúûú ù ù3 0 ù 0 3 ù õ õ = úú n n k ý0 C 3kn n k k ý0 C 3kn ùú n k 3n ú úû 0 3n úû
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 11 lOMoAR cPSD| 49519085 ù4n 4n 3nù = ú ú n û 0 3 û 1.3 Định thức
1.3.1 Hoán vị và nghịch thế 1)
Hoán vị: Một hoán vị của n số tự nhiên ầu tiên 1, 2, …, n là một cách sắp xếp n số tự
nhiên ó theo một thứ tự xác ịnh.
Tập n số tự nhiên ầu tiên có n! hoán vị.
Một hoán vị của n số tự nhiên ầu tiên ược biểu diễn dưới dạng { 1, 2, …, n}
trong ó i (i = 1, 2, …, n) là số tự nhiên ứng ở vị trí thứ i trong hoán vị, 1 i n, i ≠ j khi i ≠ j. 2)
Nghịch thế: Xét một hoán vị { 1, 2, …, n} của n số tự nhiên ầu tiên. Ta gọi cặp số
{ i, j} là một nghịch thế của hoán vị { 1, 2, …, n} nếu i ứng trước j trong hoán vị
{ 1, 2, …, n} (tức là i < j) nhưng i > j.
Kí hiệu N{ 1, 2, …, n} là số nghịch thế của hoán vị { 1, 2, …, n}.
Dấu của hoán vị { 1, 2, …, n}, kí hiệu là sign{ 1, 2, …, n}, ược xác ịnh như sau: sign{ , ý 1
2, …, n} = (-1)N{ 1, 2, …, n} = ü1, nÕu N{ 1, 1, 22, ..., , ...,
n}n} ch½n lÎ þ-1, nÕu N{ Ví dụ. Với 3 số 1, 2, 3 ta lập ược 3! = 6 hoán vị là:
{1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2}, {3, 2, 1} Ta thấy
N{1, 2, 3} = 0 sign{1, 2, 3} = 1.
N{1, 3, 2} = 1, nghịch thế ó là {3, 2} sign{1, 3, 2} = -1.
N{2, 1, 3} = 1, nghịch thế ó là {2, 1} sign{2, 1, 3} = -1.
N{2, 3, 1} = 2, các nghịch thế ó là {2, 1}, {3, 1} sign{2, 3, 1} = 1.
N{3, 1, 2} = 2, các nghịch thế ó là {3, 1}, {3, 2} sign{3, 1, 2} = 1.
N{3, 2, 1} = 3, các nghịch thế ó là {3, 2}, {3, 1}, {2, 1} sign{3, 2, 1} = -1. Định lý.
Trong một hoán vị, nếu ta ổi vị trí hai phần tử cho nhau và giữ nguyên vị trí các phần tử còn
lại thì số nghịch thế sẽ tăng hoặc giảm i một số lẻ lần.
Hệ quả. Trong số các hoán vị của n số tự nhiên ầu tiên, số các hoán vị có số nghịch thế chẵn
bằng số các hoán vị có số nghịch thế lẻ và bằng n!. 2
1.3.2 Định thức của ma trận vuông
1) Định nghĩa. Cho ma trận vuông A = (a ij )n×n, ta gọi ịnh thức của A là tổng õsign{ 1, 2, ..., n}a1 1a2 2...an n
trong ó tổng trên lấy theo tất cả các hoán vị của 1, 2, …, n. Như vậy, ịnh thức của
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 12 lOMoAR cPSD| 49519085
ma trận vuông A cấp n là tổng của n! số hạng, mỗi số hạng là tích của n phần tử của A lấy
trên n dòng và n cột khác nhau, với dấu là dấu của các hoán vị lập thành từ các chỉ số cột. a11 a a12 ... 1n a a a...
Định thức của ma trận A ược ký hiệu là det(A) hay |A| hay 21 22 2n . ... ... ... a an1 n2 ... ann
* Nếu det(A) ≠ 0, ta nói ma trận A không suy biến; nếu det(A) = 0, ta nói ma trận A suy biến.
2) Định thức của ma trận vuông cấp 3 ùa11 a a12 13 ù A = úúa21 a22 a23úú úûa31 a32 a33 úû
Theo Ví dụ ở mục 2.5.1 các hoán vị của {1, 2, 3} là:
{1, 2, 3} có sign{1, 2, 3} = 1.
{1, 3, 2} có sign{1, 3, 2} = -1
{2, 1, 3} có sign{2, 1, 3} = -1.
{2, 3, 1} có sign{2, 3, 1} = 1.
{3, 1, 2} có sign{3, 1, 2} = 1.
{3, 2, 1} có sign{3, 2, 1} = -1. Khi ó
det(A) = sign{1, 2, 3}a11a22a33 + sign{1, 3, 2}a11a23a32 + sign{2, 1, 3}a12a21a33 +
+ sign{2, 3, 1}a12a23a31 + sign{3, 1, 2}a13a21a32 + sign{3, 2, 1}a13a22a31
= a11a22a33 - a11a23a32 - a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31
Quy tắc Xariut ể tính ịnh thức cấp 3: - - - a11 a a12 13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 + + + ù2 3 1ù ú ú 1
Ví dụ 1. Tính ịnh thức của ma trận cấp 3 sau: ú3 5ú. 4 3úû
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 13 lOMoAR cPSD| 49519085 úû1 Giải. 2 -3 1 2 -3 3
-1 5 3 -1 = 2.(-1).3+(-3).5.1+1.3.(-4) – 1.(-1).1 – (-4).5.2 – 3.3.(-3) = 35 1 -4 3 1 -4 + + +
Ví dụ 2. Chứng minh rằng 0 a) 0 = a11.a22.a33 a33 Tổng quát: …a
3) Định thức của ma trận vuông cấp 2 Nếu A = ö÷a11 a12 ö÷: øa21 a22 ø
Vì {1, 2} chỉ có 2 hoán vị là
{1, 2} có số nghịch thế là 0 sign{1, 2} = 1 {2,
1} có số nghịch thế là 1 sign{2, 1} = -1 nên a11 a12 det(A) = = a11a22 – a12a21 a21 a22 a12 a12 ô a21 a22 Ví dụ. Tính 3 -1 . 4 5 Giải. Ta có
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 14 lOMoAR cPSD| 49519085 3 -1 = 3.5 – (-1).4 = 19. 4 5
3) Định thức của ma trận vuông cấp 1
Nếu A = (a): Vì {1} chỉ có một hoán vị là {1}: không có nghịch thế sign{1} = 1 |A| = a11 = a.
1.3.3 Các tính chất của ịnh thức
Tính chất 1. det(A) = det(AT) 1 21 3 Ví
dụ. ý10,ý10. 3 4 2 4
Chú ý. Do tính chất 1, mọi tính chất của ịnh thức úng cho dòng thì cũng úng cho cột và ngược lại.
Tính chất 2. Nếu ổi chỗ hai cột (hoặc hai dòng) cho nhau và giữ nguyên các cột (các dòng)
còn lại thì ịnh thức ổi dấu.
Chứng minh. Nếu ổi chỗ hai cột cho nhau thì mọi hoán vị ược lập nên từ các chỉ số cột của
ma trận của ịnh thức sẽ có hai phần tử bị ổi chỗ cho nhau. Do ó, mọi hoán vị ó sẽ ổi dấu. Do ó ịnh thức sẽ ổi dấu. a1 b1 c1 Ví dụ: Giả sử a ý 2 b2
c2 α. Tính các ịnh thức sau a3 b3 c3 a3 b3 c3b1 c1 a1 a) a2 b2 c2 b) b 2 c2 a2 a1 b1 c1b3 c3 a3 Giải. a3 b3 c3 a) a ý 2 b2 c2 α a1 b1 c1 b1 c1 a1 b) b ý 2 c2 a2 α b3 c3 a3
Hệ quả. Nếu ịnh thức có hai dòng (hoặc hai cột) giống nhau thì ịnh thức ó sẽ bằng 0. 2 51 2 3 1 2 12ý 0; 7 3 1 7ý 0.
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 15 lOMoAR cPSD| 49519085 Ví dụ. 7 51 2 1 1
Tính chất 3. Nếu ta nhân tất cả các phần tử của một dòng (hoặc một cột) của ịnh thức với
cùng một số k thì ịnh thức mới thu ược bằng k lần ịnh thức cũ.
Chứng minh. Ta chứng minh tính chất ó úng khi ta nhân số k vào dòng một, việc chứng
minh tính chất ó cho dòng bất kỳ hoàn toàn tương tự.
Giả sử ma trận B = (bij)n×n nhận ược từ ma trận A khi các phần tử của dòng 1 ược nhân với số k, khi ó
det(B) = õsign{ 1, 2, ..., n}b1 1b2 2...bn n
= õsign{ 1, 2, ..., n}(ka1 1)a 2 2...a n n
= kõsign{ 1, 2, ..., n}a1 a ...a = kdet(A). 1 2 2 n n a1 b1 c1
Ví dụ 1. Giả sử a ý 2 b2
c2 α. Tính các ịnh thức sau a3 b3 c3 a1 5b1 c15a1 5b1 5c1 a) a2 5b2 c2 b) a2 b2 c2 a3 5b3 c3 3a3 3b3 3c3 Giải. a1 5b1 c1 a) a ý 2 5b2 c2 5α a3 5b3 c3 5a1 5b1 5c1 b) a ý 2 b2 c2 15α 3a3 3b3 3c3
Ví dụ 2. Cho A là ma trận vuông cấp n có det(A) = ñ và B = kA, k R . Tính det(B). Giải.
det(B) ý k det(A)n ý ñkn
Ví dụ 3. Cho A là ma trận vuông cấp n, với n là một số lẻ và AT = -A. Tính det(A).
Giải. Ta có de(A )T ý ( 1)n det(A) ý det(A) (do n là một số lẻ).
Mặt khác, det(A) ý de(A )T . Vậy
det(A) ý det(A) det(A) ý 0.
Hệ quả 1. Khi các phần tử của một dòng (hoặc một cột) có một thừa số chung, ta có thể ưa
thừa số ó ra ngoài ịnh thức.
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 16 lOMoAR cPSD| 49519085 6 8 203 4 10 Ví dụ. 42 28 35 ý 2.7.9 6 4 5ý 22680 27 36 1353 4 15
Hệ quả 2. Một ịnh thức có hai dòng (h0ặc hai cột) tỉ lệ với nhau thì bằng 0. 1 3 7 Ví dụ. 3 9 12 ý 0. 6 18 14
Tính chất 4. Khi các phần tử của một dòng (hay một cột) có dạng tổng của hai số hạng thì
ịnh thức có thể phân tích thành tổng của hai ịnh thức.
Chứng minh. Tương tự như Tính chất 3, ta chứng minh tính chất trên úng với dòng một.
Giả sử a1j = a'1j + a"1j. Khi ó, ta có
det(A) = õsign{ 1, 2, ..., n}(a1' 1 + a1" 1)a 2 2...a n n
= õsign{ 1, 2, ..., n}a1' 1a 2 2...a n n + õsign{ 1, 2, ..., n}a1" 1a2 2...an n = det(A') + det(A"). Ví
dụ. Chứng minh rằng: a1 b x1 a1 b x1 c1a1 b1 c1 a ý 2 b x2 a2 b x2 c2 2x a2 b2 c2 a3 b x3 a3 b x3 c3a3 b3 c3
Hệ quả. Nếu ịnh thức có một dòng (hoặc một cột) là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác (hay của các cột
khác) thì ịnh thức ấy bằng 0. a b ax+by Ví dụ. a ý 1 b1 a x1 b y1 0,víi mäi x, y R a2 b2 a x2 b y2
Tính chất 5. Nếu cộng vào một cột (hoặc dòng) một tổ hợp tuyến tính của các cột (hoặc các
dòng) khác thì ịnh thức không ổi.
Ví dụ. Biết rằng các số 204, 527, 255 chia
hết cho 17. Hãy chứng minh 2 0 4 5 2 7 2 5 5 chia hết cho 17.
Giải. Giả sử 204 = 17k1, 527 = 17k2, 255 = 17k3. Ta có 2 0 4øC1100 C2 10 C3ô ô ù2 0 2 ô 100 + 0 ô 10 + 42 0 2042 0 17k12 0 k 1 5 2 7ý5 2 5 ô 100 + 2 ô 10 + 7 ý 5 2 527 ý 5 2 17k ý 2 17. 5 2 k2
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 17 lOMoAR cPSD| 49519085 2
5 52 5 2 ô 100 + 5 ô 10 + 52 5 2552 5 17k32 5 k3 = Vậy
ịnh thức ã cho chia hết cho 17.
Hệ quả. Khi ta nhân một số k vào một dòng (hoặc một cột) của ịnh thức rồi cộng với một
dòng (hoặc một cột) khác thì ta ược ịnh thức mới bằng ịnh thức cũ. Ví dụ. Tính 4 10 6 4 5 4 15 Giải. Ta có 3 4 10D1 ( 2) D2ô ô D2 3 4 10 D1 ( 1) D3 D3 6 4 5ý0 12 15ý 3( 12)5 ý 180. 3 4 150 0 5
Tính chất 6. Một ịnh thức có một dòng (hoặc một cột) mà tất cả các phần tử trên dòng (hoặc
cột) ó bằng 0 thì ịnh thức ó bằng 0. 0 7 2 Ví dụ. 0 6 3ý 0. 0 5 8
1.3.4 Một số phương pháp tính ịnh thức
1. Phương pháp khai triển theo một dòng hoặc một cột
Cho ma trận A = [aij]nôn. Kí hiệu ij là ịnh thức của ma trận thu ược từ ma trận A bằng
cách bỏ i dòng thứ i và cột thứ j (dòng và cột chứa phần tử a ij ) và gọi
A ij = (-1) i + j ij là phần bù ại số của a ij . ù2 3 1ù ýú ú Ví dụ. Cho A ú3 1 5 ú . Tính A21 và A32. úû1 4 3úû
Định lý. Với mỗi dòng i bất kỳ ta luôn có:
= õn ( 1) i j aij ij = õn a Aij ij (Công thức khai triển theo dòng i) j 1ý j 1ý
Với mỗi cột j bất kỳ ta luôn có
= õn ( 1) i j aij ij = õn a Aij ij (Công thức khai triển theo cột j) i 1ý i 1ý
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 18 lOMoAR cPSD| 49519085
Ý nghĩa: Định lý trên cho phép ta tính ịnh thức cấp cao qua các ịnh thức cấp thấp.
Chú ý. +) Ta thuờng khai triển theo dòng hoặc theo cột chứa nhiều số 0 nhất.
+) Để việc tính toán khỏi cồng kềnh, ta nên biến ổi về ịnh thức có một dòng (hoặc một cột)
nào ó chỉ còn lại một phần tử khác 0, sau ó khai triển theo dòng (hoặc cột ó). 3 2 4 2 3 2 1
Ví dụ 1. Tính ịnh thức: D ý4 0 2 1 5 4 1 3 3 Giải. 4 3 2 11 3 2 4D1 ( 2) D2ô 1 3 2 4 ô D1 D23 2 4 2C1 C4 2 2 4 3D1 ( 3) D4D1 ( 5) D3ô 0 4 0 5 D ý ýý 0 2 1 55 2 1 00 17 9 20 4 1 3 33 1 3 40 8 3 8
Khai triển theo cột 1, ta ược 4 0 5 D ý ( 1)1 1 17 9 20 ý 57 8 3 8 1 1 ... 1 x x ... x
Ví dụ 2. Tính ịnh thức: Wn = 1 2 n (Định
thāc Wandermon) ... x1n 1 x2n-1 ... xn-1n
Giải. Lấy dòng thứ n – 1 nhân với (-x1) rồi cộng vào dòng thứ n, sau ó lấy dòng thứ n - 2
nhân với (-x1) rồi cộng vào dòng thứ n – 1, …, cuối cùng lấy dòng thứ 1 nhân với (-x1) rồi
cộng vào dòng 2, ta ược 1 1 ... 1 0 x - x ... x - x2 1 n 1 Wn = ... 0 x n-2 n-2 2 (x - x ) ... x2 1 n (x - x ) n 1
Khai triển theo cột 1 ta ược x - x x - x ... x - x21 3 1 n Wn= (-1)1+1.1. x (x2
2 - x1) x3(x3 - x1) ... xn(xn - x ) +
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 19 lOMoAR cPSD| 49519085 ... x n-2 n-2 n-2 2 (x - x ) x2 1 3 (x - x ) ... x3 1 n (x - x ) n 1 1 ... 1
+ (-1)2+1 .0. x (x - x ) x (x - x ) ... x (x - x2 2 1 3 3 1 ) nn1 + … + ... x n-2 n-2 n-2 2 (x - x ) x2 1 3 (x - x ) ... x2 1 n (x - x ) n 1 1 1 ... 1
+ (-1)n+1.0. x - x x - x ... x - x2 1 3 1 n ... x n-3 n-3 n-3 2 (x - x ) x2 1 2 (x - x ) ... x3 1 n (x - x ) n
x - x x - x ... x - x2 1 3 1 n 1 x
(x2 2 - x1) x3(x3 - x1) ... xn(xn - x1) = ... x n-2 n-2 n-2 2 (x - x ) x2 1 3 (x - x ) ... x3 1 n (x - x ) n 1 1 1 ... 1 x x ... x2 3 n
= (x2 – x1)(x3 – x1) …(xn – x1) = (x2 – x1)(x3 – x1) …(xn – x1)Wn-1 ... xn 22 x3n-2 ... xn-2n
Trong ó Wn-1 là ịnh thức Wandermon cấp n – 1 không chứa x1. Tiến hành liên tiếp các bước như trên ta ược Wn = (x j - xi ) 1 ü i j n 1 2 4 8
Āng dụng. Tính ịnh thức sau: 1 -3 9 -27 1 4 16 64 1 5 25 125
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 20