Chương 9. Ứng dụng của hàm nhiều biến số trong kinh tế và kinh doanh | Môn toán cao cấp

lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 9. Ứng dụng của hàm nhiều biến số trong kinh tế và kinh doanh
9.1. Một số hàm số trong phân tích kinh tế và giá trị cận biên
a) Hàm sản xuất: Biểu diễn sự phụ thuộc của mức sản lượng tiềm năng của một doanh nghiệp vào
mức sử dụng các yếu tố sản xuất là tư bản (vốn) và lao ộng. Q = f(K, L),
trong ó K: vốn (tư bản) và L: lao ộng, Q: sản lượng.
Hàm sản xuất Cobb-Douglas: Q aK L , trong ó , , a > 0.
Sản phẩm hiện vật cận biên của tư bản, ký hiệu là MPPK: MPPK Q K
Sản phẩm hiện vật cận biên của lao ộng, ký hiệu là MPPL: MPPL Q L
Ý nghĩa: Tại iểm (K ,L0 0) , giá trị MPPK (K ,L0 0) biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật tăng thêm
khi sử dụng thêm một ơn vị tư bản và giữ nguyên mức sử dụng lao ộng; MPPL (K ,L0 0) biểu diễn xấp
xỉ lượng sản phẩm hiện vật tăng thêm khi sử dụng thêm một ơn vị lao ộng và giữ nguyên mức sử dụng tư bản. 1 3
Ví dụ. Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp là Q 20K L
4 4 . Giả sử doanh nghiệp ó ang sử dụng
16 ơn vị tư bản và 81 ơn vị lao ộng trong một ngày. Tính sản phẩm hiện vật cận biên của tư bản và
của lao ộng của doanh nghiệp ó tại mức sử dụng tư bản và mức sử dụng lao ộng trên.
Nêu ý nghĩa của những giá trị vừa tính. Giải. Ta có: Q K 5 L ; Q L 15 KL . K
Sản phẩm hiện vật cận biên của tư bản tại iểm K 16;L 81: MPP (16;81)K 5 81 16,875. 16
Sản phẩm hiện vật cận biên của lao ộng tại iểm K 16;L 81:
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 1 lOMoAR cPSD| 49519085 L 15 16 10. MPP (16;81) 81
Ý nghĩa: Tại mức sử dụng 16 ơn vị tư bản và 81 ơn vị lao ộng trong một ngày, nếu doanh nghiệp ó
tăng mức sử dụng tư bản lên 1 ơn vị trong một ngày (tức là sử dụng 17 ơn vị tư bản trong một ngày)
và giữ nguyên mức sử dụng lao ộng là 81 ơn vị trong một ngày thì sản lượng hàng ngày của doanh
nghiệp sẽ tăng thêm khoảng 16,875 ơn vị sản phẩm hiện vật. Nếu doanh nghiệp tăng mức sử dụng lao
ộng lên 1 ơn vị trong một ngày (tức là sử dụng 82 ơn vị lao ộng trong một ngày) và giữ nguyên mức
sử dụng tư bản là 16 ơn vị trong một ngày thì sản lượng hàng ngày của doanh nghiệp sẽ tăng thêm
khoảng 10 ơn vị sản phẩm hiện vật. b) Hàm chi phí và hàm lợi nhuận theo các yếu tố sản xuất Ta
ã biết hàm chi phí có dạng: TC = TC(Q).
• Nếu tính theo các yếu tố sản xuất thì hàm chi phí là hàm số của các yếu tố sản xuất: TC = wKK + wLL + C0,
trong ó: wK là giá thuê một ơn vị tư bản; wL là giá thuê một ơn vị lao ộng; C0 là chi phí cố ịnh.
• Nếu doanh nghiệp là doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất Q = f(K, L) và giá của
sản phẩm trên thị trường là p thì hàm doanh thu của doanh nghiệp là: TR pQ = pf(K, L).
Khi ó, tổng lợi nhuận của một doanh nghiệp cạnh tranh là: pf(K,L) (wKK wLL C )0 .
c) Hàm chi phí kết hợp: Giả sử doanh nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm. Để sản xuất Q1 ơn vị sản
phẩm thứ nhất và Q2 ơn vị sản phẩm thứ hai, doanh nghiệp phải bỏ ra một khoản chi phí TC. Như
vậy, TC là hàm số của 2 biến số: TC = TC(Q1, Q2).
Hàm số trên ược gọi là hàm chi phí kết hợp.
d) Hàm lợi ích (còn gọi là hàm thỏa dụng): Hàm lợi ích là hàm số ặt tương ứng mỗi túi hàng
X = (x1, x2) (trong ó x1 là lượng hàng hóa thứ nhất, x2 là lượng hàng hóa thứ hai) với một giá trị lợi
ích U nhất ịnh theo quy tắc: Túi hàng nào ược ưa chuộng hơn thì ược gán giá trị lợi ích U lớn hơn. Hàm lợi ích có dạng: U U(x ,x )1 2 . Hàm lợi ích Cobb-Douglas: U ax x1 (a, 1 22 1, 20).
Lợi ích cận biên của hàng hóa thứ i và ược ký hiệu là MUi:
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 2 lOMoAR cPSD| 49519085 MUi U xi , i = 1,2
Ý nghĩa: Tại iểm X (x ,x1 2) , MU (X)i cho biết xấp xỉ lợi ích tăng thêm khi người tiêu dùng sử dụng
thêm một ơn vị hàng hóa thứ i và lượng hàng hóa còn lại không ổi.
e) Hàm cung và hàm cầu trên thị trường hai hàng hóa liên quan: Trên thị trường 2 hàng hóa liên
quan hàm cung hàng hóa thứ i và hàm cầu ối với hàng hóa thứ i có dạng (với giả thiết thu nhập không thay ổi): QS = S i i(p1, p2), QD = D i i(p1, p2),
trong ó: pi là giá hàng hóa thứ i; QS là lượng cung hàng hóa thứ i, Q là lượng cầu ối với hàng hóa thứ i Di i (i = 1, 2 ).
9.2. Hệ số co giãn riêng
Xét mô hình kinh tế: w f(x ,x )1 2 .
Định nghĩa: Hệ số co giãn của f theo x 0 0 k tại iểm M (x ,x )0 1 2
, ược tính theo công thức: 0
fxk (M0) fx k (M0). xk . f(M )0
Ý nghĩa: Hệ số co giãn của f theo x 0 0 k tại iểm M (x ,x )0 1 2
là số o lượng thay ổi tính bằng phần trăm
của f khi xk tăng thêm 1% và biến còn lại không thay ổi.
Ví dụ 1. Trên thị trường hai hàng hóa liên quan, hàm cầu của hàng hóa 1 là: QD1 6300 2 p12 5p22 , 3
trong ó p1, p2 tương ứng là giá của hàng hóa 1, 2. Tính hệ số co giãn của cầu ối với hàng hóa 1 theo
giá của hàng hóa 1 và 2 tại iểm (20, 30) và nêu ý nghĩa.
Giải. Hệ số co giãn của cầu
ối với hàng hóa 1 theo giá của hàng hóa 1 tại iểm QD1 p 1 4.202 0,4. (20, 30) là: p 2 1 4p . 5 p 1 6300 2p1 22 6300 2.202 5.302 3 3
Hệ số co giãn của cầu
ối với hàng hóa 1 theo giá của hàng hóa 2 tại iểm 2
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 3 lOMoAR cPSD| 49519085 (20, 30) là: Qp 2D1
103 p .2 6300 2pp212 5 p22 103 .6300 2.2030 2 5.302 0,75. 3 3
Ý nghĩa: Khi hàng hóa 1 ang ở mức giá 20 và hàng hóa 2 ở mức giá 30, nếu tăng giá hàng hóa 1 lên
1% còn giá hàng hóa 2 không ổi thì cầu ối với hàng hóa 1 sẽ giảm 0,4%, tương tự, nếu giá hàng hóa
1 không ổi còn giá hàng hóa 2 tăng 1% thì cầu ối với hàng hóa 1 sẽ giảm 0,75%.
Ví dụ 2. Cho hàm Cobb-Douglas: f ax x 1 2 1 2 (a > 0 và
k 0,k 1,2). Tính hệ số co giãn của f
theo x1 và x2. Giải. f x1
fx 1.xf1 a 1x1 1 1x22 ax x1 2 x11 2 1, f x2
fx 2.xf2 a x x2 1 2 12 1 ax x1 2 x12 2 2.
Vậy, hệ số co giãn của f theo xk trong mô hình hàm số Cobb-Douglas úng bằng lũy thừa của xk (k = 1, 2).
Ví dụ 3. Cho hàm sản xuất Q=C K L K>0,L>0 4/5 1/5 0
trong ó Q-sản lượng, K-vốn, L-lao ộng, C là hằng số 0
dương cho trước. Khi tăng vốn lên 2% và tăng lao ộng lên 3% thì sản lượng thay ổi như thế nào? Giải.Ta có KQ 4; LQ 1 . 5 5
Khi tăng vốn lên 2% và tăng lao ộng lên 3% thì sản lượng sẽ tăng 4 1 2 Q Q K 3 L 2. 3. 2,2%. 5 5
9.3. Quy luật lợi ích cận biên giảm dần
Xét mô hình hàm số: w = f(x1, x2), trong ó w biểu diễn lợi ích kinh tế và x1, x2 là các yếu tố em lại lợi ích w.
Quy luật lợi ích cận biên giảm dần nói rằng, giá trị w-cận biên của xi giảm dần khi xi tăng và
yếu tố còn lại không thay ổi, i = 1, 2. 0
Hàm số w = f(x1, x2) tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần ffxxx x 1 1 2 2 0.
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 4 lOMoAR cPSD| 49519085
Ví dụ 1. Cho hàm sản xuất Cobb-Douglas: Q aK L ,(a, ,
0). Tìm giá trị của và ể hàm số
trên tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần. Giải. Ta có Q K a K 1L Q KK a (1)K 2L Q L a K L 1 Q LL a (1)K L 2 0 0 Yêu cầu bài toán QQ KKLL 0 0 1 1 .
Ví dụ 2. Cho hàm lợi ích U(x,y) 3xy 2x2 y2 (x, y > 0). Hàm số U có tuân theo quy luật lợi ích
cận biên giảm dần hay không? Giải. Ta có U x 3y 4x,U y 3x 2y , U''xx 4 0;U''yy
2 0, x 0,y 0,
nên hàm U tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần.
9.4. Hàm thuần nhất và vấn ề hiệu quả theo quy mô sản xuất
a) Khái niệm hàm thuần nhất
Định nghĩa: Hàm số f(x, y) ược gọi là hàm thuần nhất bậc k (k 0 ) nếu với t 0, ta có: f(tx, ty) = tkf(x, y).
Ví dụ 1. Hàm sản xuất Q aK L là hàm thuần nhất bậc vì t 0 : Q(tK,tL) a(tK) ( tL) t (aK L ) t Q(K,L).
Ví dụ 2. Hàm sản xuất Q 1K 4K L0,5 0,5 L
là hàm thuần nhất bậc 1. 9 9
Ví dụ 3. Hàm f(x,y) 2xy 2
2 là hàm thuần nhất bậc 0. x y Tính chất:
i) Cho hàm f(x1, x2) có các ạo hàm riêng liên tục. Khi ó:
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 5 lOMoAR cPSD| 49519085
f là thuần nhất bậc k x .f1 x 1
x .f2 x 2 k.f ii) Nếu f là hàm
thuần nhất bậc k và g là hàm thuần nhất bậc m thì:
+) f.g là hàm thuần nhất bậc k+m,
+) fn là hàm thuần nhất bậc kn, f
+) là hàm thuần nhất bậc k –m (nếu k m). g
b) Vấn ề hiệu quả theo quy mô
Xét hàm sản xuất Q = f(K, L); trong ó K, L là yếu tố ầu vào; Q là yếu tố ầu ra. Bài toán ặt ra là:
Nếu các yếu tố ầu vào K, L tăng gấp m lần (m > 1) thì ầu ra Q có tăng gấp m lần hay không?
• Nếu Q(mK, mL) > mQ(K, L) thì ta nói hàm sản xuất có hiệu quả tăng theo quy mô.
• Nếu Q(mK, mL) < mQ(K, L) thì ta nói hàm sản xuất có hiệu quả giảm theo quy mô.
• Nếu Q(mK, mL) = mQ(K, L) thì ta nói hàm sản xuất có hiệu quả không ổi theo quy mô.
c) Mối liên hệ giữa hiệu quả của quy mô với bậc thuần nhất Giả sử hàm sản
xuất Q = f(K, L) là hàm thuần nhất bậc k.
+) Nếu k > 1 thì hàm sản xuất có hiệu quả tăng theo quy mô.
+) Nếu k < 1 thì hàm sản xuất có hiệu quả giảm theo quy mô.
+) Nếu k = 1 thì hàm sản xuất có hiệu quả không ổi theo quy mô.
Ví dụ 1. Hàm sản xuất Q 1K 4K L0,5 0,5 L
có bậc thuần nhất bằng 1 nên nó có hiệu quả không 9 9 ổi theo quy mô.
Ví dụ 2. Hàm sản xuất: Q aK L có bậc thuần nhất nên +) Nếu
> 1 thì hàm sản xuất này có hiệu quả tăng theo quy mô. +) Nếu
< 1 thì hàm sản xuất này có hiệu quả giảm theo quy mô. +) Nếu
= 1 thì hàm sản xuất này có hiệu quả không ổi theo quy mô.
9.5. Phương trình ường ồng lượng và ường bàng quan
Cho hàm sản xuất Q aK L . Đường ồng lượng tại iểm (K L0, 0) là tập hợp các tổ hợp yếu tố sản
xuất (K L, ) cho cùng mức sản lượng Q0 , với Q0 aK L0 0 . Phương trình
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 6 lOMoAR cPSD| 49519085 aK L Q0
ược gọi là phương trình ường ồng lượng tại iểm (K L0, 0).
Cho hàm lợi ích U ax y . Đường bàng quan tại iểm (x y0, 0) là tập hợp tất cả các túi hàng (x y, ) em
lại cùng mức lợi ích U 0 , với U0 ax y 0 0 . Phương trình ax y U0
ược gọi là phương trình ường bàng quan tại iểm (x y0, 0) .
Hệ số góc (hoặc ộ dốc) của ường bàng quan tại iểm (x y0, 0) bằng: U x yx ( 0, 0)
y x y x( 0, 0) y( 0, 0) . U x y
Ý nghĩa: Tại iểm (x y0, 0) , ể lợi ích tiêu dùng không ổi thì khi tăng hàng hóa 1 lên một ơn vị thì phải
thay ổi hàng hóa 2 là y x y x( 0 , 0 ) ơn vị.
Ví dụ. Một hộ gia ình có hàm lợi ích tiêu dùng với hai loại hàng hóa như sau:
U x y( , ) 5x y0,40,4 ,
trong ó x là số ơn vị hàng hóa 1, y là số ơn vị hàng hóa 2, x 0, y 0. Tại iểm (x y0, 0) (32,32) viết
phương trình ường bàng quan, xác ịnh hệ số góc của ường ó và nêu ý nghĩa.
Giải. Tại iểm (x y0, 0) (32,32), U0 5.320,4.320,4 80 . Phương trình ường bàng quan tại iểm (x y0, 0) (32,32) là
5x y0,4 0,4 80 hay x y0,4 0,4 16.
Hệ số góc của ường bàng quan là: y x UU xy
22xx0 ,04,6yy 00,,46 xy .
Vậy, hệ số góc của ường bàng quan tại iểm (x y0, 0) (32,32) là y x(32,32) 1.
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 7 lOMoAR cPSD| 49519085
Ý nghĩa: Tại iểm (x y0, 0) (32,32), ể lợi ích tiêu dùng không ổi thì khi tăng số ơn vị hàng hóa 1 lên
một ơn vị thì phải giảm số ơn vị hàng hóa 2 xuống 1 ơn vị.
9.6. Ứng dụng ạo hàm của hàm ẩn
Định nghĩa. Xét phương trình F(x, y) = 0 (1)
ở ây hàm F(x, y) xác ịnh trên tập D1 D2. Giả sử E D1 mà mỗi x E cố ịnh phương trình (1) có ít
nhất một nghiệm y D2. Khi ó trên tập E ã xác ịnh hàm y = f(x), ặt tương ứng với mỗi x E giá trị
y là nghiệm của phương trình (1). Hàm này ược gọi là hàm ẩn xác ịnh bởi (1) trên tập E. x2 y2 1, ta ược y 3
4 x2 . Phương trình ấy xác ịnh hai hàm ẩn
Ví dụ 1. Từ phương trình 4 9 2
trong khoảng E = [-2, 2]. Trong trường hợp này, ta ã tìm ược biểu thức tường minh của y theo x. Điều
này không phải lúc nào cũng làm ược. Chẳng hạn, từ hệ thức xy = yx (x > 0, y > 0) không thể tính ược tường minh y theo x.
Định lý. Cho hàm hai biến F(x, y) xác ịnh, có các ạo hàm riêng F ,x F y liên tục, F y 0 trong một
lân cận nào ó của iểm (x0; y0) và F(x0, y0) = 0. Khi ó, phương trình F(x, y) = 0 xác ịnh duy nhất một
hàm ẩn y = f(x) trong lân cận U nào ó của iểm x0 thoả mãn y0 = f(x0). Hơn nữa, y = f(x) có ạo hàm
liên tục trong lân cận U và ' F (x,'x y) yx ' F (x,y y)
Ví dụ 2. Cho y = y(x) xác ịnh từ phương trình xey + yex = exy. Tính y .
Giải. Ta có F(x, y) = xey + yex - exy; F x = ey + yex - yexy; F y = xey + ex - xexy Vậy ' F'x ey + ye - yex xy yx ' y x xy . F y xe - e + xe
Ví dụ 3. Cho hàm cầu D = D(p, Yo) với p là giá hàng hóa, Yo là mức thu nhập và hàm cung S = S(p)
với giả thiết D'p 0;D'Y 0,S' 0. Chứng minh rằng khi thu nhập Y o
o tăng thì giá tại iểm cân bằng tăng. Giải.
Giả sử giá cân bằng p phụ thuộc vào mức thu nhập Yo là hàm ẩn p p(Y )0 xác ịnh bởi phương trình:
F(p; Yo) = D(p; Yo) – S(p) = 0. F' D' D'
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 8 lOMoAR cPSD| 49519085 Khi ó p' o FY'o
D' YoS' S' YDo 'p 0 . Suy ra hàm p p(Y )0 là hàm ồng biến. Điều ó nói Y p p
lên rằng khi thu nhập Yo tăng thì sẽ kéo theo giá tại iểm cân bằng tăng.
9.7. Hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng)
a) Định nghĩa. Cho hàm số kinh tế f(x1, x2, t), trong ó t là biến thời gian. Hệ số tăng trưởng của f,
ký hiệu là rf, ược xác ịnh bởi công thức: ft 't rf lnf . f
Thông thường, rf ược tính theo tỷ lệ %. b) Tính chất i) Cho U= U(t); V = V(t).
Nếu Y = U.V thì rY = rU + rV U Nếu Y thì rY = rU - rV V Nếu Y = U + V thì r U V Y rU rV U V U V Nếu Y = U – V thì r U V Y rU rV U V U V
ii) Cho hàm f(x1, x2) trong ó x1= x1(t); x2 = x2(t).
Khi ó hệ số tăng trưởng của f ược tính theo hệ số co giãn riêng của f theo xi ( fx ) và hệ số tăng i trưởng của biến x r i x như sau: i r f f f x1.rx1 x2.rx2 .
Ví dụ. Cho hàm sản xuất Q 20K L
; trong ó K là vốn, L là lao ộng, Q là sản lượng.
Cho biết vốn và lao ộng phụ thuộc theo t (tháng): K = 2 t; L= 3 t a)
Xác ịnh hệ số tăng trưởng của vốn và lao ộng
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 9 lOMoAR cPSD| 49519085 b)
Xác ịnh hệ số tăng trưởng của sản lượng tại to =2 Giải:
a) Hệ số tăng trưởng của vốn là: rK K' 1 K 2 8 t
Hệ số tăng trưởng của lao ộng là: rL L' 1 L 3 t
b) Hệ số tăng trưởng của sản lượng là
rQ QK .rK QL .rL 1. 1 3. 1 4 8 t 4 18 t 1 1 Tại to = 2: r 1 3 1 Q . . 4 10 4 20 16
9.8. Cực trị không iều kiện và có iều kiện của hàm kinh tế nhiều biến số
Ví dụ 1. Giả sử hàm tổng chi phí của một doanh nghiệp cạnh tranh là TC = 6Q Q QQ 2 2 1 3 2 4 1 2
và giá thị trường của hai sản phẩm lần lượt là p1 = 60, p2 = 34. Chọn cơ cấu sản xuất Q1 và Q2 ể tổng
lợi nhuận ạt giá trị lớn nhất.
Giải. Hàm tổng doanh thu là TR 60Q1 34Q2 . Hàm tổng lợi nhuận là TR TC 60Q 2 2 1 34Q2 6Q1 3Q2 4Q Q12 . Giải hệ: QQ 12
60 12 Q21 4Q12 0 , ta ược nghiệm duy nhất: Q12 43. 34 6Q 4Q 0 Q Ta có Q Q 1 1 12 a11 Q Q1 1 4;3 12 ; Q Q1 2 4a12 a21 Q Q1 2 4;3 4; Q Q 2 2 6a 22 Q Q2 2 4;3 6 . Do ó
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 10 lOMoAR cPSD| 49519085 -12 -4 D 56 0. -4 -6 Q1 4
Mặt khác a11 12 0, nên hàm tổng lợi nhuận ã cho ạt cực ại tại Q2 3.
Ví dụ 2. Giả sử doanh nghiệp ộc quyền sản xuất hai loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp TC Q12 Q Q12 Q22
Cho hàm cầu của các loại hàng hóa ó là
Q1 40 2P1 P2 ( ối với sản phẩm thứ nhất)
Q2 15 P1 P2 ( ối với sản phẩm thứ hai) Hãy
xác ịnh mức sản lượng ể ạt ược lợi nhuận tối a.
Giải. Giải hệ phương trình 40 2P1 P2 Q1 2P 1 P2 40 Q1 15 P hay 1 P2 Q2 P1 P2 15 Q2 ta ược P1 55 Q1 Q2 . P2 70 Q1 2Q2 Hàm doanh thu là TR PQ 2 2 11 P Q22 (55 Q1 Q )Q2 2Q . 1
(70 Q1 2Q )Q2 2 55Q1 70Q2 2Q Q1 2 Q1 2 Hàm lợi nhuận là TR TC 55Q 2 2 1 70Q2 3Q Q12 2Q1 3Q2 55 3Q 4Q 0 Q1 8 Giải hệ: QQ 12
70 3Q21 6Q12 0, ta ược nghiệm duy nhất là Q2 . Ta có QQ 1 1 4 a11 QQ1 1 8, 23 4, 3 QQ 1 2 3a12 a21 QQ1 2 8, 23 3,
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 11 lOMoAR cPSD| 49519085 3 Q Q 2 2 6a22 Q Q2 2 8, 23 6 . 3 Do ó 4 3 D 15 0. 3 6 Q 8
Mặt khác a11 4 0 nên hàm lợi nhuận ạt cực ại tại 1 . Q2
Giá trị tối a của của hàm lợi nhuận là * 8, 23 55.8 70.23 3.8.23 2.82 3. 23 2 1465 . 3 3 3 3 3
Ví dụ 3. Một công ty ộc quyền sản xuất một loại sản phẩm ở hai cơ sở với hàm chi phí tương ứng: TC 2 2 1
128 0,2Q ,TC1 2 156 0,1Q2 (Q1, Q2 lần lượt là lượng sản xuất của cơ sở 1, 2). Hàm cầu ngược
về sản phẩm của công ty có dạng: P = 600 – 0,1Q trong ó Q = Q1 + Q2 và Q < 6000.
a) Xác ịnh lượng sản phẩm cần sản xuất ở mỗi cơ sở ể tối a hóa lợi nhuận.
b) Tại mức sản lượng tối a hóa lợi nhuận, hãy tính ộ co giãn của cầu theo giá. Giải. a)
Bước 1. Lập hàm lợi nhuận: TR TC PQ TC TC . ( 1 2 ) 600 0,1(Q Q1 2 2 2 ) . Q Q1 2
128 0,2Q1 156 0,1Q2 600(Q Q 2 2 1
2) 0,1(Q Q1 2)2 128 0,2Q1 156 0,1Q2 = 0,3Q 2 2 1
0,2Q2 0,2QQ1 2 600Q1 600Q2 284
Bài toán ưa về tìm cực ại của hàm Tính các ạo hàm riêng: ' ' Q 1 0,6Q1 0,2Q2 600, Q 2 0,4Q2 0,2Q1 600 ''Q Q 1 1 0,6; Q Q' 1 2 Q Q' 2 1 0,2; Q Q' 2 2 0,4
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 12 lOMoAR cPSD| 49519085 Bước 2. Giải hệ QQ'' 12 00 00,,62QQ11 00,,24QQ22 600600 Q3Q Q1 1 2Q22 30003000 QQ12 6001200.
Suy ra M(600; 1200). Bước 3. Kiểm tra iều kiện ủ a '' '' 11 Q (600;1200) 0,6;a 2 22 Q 2 (600;1200) 0,4;a '' 12 a21 QQ (600;1200) 0,2 1 2 1 2 0,6 0,2 Vì ịnh thức D 0,2
0 và a11 = - 0,6 < 0 nên M là iểm cực ại của hàm số . 0,2 0,4
Bước 4. Kết luận
Mức sản lượng ể tối a hóa lợi nhuận của doanh nghiệp là: Q * * 1 600;Q2 1200
b) Tại mức sản lượng tối a lợi nhuận: Q* Q Q * * 1 2 1800.
Khi ó giá P* = 600 - 0,1.1800 = 600-180 = 420.
Ta có P = 600 – 0,1Q Q 6000 10 P Q' 10 Q * P* 10.420 ' * 7
Hệ số co giãn của cầu theo giá là: P (P ) Q (P ).P * . Q(P ) 1800 3
Ví dụ 4. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: Q K0,5 L0,5 (K – vốn, L – lao ộng; K >0, L > 0). Giả
sử giá thuê một ơn vị vốn là 6 USD, giá thuê một ơn vị lao ộng là 4 USD và giá của 1 ơn vị hàng hóa
là 2 USD. Xác ịnh mức sử dụng vốn, lao ộng ể lợi nhuận của doanh nghiệp tối a.
Giải. Ta có hàm lợi nhuận của doanh nghiệp là:
TR TC pQ (wK.K wLL) 2(K0,5 L )0,5 6K 4L. Giải hệ: K K0 ,05,5 6 0
K 361 , ta có một iểm dừng duy nhất là M o 1 ; 1 . L L 4 0 L 1 36 16 16
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 13 lOMoAR cPSD| 49519085 Mặt khác KK 0,5K 1,5 a11 KK 1 ; 1 108, 36 16 KL 0 a12 a21 KL 1 ; 1 0, 36 16 LL 0,5L 1,5 a22 LL 1 ; 1 32. 36 16 108 0 Ta có D
3456 0 và a11 < 0 nên M là iểm cực ại của hàm số . 0 32
Mức sử dụng vốn và lao ộng ể lợi nhuận của doanh nghiệp tối a là: K 1 ;L 1 . 36 16
Ví dụ 5. Cho hàm lợi ích tiêu dùng U= x0,4y0,6. Giả sử giá các mặt hàng tương ứng là 2$, 3$ và thu
nhập dành cho tiêu dùng là 130$. Xác ịnh lượng cầu ối với mỗi mặt hàng ể người tiêu dùng thu ược
lợi ích tối a. Giải.
Bước 1. Tìm cực ại hàm số U= x0,4y0,6 với iều kiện 2x + 3y = 130
Bước 2. Lập hàm số Lagrange L x0,4y0,6 (130 2x-3y) Bước 3. Giải hệ phương trình: 2x 3y 130 2x 3y 130 x 26 L' 0,6 0,6 x 2 0 0,2x 0,6 y0,6 y 26 M0 26;26 ,M 0 26;26;0,2 0,4x y L'y 0,6x0,4 y 0,4 3 0 0,2x0,4 y 0,4 0,2 Bước
4. Kiểm tra iều kiện ủ
g'x 2 g1 g (M ) x0 2; g'y 3 g2 g (M ) y 0 3
L'xx 0,24x 1,6 y0,6 L11 L'xx (M0 ) 0,24.26 1,6.260,6 0 L'xy
0,24x 0,6 y 0,4 L12 L21 L (M )'xy 0 0,24.26 0,6.26 0,4 0
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 14 lOMoAR cPSD| 49519085
L'yy 0,24x0,4 y 1,4 L22 L (M )'yy0 0,24.260,4.26 1,4 0 Từ ó ta có 0 2 3 2 2 L L11 12 , H 3 L L2122
dễ chứng minh ịnh thức 0 2 3 det(H2 ) 2 L L11 12
6L12 6L21 9L11 4L22 0 3 L L21 22
nênM (26;26)0 là iểm cực ại của hàm số.
Bước 5. Kết luận
Người tiêu dùng cần mua các mặt hàng với số lượng tương ứng là 26 và 26 ể thu ược lợi ích tối a
là U(26, 26) = 26 .260,4 0,6 26.
Ví dụ 6. Cho hàm lợi ích tiêu dùng của hộ gia ình với hai loại hàng hóa có dạng sau U(x,y)=16xy trong
ó x, y lần lượt là số sản phẩm tiêu dùng của hàng hóa thứ nhất và thứ hai. Cho giá một ơn vị sản phẩm
ứng với hai hàng hóa lần lượt là 10, 16. Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm lượng sản phẩm
tiêu dùng mỗi loại sao cho lợi ích bằng 40 với ngân sách chi tiêu là cực tiểu. Giải. Yêu cầu bài toán
ưa về bài toán: Tìm cực tiểu của hàm f(x,y) 10x 16y với iều kiện 16xy = 40.
Lập hàm Lagrange: L 10x 16y (40 16xy) . Giải hệ: 16L xxy = 1040 16 y0
xy 2 5 (vì x > 0, y > 0). L y 16 16 x 0 412 Với g(x,y) = 16xy, ta có g x 16y g1 20;g y 16x g2 32; L xx 0 L11 0;L xy 16 L12 L21 8;L yy 0 L22 0.
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 15 lOMoAR cPSD| 49519085 0 20 32 H2 20 0 8 det(H )2 10240 0. 32 8 0
Suy ra tại x 2 và y , hàm số f(x,y) 10x 16y với iều kiện 16xy = 40 ạt cực tiểu. Vậy, ể cho lợi
ích bằng 40 với ngân sách chi tiêu là cực tiểu thì người tiêu dùng phải sử dụng số sản phẩm tiêu dùng
của hàng hóa thứ nhất và thứ hai lần lượt là 2 và .
Ví dụ 7. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = K0,4L0,3. Giả sử giá thuê tư bản là 4$, giá thuê lao
ộng là 3$ và doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố ịnh là 1050$. Hãy cho biết doanh
nghiệp ó sử dụng bao nhiêu ơn vị tư bản và bao nhiêu ơn vị lao ộng thì thu ược sản lượng tối a.
Giải. Yêu cầu của bài toán tìm cực ại của hàm Q K0,4L0,3 với iều kiện 4K 3L 1050. Lập hàm Lagrange: F K0,4L0,3 (1050 4K 3L) 4K 3L 1050 K 150 Giải hệ F 0,4K 0,6L0,3 4λ 0 L 150 . K 0,3K0,4L 0,7 3λ 0
0,1.150 0,6.1500,3 0,1.150 0,3 FL Với g(K,L) 4K 3L, ta có g K 4 g1 4; g L 3 g2 3. FKK
0,24K 1,6L0,3 L11 0,24.150 1,6.1500,3 0. FKL
0,12K 0,6L 0,7 L12 L21 0,12.150 0,6.150 0,7 0 . FLL
0,21K0,4L 1,7 L22 0,21.150 .1500,4 1,7 0. 0 4 3 H2 4 L11 L12 12L12 12L21 9L11 16L22 0 3 L21 L22
hàm Q K0,4L0,3 ạt cực ại với iều kiện g(K,L) 4K 3L 1050 tại iểm K 150150. L
Vậy, doanh nghiệp ó sử dụng 150 ơn vị tư bản và 150 ơn vị lao ộng thì thu ược sản lượng tối a. Ví dụ 8. Hàm
sản xuất của doanh nghiệp có dạng Q 25K0,5 0,L 5 , trong ó Q: sản lượng, K: vốn, L: lao ộng. Cho
giá vốn pK 12, giá lao ộng pL 3. Tính mức sử dụng K, L ể sản xuất sản lượng Q Q0 1250 với chi phí nhỏ nhất.
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 16 lOMoAR cPSD| 49519085
Giải. Yêu cầu của bài toán tìm cực tiểu của hàm f(K,L) 12K 3L với iều kiện 25K0,5L0,5 1250. Lập
hàm Lagrange: F 12K 3L λ(1250 25K L ) 0,5 0,5
25K0,5L0,5 1250 K 25 0,5 0,5 0 L 100 . Giải hệ FK 12 12,5 λK L 3 12,5 λK L0,5 0,5 0 λ 12 FL 25
Với g(K,L) = 25K0,5L0,5 , ta có g K 12,5K 0,5L0,5 g1 12,5.25 0,5.1000,5 0; g L 12,5K0,5L 0,5 g2 12,5.25 .1000,5 0,5 0. FKK
6,25λK 1,5L0,5 L11 6,25. .25 1,5.1000,5 0. FKL
6,25λK 0,5L 0,5 0 L12 L21 6,25. .25 0,5.100 0,5 0. FLL
6,25λK0,5L 1,5 L22 6,25. .25 .1000,5 1,5 0. 0 g1 g2 2 1 2 ggL 12 1 2 ggL 21 2 gL H2 g1L11 L1211 g L12 22 0 0 0 g2 L21 L22 0 0
hàm f(K,L) 12K 3Lạt cực tiểu với iều kiện 25K0,5L0,5 1250 tại iểm K 25;L 100.
Vậy ể sản xuất sản lượng là 1250 với chi phí là nhỏ nhất, doanh nghiệp ó sử dụng 25 ơn vị vốn và 100 ơn vị lao ộng.
Ví dụ 9. Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào thời lượng quảng cáo trên ài phát
thanh (x: phút) và trên ài truyền hình (y: phút). Hàm doanh thu
TR = 320x – 2x2 – 3xy – 5y2 + 540y + 2000
Chi phí cho mỗi phút quảng cáo trên ài phát thanh là 1 triệu ồng, trên ài truyền hình là 4 triệu ồng.
Ngân sách chi cho quảng cáo là B =180 triệu ồng. Tìm x, y ể cực ại doanh thu.
Giải. Bước 1. Bài toán ưa về tìm cực trị có iều kiện của hàm số
TR = 320x – 2x2 – 3xy – 5y2 + 540y + 2000 với x + 4y = 180
Bước 2. Xét hàm Lagrange
L x y( , , ) 320x 2x2 3xy 5y2 540y 2000 (180 x 4 )y
Tính các ạo hàm riêng cấp 1, 2 của hàm L: L'x 320 4x 3y ,L'y 540 3x 10y 4
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 17 lOMoAR cPSD| 49519085 L'xx 4,L'xy L'yx 3,L'yy 10 x 4y 180 x 4y 180 x 52
Bước 3. Giải hệ: L'x 3y 320 y 32 0 4x L' 0 3x 10y 4540 16 y 0 1 Vậy M(52, 32, 16) det(H1) 0
1 1 0,det(H2 ) det(H) 1 Bước 4. Kiểm tra iều kiện ủ 4 g 1 4 1 g'x 1, g2 g'y 4 1 3 L'xx 4,L'xy L'yx 3,L'yy 10
Vậy doanh thu ạt cực ại tại x 52,y 32. 0 1 4 Từ ó ta có H 1 4 3 , dễ dàng suy ra 4 1 3 10
3 0 nên M là iểm cực ại của hàm số. 10
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 18