Chương 4 Phép tính vi phân hàm nhiều biến | Tài liệu Toán kinh tế 1 Trường đại học sư phạm kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh
Hàm một biến y = f(x) chỉ có thể đưa chúng ta đến một chừng mực nào đó. Thông thường chúng ta sẽ viết những hàm số mà ở đó có thêm những biến khác được xem như là hằng số. Ví dụ mặc dù chúng ta có thể viết hàm cầu ở dạng Q = Q (P). Tuy vậy ta biết điều này không đúng, lượng cầu không chỉ phụ thuộc vào giá riêng P, mà nó còn phụ thuộc vào giá của những hàng hóa khác (ví dụ như các nguyên liệu thay thế và bổ sung) và thu nhập . Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Toán kinh tế 1,2
Trường: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Môn:
Trường:
Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
Biên dịch: Lê Thị Thanh Hải Chương 4
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 4.1. Hàm nhiều biến
Hàm một biến y f (x) chỉ có thể đưa chúng ta đến một chừng mực nào đó.
Thông thường chúng ta sẽ viết những hàm số mà ở đó có thêm những biến khác được
xem như là hằng số. Ví dụ mặc dù chúng ta có thể viết hàm cầu ở dạng Q Q(P)
Tuy vậy ta biết điều này không đúng, lượng cầu không chỉ phụ thuộc vào giá riêng
P, mà nó còn phụ thuộc vào giá của những hàng hóa khác (ví dụ như các nguyên liệu
thay thế và bổ sung) và thu nhập Y. Vì thế chúng ta nên thay cách viết hàm cầu như sau Q Q(P , P ,..., P ,Y ) 1 2 n
Lý luận trên được áp dụng tương tự trong các vần đề khác của kinh tế vì các biến
số trong kinh tế nhìn chung bị ảnh hưởng bởi nhiều biến khác nhau chứ không phải chỉ có một biến.
Vì vậy chúng ta tập trung vào những hàm số có dạng y f (x ,x ...,x ) 1 2 n
và những công cụ giải tích cần thiết để làm việc với các hàm dạng này.
Hàm nhiều biến nhìn chung rất khó mường tượng, vì thế để vẽ đồ thị của chúng ta
cần n 1 chiều: n chiều cho các biến xi và 1 chiều cho biến y. Một hàm với n = 2 biến độc
lập: y f (x ,x ) cần đồ thị trong không gian 3 chiều, thứ mà có thể được hình dung trong 1 2
trang giấy 2 chiều. Đối với những hàm n 3 thì thật sự rất khó mường tượng về chúng.
Tuy vậy theo những gì đã biết ở phần đại số tuyến tính, chúng ta cũng có thể biết chút ít
về tính chất giải tích của những hàm này. Ví dụ như ta có thể nói chúng là những ngọn
núi, những thung lũng, đâu là đỉnh và đâu là đáy.
Thường thì rất chán khi phải viết ra n biến xi. Vì thế chúng ta có thể đặt tất cả
chúng trong vector dòng x kích thước n 1 và viết hàm y f (x ,x ...,x ) ở dạng gọn hơn 1 2 n
y f (x) . Chú ý điều này trông như các hàm trong giải tích một biến nhưng thực tế ở đây
x được hiểu là một vector kích thước n 1.
Biên dịch: Lê Thị Thanh Hải
Ví dụ 4.1. Xét hàm nhiều biến với n = 2 như sau 1 2 2 x 1 x 2x 1x 2 2
y f (x) f (x , x ) e 1 2 trong đó ( , )T x x x
là vector kích thước 2 x 1. Đồ thị của nó là một ngọn núi được mô tả 1 2 trong không gian 3 chiều 1 2 2 x 1 x 2 x 1x 2 2 f ( x , x ) e 1 2
Ở đó trục thẳng đứng là trục y và mặt phẳng 2 chiều có x1 trên một trục còn x2 trên trục còn lại.
Nếu x 2 và x 1 thì ta có y f (2,1) 0.22313, 1 2 1 2 trong khi đó nếu
x và x thì ta có 1 2 y f , 0.598 1 2 2 3 2 3 4.2. Đạo hàm riêng
Nền tảng của giải tích nhiều biến là đạo hàm riêng. Cho hàm n biến số
y f (x ,x ..., x ) thì sẽ có n đạo hàm riêng, mỗi đạo hàm riêng cho một trong số n biến xi. 1 2 n
Việc tính toán các đạo hàm riêng không khó khăn hơn việc tính đạo hàm trong giải tích một biến. Ta có
Định nghĩa 4.1. (Đạo hàm riêng).
Cho hàm số y f (x ,x ...,x ) , đạo hàm riêng theo biến xi ký hiệu bởi 1 2 n y f (x , x ..., x ) 1 2 n x x i i
là đạo hàm thông thường của hàm y f (x ,x ...,x ) theo biến xi, có được bằng cách xem 1 2 n
các biến còn lại xj (j ≠ i) là những hằng số. Chú thích:
Biên dịch: Lê Thị Thanh Hải dy
Đối với các đạo hàm thông thường, người ta sử dụng ký hiệu d, như , còn với dx y
đạo hàm riêng chúng ta dùng ký hiệu , như xi
Một ký hiệu khác cũng thường được sử dụng cho đạo hàm riêng được viết theo xi hoặc i như sau y f x x x f x x x i , ,..., , ,..., 1 2 n x 1 2 n i x i y Khác với
, ký hiệu trên nhấn mạnh rằng đạo hàm riêng của hàm f (x , x ..., x ) cũng là x 1 2 n i
hàm nhiều biến x , x ..., x 1 2 n
Một ký hiệu “rất tồi” mà sinh viên rất hay sử dụng để viết đạo hàm riêng f '(x ,x ..., x ) 1 2 n
Vấn đề ở đây là đạo hàm riêng luôn luôn phải theo một biến cụ thể nhưng ký hiệu trên
không chỉ rõ cho chúng ta thấy chúng ta đang đạo hàm theo biến nào. Vì thế nếu bạn viết f ( x , x ) f (x , x )
f '(x , x ) , người ta không biết bạn đang ám chỉ 1 2 hay 1 2 . Tóm lại, đừng 1 2 x x 1 2
bao giờ sử dụng ký hiệu f '() cho đạo hàm riêng. Ví dụ 4.2.
Để tính đạo hàm riêng của hàm 5 7
y f (x ,x ) x x theo biến x1, ta xem x2 như là 1 2 1 2 hằng số và ta được f (x , x ) y 1 2 5 7 x x 5x x 1 2 4 7 1 2 x x x 1 1 1 Chú ý rằng 4 7
5x x là hàm theo 2 biến x1, x2 mặc dù khi tính toán chúng ta xem x2 1 2 f (x , x )
như một hằng số. Sau khi tính đạo hàm riêng 1
2 , x2 trở lại là một biến số như x1. x1 f (x , x ) f (x )
Đó là lý do vì sao ta viết 1 2 thay vì viết 1 x x 1 1
Để tính đạo hàm của f ( x , x ) theo biến x2 ta lại xem x1 như là hằng số 1 2
Biên dịch: Lê Thị Thanh Hải f (x , x ) y 1 2 5 7 x x 7x x 1 2 5 6 1 2 x x x 2 2 2 Ví dụ 4.3. 1 2 f ( x , x )
Cho hàm số y f (x ,x ) ln x ln x x x có 2 đạo hàm riêng 1 2 và 1 2 1 2 1 2 3 3 x1 f (x ,x ) 1 2 x2 f (x , x ) Để tính 1 2
ta xem x2 như là hằng số x 1 f (x , x ) 1 2 1 2 ln x ln x x x 1 2 1 2 x x 3 3 1 1 1 2 ln x ln x x x 1 2 2 1 3 x 3 x x 1 1 1 1 0 1 x1 1 x2 3x1 f (x , x ) Để tính 1 2
ta xem x1 như là hằng số x2 f ( x , x ) 1 2 1 2 ln x ln x x x 1 2 1 2 x x 3 3 2 2 2 x1 3 x2 Ví dụ 4.4. Cho hàm số 2 3
y f (x ,x ,x ) x x 2ln x 2 x 1 2 3 3 1 2 1 Ta có
Biên dịch: Lê Thị Thanh Hải f (x , x , x ) 1 2 3 2 3 x x 2ln x x 3 1 2 21 x x 1 1 2 2 3x x 4ln x x 3 1 2 1 f (x , x , x ) 1 2 3 2 3 x x 2ln x x 3 1 2 21 x x 2 2 2 x1 2 x2 f (x , x , x ) 1 2 3 2 3 x x 2ln x x 3 1 2 21 x x 3 1 2 2x x 3 1
4.2.1. Đường dốc (The Gradient)
Thường thì rất dài dòng khi viết tất cả n đạo hàm riêng của hàm f (x , x ..., x ) . Khi 1 2 n
đó chúng ta có thể viết hàm f (x ,x ...,x ) như f (x) với x là một vector kích thước n x 1, 1 2 n
chúng ta có thể sử dụng đại số ma trận để đạt được những ký hiệu cô đọng hơn bằng cách
đặt mỗi một đạo hàm riêng trong số n đạo hàm riêng thành một vector kích thước n x 1, gọi là gradient. Ta có
Định nghĩa 4.2. (Gradient).
Cho hàm số y f (x) trong đó x là một vector kích thước n x 1, đường dốc của nó
(gradient) là một vector kích thước n x 1 của các đạo hàm riêng, được ký hiệu bởi: f (x) f (x) hay x f x , x ,..., x 1 2 n x1 f x , x ,..., x 1 2 n f (x) f (x) x 2 x f x , x ,..., x 1 2 n x n 1 2
Ví dụ 4.5. Cho hàm y f (x ,x ) ln x ln x x x 1 2 1 2 1 2 3 3
Gradient của nó là một vector kích thước 2 x 1 xác định bởi
Biên dịch: Lê Thị Thanh Hải f x , x 1 2 1 x2 x 3x 1 1 f (x) f x , x 2 1 2 x1 x 3x 2 2 Ví dụ 4.6. Cho hàm 2 3
y f (x ,x ,x ) x x 2ln x 2 x 1 2 3 3 1 2 1
Gradient của nó là một vector kích thước 3 x 1 xác định bởi 2 2 3 x x 4ln x x 3 1 2 1 2 x1 f (x , x , x ) 2 1 2 3 x 2 2 2x x 3 1
Hãy tưởng tượng bạn đang ở trên ngọn núi 3 chiều f (x , x ) . Xem xét về độ dốc 1 2
của nó, bạn quan sát xung quanh cho đến khi tìm ra được hướng mà ở đó ngọn núi dốc
nhất hay hướng mà ở đó việc trèo lên là khó khăn nhất. Bạn sẽ thấy là hướng đó sẽ trùng
với hướng của vector gradient f ( x , x ) . 1 2 Tổng quát ta có: Định lý 4.3. Vector gradient f ( )
x chỉ ra hướng mà ở đó hàm số dốc nhất. Ví dụ 4.7. 1 2
Trong ví dụ 4.5 ở trên chúng ta đã tính gradient của hàm ln x ln x x x . 1 2 1 2 3 3 1 2
Với x , x , ta có gradient là 1 2 3 3 1 1 x 2 1 2 3x 1 3 f , 3 3 2 2 x 1 3x 3 2 1 2 1x ,x2 3 3
Và hàm số dốc nhất theo hướng vector được chỉ ra bên dưới
Biên dịch: Lê Thị Thanh Hải
4.2.2. Ý nghĩa của đạo hàm riêng
Một đạo hàm riêng được xem như là kết quả của kinh nghiệm có thể kiểm soát
được. Giả sử bạn muốn biết vitamin C ảnh hưởng như thế nào đến cuộc sống của loài
gặm nhấm. Theo kinh nghiệm, bạn sẽ giữ tất cả các biến là hằng số ngoại trừ vitamin C,
theo dõi sự tiêu thụ của vitamin C và quan sát xem chuyện gì xảy ra với cuộc sống của
loài gặm nhấm. Nếu bạn thấy loài gặm nhấm tiêu thụ lượng vitamin C nhiều hơn sẽ sống
lâu hơn (hoặc ngắn hơn) thì bạn có thể kết luận ở đây có tồn tại một mối quan hệ
“dương” (hoặc “âm”) giữa vitamin C và tuổi thọ của loài gặm nhấm
Giả sử bạn có hàm nhiều biến y f (x ,x ...,x ) trong đó y là triển vọng sống và xi 1 2 n
là sự tiêu thụ vitamin C. Chúng ta muốn biết xi ảnh hưởng như thế nào đến y. Theo kinh f ( x , x ..., x )
nghiệm ta sẽ tính đạo hàm riêng 1 2 n
. Dấu của đạo hàm riêng sẽ cho chúng ta x i
biết được mối quan hệ giữa xi và y. Cụ thể như sau: Định lý 4.4.
Cho hàm y f (x ,x ...,x ), nếu 1 2 n f (x , x ..., x ) 1 2 n 0 x i
thì y là hàm tăng theo xi, nghĩa là khi tăng (hoặc giảm) biến xi trong khi giữ cố định tất
cả các biến khác xj thì sẽ tăng (hoặc giảm) y. Định lý 4.5.
Cho hàm y f (x ,x ...,x ), nếu 1 2 n
Biên dịch: Lê Thị Thanh Hải f (x ,x ...,x ) 1 2 n 0 xi
thì y là hàm giảm theo xi, nghĩa là khi tăng (hoặc giảm) biến xi trong khi giữ cố định tất
cả các biến khác xj thì sẽ giảm (hoặc tăng) y. Chú thích:
Trong giải tích nhiều biến, các tính chất trên có thể hiểu hoặc có tính địa phương
hoặc có tính toàn cục. Nếu f (x) 0 với mọi x trong miền xác định, ta nói y là hàm tăng xi f x toàn cục theo các ( ) xi. Nếu
0 chỉ tại một điểm, ta nói y là hàm tăng địa phương theo xi các xi.
Đạo hàm riêng cũng cho ta thấy những thông tin có tính định lượng về mối quan
hệ giữa y và xi. Cụ thể như sau: Định lý 4.6.
Cho hàm y f (x ,x ...,x ), nếu xi thay đổi một lượng x
trong khi các biến khác 1 2 n i
xj được giữ cố định thì sự thay đổi của y có thể được xấp xỉ bằng: f (x , x ..., x ) 1 2 n y . x i xi
trong đó xấp xỉ trên càng tốt hơn nếu x càng nhỏ. i 1 2
Ví dụ 4.8. Xét hàm y f (x ,x ) ln x ln x x x 1 2 1 2 1 2 3 3 Ta có f x ,x 1 2 1 x 2 x 3x 1 1 1 1 Tại x , x ta có 1 2 12 2 1 1 f , 12 2 1 1 7 0 x 1 2 2 1 3.12
Biên dịch: Lê Thị Thanh Hải 1 1
Ví thế có một mối quan hệ “dương” giữa y và x 1 tại điểm , hay y có tính tăng địa 12 2 phương theo x1 1 1
Nếu bạn tăng x1 một lượng nhỏ từ x lên x , khi đó 1 12 1 10 1 1 x 0.017 , 1 10 12 1 1 1
và nếu chúng ta giữ cố định x thì y sẽ tăng từ y , 1.3321 đến 2 2 12 2 1 1 y , 1 .2796 hay 10 2
y 1.2796 (1.3321) 0.0525 1 1 f , 12 2 . x 1 x1 7 0.017 2 0.0595
Bây giờ chúng ta tập trung vào mối quan hệ giữa x2 và y, ta có: f x ,x 2 1 2 x 1 x 3x 2 2 Ví thế 1 1 f , 12 2 2 1 5 0 x 1 12 4 2 3. 2 1
Vậy y là hàm tăng địa phương theo x2, nếu tăng x2 một lượng nhỏ từ x , trong khi giữ 2 2 1 nguyên x thì y sẽ tăng. 1 12 1
Mặt khác khi x 2, x ta có 1 2 2
Biên dịch: Lê Thị Thanh Hải 1 f 2, 2 1 1 1 0 x 3.2 2 3 1 1 f 2, 2 2 2 2 0 x 1 2 3 3.2 1 Điều này nghĩa là hàm
f (x ,x ) giảm địa phương theo cả hai biến x1 và x2 tại điểm 2, 1 2 2 Ví dụ 4.9. Xét hàm 2 3 1 2 ( , ) x x f x x e 1 2 Ta có f x , x 1 2 2 1 x 3 x2 2e 0 x1
với mọi x1, x2 và y là hàm tăng toàn cục theo x1. Tương tự f x , x 1 2 2 x 3x 1 2 3e 0 x 2
với mọi x1, x2 và y là hàm giảm toàn cục theo x2.
4.2.3. Ngôn ngữ kinh tế của đạo hàm riêng Xét đường cong cầu: Q Q , P P, P ,...P ,Y 1 2 n
trong đó P là giá chính, P1, P2, …, Pn là giá của các hàng hóa liên quan khác và Y là thu nhập.
Giả sử ta muốn nói đường cong cầu có độ dốc đi xuống. Điều đó có nghĩa là gì?
Trong kinh tế, nghĩa là chúng ta muốn nói rằng đường cong cầu có độ dốc đi xuống nếu
tăng P, trong khi giữ nguyên P1, P2, …, Pn và Y thì kết quả Q sẽ đi xuống.
Chúng ta có thể sử dụng toán học để nói một cách ngắn gọn là: đường cong cầu sẽ dốc xuống nếu Q 0 P
Một trong những lý do làm đơn giản vấn đề hơn nữa là thay vì nói “tất các các
biến khác giữ nguyên là hằng số” thì ta viết thay cho d để biểu diễn điều này.
Biên dịch: Lê Thị Thanh Hải Q
Tương tự nếu ta muốn nói hàng hóa ở đây là “tốt” thì ta viết: 0. Điều này Y
thay cho việc giới thiệu định nghĩa rằng hàng hóa “tốt” nếu tăng Y trong khi giữ nguyên
P, P1, P2, …, Pn dẫn đến Q tăng. Q
Nếu bạn muốn nói hàng hóa “kém”, ta viết: 0. Y Q
Nếu ta nói hàng hóa i là hàng thay thế thì thì ta viết 0. Pi
Nếu ta nói hàng hóa j là hàng bổ sung thi ta viết Q 0 P j
Tất cả những điều trên cũng được áp dụng tương tự cho đường cong cung, hàm chi
phí hay những vấn đề khác trong kinh tế. Nhiếu ngôn ngữ không chính thức được “công
thức hóa” trong khái niệm đạo hàm riêng trong kinh tế cao cấp và sẽ cho chúng ta những khái niệm súc tích hơn.
Ví dụ 4.10. Xét đường cong cầu cho càfê như sau: 2 3 3 2 Q P P P Y 1 2
trong đó P là giá café, P1 là giá trà, P2 là giá đường và Y là thu nhập. Khi đó Q 3 3 3 2
2P P P Y 0 đường cong cầu của café dốc xuống 1 2 P Q 2 2 3 2
3P P P Y 0 café và trà là 2 hàng hóa thay thế 1 2 P1 Q 2 3 4 2
3P P P Y 0 café và đường là 2 hàng hóa bổ sung 1 2 P2 Q 2 3 3
2P P P Y 0 café là hàng hóa tốt 1 2 Y
4.2.4. Cách sử dụng từ “Biên”
Trong kinh tế, sản lượng biên của lao động được xác định bởi sự đóng góp của
công nhân cuối cùng được thuê vào sản lượng đầu ra. Trong giải tích một biến chúng ta
xác định sản lượng biên của lao động là đạo hàm của hàm sản xuất Q f (L) theo biến L .
Hàm sản xuất trên có được từ hàm sản xuất Q F(L, K) bằng cách giữ K cố định. Vì K
Biên dịch: Lê Thị Thanh Hải
được giữ cố định nên đạo hàm trên thực chất là một đạo hàm riêng. Do đó định nghĩa cũ
về sản lượng biên của lao động cũng là đạo hàm riêng theo lao động: F , L K MP , L K L L
Tóm lại khi các nhà kinh tế sử dụng từ “biên” như lợi ích biên, sản lượng biên của
lao động hay sản lượng biên của đầu tư là họ đang ám chỉ đến đạo hàm riêng khi tất cả
các biến khác được giữ là hằng số. Định nghĩa 4.7.
Trong kinh tế, ám chỉ “biên” đồng nghĩa với đạo hàm riêng.
Ví dụ 4.11. Xét hàm sản xuất Q F (L,K )
trong đó Q là sản lượng đầu ra, L là lao động và K là vốn đầu tư.
Sản lượng biên của lao động là đạo hàm riêng: F , L K MP , L K L L
Trong khi sản lượng biên của vốn là đạo hàm riêng: F L,K MP L ,K K K
Vì thế đối với hàm sản xuất Cobb-Douglas: 1 1 Q L K 2 4 , L K
sản lượng biên của lao động và vốn là: 1 1 MP L K L K L , 1 2 4 0 2 1 3 MP L K L K K , 1 2 4 0 4
Thực tế các sản lượng biên đều dương, nghĩa là Q là hàm tăng toàn cục theo cả L
và K, điều này dẫn đến cả L và K đều có “tính sản xuất tốt”. Ví dụ 4.12.
Xét một hộ gia đình đạt được mức lợi ích từ 2 loại hàng hóa Q1 và Q2 như sau 1 2 U Q , Q 3 3
Q Q (hàm lợi ích Cobb-Douglas) 1 2 1 2
Biên dịch: Lê Thị Thanh Hải
Ta có lợi ích biên của Q1 và Q2 là 2 2 MU Q ,Q 1 3 3 Q Q 0, 1 1 2 1 2 3 1 1 MU Q ,Q 2 3 3 Q Q 0 2 1 2 1 2 3
Thực tế ta thấy các lợi ích biên đều dương, nghĩa là lợi ích là hàm tăng toàn cục theo cả
hai loại hàng hóa Q1 và Q2; hay nói một cách khác thì Q1 và Q2 đều là những hàng hóa “tốt”. 4.2.5. Độ co giãn
Thay vì dùng đạo hàm riêng ta thường nói đến độ co giãn ví nó thoải mái hơn về
đơn vị đo. Đối với hàm nhiều biến độ co giãn được xác định như sau:
Định nghĩa 4.8. (Độ co giãn).
Cho hàm y f x , x ,...x , độ co giãn theo biến xi là: 1 2 n y x x , x ,..., x . i i 1 2 n x y i f x , x ,..., x x 1 2 n . i x f x x x i , ,..., 1 2 n
Nhìn chung độ co giãn sẽ thay đổi khi các biến x , x ,...x thay đổi. Dạng hàm số 1 2 n
có tính chất mà độ co giãn của nó không phụ thuộc vào x , x ,...x được xác định như sau: 1 2 n Định lý 4.9. Nếu y f x ,x ,...x Ax x x n b b b 1 2 ... n 1 2 1 2 n
thì tất cả độ co giãn đều độc lập theo các biến x , x ,...x và: 1 2 n b i i
Ví dụ 4.13. Xét lại đường cong cầu cho cafe: d 2 3 3 2 Q P P P Y 1 2
Chú ý rằng hàm cầu là hàm có dạng 1 b 2 b
Ax x ... vì vậy độ co giãn đơn giản chính là 1 2
số mũ trên mỗi biến. Ta có:
Biên dịch: Lê Thị Thanh Hải d 3 3 3 2 Q P 2P P P Y P 1 2 . 2 P d 2 3 3 2 P Q P P P Y 1 2 d 2 2 3 2 Q P 3P P P Y P 1 1 2 1 . 3 1 P d 2 3 3 2 P Q P P P Y 1 1 2 d 2 3 4 2 Q P 3P P P Y P 2 1 2 2 . 3 2 P d 2 3 3 2 P Q P P P Y 2 1 2 d 2 3 3 Q Y 2P P P Y Y 1 2 . 2 Y d 2 3 3 2 Y Q P P P Y 1 2 Khi đó
+ Nếu P tăng 1% thì Q sẽ giảm 2% → hàm cầu co giãn
+ Nếu P1 tăng 1% thì Q tăng 3% → café và trà là hàng hóa thay thế
+ Nếu P2 tăng 1% thì Q giảm 3% → café và đường là hàng hóa bổ sung
+ Nếu Y tăng 1% thì Q tăng 2% → café là hàng hóa tốt trên thị trường.
4.2.6. Đạo hàm hàm hợp (Luật móc xích)
Chúng ta cần đến luật móc xích khi chúng ta làm việc với “hàm của hàm”. Xét tình huống sau: Ta có một hàm bên ngoài y f x ,x ,...x 1 2 n
và n hàm bên trong: g w , g w ,..., g w trong đó w là một đại lượng vô hướng. 1 2 n
Ta thay thế mỗi xi bằng một hàm bên trong gi(w) ta được: ( h ) w f g (w), g ( ), w ...g ( ) w 1 2 n
Luật móc xích với hàm nhiều biến sau đây sẽ cho chúng ta biết cách tính h'( ) w
Định lý 4.10. (Luật móc xích cho hàm nhiều biến) Nếu ( h ) w f g (w), g ( ), w ...g ( ) w 1 2 n Thì
Biên dịch: Lê Thị Thanh Hải f g (w), g ( ) w ,...g ( ) w 1 2 n h'( ) w .g '( ) w 1 x1 f g (w), g (w),...g (w) 1 2 n + .g '( ) w 2 x 2 +......+ f g (w), g (w),...g (w) 1 2 n + .g '(w n xn Chú thích 1:
Giả sử một công ty dầu hỏa đa quốc gia có chi nhánh tại n nước. Gọi w là giá dầu,
ở đó hàm bên trong gi(w) là thu nhập trước thuế ở nước thứ i theo đơn vị tiền tệ của nước
đó và hàm bên ngoài y f x , x ,...x chuyển thu nhập ở mỗi nước sang đơn vị USD. Vì 1 2 n
vậy hàm h(w) là tổng thu nhập theo USD là một hàm theo giá dầu và h’(w) diễn tả sự
thay đổi của lợi nhuận khi giá dầu thay đổi. Luật móc xích được mô tả như sau: f g (w), g (w),...g ( ) w 1 2 n .g '(w) i x i Ở đây '
g (w) cho ta biết thu nhập ở quốc gia thứ i thay đổi như thế nào khi giá dầu i thay đổi trong khi f g (w),g (w),...g (w) 1 2 n xi
cho biết sự thay đổi lợi nhuận theo đơn vị của từng nước ảnh hưởng như thế nào đến lợi
nhuận được tính bằng USD. Tổng ảnh hưởng của sự thay đổi về giá, h’(w), là tổng các
ảnh hưởng của n nước và được chỉ ra trong luật móc xích. Chú thích 2:
Mặc dù luật móc xích cho hàm nhiều biến dường như khá phức tạp, tuy nhiên ý
tưởng chính của nó cũng giống như hàm một biến, đó là bước đầu tiên ta lấy đạo hàm của
hàm bên ngoài, thay thế x bằng hàm bên trong rồi nhân với đạo hàm của hàm bên trong.
Sự khác nhau duy nhất là bây giờ chúng ta có n biến xi và n hàm bên trong: gi(w).
Một mặt chúng ta sẽ tính các đạo hàm riêng của hàm bên ngoài theo mỗi biến xi, mặt khác ta thay thế mỗi x '
i bằng n hàm bên trong, nhân mỗi đạo hàm riêng đó với g (w) và i
công tất cả n thừa số lại với nhau.
Biên dịch: Lê Thị Thanh Hải
Một phương pháp triển khai luật móc xích của hàm nhiều biến Bắt đầu với x1:
1. Tính đạo hàm riêng của hàm bên ngoài f x , x ,...x theo x1 1 2 n f x , x ,...x 1 2 n 2. Thay mỗi xi trong
tương ứng bằng hàm bên trong gi(w) để được xi f g ( ) w , g ( ) w ,...g ( ) w 1 2 n xi f g (w),g (w),...g (w) 1 2 n
3. Nhân kết quả bước 2 với ' g (w) được .g '( ) w i i x i
4. Lặp lại từ bước 1 đến bước 3 cho tất cả các biến xi
5. Công các kết quả từ bước 1 đến bước 4 ta được h'( ) w
Ví dụ 4.14. Xét hàm 2 biến: 1 2
y f (x ,x ) ln x ln x x x 1 2 1 2 1 2 3 3 và đặt 2 ( ) ; ( ) w g w
w g w e là các hàm bên trong. 1 2
Nếu ta thay sự xuất hiện của x1 bằng w2 và x2 bằng ew thì ta được: h( ) w f g ( ) w , g ( ) w 1 2 = f 2 w , w e 1 2 w 2 = ln ln w e 2 w w e 3 3 2 = ln 2 2 w w w w e 3 3
Chúng ta có thể tính h '(w) trực tiếp như sau: 2 2 '( ) = 2 w h w w e 3w 3
Bây giờ ta sử dụng luật móc xích để tính h '(w ). Theo phương pháp ta có:
1. Đạo hàm riêng của hàm bên ngoài theo x1: f (x , x ) 1 1 2 1 x 3x 1 1
2. Thay sự xuất hiện của x1 bằng w2 và x2 bằng ew vào kết quả bước 1 ta được:
Biên dịch: Lê Thị Thanh Hải 2 ( , w f w e ) 1 1 2 x 3w 1 3. Vì 2
g (w) w nên ta nhân kết quả bước 2 với g ' ( ) w 2w ta được: 1 1 2 ( , w f w e ) ' 1 g ( ) w 1 2 w 1 2 x 3w 1
4. Lặp lại từ bước 1 đến bước 3 với x2 ta được: f (x ,x ) 2 1 2 1 x 3x 2 2
Và thay x1, x2 bằng w2 và ew ta được 2 f ( w , w e ) 2 1 x 3 w e 2 Và nhân với ' ( ) w g w e ta nhận được: 2 2 f (w , w e ) 2 ' g (w) 1 w e 2 x 3 w e 2
5. Cộng các kết quả từ bước 1 đến bước 4 ta được: 1 2 w h'( ) w = 1 2w + 1 e 2 3w 3 w e 2 2 2 w w e 3w 3
Và chúng ta nhận được kết quả như phần tính toán trực tiếp.
Ví dụ 4.15. Chứng minh luật đạo hàm một tích bằng cách sử dụng luật móc xích Giải:
Giả sử hàm bên ngoài là p x , x x x 1 2 1 2
và hàm bên trong là 2 hàm một biến f (x) và g( )
x , trong đó x là số. Khi đó: ( h x) p f (x), g(x ) f ( ). x g( ) x
h(x) là tích của hai hàm f(x) và g(x). để tìm h’(x) ta dùng luật của hàm nhiều biến như sau: p x , x p x , x 1 2 1 2 x và x 2 x 1 x 1 2
Biên dịch: Lê Thị Thanh Hải Khi đó: f (x),g(x) f (x),g (x ) h'( ) x . f '( ) x .g '( ) x x x 1 2 =g( ) x . f '( ) x f (x).g '( ) x
4.2.7. Mở rộng của luật móc xích cho hàm nhiều biến tổng quát
Luật móc xích có thể được tổng quát hóa trong trường hợp hàm bên trong là hàm
nhiều biến. mặc dù là tổng quát hơn nhưng nếu bạn hiểu được luật móc xích ở phần trước
thì ở đây cũng không có gì mới cả ngoại trừ đạo hàm một biến sẽ trở thành đạo hàm riêng.
Định lý 4.11. (Luật móc xích hàm nhiều biến).
Nếu w trong gi(w) là một vector kích thước m x 1: g (w) g w ,w ,...,w và nếu: i i 1 2 m
h w , w ,..., w f g ( ), w g ( ) w ,...g ( ) w 1 2 m 1 2 n Thì: hw , w ,..., w f g ( ) w , g ( ) w ,...g ( ) w g w , w ,..., w 1 2 m 1 2 n 1 1 2 m . w x w j 1 j f g (w), g ( ) w ,...g ( ) w g w , w ,..., w 1 2 n 2 1 2 m + . x w 2 j +........+ f g (w), g ( ) w ,...g ( ) w g w , w ,..., w 1 2 n n 1 2 m + . x w n j 4.2.8. Hàm thuần nhất
Trong kinh tế ta bắt gặp nhiều hàm thuần nhất. Đường cong cung và cầu là những
hàm thuần nhất bậc 0, lợi ích biên của thu nhập là hàm thuần nhất bậc -1 và hàm chi phí
luôn là hàm thuần nhất bậc 1. Tính thuần nhất của một hàm sản xuất xác định khi nào thì
giảm (nhỏ thì tốt), khi nào là hằng số hay khi nào thì tăng trở lại (càng lớn thì càng tốt).
Tính thuần nhất được định nghĩa như sau: Định nghĩa 4.12.
Một hàm nhiều biến f x , x ,..., x được gọi là thuần nhất bậc k nếu và chỉ nếu với 1 2 n bất kỳ λ > 0: f x , x ,..., k x f x , x ,..., x 1 2 n 1 2 n
Biên dịch: Lê Thị Thanh Hải Chú thích:
Để chứng minh một hàm là thuần nhất bậc nào đó ta bắt đầu với: f x ,x ,...,x 1 2 n
và qua hàng loạt các biến đổi để cố gắng đạt được: k f x , x ,..., x 1 2 n
Số mũ trên λ chính là bậc của tính thuần nhất.
Ví dụ 4.16. Hàm sản xuất Cobb-Douglas Q F (L,K ) AL K
là hàm thuần nhất bậc k là tổng số mũ trên vốn và lao động vì:
F L ,K AL K = AL K = F( , L K) 1 1 1 1 3 Vì vậy hàm sản xuất 2 4
Q L K là hàm thuần nhất bậc k 2 4 4
Ví dụ 4.17. Hàm sản xuất CES
Q F(L, K ) L 1 K
là hàm thuần nhất bậc là tổng số mũ trên vốn và lao động vì:
F L, K
L 1 K =
L 1 K = L 1 K = F(L, K ) 1 1 1 Vì vậy hàm sản xuất 1 1 Q L K
là hàm thuần nhất bậc 1. 2 2
Một tính chất giải tích quan trọng của hàm thuần nhất là định lý Euler sau đây:
Định lý 4.13. (Định lý Euler).
Nếu hàm f x , x ,..., x là hàm thuần nhất bậc k thì: 1 2 n
Biên dịch: Lê Thị Thanh Hải f x ,x ,..., x f x ,x ,..., x f x ,x ,..., x 1 2 n 1 2 n 1 2 n k. f x , x ,..., x .x .x ... .x 1 2 n 1 2 n x x x 1 2 n Chứng minh: Đặt
h f x , x ,..., k x f x , x ,..., x 1 2 n 1 2 n
Áp dụng luật móc xích ta có f x ,x ,...,x f x , x ,...,x ' 1 2 n 1 2 n h xn x x 1 n k 1
k f x , x ,..., x 1 2 n
Cho 1 ta có kết quả f x ,x ,...,x f x ,x ,..., x 1 2 n 1 2 n kf x , x ,..., x x ... x (đfcm). 1 2 n 1 n x x 1 n Ví dụ 4.18. 1 1 1 1 3 Ta đã biết hàm 2 4
F (L, K ) L K là hàm thuần nhất bậc k . Để làm rõ 2 4 4 định lý Euler ta có: F( , L K) F ( , L K) L K L K 1 1 1 1 2 4 2 4 L K L L K K L K 1 1 1 3 1 1 2 4 2 4 L K L L K K 2 4 1 1 1 1 1 1 2 4 2 4 L K L K 2 4 1 1 3 2 4 L K 4 3 F (L,K ) 4 Ví dụ 4.19.
Định lý Euler cho phép chúng ta tiên đoán về lợi nhuận của doanh nghiệp. Giả sử Q F( ,
L K) là hàm thuần nhất bậc k. Khi đó theo định lý Euler ta có: Q L, K Q , L K kQ L K L K