Chương 3: Vec-tơ | Tài liệu môn Vật lý 1 trường đại học sư phạm kĩ thuật TP. Hồ Chí Minh

Trong vật lý, ta thường làm việc với các đại lượng có cả thuộc tính về số và về hướng đó là các đại lượng vec tơ. Đại lượng cần vec tơ được dùng nhiều trong sách này nên bạn cần phải nắm vũng kỹ thuật được trình bày trong chương này. Các hệ tọa độ được sử dụng để mô tả vị trí một điểm trong không gian. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!

1
Chương 3: Vec-
rong vật lý, ta thường làm vi c v ới các đại lượng c c tính v s v thu ng
đó là các đại lượ tơ. Đại lượ tơ đượng vec- ng vec- c dùng nhiu trong sách này nên bn
cn ph i n m v ng nh ng k thuật được trình bày trong chương này.
Các h t a độ
Các h t c s d t v ọa độ đượ ụng để trí ca m t
điểm trong không gian. Phn này s trình bày v h t ọa độ
Descartes và h t c c. ọa độ
3.1.1 H t : ọa độ Descartes
H tọa độ Descartes còn được g i h t ọa đ vuông
góc. Trong đó có hai trụ ọa độc t và vuông góc v i nhau x y
và giao nhau t i g c t (hình 3.1). ọa độ
3.1.2 H t cọa độ c
H t c c bao g m m t g c t và m ng ọa độ ọa độ ột đườ
thng qui chi u. M m cách g c t m t kho ng ế ột điể ọa độ r
theo hướng
tính t ng th ng qui chi u (hình 3.2 a). đườ ế
Thường thì ta ch n tr ng th ng qui chi u. c Ox làm đườ ế
Hình 3.2 (a) H t c c, c c gán nhãn ); (b) liên h gi a (x, y) và (r, ) ọa độ ác điểm đượ (r, θ θ
Trong nhi ng h p, s d ng h t c c s dều trườ ọa độ ẫn đến các phép tính đơn giản hơn so
vi h t ọa độ Descartes.
3.1.3 Chuyển đổ ọa đội t t cc sang tọa độ Descartes:
Da trên tam giác vuông d ng t và r
ta có:
cos sinx r y r
 
T
Hình 3.1 Trong h t ọa độ
Descartes, mt t điểm trong m
phẳng được gán nhãn (x, y)
2
Nếu bi c các t ết trướ ọa độ x y thì
tan =
y
x
(3.4) và
2
y
2
r = x
(3.5)
Bài t p m u 3.1:
Các t a mọa độ Descartes c ột điểm trong m t ph ng
xy là (x, y) = ( 3.50; 2.50) m như hình 3.3. Hãy tìm
các t c c c m này. ọa độ ủa điể
Gii:
T phương trình (3.4) ta có:
2 2
r x y
2 2
( 3,50 m) ( 2,50 m)
T phương trình (3.3) suy ra:
2,50 m
tan 0,714 216
3,50 m
y
x
Đại lượ tơ và đạ ợng vô hướng vec- i ng
3.2.1 Đại lượng vô ng
Đại lượng vô hướng được xác định mt cách trn vn bng mt giá tr v i một đơn vị đo
tương ứng và không có hướng.
Nhiều đại lượ luôn dương.ng là s
Một vài đại lượ ặc dương.ng có th âm ho
Có th dùng các qui t c s h làm vi c v ọc để ới các đại lượng vô hướng.
3.2.2 Đại lượng vec-
Đại lượng vec-chỉ được xác định mt cách trn vn bi
mt con s ng nh nh. kèm theo đơn vị đo và một hướ ất đị
Ví d v vec-tơ: Mt h t chuy ng t ển độ A đến B dc theo
một đường cong (nét đứt) như hình vẽ.
Quãng đường h c mạt đi đượ ột đại lượng hướng
(chính là độ ủa đườ dài c ng cong).
Độ di ca chất điểm là đường thng lin nét t A đến B,
nó không ph c vào d ng c ng cong gi thu ủa đườ ữa 2 điểm
A và B. Vì v d i là m t vec- ậy độ tơ.
Cách trình bày vec-: Trong tài li u này, vec- c th hi n b ng m tơ đượ t ch cái in đậm
và m t d u ho c có th ấu mũi tên trên đầ không có mũi tên:
A, A
. Khi nói v l n c a vec- độ
tơ, ta dùng chữ in nghiêng A hoc ghi rõ
| A |
.
Độ ln c a vec- có mtơ sẽ ột đơn vị vt lý và luôn là m t s dương.
Nếu vi t tay thì ph i dùng thêm d ế ấu mũi tên.
Hình 3.3 Tìm các t cọa độ c.
Hình 3.4 M t ch ất điểm
chuyển độ A đếng t n B
theo đường nét đứt.
3
Câu h i 3.1: Điều nào sau đây đại lượ đi đại lượng hướ ng vec- u nào ng?
(a) Tu i c a b n, (b) gia t c, (c) v n t c, (d) t , (e) kh ng. ốc độ ối lượ
Mt vài thu c tính c a vec-
3.3.1 S b ng nhau c a các vec- tơ:
Hai vec- ng nhau n l n cùng bằ ếu chúng cùng độ
hướng. Khi d ch chuy n m t vec- tơ sang một v trí m i mà v n song
song v i chính nó thì vec- i ví d tơ không thay đổ như 4 vec-tơ trên
hình 3.5.
3.3.2 Phép c ng vec- :
Phép c ng vec- t khác v i c ng. tơ rấ ộng các đại lượng vô hướ
Khi c ng các vec- ng c tơ, phải lưu ý đến hướ ủa chúng. Đơn vị
ca các vec- i giphả ống nhau (nghĩa chúng phải các vec-
cùng lo i). Không th l y vec- d i c ng v i vec- n t tơ độ tơ vậ c.
hai cách c ng vec- ng hình h c và b ng i s . Cách c tơ: bằ đạ ộng đại s thun tin
hơn so vớ tơ theo tỉi cách cng hình hc (phi v các vec- l).
Cng vec- u hình htơ theo kiể c:
Khi th c hi n phép c ng vec- u hình h c thì ph i ch n m t t l xích. V vec- theo kiể
tơ thứ ới độ ợp theo hướng xác đị nht v dài phù h nh (theo mt h t ). V vec- p theo ọa độ tơ tiế
sao cho g c t c a vec- i ng n c a vec- c và các tr c c a h t ọa độ tơ này trùng vớ trướ ọa độ
ca vec- i các tr c a vec- c (ki u v g c n i ng n). Vec-tơ sau song song vớ c tọa độ tơ trướ
tổng được v t gc
ca vec- u tiên đầ
đến ng n c a vec-
cui cùng. Sau khi
v xong, đo độ dài
ca vec- ng tổ
hướng (theo góc
hp v i các tr c ta
độ) ca (xem
hình 3.6).
Do phép c ng vec- tính giao
hoán nên th t v các vec- không
quan tr ng th i, do phép c ng vec-ọng. Đồ
tính k t hế p nên khi tìm t ng c a
nhiu vec- g p các vec- thì thể
thành nhóm m t cách tùy ý. K t qu c ế a
phép c i. Ví d v i t ng ộng không thay đ
sau:
Hình 3.5 B n vec-
bng nhau.
Hình 3. 7 C ng vec- u hình h c tơ kiể
Hình 3.6 M t s ví d v c ng vec-
4
th tìm t ng B C trước r i tìm t ng c v tìm t ng a A i B+C. Nhưng cũng có thể
ca A c r ng cB trướ ồi sau đó tìm tổ a A+B C vi
3.3.3 Phép tr vec- tơ:
Vec-tơ trái dấu: Vec-tơ trái d tơ là mộ tơ mà tổ u ca mt vec- t vec- ng ca nó vi vec-
ban đầu mt vec-không. Vec-trái dấu độ ln bng v l n vec-ới độ gốc nhưng
ngượ c chiu. Vec- u ctơ trái dấ a AA nên A+(A)=0
Phép tr vec- : là trườ p đặ tơ: ng h c bit ca phép cng vec-
A B A B
Hai cách th c hi n phép tr vec-
tơ (hình 3.8):
Cách 1: tìm vec-tơ trừ c a vec-
B r i ti p t c th c hi n phép ế
cng v i vec- này. trừ
Cách 2: Tìm m t vec- tơ mà khi
cng vec- i vec- tơ này vớ tơ thứ
hai (n m sau d u tr ừ) thì được
vec-thứ nht (nm trước du
tr).
A B C C+B A
(3.7)
3.3.4 Phép nhân (chia) vec- i mtơ vớ t s hướng:
Khi nhân/chia m t vec- i m t s c m tơ vớ vô hướng thì ta đượ t vec- l n b tơ có độ ằng độ
ln c a vec- c nhân (ho c chia) v tơ đượ i s vô hướng đó.
Nếu s ng s vô hướ dương thì vec kế cùng hướ tơ ban đầ- t qu ng vi vec- u. Nếu s
vô hướ tơ kế ngược hướ tơ ban đầng là s âm thì vec- t qu ng vi vec- u.
Câu h i 3.2: Độ l n c a 2 vec-
A
B
A = 12 đơn vị và B = 8 đơn vị . Cp giá tr nào
giá tr l n nh t nh nh t th l n c a vec- là độ
R = A +B
? (a) 14.4 đơn vị 4
đơn vị, (b) 12 đơn vị và 8 đơn vị, (c) 20 đơn vị và 4 đơn vị , (d) không ph i 3 c p trên.
Câu h i 3.3:
B
c ng
A
b ng 0, hãy ch ọn 2 ý nào là đúng trong các ý sau: (a)
A
B
song
song và cùng chi u, (b)
A
B
song song và ngược chiu, (c)
A
B
có cùng độ ln, (d)
A
B
trc giao.
(3.6)A B C A B C
Hình 3.8 Phép tr vec-tơ (a) cách 1; (b)
cách 2
5
Bài t p m u 3.2:
Một ô đi theo hướng bắc đưc 20km,
sau đó quẹo sang hướng tây theo
phương hợ ới phương bắp v c 1 góc 60
o
,
xe đi được 35km trên đoạn đường này
(hình 3.9). Xác định độ ln, phương và
chiu c a vec- d i c a xe sau 2 độ
đoạn đường trên.
Gii:
Gi
A
B
2 vec- d i c a xe độ
lần lượt trong 2 đoạn đường 20km
35km. Góc h p b i
A
B
θ, θ = 180
o
120 = 60
o o
.
Vec-tơ độ di của 2 xe sau 2 đoạn đường trên là
R
. Ta
R = A +B
v l n cới độ a
R
là:
2 2 2 2
2 cos 20 35 2 20 35 cos(120 ) 48.2
o
A B AB kmR =
Phương của
R
t o v c 1 góc ới phương bắ β. Ta có:
sin sin
B R
sin sin120
sin 35 38.9
48.2
o
o
B
R
Vy: vec- d i c a xe sau l n 48.2 km, chi ng v độ 2 đoạn đường trên có đ ều hướ
phía tây, phương hợ ới phương bắp v c 1 góc 38.9 .
o
Các thành ph n c a vec- tơ và vec-tơ đơn vị
Khi c ng các vec- thì phương pháp hình học không được khuy n khích dùng trong ế
trường h p c n ph xác cao ho c trong các bài toán có không gian 3 chi u. Lúc ải có đ chính
này, ta s d ụng phương pháp thành phần. Phương pháp thành phần s dng các hình chi u ế
ca vec- c t . tơ lên các trụ ọa độ
3.4.1 Các thành ph n c a vec- :
Thành ph n c a vec- u hình chiế
ca vec-này lên m t tr c t ọa độ. Có th
biu di n m m i vec- ột cách đầy đủ
theo các thành ph n c a nó.
Để tin li thì ta s d ng các thành
phn vuông góc ca vec- hình tơ: đó
chiếu c a vec- c t x và y. lên các trụ ọa độ
Hình 3.9 Ví d 3.2
Hình 3.10 Phân tích vec- thành 2 thành A
phn A
x
A
y
6
Trên hình 3.10, các vec-
,
x y
A A
các vec-thành phn ca
A
. Các vec-thành phần
cũng là các vec tơ nên chúng tuân theo các qui tắ- c v vec- tơ.
A
x
A
x
là các s vô hướng, được gi là các thành phn ca vec-
A
. Trên hình vn
cnh, d thy:
x y
A A A
3 vec- p thành m t tam giác vuông. Các thành ph n c a vec-tơ này lậ
A
lần lượt là:
Góc
được xác định t trc Ox.
Các thành ph n c a vec- nh góc vuông c a tam giác vuông c nh huy n hai cạ
độ dài ca vec-tơ. D thy:
Trong m t bài toán, m t vec- nh b thể được xác đị i
các thành ph n ho ng c a nó. ặc độ dài và hướ
Các thành ph n c a vec- thể dương hoặc âm nhưng
có cùng đơn vị tơ. Dấ vi vec- u ca thành phn ph thu c vào
góc (h p b i vec- và các trụ ọa độc t ). Hình 3.11 minh ha
các trườ tơ có dấu dương, âm.ng hp mà các thành phn vec-
Câu h i 3.4: Hãy ch n t nào phù h p v i dấu trong câu
sau: “Mộ tơ … lớn hơn đột thành phn ca mt vec- ln ca
vec- đó”? (a) luôn luôn, (b) không bao giờ, (c) thnh
thong.
3.4.2 Vec-tơ đơn v
Các đại lưng vec-tơ thường đưc biu din
thông qua vec- tơ đơn vị.
Vec-đơn vị vec-không th nguyên
độ ớn đúng bằ đơn vị l ng 1. Các vec-
được dùng đt hướng trong không gian và
không có ý nghĩa vật lý nào khác.
Trong không gian 3 chi u, các vec- đơn vị
được ký hiu là
ˆ ˆ ˆ
, ,i j k
.Các vec-tơ này vuông góc
cos
x
A A
(3.8)
sin
y
A A
(3.9)
2 2
x y
A A A
(3.10)
1
tan
y
x
A
A
(3.11)
Hình 3.11 D u c a các thành
phn c a vec- A
Hình 3.12 Các vec- trong h t tơ đơn vị ọa độ
Descartes.
7
vi nhau t t tam di n thu l n c a mừng đôi trong mộ ận. Độ i vec- tơ này là 1:
ˆ ˆ ˆ
1i j k
Xét m t vec- A trong mt ph ng Xy,
ˆ
x x
AA i
ˆ
y y
AA j
nên
ˆ ˆ
x y
A AA i j
(3.12)
3.4.3 Vec-tơ vị trí
Một điểm có tọa độ (x, y) trong mt ph ng Xy c a h t ọa độ
Descartes có th được bi u di n b i m t vec- tơ vị trí:
Trong cách vi t này, x và y là các thành ph n c a vec-ế
r
3.4.4 Phép c ng vec- vec- : khi dùng tơ đơn vị
Khi dùng vec- , các phép tính vec-đơn vị sẽ đơn giản
hơn. Trong mặt phng Xy, tng c a hai vec- tơ:
R A B
vi
các thành ph n c a vec-
R
R
x
= A + B và R = A + B
x x y y y
ˆ ˆ ˆ ˆ
(3.14)
ˆ ˆ
(3.15)
x y x y
x x y y
A A B B
A B A B
R i j i j
R i j
Suy ra độ ln ca vec-
R
:
2
2
2 2
(3.16)
x y x x y y
R R R A B A B
Góc h p b i vec- ng v i tr c Ox cho b tơ tổ i:
Nếu xét trong không gian 3 chi u thì ch c n thêm thành ph n th 3 c a các vec- tơ.
Tng c a 2 vec- tơ này là:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
(3.20)
x x y y z z x y z
A B A B A B R R RR i j k i j k
Độ ln c a vec- ng: tơ tổ
2 2 2
x y z
R R R R
.
Nếu tính t ng c a 3 vec- lên thì ta v tơ trở ẫn dùng phương pháp như trên cho tng vec-
trong t ng. Ví d , vi
R A B C
thì:
ˆ ˆ ˆ
x x x y y y z z z
A B C A B C A B CR i j k
ˆ ˆ
x yr i j
tan
y y y
x x x
R A B
R A B
(3.17)
ˆ ˆ ˆ
x y z
A A AA i j k
(3.18)
ˆ ˆ ˆ
x y z
B B BB i j k
(3.19
Hình 3.13 C ng 2 vec-
dùng vec-tơ đơn vị theo
hình h c
8
Câu h i 3.5 : Độ l n c a vec- tơ nào sau đây bằng 1 trong nh ng thành ph n c a vec- tơ khác?
(a)
A i j
ˆ ˆ
2 5
, (b)
j
ˆ
3B
, (c)
5C k
Bài t p m u 3.4:
Tìm t ng c a 2 vec-
A
B
nm trên m t ph ng xy v i
A i j
ˆ ˆ
2.0 2.0 m
i j
ˆ ˆ
2.0 4.0 mB
Gii:
Ta có
i j i j i j
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2.0 2.0 2.0 4.0 4.0 2.0m m mR = A +B
T đó suy ra
4.0 , 2.0
x y
R m R m
Suy ra độ ln ca
R
2 2 2 2
4.0 2.0 4.5
x y
R R R m
Phương của
R
hp v i Ox 1 góc , v θ i
2.0
tan 0.5 27
4.0
y
o
x
R
R
Vy t ng c a 2 vec-
A
B
độ m và phương hợ ln 4.5 p vi Ox 1 góc 27
o
,
chiều hướ ống (hướng xu ng v phía âm ca Oy).
Bài t p m u 3.4:
Mt ch m dất điể ch chuy ng v i 3 vec- dển qua 3 đoạn đườ độ i như sau:
i j k
1
ˆ ˆ ˆ
15 30 12r cm
,
i j k
2
ˆ ˆ ˆ
23 14 5r cm
,
i j
3
ˆ ˆ
13 15r cm
. Hãy tìm
vec-tơ độ ất điểm sau 3 đoạn đườ đơn vị độ di ca ch ng trên theo vec- ln ca
vec-tơ độ di này.
Gii:
Ta có vec- d i c a chtơ độ ất điểm sau 3 đoạn đường trên là:
i j k
i j k
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
15 23 13 30 14 15 12 5 0
ˆ ˆ ˆ
25 31 7
r r r r cm cm cm
r cm
Độ ln c a vec- dtơ độ i:
2 2 2
25 31 7 40r cm
9
Bài t p m u 3.5 : Người đi bộ
Một người đi bộ ắt đầ b u mt cuc hành trình bng cách
đi 25.0 km theo hướng Đông – Nam t xe ô-tô ( ) ccar a
mình (hình 3.14). Người dng li và dng lu ( ) nghtent
qua đêm. Vào ngày th hai, người này đi 40,0 km theo
hướng 60 v phía Bc so v n ới hướng Đông thì phát hiệ
ra m t tháp ( m lâm. V trí c a tháp là tower) ki đâu?
Gii:
Độ d l ng 45 ời đầu tiên có độ ớn 25.0 km và theo hướ
phía dướ ần dương củi ph a trc Ox. Các thành phn ca nó
s là:
cos( 45.0 ) (25.0 km)(0.707) = 17.7 km
sin( 45.0 ) (25.0 km)( 0.707) 17.7 km
x
y
A A
A A
Độ di th hai có độ lớn là 40.0 km và theo hướng 60 v phía B c so v ới hướng đông
(trc Ox). Các thành ph n c a nó là:
cos60.0 (40.0 km)(0.500) = 20.0 km
sin60.0 (40.0 km)(0.866) 34.6 km
x
y
B B
B B
Các thành ph n c d i t ng c trong c hành trình: ủa độ ủa người đi bộ
R A
x
=
x
+ B
x
= 17.7 km + 20.0 km = 37.7 km
R A
y
=
y
+ B
y
= -17.7 km + 34.6 km = 16.9 km
Viết theo các vec- c: tơ đơn vị, ta đượ
i j
ˆ ˆ
R = (37.7 + 16.9 ) km
Vy v trí c n b l n Vec- d i t ng là 41,3 km và l ủa tháp cách ô tô 1 đoạ ằng độ tơ độ p
mt góc 24,1 so v ới hướng Đông.
Tóm tắt chương 3
Định nghĩa
Đại lượng vô hướng: là đại lượng được xác định m t cách tr n vn bng m t giá tr v i m t
đơn vị đo tương ứng và không có hướ ng.
Đại lượng vec-tơ: là đại lượng được xác định mt cách tr n v n b i m t con s kèm theo đơn
v đo và một hướ ất địng nh nh.
Hình 3. 14 Ví d 3.5
10
Khái ni mnguyên lý:
Khi c ng 2 hay nhi u vec- i nhau, chúng ph và ph ng cùng tơ vớ ải cùng đơn vị ải là các đại lượ
loi. Chúng ta có th c ng 2 vec- ng hình h c. K t qu tơ bằ ế c a vec- ng tơ tổ
R A B= +
là vec-
tơ nố điểm đầ i t u ca vec-
A
đến điểm ngn ca vec-
B
(hình 3.6).
Nếu vec-
A
thành phần theo phương x A
x
và phương y A
y
thì
A
được bi u di n
như sau:
x y
A A
A i j
vi
,
i j
là các vec- chi u l t theo chi đơn vị ần lượ ều dương trục
x, y và có độ ln
1 i j
.
Phương pháp thứ 2 để cng các vec- ng các thành ph n cùng vec- v i nhau. tơ là cộ tơ đơn vị
Câu h i lý thuy ết chương 3
1. Mt quy n sách di chuy n 1 vòng quanh mép dài 2 c nh là 1 m và 2 m. Quy bàn có độ n
sách d ng l i t i v trí xu ất phát ban đầu. Hỏi: (a) độ di c a quy ển sách, (b) quãng đường
quyển sách đi được.
2. Nếu m t thành ph n c a vec-
A
chiếu theo phương củ a vec-
B
b ng 0 thì chúng ta
có th k t lu n gì v 2 vec- ế tơ trên?
Bài t p chương 3
1. Hai điểm trong m t m t ph ng t c c (2.50 m, 30.0°) (3.80 m, 120.0°). Xác ọa độ
đị nh c m này và (a) tọa độ Descartes ủa các điể (b) khong cách gi a chúng.
2. Mt thùng hàng chu tác d ng c a 2 lc
1 2
,
F F
có độ ần lượ ln l t là
6N và 5N nh , v i góc = 30 . Tìm t ng h p lư hình bên θ
o
c
1 2
F F
bằng phương pháp hình học.
3. Mt chi c máy bay bay tế căn cứ đến h A, cách căn cứ 280 km
theo phương hợp phương đông góc 20.0° v phía bc (20.0° north
of east). Sau khi th đồ tiếp tế, bay đến H B, cách h 190 km A
theo phương hợ ới phương bắp v c góc 30.0° v phía tây (30.0° west of north). Xác định
khoảng cách và phương hướ ăn cứ ằng phương pháp hình hng ca H B so vi C b c.
4. Mt xe t i nh di chuy n th ng v phía b ắc trong làn đường bên ph i c a m t cao a c
tc nhi ng v i t 28.0 m/s. M m trều làn đườ ốc độ ột người đi c i vượt qua xe ti nh
này i tvà sau đó đổ làn đườ làn đườ ải. Như vậy, đường đi củng bên trái sang ng bên ph a
người c m tr ại trên đường mt đường th ng nghiêng 8.50° so v ới phương bắc và hướng
v phía đông. Để tránh vi c c t u xe t i, kho ng cách theo h ng b nam c i xe đầ ướ c a cu
11
ca người c m tr i u xe t i không gi i c m tr i th đầ m. Ngườ lái xe đ đáp ng
yêu c u này không? Gia
i thích câu tra
l i c u
a ba
n.
5. Trong khi khám phá một hang động, một người
kho sát b u tắt đầ l i vào di chuy n theo
khoảng cách sau đây trên một mt phng ngang.
ấy đi 75.0 m về phía đông, phía bc, 250 m v
125 m m ột góc θ = 30.0° v phía bc và 150 m
v phía Nam. T dính độ i ca y lúc cu i so v i
lối vào hang động.
6. Một người mi chơi golf mất ba đánh để đưa bóng xu ng l .
Khong cách 3 l p c a bóng là 4.00 m v phía b c, ần đánh liên tiế
2.00 m v c (góc 45 ), 1.00 m 30.0° phía tây phía đông b
o
nam ng. Xut phát t cùng m u, một điểm ban đầ t ười ch i golf ơ
chuyên nghi p có th v i kho ng cách duy nh đánh bóng vào l t
là bao nhiêu?
7. Mt v ng viên trận độ ượt tuy t trên mế ết tuy t nghiêng góc 35.0° vi phương ngang. Khi
vận động viên dùng gậy đẩy đ trượt, m t m nh tuyết rơi văng
lên 1 đoạ ối đa 1 theo phương tạ ới phương đứn t .50 m o v ng
1 góc 16,0°. Tìm các thành ph n song song (b) vuông (a)
góc v t ph ng nghiêng c a vec- d i c a m nh tuy i m tơ đồ ết.
8. Hình dưới minh h a t l điển hình c a c nam (m) và n ơ thể
(f). Trong hình, ta th y , c ác vectơ 𝑑
1𝑚
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
𝑑
1𝑓
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
t bàn chân đến
rốn độ ; vectơ ln là 104 cm 84.0 cm 𝑑
2𝑚
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
and 𝑑
2𝑓
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
t r n u ốn đế đầ ngón tay độ
ln là 100 cm và 86.0 cm. Tìm t ng vectơ 𝑑
3
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=𝑑
1
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
+𝑑
2
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
cho c 2 i này. ngườ
9. Mt tr nh vạm radar đị mt con tàu b chìm t m xa 17.3 km và góc 136 theo chi
o
u
kim đồ ới phươngng h so v bc. T cùng mt trm, máy bay c u h n kho ng cách m
ngang 19.6 km, 153° theo chiều kim đồng h so v ới phương b c, v cao 2.20 km. (a) ới độ
Viết vectơ v trí cho con tàu trong h trc tọa độ Descartes, vi 𝑖 là vectơ đơn vị hướng
v phía đông, 𝑗 là vectơ đơn vị hướng v phía bc và 𝑘
vectơ đơn vị hướng lên phía
trên. Máy bay và tàu cách nhau bao xa? (b)
12
10. Bạn đang đ ặt đấ ọa động trên m t gc ca mt h t .
Mt máy bay bay qua b n v i v n tốc không đổi song
song v i tr c x
m t chi u cao c nh đị 7.60× 10
3
m. Vào th m t = 0, máy bay n m ngay phía trên i điể
bn sao cho các vector t b n nó n đế 𝑃
0
󰇍
󰇍
󰇍
=7. ×60
10
3
𝑗 m. T i th m t = 30.0 s, vector v trí t b n t i máy bay i điể
𝑃
30
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
=
(
8.
04× 10
3
𝑖+ 7.60× 10
3
𝑗
)
m như hình bên. Xác định
độ lớn và hướng c a vector v trí c a máy bay t i th m t = ời điể
45.0 s.
11. Mt siêu nhân bay xu ng t đỉnh 1 tòa nhà theo phương tạo vi
phương ngang 1 góc 30 như hình
o
v. Tìm các thành phn theo
phương ngang và dọ ủa độc c di 100 m.
12. Một vector được cho bi 𝑹
󰇍
󰇍
= 2𝒊 + 𝒋+ 3𝒌
. Tìm (a) độ l n c a các thành ph n x, y, z; (b)
độ ln ca 𝑅
󰇍
và (c) các góc gia 𝑅
󰇍
và tr c x, y, z.
13. Mt con nh c 2 sện đang nghỉ ngơi sau khi nhả đượ ợi vuông góc nhau. Chn h trc
xy theo 2 phương của 2 sợi tơ như hình v. Trng l c c a
cân b ng v i 2 l c căng T
x
T trên 2 s t tr ng l
y
ợi tơ. Biế c
ca con nh n b ng 0.15 N T = 0.127 N. Tính (a) giá tr
x
lực căng T
y
, (b) góc h p b i tr c x v ới phương ngang và (c)
góc h p b i tr c y v ới phương ngang.
14. Vec-𝑨
󰇍
󰇍
𝑩
󰇍
󰇍
độ ln bng nhau và b ng 5.00. T ng c a
vec-𝑨
󰇍
󰇍
𝑩
󰇍
󰇍
là vec-6. 𝒋00 . Xác định góc gi a 2 vec- 𝑨
󰇍
󰇍
𝑩
󰇍
󰇍
.
Đáp số
1. (a) (2.17, 1.25) m, (−1.90, 3.29) m; (b) 4.55m.
2. 9.5 N, 57° trên tr c x.
3. 310 km t i 57° so v phía nam. (310 km at 57° S of W) ới phương tây về
4.
5. 358 m t i 2 so v phía tây. (358 m at 2 W of
o
ới phương đông về ° E)
6. 78.6 4.64 m at ° N of E
7. (a) 1.17 m hướng lên đỉnh đồi; (b) 0.944 m hướng ra xa đồi tuyết.
8. 170.1 cm, 57.2° trên tr c x; 145.7 cm, 58.6° trên tr c x.
9. (a) (3.12𝒊+5.02𝒋 2. 𝒌20
) 𝑘𝑚 ; (b) 6.31 km
10.
1.43× 10
4
𝑚 ; 32.2 so v
o
ới phương ngang
11. 86.6 m, 50.0 m
12. |𝑅
󰇍
|= 3.74
13.
(a) 0.078 N; (b) 57.9 ; (c) 32.1 .
o o
14. 106
o
.
| 1/12

Preview text:

Chương 3: Vec-
rong vật lý, ta thường làm việc với các đại lượng có cả thuộc tính về số và về hướng
đó là các đại lượng vec-tơ. Đại lượng vec-tơ được dùng nhiều trong sách này nên bạn
cần phải nắm vững những kỹ thuật được trình bày trong chương này. T
Các h ta độ
Các hệ tọa độ được sử dụng để mô tả vị trí của một
điểm trong không gian. Phần này sẽ trình bày về hệ tọa độ
Descartes và hệ tọa độ cực.
3.1.1 H tọa độ Descartes:
Hệ tọa độ Descartes còn được gọi là hệ tọa độ vuông
góc. Trong đó có hai trục tọa độ xy vuông góc với nhau
và giao nhau tại gốc tọa độ (hình 3.1).
3.1.2 H tọa độ cc
Hình 3.1 Trong h tọa độ
Hệ tọa độ cực bao gồm một gốc tọa độ và một đường
Descartes, mt điểm trong mt
thẳng qui chiếu. Một điểm cách gốc tọa độ một khoảng r
phẳng được gán nhãn (x, y)
theo hướng tính từ đường thẳng qui chiếu (hình 3.2 a).
Thường thì ta chọn trục Ox làm đường thẳng qui chiếu.
Hình 3.2 (a) H tọa độ cc, các điểm được gán nhãn (r, θ); (b) liên h gia (x, y) và (r, θ)
Trong nhiều trường hợp, sử dụng hệ tọa độ cực sẽ dẫn đến các phép tính đơn giản hơn so
với hệ tọa độ Descartes.
3.1.3 Chuyển đổi t tọa độ cc sang tọa độ Descartes:
Dựa trên tam giác vuông dựng từ r và  ta có: x r cos
y r sin  1 y
Nếu biết trước các tọa độ xy thìtan = (3.4) và 2 2 r = x  y (3.5) x
Bài tp mu 3.1:
Các tọa độ Descartes của một điểm trong mặt phẳng
xy là (x, y) = (–3.50; –2.50) m như hình 3.3. Hãy tìm
các tọa độ cực của điểm này. Gii:
Từ phương trình (3.4) ta có:  2  2 r x y   2   2 ( 3,50 m) ( 2,50 m)  4,30 m
Từ phương trình (3.3) suy ra: y 2,50 m ọa độ ự ta  n    0,714   21  6 Hình 3.3 Tìm các t c c. x 3,50 m
Đại lượng vec-tơ và đại lượng vô hướng
3.2.1 Đại lượng vô hướng
Đại lượng vô hướng được xác định một cách trọn vẹn bằng một giá trị với một đơn vị đo
tương ứng và không có hướng.
 Nhiều đại lượng là số luôn dương.
 Một vài đại lượng có thể âm hoặc dương.
 Có thể dùng các qui tắc số học để làm việc với các đại lượng vô hướng.
3.2.2 Đại lượng vec-
Đại lượng vec-tơ chỉ được xác định một cách trọn vẹn bởi
một con số kèm theo đơn vị đo và một hướng nhất định.
Ví d v vec-
: Một hạt chuyển động từ A đến B dọc theo
một đường cong (nét đứt) như hình vẽ. ộ ất điể
 Quãng đường mà hạt đi được là một đại lượng vô hướng Hình 3.4 M t ch m
(chính là độ dài của đường cong).
chuyển động t A đến B
theo đường nét đứt.
 Độ dời của chất điểm là đường thẳng liền nét từ A đến B,
nó không phụ thuộc vào dạng của đường cong giữa 2 điểm
A và B. Vì vậy độ dời là một vec-tơ.
Cách trình bày vec-tơ: Trong tài liệu này, vec-tơ được thể hiện bằng một chữ cái in đậm
và một dấu mũi tên trên đầu hoặc có thể không có mũi tên: A, A . Khi nói về độ lớn của vec-
tơ, ta dùng chữ in nghiêng A hoặc ghi rõ | A |.
Độ lớn của vec-tơ sẽ có một đơn vị vật lý và luôn là một số dương.
Nếu viết tay thì phải dùng thêm dấu mũi tên. 2
Câu hi 3.1: Điều nào sau đây là đại lượng vec-tơ và điều nào là đại lượng vô hướng?
(a) Tuổi của bạn, (b) gia tốc, (c) vận tốc, (d) tốc độ, (e) khối lượng.
Mt vài thuc tính ca vec-
3.3.1 S bng nhau ca các vec-tơ:
Hai vec-tơ là bằng nhau nếu chúng có cùng độ lớn và cùng
hướng. Khi dịch chuyển một vec-tơ sang một vị trí mới mà vẫn song
song với chính nó thì vec-tơ không thay đổi ví dụ như 4 vec-tơ trên hình 3.5.
3.3.2 Phép cng vec-:
Phép cộng vec-tơ rất khác với cộng các đại lượng vô hướng.
Hình 3.5 Bn vec-
Khi cộng các vec-tơ, phải lưu ý đến hướng của chúng. Đơn vị bng nhau.
của các vec-tơ phải giống nhau (nghĩa là chúng phải là các vec-tơ
cùng loại). Không thể lấy vec-tơ độ dời cộng với vec-tơ vận tốc.
Có hai cách cộng vec-tơ: bằng hình học và bằng đại số. Cách cộng đại số là thuận tiện
hơn so với cách cộng hình học (phải vẽ các vec-tơ theo tỉ lệ).
Cng vec-tơ theo kiểu hình hc:
Khi thực hiện phép cộng vec-tơ theo kiểu hình học thì phải chọn một tỉ lệ xích. Vẽ vec-
tơ thứ nhất với độ dài phù hợp theo hướng xác định (theo một hệ tọa độ). Vẽ vec-tơ tiếp theo
sao cho gốc tọa độ của vec-tơ này trùng với ngọn của vec-tơ trước và các trục của hệ tọa độ
của vec-tơ sau song song với các trục tọa độ của vec-tơ trước (kiểu vẽ gốc nối ngọn). Vec-tơ
tổng được vẽ từ gốc của vec-tơ đầu tiên đến ngọn của vec-tơ cuối cùng. Sau khi vẽ xong, đo độ dài của vec-tơ tổng và hướng (theo góc hợp với các trục tọa độ) của nó (xem
Hình 3.6 Mt s ví d v cng vec-t ơ hình 3.6).
Do phép cộng vec-tơ có tính giao
hoán nên thứ tự vẽ các vec-tơ là không
quan trọng. Đồng thời, do phép cộng vec-
tơ có tính kết hp nên khi tìm tổng của
nhiều vec-tơ thì có thể gộp các vec-tơ
thành nhóm một cách tùy ý. Kết quả của
phép cộng không thay đổi. Ví dụ với tổng sau: Hình 3. 7 C ng vec-u hì tơ kiể nh h c 3
A  B C   A   B C (3.6)
Có thể tìm tổng BC trước rồi tìm tổng của A với B+C. Nhưng cũng có thể tìm tổng
của AB trước rồi sau đó tìm tổng của A+B với C
3.3.3 Phép tr vec-tơ:
Vec-tơ trái dấu: Vec-tơ trái dấu của một vec-tơ là một vec-tơ mà tổng của nó với vec-tơ
ban đầu là một vec-tơ không. Vec-tơ trái dấu có độ lớn bằng với độ lớn vec-tơ gốc nhưng
ngược chiều. Vec-tơ trái dấu của A là –A nên A+(A)=0
Phép tr vec-t :
ơ là trường hợp đặc biệt của phép cộng vec-tơ: A B A  B
Hai cách thực hiện phép trừ vec- tơ (hình 3.8):
 Cách 1: tìm vec-tơ trừ của vec-
B rồi tiếp tục thực hiện phép
cộng với vec-tơ trừ này.
 Cách 2: Tìm một vec-tơ mà khi
cộng vec-tơ này với vec-tơ thứ
hai (nằm sau dấu trừ) thì được
vec-tơ thứ nhất (nằm trước dấu trừ).
Hình 3.8 Phép tr vec-tơ (a) cách 1; (b) cách 2
A B C C +B A (3.7)
3.3.4 Phép nhân (chia) vec-tơ với mt shướng :
Khi nhân/chia một vec-tơ với một số vô hướng thì ta được một vec-tơ có độ lớn bằng độ
lớn của vec-tơ được nhân (hoặc chia) với số vô hướng đó.
Nếu số vô hướng là số dương thì vec-tơ kết quả cùng hướng với vec-tơ ban đầu. Nếu số
vô hướng là số âm thì vec-tơ kết quả ngược hướng với vec-tơ ban đầu.
Câu hi 3.2: Độ lớn của 2 vec-tơ A Blà A = 12 đơn vị và B = 8 đơn vị. Cặp giá trị nào
có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có thể là độ lớn của vec-tơ R = A +B ? (a) 14.4 đơn vị và 4
đơn vị, (b) 12 đơn vị và 8 đơn vị, (c) 20 đơn vị và 4 đơn vị, (d) không phải 3 cặp trên.
Câu hi 3.3: B cộng A bằng 0, hãy chọn 2 ý nào là đúng trong các ý sau: (a) A B song
song và cùng chiều, (b) A B song song và ngược chiều, (c) A B có cùng độ lớn, (d) A B trực giao. 4
Bài tp mu 3.2:
Một ô tô đi theo hướng bắc được 20km,
sau đó quẹo sang hướng tây theo
phương hợp với phương bắc 1 góc 60o,
xe đi được 35km trên đoạn đường này
(hình 3.9). Xác định độ lớn, phương và
chiều của vec-tơ độ dời của xe sau 2 đoạn đường trên. Gii:
Hình 3.9 Ví d 3.2
Gọi A B là 2 vec-tơ độ dời của xe
lần lượt trong 2 đoạn đường 20km và
35km. Góc hợp bởi A B là θ, θ = 180o – 120o = 60o.
Vec-tơ độ dời của 2 xe sau 2 đoạn đường trên là R . Ta có R = A +B với độ lớn của R là: 2 R =  2    2  2 2 cos 20 35   2 2  0 3  5 cos(120o A B AB )  48.2 km sin  sin
Phương của R tạo với phương bắc 1 góc β. Ta có:  B R si  n sin120o  sin    35   38.9o B R 48.2
Vậy: vec-tơ độ dời của xe sau 2 đoạn đường trên có độ lớn 48.2 km, chiều hướng về
phía tây, phương hợp với phương bắc 1 góc 38.9o.
Các thành phn ca vec-tơ và vec-tơ đơn vị
Khi cộng các vec-tơ thì phương pháp hình học không được khuyến khích dùng trong
trường hợp cần phải có độ chính xác cao hoặc trong các bài toán có không gian 3 chiều. Lúc
này, ta sử dụng phương pháp thành phần. Phương pháp thành phần sử dụng các hình chiếu
của vec-tơ lên các trục tọa độ.
3.4.1 Các thành phn ca vec-:
Thành phần của vec-tơ là hình chiếu
của vec-tơ này lên một trục tọa độ. Có thể
biểu diễn một cách đầy đủ mọi vec-tơ
theo các thành phần của nó.
Để tiện lợi thì ta sử dụng các thành
phần vuông góc của vec-tơ: đó là hình
chiếu của vec-tơ lên các trục tọa độ x và y.
Hình 3.10 Phân tích vec-A t hành 2 thành
phn Ax Ay 5
Trên hình 3.10, các vec-tơ A , A là các vec-tơ thành phần của A . Các vec-tơ thành phần x y
cũng là các vec-tơ nên chúng tuân theo các qui tắc về vec-tơ.
Ax Ax là các số vô hướng, được gọi là các thành phần của vec-tơ A . Trên hình vẽ bên cạnh, dễ thấy:
A A A x y
3 vec-tơ này lập thành một tam giác vuông. Các thành phần của vec-tơ A lần lượt là: A Acos x (3.8) A A sin  y (3.9)
Góc  được xác định từ trục Ox.
Các thành phần của vec-tơ là hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là
độ dài của vec-tơ. Dễ thấy: A  2 A  2 A x y (3.10) A    1 tan y (3.11) Ax
Trong một bài toán, một vec-tơ có thể được xác định bởi
các thành phần hoặc độ dài và hướng của nó.
Các thành phần của vec-tơ có thể dương hoặc âm nhưng
có cùng đơn vị với vec-tơ. Dấu của thành phần phụ th ộ u c vào
góc (hợp bởi vec-tơ và các trục tọa độ). Hình 3.11 minh họa
các trường hợp mà các thành phần vec-tơ có dấu dương, âm.
Câu hi 3.4: Hãy chọn từ nào phù hợp với dấu … trong câu
sau: “Một thành phần của một vec-tơ … lớn hơn độ lớn của Hình 3.11 Du ca các thành
vec-tơ đó”? (a) luôn luôn, (b) không bao giờ, (c) thỉnh
phn ca vec-A thoảng.
3.4.2 Vec-tơ đơn v
Các đại lượng vec-tơ thường được biểu diễn
thông qua vec-tơ đơn vị.
Vec-tơ đơn vị là vec-tơ không có thứ nguyên
và có độ lớn đúng bằng 1. Các vec-tơ đơn vị
được dùng để mô tả hướng trong không gian và
không có ý nghĩa vật lý nào khác.
Trong không gian 3 chiều, các vec-tơ đơn vị
Hình 3.12 Các vec-tơ đơn vị trong h t ọa độ
được ký hiệu là ˆ ˆ ˆ i, ,
j k .Các vec-tơ này vuông góc Descartes. 6
với nhau từng đôi trong một tam diện thuận. Độ lớn của mỗi vec-tơ này là 1:
ˆi  ˆj  ˆk  1
Xét một vec-tơ A trong mặt phẳng Xy, A A ˆi A  ˆ
A j nên A  ˆ A i  ˆ A j (3.12) x x y y x y
3.4.3 Vec-tơ vị trí
Một điểm có tọa độ (x, y) trong mặt phẳng Xy của hệ tọa độ
Descartes có thể được biểu diễn bởi một vec-tơ vị trí:
r xˆi  ˆ yj
Trong cách viết này, x và y là các thành phần của vec-tơ r
3.4.4 Phép cng vec-tơ khi dùn
g vec-tơ đơn vị:
Khi dùng vec-tơ đơn vị, các phép tính vec-tơ sẽ đơn giản
hơn. Trong mặt phẳng Xy, tổng của hai vec-tơ: R AB với Hình 3.13 Cng 2 vec-
các thành phần của vec-tơ R Rx = Ax + Bx và Ry = Ay + By
dùng vec-tơ đơn vị theo hình hc
R   A ˆi A j B i B j x y  ˆ   ˆ  ˆ x y  (3.14)
R   A B i A B j x x  ˆ    y y  ˆ (3.15) Suy ra độ 2 2
lớn của vec-tơ R : R  2 R  2 R
A B   A B  (3.16) x y x x y y
Góc hợp bởi vec-tơ tổng với trục Ox cho bởi: R A B y y y tan   (3.17) R A B x x x
Nếu xét trong không gian 3 chiều thì chỉ cần thêm thành phần thứ 3 của các vec-tơ.
A A ˆi A ˆj A ˆk (3.18) x y z
B B ˆi B ˆj B ˆk (3.19 x y z
Tổng của 2 vec-tơ này là:
R  A B  ˆi  A B  ˆj A B  ˆ k R ˆ
i R ˆj R ˆ k (3.20) x x y y z z x y z
Độ lớn của vec-tơ tổng: R  2 R  2 R  2 R . x y z
Nếu tính tổng của 3 vec-tơ trở lên thì ta vẫn dùng phương pháp như trên cho từng vec-tơ
trong tổng. Ví dụ, với R A B C thì:
R   A B C  ˆi   A B C  ˆj   A B C  ˆk x x x y y y z z z 7
Câu hi 3.5: Độ lớn của vec-tơ nào sau đây bằng 1 trong những thành phần của vec-tơ khác?
(a) A  2iˆ  5 jˆ , (b) B  3 jˆ, (c) C  5k
Bài tp mu 3.4:
Tìm tổng của 2 vec-tơ A B nằm trên mặt phẳng xy với A  2. iˆ
0  2.0jˆ m
B  2.0iˆ 4.0 jˆ m Gii:
R = A +B  2.0iˆ  2.0 j
ˆ m  2.0iˆ  4.0ˆjm  4.0iˆ 2.0 jˆ m Ta có
Từ đó suy ra R  4.0 ,
m R  2.0 m x y
Suy ra độ lớn của R R  2 R  2 R  2  2 4.0 2.0  4.5 m x y R Phương củ y 2.0
a R hợp với Ox 1 góc θ, với ta  n  
 0.5   27o R 4.0 x
Vậy tổng của 2 vec-tơ A B có độ lớn 4.5 m và có phương hợp với Ox 1 góc 27o,
chiều hướng xuống (hướng về phía âm của Oy).
Bài tp mu 3.4:
Một chất điểm dịch chuyển qua 3 đoạn đường với 3 vec-tơ độ dời như sau:
r  15iˆ 30jˆ 1 k
2 ˆ cm , r  23iˆ 14jˆ  k
5 ˆ cm , r  1 i
3ˆ  15jˆ cm. Hãy tìm 3  2  1 
vec-tơ độ dời của chất điểm sau 3 đoạn đường trên theo vec-tơ đơn vị và độ lớn của vec-tơ độ dời này. Gii:
Ta có vec-tơ độ dời của chất điểm sau 3 đoạn đường trên là:
r  r  r  r  15 23 13 ˆ cm 30 14 15 ˆ cm 12 5 0 ˆ cm 1 2 3     i      j     k
 r  25 iˆ 31 jˆ7 kˆ cm
Độ lớn của vec-tơ độ dời: r  2  2  2 25 31 7  40 cm 8
Bài tp mu 3.5: Người đi bộ
Một người đi bộ bắt đầu một cuộc hành trình bằng cách
đi 25.0 km theo hướng Đông – Nam từ xe ô-tô (car) của
mình (hình 3.14). Người dừng lại và dựng lều (ten ) t nghỉ
qua đêm. Vào ngày thứ hai, người này đi 40,0 km theo
hướng 60 về phía Bắc so với hướng Đông thì phát hiện
ra một tháp (tower) kiểm lâm. Vị trí của tháp là ở đâu? Gii:
Độ dời đầu tiên có độ lớn là 25.0 km và theo hướng 45
phía dưới phần dương của trục Ox. Các thành phần của nó Hình 3. 14 Ví d 3.5 ụ sẽ là: A A cos  ( 45. 
0 )  (25.0 km)(0.707) = 17.7 km x A A sin  ( 45. 
0 )  (25.0 km)(0.707)  17.7 km y
Độ dời thứ hai có độ lớn là 40.0 km và theo hướng 60 về phía Bắc so với hướng đông
(trục Ox). Các thành phần của nó là:
B B cos60. 
0  (40.0 km)(0.500) = 20.0 km x
B B sin60. 
0  (40.0 km)(0.866)  34.6 km y
Các thành phần của độ dời tổng của người đi bộ trong cả hành trình: Rx = A
x + Bx = 17.7 km + 20.0 km = 37.7 km Ry = A
y + By = -17.7 km + 34.6 km = 16.9 km
Viết theo các vec-tơ đơn vị, ta được: R = (37.7iˆ + 16. jˆ 9 ) km
Vậy vị trí của tháp cách ô tô 1 đoạn bằng độ lớn Vec-tơ độ dời tổng là 41,3 km và lập
một góc 24,1 so với hướng Đông.
Tóm tắt chương 3 Định nghĩa
Đại lượng vô hướng: là đại lượng được xác định một cách t ọ
r n vẹn bằng một giá trị với một
đơn vị đo tương ứng và không có hướng.
Đại lượng vec-tơ: là đại lượng được xác định một cách trọn vẹn bởi một con số kèm theo đơn
vị đo và một hướng nhất định. 9
Khái nim và nguyên lý:
Khi cộng 2 hay nhiều vec-tơ với nhau, chúng phải cùng đơn vị và phải là các đại lượng cùng
loại. Chúng ta có thể cộng 2 vec-tơ bằng hình học. Kết quả của vec-tơ tổng R = A +B là vec-
tơ nối từ điểm đầu của vec-tơ A đến điểm ngọn của vec-tơ B (hình 3.6).
Nếu vec-tơ A có thành phần theo phương x là Ax và phương y là Ay thì A được biểu diễn
như sau: A A i A j với i, j là các vec-tơ đơn vị có chiều lần lượt theo chiều dương trục x y
x, y và có độ lớn i j 1.
Phương pháp thứ 2 để cộng các vec-tơ là cộng các thành phần cùng vec-tơ đơn vị với nhau.
Câu hi lý thuyết chương 3
1. Một quyển sách di chuyển 1 vòng quanh mép bàn có độ dài 2 cạnh là 1 m và 2 m. Quyển
sách dừng lại tại vị trí xuất phát ban đầu. Hỏi: (a) độ dời của quyển sách, (b) quãng đường quyển sách đi được.
2. Nếu một thành phần của vec-tơ A chiếu theo phương của vec-tơ B bằng 0 thì chúng ta
có thể kết luận gì về 2 vec-tơ trên?
Bài tp chương 3
1. Hai điểm trong một mặt phẳng có tọa độ cực (2.50 m, 30.0°) và (3.80 m, 120.0°). Xác
định (a) tọa độ Descartes của các điểm này và (b) khoảng cách giữa chúng.
2. Một thùng hàng chịu tác dụng của 2 lực F , F có độ lớn lần lượt là 1 2
6N và 5N như hình bên, với góc θ = 30o. Tìm tổng hợp lực F F 1 2
bằng phương pháp hình học.
3. Một chiếc máy bay bay từ căn cứ đến hồ A, cách căn cứ 280 km
theo phương hợp phương đông góc 20.0° về phía bắc (20.0° north
of east).
Sau khi thả đồ tiếp tế, nó bay đến Hồ B, cách hồ A 1 90 km
theo phương hợp với phương bắc góc 30.0° về phía tây (30.0° west of north). Xác định
khoảng cách và phương hướng của Hồ B so với Căn cứ bằng phương pháp hình học.
4. Một xe tải nhỏ di chuyển thẳng về phía bắc trong làn đường bên phải của của một cao
tốc có nhiều làn đường với tốc độ 28.0 m/s. Một người đi cắm trại vượt qua xe tải nhỏ
này và sau đó đổi từ làn đường bên trái sang làn đường bên phải. Như vậy, đường đi của
người cắm trại trên đường là một đường thẳng nghiêng 8.50° so với phương bắc và hướng
về phía đông. Để tránh việc cắt đầu xe tải, khoảng cách theo hướng bắc nam của cuối xe 10
của người cắm trại và đầu xe tải không giảm. Người cắm trại có thể lái xe để đáp ứng
yêu cầu này không? Giai thích câu tra lời cua ba n.
5. Trong khi khám phá một hang động, một người
khảo sát bắt đầu từ lối vào và di chuyển theo
khoảng cách sau đây trên một mặt phẳng ngang.
Cô ấy đi 75.0 m về phía bắc, 250 m về phía đông,
125 m ở một góc θ = 30.0° về phía bắc và 150 m về phía Nam. Tín
h độ dời của cô ấy lúc cuối so với lối vào hang động.
6. Một người mới chơi golf mất ba cú đánh để đưa bóng xuống lỗ.
Khoảng cách 3 lần đánh liên tiếp của bóng là 4.00 m về phía bắc,
2.00 m về phía đông bắc (góc 45o), và 1.00 m ở 30.0° phía tây
nam. Xuất phát từ cùng một điểm ban đầu, một người chơi golf
chuyên nghiệp có thể đánh bóng vào lỗ với khoảng cách duy nhất là bao nhiêu?
7. Một vận động viên trượt tuyết trên mặt tuyết nghiêng góc 35.0° với phương ngang. Khi
vận động viên dùng gậy đẩy để trượt, một mảnh tuyết rơi văng
lên 1 đoạn tối đa là 1.50 m theo phương tạo với phương đứng
1 góc 16,0°. Tìm các thành phần (a) song song và (b) vuông
góc với mặt phẳng nghiêng của vec-tơ đồ dời của mảnh tuyết .
8. Hình dưới minh họa tỉ lệ điển hình của cơ thể nam (m) và nữ
(f). Trong hình, ta thấy , các vectơ 𝑑 󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍 󰇍 󰇍
1𝑚 và 𝑑1𝑓 từ bàn chân đến
rốn có độ lớn là 104 cm và 84.0 cm; vectơ 𝑑󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍 󰇍󰇍
2𝑚 and 𝑑2𝑓 từ rốn đến đầu ngón tay có độ
lớn là 100 cm và 86.0 cm. Tìm tổng vectơ 𝑑 󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍
3 = 𝑑1 +𝑑2 cho cả 2 người này.
9. Một trạm radar định vị một con tàu bị chìm ở tầm xa 17.3 km và ở góc 136o theo chiều
kim đồng hồ so với phương bắc. Từ cùng một trạm, máy bay cứu hộ nằm ở khoảng cách
ngang 19.6 km, 153° theo chiều kim đồng hồ so với phương bắc, với độ cao 2.20 km. (a)
Viết vectơ vị trí cho con tàu trong hệ trục tọa độ Descartes, với 𝑖 là vectơ đơn vị hướng
về phía đông, 𝑗 là vectơ đơn vị hướng về phía bắc và 𝑘 là vectơ đơn vị hướng lên phía
trên. (b) Máy bay và tàu cách nhau bao xa? 11
10. Bạn đang đứng trên mặt đất ở gốc của một hệ tọa độ.
Một máy bay bay qua bạn với vận tốc không đổi song
song với trục x và ở một chiều cao cố định 7.60× 103
m. Vào thời điểm t = 0, máy bay nằm ngay phía trên
bạn sao cho các vector từ bạn đến nó là 𝑃 󰇍 󰇍0 =7.60×
103𝑗 m. Tại thời điểm t = 30.0 s, vector vị trí từ bạn tới máy bay là 𝑃
󰇍󰇍󰇍30 = (8.04× 103𝑖+ 7.60× 103𝑗) m như hình bên. Xác định
độ lớn và hướng của vector vị trí của máy bay tại thời điểm t = 45.0 s.
11. Một siêu nhân bay xuống từ đỉnh 1 tòa nhà theo phương tạo với
phương ngang 1 góc 30o như hình vẽ. Tìm các thành phần theo
phương ngang và dọc của độ dời 100 m .
12. Một vector được cho bởi 𝑹
󰇍 = 2𝒊 + 𝒋+ 3𝒌. Tìm (a) độ lớn của các thành phần x, y, z; (b)
độ lớn của 𝑅󰇍 và (c) các góc giữa 𝑅󰇍 và trục x, y, z.
13. Một con nhện đang nghỉ ngơi sau khi nhả được 2 sợi tơ vuông góc nhau. Chọn hệ trục
xy theo 2 phương của 2 sợi tơ như hình vẽ. Trọng lực của nó
cân bằng với 2 lực căng Tx và Ty trên 2 sợi tơ. Biết trọng lực
của con nhện bằng 0.15 N và Tx = 0.127 N. Tính (a) giá trị
lực căng Ty, (b) góc hợp bởi trục x với phương ngang và (c)
góc hợp bởi trục y với phương ngang. 14. Vec-tơ 𝑨
󰇍 và 𝑩󰇍 có độ lớn bằng nhau và bằng 5.00. Tổng của vec-tơ 𝑨
󰇍 và 𝑩󰇍 là vec-tơ 6.00𝒋. Xác định góc giữa 2 vec-tơ 𝑨󰇍 và 𝑩 󰇍 . Đáp số
1. (a) (2.17, 1.25) m, (−1.90, 3.29) m; (b) 4.55m.
2. 9.5 N, 57° trên trục x.
3. 310 km tại 57° so với phương tây về phía nam. (310 km at 57° S of W) 4. …
5. 358 m tại 2o so với phương đông về phía tây. (358 m at 2° W of E) 6. 4.64 m at 78.6° N of E
7. (a) 1.17 m hướng lên đỉnh đồi; (b) 0.944 m hướng ra xa đồi tuyết.
8. 170.1 cm, 57.2° trên trục x; 145.7 cm, 58.6° trên trục x.
9. (a) (3.12𝒊+5.02𝒋− 2.20𝒌) 𝑘𝑚 ; (b) 6.31 km
10. 1.43× 104 𝑚 ; 32.2o so với phương ngang 11. 86.6 m, –50.0 m 12. |𝑅 󰇍 |=3.74
13. (a) 0.078 N; (b) 57.9o; (c) 32.1o. 14. 106o. 12