Chương 3: Đại số ma trận | Tài liệu Toán kinh tế 1 Trường đại học sư phạm kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh

Đại số ma trận là nghệ thuật vận dụng các ma trận theo cách thức tương tự như việc vận dụng các con số trong đại số thông thường. Vì thế, chúng ta cũng sẽ học các phép toán cộng, trừ, nhân và chia các ma trận. Thậm chí ta có thể tính được luôn eA hay n(A) với A là một ma trận. Trong một số trường hợp thì đại số ma trận không hẳn là một cách ký hiệu tiện lợi mà đôi khi người ta có thể làm việc trực tiếp với các con số trong ma trận. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!

23 12 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Toán kinh tế 1,2

Trường: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh

Thông tin:

101 trang 1 tháng trước

Tác giả:

Profile Lê Kim Dung
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
Chương 3
ĐẠI SỐ MA TRẬN
Một ma trận về cơ bản chỉ là một bảng các con số. Ví dụ ma trận A cho bởi
50 45
35 15
65 25
A
có thể là điểm số của sinh viên qua hai kỳ thi. Khi chúng ta làm việc với các dữ liệu thì
ngầm hiểu rằng chúng ta đang làm việc với các ma trận.
Đại số ma trận là nghệ thuật vận dụng các ma trận theo cách thức tương tự như
việc vận dụng các con số trong đại số thông thường. Vì thế, chúng ta cũng sẽ học các
phép toán cộng, trừ, nhân và chia các ma trận. Thậm chí ta có thể tính được luôn hay e
A
ln(A) với A là một ma trận.
Trong một số trường hợp thì đại số ma trận không hẳn là một cách ký hiệu tiện lợi
mà đôi khi người ta có thể làm việc trực tiếp với các con số trong ma trận. Và trong một
số trường hợp khác thì ký hiệu của đại số ma trận lại tốt hơn hẳn. Ví dụ như các đạo hàm
trong kinh tế đôi khi bạn phải mất tới 5 trang để tính toán nếu không sử dụng ký hiệu ma
trận. Đại số ma trận được xem là một ký hiệu “thâm thúy”, nó cho bạn thấy được những
điều mà có thể bạn chưa bao giờ thấy. Theo giải tích thì nó là một trong hai kỹ năng toán
học cơ bản mà một sinh viên ngành kinh tế bắt buộc phải có.
Giá trị sức mạnh của đại số ma trận rất đáng ngạc nhiên. Một số bản năng trong
đại số thông thường có thể khiến bạn lạc đường khi làm việc với các ma trận. Một ví dụ
điển hình là hai biểu thức
A B
và
B A
là không giống nhau. Vì vậy bạn phải hết sức
cẩn thận khi bắt đầu tìm hiểu về ma trận. Chúng ta bắt đầu với các định nghĩa sau:
Định nghĩa 3.1.
Một ma trận cấp m n với m hàng và n cột có dạng sau: x
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
ij
m n
m m mn
a a a
a a a
A a
a a a
trong đó a là phần tử ở vị trí hàng i và cột j của A.
ij
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
Ví dụ 3.1.
Ma trận cấp 3 x 2:
11 12
21 22
31 32
5 4
3 1 .
6 2
a a
A a a
a a
có
12 21 32
4, 3, 2.
a a a
Định nghĩa 3.2. (Ma trận vuông).
Một ma trận A cấp m n là một ma trận vuông nếu x
m = n.
Định nghĩa 3.3. (Đường chéo của ma trận vuông)
Cho ma trận vuông cấp n n : A= [a ]. Khi đó các phần tử đường chéo là các x
ij
phần tử a thỏa i = j.
ij
Ví dụ 3.2.
Cho ma trận vuông cấp 2 x 2 là
5 4
3 1
Các phần tử nằm trên đường chéo là
11 22
5, 1
a a
.
Chú thích:
Đường chéo sẽ đi từ góc trên bên trái đi xuống góc dưới bên phải như sau
.
.
.
Yếu tố rất quan trọng trong đại số ma trận chính là các vector.
Định nghĩa 3.4. Vector hàng) (
Một vector hàng hay vector dòng x = [x ] là một ma trận cấp 1 n.
i
x
Định nghĩa 3.5 Vector cột) . (
Một vector cột x = [x ] là một ma trận cấp n 1
i
x .
Định nghĩa 3.6. Đại lượng vô hướng) (
Một đại lượng vô hướng là một ma trận cấp 1 1 hay chỉ là một số thông thường. x
Ví dụ 3.3.
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
Dưới đây ta thấy là một vector cột 3 x 1, là một vector hàng 1 x 3 và là một đại x y z
lượng vô hướng 1 x 1:
1
2 , [5 4 2], 3.
3
x y z
Chú thích:
Bất kỳ ma trận cấp m x n có thể được xem như là một sự kết hợp của n vector A
hàng với kích thước m x 1 hoặc là m vector cột với kích thước 1 x n.
Ví dụ 3.4.
Ma trận cấp 3 x 2:
5 4
5 4 5 4
3 1 3 1 3 1
6 2 6 2
6 2
A
được tạo thành từ hai vector cột
5 4
3 , 1
6 2
hoặc ba vector hàng
5 4 , 3 1 , 6 2 .
3.1. Phép cộng và phép trừ ma trận
Bản năng của bạn trong đại số thông thường có thể đáng tin cậy đối với phép cộng
và trừ các ma trận. Các quy luật khá đơn giản như sau:
3.1.1. Định nghĩa phép cộng trừ ma trận
Định nghĩa 3.7.
Nếu
[ ]
ij
A a
và
[ ]
ij
B b
cùng là các ma trận cấp m n và x
C A B
thì C là
một ma trận cấp m n với: x
[ ]
ij ij
C a b
Định nghĩa 3.8.
Nếu
[ ]
ij
A a
và
[ ]
ij
B b
cùng là các ma trận cấp m n và x
C A B
thì C là
một ma trận cấp m n với: x
[ ]
ij ij
C a b
Chú thích: Sai lầm thường gặp của bạn là cộng hay trừ các ma trận khác cấp.
Ví dụ 3.5.
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
3 4 5 3 8 7
2 1 8 3 6 4
6 2 9 1 15 3
3 4 5 3 2 1
2 1 8 3 10 2
6 2 9 1 3 1
Ví dụ 3.6.
Tổng sau không xác định vì hai ma trận không cùng cấp.
5 1
3 4
8 6
1 2
9 2
Định nghĩa 3.9.
Nếu
C A
trong đó
là đại lượng vô hướng và
[ ]
ij
A a
là một ma trận cấp
m n thì C là một ma trận cấp m n với: x x
[ ]
ij
C a
Ví dụ 3.7.
3 4 12 16
4 2 1 8 4
1 2 4 8
3.1.2 Ma trận
0
(ma trận zero)
Định nghĩa 3.10.
Trong đại số ma trận, khi viết
0
A
, ta hiểu là các phần tử của ma trận A đều
bằng 0.
Định nghĩa 3.11.
Trong đại số ma trận, khi viết
0
A
, ta hiểu là ma trận A không phải là ma trận
0
, nghĩa là tồn tại ít nhất một phần tử của ma trận A khác số 0.
Ví dụ 3.8: Cho ma trận A cấp 3 x 2
5 3
8 3
9 1
Nếu ta trừ ma trận A cho chính nó, ta được
0
A A
hay
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
5 3 5 3 0 0
8 3 8 3 0 0
9 1 9 1 0 0
Chú ý rằng
0
không phải là số 0 thông thường mà là ma trận
0
cấp 3 x 2.
Do đó, nếu ta viết
0
A A
dưới giả thiết A là ma trận cấp 3 x 2, ta hiểu ngầm kích
thước ma trận
0
là 3 x 2.
Ví dụ 3.9.
Nếu
0 0
0 0
5 0
A
thì ta viết
0
A
vì
32
0.
a
3.2 . Phép nhân hai ma trận
Không như phép cộng, trừ ma trận, phép nhân ma trận phức tạp hơn nhiều và bản
năng trong đại số thông thường lúc này là không đáng tin cậy. Ta bắt đầu phép nhân hai
ma trận với trường hợp đơn giản nhất, nhân một vector hàng với một vector cột. Ta có
3.2.1. Định nghĩa phép nhân hai ma trận
Định nghĩa 3.12.
Cho
[ ]
i
a a
là một ma trận hàng cấp 1 n và x
[ ]
i
b b
là một ma trận cột cấp n
x 1. Khi đó tích
ab
là một số cho bởi công thức:
1
2
1 2 1 1 2 2
.
. . . ...
.
.
n n n
n
b
b
ab a a a a b a b a b
b
Ví dụ 3.10.
Cho trước
[1 3 6]
a
và
2
4
7
b
, ma trận tích của hai ma trận là:
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
2
1 3 6 4 1.2 3.4 6.7 56
7
ab
Chú thích
Ở đây, thứ tự các ma trận là quan trọng, nghĩa là và không bằng nhau. Trong ab ba
ví dụ trên, trong khi là số 56, ta sẽ thấy rằng là một ma trận cấp 3 x 3. ab ba
2 2 6 12
4 1 3 6 4 12 24
7 7 21 42
ba
Bây giờ, ta tính trong đó và không phải là các vector. Một thủ thuật là xem AB A B
A như là tập hợp của các vector hàng và như là tập hợp của các vector cột. Các phần tử B
của được tìm ra bởi phép nhân một vector hàng của ma trận với một vector cột của AB A
ma trận theo cách mà ta vừa được học. B
Định nghĩa 3.13.
Nếu A là một ma trận cấp m n và B là một ma trận cấp n s thì để có được AB, x x
ta viết A như là tập hợp của m vector hàng và B là tập hợp của s vector cột:
1
2
1 2
, . . .
s
m
a
a
A B b b b
a
Trong đó vector hàng a cấp 1 n là vector hàng thứ i của ma trận A và vector cột b cấp
i
x
j
n 1 là vector cột thứ j của ma trận B. Tích C = AB là ma trận cấp m s được định x x
nghĩa bởi:
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
...
...
...
s
s
m m m s
a b a b a b
a b a b a b
C
a b a b a b
Chú thích:
Để tích tồn tại thì số cột của phải bằng số hàng của . Một thuật toán để xác AB A B
định tồn tại và sau đó tính được trình bày dưới đây: AB AB
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
Thuật toán nhân hai ma trận
Cho trước hai ma trận: cấp và cấp , viết các kích thước hai ma trận A m x n B r x s
theo thứ tự mà bạn muốn nhân chúng. Do vậy, để có ta viết: AB
m x n | r x s
Ta có:
1. Tích AB được định nghĩa khi và chỉ khi hai số ở giữa bằng nhau, tức là . n = r
2. Nếu 1. được thỏa thì AB được xác định, khi đó kích thước AB được tìm bằng cách
loại bỏ hai số và ở giữa để mà là một ma trận cấp . n r AB m x s
3. Viết như là tập hợp của vector hàng và là tập hợp của vector hàng. Phần tử A m B s
hàng cột của ma trận i j C = AB = [c
ij
] được tìm bằng cách nhân hàng của ma i
trận A với cột của ma trận sao cho . j B c
ij
= a
i
b
j
Ví dụ 3.11 AB . Tính với hai ma trận
3 4 6 7
2 1 , 5 4
6 2 1 2
A B
Giải:
Theo thuật toán trên ta có
1. Viết kích thước của ma trận AB: 3 x 2|3 x 2 , ta thấy rằng hai số bên trong không
bằng nhau. Vì vậy tích không xác định và dĩ nhiên không thể tính được. AB
Ví dụ 3.12. Tính AB với
3 4
5 2 1
2 1 ,
3 3 4
6 2
A B
Giải:
Theo thuật toán ta có:
1. Viết kích thước của ma trận AB như: 3 x 2|2 x 3, ta thấy rằng hai số bên trong
bằng nhau, vì vậy tích xác định. AB
2. Xóa bỏ hai số nằm giữa, ta được ma trận AB là ma trận cấp 3 x 3.
3. Để tính AB, ta viết là tập hợp của 3 vector hàng và là tập hợp của 3 vector A B
cột như sau:
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
3 4
5 2 1
2 1 ,
3 3 4
6 2
A B
Thực hiện phép nhân, ta thấy rằng:
3 4
5 2 1
2 1
3 3 4
6 2
5 2 1
3 4 3 4 3 4
3 3 4
2 1
2 1 2 1 2 1
3 4
2 1
6 2 6 2 6 2
3 4
27 18 19
13 7 6
36 18 14
AB
Ví dụ, để tính phần tử 2, 3 của ma trận AB, ta nhân
1
2 1 2.1 1.4 6
4
Trong khi để có phần tử 1, 1 của , ta nhân AB
5
3 4 3.5 4.3 27.
3
Bạn nên tự lập phép tính các phần tử còn lại.
Ví dụ 3.13
Đảo ngược thứ tự phép nhân trong ví dụ trước và tính BA trong đó A và B được
cho như ví dụ trước. Theo thuật toán, ta có
1. Vì B cấp 2 x 3 và A cấp 3 x 2 , ta có 2 x 3|3 x 2 và BA được xác định.
2. Loại bỏ hai số bên trong ta được BA là một ma trận cấp 2 x 2.
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
3. Ta viết B là tập hợp của 2 vector hàng và A là tập hợp của 2 vector cột như
sau:
3 4
5 2 1
, 2 1
3 3 4
6 2
B A
Thực hiện phép nhân B với A, ta được:
3 4
5 2 1
2 1
3 3 4
6 2
3 4
5 2 1 2 5 2 1 1
6 2
3 4
3 3 4 2 3 3 4 1
6 2
25 24
39 23
BA
Ta nhận thấy rằng BA có cấp 2 x 2 trong khi AB có cấp 3 x 3. Điều này minh họa cho
thực tế quan trọng rằng: kể cả khi AB và BA tồn tại thì
.
AB BA
3.2.2. Ma trận đơn vị (Ma trận đồng nhất)
Ma trận đơn vị trong đại số ma trận đóng một vai trò như số 1 trong đại số thông I
thường.
Định nghĩa 3.14 (Ma trận đơn vị). .
Ma trận đơn vị I là một ma trận vuông cấp n n với các số 1 nằm trên đường chéo x
và các số 0 nằm ngoài đường chéo.
Nhận thấy rằng số 1 có tính chất: 1 x 5 = 5 x 1 = 5 và ma trận đơn vị cũng có tính chất
tương tự cho các ma trận, nghĩa là
Định lý 3.15.
Với mọi ma trận A thì
IA= AI = A.
Ví dụ 3.14.
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
Ma trận đơn vị 3 x 3 được cho bởi
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
Bạn có thể kiểm chứng rằng:
27 18 19 1 0 0 27 18 19
13 7 6 0 1 0 13 7 6
36 14 18 0 0 1 36 14 18
3.3. Phép chuyển vị của Ma trận
Nhìn chung trong đại số ma trận, nếu ta đổi chỗ các dòng và các cột thì ta được ma
trận chuyển vị của ma trận ban đầu.
Định nghĩa 3.16 (Ma trận chuyển vị).
Nếu
[ ]
ij
A a
là một ma trận cấp m n thì ma trận chuyển vị của A ký hiệu là A , x
T
là một ma trận cấp n m trong đó phần tử ở hàng i cột j là a hayx
ji
[ ]
T
ji
A a
.
Chú thích: Một điều hiển nhiên là chuyển vị của một số là chính nó. Ví dụ 5 = 5.
T
Ví dụ 3.15
3 4
3 2 6
2 1
4 1 2
6 2
T
5 3
5 2 1
2 3 .
3 3 4
1 4
T
Định lý 3.17. Ma trận chuyển vị thỏa mãn các tính chất sau
1. Nếu AB xác định thì (AB) = B
T T
A
T
2. (A )
T T
= A
3. =A (A + B)
T T
+ B
T
3.3.1. Ma trận đối xứng
Định nghĩa 3.18 (Ma trận đối xứng) .
Ma trận A gọi là đối xứng khi và chỉ khi A = A
T
.
Chú thích:
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
Chỉ có ma trận vuông mới có thể đối xứng. Thật vậy, nếu A có cấp thì A có m x n
T
cấp và vì vậy A = A kéo theo . n x m
T
m = n
Ví dụ 3.16.
Ma trận A sau đây đối xứng vì A = A hay
T
1 2 5 1 2 5 1 2 5
2 3 6 2 3 6 2 3 6
5 6 4 5 6 4 5 6 4
T
A
Tuy nhiên các ma trận B và C dưới đây không đối xứng vì
1 2 5 1 2 5 1 2 7
2 3 6 2 3 6 2 3 6
7 6 4 7 6 4 5 6 4
1 2 1 2
1 2 5
2 3 2 3
2 3 6
5 6 5 6
T
T
T
T
B B
C C
3.3.2. Chứng minh rằng là ma trận đối xứng A
T
A
Nhìn chung chúng ta không thể thực hiện phép lũy thừa cho một ma trận bất kỳ.
Vì nếu ma trận có kích thước m x n thì ma trận không xác định trừ phi m = n. Như A A
2
vậy phép bình phương chỉ tồn tại với ma trận vuông. Tuy nhiên chúng ta luôn bình
phương ở dạng là ma trận kích thước hay là ma trận kích thước . A A
T
A n x n AA
T
m x m
Các ma trận dạng hay đóng vai trò rất quan trọng trong kinh tế và chúng A A
T
AA
T
luôn luôn là các ma trận đối xứng.
Định lý 3.19.
Các ma trận A A và AA đều đối xứng.
T T
Chứng minh:
Nói chung, để chứng minh tính đối xứng, ta bắt đầu với và chứng minh rằng nó C
T
bằng với . Do đó nếu thì C C = A
T
A
C
T
= (A
T
A)
T
(định nghĩa)
= (vì ) A
T
(A
T
)
T
(DE)
T
= E
T
D
T
= (vì ) A A
T
(D
T
)
T
= D
= (định nghĩa). C
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
Suy ra C đối xứng.
Một cách tương tự, bạn có thể chứng minh cũng đối xứng hoặc sử dụng kết AA
T
quả trên vì nếu thì trong đó . Vì vậy có dạng và đối D = AA
T
D = B
T
B B = A
T
D A A
T
xứng.
Ví dụ 3.17. Cho trước
3 4
2 1
6 2
A
Ta có và đều đối xứng. Thật vậy, ta có A
T
A AA
T
3 4
3 2 6 49 22
2 1
4 1 2 22 21
6 2
T
A A
và
3 4 25 2 26
3 2 6
2 1 2 5 10
4 1 2
6 2 26 10 40
T
A A
3.4. Ma trận nghịch đảo
Cũng như trong số học thông thường, chúng ta cũng mong muốn thực hiện phép
chia các ma trận. Với những con số chúng ta có thể biểu diễn phép bằng cách sử dụng
phép nhân và nghịch đảo như sau:
1
a b a b
.
Bây giờ ta thay và bằng hai ma trận và , chúng ta đã biết cách nhân chúng a b A B
A Bx , vì vậy nếu ta tìm được B
-1
(gọi là nghịch đảo của ma trận B) thì ta có thể mở rộng
phép chia ma trận như sau:
1
A B A B
Trở lại với số học, nghịch đảo của 3 là
1
3
thỏa mãn
1 1
3 3 1
3 3
. Trong đại số
ma trận thì quy tắc của số 1 được thể hiện bằng ma trận đơn vị và đ đó ta có định lý sau: I
Định nghĩa 3.20 Ma trận nghịch đảo).. (
Ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A cấp n n, ký hiệu là x
1
A
thỏa mãn
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
1 1
.
A A AA I
Chú thích:
Nhìn chung trong đại số ma trận chúng ta viết
1
A B
thay vì viết
A B
Trong số học, chúng ta thường biểu diễn phép chia là
a
a b
b
và ký hiệu
a
b
áp
dụng được với các con số vì thứ tự của phép nhân không ảnh hưởng, nghĩa là
1 1
a
a b b a
b
. Nhưng đối với ma trận thì thứ tự của phép nhân là điều cần phải
quan tâm vì
1 1
A B B A
. Vì vậy
A
B
là một ký hiệu tồi vì nó không thể hiện được
ý của bạn là
1
A B
hay
1
B A
. Vì vậy với ma trận chúng ta không viết
A
B
.
Chỉ có ma trận vuông mới tồn tại ma trận nghịch đảo. Ví dụ
1
3 4
2 1
6 2
không xác định.
Tuy nhiên không phải tất cả các ma trận vuông đều có ma trận nghịch đảo. Ví dụ
đại lượng vô hướng 0 hoặc bất kỳ ma trận vuông 0 đều không có nghịch đảo vì
0 0 0
A A
với mọi ma trận . A
Đồng thời cũng có những ma trận vuông khác 0 mà cũng không có nghịc đảo.
Chúng ta xem xét các kết quả sau
Định nghĩa 3.21 (Ma trận không suy biến). .
Nếu ma trận A có nghịch đảo, ta nói rằng ma trận A không suy biến hay A khả
nghịch.
Định nghĩa 3.22. (Ma trận suy biến).
Nếu ma trận A không có nghịch đảo, ta nói rằng ma trận A suy biến hay A không
khả nghịch.
Ví dụ 3.18.
Một ví dụ của ma trận không suy biến là
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
49 22
22 21
A
mà ma trận nghịch đảo của nó là
1
1
49 22 21 22
1
22 21 22 49
545
A
bởi vì:
1
21 22 49 22 545 0 1 0
1 1
22 49 22 21 0 545 0 1
545 545
A A
Ví dụ 3.19.
Một ma trận với các phần tử khác không mà không có ma trận nghịch đảo là
1 2
1 2
A
Chứng minh:
Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng. Giả sử ngược lại là ma trận
1
B A
tồn tại. Bởi vì
BA I
theo định nghĩa của ma trận nghịch đảo, ta có
11 12
21 22
1 2 1 0
1 2 0 1
b b
b b
Thực hiện phép nhân hai ma trận, ta thu được
11 12
11 12 11 12
1
2 2 0 0.
b b
b b b b
Từ đó suy ra điều mâu thuẫn: 1 = 0. Vậy ma trận không có nghịch đảo. A
Sau đây là một số kết quả hữu ích của ma trận nghịch đảo
Định lý 3.23.
Nếu A có nghịch đảo thì ma trận nghịch đảo là duy nhất.
Định lý 3.24.
Nếu
1
A
tồn tại thì
1
1
.
A A
Định lý 3.25.
Nếu
1
A
tồn tại thì
1
1
.
T
T
A A
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
Định lý 3.26.
Nếu A và B là các ma trận khả nghịch và có cùng cấp thì
1
1 1
.
AB B A
Định lý 3.27.
Nếu A là ma trận cấp 2 2 thì ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi x
11 22 12 21
0
a a a a
và được cho bởi
1
11 12 22 12
1
21 22 21 11
11 22 12 21
1
a a a a
A
a a a a
a a a a
Ví dụ 3.20. Ma trận
1 2
1 2
A
không có ma trận nghịch đảo vì
11 22 12 21
1 2 2 1 0
a a a a
Định lý 3.28.
Nếu ma trận A đối xứng và
1
A
tồn tại thì
1
A
cũng là ma trận đối xứng.
Chứng minh.
Nếu đối xứng thì A
T
A A
. Bây giờ
1
1 1
T
T
A A A
và vì vậy
1
A
đối xứng.
Ví dụ 3.21. Ma trận đối xứng
9 3
3 2
A
có ma trận nghịch đảo vì
11 22 12 21
9 2 3 3 9 0
a a a a
Và
1
A
được cho bởi
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
1
1
2 1
9 3 2 3
1
9 3
3 2 3 9 19
1
3
A
cũng là ma trận đối xứng.
3.4.1. Ma trận đường chéo
Định nghĩa 3.29. (Ma trận đường chéo).
Nếu
[ ]
ij
A a
là một ma trận cấp n n với x
0
ij
a i j
hay
11
22
0 0
0 0
0 0
nn
a
a
A
a
thì A được gọi là ma trận đường chéo.
Ví dụ 3.22. Cho các ma trận sau:
3 0 0 3 0 7 3 0 6
0 2 0 ; 4 2 0 ; 4 2 0
0 0 4 0 0 4 3 0 4
Ma trận thứ 1 là ma trận đường chéo trong khi ma trận thứ 2 và thứ 3 không phải
là ma trận đường chéo.
Các ma trận đường chéo rất dễ dàng khi thực hiện phép nhân, bạn chỉ cần nhân các
phần tử tương ứng trên đường chéo.
Định lý 3.30.
Nếu A và B là các ma trận đường chéo cùng cấp thì
11 11
22 22
11 11
22 22
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
nn nn
nn nn
a b
a b
A B
a b
a b
a b
a b
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
Chú thích: Đối với ma trận đường chéo thì . AB = BA
Ví dụ 3.23. Cho các ma trận
2 0 0 5 0 0
0 3 0 ; 0 6 0
0 0 4 0 0 7
A B
Ta có:
2 0 0 5 0 0 2 5 0 0 10 0 0
0 3 0 0 6 0 0 3 6 0 0 18 0
0 0 4 0 0 7 0 0 4 7 0 0 28
A B
Định lý 3.31.
Một ma trận đường chéo A không suy biến khi và chỉ khi tất cả các phần tử trên
đường chéo đều khác không và khi đó ta có
11
1
22
1
0 0
1
0 0
1
0 0
nn
a
aA
a
Ví dụ 3.24.
1
1
0 0
3
3 0 0
1
0 2 0 0 0
2
0 0 4
1
0 0
4
Ví dụ 3.25.
Bởi vì ma trận đồng nhất I là ma trận đường chéo với các số 1 nằm trên đường
chéo, ta có
1
.
I I
Ví dụ 3.26. Ma trận đường chéo
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
3 0 0
0 2 0
0 0 0
suy biến vì phần tử thứ 3 trên đường chéo bằng 0.
3.5. Định thức của ma trận
Một đặc tính quan trọng của ma trận vuông là định thức của nó. Nếu là một ma A
trận vuông cấp thì ta viết định thức của nó là n x n
| |
A
hay
det[ ].
A
Định nghĩa 3.32.
Nếu A là ma trận cấp 1 1 (đại lượng vô hướng) thì x
det[ ]
A A
trong khi nếu
[ ]
ij
A a
là ma trận cấp 2 2 thì x
11 12
11 22 12 21
21 22
det[ ] det
a a
A a a a a
a a
.
Ví dụ 3.27. Ta có
det 5 5; det 3 3
trong khi
5 1
det 5 3 1 4 11
4 3
Để xác định định thức trong trường hợp
3
n
nói chung là phức tạp vì nó liên
quan đến khái niệm của một hoán vị. Thay vì đề cập đến khái niệm đó, ta sử dụng khai
triển Laplace để giảm cấp của một định thức cấp thành một dãy định thức cấp . n (n - 1)
Các định thức cấp gọi là các định thức cấp con và được tìm bằng cách bỏ một hàng (n -1)
và một cột từ một ma trận ban đầu.
Định nghĩa 3.33. (Định thức con)
Định thức cấp con thứ i, j của ma trận A, ký hiệu là m , được cho bởi:
ij
det[ ]
ij ij
m A
trong đó A là ma trận cấp (n – 1) (n – 1) có được bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột
ij
x
thứ j của ma trận A.
Định nghĩa 3.34 (Phần phụ đại số).
Phần phụ đại số thứ i, j của một ma trận A, ký hiệu là c , được cho bởi
ij
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
( 1)
i j
ij ij
c m
trong đó m là định thức cấp con thứ i, j của ma trận A.
ij
Ví dụ 3.28. Xét ma trận : 3 x 3
3 1 4
1 2 6
3 1 8
A
Định thức con
11
m
có được bằng cách bỏ đi hàng thứ nhất và cột thứ nhất của như sau A
11
2 6
det 10
1 8
m
Suy ra phần bù đại số
11
c
xác định bởi
1 1
11 11
1 10
c m
Tương tự ta bỏ đi hàng thứ ba và cột thứ hai của để có được: A
32
3 2
32 32
3 4
det 14
1 6
1 14
m
c m
Chú thích:
Khi tính toán phần phụ đại số , ta có bảng các số 1 và -1 gắn với định thức con c
ij
m
ij
có dạng sau:
1 1 1
1 1 1
1 1 1
Chú ý rằng các phần tử trên đường chéo luôn là số 1. Ví dụ với ma trận cấp 4 x 4
bảng số là:
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
Khai triển laplace sau đây sẽ tính toán
det
A
bằng cách di chuyển băng qua một
dòng hoặc một cột tùy ý của ma trận , nhân mỗi phần tử trên dòng hoặc cột đó với A a
ij
phần bù đại số của nó , rồi sau đó cộng tất cả lại với nhau. c
ij
Định lý 3.35. (Khai triển Laplace)
Cho một ma trận A=[a ] cấp n n với các phần phụ đại số c thì det[A] được cho
ij
x
ij
bởi tổng của các tích của các phần tử trên hàng thứ i với các phần phụ đại số tương ứng
1 1 2 2 3 3
det ...
i i i i i i in in
A a c a c a c a c
hoặc là tổng của các tích của các phần tử trên hàng thứ j với các phần phụ đại số:
1 1 2 2 3 3
det ...
j j j j j j nj nj
A a c a c a c a c
Sau đây là thuật toán tính định thức ma trận:
1. Chọn một hàng hay một cột tùy ý của ma trận và di chuyển tới hàng hay cột đó. A
2. Khi bạn xét một phần tử nào đó thì hãy xóa hàng và một cột tương ứng của ma a
ij
i j
trận . Sau đó tính định thức con của ma trận còn lại và thực hiện phép nhân: A m
ij
ij ij
a m
.
3. Nhân kết quả trong bước 2 với (-1) hoặc 1 tùy thuộc vào là lẻ hay chẵn. i + j
4. Tiếp tục với các phần tử tiếp theo trong hàng hoặc cột đó và cộng các số hạng bạn có
được trong bước 3 với nhau.
Chú thích:
Thông thường, việc tính toán định thức khá khó khăn và tốt nhất là sử dụng máy vi
tính, khi mà nó có thể sử dụng nhiều thuật toán hiệu quả hơn khai triển Laplace. Nếu ma
trận không có các tính chất đặc biệt, dường như bạn khó thể tính toán bằng tay các định A
thức có cấp lớn hơn 4.
Ví dụ 3.29. Xét ma trận 3 x 3
3 1 4
1 2 6
3 1 8
A
Để tính toán , chúng ta bắt đầu bằng cách khai triển theo hàng đầu tiên. Xét det[A]
phần tử thứ nhất
11
3
a
, chúng ta bỏ hàng thứ nhất và cột thứ nhất, tính định thức của ma
trận còn lại và nhân với
11
a
, giữ nguyên dấu ta có được:
| 1/101
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Biên dịch: Nguyễn Quang Huy Chương 3 ĐẠI SỐ MA TRẬN
Một ma trận về cơ bản chỉ là một bảng các con số. Ví dụ ma trận A cho bởi 50 45 A 35 15     65 25  
có thể là điểm số của sinh viên qua hai kỳ thi. Khi chúng ta làm việc với các dữ liệu thì
ngầm hiểu rằng chúng ta đang làm việc với các ma trận.
Đại số ma trận là nghệ thuật vận dụng các ma trận theo cách thức tương tự như
việc vận dụng các con số trong đại số thông thường. Vì thế, chúng ta cũng sẽ học các
phép toán cộng, trừ, nhân và chia các ma trận. Thậm chí ta có thể tính được luôn eA hay
ln(A) với A là một ma trận.
Trong một số trường hợp thì đại số ma trận không hẳn là một cách ký hiệu tiện lợi
mà đôi khi người ta có thể làm việc trực tiếp với các con số trong ma trận. Và trong một
số trường hợp khác thì ký hiệu của đại số ma trận lại tốt hơn hẳn. Ví dụ như các đạo hàm
trong kinh tế đôi khi bạn phải mất tới 5 trang để tính toán nếu không sử dụng ký hiệu ma
trận. Đại số ma trận được xem là một ký hiệu “thâm thúy”, nó cho bạn thấy được những
điều mà có thể bạn chưa bao giờ thấy. Theo giải tích thì nó là một trong hai kỹ năng toán
học cơ bản mà một sinh viên ngành kinh tế bắt buộc phải có.
Giá trị sức mạnh của đại số ma trận rất đáng ngạc nhiên. Một số bản năng trong
đại số thông thường có thể khiến bạn lạc đường khi làm việc với các ma trận. Một ví dụ
điển hình là hai biểu thức A B và B  A là không giống nhau. Vì vậy bạn phải hết sức
cẩn thận khi bắt đầu tìm hiểu về ma trận. Chúng ta bắt đầu với các định nghĩa sau: Định nghĩa 3.1.
Một ma trận cấp m x n với m hàng và n cột có dạng sau:  a a ... a  11 12 1n  a a ... a  21 22 2n A  a     ij  m  n  ... ... ... ...    a a a m m ... 1 2 mn 
trong đó aij là phần tử ở vị trí hàng i và cột j của A.
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy Ví dụ 3.1. Ma trận cấp 3 x 2: a a  5 4 11 12  A a a  3 1    . 21 22     a a     6 2 31 32 
có a  4, a  3, a  2. 12 21 32
Định nghĩa 3.2. (Ma trận vuông).
Một ma trận A cấp m x n là một ma trận vuông nếu m = n.
Định nghĩa 3.3. (Đường chéo của ma trận vuông)
Cho ma trận vuông cấp n x n : A= [aij]. Khi đó các phần tử đường chéo là các phần tử aij thỏa i = j. Ví dụ 3.2. 5 4
Cho ma trận vuông cấp 2 x 2 là  3 1  
Các phần tử nằm trên đường chéo là a  5, a  1 . 11 22 Chú thích:
Đường chéo sẽ đi từ góc trên bên trái đi xuống góc dưới bên phải như sau .     .     .    
Yếu tố rất quan trọng trong đại số ma trận chính là các vector.
Định nghĩa 3.4. (Vector hàng)
Một vector hàng hay vector dòng x = [xi] là một ma trận cấp 1 x n.
Định nghĩa 3.5. (Vector cột)
Một vector cột x = [xi] là một ma trận cấp n x 1.
Định nghĩa 3.6. (Đại lượng vô hướng)
Một đại lượng vô hướng là một ma trận cấp 1 x 1 hay chỉ là một số thông thường. Ví dụ 3.3.
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
Dưới đây ta thấy x là một vector cột 3 x 1, y là một vector hàng 1 x 3 và z là một đại lượng vô hướng 1 x 1:  1  x  2   , y [5 4 2], z  3.    3    Chú thích:
Bất kỳ ma trận A cấp m x n có thể được xem như là một sự kết hợp của n vector
hàng với kích thước m x 1 hoặc là m vector cột với kích thước 1 x n. Ví dụ 3.4. Ma trận cấp 3 x 2: 5 4  5 4   5 4              A  3 1  3 1           3  1  6 2  6 2   
        6 2      5   4 
được tạo thành từ hai vector cột  3  ,  1       6   2     
hoặc ba vector hàng  5 4, 3 1, 6 2.
3.1. Phép cộng và phép trừ ma trận
Bản năng của bạn trong đại số thông thường có thể đáng tin cậy đối với phép cộng
và trừ các ma trận. Các quy luật khá đơn giản như sau:
3.1.1. Định nghĩa phép cộng trừ ma trận Định nghĩa 3.7.
Nếu A  [a ] và B  [b ] cùng là các ma trận cấp m x n và C  A B thì C là ij ij
một ma trận cấp m x n với: C  [a b ] ij ij Định nghĩa 3.8.
Nếu A  [a ] và B  [b ] cùng là các ma trận cấp m x n và C  A B thì C là ij ij
một ma trận cấp m x n với: C  [a b ] ij ij
Chú thích: Sai lầm thường gặp của bạn là cộng hay trừ các ma trận khác cấp. Ví dụ 3.5.
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy  3 4   5 3  8 7 
 2 1   8 3  6 4            6 2   9 1   15 3         3 4   5 3   2 1 
 2 1   8 3  10 2             6 2   9 1    3 1        Ví dụ 3.6.
Tổng sau không xác định vì hai ma trận không cùng cấp.  5 1   3 4   8 6    1 2        9 2    Định nghĩa 3.9.
Nếu C   A trong đó  là đại lượng vô hướng và A  [a ] là một ma trận cấp ij
m x n thì C là một ma trận cấp m x n với: C  [ a  ] ij Ví dụ 3.7.  3 4  12 16     42 1  8 4       1 2   4 8     
3.1.2 Ma trận 0 (ma trận zero) Định nghĩa 3.10.
Trong đại số ma trận, khi viết A  0 , ta hiểu là các phần tử của ma trận A đều bằng 0. Định nghĩa 3.11.
Trong đại số ma trận, khi viết A  0 , ta hiểu là ma trận A không phải là ma trận
0 , nghĩa là tồn tại ít nhất một phần tử của ma trận A khác số 0.
Ví dụ 3.8: Cho ma trận A cấp 3 x 2  5 3    8 3    9 1  
Nếu ta trừ ma trận A cho chính nó, ta được A  A  0 hay
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy  5 3  5 3  0 0         8 3  8 3  0 0           9 1   9 1   0 0       
Chú ý rằng 0 không phải là số 0 thông thường mà là ma trận 0 cấp 3 x 2.
Do đó, nếu ta viết A  A  0 dưới giả thiết A là ma trận cấp 3 x 2, ta hiểu ngầm kích
thước ma trận 0 là 3 x 2. Ví dụ 3.9.  0 0  
Nếu A   0 0 thì ta viết A  0 vì a  0.   32  5 0  
3.2 . Phép nhân hai ma trận
Không như phép cộng, trừ ma trận, phép nhân ma trận phức tạp hơn nhiều và bản
năng trong đại số thông thường lúc này là không đáng tin cậy. Ta bắt đầu phép nhân hai
ma trận với trường hợp đơn giản nhất, nhân một vector hàng với một vector cột. Ta có
3.2.1. Định nghĩa phép nhân hai ma trận Định nghĩa 3.12.
Cho a  [a ] là một ma trận hàng cấp 1 x n và b  [b ] là một ma trận cột cấp n i i
x 1. Khi đó tích ab là một số cho bởi công thức:  b  1    b  2    .  ab a a . . . a     a b a b ... a b 1 2 n  1 1 2 2  . n n     .     b   n   Ví dụ 3.10.  2   
Cho trước a  [1 3 6] và b  4  , ma trận tích của hai ma trận là:    7   
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy  2    ab 1 3 6 4   1.2 3.4  6.7  56    7    Chú thích
Ở đây, thứ tự các ma trận là quan trọng, nghĩa là ab và ba không bằng nhau. Trong
ví dụ trên, trong khi ab là số 56, ta sẽ thấy rằng ba là một ma trận cấp 3 x 3.  2  2  6 12     
ba   4 1 3 6  4 12 24       7  7  21 42     
Bây giờ, ta tính AB trong đó A và B không phải là các vector. Một thủ thuật là xem
A như là tập hợp của các vector hàng và B như là tập hợp của các vector cột. Các phần tử
của AB được tìm ra bởi phép nhân một vector hàng của ma trận A với một vector cột của
ma trận B theo cách mà ta vừa được học. Định nghĩa 3.13.
Nếu A là một ma trận cấp m x n và B là một ma trận cấp n x s thì để có được AB,
ta viết A như là tập hợp của m vector hàng và B là tập hợp của s vector cột:  a  1    a  2 A    , B  b b . . . b 1 2 s        a   m 
Trong đó vector hàng ai cấp 1 x n là vector hàng thứ i của ma trận A và vector cột bj cấp
n x 1 là vector cột thứ j của ma trận B. Tích C = AB là ma trận cấp m x s được định nghĩa bởi:  a b a b ... a b  1 1 1 2 1 s    a b a b ... a b  2 1 2 2 2 s C            a b a b ... a b   m 1 m 2 m s  Chú thích:
Để tích AB tồn tại thì số cột của A phải bằng số hàng của B. Một thuật toán để xác
định AB tồn tại và sau đó tính AB được trình bày dưới đây:
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
Thuật toán nhân hai ma trận
Cho trước hai ma trận: A cấp m x n và B cấp r x s, viết các kích thước hai ma trận
theo thứ tự mà bạn muốn nhân chúng. Do vậy, để có AB ta viết: m x n | r x s Ta có:
1. Tích AB được định nghĩa khi và chỉ khi hai số ở giữa bằng nhau, tức là n = r.
2. Nếu 1. được thỏa thì AB được xác định, khi đó kích thước AB được tìm bằng cách
loại bỏ hai số n và r ở giữa để mà AB là một ma trận cấp m x s.
3. Viết A như là tập hợp của m vector hàng và B là tập hợp của s vector hàng. Phần tử
hàng i cột j của ma trận C = AB = [cij] được tìm bằng cách nhân hàng i của ma
trận A với cột j của ma trận B sao cho cij = aibj .
Ví dụ 3.11. Tính AB với hai ma trận  3 4 6 7      A  2 1 , B 5 4          6 2 1  2      Giải:
Theo thuật toán trên ta có
1. Viết kích thước của ma trận AB: 3 x 2|3 x 2 , ta thấy rằng hai số bên trong không
bằng nhau. Vì vậy tích AB không xác định và dĩ nhiên không thể tính được. Ví dụ 3.12. Tính AB với  3 4   5  2 1 A   2 1  , B      3  3 4  6 2       Giải: Theo thuật toán ta có: 1.
Viết kích thước của ma trận AB như: 3 x 2|2 x 3, ta thấy rằng hai số bên trong
bằng nhau, vì vậy tích AB xác định. 2.
Xóa bỏ hai số nằm giữa, ta được ma trận AB là ma trận cấp 3 x 3. 3.
Để tính AB, ta viết A là tập hợp của 3 vector hàng và B là tập hợp của 3 vector cột như sau:
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy  3  4     5 2 1    A    2  1  , B           
 3 3 4    6 2            
Thực hiện phép nhân, ta thấy rằng:  3  4  
  5 2 1  AB    2  1         
  3 3 4    6  2              5   2   1    3  4   3  4    3  4     3   3   4             2 1          2  1  2  1  2  1      3 4               2   1    6  2 6 2   6 2     3   4           27 18 19      13 7 6     36 18 14   
Ví dụ, để tính phần tử 2, 3 của ma trận AB, ta nhân  1  2 
1    2.1 1.4  6  4  
Trong khi để có phần tử 1, 1 của AB, ta nhân  5
3 4    3.5 4.3  27.  3  
Bạn nên tự lập phép tính các phần tử còn lại. Ví dụ 3.13
Đảo ngược thứ tự phép nhân trong ví dụ trước và tính BA trong đó A và B được
cho như ví dụ trước. Theo thuật toán, ta có
1. Vì B cấp 2 x 3 và A cấp 3 x 2 , ta có 2 x 3|3 x 2 và BA được xác định.
2. Loại bỏ hai số bên trong ta được BA là một ma trận cấp 2 x 2.
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
3. Ta viết B là tập hợp của 2 vector hàng và A là tập hợp của 2 vector cột như sau:  3 4   5 2 1        B    , A   2 1      3 3 4           6 2       
Thực hiện phép nhân B với A, ta được:  3   4     5 2  1        BA      2 1   
 3 3 4           6 2         3   4         5 2 1 2 5 2  1 1           6   2             3   4           3 3 4 2 3 3 4 1          6   2            25 24      39 23   
Ta nhận thấy rằng BA có cấp 2 x 2 trong khi AB có cấp 3 x 3. Điều này minh họa cho
thực tế quan trọng rằng: kể cả khi AB và BA tồn tại thì AB  B . A
3.2.2. Ma trận đơn vị (Ma trận đồng nhất)
Ma trận đơn vị I trong đại số ma trận đóng một vai trò như số 1 trong đại số thông thường.
Định nghĩa 3.14. (Ma trận đơn vị).
Ma trận đơn vị I là một ma trận vuông cấp n x n với các số 1 nằm trên đường chéo
và các số 0 nằm ngoài đường chéo.
Nhận thấy rằng số 1 có tính chất: 1 x 5 = 5 x 1 = 5 và ma trận đơn vị cũng có tính chất
tương tự cho các ma trận, nghĩa là Định lý 3.15. Với mọi ma trận A thì IA= AI = A. Ví dụ 3.14.
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
Ma trận đơn vị 3 x 3 được cho bởi  1 0 0    I   0 1 0     0 0 1   
Bạn có thể kiểm chứng rằng:  27 18 19   1 0 0   27 18 19         13 7 6   0 1 0    13 7 6         36 14 18   0 0 1   36 14 18       
3.3. Phép chuyển vị của Ma trận
Nhìn chung trong đại số ma trận, nếu ta đổi chỗ các dòng và các cột thì ta được ma
trận chuyển vị của ma trận ban đầu.
Định nghĩa 3.16. (Ma trận chuyển vị)
Nếu A [a ] là một ma trận cấp m x n thì ma trận chuyển vị của A ký hiệu là AT, ij
là một ma trận cấp n x m trong đó phần tử ở hàng i cột j là a T ji hay A  [a ]. ji
Chú thích: Một điều hiển nhiên là chuyển vị của một số là chính nó. Ví dụ 5T = 5. Ví dụ 3.15 3 4 T      3  2 6  2 1        4 1 2  6 2      T  5  3   5 2 1        2 3  . 3 3 4      1 4   
Định lý 3.17. Ma trận chuyển vị thỏa mãn các tính chất sau 1. T T
Nếu AB xác định thì (AB) = B AT 2. T T (A ) = A 3. T T (A + B)T=A + B
3.3.1. Ma trận đối xứng
Định nghĩa 3.18. (Ma trận đối xứng)
Ma trận A gọi là đối xứng khi và chỉ khi A = AT. Chú thích:
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
Chỉ có ma trận vuông mới có thể đối xứng. Thật vậy, nếu A có cấp m x n thì AT có
cấp n x m và vì vậy A = AT kéo theo m = n. Ví dụ 3.16.
Ma trận A sau đây đối xứng vì A = AT hay 1 2 5 1 2 5 T  1 2 5      
A 2 3 6  2 3 6  2 3 6       5 6 4 5 6 4 5 6 4      
Tuy nhiên các ma trận B và C dưới đây không đối xứng vì 1 2 5 1 2 5 T  1 2 7       B  2 3 6 T
  B  2 3 6  2 3 6       7 6 4 7 6 4 5 6 4       1 2 1 2 T      1 2 5 C  2 3 T
  C  2 3        2 3 6 5 6 5 6          
3.3.2. Chứng minh rằng ATA là ma trận đối xứng
Nhìn chung chúng ta không thể thực hiện phép lũy thừa cho một ma trận bất kỳ.
Vì nếu ma trận A có kích thước m x n thì ma trận A2 không xác định trừ phi m = n. Như
vậy phép bình phương chỉ tồn tại với ma trận vuông. Tuy nhiên chúng ta luôn bình
phương A ở dạng ATA là ma trận kích thước n x n hay AAT là ma trận kích thước m x m.
Các ma trận dạng ATA hay AAT đóng vai trò rất quan trọng trong kinh tế và chúng
luôn luôn là các ma trận đối xứng. Định lý 3.19.
Các ma trận ATA và AAT đều đối xứng. Chứng minh:
Nói chung, để chứng minh tính đối xứng, ta bắt đầu với CT và chứng minh rằng nó
bằng với C. Do đó nếu C = ATA thì CT = (ATA)T (định nghĩa) = AT(AT)T (vì (DE)T = ETDT) = ATA (vì (DT)T = D) = C (định nghĩa).
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy Suy ra C đối xứng.
Một cách tương tự, bạn có thể chứng minh AAT cũng đối xứng hoặc sử dụng kết
quả trên vì nếu D = AAT thì D = BTB trong đó B = AT . Vì vậy D có dạng ATA và đối xứng. Ví dụ 3.17. Cho trước  3 4   A  2 1      6 2  
Ta có ATA và AAT đều đối xứng. Thật vậy, ta có  3 4 3 2 6   49 22 T A A   2 1    4 1 2   22 21    6 2     và  3 4 25 2  26    3 2 6   T A A   2  1    2  5 1  0   4 1 2    6 2  26 10 40      
3.4. Ma trận nghịch đảo
Cũng như trong số học thông thường, chúng ta cũng mong muốn thực hiện phép
chia các ma trận. Với những con số chúng ta có thể biểu diễn phép bằng cách sử dụng
phép nhân và nghịch đảo như sau: 1 a b a b     .
Bây giờ ta thay a và b bằng hai ma trận A và B, chúng ta đã biết cách nhân chúng
A x B, vì vậy nếu ta tìm được B-1 (gọi là nghịch đảo của ma trận B) thì ta có thể mở rộng
phép chia ma trận như sau: 1 A B A B     1 1 1
Trở lại với số học, nghịch đảo của 3 là thỏa mãn 3  3  1 . Trong đại số 3 3 3
ma trận thì quy tắc của số 1 được thể hiện bằng ma trận đơn vị I và đ đó ta có định lý sau:
Định nghĩa 3.20. (Ma trận nghịch đảo).
Ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A cấp n x n, ký hiệu là 1 A thỏa mãn
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy 1  1 A A AA    I. Chú thích:
 Nhìn chung trong đại số ma trận chúng ta viết 1 A B  thay vì viết A B a a
 Trong số học, chúng ta thường biểu diễn phép chia là a b  và ký hiệu áp b b
dụng được với các con số vì thứ tự của phép nhân không ảnh hưởng, nghĩa là a 1 1 a b   b a 
. Nhưng đối với ma trận thì thứ tự của phép nhân là điều cần phải b A quan tâm vì 1 1 A B  B  A . Vì vậy
là một ký hiệu tồi vì nó không thể hiện được B A ý của bạn là 1 A B  hay 1 B
A. Vì vậy với ma trận chúng ta không viết . B
 Chỉ có ma trận vuông mới tồn tại ma trận nghịch đảo. Ví dụ 1 3 4       2  1  không xác định.    6 2  
Tuy nhiên không phải tất cả các ma trận vuông đều có ma trận nghịch đảo. Ví dụ
đại lượng vô hướng 0 hoặc bất kỳ ma trận vuông 0 đều không có nghịch đảo vì 0
A  0A  0 với mọi ma trận A.
Đồng thời cũng có những ma trận vuông khác 0 mà cũng không có nghịc đảo.
Chúng ta xem xét các kết quả sau
Định nghĩa 3.21. (Ma trận không suy biến).
Nếu ma trận A có nghịch đảo, ta nói rằng ma trận A không suy biến hay A khả nghịch.
Định nghĩa 3.22. (Ma trận suy biến).
Nếu ma trận A không có nghịch đảo, ta nói rằng ma trận A suy biến hay A không khả nghịch. Ví dụ 3.18.
Một ví dụ của ma trận không suy biến là
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy  49 22 A     22 21  
mà ma trận nghịch đảo của nó là 1 4  9 22       1 21 22 1 A       2  2 21 545  2  2 49      bởi vì: 1  21 22    49 22 1 545 0  1 0 1 A A          545 22 49   22 21 545  0 545  0 1         Ví dụ 3.19.
Một ma trận với các phần tử khác không mà không có ma trận nghịch đảo là 1  2 A    1  2   Chứng minh:
Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng. Giả sử ngược lại là ma trận 1 B A 
tồn tại. Bởi vì BA  I theo định nghĩa của ma trận nghịch đảo, ta có b  b  1  2 1 0 11 12       b  b  1  2 0 1  21 22     
Thực hiện phép nhân hai ma trận, ta thu được  b  b 1 11 12  
2b  2b  0  b  b  0.   11 12 11 12
Từ đó suy ra điều mâu thuẫn: 1 = 0. Vậy ma trận A không có nghịch đảo.
Sau đây là một số kết quả hữu ích của ma trận nghịch đảo Định lý 3.23.
Nếu A có nghịch đảo thì ma trận nghịch đảo là duy nhất. Định lý 3.24.  Nếu 1
A  tồn tại thì A  1 1  A . Định lý 3.25. 1 T Nếu 1 A  tồn tại thì  T A  A  1 .
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy Định lý 3.26.
Nếu A và B là các ma trận khả nghịch và có cùng cấp thì   AB 1  1  1  B A . Định lý 3.27.
Nếu A là ma trận cấp 2 x 2 thì ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi a a a a  0 11 22 12 21 và được cho bởi 1  a a    a a  1 11 12 1 22 12 A       a a  a a a a  a  a   21 22 11 22 12 21  21 11  Ví dụ 3.20. Ma trận 1  2 A    1  2  
không có ma trận nghịch đảo vì a a  a a  1 2 2 1   0 11 22 12 21 Định lý 3.28.
Nếu ma trận A đối xứng và 1 A  tồn tại thì 1
A cũng là ma trận đối xứng. Chứng minh. Nếu A đối xứng thì T A  A. Bây giờ  T     T A A  1 1  1  A và vì vậy 1 A đối xứng.
Ví dụ 3.21. Ma trận đối xứng 9  3 A   3  2  
có ma trận nghịch đảo vì
a a  a a  9 2 33  9  0 11 22 12 21 Và 1 A được cho bởi
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy  2 1 1 9 3   1  2 3     1   9 3 A         3 2 9 3 9   1      1        3     
cũng là ma trận đối xứng.
3.4.1. Ma trận đường chéo
Định nghĩa 3.29. (Ma trận đường chéo).
Nếu A  [a ] là một ma trận cấp n x n với a  0 i   j hay ij ij a 0  0  11    0 a  0  22 A             0 0  a   nn
thì A được gọi là ma trận đường chéo.
Ví dụ 3.22. Cho các ma trận sau: 3 0 0 3 0 7 3 0 6      
0 2 0 ; 4 2 0 ; 4 2 0       0 0 4 0 0 4  3 0 4      
Ma trận thứ 1 là ma trận đường chéo trong khi ma trận thứ 2 và thứ 3 không phải
là ma trận đường chéo.
Các ma trận đường chéo rất dễ dàng khi thực hiện phép nhân, bạn chỉ cần nhân các
phần tử tương ứng trên đường chéo. Định lý 3.30.
Nếu A và B là các ma trận đường chéo cùng cấp thì a  0  0  b  0  0  11 11      0 a  0   0 b  0  22 22 A B                         0 0  a   0 0  b   nn   nn  a  b 0  0  11 11    0 a b  0  22 22             0 0  a b   nn nn
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
Chú thích: Đối với ma trận đường chéo thì AB = BA.
Ví dụ 3.23. Cho các ma trận 2 0 0 5 0 0     A 0 3 0 ; B 0 6 0       0 0 4 0 0 7     Ta có:  2 0 0  5 0 0  25 0 0  10 0 0         
AB  0 3 0 0 6 0   0 36 0    0 18 0          0 0 4 0 0 7  0 0 4 7  0 0 28          Định lý 3.31.
Một ma trận đường chéo A không suy biến khi và chỉ khi tất cả các phần tử trên
đường chéo đều khác không và khi đó ta có  1   0  0   a  11    1   0  0  1 A   a  22            1   0 0    a  nn   Ví dụ 3.24. 1    0 0 1  3 3 0 0       1    0 2 0 0 0       2    0 0 4     1    0  0   4    Ví dụ 3.25.
Bởi vì ma trận đồng nhất I là ma trận đường chéo với các số 1 nằm trên đường chéo, ta có 1 I  I.
Ví dụ 3.26. Ma trận đường chéo
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy 3  0 0   0  2 0   0  0 0  
suy biến vì phần tử thứ 3 trên đường chéo bằng 0.
3.5. Định thức của ma trận
Một đặc tính quan trọng của ma trận vuông là định thức của nó. Nếu A là một ma
trận vuông cấp n x n thì ta viết định thức của nó là | A | hay det[ ] A . Định nghĩa 3.32.
Nếu A là ma trận cấp 1 x 1 (đại lượng vô hướng) thì det[A]  A trong khi nếu
A  [a ] là ma trận cấp 2 x 2 thì ij a a  11 12 det[A]  det  a a  a a   . 11 22 12 21 a a  21 22  Ví dụ 3.27. Ta có det  5  5; det  3  3 trong khi  5 1 det    5314  11  4 3  
Để xác định định thức trong trường hợp n  3 nói chung là phức tạp vì nó liên
quan đến khái niệm của một hoán vị. Thay vì đề cập đến khái niệm đó, ta sử dụng khai
triển Laplace để giảm cấp của một định thức cấp n thành một dãy định thức cấp (n - 1).
Các định thức cấp (n -1) gọi là các định thức cấp con và được tìm bằng cách bỏ một hàng
và một cột từ một ma trận ban đầu.
Định nghĩa 3.33. (Định thức con)
Định thức cấp con thứ i, j của ma trận A, ký hiệu là mij , được cho bởi: m  det[A ] ij ij
trong đó Aij là ma trận cấp (n – 1) x (n – 1) có được bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A.
Định nghĩa 3.34. (Phần phụ đại số)
Phần phụ đại số thứ i, j của một ma trận A, ký hiệu là cij , được cho bởi
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy c  ( 1)ijm ij ij
trong đó mij là định thức cấp con thứ i, j của ma trận A.
Ví dụ 3.28. Xét ma trận 3 x 3: 3  1 4    A  1  2 6    3  1 8   
Định thức con m có được bằng cách bỏ đi hàng thứ nhất và cột thứ nhất của A như sau 11 2  6 m  det    10 11 1  8  
Suy ra phần bù đại số c xác định bởi 11 c  11 1    m 10 11 11
Tương tự ta bỏ đi hàng thứ ba và cột thứ hai của A để có được: 3 4 m  det 14 32 1 6   c   32 1 m  1  4 32 32 Chú thích:
Khi tính toán phần phụ đại số cij, ta có bảng các số 1 và -1 gắn với định thức con mij có dạng sau:  1  1 1     1 1 1       1 1 1             
Chú ý rằng các phần tử trên đường chéo luôn là số 1. Ví dụ với ma trận cấp 4 x 4 bảng số là:  1 1 1 1   1 1 1 1     1 1 1 1      1 1 1 1     
Biên dịch: Nguyễn Quang Huy
Khai triển laplace sau đây sẽ tính toán det A bằng cách di chuyển băng qua một
dòng hoặc một cột tùy ý của ma trận A, nhân mỗi phần tử trên dòng hoặc cột đó aij với
phần bù đại số của nó cij, rồi sau đó cộng tất cả lại với nhau.
Định lý 3.35. (Khai triển Laplace)
Cho một ma trận A=[aij] cấp n x n với các phần phụ đại số cij thì det[A] được cho
bởi tổng của các tích của các phần tử trên hàng thứ i với các phần phụ đại số tương ứng
det A  a c  a c  a c ...  a c 1 i 1 i i2 i2 i3 i3 in in
hoặc là tổng của các tích của các phần tử trên hàng thứ j với các phần phụ đại số:
det A a c  a c  a c  ... a c 1 j 1 j 2 j 2 j 3 j 3 j nj nj
Sau đây là thuật toán tính định thức ma trận:
1. Chọn một hàng hay một cột tùy ý của ma trận A và di chuyển tới hàng hay cột đó.
2. Khi bạn xét một phần tử aij nào đó thì hãy xóa hàng i và một cột j tương ứng của ma
trận A. Sau đó tính định thức con mij của ma trận còn lại và thực hiện phép nhân: a  m . ij ij
3. Nhân kết quả trong bước 2 với (-1) hoặc 1 tùy thuộc vào i + j là lẻ hay chẵn.
4. Tiếp tục với các phần tử tiếp theo trong hàng hoặc cột đó và cộng các số hạng bạn có
được trong bước 3 với nhau. Chú thích:
Thông thường, việc tính toán định thức khá khó khăn và tốt nhất là sử dụng máy vi
tính, khi mà nó có thể sử dụng nhiều thuật toán hiệu quả hơn khai triển Laplace. Nếu ma
trận A không có các tính chất đặc biệt, dường như bạn khó thể tính toán bằng tay các định
thức có cấp lớn hơn 4.
Ví dụ 3.29. Xét ma trận 3 x 3 3  1 4  A 1  2 6     3  1 8   
Để tính toán det[A], chúng ta bắt đầu bằng cách khai triển theo hàng đầu tiên. Xét
phần tử thứ nhất a  3, chúng ta bỏ hàng thứ nhất và cột thứ nhất, tính định thức của ma 11
trận còn lại và nhân với a , giữ nguyên dấu ta có được: 11