Chuyên đề công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Tài liệu gồm 28 trang, được biên soạn bởi tác giả Toán Học Sơ Đồ, tổng hợp kiến thức trọng tâm, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng bài tập tự luận & trắc nghiệm chuyên đề công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Mời bạn đọc đón xem.

128 64 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn

Môn: Toán 9

Thông tin:

28 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
1.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
CHUYÊN ĐỀ CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương trình bậc hai một ân
- Phương trình bậc hai một ẩn (hay còn gọi là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:
ax
2
+ bx + c = 0 ( a ≠ 0)
trong đó a, b, c là các so thực cho trước, x là ẩn số.
- Giải phương trình bậc hai một ẩn là đi tìm tập nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn đó.
2. thức nghiệm của phương trình bậc hai
Trường hợp 1. Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2. Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:
12
.
2a
b
xx
Trường hợp 3. Nếu A > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1,2
.
2a
b
x

3. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) với b = 2b'. Gọi biệt thức A' = b'
2
- ac.
Trường hợp 1. Nếu A' < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2. Nếu A' = 0 thì phương trình có nghiệm kép:
12
'
.
b
xx
a

Trưòmg hợp 3. Nếu ∆' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1,2
''
.
b
x
a

Chú ý: Trong trường hợp hệ số b có dạng 2b' ta nên sử dụng để giải phương trình sẽ cho lời giải ngắn
gọn hơn.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Không dùng công thức nghiệm, giải phương tri bậc hai một ẩn cho trước
Phương pháp giải: Ta có thế sử dụng một trong các cách sau:
Cách 1. Đưa phương trình đã cho về dạng tích.
Cách 2. Đưa phương trình đã cho về phương trình mà vế trái một bình phươ
ng còn vế phải là một hằng
số.
1.1. Giải các phương trình:
a) 5x
2
-7x = 0; b)-3 x
2
+ 9 = 0;
2.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
c) x
2
-6x+ 5 = 0; d) 3x
2
+ 12x + 1 = 0.
1.2. Giải các phương trình:
a)
2
360;xx
b)
2
37
0;
52
x
c) x
2
– x – 9 = 0; d) 3x
2
+ 6x + 5 = 0.
2.1.Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 4x
2
+ m
2
x + 4m = 0 có nghiệm x = 1 ?
2.2. Cho phương trình 4mx
2
- x - 10m
2
= 0. Tìm các giá trị cua tham số m để phương trình có nghiệm x =
2.
Dạng 2. Giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu
gọn:
Phương pháp giải: Sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai để
giải.
3.1. Xác định hệ số a,b,c; Tính biệt thức ∆ (hoặc ∆' nếu b = 2b') rồi tìm nghiệm của các ph
ương trình:
a) 2x
2
-3x-5 = 0; b) x
2
- 6x + 8 = 0;
c) 9x
2
- 12x + 4 = 0; d) -3x
2
+ 4x - 4 = 0.
3.2. Xác định hệ số a,b,c; Tính biệt thức A ( hoặc A'nếu b = 2b') rồi tìm nghiệm của các phương trình:
a) x
2
– x -11 = 0 b) x
2
- 4x + 4 = 0;
c) -5x
2
– 4x + 1 = 0; d) -2x
2
+ x - 3 = 0
4.1. Giải các phương trình sau:
a) x
2
+ 5x -1 = 0 b) 2x
2
-
22x
+ 1 = 0;
c)
2
3(13)10;xx
d) -3x
2
+
46x
+ 4 = 0.
4.2. Giải các phương trình sau:
a) 2x
2
+
211x
-7 = 0; b) 152x
2
- 5x +1 = 0;
c) x
2
- (2 + 3 )x + 23 = 0; d) 3x
2
- 23x + 1 = 0.
Dạng 3. Sử dụng công thức nghiệm, xác định sô nghiệm của phương trình dạng bậc hai
Phương pháp giải: Xét phương trình dạng bậc hai:
ax
2
+ bx + c = 0.
1. Phương trình có hai nghiệm kép
0
.
0
a

2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt
0
.
0
a

3. Phương trình có đúng một nghiệm
0, 0.ab
4. Phương trình vô nghiệm
0, 0, 0
.
0, 0
abc
a


3.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Chú ý: Nếu b = 2b' ta có thể thay điều kiện của ∆ tương ứng bằng ∆’.
5.1. Cho phương trình mx
2
-2(m-1)x + m-3 = 0 (m là tham số).
Tìm các giá trị của m để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt;
c) Vô nghiệm; b) Có nghiệm kép;
e) Có nghiệm. d) Có đúng một nghiệm;
5.2. Cho phương trình (m - 2)x
2
- 2(m + 1)x + m = 0 (m là tham số).
Tìm các giá trị của ra để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt; b) Có nghiệm kép;
c) Vô nghiệm; d) Có đúng một nghiệm;
e) Có nghiệm.
Dạng 4. Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai
Phương pháp giải:
* Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai theo tham số m là tìm tập nghiệm của phương trình tùy
theo sự thay đổi của m.
* Xét phương trình dạng bậc hai
ax
2
+ bx + c - 0 với ∆ = b
2
-4ac (hoặc ∆' = b'
2
- ac).
- Nếu a = 0, ta đưa vể biện luận phương trình bậc nhât.
- Nêu a ≠ 0, ta biện luận phương trình bậc hai theo A.
6.1. Giải và biện luận các phương trình sau: (ra là tham số).
a) x
2
+ (1 -m)x- ra = 0;
b) (m -3)x
2
- 2mx + m - 6 = 0.
6.2. Giải và biện luận các phương trình sau: (ra là tham số).
a) mx
2
+ (2m - 1)x + ra + 2 = 0;
b) (m - 2)x
2
- 2(m + 1)x + m = 0.
Dạng 5. Một sô bài toán liên quan đến tính có nghiệm củ phương trình bậc hai; Nghiệm chung của
các phương trìnl dạng bậc hai; Hai phương trình dạng bậc hai tương đương
Phương pháp giải:
1. Phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm
A > 0 (hoặc ∆’ ≥ 0).
2. Muốn tìm điều kiện của tham số để hai phương trình dạng bậc hai ax
2
+bx + c = 0 và a'x
2
+b'x + c' = 0
có nghiệm chung, ta làm như sau:
Bước 1. Gọi x
0
là nghiệm chung của hai phương trình. Thay x
0
vào 2 phương trình để tìm được điều kiện
của tham số.
4.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bước 2. Với giá trị của tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem 2 phương trình có nghiệm
chung hay không và kết luận.
3. Muốn tìm điều kiện của tham số để hai phương trình dạng bậc hai ax
2
+bx + c = 0 và a'x
2
+b'x + c' =
0 tương đương, ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1. Hai phương trình cùng vô nghiệm.
Trường hợp 2. Hai phương trình cùng có nghiệm. Khi đó:
- Điều kiện cần để hai phương trình tương đương là chúng có nghiệm chung. Từ đó tìm được điều kiện
của tham số.
- Điều kiện đủ với giá trị của tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem 2 phương trình tập
nghiệ
m bằng nhau hay không và kết luận.
7.1. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình b
2
x
2
- (b
2
+c
2
-a
2
)x + c
2
=0 luôn
vô nghiệm.
7.2. Gho phương trình x
2
+(a + b + c)x + (ab + bc + ca) = 0 với a, b, c là ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh phương trình trên luôn vô nghiệm.
8.1. Cho hai phương trình x
2
+ ax + b = 0 và x
2
+ cx + d = 0. Chứng minh nếu hai phương trình trên có
nghiệm chung thì:
(b - d)
2
+ ( a - c)(ad - bc) = 0.
8.2. Cho hai phương trình x
2
+ax + b = 0 và x
2
+bx + a = 0 trong đó
111
.
2ab

Chứng minh rằng có ít
nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.
9.1. Cho hai phương trình x
2
+x-m = 0 và x
2
-mx +1 = 0. Tìm các giá trị của tham số m để:
a) Hai phương trình có nghiệm chung;
b) Hai phương trình tương đương.
9.2. Cho hai phương trình x
2
-2ax + 3 = 0 và x
2
-x + a = 0, (a là tham số). Với giá trị nào của a thì:
a) Hai phương trinh trên có nghiệm chung?
b) Hai phương trình trên tương đương?
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
1.1. a) Ta có
2
570 (57)0xx xx . Tìm được
7
0;
5
x



b) Ta có
22
390 3xx
. Tìm được 3x 
c) Ta có
2
650 (1)(5)0xx xx . Tìm được

1; 5x
d) Ta biến đổi thành 3(x + 2)
2
= 11. Tìm được
633
3
x

1.2.Tương tự 1.1
5.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
a) Tìm được

23;0x . b) Vô nghiệm.
c) Tìm được
137
2
x
. d) Vô nghiệm.
2.1. Thay x = 1 vào phương trình ta có 4.1
2
+ m
2
+ 4m = 0. Tìm được m = -2.
2.2 Tương tự 2.1
Tìm được
411
5
m
3.1.
a) Ta có a = 2, b = -3, c = -5. Tính được = 49 > 0. Phương trình có hai nghiệm phân việt:
1,2
5
1;
22
b
xx
a





b) ta có a = 1, b = -6, b' = -3, c= 8. Tính được ' = 1. Ta tìm được

4; 2x
.
c) Ta có a = 9, b = -12, c = 4. Tính được = 0. Phương trình có nghiệm kép là
12
2
3
xx
.
d) Ta có a = -3, b = 4, c = -4. Tính được = -32 < 0. Phương trình vô nghiệm.
3.2. Tương tự 3.1
a) Tìm được
1,2
135
2
x
b) Tìm được x = 2.
c) Tìm được
1
1;
5
x




d) Tìm được
x 
.
4.1. Tương tự 3.1
a) Tìm được
3535
;
22
x






b) Tìm được
2
2
x
c) Tìm được
12
3
,1
3
xx
d) Tìm được
626 626
;
33
x






4.2. Tương tự 3.1., 4.1
a) Tìm được
1,2
11 5
2
x

b) Tìm được
x 
c) Tìm được

2; 3x b) Tìm được
3
3
x
5.1.Xét ' = (m - 1)
2
- m(m - 3) = m + 1
6.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
a) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi
0
0
m

Tìm được
0, 1mm
.
b) Xét
3
0230 ( )
2
mx xTM
Xét
0m
. Phương trình có nghiệm kép khi
0
1
'0
m
m


c) Tương tự, ta tìm được m < -1
d) Tìm được m = 0
e) Tìm được
1; 0mm
.
5.2. Tương tự 5.1
a) Tìm được
1
,2
4
mm

b) Tìm được
1
4
m
d) Tìm được
1
4
m
d) Tìm được m = 2
e) Tìm được m = 2 hoặc
1
4
m
.
6.1
a) Ta có
2
210, 1mm m m
*
01m
: Phương trình đã chó có nghiệm kép:
12
1
2
m
xx

*
01m 
: Phương trình đã chó có nghiệm phân biệt:
12
,1xmx
b) Với
3m 
Phương trình có dạng:
1
630
2
xx
Với
3'918mm
*
'0 2m
: Phương trình vô nghiệm.
*
'0 2m
: Phương trình có nghiệm kép:
12
3
m
xx
m

*
3
'0
2
m
m

: Phương trình có nghiệm phân biệt:
12
918
,
3
mm
x
m

6.2. Tương tự 6.1
a) Với
02mx
;
Với
0121nm
*
1
'0
12
m
: Phương trình vô nghiệm.
*
1
0
12
m
: Phương trình có nghiệm kép:
12
12
2
m
xx
m

7.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
*
0
0
1
12
m
m

: Phương trình hai có nghiệm phân biệt:
12
12 112
,
2
mm
x
m

b) Với
1
2
3
mx
;
Với
2'41:mm
*
1
'0
4
m

: Phương trình vô nghiệm.
*
1
'0
4
m

: Phương trình có nghiệm kép:
12
1
2
m
xx
m

*
0
0
1
4
m
m

: Phương trình có hai nghiệm kép:
1,2
141
2
mm
x
m

7.1. Ta có
()()()()b c ab c ab c ab c a   
. Từ đó chứng minh được
0
.
7.2. Ta có
222
222abc abbcca
Vì
2
abc a abca
. Tương tự ta có
2
babbc
và
2
ccabc
. Từ đó suy ra
0
.
8.1. Gọi
0
x là nghiệm chung của hai phương trình. Ta có:
0
()acx db
Nếu ac thì
0
db
x
ac
. Thay x
0
vào phương trình ta được ĐPCM.
Nếu a = c thì b = d ĐPCM.
8.2. Ta có
22
12
4( ).ab ab
Từ
111 1
22
ab ab
ab

.
Từ đó ta có
22 2
12
2()0ab abab
ĐPCM.
9.1. a) Gọi x
0
là nghiệm chung của hai phương trình. Ta biến đổi được (1 + m) x
0
= m +1. Tìm được m = -
1 hoặc m = 2.
b) Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Hai phương trình cùng vô nghiệm
1
2,
4
m

Trường hợp 2: JHai phương trình cùng có nghiệm và tập nghiệm giống nhau
1m
.
Vậy
1
2
4
m

thì hai phương trình tương đương.
9.2 Tương tự 9.1
a) Tìm được
a 
b) Tìm được
1
3
4
a
B.NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY
Bài 1. Cho phương trình

2
42 0xabxab
(1) (
;ab
là tham số)
8.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
a) Giải phương trình (1) với
1; 2ab
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi
;ab
Bài 2. Cho
,,,abcd
là các số thực
22
1ab
. Chứng minh rằng phương trình:


22 2 2 2
12 1 10ab x acbd xcd
luôn có hai nghiệm.
Bài 3. Cho phương trình
2
10ax bx
với
;ab
là các số hữu tỉ. Tìm
;ab
biết
53
53
x
là nghiệm
của phương trình
Bài 4. Với giá trị nào của
b
thì hai phương trình
2
2011 1102 0xbx
(1) và
2
1102 2011 0xbx
(2) có nghiệm chung.
Bài 5. Tìm số nguyên
a
để hai phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm chung
2
80xax
(1) và
2
0xxa
(2)
Bài 6. Cho hai phương trình
2
0xmxn
và
2
20xxn
. Chứng minh rằng với mọi giá trị của
m
và
n
, ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.
Bài 7. Chứng minh rằng với điều kiện

2
0
2
c
a c ab bc ac

thì phương trình:
2
0ax bx c
luôn có nghiệm
Tóm lại, phương trình luôn có nghiệm
Bài 8. Cho phương trình ẩn
x
tham số
m
:


22
21 230xmxmm
. Xác định
m
để phương
trình có hai ngiệm
12
;xx sao cho:
21
2008 2013xx
Bài 9. Chứng minh rằng phương trình:

22
110xaxb xbxa 
luôn có nghiệm với mọi giá trị của
a
và
b
HƯỚNG DẪN
Bài 1. Cho phương trình

2
42 0xabxab
(1) (
;ab
là tham số)
a) Giải phương trình (1) với
1; 2ab
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi
;ab
Lời giải
a) Với
1; 2ab
phương trình có dạng:

2
4212 20 xx x
Xét
 
22
12 4212 0

9.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
 
12
1212 1212
21
;
42 42
 
xx
b) Xét
 
22
40
 ab ab ab
với mọi
;ab
Vậy phương trình luôn có nghiệm
Bài 2. Cho
,,,abcd
là các số thực
22
1ab
. Chứng minh rằng phương trình:


22 2 2 2
12 1 10ab x acbd xcd
luôn có hai nghiệm.
Lời giải
Xét


2
22 2 2
111
 ac bd a b c d
(*)
+ Do
22 22
110ab ab
Nếu
22 22
1100cd cd
Nếu
22
1cd
. Đặt
22 2 2
1;1  uabvcd
(Điều kiện
01;01 uv
)
Xét

2
4222 4
 ac bd uv

2
22 2 2
22 4 a b u p d v ac bd uv
  
2
22 2 2
440



ac bd uv uv uv uv uv
0

. Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm
Bài 3. Cho phương trình
2
10ax bx
với
;ab
là các số hữu tỉ. Tìm
;ab
biết
53
53
x
là nghiệm
của phương trình
Lời giải
Ta có:

2
53
53
415
53
53

x
là nghiệm của phương trình nên:


2
4 15 4 15 0 31 4 1 8 15 0 abcabab
Do
a
và
b
là các số hữu tỷ nên:
31 4 1 0 1
80 8





ab a
ab b
Bài 4. Với giá trị nào của
b
thì hai phương trình
2
2011 1102 0xbx
(1) và
2
1102 2011 0xbx
(2) có nghiệm chung.
Lời giải
Gọi
0
x là nghiệm chung của hai phương trình đã cho, ta có:
10.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
22
00 00
22
00 0
2011 1102 0 1102 2011 0
1102 2011 0 909 909

 





xbx xbx
xbx x


2
00
0
1102 2011 0 1
12


xbx
x
Với
0
1x thay vào phương trình (1) ta được
3113b
Với
0
1x thay vào phương trình (1) ta được
3113b
Thử lại:
Với
3113b
, thì phương trình (1) là
2
2011 3113 1102 0xx
có nghiệm
1102
1;
2011
xx
và
phương trình (2) là
2
1102 3113 2011 0xx
có nghiệm là
2011
1;
1102
xx
, nghiệm chung là
1x
Với
3113b
, thì phương trình (1) là
2
2011 3113 1102 0xx
có nghiệm
1102
1;
2011
 xx
và
phương trình (2) là
2
1102 3113 2011 0xx
có nghiệm là
2011
1;
1102
 xx
, nghiệm chung là
1x
Vậy với
3113b
thì hai phương trình đã cho có nghiệm chung
Bài 5. Tìm số nguyên
a
để hai phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm chung
2
80xax
(1) và
2
0xxa
(2)
Lời giải
Đặt
0
x là nghiệm chung của ai phương trình, ta có:


2
00
2
00
801
02


xax
xxa
, ta có:
Từ phương trình (1) và (2) trừ từng vế ta được:
 
00
1. 8 0 1. 8ax a axa
(*)
Với
10 1 aa
thì từ (*) không tồn tại
0
x nên điều kiện
1a
Từ phương trình (*) ta có:
0
8
1
a
x
a
thay vào phương trình (2) ta được:


2
3
2
8
8
024720
1
1

a
a
aaa
a
a


2
66120 aaa
(**)
Ta có:

2
2
12 3 3 0 aa a
nên (**)
60 6aa
Với
6a
thì phương trình (1) là
2
680xx
có nghiệm
12
2; 4xx
11.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Phương trình (2) là
2
60xx
có nghiệm
12
2; 3xx nên hai phương trình có nghiệm chung
2x
Vậy với
6a
thì hai phương trình có nghiệm chung là
2x
Bài 6. Cho hai phương trình
2
0xmxn
và
2
20xxn
. Chứng minh rằng với mọi giá trị của
m
và
n
, ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.
Lời giải
Phương trình
2
0xmxn
có
2
1
4 mn
Phương trình
2
20xxn
có
2
44 n
Suy ra:
2
12
40 m
với mọi
,mn
. Do đó trong hai số
12
, luôn có ít nhất một
không âm.
Hay nói cách khác trong hai phương trình đã cho luôn có ít nhất một phương trình có nghiệm
Bài 7. Chứng minh rằng với điều kiện

2
0
2
c
a c ab bc ac

thì phương trình:
2
0ax bx c
luôn có nghiệm
Lời giải
Xét các trường hợp sau:
Nếu
0; 0ab
thì phương trình luôn có nghiệm duy nhất

c
x
b
Nếu
0; 0ab
thì
2
0c
vô lí
Nếu
0a
từ
 
22
22  a c ab bc ac ac a c b a c
Xét
  
222
22
42 2 0 bacb ac bacacb ac
Vậy
0
, phương trình luôn có hai nghiệm
Tóm lại, phương trình luôn có nghiệm
Bài 8. Cho phương trình ẩn
x
tham số
m
:


22
21 230xmxmm
. Xác định
m
để phương
trình có hai ngiệm
12
;xx sao cho:
21
2008 2013xx
Lời giải
Ta có:


2
2
1234
 mmm
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
12
3; 1 xm xm
Phương trình có hai nghiệm:
1
21
2
3 2013
2008 2013 2009 2010
1 2008



xm
xx m
xm
12.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bài 9. Chứng minh rằng phương trình:

22
110xaxb xbxa 
luôn có nghiệm với mọi giá trị của
a
và
b
Lời giải



2
22
2
101
110
102



xaxb
xaxb xbxa
xbxa
Ta có
22
12
44; 44 ab ba
Suy ra

22
12
220 ab
với mọi
;ab
do đó có ít nhất một trong hai giá trị
12
; không
âm. Vậy phương trình ban đầu luôn có nghiệm với mọi giá trị của
a
và
b
C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ
Câu 1. Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn?
A.
2
10xx-+=
. B.
2
220180x -=
. C.
1
40x
x
+-=. D.
210x -=
.
Câu 2. Cho phương trình
2
0( 0)ax bx c a++= ¹
có biệt thức
2
4bacD= -
. Phương trình đã cho vô
nghiệm khi:
A.
0D<
. B.
0D=
. C.
0D³
. D.
0D£
.
Câu 3. Cho phương trình
2
0( 0)ax bx c a++= ¹
có biệt thức
2
40bacD =- >
, khi đó phương trình
đã cho:
A. vô nghiệm. B. có nghiệm kép. C. có hai nghiệm phân biệt. D. có 1 nghiệm.
Câu 4. Cho phương trình
2
0( 0)ax bx c a++= ¹
có biệt thức
2
40bacD =- >
, khi đó phương trình
đã cho có hai nghiệm là:
A.
12
2
b
xx
a
==-. B.
12
;
22
bb
xx
aa
DD+-
==.
C.
12
;
22
bb
xx
aa
DD-+ --
==. D.
12
;
bb
xx
aa
DD-+ --
==.
Câu 5. . Cho phương trình
2
0( 0)ax bx c a++= ¹
có biệt thức
2
40bacD =- =
, khi đó phương
trình đã cho có hai nghiệm là:
A.
12
2
b
xx
a
== . B.
12
;
22
bb
xx
aa
=- = .
C.
12
;
22
bb
xx
aa
DD-+ --
==. D.
12
2
b
xx
a
-
== .
Câu 6. Không dùng công thức nghiệm, tính tổng các nghiệm của phương trình
2
670xx-=
.
13.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
A.
7
6
- . B.
7
6
. C.
6
7
. D.
6
7
- .
Câu 7. Không dùng công thức nghiệm, tính tổng các nghiệm của phương trình
2
490x-+=
.
A. 0 . B.
1
. C.
3
. D.
2
.
Câu 8. Tìm tích các giá trị của
m
để phương trình
22
4140mx x m-- =
có nghiệm
2x =
.
A.
1
7
. B.
2
7
. C.
6
7
. D.
8
7
.
Câu 9. Tìm tổng các giá trị của
m
để phương trình
22
(2)( 1)3 0mxm xm--++=
có nghiệm
3
x
=-
.
A. 5- . B.
4-
. C.
4
. D.
6
.
Câu 10. Tính biệt thức
D
từ đó tìm nghiệm của phương trình
2
91530xx-+=
.
A.
117D =
và phương trình có nghiệm kép.
B.
117D =-
và phương trình vô nghiệm.
C.
117D =
và phương trình có hai nghiệm phân biệt.
D.
117D =-
và phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Câu 11. Tính biệt thức
D
từ đó tìm nghiệm (nếu có) của phương trình
2
22 2 0xx-+=
.
A.
0D =
và phương trình có nghiệm kép
12
2xx==
.
B.
0D<
và phương trình vô nghiệm.
C.
0D =
và phương trình có nghiệm kép
12
2xx==-
.
D.
0D>
và phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
2; 2xx=- =
.
Câu 12. Tính biệt thức
D
từ đó tìm nghiệm (nếu có) của phương trình
()
2
33110xx+--=
.
A.
0D>
và phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
3
1;
3
xx
-
== .
B.
0D<
và phương trình vô nghiệm.
C.
0D =
và phương trình có nghiệm kép
12
3xx==-
.
D.
0D>
và phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
3
;1
3
xx==-.
Câu 13. Tìm điều kiện của tham số
m
để phương trình
22
20xmxmm-+ - - =
có hai nghiệm phân
biệt.
A.
0m ³
. B.
0m =
. C.
0m >
. D.
0m <
.
14.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Câu 14. Tìm điều kiện của tham số
m
để phương trình
22
2( 2) 3 5 0xmxmm--+-+=
có hai nghiệm
phân biệt.
A.
1m <-
. B.
1
m
=-
. C.
1m >-
. D.
1m £-
.
Câu 15. Tìm các giá trị của tham số
m
để phương trình
2
0xmxm+-=
có nghiệm kép.
A.
0; 4mm==-
. B.
0m =
. C.
4m =-
. D.
0; 4mm==
.
Câu 16. Tìm các giá trị của tham số
m
để phương trình
2
(3 ) 6 0xmxm+- -+=
có nghiệm kép.
A.
3; 5mm==-
. B.
3m =-
. C.
5; 3mm==-
. D.
5m =
.
Câu 17. Tìm điều kiện của tham số
m
để phương trình
2
(1 ) 3 0xmx+- -=
vô nghiệm.
A. 0m = . B. Không tồn tại
m
. C.
1m =-
. D.
1m =
.
Câu 18. Tìm điều kiện của tham số
m
để phương trình
2
25 10xxm++-=
vô nghiệm.
A.
8
33
m > . B. Không tồn tại
m
. C.
33
8
m < . D.
33
8
m > .
Câu 19. Tìm điều kiện của tham số
m
để phương trình
2
(2)2 0mx xm+++=
vô nghiệm.
A.
12
12
m
m
é
³+
ê
ê
ê
£-
ë
.B.
12
12
m
m
é
>- +
ê
ê
ê
<- -
ë
.C.
12 12m-££+
.D.
12 12m-<<+
.
Câu 20. Tìm điều kiện của tham số
m
để phương trình
2
2( 2) 5 0mx m x m--++=
vô nghiệm.
A.
8
19
m > . B.
19
8
m > . C.
19
8
m = . D.
9
18
m < .
Câu 21. Tìm điều kiện của tham số
m
để phương trình
2
2( 1) 3 0mx m x m--+-=
có nghiệm.
A.
1m ³
. B.
1m >
. C.
1m ³-
. D.
1m £-
.
Câu 22. Tìm điều kiện của tham số
m
để phương trình
2
2( 1) 1 0mx m x+++=
có nghiệm.
A. 0m ¹ . B.
0m <
. C.
0m >
. D.
m Î
.
Câu 23. Cho phương trình
2
(1) 0xmxm---=
. Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Phương trình vô nghiệm với mọi
m
. B. Phương trình có nghiệm kép với mọi
m
.
C. Phương trình hai nghiệm phân biệt với mọi
m
. D. Phương trình có nghiệm với mọi
m
.
Câu 24. Biết rằng phương trình
22
() 2(3 2) 2 3 10 0xmxmm-++--=
có một trong các nghiệm bằng
1-
. Tìm nghiệm còn lại với
0m >
.
A.
11x =
. B.
11x =-
. C.
10x =
. D.
10x =-
.
Câu 25. Biết rằng phương trình
2
4( 1) 4 8 0mx m x m--++=
có một trong các nghiệm bằng
3
. Tìm
nghiệm còn lại của phương trình.
15.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
A.
6
5
x =- . B.
3
x
=-
. C.
5
6
x = . D.
6
5
x = .
Câu 26. Tìm
m
để hai phương trình
2
10xx++=
và
2
0xxm++ =
có ít nhất một nghiệm chung.
A.
1
. B.
2
. C.
1-
. D.
2-
.
Câu 27. Tìm
m
để hai phương trình
2
20xmx++=
và
2
20xxm++=
có ít nhất một nghiệm chung.
A.
1
. B.
3-
. C.
1-
. D.
3
.
Câu 28. Cho hai phương trình
2
13 2 0 (1)xxm-+=
và
2
40(2)xxm-+=
. Xác định
m
để một
nghiệm phương trình
(1)
gấp đôi
1
nghiệm phương trình
(2)
.
A.
45-
. B. 5- . C. 0 và 5- . D. Đáp án khác.
HƯỚNG DẪN
Câu 1. Đáp án B.
Phương trình bậc hai một ẩn ( hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:
2
0( 0)ax bx c a++= ¹
trong đó
,,abc
là các số thực cho trước,
x
là ẩn số.
Câu 2. Đáp án A.
Xét phương trình bậc hai một ẩn
2
0( 0)ax bx c a++= ¹
và biệt thức
2
4bacD =-
.
TH1. Nếu
0D <
thì phương trình vô nghiệm.
TH2. Nếu
0D =
thì phương trình có nghiệm kép
12
2
b
xx
a
==-
TH3. Nếu
0D >
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1,2
2
b
x
a
D-
= .
Câu 3. Đáp án C.
Xét phương trình bậc hai một ẩn
2
0( 0)ax bx c a++= ¹
và biệt thức
2
4bacD =-
.
TH1. Nếu
0D <
thì phương trình vô nghiệm.
TH2. Nếu
0D =
thì phương trình có nghiệm kép
12
2
b
xx
a
==-
TH3. Nếu
0D >
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1,2
2
b
x
a
D-
=
Câu 4. Đáp án C.
Xét phương trình bậc hai một ẩn
2
0( 0)ax bx c a++= ¹
và biệt thức
2
4bacD =-
.
TH1. Nếu
0D <
thì phương trình vô nghiệm.
16.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
TH2. Nếu
0D =
thì phương trình có nghiệm kép
12
2
b
xx
a
==-
TH3. Nếu
0D >
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1,2
2
b
x
a
D-
=
Câu 5. Đáp án D.
Xét phương trình bậc hai một ẩn
2
0( 0)ax bx c a++= ¹
và biệt thức
2
4bacD =-
.
TH1. Nếu
0D <
thì phương trình vô nghiệm.
TH2. Nếu
0D =
thì phương trình có nghiệm kép
12
2
b
xx
a
==-
TH3. Nếu
0D >
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1,2
2
b
x
a
D-
=
Câu 6. Đáp án B.
Ta có
2
0
670 7
6
)0
7
(6
x
xx xx
x
é
=
ê
ê
-= -=
ê
=
ê
ë
Nên tổng các nghiệm của phương trình là
77
0
66
+=.
Câu 7. Đáp án D.
Ta có
2
490x-+=
22
3
9
2
49
3
4
2
x
xx
x
é
ê
=
ê
==
ê
ê
=-
ê
ë
Phương trình có hai nghiệm
33
;
22
xx==-.
Câu 8. Đáp án A.
Thay
2x =
vào phương trình
22
4140mx x m-- =
, ta có
é
ê
=
ê
-- = - += - -=
ê
=
ê
ë
22 2
1
4.2214 014 16 20(14 2)( 1)0
7
1
m
mmmm mm
m
.
Suy ra tích các giá trị của
m
là
11
.1
77
= .
Câu 9. Đáp án B.
Thay
3
x
=-
vào phương trình
22
(2)( 1)3 0mxm xm--++=
, ta có
22
( 2)( 3) ( 1)( 3) 3 0mm m--- +-+ =
17.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
22
22
9 183 33 03 12 150
450 550
(1)5(1)0(1)(5)0
1
5
mmmmm
mm mmm
mm m m m
m
m
-+ ++= + -=
+-=-+-=
-+-=-+=
é
=
ê
ê
=-
ê
ë
Suy ra tổng các giá trị của
m
là
(5) 1 4-+=-
.
Câu 10. Đáp án C.
Ta có
-+===- =
2
9 15 3 0( 9; 15; 3)xx ab c
D
=- =- - = >
22
4 ( 15) 4.9.3 117 0bac
.
nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Câu 11. Đáp án A.
Ta có
-+===- =
2
22 2 0( 1; 22; 2)xx ab c
()
D=- = - =
2
2
4 2 2 4.1.2 0bac
nên phương trình có nghiệm kép
12
22
2
22
b
xx
a
==-= = .
Câu 12. Đáp án D.
Ta có
() ()
+--== =-=-
2
331103;31;1xxabc
()
()
()
D=- = - - -
=- + =+ = + >
2
2
2
4314.3.1
423 43 423 31 0
bac
suy ra
31D =+
nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
1
2
13 31 3
23
23
13 31
1
2
23
b
x
a
b
x
a
D
D
-+ - + +
== =
-- ---
== =-
Câu 13. Đáp án D.
Phương trình
-+ - - =
22
20xmxmm
=- = =- -
2
(1;2; )abmcmm
.
2222
(2 ) 4.( 1).( ) 4 4 4 4m mm mmm mD= ---- = - - =-
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì
010
0
040
a
m
m
ìì
ïï
¹-¹
ïï
<
íí
ïï
D> - >
ïï
îî
.
18.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Vậy với
0m <
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Câu 14. Đáp án A.
Phương trình
--+-+=
22
2( 2) 3 5 0xmxmm
D
==- - =-+
éù
=- - - - +
êú
ëû
=-+-+-=--
2
2
2
22
(1; 2( 2); 3 5)
2( 2) 4.1.( 3 5)
4 16 16 4 12 20 4 4
ab m cmm
mmm
mm mm m
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì
010
1
0440
a
m
m
ìì
ïï
¹¹
ïï
<-
íí
ïï
D> - - >
ïï
îî
Vậy với
1m <-
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Câu 15. Đáp án A.
Phương trình
+-=== =-
2
0( 1; ; )xmxm a bmc m
D= - -= +
22
4.1.( ) 4mmmm
Để phương trình đã cho có nghiệm kép thì
2
10
00
04
40
am
m
mm
ì
ìé
ï
ï
¹
¹=
ï
ï
ï
ê

íí
ê
ïï
D= =-
+=
ê
ïï
îë
ï
î
Vậy với
0; 4mm==-
thì phương trình có nghiệm kép.
Câu 16. Đáp án C.
Phương trình:
2
(3 ) 6 0xmxm+- -+=
, có:
1; 3 ; 6ab mcm==- =-+
.
Ta có
2
(3 ) 4.1.( 6)mmD= - - - +
22
69424 215mm m mm=-++-=--
.
Để phương trình đã cho có nghiệm kép thì
2
2
10
0
2150
0
2150
a
mm
mm
ì
ì
ï
ï
¹
¹
ï
ï
ï
--=
íí
ïï
D=
--=
ïï
î
ï
î
(*).
Phương trình (*) có
2
( 2) 4.1.( 15) 64 0 8
m
m
D=- - - = > D=
nên có hai nghiệm phân
biệt
12
28 28
5; 3
22
mm
+-
====-
Vậy với
5; 3mm==-
thì phương trình có nghiệm kép.
Câu 17. Đáp án B.
Phương trình
+- -= = =- =-
2
(1 ) 3 0( 1; 1 ; 3)xmx abmc
D"
=- - -=- +³>
22
(1 ) 4.1.( 3) (1 ) 12 12 0;mmm
.
Nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay không có giá trị nào của
m
để phương trình vô nghiệm.
Câu 18. Đáp án D.
Phương trình
2
25 10(2;5; 1)xxm abcm++-= = = =-
19.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
2
54.2( 1)258 8338mmm
D
=- -=- +=-
Để phương trình đã cho vô nghiệm thì
()020
33
03380
8
ald
m
m
ìì
ïï
¹¹
ïï
>
íí
ïï
D< - <
ïï
îî
Với
33
8
m > thì phương trình vô nghiệm.
Câu 19. Đáp án B.
Phương trình
2
( 2) 2 0( 2; 2; )mx xm ambcm+++==+==
TH1:
20 2mm+= =-
ta có
phương trình:
220 1xx-= =
TH2:
20 2mm+¹ ¹-
Ta có
22
24( 2). 4 8 4mm mmD =- + =- - +
Để phương trình đã cho vô nghiệm thì
222
()
222
48402 10 12()
mmm
mm m m
ììì
ïïï
¹- ¹- ¹-
ïïï
ïïï

ííí
ïïï
--+< -+< +>
ïïï
ïïï
îîî
2
12
12
12
12
m
m
m
m
m
ì
ï
¹-
ï
é
ï
>- +
ï
ê
é
ï
+>
í
ê
ê
ï
ê
ê
<- -
ï
ë
ï
ê
+<-
ï
ë
ï
î
Câu 20. Đáp án A.
Phương trình
--++=
2
2( 2) 5 0mx m x m
==--=+(;2(2); 5)amb m cm
.
TH1: 0m = ta có phương trình:
5
450
4
xx
-
+= =
TH2:
0m ¹
. Ta có
2
2 ( 2) 4 ( 5) 36 16mmm mD
éù
=- - - + =- +
êú
ëû
Để phương trình đã cho vô nghiệm thì
0
00
8
8
36 16 0 36 16
19
19
m
mm
m
mm
m
ì
ï
¹
ìì
ï
ïï
¹¹
ï
ïï
ï
>
ííí
ïïï
-+< >
>
ïïï
îî
ï
ï
î
Vậy với
8
19
m > thì phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu 21. Đáp án C.
Phương trình
--+-=
2
2( 1) 3 0mx m x m
==--=-(;2(1); 3)amb m cm
.
TH1: 0m = ta có phương trình TH2: 0m ¹ , ta có
20.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
2
4( 1 ) 4 .( 3) 4 4mmmmD =-- -=+
Để phương trình đã cho có nghiệm thì
04 40 1mmD ³ +³ ³-
Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thì 1m ³- .
Câu 22. Đáp án D.
Phương trình
2
2( 1) 1 0mx m x+++=
TH1: 0m = ta có phương trình
1
210
2
xx+= =- nên nhận 0m = (1)
TH2:
0m ¹
, ta có
2
4( 1 ) 4 .1mmD =+-
22 2
4444413(21)3mm mm m=++=+++=++
Để phương trình đã cho có nghiệm thì
22
0(2 1)30(2 1) 3mmD ³ + +³ + ³-
(luôn đúng với
mọi
m
) (2)
Từ (1) và (2) ta thấy phương trình đã cho có nghiệm với mọi
m Î
.
Câu 23. Đáp án D.
Phương trình
---=
2
(1) 0xmxm
==-- =-1; ( 1);ab m cm
.
Suy ra
D"
éù
=- - - - = + + = + ³
êú
ëû
2
22
( 1) 4.1.( ) 2 1 ( 1) 0,mmmmmm
Nên phương trình đã cho có nghiệm với mọi
m
.
Câu 24. Đáp án A.
Thay
1
x
=-
vào phương trình:
-- + -+ - -=
22
(1) 2(3 2).(1) 2 3 10 0mmm
ì
ï
ï
=-
ï
ï
+-=+ -=
í
ï
ï
=
ï
ï
î
2
()
5
235025 10()()
()
2
1
mL
mm m m
mN
.
+) Với
1m =
ta có phương trình
2
11
10 11 0 11 1 0
1
()()
x
xx x x
x
é
=
ê
- - = - +=
ê
=-
ê
ë
Vậy nghiệm còn lại của phương trình là
11
x
=
.
Câu 25. Đáp án D.
Thay
3x =
vào phương trình:
2
.3 4( 1).3 4 8 0 20mm m m--++==-
Với
20m =-
ta có phương trình
22
20 84 72 0 5 21 18 0xx xx- + -= - +=
Phương trình trên có
2
( 21) 4.5.18 81 0 9DD=- - = > =
nên có hai nghiệm phân
21 9
3
2.5
21 9 6
2.5 5
x
x
é
+
ê
==
ê
ê
-
ê
==
ê
ë
21.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Vậy nghiệm còn lại của phương trình là
6
5
x = .
Câu 26. Đáp án D.
Gọi
0
x
là nghiệm chung của hai phương trình thì
0
x
phải thỏa mãn hai phương trình trên.
Thay
0
xx=
vào hai phương trình trên ta được
2
00
2
00
10
0
xmx
xxm
ì
ï
++=
ï
ï
í
ï
++=
ï
ï
î
00
(1)1 0(1)(1)0()mx m m x- +-=- -=*
Xét phương trình (*)
+) Nếu
1m =
thì 00= (luôn đúng) hay hai phương trình trùng nhau.
Lúc này phương trình
2
10xx++=
vô nghiệm nên cả hai phương trình đều vô nghiệm.
Vậy
1m =
không thỏa mãn.
+) Nếu
1m ¹
thì
0
1x =
.
Thay
0
1x =
vào phương trình
2
00
10xmx++= ta được
2m =-
.
Vậy
2m =-
thì hai phương trình có nghiệm chung.
Câu 27. Đáp án B.
Gọi
0
x
là nghiệm chung của hai phương trình thì
0
x
phải thỏa mãn hai phương trình trên.
Thay
0
xx=
vào hai phương trình trên ta được
2
00
2
00
20
20
xmx
xxm
ì
ï
++=
ï
ï
í
ï
++=
ï
ï
î
00
(2)2 0(2)(1)0mx m m x- +-=- -=
+) Nếu
2m =
thì 00= (luôn đúng) hay hai phương trình trùng nhau.
Lúc này phương trình
22
220(1) 1xx x++=+ =-
vô nghiệm nên cả hai phương trình đều vô
nghiệm.
Vậy
2m =
không thỏa mãn.
+) Nếu
2m ¹
thì
0
1x =
.
Thay
0
1x =
vào phương trình
2
00
20xmx++= ta được
120 3mm++= =-
.
Vậy
3m =-
thì hai phương trình có nghiệm chung.
Câu 28. Đáp án A.
Gọi nghiệm phương trình (2) là
00
(0)xx¹
thì nghiệm phương trình (1) là
0
2x
.
22.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Thay
00
,2xx
lần lượt vào phương trình (2) và (1) ta
được
22
00 00
22
00 00
213.22042620
40
(
0
)
4
xxm xxm
xxm xxm
ì
ï
ï
ï
í
ï
ï
ì
ï
-+= -+=
ï
ï
í
ï
-+= -+
ï
î
=
ï
ï
î
2
00
2
00
00
42620
10 2
41640
5
xxm
m
xmx
xxm
ì
ï
-+=
ï
ï
=-=-
í
ï
-+=
ï
ï
î
Do
0
0x ¹
nên
0m ¹
.
Thay
0
5
m
x =- vào phương trình (2) ta được
2
4. 0
55
mm
m
æö æö
÷÷
çç
÷÷
---+=
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
èø èø
22
0
49
00
45
25 5 25 5
m
mm mm
m
m
é
=
ê
++=+=
ê
=-
ê
ë
Kết hợp 0m ¹ ta được
45
m
=-
.
D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1: Đưa các phương trình sau về dạng
2
ax bx c 0
và chỉ rõ các hệ số
a,b,c.
a.
2
2x 2x 5 x
b.
2
x2xmxm
, m là một hằng số
c.

2
2x 2 3x 1 1 2
Bài 2: Lập phương trình bậc hai có các hệ số là các số hữu tỉ có một nghiệm là
21
. Xác định các hệ
số của phương trình
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a.
2
x50
b.
2
x3x0
c.
2
2x 3 0
Bài 4: Biến đổi vế trái thành tích, rồi giải các phương trình sau:
a.
2
2x 5x 3 0
b.
2
xx120
c.

2
2
x3x1 0
Bài 5: Giải các phương trình sau bằng cách đưa về dạng

2
a. x m m
a.
2
x6x160
b.
2
2x 6x 1 0
23.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bài 6: Đưa các phương trình sau về dạng
2
ax bx c 0
và chỉ rõ hệ số a,b,c
a.
2
3x 5x 7 2x
b.
22
2x m 2(m 1)x , m là một hằng số
Bài 7: Giải phương trình :
2
x5x60
Bài 8: Khi giải phương trình
2
3x 6 0
, bạn Bảo trình bày như sau
222
3x 6 0 3x 6 x 2 x 2   
. Vô lí
Vậy phương trình vô nghiệm.Theo em , trong cách trình bày của bạn Bảo có chỗ nào cần sửa, và nên sử
như thế nào?
Bài 9 : Giải phương trình
2
3x 18x 12 0
bằng cách biến đổi thành những phương trình mà vế trái là
một bình phương , còn vế phải là một hằng số
Bài 10: Cho phương trình
2
ax c 0
, với a khác 0, với điều kiện kiện nào của a và c thì phương trình có
nghiệm
Bài 11 : Giải phương trình
2
35
xx0
24

Bài 12: Cho phương trình

22
2x 1 x 2 0
. Viết phương trình dưới dạng
2
ax bx c 0
. Tính
giá trị
222
abc
.
Bài 13: Cho
3
là một nghiệm của phương trình

2
ax bx c 0 a 0;a, b, c
. Tìm nghiệm còn lại.
Bài 14: Nhận thấy rằng phương trình tích

x1x 2 0
hay phương trình bậc hai
2
x3x20
có
hai nghiệm
12
x1;x 2
. Tương tự hãy lập những phương trình bậc hai mà nghiệm mỗi phương trình là
một trong những cặp số sau:
a.
12
x2;x5
b.
12
1
x;x3
2

c.
12
x1 2;x 1 2 
Bài 15 : Biết rằng
x1 2
là một nghiệm của phương trình
2
x2x3a
. Tính a.
Bài 16: Tìm
a,b,c
để phương trình
2
ax bx c 0
có hai nghiệm
12
x2;x3
.
Có thể tìm được bao nhiêu bộ ba số
a,b,c
thỏa mãn yêu cầu bài toán?
Bài 17: Biết rằng phương trình
2
3x 4x mx 0
có nghiệm nguyên dương bé hơn 3. Tìm m
Bài 18: Cho phương trình

22
m1x m0
. Với giá trị nào của m thí phương trình có nghiệm
Bài 19: Với giá trị nào của m thì phương trình

2
m1x 2x 0
có hai nghiệm phân biệt
Bài 20:Phương trình bậc hai
2
ax bx c 0
có thể có nghiệp kép được không ? Khi nào thì điều đó xảy
24.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
ra?
Bài 21 :Cho a,b,c là các số thực có tổng khác 0.Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm
a(x a)(x c) b(x c)(x a)(x b) 0
(1)
Bài 22: Cho a,b,c thão mãn 3a + 4b +6c = 0 .Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm
2
f(x) ax bx c 0
Bài 23: Cho các số thực dương m,n ,p thỏa mãn
2
mn;mpnvà
abc
0
mnp
. Chứng minh rằng
phương trình
2
f(x) ax bx c 0
có nghiệm

x0;1
HƯỚNG DẪN
Bài 1:
a.
22
2x 2x 5 x 2x 3x 5 0: a 2;b 3;c 5
b.

22
x2xmxm x 2mxm0:a1;b2m;c m 
c.

22
2x 23x 1 1 2 2x 32x 22 1 0:a 2;b 32;c 22 1
Bài 2: Gọi phương trình bậc hai phải tìm là
2
ax bx c 0
có nghiệm
x21


2
a21 b21c0 3abc 22ab 0
Vì
a,b,c ; 2 I
nên
3a b c 0 b 2a
2a b 0 c a





Thay vào phương trình ta được:
22
ax 2axa 0 x 2x10
Vậy hệ số
a1;b 2;c 1
Bài 3:
a.
2
12
x5
x50 x 5;x 5
x5


b.

2
12
x0
x3x0 xx30 x0;x 3
x3

c.
2
2x 3 0
Ta có:
22
2x 0 2x 3 0
Vậy phương trình vô nghiệm
Bài 4:
a.
22
2x 5x 3 0 2x 2x 3x 3 0 

x1
x12x3 0
3
x
2



25.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
3
S1;
2




b.
22
x x 12 0 x 3x 4x 12 0

x3
x3x4 0
x4


Vậy tập nghiệm của phương trình là:

S3;4
c.
 
2
2
22
x3x1 0 x 3x1 0






x1 3 1 0
x3.x1x3.x10
x1 3 1 0



Vậy tập nghiệm của phương trình là:
11
S;
31 31




Bài 5:
a.
222
x6x160 x6x16 x6x9169

2
x35
x3 25
x3 5



Vậy tập nghiệm của phương trình là:

S8;2
b.
222
1
2x 6x 1 0 2x 6x 1 x 3x
2

2
2
37
x
991 3 7
22
x3x x
442 2 4
37
x
22






Vậy tập nghiệm của phương trình là:
3737
S;
22






Bài 6:
a.
22
3x 5x 7 2x 3x 7x 7 0 

a3;b7;c 7
b.
22 2 2
2x m 2(m 1)x 2x 2(m 1)x m 0   (
2
a2;b2(m1);cm )
Bài 7:
22
x 5x60 x 2x3x60 x(x2)3(x2)0 (x2)(x3)0   
x20
hoặc
x30 x2
hoặc
x3
26.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bài 8: Cách trình bày của Bảo có một chỗ chưa hợp lí đó là
x2
, vì không tồn tại căn bậc hai của
số
2
Có hai cách trình bày :
Cách 1:
222
3x 6 0 3x 6 x 2
( khẳng định sai ) vậy phương trình vô nghiệm
Cách 2: Vì
2
3x 0
nên
2
3x 6 6
. Không thõa mãn
2
3x 6 0
, vậy phương trình vô nghiệm
Bài 9:

222
2
2
3x 18x 12 0 3x 18x 12 x 6x 4
x 2.3x9 49 x3 5
x3 5 x 3 5



Bài 10:
222
c
ax c 0 ax c x
a

.
Vì
2
x0
nên muốn cho phương trình có nghiệm thì
c
0
a
Vậy điều kiện để phương trình
2
ax c 0
có nghiệm là
c0
hoặc a và c trái dấu
Bài 11:
2
35 35
xx0xx 0x0
24 24




hoặc
5
x
6
Bài 12:
Ta có:

22
2
2x 1 x 2 0 3x 8x 3 0
Nên

2
22222
abc38 3 82
Bài 13:
Ta có
3
là nghiệm của phương trình
2
ax bx c 0
nên:
3.a 3.b c 0
mà
a,b,c
b0 c 3a
Thay vào phương trình ta được:
2
x3
x30
x3


Bài 14:
a. Hai số 2 và 5 là nghiệm của phương trình:

2
x2x5 0 x 7x120
b. Hai số
1
2
và 3 là nghiệm của phương trình:

2
1
xx302x5x30
2




c. Hai số
12
và
12
là nghiệm của phương trình:
27.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com

2
x1 2 x1 2 0 x 2x10

 

Bài 15: Thay
x1 2
vào phương trình

2
a1 2 21 234
Bài 16:
x2
là nghiệm của phương trình
2
ax bx c 0
ta có:
4a 2b c 0
x3
là nghiệm của phương trình
2
ax bx c 0
ta có:
9a 3b c 0
Khi đó bộ số
a,b,c
là nghiệm của hệ phương trình:

4a 2b c 0
9a 3b c 0
ba
5a 5b 0 b a
4a 2 a c 0
4a 2b c 0 c 6a










Do đó với mọi
a0
ta có:
a
ba
c6a


suy ra

22
ax ax 6a 0 a x x 6 0
Với
a1
ta có phương trình:
2
xx60
Với
a1
ta có phương trình:
2
2x 2x 12 0
Vậy có vô số bộ số
a,b,c
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 17:
Ta có:

x0
x3x 4 m 0
4m
x
3

Để phương trình có nghiệm nguyên dương bé hơn 3 thì:
4m
1
m1
3
4m m 2
2
3

Bài 18:
 
22 22
m1x m0 m1x m
. Vì

22
m1x 0
, nên muốn cho phương trình
có nghiệm thì
m0 m0
Bài 19:
 
2
m1x 2x 0 x m1x 2 0



x0
hoặc
(m 1)x 2 0
Muốn cho phương trình có hai nghiệm phân biệt thì phương trình

2
m1x 2x 0
phải có nghiệm
khác 0. Vậy
m1 0 m 1
28.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bài 20:
222
c
ax c 0 ax c x
a

.Nếu phương trình có nghiệm thì
c
x
a

Do đó để phương trình có nghiệm kép thì
cc
aa

hay
c
20c0
a

. Vậy phương trình có
nghiệp kép khi c = 0
Bài 21 : Gọi f(x) là vế trái của phương trình (1).Ta có

2
f (0) 3abc;f (a) a(a b)(a c);f (b) b(b a)(b c);f (c) c(c a)(c b)
f(0).f(a).f(b).f(c) 3 abc(a b)(b c)(c a) 0


Trong 4 số
f(o);f(a);f(b);f(c)
luôn tồn tại hai số có tích không dương
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.
Bài 22: Ta có
2
3 9 3 9a 12b 16c 3(3a 4b 6c) 2c c
f(0) c;f a b c
4 16 4 16 16 8





3
f(0).f 0
4




. Vậy phương trình luôn có nghiệm
Bài 23: Để chứng minh phương trình
2
f(x) ax bx c 0 có nghiệm

x0;1
ta sẽ chỉ ra các số thực
;

x0;1
sao cho

f( ).f 0
.Vì

,0;1
và giả thiết
n
nm 1
m

nên ta xét
2
2
nnn
fabc
mmm




.Mặt khác từ:
2
22 2
abc m n m 1m
0a.b.cc 0
mnp n m n pn







222
22
mm npm m pmn pmn
fc. 0f c f(0)
nn pn n pm pm

 

 
 
- Nếu
a0 b0 f(x)
là đa thức không , do đó
f(x)
sẽ có nghiệm trong
(0;1)
- Nếu
a0
, từ giả thiết
bn
1
am

và

b
f(x) x(ax b) 0 x 0;1
a

* Xét
c0
ta có :
2
2
npmn
f.f(0) f(0)0f(x)
mpm




có nghiệm

n
x0; 0;1
m




---------------------Toán Học Sơ Đồ--------------------
| 1/28
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương trình bậc hai một ân
- Phương trình bậc hai một ẩn (hay còn gọi là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:
ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
trong đó a, b, c là các so thực cho trước, x là ẩn số.
- Giải phương trình bậc hai một ẩn là đi tìm tập nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn đó.
2. thức nghiệm của phương trình bậc hai
Trường hợp 1. Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2. Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: b x x   . 1 2 2a
Trường hợp 3. Nếu A > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: b    x  . 1,2 2a
3. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) với b = 2b'. Gọi biệt thức A' = b'2 - ac.
Trường hợp 1. Nếu A' < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2. Nếu A' = 0 thì phương trình có nghiệm kép: b ' x x   . 1 2 a
Trưòmg hợp 3. Nếu ∆' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: b '  ' x  . 1,2 a
Chú ý: Trong trường hợp hệ số b có dạng 2b' ta nên sử dụng để giải phương trình sẽ cho lời giải ngắn gọn hơn.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Không dùng công thức nghiệm, giải phương tri bậc hai một ẩn cho trước
Phương pháp giải: Ta có thế sử dụng một trong các cách sau:
Cách 1. Đưa phương trình đã cho về dạng tích.
Cách 2. Đưa phương trình đã cho về phương trình mà vế trái một bình phương còn vế phải là một hằng số.
1.1. Giải các phương trình: a) 5x2 -7x = 0; b ) - 3 x 2 + 9 = 0;
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com c) x2 - 6 x + 5 = 0; d) 3x2 + 12x + 1 = 0.
1.2. Giải các phương trình: 3 7 a) 2
 3x  6x  0; b) 2  x   0; 5 2 c) x2 – x – 9 = 0; d) 3x2 + 6x + 5 = 0.
2.1.Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 4x2 + m2x + 4m = 0 có nghiệm x = 1 ?
2.2. Cho phương trình 4mx2 - x - 10m2 = 0. Tìm các giá trị cua tham số m để phương trình có nghiệm x = 2.
Dạng 2. Giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn:
Phương pháp giải: Sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai để giải.
3.1. Xác định hệ số a,b,c; Tính biệt thức ∆ (hoặc ∆' nếu b = 2b') rồi tìm nghiệm của các phương trình: a) 2x2 -3x-5 = 0; b) x2 - 6x + 8 = 0; c) 9x2 - 12x + 4 = 0;
d) -3x2 + 4x - 4 = 0.
3.2. Xác định hệ số a,b,c; Tính biệt thức A ( hoặc A'nếu b = 2b') rồi tìm nghiệm của các phương trình: a) x2 – x -11 = 0 b) x2 - 4x + 4 = 0;
c) -5x2 – 4x + 1 = 0; d) -2x2 + x - 3 = 0
4.1. Giải các phương trình sau:
a) x2 + 5x -1 = 0
b) 2x2 - 2 2x + 1 = 0; c) 2
3x  (1 3)x 1  0;
d) -3x2 + 4 6x + 4 = 0.
4.2. Giải các phương trình sau:
a) 2x2 + 2 11x -7 = 0; b) 152x2 - 5x +1 = 0; c) x2 - (2 + 3 )x + 2 3 = 0;
d) 3x2 - 2 3x + 1 = 0.
Dạng 3. Sử dụng công thức nghiệm, xác định sô nghiệm của phương trình dạng bậc hai
Phương pháp giải: Xét phương trình dạng bậc hai: ax2 + bx + c = 0. a  0
1. Phương trình có hai nghiệm kép   .   0 a  0
2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt   .   0
3. Phương trình có đúng một nghiệm a  0,b  0.
a  0,b  0,c  0
4. Phương trình vô nghiệm  .  a  0,   0
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Chú ý: Nếu b = 2b' ta có thể thay điều kiện của ∆ tương ứng bằng ∆’.
5.1. Cho phương trình mx2 - 2 ( m - 1 ) x + m - 3 = 0 (m là tham số).
Tìm các giá trị của m để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt; c) Vô nghiệm; b) Có nghiệm kép; e) Có nghiệm. d) Có đúng một nghiệm;
5.2. Cho phương trình (m - 2)x2 - 2(m + 1)x + m = 0 (m là tham số).
Tìm các giá trị của ra để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt; b) Có nghiệm kép; c) Vô nghiệm; d) Có đúng một nghiệm; e) Có nghiệm.
Dạng 4. Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai Phương pháp giải:
* Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai theo tham số m là tìm tập nghiệm của phương trình tùy
theo sự thay đổi của m.
* Xét phương trình dạng bậc hai
ax2 + bx + c - 0 với ∆ = b2 -4ac (hoặc ∆' = b'2- ac).
- Nếu a = 0, ta đưa vể biện luận phương trình bậc nhât.
- Nêu a ≠ 0, ta biện luận phương trình bậc hai theo A.
6.1. Giải và biện luận các phương trình sau: (ra là tham số).
a) x2 + (1 -m)x- ra = 0;
b) (m -3)x2 - 2mx + m - 6 = 0.
6.2. Giải và biện luận các phương trình sau: (ra là tham số).
a) mx2 + (2m - 1)x + ra + 2 = 0;
b) (m - 2)x2 - 2(m + 1)x + m = 0.
Dạng 5. Một sô bài toán liên quan đến tính có nghiệm củ phương trình bậc hai; Nghiệm chung của
các phương trìnl dạng bậc hai; Hai phương trình dạng bậc hai tương đương Phương pháp giải:
1. Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm
A > 0 (hoặc ∆’ ≥ 0).
2. Muốn tìm điều kiện của tham số để hai phương trình dạng bậc hai ax2+bx + c = 0 và a'x2 +b'x + c' = 0
có nghiệm chung, ta làm như sau:
Bước 1. Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình. Thay x0 vào 2 phương trình để tìm được điều kiện của tham số.
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bước 2. Với giá trị của tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem 2 phương trình có nghiệm
chung hay không và kết luận.
3. Muốn tìm điều kiện của tham số để hai phương trình dạng bậc hai ax2 +bx + c = 0 và a'x2 +b'x + c' =
0 tương đương, ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1. Hai phương trình cùng vô nghiệm.
Trường hợp 2. Hai phương trình cùng có nghiệm. Khi đó:
- Điều kiện cần để hai phương trình tương đương là chúng có nghiệm chung. Từ đó tìm được điều kiện của tham số.
- Điều kiện đủ với giá trị của tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem 2 phương trình tập
nghiệm bằng nhau hay không và kết luận.
7.1. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình b2x2 - (b2 +c2 -a2)x + c2 =0 luôn vô nghiệm.
7.2. Gho phương trình x2 +(a + b + c)x + (ab + bc + ca) = 0 với a, b, c là ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh phương trình trên luôn vô nghiệm.
8.1. Cho hai phương trình x2 + ax + b = 0 và x2 + cx + d = 0. Chứng minh nếu hai phương trình trên có nghiệm chung thì:
(b - d)2 + ( a - c)(ad - bc) = 0. 1 1 1
8.2. Cho hai phương trình x2 +ax + b = 0 và x2 +bx + a = 0 trong đó   . Chứng minh rằng có ít a b 2
nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.
9.1. Cho hai phương trình x2 +x-m = 0 và x2 -mx +1 = 0. Tìm các giá trị của tham số m để:
a) Hai phương trình có nghiệm chung;
b) Hai phương trình tương đương.
9.2. Cho hai phương trình x2 -2ax + 3 = 0 và x2-x + a = 0, (a là tham số). Với giá trị nào của a thì:
a) Hai phương trinh trên có nghiệm chung?
b) Hai phương trình trên tương đương?
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ  7  1.1. a) Ta có 2
5x  7x  0  x(5x  7)  0 . Tìm được x  0;   5  b) Ta có 2 2
3x  9  0  x  3 . Tìm được x   3 c) Ta có 2
x  6x  5  0  (x 1)(x  5)  0 . Tìm được x 1;  5 6   33
d) Ta biến đổi thành 3(x + 2)2 = 11. Tìm được x  3 1.2.Tương tự 1.1
4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
a) Tìm được x  2 3;  0 . b) Vô nghiệm. 1 37 c) Tìm được x  . d) Vô nghiệm. 2
2.1. Thay x = 1 vào phương trình ta có 4.12 + m2 + 4m = 0. Tìm được m = -2. 2.2 Tương tự 2.1 4  11 Tìm được m  5 3.1.
a) Ta có a = 2, b = -3, c = -5. Tính được  = 49 > 0. Phương trình có hai nghiệm phân việt: b     5  x   x   1  ; 1,2  2a  2 
b) ta có a = 1, b = -6, b' = -3, c= 8. Tính được ' = 1. Ta tìm được x 4;  2 . 2
c) Ta có a = 9, b = -12, c = 4. Tính được  = 0. Phương trình có nghiệm kép là x x  . 1 2 3
d) Ta có a = -3, b = 4, c = -4. Tính được  = -32 < 0. Phương trình vô nghiệm. 3.2. Tương tự 3.1 1 3 5 a) Tìm được x  b) Tìm được x = 2. 1,2 2  1
c) Tìm được x  1; 
d) Tìm được x  .  5 4.1. Tương tự 3.1 3 5 3 5 
a) Tìm được x   ;   2 2   2 3 b) Tìm được x  c) Tìm được x  , x  1 2 1 2 3
6  2 6 6  2 6 
d) Tìm được x   ;   3 3  
4.2. Tương tự 3.1., 4.1  11  5 a) Tìm được x
b) Tìm được x  1,2 2 3
c) Tìm được x 2; 3 b) Tìm được x 3
5.1.Xét ' = (m - 1)2 - m(m - 3) = m + 1
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com m  0
a) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi 
 Tìm được m  0, m  1.   0 3
b) Xét m  0  2x  3  0  x  (TM ) 2 m  0
Xét m  0 . Phương trình có nghiệm kép khi   m  1   '  0
c) Tương tự, ta tìm được m < -1 d) Tìm được m = 0
e) Tìm được m  1; m  0 . 5.2. Tương tự 5.1 1 1 a) Tìm được m
, m  2 b) Tìm được m  4 4 1 d) Tìm được m  d) Tìm được m = 2 4 1
e) Tìm được m = 2 hoặc m  . 4 6.1 a) Ta có 2
  m  2m 1  0, m     m 1 m 1 *   0  m  1
 : Phương trình đã chó có nghiệm kép: x x  1 2 2 *   0  m  1
 : Phương trình đã chó có nghiệm phân biệt: x  , m x  1  1 2 1
b) Với m  3  Phương trình có dạng: 6
x  3  0  x   2
Với m  3   '  9m 18
*  '  0  m  2 : Phương trình vô nghiệm. m
*  '  0  m  2 : Phương trình có nghiệm kép: x x  1 2 m  3 m  3 m  9m 18 *  '  0  
: Phương trình có nghiệm phân biệt: x ,  m  2 1 2 m  3 6.2. Tương tự 6.1
a) Với m  0  x  2 ;
Với n  0    1  2m 1 1 *  '  0  m
: Phương trình vô nghiệm. 12 1 1 2m *   0  m
: Phương trình có nghiệm kép: x x  12 1 2 2m
6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com m  0 
1 2m  112m *   0  
1 : Phương trình hai có nghiệm phân biệt: x ,  m  1 2  2m  12 1
b) Với m  2  x  ; 3
Với m  2   '  4m 1: 1  *  '  0  m
: Phương trình vô nghiệm. 4 1  m 1 *  '  0  m
: Phương trình có nghiệm kép: x x  4 1 2 m  2 m  0 
m 1 4m 1 *   0   1
 : Phương trình có hai nghiệm kép: x m  1,2  m  2  4
7.1. Ta có   (b c a)(b c a)(b c a)(b c a) . Từ đó chứng minh được   0 . 7.2. Ta có 2 2 2
  a b c  2ab  2bc  2ca Vì 2
a b c a ab ca . Tương tự ta có 2
b ab bc và 2
c ca bc . Từ đó suy ra   0 .
8.1. Gọi x là nghiệm chung của hai phương trình. Ta có: (a c)x d b 0 0 d b
Nếu a c thì x  . Thay x 0
0 vào phương trình ta được ĐPCM. a c
Nếu a = c thì b = d  ĐPCM. 1 1 1 1 8.2. Ta có 2 2
    a b  4(a b). Từ    a b ab . 1 2 a b 2 2 Từ đó ta có 2 2 2
    a b  2ab  (a b)  0  ĐPCM. 1 2
9.1. a) Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình. Ta biến đổi được (1 + m) x0 = m +1. Tìm được m = - 1 hoặc m = 2.
b) Ta xét hai trường hợp: 1 
Trường hợp 1: Hai phương trình cùng vô nghiệm  2, m  4
Trường hợp 2: JHai phương trình cùng có nghiệm và tập nghiệm giống nhau  m  1  . 1 Vậy 2  m
thì hai phương trình tương đương. 4 9.2 Tương tự 9.1 1
a) Tìm được a 
b) Tìm được  a  3 4
B.NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY
Bài 1. Cho phương trình 2
4x  2a bx ab  0 (1) ( a;b là tham số)
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
a) Giải phương trình (1) với a  1;b  2
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a;b
Bài 2. Cho a,b, c, d là các số thực 2 2
a b  1 . Chứng minh rằng phương trình:  2 2
a b   2
x  ac bd   2 2 1 2
1 x c d 1  0 luôn có hai nghiệm. 5  3
Bài 3. Cho phương trình 2
ax bx  1  0 với a;b là các số hữu tỉ. Tìm a;b biết x  là nghiệm 5  3 của phương trình
Bài 4. Với giá trị nào của b thì hai phương trình 2
2011x bx  1102  0 (1) và 2
1102x bx  2011  0 (2) có nghiệm chung.
Bài 5. Tìm số nguyên a để hai phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm chung 2
x ax  8  0 (1) và 2
x x a  0 (2)
Bài 6. Cho hai phương trình 2
x mx n  0 và 2
x  2x n  0 . Chứng minh rằng với mọi giá trị của m
và n , ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm. c  0 
Bài 7. Chứng minh rằng với điều kiện   a c
2  ab bc  2ac thì phương trình: 2
ax bx c  0 luôn có nghiệm
Tóm lại, phương trình luôn có nghiệm
Bài 8. Cho phương trình ẩn x tham số m : 2
x  m   x   2 2 1
m  2m  3  0 . Xác định m để phương
trình có hai ngiệm x ; x sao cho: 1 2
2008  x x  2013 2 1
Bài 9. Chứng minh rằng phương trình:
 2x ax b   2
1 x bx a  
1  0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của a và b HƯỚNG DẪN
Bài 1. Cho phương trình 2
4x  2a bx ab  0 (1) ( a;b là tham số)
a) Giải phương trình (1) với a  1;b  2
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a;b Lời giải
a) Với a  1;b  2 phương trình có dạng: 2
4x  2x 1 2 x  2  0 2 2
Xét   1 2  4 2  1 2  0
8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 1 2  1 2 1 2  1 2 2  1 x   ; x   1 2 4 2 4 2
b) Xét   a b2  ab  a b2 4
 0 với mọi a;b
Vậy phương trình luôn có nghiệm
Bài 2. Cho a,b, c, d là các số thực 2 2
a b  1 . Chứng minh rằng phương trình:  2 2
a b   2
x  ac bd   2 2 1 2
1 x c d 1  0 luôn có hai nghiệm. Lời giải
Xét   ac bd  2   2 2
a b   2 2 1
1 c d   1 (*) + Do 2 2 2 2
a b  1  a b 1  0 Nếu 2 2 2 2
c d  1  c d 1  0    0 Nếu 2 2
c d  1. Đặt 2 2 2 2
u  1  a b ;v  1  c d
(Điều kiện 0  u  1;0  v  1)
Xét     ac bd 2 4 2 2 2  4uv
 a b u p d v ac bd 2 2 2 2 2 2 2  4uv
 a c  b d  2 2
2  u v  uv  u v2  uv  u v2 4 4  0  
   0. Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm 5  3
Bài 3. Cho phương trình 2
ax bx  1  0 với a;b là các số hữu tỉ. Tìm a;b biết x  là nghiệm 5  3 của phương trình Lời giải    2 5 3 5 3 Ta có: x  
 4  15 là nghiệm của phương trình nên: 5  3 5  3 a   2 4
15  b 4  15  c  0  31a  4b  
1  8a b 15  0 31
a  4b 1  0 a  1
Do a và b là các số hữu tỷ nên:    8
a b  0 b  8 
Bài 4. Với giá trị nào của b thì hai phương trình 2
2011x bx  1102  0 (1) và 2
1102x bx  2011  0 (2) có nghiệm chung. Lời giải
Gọi x là nghiệm chung của hai phương trình đã cho, ta có: 0
9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 2 2
2011x bx 1102  0 1102 
x bx  2011  0 0 0 0 0    2 2 11
 02x bx  2011  0 909   x  909 0 0  0 2 1102 
x bx  2011  0 1 0 0     x  1  2  0  
Với x  1 thay vào phương trình (1) ta được b  31  13 0 Với x  1
 thay vào phương trình (1) ta được b  3113 0 Thử lại: 1102  Với b  311 
3, thì phương trình (1) là 2
2011x  3113x  1102  0 có nghiệm x  1; x  và 2011 2011 phương trình (2) là 2
1102x  3113x  2011  0 có nghiệm là x  1; x
, nghiệm chung là x  1 1102 1102
 Với b  3113 , thì phương trình (1) là 2
2011x  3113x  1102  0 có nghiệm x  1; x   và 2011 2011 phương trình (2) là 2
1102x  3113x  2011  0 có nghiệm là x  1; x
, nghiệm chung là x  1  1102 Vậy với b  31
 13 thì hai phương trình đã cho có nghiệm chung
Bài 5. Tìm số nguyên a để hai phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm chung 2
x ax  8  0 (1) và 2
x x a  0 (2) Lời giải 2
x ax  8  0 1  0 0  
Đặt x là nghiệm chung của ai phương trình, ta có: , ta có: 0  2
x x a  0 2  0 0  
Từ phương trình (1) và (2) trừ từng vế ta được:
a  1.x  8  a  0  a 1 .x a 8 (*) 0   0
Với a 1  0  a  1 thì từ (*) không tồn tại x nên điều kiện a  1 0 a  8
Từ phương trình (*) ta có: x
thay vào phương trình (2) ta được: 0 a 1
a 82 a 8 3 
a  0  a  24a  72  0 a  2 1 a 1  a   2
6 a  6a  12  0 (**)
Ta có: a a   a  2 2 12
3  3  0 nên (**)  a  6  0  a  6  Với a  6
 thì phương trình (1) là 2
x  6x  8  0 có nghiệm x  2; x  4 1 2
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Phương trình (2) là 2
x x  6  0 có nghiệm x  2; x  3
 nên hai phương trình có nghiệm chung 1 2 x  2 Vậy với a  6
 thì hai phương trình có nghiệm chung là x  2
Bài 6. Cho hai phương trình 2
x mx n  0 và 2
x  2x n  0 . Chứng minh rằng với mọi giá trị của m
và n , ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm. Lời giải  Phương trình 2
x mx n  0 có 2
  m  4n 1  Phương trình 2
x  2x n  0 có   4n  4 2 Suy ra: 2
    m  4  0 với mọi m, n . Do đó trong hai số  ,  luôn có ít nhất một  không âm. 1 2 1 2
Hay nói cách khác trong hai phương trình đã cho luôn có ít nhất một phương trình có nghiệm c  0 
Bài 7. Chứng minh rằng với điều kiện   a c
2  ab bc  2ac thì phương trình: 2
ax bx c  0 luôn có nghiệm Lời giải
Xét các trường hợp sau:
 Nếu a  0;b  0 thì phương trình luôn có nghiệm duy nhất   c x b
 Nếu a  0;b  0 thì 2 c  0 vô lí
 Nếu a  0 từ a c2  ab bc ac   ac  a c2 2 2
ba c
Xét   b ac b  a c2  ba c  a c b2  a c2 2 2 4 2 2  0
Vậy   0 , phương trình luôn có hai nghiệm
Tóm lại, phương trình luôn có nghiệm
Bài 8. Cho phương trình ẩn x tham số m : 2
x  m   x   2 2 1
m  2m  3  0 . Xác định m để phương
trình có hai ngiệm x ; x sao cho: 1 2
2008  x x  2013 2 1 Lời giải
Ta có:   m  2   2 1
m  2m  3  4
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x m  3; x m 1 1 2
Phương trình có hai nghiệm:
x m  3  2013 1
2008  x x  2013  
 2009  m  2010 2 1
x m 1  2008  2
11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 9. Chứng minh rằng phương trình:
 2x ax b   2
1 x bx a  
1  0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của a và b Lời giải 2 
x ax b 1  0 1 2
x ax b   1  2
x bx a     1  0   2
x bx a 1  0  2 Ta có 2 2
  a  4b  4;  b  4a  4 1 2
Suy ra     a  22  b  22  0 với mọi a;b do đó có ít nhất một trong hai giá trị  ; không 1 2 1 2
âm. Vậy phương trình ban đầu luôn có nghiệm với mọi giá trị của a và b
C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ
Câu 1. Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn? 1 A. 2
x - x + 1 = 0 . B. 2 2x - 2018 = 0 . C. x +
- 4 = 0 . D. 2x - 1 = 0 . x
Câu 2. Cho phương trình 2
ax + bx + c = 0(a ¹ 0) có biệt thức 2
D = b - 4ac . Phương trình đã cho vô nghiệm khi: A. D < 0 . B. D = 0 . C. D ³ 0 . D. D £ 0 .
Câu 3. Cho phương trình 2
ax + bx + c = 0(a ¹ 0) có biệt thức 2
D = b - 4ac > 0 , khi đó phương trình đã cho: A. vô nghiệm. B. có nghiệm kép.
C. có hai nghiệm phân biệt. D. có 1 nghiệm.
Câu 4. Cho phương trình 2
ax + bx + c = 0(a ¹ 0) có biệt thức 2
D = b - 4ac > 0 , khi đó phương trình
đã cho có hai nghiệm là: b b + D b - D
A. x = x = - . B. x = ;x = . 1 2 2a 1 2 2a 2a b - + D b - - D b - + D b - - D C. x = ;x = . D. x = ;x = . 1 2 2a 2a 1 2 a a
Câu 5. . Cho phương trình 2
ax + bx + c = 0(a ¹ 0) có biệt thức 2
D = b - 4ac = 0 , khi đó phương
trình đã cho có hai nghiệm là: b b b
A. x = x = . B. x = - ;x = . 1 2 2a 1 2 2a 2a b - + D b - - D b - C. x = ;x = .
D. x = x = . 1 2 2a 2a 1 2 2a
Câu 6. Không dùng công thức nghiệm, tính tổng các nghiệm của phương trình 2 6x - 7x = 0 .
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 7 7 6 6 A. - . B. . C. . D. - . 6 6 7 7
Câu 7. Không dùng công thức nghiệm, tính tổng các nghiệm của phương trình 2 4 - x + 9 = 0 . A. 0 . B. 1 . C. 3 . D. 2 .
Câu 8. Tìm tích các giá trị của m để phương trình 2 2
4mx - x - 14m = 0 có nghiệm x = 2 . 1 2 6 8 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7
Câu 9. Tìm tổng các giá trị của m để phương trình 2 2
(m - 2)x - (m + 1)x + 3m = 0 có nghiệm x = -3 . A. -5 . B. -4 . C. 4 . D. 6 .
Câu 10. Tính biệt thức D từ đó tìm nghiệm của phương trình 2
9x - 15x + 3 = 0 .
A. D = 117 và phương trình có nghiệm kép. B. D = 117 -
và phương trình vô nghiệm.
C. D = 117 và phương trình có hai nghiệm phân biệt. D. D = 117 -
và phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Câu 11. Tính biệt thức D từ đó tìm nghiệm (nếu có) của phương trình 2
x - 2 2x + 2 = 0 .
A. D = 0 và phương trình có nghiệm kép x = x = 2 . 1 2
B. D < 0 và phương trình vô nghiệm.
C. D = 0 và phương trình có nghiệm kép x = x = - 2 . 1 2
D. D > 0 và phương trình có hai nghiệm phân biệt x = - 2;x = 2 . 1 2
Câu 12. Tính biệt thức D từ đó tìm nghiệm (nếu có) của phương trình 2 3x + ( 3 - ) 1 x - 1 = 0 . - 3
A. D > 0 và phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 1;x = . 1 2 3
B. D < 0 và phương trình vô nghiệm.
C. D = 0 và phương trình có nghiệm kép x = x = - 3 . 1 2 3
D. D > 0 và phương trình có hai nghiệm phân biệt x = ;x = -1. 1 2 3
Câu 13. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình 2 2 x
- + 2mx - m - m = 0 có hai nghiệm phân biệt. A. m ³ 0 . B. m = 0 . C. m > 0 . D. m < 0 .
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Câu 14. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình 2 2
x - 2(m - 2)x + m - 3m + 5= 0 có hai nghiệm phân biệt. A. m < 1 - . B. m = -1 . C. m > 1 - . D. m £ 1 - .
Câu 15. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 2
x + mx - m = 0 có nghiệm kép.
A. m = 0;m = -4 . B. m = 0 . C. m = -4 .
D. m = 0;m = 4 .
Câu 16. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 2
x + (3 - m)x - m + 6 = 0 có nghiệm kép.
A. m = 3;m = -5 . B. m = -3 .
C. m = 5;m = -3 . D. m = 5 .
Câu 17. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình 2
x + (1 - m)x - 3 = 0 vô nghiệm. A. m = 0 .
B. Không tồn tại m . C. m = -1 . D. m = 1.
Câu 18. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình 2
2x + 5x + m - 1 = 0 vô nghiệm. 8 33 33 A. m > .
B. Không tồn tại m . C. m < . D. m > . 33 8 8
Câu 19. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình 2
(m + 2)x + 2x + m = 0 vô nghiệm. m é ³ 1 + 2 é ê m > 1 - + 2 ê A. ê .B. ê
.C. 1 - 2 £ m £ 1 + 2 .D. 1 - 2 < m < 1 + 2 . m ê £ 1 - 2 ê < - - ë m 1 2 ë
Câu 20. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình 2
mx - 2(m - 2)x + m + 5 = 0 vô nghiệm. 8 19 19 9 A. m > . B. m > . C. m = . D. m < . 19 8 8 18
Câu 21. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình 2
mx - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 có nghiệm. A. m ³ 1 . B. m > 1 . C. m ³ 1 - . D. m £ 1 - .
Câu 22. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình 2
mx + 2(m + 1)x + 1 = 0 có nghiệm. A. m ¹ 0 . B. m < 0 . C. m > 0 . D. m Î  .
Câu 23. Cho phương trình 2
x - (m - 1)x - m = 0 . Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Phương trình vô nghiệm với mọi m .
B. Phương trình có nghiệm kép với mọi m .
C. Phương trình hai nghiệm phân biệt với mọi m .
D. Phương trình có nghiệm với mọi m .
Câu 24. Biết rằng phương trình 2 2
(x) - 2(3m + 2)x + 2m - 3m - 10 = 0 có một trong các nghiệm bằng
-1 . Tìm nghiệm còn lại với m > 0 . A. x = 11 . B. x = -11. C. x = 10 . D. x = -10 .
Câu 25. Biết rằng phương trình 2
mx - 4(m - 1)x + 4m + 8 = 0 có một trong các nghiệm bằng 3 . Tìm
nghiệm còn lại của phương trình.
14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 6 5 6 A. x = - . B. x = -3 . C. x = . D. x = . 5 6 5
Câu 26. Tìm m để hai phương trình 2
x + x + 1 = 0 và 2
x + x + m = 0 có ít nhất một nghiệm chung. A. 1 . B. 2 . C. -1 . D. -2 .
Câu 27. Tìm m để hai phương trình 2
x + mx + 2 = 0 và 2
x + 2x + m = 0 có ít nhất một nghiệm chung. A. 1 . B. -3 . C. -1 . D. 3 .
Câu 28. Cho hai phương trình 2
x - 13x + 2m = 0 (1) và 2
x - 4x + m = 0 (2) . Xác định m để một
nghiệm phương trình (1) gấp đôi 1 nghiệm phương trình (2) .
A. -45 . B. -5 . C. 0 và 5 - . D. Đáp án khác. HƯỚNG DẪN Câu 1. Đáp án B.
Phương trình bậc hai một ẩn ( hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: 2
ax + bx + c = 0(a ¹ 0) trong đó a, ,
b c là các số thực cho trước, x là ẩn số. Câu 2. Đáp án A.
Xét phương trình bậc hai một ẩn 2
ax + bx + c = 0(a ¹ 0) và biệt thức 2
D = b - 4ac .
TH1. Nếu D < 0 thì phương trình vô nghiệm. b
TH2. Nếu D = 0 thì phương trình có nghiệm kép x = x = - 1 2 2a b -  D
TH3. Nếu D > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = . 1,2 2a Câu 3. Đáp án C.
Xét phương trình bậc hai một ẩn 2
ax + bx + c = 0(a ¹ 0) và biệt thức 2
D = b - 4ac .
TH1. Nếu D < 0 thì phương trình vô nghiệm. b
TH2. Nếu D = 0 thì phương trình có nghiệm kép x = x = - 1 2 2a b -  D
TH3. Nếu D > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = 1,2 2a Câu 4. Đáp án C.
Xét phương trình bậc hai một ẩn 2
ax + bx + c = 0(a ¹ 0) và biệt thức 2
D = b - 4ac .
TH1. Nếu D < 0 thì phương trình vô nghiệm.
15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com b
TH2. Nếu D = 0 thì phương trình có nghiệm kép x = x = - 1 2 2a b -  D
TH3. Nếu D > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = 1,2 2a Câu 5. Đáp án D.
Xét phương trình bậc hai một ẩn 2
ax + bx + c = 0(a ¹ 0) và biệt thức 2
D = b - 4ac .
TH1. Nếu D < 0 thì phương trình vô nghiệm. b
TH2. Nếu D = 0 thì phương trình có nghiệm kép x = x = - 1 2 2a b -  D
TH3. Nếu D > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = 1,2 2a Câu 6. Đáp án B. x é = 0 ê Ta có 2
6x - 7x = 0  x(6x - 7) = 0  ê 7 x ê = êë 6 7 7
Nên tổng các nghiệm của phương trình là 0 + = . 6 6 Câu 7. Đáp án D. é 3 ê 9 x = ê Ta có 2 4 - x + 9 = 0 2 2 2
 4x = 9  x =  ê 4 ê 3 x = - ê ë 2 3 3
Phương trình có hai nghiệm x = ;x = - . 2 2 Câu 8. Đáp án A.
Thay x = 2 vào phương trình 2 2
4mx - x - 14m = 0 , ta có é ê 1 m 2 2 2 =
4m.2 - 2 - 14m = 0  14m - 16m + 2 = 0  (14m - 2)(m - 1) = 0  êê 7 . êm = ë 1 1 1
Suy ra tích các giá trị của m là .1 = . 7 7 Câu 9. Đáp án B.
Thay x = -3 vào phương trình 2 2
(m - 2)x - (m + 1)x + 3m = 0 , ta có 2 2
(m - 2)(-3) - (m + 1)(-3) + 3m = 0
16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 2 2
 9m - 18 + 3m + 3 + 3m = 0 3m + 12m - 15 = 0 2 2
m + 4m - 5 = 0 m - m + 5m - 5 = 0
m(m - 1) + 5(m - 1) = 0 (m - 1)(m + 5) = 0 m é = 1 ê  m ê = -5 êë
Suy ra tổng các giá trị của m là (-5) + 1 = -4 . Câu 10. Đáp án C. Ta có 2
9x -15x + 3 = 0(a = 9;b = -15;c = 3)  D = 2 b - ac = - 2 4 ( 15) - 4.9.3 = 117 > 0 .
nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. Câu 11. Đáp án A. Ta có 2
x - 2 2x + 2 = 0(a = 1;b = -2 2;c = 2) 2  D = 2
b - 4ac = (2 2) - 4.1.2 = 0 b 2 2
nên phương trình có nghiệm kép x = x = - = = 2 . 1 2 2a 2 Câu 12. Đáp án D. Ta có 2 3x + ( 3 - )
1 x - 1 = 0(a = 3;b = 3 -1;c = - ) 1 2  D = 2
b - 4ac = ( 3 - ) 1 - 4. 3.(- ) 1 2
= 4 - 2 3 + 4 3 = 4 + 2 3 = ( 3 + ) 1 > 0
suy ra D = 3 + 1 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt b - + D 1 - 3 + 3 + 1 3 x = = = 1 2a 2 3 3 b - - D 1 - 3 - 3 - 1 x = = = -1 2 2a 2 3 Câu 13. Đáp án D. Phương trình - 2 x + mx - 2 2 m - m = 0 2
(a = -1;b = 2m;c = -m - m). 2 2 2 2
D = (2m) - 4.(-1).( m -
- m) = 4m - 4m - 4m = -4m a ìï ¹ 0 ìï-1 ¹ 0
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì ï ï í  í  m < 0 . ïD > 0 ï-4m > 0 ïî ïî
17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Vậy với m < 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. Câu 14. Đáp án A. Phương trình 2
x - m - x + 2 2( 2) m - 3m + 5= 0
(a = 1;b = -2(m - 2);c = 2 m - 3m + 5) 2 D é ù  = -2(m - 2) - 2 4.1.(m - 3m + êë úû 5) = 2 4m - 16m + 16 - 2
4m + 12m - 20 = -4m - 4 a ìï ¹ 0 1 ìï ¹ 0
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thìï ï í  í  m < -1 ïD > 0 ï-4m - 4 > 0 ïî ïî Vậy với m < 1
- thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. Câu 15. Đáp án A. Phương trình 2
x + mx - m = 0(a = 1;b = ; m c = -m)  D = 2 m - -m = 2 4.1.( ) m + 4m a ìï ¹ 0 1 ìï ¹ 0 m é = 0
Để phương trình đã cho có nghiệm kép thì ï ï ê í  í  2 D = 0 m + 4m = 0 m ê ï ï = -4 ïî ï ê ïî ë
Vậy với m = 0;m = -4 thì phương trình có nghiệm kép. Câu 16. Đáp án C. Phương trình: 2
x + (3 - m)x - m + 6 = 0 , có: a = 1;b = 3 - m;c = m - + 6 . Ta có 2
D = (3 - m) - 4.1.( m - + 6) 2 2
= m - 6m + 9 + 4m - 24 = m - 2m -15 . a ìï ¹ 0 1 ìï ¹ 0
Để phương trình đã cho có nghiệm kép thì ï ï 2 í  í
m - 2m - 15 = 0 (*). 2 ïD = 0 m ï - 2m - 15 = 0 ïî ïî Phương trình (*) có 2 D = ( 2 - ) - 4.1.( 1
- 5) = 64 > 0  Dm = 8 nên có hai nghiệm phân m 2 + 8 2 - 8 biệt m = = 5;m = = -3 1 2 2 2
Vậy với m = 5;m = -3 thì phương trình có nghiệm kép. Câu 17. Đáp án B. Phương trình 2
x + (1 - m)x - 3 = 0(a = 1;b = 1 - m;c = -3) 2 2
D = (1 - m) - 4.1. -
( 3) = (1 - m) + 12 ³ 12 > 0" ; m .
Nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay không có giá trị nào của m để phương trình vô nghiệm. Câu 18. Đáp án D. 2
Phương trình 2x + 5x + m - 1 = 0(a = 2;b = 5;c = m - 1)
18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 2
D = 5 - 4.2(m -1) = 25 - 8m + 8 = 33 - 8m a ìï ¹ 0 2 ìï ¹ ( 0 ld) ï ï 33
Để phương trình đã cho vô nghiệm thì í  í  m > ïD < 0 3 ï 3 - 8m < 0 8 ïî ïî 33 Với m >
thì phương trình vô nghiệm. 8 Câu 19. Đáp án B. Phương trình 2
(m + 2)x + 2x + m = 0(a = m + 2;b = 2;c = m) TH1: m + 2 = 0  m = 2 - ta có
phương trình: 2x - 2 = 0  x = 1
TH2: m + 2 ¹ 0  m ¹ 2 - Ta có 2 2
D = 2 - 4(m + 2).m = -4m - 8m + 4
Để phương trình đã cho vô nghiệm thì m ìï ¹ -2 m ìï ¹ -2 m ìï ¹ -2 ï ï ï í  í  í 2 2 2
ï-4m - 8m + 4 < 0 2 ï - (m + ) 1 < 0 ( ï m + 1) > 2 ï ï î ï î î m ìï ¹ -2 ïïï m é > -1 + 2 ïí m é +1 > 2 ê ê  ê ïïê m ê < -1 - 2 ï m ê + 1 < - 2 ë ïïîë Câu 20. Đáp án A. 2
Phương trình mx - 2(m - 2)x + m + 5 = 0
(a = m;b = -2(m - 2);c = m + 5). -5
TH1: m = 0 ta có phương trình: 4x + 5 = 0  x = 4 2
TH2: m ¹ 0 . Ta có D é 2(m 2)ù = - - - 4m(m + 5) = 3 - 6m + 16 êë úû ìï ì m ìï ¹ 0 m ¹ 0 m ï ¹ 0 ï ï ï ï 8
Để phương trình đã cho vô nghiệm thì ï í  í  í 8  m > ï-36m + 16 < 0 3 ï 6m > 16 ïî ï m ï î ï > 19 ïî 19 8 Vậy với m >
thì phương trình đã cho vô nghiệm. 19 Câu 21. Đáp án C. Phương trình 2
mx - 2(m -1)x + m - 3 = 0
(a = m;b = -2(m - 1);c = m - 3) .
TH1: m = 0 ta có phương trình TH2: m ¹ 0 , ta có
19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 2
D = 4(m - 1) - 4m.(m - 3) = 4m + 4
Để phương trình đã cho có nghiệm thì D ³ 0  4m + 4 ³ 0  m ³ -1
Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thì m ³ 1 - . Câu 22. Đáp án D. Phương trình 2
mx + 2(m + 1)x + 1 = 0 1
TH1: m = 0 ta có phương trình 2x + 1 = 0  x = - nên nhận m = 0 (1) 2 2 2 2 TH2: m ¹ 0 , ta có 2
D = 4(m + 1) - 4m.1 = 4m + 4m + 4 = 4m + 4m + 1 + 3 = (2m + 1) + 3
Để phương trình đã cho có nghiệm thì 2 2
D ³ 0  (2m + 1) + 3 ³ 0  (2m + 1) ³ -3 (luôn đúng với mọi m ) (2)
Từ (1) và (2) ta thấy phương trình đã cho có nghiệm với mọi m Î  . Câu 23. Đáp án D. Phương trình 2
x -(m -1)x - m = 0
a = 1;b = -(m - 1);c = -m . 2 Suy ra D é ù = - m - - -m = 2
m + m + = m + 2 ( 1) 4.1.( ) 2 1 ( 1) ³ 0 " êë úû , m
Nên phương trình đã cho có nghiệm với mọi m . Câu 24. Đáp án A.
Thay x = -1 vào phương trình: - 2 - m + - + 2 ( 1) 2(3 2).( 1) 2m - 3m - 10 = 0 ìïï 5 m (L) 2 ï = - ï
 2m + 3m - 5 = 0  2
( m + 5)(m - 1) = 0  í . ï 2 ïm = ï ( 1 N ) ïî x é = 11
+) Với m = 1 ta có phương trình 2 x 10x 11 0 (x 11)(x 1) 0 ê - - =  - + =  x ê = -1 êë
Vậy nghiệm còn lại của phương trình là x = 11 . Câu 25. Đáp án D.
Thay x = 3 vào phương trình: 2
m.3 - 4(m - 1).3 + 4m + 8 = 0  m = -20
Với m = -20 ta có phương trình 2 2 20
- x + 84x - 72 = 0  5x - 21x + 18 = 0 Phương trình trên có 2
D = (-21) - 4.5.18 = 81 > 0  D = 9 é 21 + 9 x ê = = 3 ê nên có hai nghiệm phân 2.5 ê ê 21 - 9 6 x = = ê ë 2.5 5
20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 6
Vậy nghiệm còn lại của phương trình là x = . 5 Câu 26. Đáp án D.
Gọi x là nghiệm chung của hai phương trình thì x phải thỏa mãn hai phương trình trên. 0 0 ì 2 x ï + mx + 1 = 0 ï 0 0 í 2 x ï + x + m = 0
Thay x = x vào hai phương trình trên ta được ï 0 0 ïî 0
 (m - 1)x + 1 - m = 0  (m - 1)(x - 1) = 0( ) * 0 0 Xét phương trình (*)
+) Nếu m = 1 thì 0 = 0 (luôn đúng) hay hai phương trình trùng nhau. Lúc này phương trình 2
x + x + 1 = 0 vô nghiệm nên cả hai phương trình đều vô nghiệm.
Vậy m = 1 không thỏa mãn.
+) Nếu m ¹ 1 thì x = 1 . 0
Thay x = 1vào phương trình 2
x + mx + 1 = 0 ta được m = -2 . 0 0 0
Vậy m = -2 thì hai phương trình có nghiệm chung. Câu 27. Đáp án B.
Gọi x là nghiệm chung của hai phương trình thì x phải thỏa mãn hai phương trình trên. 0 0 ì 2 x ï + mx + 2 = 0 ï 0 0 í 2 x ï + 2x + m = 0
Thay x = x vào hai phương trình trên ta được ï 0 0 ïî 0
 (m - 2)x + 2 - m = 0  (m - 2)(x -1) = 0 0 0
+) Nếu m = 2 thì 0 = 0 (luôn đúng) hay hai phương trình trùng nhau. Lúc này phương trình 2 2
x + 2x + 2 = 0  (x + 1) = -1 vô nghiệm nên cả hai phương trình đều vô nghiệm.
Vậy m = 2 không thỏa mãn.
+) Nếu m ¹ 2 thì x = 1 . 0
Thay x = 1vào phương trình 2
x + mx + 2 = 0 ta được 1 + m + 2 = 0  m = 3 - . 0 0 0
Vậy m = -3 thì hai phương trình có nghiệm chung. Câu 28. Đáp án A.
Gọi nghiệm phương trình (2) là x (x ¹ 0) thì nghiệm phương trình (1) là 2x . 0 0 0
21. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Thay x ,2x lần lượt vào phương trình (2) và (1) ta 0 0 ì 2 ì 2 ï 2
( x ) - 13.2x + 2m = 0 4
ï x - 26x + 2m = 0 ï ï được ï 0 0 0 0 í  í 2 2 x ï - 4x + m = 0 x ï - 4x + m = 0 ï 0 0 ï 0 0 ïî ïî ì 2 4
ï x - 26x + 2m = 0 ï m ï 0 0  í  10x = 2 - m x = - 2 0 0 4
ï x - 16x + 4m = 0 5 ï 0 0 ïî
Do x ¹ 0 nên m ¹ 0 . 0 2 m æ m ö æ ç ÷ m ö Thay x = -
vào phương trình (2) ta được - ç ÷ - 4.ç ÷ - ç ÷ + m = 0 0 5 çè 5 ÷÷ ç ø è 5 ÷÷ø 2 2 m 4m m 9m m é = 0 m 0 0 ê  + + =  + =  25 5 25 5 m ê = -45 êë
Kết hợp m ¹ 0 ta được m = -45 .
D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1: Đưa các phương trình sau về dạng 2
ax  bx  c  0 và chỉ rõ các hệ số a, b,c. a. 2 2x  2x  5  x b. 2
x  2x  mx  m , m là một hằng số c. 2 2x  2 3x   1  1 2
Bài 2: Lập phương trình bậc hai có các hệ số là các số hữu tỉ có một nghiệm là 2 1. Xác định các hệ số của phương trình
Bài 3: Giải các phương trình sau: a. 2 x  5  0 b. 2 x  3x  0 c. 2 2x  3  0
Bài 4: Biến đổi vế trái thành tích, rồi giải các phương trình sau: a. 2 2x  5x  3  0 b. 2 x  x 12  0 c. 2 x  3x  2 1  0
Bài 5: Giải các phương trình sau bằng cách đưa về dạng   2 a. x m  m a. 2 x  6x 16  0 b. 2 2x  6x 1  0
22. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 6: Đưa các phương trình sau về dạng 2
ax  bx  c  0 và chỉ rõ hệ số a,b,c a. 2 3x  5x  7  2x b. 2 2
2x  m  2(m 1)x , m là một hằng số
Bài 7: Giải phương trình : 2 x  5x  6  0
Bài 8: Khi giải phương trình 2
3x  6  0 , bạn Bảo trình bày như sau 2 2 2 3x  6  0  3x  6   x  2   x   2  . Vô lí
Vậy phương trình vô nghiệm.Theo em , trong cách trình bày của bạn Bảo có chỗ nào cần sửa, và nên sử như thế nào?
Bài 9 : Giải phương trình 2
3x 18x 12  0 bằng cách biến đổi thành những phương trình mà vế trái là
một bình phương , còn vế phải là một hằng số
Bài 10: Cho phương trình 2
ax  c  0 , với a khác 0, với điều kiện kiện nào của a và c thì phương trình có nghiệm 3 5
Bài 11 : Giải phương trình 2 x  x  0 2 4
Bài 12: Cho phương trình   2   2 2x 1
x 2  0 . Viết phương trình dưới dạng 2 ax  bx  c  0 . Tính giá trị 2 2 2 a  b  c .
Bài 13: Cho 3 là một nghiệm của phương trình 2
ax  bx  c  0 a  0;a, b,c   . Tìm nghiệm còn lại.
Bài 14: Nhận thấy rằng phương trình tích x  
1 x  2  0 hay phương trình bậc hai 2 x  3x  2  0 có hai nghiệm x 1; x  2 1 2
. Tương tự hãy lập những phương trình bậc hai mà nghiệm mỗi phương trình là
một trong những cặp số sau: a. x  2; x  5 1 2 1 b. x   ; x  3 1 2 2 c.     1 x 1 2; x2 1 2
Bài 15 : Biết rằng x 1 2 là một nghiệm của phương trình 2
x  2x  3  a . Tính a.
Bài 16: Tìm a, b, c để phương trình 2
ax  bx  c  0 có hai nghiệm x  2  ;x  3 1 2 .
Có thể tìm được bao nhiêu bộ ba số a, b, c thỏa mãn yêu cầu bài toán?
Bài 17: Biết rằng phương trình 2
3x  4x  mx  0 có nghiệm nguyên dương bé hơn 3. Tìm m
Bài 18: Cho phương trình  2   2 m
1 x  m  0 . Với giá trị nào của m thí phương trình có nghiệm
Bài 19: Với giá trị nào của m thì phương trình    2
m 1 x  2x  0 có hai nghiệm phân biệt
Bài 20:Phương trình bậc hai 2
ax  bx  c  0 có thể có nghiệp kép được không ? Khi nào thì điều đó xảy
23. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com ra?
Bài 21 :Cho a,b,c là các số thực có tổng khác 0.Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm
a(x  a)(x  c)  b(x  c)(x  a)(x  b)  0 (1)
Bài 22: Cho a,b,c thão mãn 3a + 4b +6c = 0 .Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm 2
f (x)  ax  bx  c  0 a b c
Bài 23: Cho các số thực dương m,n ,p thỏa mãn 2 m  n;mp  n và
   0 . Chứng minh rằng m n p phương trình 2
f (x)  ax  bx  c  0 có nghiệm x 0;  1 HƯỚNG DẪN Bài 1: a. 2 2
2x  2x  5  x  2x  3x  5  0 : a  2; b  3;c  5 b. 2 2
x  2x  mx  m  x  2  m x  m  0 : a  1; b  2  m;c  m c. 2     2 2x
2 3x 1  1 2  2x  3 2x  2 2 1  0 : a  2; b  3 2;c  2 2 1
Bài 2: Gọi phương trình bậc hai phải tìm là 2
ax  bx  c  0 có nghiệm x  2 1 2  a  2   1  b  2  
1  c  0  3a  b  c  2 2a  b  0 3a   b  c  0 b  2  a Vì a, b, c  ;  2  I nên     2a  b  0  c  a
Thay vào phương trình ta được: 2 2
ax  2ax  a  0  x  2x 1  0
Vậy hệ số a  1; b  2;c  1 Bài 3:  x  5 a. 2 x  5  0  
 x  5; x   5 1 2 x   5 x  0 b. 2
x  3x  0  x x  3  0   x  0; x  3  1 2 x  3 c. 2 2x  3  0 Ta có: 2 2 2x  0  2x  3  0
Vậy phương trình vô nghiệm Bài 4: a. 2 2
2x  5x  3  0  2x  2x  3x  3  0  x  1  x 12x 3 0       3  x    2
24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com  3 
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  1;   2  b. 2 2
x  x 12  0  x  3x  4x 12  0          x 3 x 3 x 4  0    x  4
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S   3  ;  4 c. 2     2 x
3 x 1  0  x   3 x   2 2 1   0       x 1 3 1 0 x 3.x 1 x 3.x 1 0          x  1 3 1  0  1 1 
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S   ;   3 1 3 1 Bài 5: a. 2 2 2
x  6x 16  0  x  6x  16  x  6x  9 16  9    2  x  3  5 x 3  25   x  3  5 
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S   8  ;  2 b. 2 2 2 1
2x  6x 1  0  2x  6x  1  x  3x   2  3 7 2  x   2 9 9 1  3  7 2 2
 x  3x     x       4 4 2  2  4  3  7 x    2 2 3 7 3 7 
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S   ;   2 2   Bài 6: a. 2 2
3x  5x  7  2x  3x  7x  7  0 a  3;b  7;c  7   b. 2 2 2 2
2x  m  2(m 1)x  2x  2(m 1)x  m  0 ( 2
a  2; b  2(m 1);c  m ) Bài 7: 2 2
x  5x  6  0  x  2x  3x  6  0  x(x  2)  3(x  2)  0  (x  2)(x  3)  0
 x  2  0 hoặc x  3  0  x  2 hoặc x  3
25. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 8: Cách trình bày của Bảo có một chỗ chưa hợp lí đó là x   2
, vì không tồn tại căn bậc hai của số 2 Có hai cách trình bày : Cách 1: 2 2 2
3x  6  0  3x  6  x  2 ( khẳng định sai ) vậy phương trình vô nghiệm Cách 2: Vì 2 3x  0 nên 2
3x  6  6 .  Không thõa mãn 2
3x  6  0 , vậy phương trình vô nghiệm Bài 9: 2 2 2
3x 18x 12  0  3x 18x  12  x  6x  4
 x  2.3x  9  4  9  x  32 2  5
 x  3   5  x  3  5 c Bài 10: 2 2 2
ax  c  0  ax  c  x  . a c Vì 2
x  0 nên muốn cho phương trình có nghiệm thì  0 a
Vậy điều kiện để phương trình 2
ax  c  0 có nghiệm là c  0 hoặc a và c trái dấu 3 5  3 5  5  Bài 11: 2 x  x  0  x x   0  x  0   hoặc x  2 4  2 4  6 Bài 12: Ta có:   2   2 2 2x 1
x 2  0  3x  8x  3  0 Nên 2 2 2 2 2
a  b  c  3  8   3  2  82 Bài 13:
Ta có 3 là nghiệm của phương trình 2 ax  bx  c  0 nên:
3.a  3.b  c  0 mà a, b, c    b  0  c  3  a  x  3
Thay vào phương trình ta được: 2 x  3  0   x   3 Bài 14:
a. Hai số 2 và 5 là nghiệm của phương trình:      2
x 2 x 5  0  x  7x 12  0 1
b. Hai số  và 3 là nghiệm của phương trình: 2  1  x   x  3 2
 0  2x  5x  3  0  2 
c. Hai số 1 2 và 1 2 là nghiệm của phương trình:
26. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com             2 x 1 2 x 1
2   0  x  2x 1  0  2
Bài 15: Thay x  1 2 vào phương trình a  1 2  21 2  3  4 Bài 16:
x  2 là nghiệm của phương trình 2
ax  bx  c  0 ta có: 4a  2b  c  0
x  3 là nghiệm của phương trình 2
ax  bx  c  0 ta có: 9a  3b  c  0
Khi đó bộ số a, b, c là nghiệm của hệ phương trình: 4a  2b  c  0  9a  3b  c  0  5a  5b  0  b  a  b  a       4a  2b  c  0 4a  2 
a c  0 c  6  a  a 
Do đó với mọi a  0 ta có:  b  a suy ra 2      2 ax ax 6a 0 a x  x  6  0 c  6  a 
Với a  1 ta có phương trình: 2 x  x  6  0
Với a  1 ta có phương trình: 2 2x  2x 12  0
Vậy có vô số bộ số a, b, c thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài 17:  x  0 Ta có: x 3x 4 m 0      4  m x   3
Để phương trình có nghiệm nguyên dương bé hơn 3 thì:  4  m 1  3  m 1   4 m    m  2   2  3
Bài 18:  2   2     2   2 m 1 x m 0 m
1 x  m . Vì  2   2 m
1 x  0 , nên muốn cho phương trình
có nghiệm thì m  0  m  0 Bài 19:    2
m 1 x  2x  0  x m   1 x  2  0 
 x  0 hoặc (m 1)x  2  0
Muốn cho phương trình có hai nghiệm phân biệt thì phương trình    2
m 1 x  2x  0 phải có nghiệm
khác 0. Vậy m 1  0  m  1
27. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com  c Bài 20: 2 2 2 c
ax  c  0  ax  c  x 
.Nếu phương trình có nghiệm thì x   a a c c c
Do đó để phương trình có nghiệm kép thì    hay 2
 0  c  0 . Vậy phương trình có a a a
nghiệp kép khi c = 0
Bài 21 : Gọi f(x) là vế trái của phương trình (1).Ta có
f (0)  3abc;f (a)  a(a  b)(a  c);f (b)  b(b  a)(b  c);f (c)  c(c  a)(c  b)
 f (0).f (a).f (b).f (c)  3abc(a  b)(b  c)(c  a)2  0
 Trong 4 số f (o);f (a);f (b);f (c) luôn tồn tại hai số có tích không dương
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm. 2  3  9 3 9a 12b 16c 3(3a  4b  6c)  2c c
Bài 22: Ta có f (0)  c;f  a  b  c       4  16 4 16 16 8  3   f (0).f  0  
. Vậy phương trình luôn có nghiệm  4 
Bài 23: Để chứng minh phương trình 2
f (x)  ax  bx  c  0 có nghiệm x 0; 
1 ta sẽ chỉ ra các số thực n ;   x 0; 
1 sao cho f ().f   0 .Vì ,0; 
1 và giả thiết n  m   1 nên ta xét m 2  n  n n 2 a b c m  n m   1 m  f  a  b  c   .Mặt khác từ:    0  a.  b.  c  c   0 2    m  m m 2 2 2 m n p n m n    p n  2 2 2 m  m  n  pm  m  pm  n pm  n  f  c.  0  f  c  f (0) 2   2   n  n  pn  n  pm pm
- Nếu a  0  b  0  f (x) là đa thức không , do đó f (x) sẽ có nghiệm trong (0;1) b n b
- Nếu a  0 , từ giả thiết  
 1 và f (x)  x(ax  b)  0  x  0;  1 a m a 2  n  pm  n  n  * Xét c  0 ta có : 2 f .f (0)  f (0)  0  f (x)   có nghiệm x  0;    0;  1  m  pm  m 
---------------------Toán Học Sơ Đồ--------------------
28. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com