Chuyên đề diện tích hình tròn, hình quạt tròn

Tài liệu gồm 28 trang, được biên soạn bởi tác giả Toán Học Sơ Đồ, tổng hợp kiến thức trọng tâm, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng bài tập tự luận & trắc nghiệm chuyên đề diện tích hình tròn, hình quạt tròn, hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập chương trình Hình học 9 chương 3 bài số 10.

31 16 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Góc với đường tròn

Môn: Toán 9

Thông tin:

28 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
1.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QUẠT TRÒN
A.TRỌNG TÂM CƠ BẢN CẦN ĐẠT.
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Công thức diện tích hình tròn
Diện tích S của một hình tròn bán kinh R được tính theo công thức:
2
SR
2. Công thức diện tích hình quạt tròn
Diện tích hình quạt tròn bán kính E, cung n
0
được tính theo công thức:
2
360
Rn
S
hay
2
lR
S
.
(l là độ dài cung n
0
của hình quạt tròn).
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn và các loại lương có liên quan
Phương pháp giải: Áp dụng các công thức trên và các kiến thức đã có.
1.1. Điền vào ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất):
Bán kính
đường tròn (R)
Độ dài đường
tròn (C)
Diện tích hình
tròn (S)
Số đo của cung
tròn n
0
Diện tích hình
quạt tròn cung
n
0
12cm 45
0
2cm 12,5cm
2
40cm
2
10cm
2
1.2. Điền vào ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Bán kính
đường tròn (R)
Độ dài đường
tròn (C)
Diện tích hình
tròn (S)
Số đo của cung
tròn n
0
Diện tích hình
quạt tròn cung
n
0
2.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
14cm 60
0
4cm 15cm
2
60cm
2
16cm
2
2.1. Cho hình vuông có cạng là 4cm nội tiếp đường tròn (O). Hãy tính độ dài đường tròn (O) và diện tích
hình tròn (O).
2.2. Cho hình vuông có cạnh là 5cm nội tiếp đường tròn (O). Hãy tính độ dài đường tròn (O) và diện tích
hình tròn (O).
3.1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; 3cm). Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán
kính OA, OC và cung nhỏ AC khi
0
40ABC .
3.2. Cho tam giác ABC nội tếp đường tròn (O; 6cm). Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán
kính OA, OC và cung nhỏ AC khi
0
60ABC .
Dạng 2. Bài toán tổng hợp
Phương pháp giải: Sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học để tính góc ở tâm, bán kính đường tròn. Từ
đó tính được diện tích hình tròn và diện tích hình quạt tròn.
4.1. Cho đường tròn (O; R) và một điểm M sao cho OM = 2R. Từ M vẽ các tiếp tuyến MA, MB với
đường tròn (A, B là các tiếp điểm).
a) Tính độ dài cung nhỏ AB.
b) Tính diện tích giới hạn bởi hai tiếp tuyến AM, MB và cung nhỏ AB.
4.2. Cho đườ
ng tròn (O) đường kính AB. Lây M thuộc đoạn AB. vẻ dây CD vuông góc với AB tại M. Giả
sử AM = 2cm và CD = 4
3 cm. Tính:
a) Độ dài đường tròn (O) và diện tích đường tròn (O);
b) Độ dài cung
DCA và diện tích hình quạt tròn giói hạn bởi hai bán kính OC, OD và cung nhỏ
DC .
III. BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ NHÀ
5. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định. Gọi M là trung điểm đoạn OB. Dây CD vuông góc với
AB tại M. Điểm E chuyên động trên cung lớn CD (E khác A). Nôi AE cắt CD tại K. Nối BE cắt CD tại H.
a) Chứng minh bôn điểm B, M, E, K thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh AE.AK không đổi.
3.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
c) Tính theo R diện tích hình quạt tròn giói hạn bởi OB, OC và cung nhỏ BC.
6. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ dây CD = R (C thuộc cung AD). Nối AC và BD cắt
nhau tại M.
a) Chứng minh rằng khi CD thay đổi vị trí trên nửa đường tròn thì độ lớn góc
AMB
không đổi.
b) Cho
0
30ABC , tính độ dài cung nhỏ AC và diện tích hình viên phân giói hạn bởi dây AC và cung nhỏ
AC.
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
1.1.
Bán kính đường
tròn (R)
Độ dài
đường tròn (C)
Diện tích
hình tròn (S)
Số đo của cung
tròn n
0
Diện tích
hình quạt tròn
cung n
0
1,9cm 12cm 11,3cm
2
45
0
1,4cm
2
2cm 12,6cm 12,6cm
2
351,1
0
12,5cm
2
3,6cm 22,4cm 40,7cm
2
90
0
10,2cm
2
1.2.
Bán kính đường
tròn (R)
Độ dài
đường tròn (C)
Diện tích hình
tròn (S)
Số đo của cung
tròn n
0
Diện tích
hình quạt tròn
cung n
0
2,2cm 14cm 15,2cm
2 60
0 2,6cm
2
4cm 25,1cm 50,3cm
2
107,4
0
15cm
2
4,4cm 27,6cm 60cm
2
94,8
0
16cm
2
2.1.
2
22 ,() 4 2 ,() 8RcmCO cmSOcm


2.2. Tương tự 2.1.
3.1.
2
3Scm
3.2. Giải tương tự 3.1
4.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
4.1. a)
2
3
R
l
; b)
2
22
3(3)
33
R
SR R


4.2. a)
443AC cm BC cm
2
48,16RcmC cmS cm


b)
AOC
đều
0
60AOC
0
.4.120 8
120
180 3
CAD
COD l cm

.
2
8
.4
16
3
23
Scm

5. a) Chú ý:
0
90KMB và
0
90KEB
ĐPCM.
b)
(.)ABE AKM g g
AE AB
AM AK

2
..3AE AK AB AM R
không đổi.
c)
OBC
đều.
2
0
60
6
R
BOC S

6. a) Chứng minh được
COD
đều
0
60AMB
b)
00
30 60
3
AC
R
ABC AOC l
 
5.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
6.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
B.NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY
Bài 1. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, Gọi Ax, By là các tiếp tuyến tại A và B của (O), Tiếp
tuyến tại điểm M tùy ý của (O) cắt Ax và By lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
OCD
.
b) Cho
8AB
cm. Tìm vị trí của C để chu vi tứ giác ABDC bằng 28cm, khi đó tính diện tích của phần tứ
giác nằm ngoài (O).
Bài 2. Cho đường tròn tâm O, cung AB bằng
120
. Các tiếp tuyến của đường tròn tại A và tại B cắt nhau
ở C. Gọi (I) là đường tròn tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CB và cung AB nói trên. So sánh độ dài của
đường tròn (I) với độ dài cung AB của đường tròn (O)
Bài 3. Cho đường tròn có bán kính bằng 3. Người ta tô đỏ một số cung của hình tròn, tổng độ dài các
cung được tô bằng 9. Có tồn tại hay không một đường kính của đường tròn mà hai đầu không bị tô mầu?
Bài 5. Trong một hình tròn có bán kính 20 có thể đặt được 500 điể
m sao cho khoảng cách giữa hai điểm
bất kỳ lớn hơn 2 không?
Bài 6. Một hình vuông và một tam giác đều cùng nội tiếp trong đường tròn
(O;l)
sao cho một cạnh của
tam giác song song với một cạnh của hình vuông. Tính diện tích phần chung của tam giác và hình vuông.
Bài 7. Đường tròn
(O;r)
nội tiếp tam giác ABC. Qua O kẻ đường thẳng cắt hai cạnh AC và BC lần lượt
tại M và N. Chứng minh rằng:
2
2
CMN
Sr
.
Bài 8. Đường tròn
(O;r)
nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC, CA lần lượt tại D, E, F. Đặt AD =
x, BE = y, CF = z. Chứng minh rằng:
a)

ABC
Sxyzxyz
b)

3
3
ABC
Sxyyzzx
Bài 9. Cho tứ giác ABCD vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp được trong các đường tròn.
Chứng minh rằng:
...
ABCD
SABBCCDDA
.
HƯỚNG DẪN
Bài 1.
7.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
a)
OCD
vuông tại O (OC và OD là phân giác của hai góc kề bù)
I là trung điểm của CD thì IO = IC = ID và
IO AB
tại O nên
AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
OCD
.
b) Đặt
(cm)AC x
và
(cm)BD y

22810
ABDC
CABACBD xy
Mặt khác
2
.16OM MC MD xy
Giải hệ
10
16
xy
xy

ta được
2
8
x
y
hoặc
8
2
x
y
Vậy C cách A một đoạn
2AC cm
và
8BD cm
hoặc
8AC cm
và
2BD cm
. Cả hai trường hợp trên
hình thang vuông ABCD có cùng diện tích:
1
40S (cm
2
).
Diện tích nửa hình tròn (O):
2
8S
(cm
2
)
Vậy phần diện tích tứ giác ABCD nằm ngoài đường tròn:
2
12
40 8 (cm )SSS

Bài 2.
Gọi R, r theo thứ tự là bán kính của đường tròn (O), (I).
Gọi tiếp điểm của đường tròn (I) với cung AB và với cạnh CA theo thứ tự là M và H.
OAC
vuông tại A,
60AOC  nên
22OC OA R
và
2CM OC OM R R R
(1)
IHC
vuông tại H,
60HIC  nên
22IC IH r
Do đó
23MC MI IC r r r
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
3
R
r
Độ dài cung AB của (O) bằng
2
3
R
Độ dài đường tròn (I) bằng
2
2
3
R
r
8.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Vậy độ dài đường tròn (I) bằng độ dài cung AB của đường tròn (O).
Bài 3.
Ta tô xanh các cung đối xứng với các cung đỏ qua tâm O.
Như vậy tổng độ dài các cung được tô màu là
9.2 18
.
Chu vi của hình tròn là
2.3 6 18


.
Vậy tồn tại ít ra là một điểm của đường tròn không bị tô mầu. Điểm đối xứng với nó qua tâm O cũng
không được tô mầu. Đó là hai đầu đường kính phải tìm.
Bài 4.
Giả sử đặt được 500 điểm trong đường tròn có bán kính 20
sao cho khoảng cách giữa hai điểm đều lớn hơn 2.
Vẽ 500 đường tròn có bán kính bằng 1 có tâm là các điểm đã
cho. Vì khoảng cách giữa hai tâm lớn hơn tổ
ng của hai bán
kính nên các hình tròn này nằm ngoài nhau và nằm trong
hình tròn có bán kính
20 1 21
.
Tổng diện tích của 500 hình tròn bán kính 1 phải nhỏ hơn
diện tích của hình tròn có bán kính 21 nên
22
500. .1 .21

hay
500. 441.

, vô lý.
Vậy không thể đặt 500 điểm thỏa mãn đề bài.
Bài 5.
Ta kí hiệu ABC là tam giác đều và PQRL là hình vuông nội tiếp trong đường tròn
(O;1)
như hình vẽ. Đặt
diện tích phần chung của tam giác đều và hình vuông là S.
Do đó 2. (*)
ABC AKF MNB
SS S S
ABC là tam giác đều và PQRL là hình
vuông nội tiếp trong đường tròn
(O;1)
, nên
ta có:
32
3; 2
2
AC RQ AF

Ta có
32
.tan60 . 3
2
KF AF

9.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
 
2
32 3526
11
.. . .3
224 8
AKF
SAFKF


221
1
2
2
BH OB OH

Ta có
211 21
.tan30 .
23 6
MH BH


 
2. 2 1 3 2 2 3
11 21
.. .
22 6
62
BMN
SMNBH


Mà
33
4
ABC
S
. Thay các giá trị trên vào (*), ta được:
92 26 63
6
S

Bài 6.
Ta có

1
2
CMN CMO CNO
SSS CMCNr

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
2. 22.
CMN
CM CN CM CN S
Do đó:
2. .
CMN CMN
SSr
22 2
2. . 2
CMN CMN CMN
SSrSr 
Bài 7.
a) Vì
2 pABBCCAxyyzzx


2 xyz
nên
pxyz
Mặt khác
aBCBEECyz

nên
pa x

Tương tự p - b = y, p - c = z
Áp dụng công thức Hê-rông, ta có:

ABC
S ppapbpc 

xyz x y z
10.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
b)

3
3
ABC
Sxyyzzx
3.
ABC
Sxyyzzx
(*)
Từ câu a, nên

2
*3xyz x y z xy yz zx
Đặt:
,,xy a yz b zx c

. Bất đẳng thức trên có dạng:

2222
30ab bc ca a b c a b b c c a 
Bất đẳng thức cuối cùng, nên bất đẳng thức đầu đã được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi ABC là tam
giác đều.
Bài 8. Giả sử đường tròn
(I;r)
nội tiếp tứ giác ABCD, tiếp xúc với AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, N, P,
Q.
Đặt
,,xAMAQyBMBN
 
,z CN CP t DP DQ

Do tứ giác ABCD nội tiếp nên:
180BAD BCD
Từ đó suy ra
BAD NIP IAM NIC
IAM
AM IM
CIN
IN CN

..AM CN IM IN
hay
2
xz r
Tương tự ta có:
2
yt r
Ta có:

...AB BC CD DA x y y z z t t x
Khai triển vế phải, và chú ý:
2
xz yt r
Ta được:

22 2 2 2
... 2 2 2 2 2 2ABBCCDDArxyzt xyxzxtyzytzt 

22
22
ABCD
rxyzt rp S
11.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
(
pxyzt
là nửa chu vi của tứ giác ABCD).
Từ đó suy ra
...
ABCD
SABBCCDDA
12.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ
Câu 1. Một hình tròn có diện tích
2
225 ( )Scmp=
. Bán kính của hình tròn đó là:
A.
15( )cm
. B.
16( )cm
. C.
12( )cm
. D.
14( )cm
.
Câu 2. Diện tích hình tròn bán kính
8Rcm=
là:
A.
2
8( )cmp
. B.
2
64 ( )cmp
. C.
2
16 ( )cmp
. D.
22
32 ( )cmp
.
Câu 3. Diện tích hình tròn bán kính
10Rcm=
là:
A.
2
100 ( )cmp
. B.
2
10 ( )cmp
. C.
2
20 ( )cmp
. D.
22
100 ( )cmp
.
Câu 4. Cho đường tròn
(;10 )Ocm
, đường kính
AB
. Điểm
()MOÎ
sao cho
45BAM =
. Tính diện
tích hình quạt
AOM
.
A.
2
5( )cmp
. B.
2
25 ( )cmp
. C.
2
50 ( )cmp
. D.
2
25
()
2
cmp .
Câu 5. Cho đường tròn
(;8 )Ocm
, đường kính
AB
. Điểm
()MOÎ
sao cho
60BAM =
. Tính diện tích
hình quạt
AOM
.
A.
2
32 ( )cmp
. B.
2
16
()
3
cm
p
. C.
2
32
()
3
cm
p
. D.
2
23 ( )cmp
.
Câu 6. Cho đường tròn
()O
đường kính
43AB cm=
. Điểm
()COÎ
sao cho
30ABC =
. Tính diện
tích hình viên phân
AC
(hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung
ấy).
A.
2
33cmp -
. B.
2
233cmp -
. C.
2
433cmp -
. D.
2
23cmp -
.
Câu 7. Cho đường tròn
()O
đường kính
33AB cm=
. Điểm
()COÎ
sao cho
60ABC =
. Tính diện
tích hình viên phân
BC
. (hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung
ấy).
A.
2
18 27 3
()
16
cm
p -
.B.
2
18 9 3
()
16
cm
p -
. C.
2
233
()
16
cm
p -
. D.
2
18 27 3
()
4
cm
p -
.
Câu 8. Cho hình vuông có cạnh
6cm
là nội tiếp đường tròn
()O
. Hãy tính diện tích hình tròn
()O
.
13.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
A.
2
18 ( )cmp
. B.
2
36 ( )cmp
. C.
2
18( )cm
. D.
2
36( )cm
.
Câu 9. Cho hình vuông có cạnh
5cm
là nội tiếp đường tròn
()O
. Hãy tính diện tích hình tròn
()O
.
A.
2
25
()
4
cm
p
. B.
2
25
()
3
cm
p
. C.
2
15
()
2
cm
p
. D.
2
25
()
2
cm
p
.
Câu 10. Cho đường tròn
()O
đường kính
22AB cm=
. Điểm
()COÎ
sao cho
30ABC =
. Tính
diện tích hình giới hạn bởi đường tròn
()O
và
;AC BC
.
A.
3p -
. B.
223p -
. C.
33p -
. D.
23p -
.
Câu 11. Cho đường tròn
()O
đường kính
42AB cm=
. Điểm
()COÎ
sao cho
30ABC =
. Tính
diện tích hình giới hạn bởi đường tròn
()O
và
;AC BC
.
A.
3p -
. B.
223p -
. C.
33p -
. D.
23p -
.
Câu 12. Một hình quạt có chu vi bằng
34cm
và diện tích bằng
2
66cm
. Bán kính của hình quạt bằng?
A.
5( )Rcm=
. B.
6( )Rcm=
. C.
7( )Rcm=
. D.
8( )Rcm=
.
Câu 13. Một hình quạt có chu vi bằng
28( )cm
và diện tích bằng
2
49( )cm
. Bán kính của hình quạt bằng?
A.
5( )Rcm=
. B.
6( )Rcm=
. C.
7( )Rcm=
. D.
8( )Rcm=
.
Câu 14. Cho đường tròn
(; )OR
và điểm
M
sao cho
2OM M=
. Từ
M
vẽ các tiếp tuyến
,MA MB
với
đường tròn (
,AB
là các tiếp điểm). Tính diện tích giới hạn bởi hai tiếp tuyến
,AM MB
và cung nhỏ
AB
.
A.
2
3
R
p
. B.
2
3R
. C.
2
3
3
R
p
æö
÷
ç
÷
+
ç
÷
ç
÷
ç
èø
. D.
2
3
3
R
p
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
.
Câu 15. Cho tam giác
ABC
đều nội tiếp đường tròn
()O
. Độ dài các cung
,,AB BC CA
đều bằng
6p
.
Diện tích của tam giác đều
ABC
là:
A.
243
3
2
. B.
234
3
4
. C.
61 3
. D.
243
3
4
.
Câu 16. Cho tam giác đều
ABC
nội tiếp đường tròn
()O
. Độ dài của các cung
,,AB BC CA
đều bằng
4p
. Diện tích của tam giác đều
ABC
là:
14.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
A.
2
27 3cm
. B.
2
73cm
. C.
2
29 3cm
. D.
2
93cm
.
Câu 17. Cho
,,,ABC D
là
4
đỉnh của hình vuông có cạnh là
2cm
. Tính diện tích của hình hoa
4
cánh
giới hạn bởi các đường tròn có bán kính bằng
a
, tâm là các đỉnh của hình vuông.
A.
48S p=-
. B.
48S p=+
. C.
4S p=
. D.
84S p=-
.
Câu 18. Cho
,,,ABC D
là
4
đỉnh của hình vuông có cạnh là
2cm
. Tính diện tích của hình hoa
4
cánh
giới hạn bởi các đường tròn có bán kính bằng
a
, tâm là các đỉnh của hình vuông.
A.
2
(2)Sap=+
. B.
2
2( 2)Sap=+
. C.
2
(2)Sap=-
. D.
2
2( 2)Sap=-
.
HƯỚNG DẪN
Câu 1. Đáp án A.
Diện tích
22
225 225 15( )
SR R R cm
pp== ==
Câu 2. Đáp án B.
Diện tích
22 2
.8 64 ( )
SR cm
pp p===
Câu 3. Đáp án A.
Diện tích
22 2
.10 100 ( )
SR cm
pp p== =
.
Câu 4. Đáp án B.
Xét đường tròn
()O
có:
45
OA OM
AOM
MAO
ì
ï
=
ï
ï
D
í
ï
=
ï
ï
î
là tam giác vuông cân
0
90 .MOA=
Vậy diện tích hình quạt
AOM
là
22
2
.10 .90
25 ( )
360 360
Rn
Scm
pp
p== =
.
Câu 5. Đáp án C.
15.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Xét đường tròn
()O
có
60BAM =
suy ra số đo cung
MB
bằng
2.60 120=

Suy ra số đo cung
AM
bằng
180 120 60n =-=

Vậy diện tích hình quạt
AOM
là
22
2
.8 .60 32
()
360 360 3
Rn
Scm
pp p
== =
Câu 6. Đáp án B.
Xét đường tròn
()O
có:
ABC
và
AOC
là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung
22
00
.60
2. 2.30 60
360 6
qAOC
RR
AOC ABC S
pp
= === =
Xét
AOCD
có
60AOC =
và
OA OC R==
nên tam giác
AOC
đều cạnh bằng
R
.
Gọi
CH
là đường cao của tam giác
AOC
, ta có:
0 2
31133
.sin60 . . . . . . .
22224
AOC
CH C O R S CH OA R R R=====
Diện tích hình viên phân
AC
là:
pp
æö
÷
ç
÷
ç
-=- =-
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
2
22
33
..
64 64
qAOC AOC
R
SS R R
()
p
p
æö
÷
-
ç
÷
ç
==-
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
2
233
.2 3 2 3 3
12
(cm
2
).
Câu 7. Đáp án A.
16.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Xét đường tròn
()O
có:
90ACB =
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra
90 30CAB CBA=- =

(tam giác
ABC
vuông tại
C
)
ACB
và
BOC
là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn
cung
22
00
.60
2. 2.30 60
360 6
quat AOC
RR
BOC ACB S
pp
= == = =
Xét
BOCD
có
60BOC =
và
OA OC R==
nên tam giác
AOC
đều
cạnh bằng
R
.
Gọi
CH
là đường cao của tam giác
AOC
, ta có:
0 2
31133
.sin60 . . . . . . .
22224
AOC
CH C O R S CH OA R R R=====
Diện tích hình viên phân
BC
là:
2
2
22
B
2
33
..
64 64
23333 18273
.
12 1
()
26
quat BOC OC
R
SS R
c
R
m
D
pp
pp
æö
÷
ç
÷
ç
-=- =-
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
æöæö
÷÷
--
çç
÷÷
çç
==
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
Câu 8. Đáp án A.
17.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Gọi hình vuông
ABCD
nội tiếp đường tròn
()O
khi đó
OA OB OC OD R O====
là giao
điểm của
AC
và
BD
2
AC
R=
Xét tam giác vuông
ABC
ta
có
22222
62
6 6 72 62 32
2
AC AB BC AC R=+=+====
Diện tích hình tròn
()O
là
()
2
22
32 18( )SR cmpp p== =
.
Câu 9. Đáp án D.
Gọi hình vuông
ABCD
nội tiếp đường tròn
()O
khi đó
OA OB OC OD R====
là giao điểm
của
AC
và .
2
AC
BD R=
Xét tam giác vuông
ABC
ta có
22222
52
5550 52
2
AC AB BC AC R=+=+===
Diện tích hình tròn
()O
là
22
25
().
2
SR cm
p
p==
Câu 10. Đáp án A.
Diện tích hình tròn
()O
là:
2
()O
SRp=
Ta có góc
ACB
là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
0000
90 90 30 60 .BAC CBA=-=-=
18.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Tam giác
AOC
có
60CAO =
và
OA OC R==
nên tam giác
AOC
đều cạnh bằng
R
.
Giả sử
CH
là đường cao của tam giác
ABC
, ta có:
==== =
0 2
31133
.sin60 . . . .2 .
22222
ABC
CH CO R S CH AB R R R
Diện tích hình giới hạn bởi đường tròn
()O
và
,AC BC
là:
() ()()
2
22 2
()
1131 1
3323.
2222 2
OABC
SS R R Rpppp-= - =- =- =-
Câu 11. Đáp án B.
Diện tích hình tròn
()O
là:
2
()O
SRp=
Ta có góc
ACB
là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
0000
90 90 30 60 .BAC CBA=-=-=
Tam giác
AOC
có
60CAO =
và
OA OC R==
nên tam giác
AOC
đều cạnh bằng
R
.
Giả sử
CH
là đường cao của tam giác
ABC
, ta có:
==== =
0 2
31133
.sin60 . . . .2 .
22222
ABC
CH CO R S CH AB R R R
Diện tích hình giới hạn bởi đường tròn
()O
và
,AC BC
là:
()
()()
22 2
()
2
1131
3
2222
1
322 2 23.
2
OABC
SS R R Rpp
pp
-= - =-
=- =-
Câu 12. Đáp án B.
Ta có
ì
ï
ìììì
ï
ïïïï
====
=
ï
ïïïï
ï

ííííí
ïïïïï
+= += = =
ïïïïï
+=
îîîî
ï
ï
î
132 .2 264 2 12 6
66
2
2 34 2 34 22 22
234
lR
lR l R R R
lR lR l l
lR
Vậy
()6Rcm=
.
Câu 13. Đáp án C.
19.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Ta có
ì
ï
ìììì
ï
ïïïï
====
=
ï
ïïïï
ï

ííííí
ïïïïï
+= += = =
ïïïïï
+=
îîîî
ï
ï
î
98 .2 196 2 14 7
49
2
2 28 2 28 14 14
228
lR
lR l R R R
lR lR l l
lR
Vậy
()7Rcm=
Câu 14. Đáp án D.
Xét
OAMD
có
2
22
.3
3
22
OAM
OA AB R
AM OM OA R S=-== =
Mà
2
() 2 3
OAMB OAM
OAM OBM c c c S S R
DD=--==
Xét
OAMD
có
1
cos 60 120
2
OA
AOM AOM AOB
OM
== = =

Diện tích quạt tròn
22
.120
360 3
qAB
RR
S
pp
==
Diện tích giới hạn bởi hai tiếp tuyến
,AM MB
và cung nhỏ
AB
là
2
22
33.
33
OAMB q AB
R
SS S R R
pp
æö
÷
ç
÷
=-=-= -
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Câu 15. Đáp án D.
Gọi RR là bán kính của đường tròn
( ).O
Độ dài của các cung
,, AB BC CA
đều bằng
6 p
nên ta
có
266618CRppppp==++=
, suy ra
9R =
hay
9OA OB OC===
Ta cũng có
0
120AOB BOC COA===
20.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
suy ra
0
120AOB BOC COA===
suy ra
1
3
AOB AOC BOC ABC
SSS S
DDD D
===
Xét tam giác
AOC
có:
30
120
OAC OCA
COA
ì
ï
==
ï
ï
í
ï
=
ï
ï
î
Kẻ đường cao
OE
, ta có đồng thời là đường trung tuyến, phân giác của góc
COA
Ta có
1
2
AOE COE AOC==
Xét tam giác
COE
có:
30
1
22
90
ECO
R
OE CO
CEO
ì
ï
=
ï
ï
= =
í
ï
=
ï
ï
î
Áp dụng định lý Pytago ta có:
2
22 2
3
22
R
CE OC OE R R
æö
÷
ç
÷
=-=-=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Vậy
2
1133
...
22228
COE
RR R
SOECE== = Suy
2
3
2
4
COA COE
R
SS==
và
22
33 33.9 2433
3
444
ABC COA
R
SS== = = .
Câu 16. Đáp án A.
Gọi
R
là bán kính của đường tròn
()O
. Độ dài của các cung
,,AB BC CA
đều bằng
4p
nên ta
có
2 44412CRppppp==++=
, suy ra
6R =
hay
6OA OB OC===
Ta cũng có
0
120AOB BOC COA===
suy ra
1
3
AOB AOC BOC ABCDD D D===
Xét tam giác
AOC
có:
30
120
OAC OCA
COA
ì
ï
==
ï
ï
í
ï
=
ï
ï
î
Kẻ đường cao
OE
, ta có đồng thời là đường trung tuyến, phân giác của góc
COA
.
21.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Ta có
1
2
AOE COE AOC==
Xét tam giác
COE
có:
30
1
22
90
ECO
R
OE CO
CEO
ì
ï
=
ï
ï
= =
í
ï
=
ï
ï
î
Áp dụng định lý Pytago ta có:
2
22 2
3
22
R
CE OC OE R R
æö
÷
ç
÷
=-=-=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Vậy
2
1133
...
22228
COE
RR R
SOECE== =
Suy ra
2
3
2
4
COA COE
R
SS== và
22
2
33 33
3273 .
44
ABC COA
RR
SS cm====
Câu 17. Đáp án A.
Ta có diện tích của hình hoa cần tính bằng
4
lần diện tích của hình viên phân
AC
4.
viên phân AC
SS
=
Hình viên phân
AC
bằng
quat ADC ADC
SS
D
-
Quạt tròn
ADC
có bán kính
3DA DC cm==
và số đo cung
90
Có:
D
p
=-= -
20
2
0
.90 1
2
360
viên phân AC quat ADC ADC
R
SSS R
pp
p
æö
-
÷
ç
÷
=- = =-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
22
12
.2 2
42 4
R
pp= = -= -44.(2)48
viên phân AC
SS
.
Câu 18. Đáp án C.
22.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Ta có diện tích của hình hoa cần tình băng
4
lần diện tích của hình viên phân
AC
:
4.
vp AC
SS
=
Có:
ppp
æö
-
÷
ç
÷
=-= -=-=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
20
222
0
.90 1 1 2
242 4
360
vp AC cung AC ADC
R
SS S R R a
p
p
-
= = = -
22
2
44. (2)
4
vp AC
SS a a.
23.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
D.TỰ LUYỆN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Bài 1:
a) Tính diện tích hình tròn có bán kính là 4 cm.
b) Tính diện tích hình quạt có bán kính là 4 cm, số đo cung là
0
72
.
Bài 2: Tính theo
a
diện tích hình tròn
()O
;
a) Biết độ dài cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn
()O
là
a
.
b) Biết độ dài cạnh của tam giác đều nội tiếp của đường tròn
()O
là
a
.
Bài 3: Cho đường tròn
(; )OR
có
AB
là dây cung và
=AB R
. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi
cung
AB
và dây
AB
.
Bài 4: Hãy tính diện tích hình viên phân
AmB
theo
R
biết góc ở tâm
=
0
120AOB
và bán kính hình tròn
là
R
.
Bài 5: Hình vành khăn là phần hình tròn bao gồm phần giữa hai hình tròn đồng tâm. Hãy lập công thức
tính diện tích hình vành khăn
S
theo
1
R
và
2
R
>
12
()RR
.
Bài 6: Trong một tam giác đều, vẽ những cung tròn
đi qua tâm của tam giác và từng cặp đỉnh của nó (hình
bên) cạnh tam giác bằng
a
. Tính diện tích hình hoa thị
gạch dọc.
Bài 7: Cho hình tròn
(; )
OR
;
A
là điểm sao cho
= 2OA R
. Vẽ hai tiếp tuyến
,AB AC
đến đường tròn
()O
(
B
và
C
là tiếp điểm).
Tính diện tích phần của tứ giác
OBAC
nằm ngoài hình tròn
()O
.
Bài 8: Cho đoạn thẳng
AB
:
M
là điểm nằm giữa
A
và
B
trên cùng nửa mặt phẳng bờ
AB
vẽ các nửa
đường tròn có đường kính
AM
;
MB
và
AB
. Xác định vị trí của
M
để diện tích hình giới hạn bởi ba
nửa đường tròn trên có giá trị lớn nhất.
Bài 9: Cho ba hình tròn có bán kính
123
;;RRR
có diện tích lần lượt là
123
;;SSS
tiếp xúc ngoài và cùng tiếp
xúc với đường thẳng
d
trong đó
3
R
là bán kính có độ dài nhỏ nhất.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
12
SS
theo độ dài cho trước
3
R
.
24.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bài 10: Một tờ giấy hình tròn bán kính 100cm có 9800 lỗ kim châm. Chứng minh rằng có thể cắt ra ở tờ
giấy ấy một hình tròn bán kính 1cm không có lỗ kim châm nào.
HƯỚNG DẪN
Bài 1:
a) Diện tích hình tròn có bán kính 4cm là:
pp==
22
15 ( )SR cm
b) Diện tích hình quạt tròn có bán kính 4cm, số đo cung
0
72
là:
pp
==
22
2
()
360 5
q
Rn R
Scm
Bài 2:
a)
AB
là cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn
(; )
OR
Ta có:
==2
2
a
AB R R
p
p==
2
2
2
hinhtron
a
SR
(đvdt)
b)
AB
là cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn
(; )
OR
Ta có:
==3
3
a
AB R R
p
p==
2
2
3
hinhtron
a
SR
(đvdt)
Bài 3:
= ,AB R AB
là dây cung của đường tròn
(; )
OR
AB
là cạnh của lục giác đều nội tiếp đường tròn
(; )
OR
=
đ
0
s60AB
nên là tam giác đều.
25.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
R
2
R
1
O
m
I
H
C
B
A
O
==
22
33
44
OAB
OA R
S
(đvdt)
pp
==
22
360 6
quatOAB
Rn R
S
(đvdt)
p -
=-=
2
233
12
quatOAB OAB
vienphan AmB
SSS R
(đvdt)
Bài 4:
là cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn
(đvdt)
(đvdt)
(đvdt)
Bài 5:
p
=
2
11
.SR
p=
2
22
.SR
=-
12
vanhkhan
SSS
p
=-
22
12
()RR
(đvdt)
Bài 6:
Gọi
O
là tâm của tam giác đều
ABC
Ta có:
== =
2233
.
3323
aa
OA AH
O
nằm trên cung chứa góc
0
120
dựng trên đoạn
AB
0
120AOB =
AB
(; )OR
0
;3,s120
2
R
OH AB R AB= = =đ
2
.3
24
OAB
OH AB
SR==
2
22
()
120
360 360 3
quatOAB
nR
SRRppp===
22
2
()()
3
(4 3 3)
34 12
vienphanAmB quatOAB AOB
RR
SSS Rpp=-=-=-
26.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
B
MA
nên có số đo
=
0
60OA
DIAO
đều có
== =
3
3
a
IO AI AO
=
()
6
hoathi vienphanAmO
SS
=-
()
vienphanAmO quatAIO AIO
SSS
p
p
p
æöæö
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
=- =-=-
22
2
2
2
33
3
3
33
33
(2 3 3)
646436
aa
a
a
a
Suy ra:
p=-
2
(2 3 3)
6
hoathi
a
S
(đvdt)
Bài 7:
DOAB
có
=
0
90B
;
==
1
()
2
OB OA R
Nên
DOBA
là nửa tam giác đều
Suy ra:
==
0
60 ; 30BOA AB R
Mà
D=DOBA OCA
nên
=
0
120BOC
Và
D
== ==
2
.
22 .33
2
BOAC O BA
OB AB
SS RRR
(đvdt)
Mặt khác:
pp
==
2
120
360 3
quatOBC
R
SR
(đvdt)
Do đó:
pp=- =-= -
22
2
()
3(33)
33
cantim OBAC quatOBC
RR
SSS R
(đvdt)
Bài 8:
Đặt
==2, 2AB a AM x
Suy ra:
=-
2( )MB a x
Gọi
S
là diện tích hình giới hạn bởi ba nửa đường
27.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
R
1
R
2
d
O'
O
D
C
B
A
tròn trên;
123
,,SSS
là diện tích các nửa đường tròn
có đường kính lần lượt là
;;AM MB AB
.
Ta có:
ppp
éù
-
êú
=- + = - +
êú
êú
ëû
222
312
()
()
22 2
axax
SS S S
p
--+ -
==--
222 2
2
2
()
2
axa axx
xax
ppp
æö
÷
ç
÷
=- - + £
ç
÷
ç
÷
ç
èø
2
22
244
aaa
x
(không đổi)
Dấu “=” xảy ra khi
=
2
a
xM
là trung điểm
AB
.
Diện tích giới hạn bởi ba nửa đường tròn lớn nhất là
p
2
4
a
khi
M
là trung điểm của đoạn thẳng
AB
.
Bài 9:
Dễ thấy
OACD
là hình chữ nhật do đó
=AC OD
¢¢
=-
222
OD OO O D
=+ -- =
22
12 21 12
()()4RR RR RR
Suy ra:
=
12
2AC R R
Chứng minh tương tự ta cũng có:
===+
13 23
2; 2;AB R R BC R R AC AB BC
=+=+
12 13 23
321
111
222RR RR RR
RRR

12 1 2
12
1
min minSS RR max
RR
Mà tổng
=+=
321
111
RRR
không đổi
28.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Do đó tích
==
12 1 2 3
11 1 1 1
.
2
max
RR R R R
==
12 3
4RR R
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của
12
SS
là
p
2
3
16 R
(đvdt).
Bài 10:
Ta cần chứng minh được hình tròn
(;1 )Ocm
không có lỗ kim châm nào.
(1) Tâm
()O
của hình tròn
(;1 )Ocm
có mép giấy 1cm.
(2) Tâm
()O
của hình tròn
(;1 )Ocm
cách mọi lỗ kim châm không nhỏ hơn 1cm.
Từ (1)
tâm
()O
thuộc hình tròn
¢
(;99 )Ocm
có diện tích là:
pp=
22
99 9801 ( )cm
Từ (2)
tâm
()O
phải ở ngoài 9800 hình tròn có tâm là 9800 lỗ kim chân và có bán kính là 1cm, diện
tích là:
pp=
22
9800.1 . 9800 ( )cm
>9801 9800
Suy ra trong tờ giấy vẫn còn chỗ trống để chọn được tâm
()O
.
Ta có đpcm.
---------------------Toán Học Sơ Đồ--------------------
| 1/28
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QUẠT TRÒN
A.TRỌNG TÂM CƠ BẢN CẦN ĐẠT.
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Công thức diện tích hình tròn
Diện tích S của một hình tròn bán kinh R được tính theo công thức: 2 S   R
2. Công thức diện tích hình quạt tròn
Diện tích hình quạt tròn bán kính E, cung n0 được tính theo công thức: 2  R n lR S hay S . 360 2
(l là độ dài cung n0 của hình quạt tròn).
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn và các loại lương có liên quan
Phương pháp giải: Áp dụng các công thức trên và các kiến thức đã có.
1.1. Điền vào ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất): Bán kính Độ dài đường Diện tích hình
Số đo của cung Diện tích hình
đường tròn (R) tròn (C) tròn (S) tròn n0 quạt tròn cung n0 12cm 450 2cm 12,5cm2 40cm2 10cm2
1.2. Điền vào ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất). Bán kính Độ dài đường Diện tích hình
Số đo của cung Diện tích hình
đường tròn (R) tròn (C) tròn (S) tròn n0 quạt tròn cung n0
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 14cm 600 4cm 15cm2 60cm2 16cm2
2.1. Cho hình vuông có cạng là 4cm nội tiếp đường tròn (O). Hãy tính độ dài đường tròn (O) và diện tích hình tròn (O).
2.2. Cho hình vuông có cạnh là 5cm nội tiếp đường tròn (O). Hãy tính độ dài đường tròn (O) và diện tích hình tròn (O).
3.1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; 3cm). Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán
kính OA, OC và cung nhỏ AC khi  0 ABC  40 .
3.2. Cho tam giác ABC nội tếp đường tròn (O; 6cm). Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán
kính OA, OC và cung nhỏ AC khi  0 ABC  60 .
Dạng 2. Bài toán tổng hợp
Phương pháp giải: Sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học để tính góc ở tâm, bán kính đường tròn. Từ
đó tính được diện tích hình tròn và diện tích hình quạt tròn.
4.1. Cho đường tròn (O; R) và một điểm M sao cho OM = 2R. Từ M vẽ các tiếp tuyến MA, MB với
đường tròn (A, B là các tiếp điểm).
a) Tính độ dài cung nhỏ AB.
b) Tính diện tích giới hạn bởi hai tiếp tuyến AM, MB và cung nhỏ AB.
4.2. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lây M thuộc đoạn AB. vẻ dây CD vuông góc với AB tại M. Giả
sử AM = 2cm và CD = 4 3 cm. Tính:
a) Độ dài đường tròn (O) và diện tích đường tròn (O); b) Độ dài cung  D
CA và diện tích hình quạt tròn giói hạn bởi hai bán kính OC, OD và cung nhỏ  CD .
III. BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ NHÀ
5. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định. Gọi M là trung điểm đoạn OB. Dây CD vuông góc với
AB tại M. Điểm E chuyên động trên cung lớn CD (E khác A). Nôi AE cắt CD tại K. Nối BE cắt CD tại H.
a) Chứng minh bôn điểm B, M, E, K thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh AE.AK không đổi.
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
c) Tính theo R diện tích hình quạt tròn giói hạn bởi OB, OC và cung nhỏ BC.
6. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ dây CD = R (C thuộc cung AD). Nối AC và BD cắt nhau tại M.
a) Chứng minh rằng khi CD thay đổi vị trí trên nửa đường tròn thì độ lớn góc  AMB không đổi. b) Cho  0
ABC  30 , tính độ dài cung nhỏ AC và diện tích hình viên phân giói hạn bởi dây AC và cung nhỏ AC.
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ 1.1. Diện tích
Bán kính đường Độ dài Diện tích Số đo của cung tròn (R) hình quạt tròn
đường tròn (C) hình tròn (S) tròn n0 cung n0 1,9cm 12cm 11,3cm2 450 1,4cm2 2cm 12,6cm 12,6cm2 351,10 12,5cm2 3,6cm 22,4cm 40,7cm2 900 10,2cm2 1.2. Diện tích
Bán kính đường Độ dài Diện tích hình Số đo của cung tròn (R) hình quạt tròn
đường tròn (C) tròn (S) tròn n0 cung n0 2,2cm 14cm 15,2cm2 600 2,6cm2 4cm 25,1cm 50,3cm2 107,40 15cm2 4,4cm 27,6cm 60cm2 94,80 16cm2 2.1. 2
R  2 2cm,C(O)  4 2cm, S(O)  8 cm
2.2. Tương tự 2.1. 3.1. 2 S  3 cm
3.2. Giải tương tự 3.1
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 2 R 2  R4.1. a) l  ; b) 2 2 S  3R   ( 3  )R 3 3 3
4.2. a) AC  4cm BC  4 3cm 2
R  4cm C  8c ,
m S  16 cm b) AOC đều  0  AOC  60  .4.120 8 0
COD  120  l   cm .  CAD 180 3 8 .4 16 3 2  S   cm 2 3 5. a) Chú ý:  0 KMB  90 và  0 KEB  90  ĐPCM.
b) ABE  AKM (g.g) AE AB   AM AK 2  AE.AK  .
AB AM  3R không đổi. c) OBC đều. 2   R 0
BOC  60  S  6
6. a) Chứng minh được COD đều  0  AMB  60  R b)  0  0
ABC  30  AOC  60  l   AC 3
4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
B.NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY
Bài 1. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, Gọi Ax, By là các tiếp tuyến tại A và B của (O), Tiếp
tuyến tại điểm M tùy ý của (O) cắt Ax và By lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp OCD  .
b) Cho AB  8 cm. Tìm vị trí của C để chu vi tứ giác ABDC bằng 28cm, khi đó tính diện tích của phần tứ giác nằm ngoài (O).
Bài 2. Cho đường tròn tâm O, cung AB bằng 120 . Các tiếp tuyến của đường tròn tại A và tại B cắt nhau
ở C. Gọi (I) là đường tròn tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CB và cung AB nói trên. So sánh độ dài của
đường tròn (I) với độ dài cung AB của đường tròn (O)
Bài 3. Cho đường tròn có bán kính bằng 3. Người ta tô đỏ một số cung của hình tròn, tổng độ dài các
cung được tô bằng 9. Có tồn tại hay không một đường kính của đường tròn mà hai đầu không bị tô mầu?
Bài 5. Trong một hình tròn có bán kính 20 có thể đặt được 500 điểm sao cho khoảng cách giữa hai điểm
bất kỳ lớn hơn 2 không?
Bài 6. Một hình vuông và một tam giác đều cùng nội tiếp trong đường tròn (O;l) sao cho một cạnh của
tam giác song song với một cạnh của hình vuông. Tính diện tích phần chung của tam giác và hình vuông.
Bài 7. Đường tròn (O;r) nội tiếp tam giác ABC. Qua O kẻ đường thẳng cắt hai cạnh AC và BC lần lượt
tại M và N. Chứng minh rằng: 2 S  2r . CMN
Bài 8. Đường tròn (O;r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC, CA lần lượt tại D, E, F. Đặt AD =
x, BE = y, CF = z. Chứng minh rằng: a) S
xyz x y z ABC   b) 3 S
xy yz zx ABC   3
Bài 9. Cho tứ giác ABCD vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp được trong các đường tròn. Chứng minh rằng: SA . B B . C C . D DA . ABCD HƯỚNG DẪN Bài 1.
6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com a) OC
D vuông tại O (OC và OD là phân giác của hai góc kề bù)
I là trung điểm của CD thì IO = IC = ID và IO AB tại O nên
AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp OCD .
b) Đặt AC x(cm) và BD y(cm) C
AB  2 AC BD  28  x y 10 ABDC Mặt khác 2
OM MC.MD xy  16
x y  10 x  2 x  8 Giải hệ  ta được  hoặc  xy  16 y  8  y  2
Vậy C cách A một đoạn AC  2cm và BD  8cm hoặc AC  8cm và BD  2cm. Cả hai trường hợp trên
hình thang vuông ABCD có cùng diện tích: S  40 (cm2). 1
Diện tích nửa hình tròn (O): S  8 (cm2) 2
Vậy phần diện tích tứ giác ABCD nằm ngoài đường tròn: 2
S S S  40  8 (cm ) 1 2 Bài 2.
Gọi R, r theo thứ tự là bán kính của đường tròn (O), (I).
Gọi tiếp điểm của đường tròn (I) với cung AB và với cạnh CA theo thứ tự là M và H. OAC vuông tại A, 
AOC  60 nên OC  2OA  2R và
CM OC OM  2R R R (1) IHC  vuông tại H, 
HIC  60 nên IC  2IH  2r
Do đó MC MI IC r  2r  3r (2) R
Từ (1) và (2) suy ra r  3 2 R
Độ dài cung AB của (O) bằng 3 2 R
Độ dài đường tròn (I) bằng 2 r  3
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Vậy độ dài đường tròn (I) bằng độ dài cung AB của đường tròn (O). Bài 3.
Ta tô xanh các cung đối xứng với các cung đỏ qua tâm O.
Như vậy tổng độ dài các cung được tô màu là 9.2  18 .
Chu vi của hình tròn là 2.3  6  18 .
Vậy tồn tại ít ra là một điểm của đường tròn không bị tô mầu. Điểm đối xứng với nó qua tâm O cũng
không được tô mầu. Đó là hai đầu đường kính phải tìm. Bài 4.
Giả sử đặt được 500 điểm trong đường tròn có bán kính 20
sao cho khoảng cách giữa hai điểm đều lớn hơn 2.
Vẽ 500 đường tròn có bán kính bằng 1 có tâm là các điểm đã
cho. Vì khoảng cách giữa hai tâm lớn hơn tổng của hai bán
kính nên các hình tròn này nằm ngoài nhau và nằm trong
hình tròn có bán kính 20 1  21.
Tổng diện tích của 500 hình tròn bán kính 1 phải nhỏ hơn
diện tích của hình tròn có bán kính 21 nên 2 2 500. .1   .21
hay 500.  441. , vô lý.
Vậy không thể đặt 500 điểm thỏa mãn đề bài. Bài 5.
Ta kí hiệu ABC là tam giác đều và PQRL là hình vuông nội tiếp trong đường tròn (O;1) như hình vẽ. Đặt
diện tích phần chung của tam giác đều và hình vuông là S. Do đó S S  2.SS (*) ABC AKF MNB
ABC là tam giác đều và PQRL là hình
vuông nội tiếp trong đường tròn (O;1) , nên 3  2
ta có: AC  3; RQ  2  AF  2 3  2
Ta có KF AF.tan 60  . 3 2
8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com   2 3 2 3 5 2 6 1 1   S  .AF.KF  . . 3  AKF 2 2 4 8 2 2 1
BH OB OH  1  2 2   Ta có 2 1 1 2 1
MH BH. tan 30  .  2 3 6 2. 2   1  32 2 3 1 1 2 1  S  .MN.BH  .  BMN 2 2 6 2 6   Mà 3 3 S
. Thay các giá trị trên vào (*), ta được: 9 2 2 6 6 3 S ABC 4 6 Bài 6. Ta có 1 SSSCM CN r CMN CMO CNO   2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
CM CN  2 C . M CN  2 2.S CMN Do đó: S  2.S .r CMN CMN 2 2 2  S  2.S .r S  2r CMN CMN CMN Bài 7.
a) Vì 2 p AB BC CA x y y z z x
 2x y z nên p x y z
Mặt khác a BC BE EC y z nên p a x
Tương tự p - b = y, p - c = z
Áp dụng công thức Hê-rông, ta có: S
p p a p b p c ABC    
xyzx y z
9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com b) 3 S
xy yz zx ABC   3  3.S
xy yz zx (*) ABC Từ câu a, nên   
        2 * 3xyz x y z xy yz zx Đặt: xy  , a yz  ,
b zx c . Bất đẳng thức trên có dạng:
ab bc ca  a b c2  a b2 b c2  c a2 3  0
Bất đẳng thức cuối cùng, nên bất đẳng thức đầu đã được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi ABC là tam giác đều.
Bài 8. Giả sử đường tròn (I;r) nội tiếp tứ giác ABCD, tiếp xúc với AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, N, P, Q.
Đặt x AM A ,
Q y BM BN,
z CN C ,
P t DP DQ
Do tứ giác ABCD nội tiếp nên:  
BAD BCD  180 Từ đó suy ra    
BAD NIP IAM NIC IAMAM IMCIN   IN CN  . AM CN I . M IN hay 2 xz r Tương tự ta có: 2 yt r Ta có: . AB B . C .
CD DA   x y y zz tt x
Khai triển vế phải, và chú ý: 2
xz yt r Ta được: 2
AB BC CD DA r  2 2 2 2 . . .
x y z t  2xy  2xz  2xt  2yz  2yt  2zt
r x y z t2  rp2 2 2  S ABCD
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
( p x y z t là nửa chu vi của tứ giác ABCD). Từ đó suy ra SA . B B . C C . D DA ABCD
11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ
Câu 1. Một hình tròn có diện tích 2 S = 225 (
p cm ) . Bán kính của hình tròn đó là: A. 15(cm). B. 16(cm). C. 12(cm). D. 14(cm).
Câu 2. Diện tích hình tròn bán kính R = 8cm là: A. 2 8p(cm ) . B. 2 64p (cm ). C. 2 16p (cm ) . D. 2 2 32p (cm ) .
Câu 3. Diện tích hình tròn bán kính R = 10cm là: A. 2 100p(cm ) . B. 2 10p (cm ) . C. 2 20p (cm ) . D. 2 2 100p (cm ) .
Câu 4. Cho đường tròn (O;10cm) , đường kính AB . Điểm M Î (O) sao cho 
BAM = 45 . Tính diện
tích hình quạt AOM . 25 A. 2 5 ( p cm ). B. 2 25 ( p cm ). C. 2 50 ( p cm ). D. 2 ( p cm ) . 2
Câu 5. Cho đường tròn (O; 8cm) , đường kính AB . Điểm M Î (O) sao cho 
BAM = 60 . Tính diện tích hình quạt AOM . 16p 32p A. 2 32 ( p cm ). B. 2 (cm ). C. 2 (cm ) . D. 2 23 ( p cm ). 3 3
Câu 6. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 4 3cm . Điểm C Î (O) sao cho 
ABC = 30 . Tính diện
tích hình viên phân AC (hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung ấy). A. 2 p - 3 3cm . B. 2 2p - 3 3cm . C. 2 4p - 3 3cm . D. 2 2p - 3cm .
Câu 7. Cho đường tròn(O) đường kính AB = 3 3cm . Điểm C Î (O) sao cho 
ABC = 60 . Tính diện
tích hình viên phân BC . (hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung ấy). 18p - 27 3 18p - 9 3 2p - 3 3 18p - 27 3 A. 2 (cm ).B. 2 (cm ). C. 2 (cm ) . D. 2 (cm ). 16 16 16 4
Câu 8. Cho hình vuông có cạnh 6cm là nội tiếp đường tròn (O) . Hãy tính diện tích hình tròn (O) .
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com A. 2 18p(cm ). B. 2 36p(cm ) . C. 2 18(cm ) . D. 2 36(cm ) .
Câu 9. Cho hình vuông có cạnh 5cm là nội tiếp đường tròn (O) . Hãy tính diện tích hình tròn (O) . 25p 25p 15p 25p A. 2 (cm ) . B. 2 (cm ) . C. 2 (cm ). D. 2 (cm ) . 4 3 2 2
Câu 10. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2 2cm . Điểm C Î (O) sao cho  ABC = 30 . Tính
diện tích hình giới hạn bởi đường tròn (O) và AC;BC . A. p - 3 . B. 2p - 2 3 . C. p - 3 3 . D. 2p - 3 .
Câu 11. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 4 2cm . Điểm C Î (O) sao cho  ABC = 30 . Tính
diện tích hình giới hạn bởi đường tròn (O) và AC;BC . A. p - 3 . B. 2p - 2 3 . C. p - 3 3 . D. 2p - 3 .
Câu 12. Một hình quạt có chu vi bằng 34cm và diện tích bằng 2
66cm . Bán kính của hình quạt bằng?
A. R = 5(cm).
B. R = 6(cm). C. R = 7(cm) .
D. R = 8(cm) .
Câu 13. Một hình quạt có chu vi bằng 28(cm) và diện tích bằng 2
49(cm ). Bán kính của hình quạt bằng?
A. R = 5(cm).
B. R = 6(cm). C. R = 7(cm) .
D. R = 8(cm) .
Câu 14. Cho đường tròn (O;R) và điểm M sao cho OM = 2M . Từ M vẽ các tiếp tuyến , MA MB với đường tròn ( ,
A B là các tiếp điểm). Tính diện tích giới hạn bởi hai tiếp tuyến AM,MB và cung nhỏ AB . p æ p ö æ p ö A. 2 R . B. 2 3R . C. 2 R çç 3 ÷ + ÷ . D. 2 R çç 3 ÷ - ÷. 3 çè 3 ÷÷ø çè 3 ÷÷ø
Câu 15. Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O) . Độ dài các cung AB,BC,CA đều bằng 6p .
Diện tích của tam giác đềuABC là: 243 234 243 A. 3 . B. 3 . C. 61 3 . D. 3 . 2 4 4
Câu 16. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) . Độ dài của các cung AB,BC,CA đều bằng
4p . Diện tích của tam giác đều ABC là:
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com A. 2 27 3cm . B. 2 7 3cm . C. 2 29 3cm . D. 2 9 3cm . Câu 17. Cho ,
A B,C,D là 4 đỉnh của hình vuông có cạnh là 2cm . Tính diện tích của hình hoa 4 cánh
giới hạn bởi các đường tròn có bán kính bằng a , tâm là các đỉnh của hình vuông.
A. S = 4p - 8 .
B. S = 4p + 8 . C. S = 4p .
D. S = 8 - 4p . Câu 18. Cho ,
A B,C,D là 4 đỉnh của hình vuông có cạnh là 2cm . Tính diện tích của hình hoa 4 cánh
giới hạn bởi các đường tròn có bán kính bằng a , tâm là các đỉnh của hình vuông. A. 2
S = (p + 2)a . B. 2
S = 2(p + 2)a . C. 2
S = (p - 2)a . D. 2
S = 2(p - 2)a . HƯỚNG DẪN Câu 1. Đáp án A. Diện tích 2 2
S = pR = 225p R = 225  R = 15(cm) Câu 2. Đáp án B. Diện tích 2 2 2 S = pR = .8 p
= 64p(cm ) Câu 3. Đáp án A. Diện tích 2 2 2 S = pR = .10 p = 100p(cm ) . Câu 4. Đáp án B. OA ìï = OM ï
Xét đường tròn (O) có: í  AO D
M là tam giác vuông cân  0  MOA = 90 . MA ï O = 45 ïïî 2 2 R p n .1 p 0 .90 2 S = = = 25 ( p cm )
Vậy diện tích hình quạt AOM là 360 360 . Câu 5. Đáp án C.
14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Xét đường tròn (O) có 
BAM = 60 suy ra số đo cung MB bằng 2.60 = 120 Suy ra số đo cung AM
bằng n = 180 - 120 = 60 2 2 R p n .8 p .60 32p
Vậy diện tích hình quạt AOM là 2 S = = = (cm ) 360 360 3 Câu 6. Đáp án B.
Xét đường tròn (O) có:  ABC và 
AOC là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung   2 2 R p .60 R p 0 0
AOC = 2.ABC = 2.30 = 60  S = = qAOC 360 6 Xét AO D C có 
AOC = 60 và OA = OC = R nên tam giác AOC đều cạnh bằng R .
Gọi CH là đường cao của tam giác AOC , ta có: 3 1 1 3 3 0 2 CH = CO.sin 60 = .R S = CH.OA = . . . R R = .R . 2 AOC 2 2 2 4 p 2 æ R 3 3 2 çp ö÷
Diện tích hình viên phân AC là: S - S = - .R = ç ÷ - R qAOC AOC ç ÷ 2 . 6 4 ç ÷ ç 6 4 ÷ è ø æç p ö - ÷ 2 2 3 3 = ç ÷ ç ÷. 2 3 2 3 3 (cm2). ç ÷ ( ) = p - ç 12 ÷ è ø Câu 7. Đáp án A.
15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Xét đường tròn (O) có: 
ACB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra   
CAB = 90 -CBA = 30 (tam giác ABC vuông tại C )  ACB và 
BOC là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn R p .60 R p cung   2 2 0 0
BOC = 2.ACB = 2.30 = 60  S = = quat AOC 360 6 Xét BO D C có 
BOC = 60 và OA = OC = R nên tam giác AOC đều cạnh bằng R .
Gọi CH là đường cao của tam giác AOC , ta có: 3 1 1 3 3 0 2 CH = CO.sin 60 = .R S = CH.OA = . . . R R = .R . 2 AOC 2 2 2 4
Diện tích hình viên phân BC là: 2 R p 3 æçp 3 ö÷ 2 2 S - S = - .R = ç ÷ - ç ÷.R quat BOC B D OC 6 4 ç 6 4 ÷÷ è ø 2
æç2p - 3 3ö æç3 3ö ÷ ÷ 18p - 27 3 2 = ç ÷ ç ÷.ç ÷ ç ÷ ç ÷ = (cm ) ç 12 ÷ ç è ø 2 ÷÷ 16 è ø Câu 8. Đáp án A.
16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Gọi hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) khi đó OA = OB = OC = OD = R O là giao AC
điểm của AC và BD R = 2
Xét tam giác vuông ABC ta 6 2 có 2 2 2 2 2
AC = AB + BC = 6 + 6 = 72  AC = 6 2  R = = 3 2 2
Diện tích hình tròn (O) là S = pR = p ( )2 2 2 3 2 = 18p(cm ) . Câu 9. Đáp án D.
Gọi hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) khi đó OA = OB = OC = OD = R là giao điểm AC
của AC và BD R = . 2 5 2
Xét tam giác vuông ABC ta có 2 2 2 2 2
AC = AB + BC = 5 + 5 = 50  AC = 5 2  R = 2 25p
Diện tích hình tròn (O) là 2 2 S = R p = (cm ). 2 Câu 10. Đáp án A.
Diện tích hình tròn (O) là: 2 S = pR (O ) Ta có góc 
ACB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  0  0 0 0
BAC = 90 -CBA = 90 - 30 = 60 .
17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Tam giác AOC có 
CAO = 60 và OA = OC = R nên tam giác AOC đều cạnh bằng R .
Giả sử CH là đường cao của tam giác ABC , ta có: 3 1 1 3 3 CH = 0 CO.sin 60 = .R S = CH.AB = . . R 2R = 2 R . 2 ABC 2 2 2 2
Diện tích hình giới hạn bởi đường tròn (O) và AC,BC là: 1 1 3 1 S - S = R p - R = p - R = p - = p - O ABC ( ) 1 3 ( 3)( 2)2 2 2 2 3. ( ) 2 2 2 2 2 Câu 11. Đáp án B.
Diện tích hình tròn (O) là: 2 S = pR (O ) Ta có góc 
ACB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  0  0 0 0
BAC = 90 -CBA = 90 - 30 = 60 . Tam giác AOC có 
CAO = 60 và OA = OC = R nên tam giác AOC đều cạnh bằng R .
Giả sử CH là đường cao của tam giác ABC , ta có: 3 1 1 3 3 CH = 0 CO.sin 60 = .R S = CH.AB = . . R 2R = 2 R . 2 ABC 2 2 2 2
Diện tích hình giới hạn bởi đường tròn (O) và AC,BC là: 1 1 3 1 2 2 S - S = R p - R = p - R O ABC ( 3) 2 ( ) 2 2 2 2 1
= (p - 3)(2 2)2 = 2p - 2 3. 2 Câu 12. Đáp án B. ìïïlR ìï ì ï = 66 lR = 132 ï ì l.2R = 264 ï ì 2R = 12 ïR = 6 Ta có ï ï ï ï ï í 2  í  í  í  í ï ïl + 2R = 34 ïl + 2R = 34 ïl = 22 ïl = ïl + 2R = 34 ï 22 ï î ïî ïî ïî ïî Vậy R = ( 6 cm) . Câu 13. Đáp án C.
18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com ìïïlR ìï ì ï = 49 lR = 98 ï ì l.2R = 196 ï ì 2R = 14 ïR = 7 Ta có ï ï ï ï ï í 2  í  í  í  í ï ïl + 2R = 28 ïl + 2R = 28 ïl = 14 ïl = ïl + 2R = 28 ï 14 ï î ïî ïî ïî ïî Vậy R = ( 7 cm) Câu 14. Đáp án D. 2 . OA AB R 3 Xét OA D M có 2 2
AM = OM -OA = R 3  S = = OAM 2 2 Mà 2 OA D M = O
D BM(c - c - c)  S = 2S = 3R OAMB OAM OA 1 Xét OA D M có     cos AOM = =
AOM = 60  AOB = 120 OM 2 2 2 R p .120 R p
Diện tích quạt tròn S = = q AB 360 3
Diện tích giới hạn bởi hai tiếp tuyến AM,MB và cung nhỏ AB là 2 R p æ p ö 2 2 S = S - S = 3R - = R çç 3 ÷ - ÷. OAMB q AB 3 çè 3 ÷÷ø Câu 15. Đáp án D.
Gọi RR là bán kính của đường tròn (O). Độ dài của các cung AB,BC,CA đều bằng 6p nên ta có C = 2 R
p = 6p + 6p + 6p = 18p , suy ra R = 9 hay OA = OB = OC = 9 Ta cũng có    0
AOB = BOC = COA = 120
19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 1 suy ra    0
AOB = BOC = COA = 120 suy ra S = S = S = S AO D B A D OC B D OC 3 A D BC ìï  OA ï C = OCA = 30
Xét tam giác AOC có: ïí ï CO ï A = 120 ïî
Kẻ đường cao OE , ta có đồng thời là đường trung tuyến, phân giác của góc  COA 1 Ta có   
AOE = COE = AOC 2 ìï EC ï O = 30 1 R
Xét tam giác COE có: ïí ï  OE = CO = CE ï O = 90 2 2 ïî 2 æRö ç ÷ 3
Áp dụng định lý Pytago ta có: 2 2 2
CE = OC -OE = R - ç ÷ = R ç çè 2 ÷÷ø 2 2 1 1 R 3R 3R 2 3R Vậy S = OE.CE = . . = Suy S = 2S = COE 2 2 2 2 8 COA COE 4 2 2 3 3R 3 3.9 243 3 và S = 3S = = = . ABC COA 4 4 4 Câu 16. Đáp án A.
Gọi R là bán kính của đường tròn (O) . Độ dài của các cung AB,BC,CA đều bằng 4p nên ta có C = 2 R
p = 4p + 4p + 4p = 12p , suy ra R = 6 hay OA = OB = OC = 6 1 Ta cũng có    0
AOB = BOC = COA = 120 suy ra AO D B = A D OC = B D OC = A D BC 3 ìï  OA ï C = OCA = 30
Xét tam giác AOC có: ïí ï COA ï = 120 ïî
Kẻ đường caoOE , ta có đồng thời là đường trung tuyến, phân giác của góc  COA.
20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 1 Ta có   
AOE = COE = AOC 2 ìï EC ï O = 30 1 R
Xét tam giác COE có: ïí ï  OE = CO = CE ï O = 90 2 2 ïî 2 æRö ç ÷ 3
Áp dụng định lý Pytago ta có: 2 2 2
CE = OC -OE = R - ç ÷ = R ç çè 2 ÷÷ø 2 2 1 1 R 3R 3R S = OE.CE = . . = Vậy COE 2 2 2 2 8 2 3R 2 2 3 3R 3 3R Suy ra S = 2S = và 2 S = 3S = = = 27 3 cm . COA COE 4 ABC COA 4 4 Câu 17. Đáp án A.
Ta có diện tích của hình hoa cần tính bằng 4 lần diện tích của hình viên phân AC S = 4S . viên phân AC
Hình viên phân AC bằng S - S quat ADC A D DC
Quạt tròn ADC có bán kính DA = DC = 3cm và số đo cung 90 Có: p 2 0 R .90 1 S = S - S = - 2 R viên phân AC quat ADC DADC 0 360 2 æp ö ç 1÷ 2 2 p - 2 = ç - ÷R = .2 = p - ç ÷ 2 ç 4 2÷ è ø 4  S = 4S = 4. p ( - 2) = 4p - 8 . viên phân AC Câu 18. Đáp án C.
21. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Ta có diện tích của hình hoa cần tình băng 4 lần diện tích của hình viên phân AC : S = 4S . vp AC p 2 0 æ R .90 1 1 2 2 p ö ç ÷ 2 p - Có: S = S - S = - R = ç - ÷R = 2 a vp AC cung AC ADC 0 ç ÷ 360 2 ç 4 2÷ è ø 4 p - 2  S = 4S = 2 4. a = p ( - 2 2)a . vp AC 4
22. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
D.TỰ LUYỆN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Bài 1: a) Tính
diện tích hình tròn có bán kính là 4 cm. b) Tính
diện tích hình quạt có bán kính là 4 cm, số đo cung là 0 72 .
Bài 2: Tính theo a diện tích hình tròn (O);
a) Biết độ dài cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn (O) là a .
b) Biết độ dài cạnh của tam giác đều nội tiếp của đường tròn (O) là a .
Bài 3: Cho đường tròn (O;R) có AB là dây cung và AB = R . Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi
cung AB và dây AB .
Bài 4: Hãy tính diện tích hình viên phân AmB theo R biết góc ở tâm  AOB = 0
120 và bán kính hình tròn là R .
Bài 5: Hình vành khăn là phần hình tròn bao gồm phần giữa hai hình tròn đồng tâm. Hãy lập công thức
tính diện tích hình vành khăn S theo R và R (R > R ). 1 2 1 2
Bài 6: Trong một tam giác đều, vẽ những cung tròn
đi qua tâm của tam giác và từng cặp đỉnh của nó (hình
bên) cạnh tam giác bằng a . Tính diện tích hình hoa thị gạch dọc.
Bài 7: Cho hình tròn (O;R); A là điểm sao cho OA = 2R . Vẽ hai tiếp tuyến AB,AC đến đường tròn (O)
(B và C là tiếp điểm).
Tính diện tích phần của tứ giác OBAC nằm ngoài hình tròn (O).
Bài 8: Cho đoạn thẳng AB : M là điểm nằm giữa A và B trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các nửa
đường tròn có đường kính AM ; MB và AB . Xác định vị trí của M để diện tích hình giới hạn bởi ba
nửa đường tròn trên có giá trị lớn nhất.
Bài 9: Cho ba hình tròn có bán kính R ;R ;R có diện tích lần lượt là S ;S ;S tiếp xúc ngoài và cùng tiếp 1 2 3 1 2 3
xúc với đường thẳng d trong đó R là bán kính có độ dài nhỏ nhất. 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của S S theo độ dài cho trước R . 1 2 3
23. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 10: Một tờ giấy hình tròn bán kính 100cm có 9800 lỗ kim châm. Chứng minh rằng có thể cắt ra ở tờ
giấy ấy một hình tròn bán kính 1cm không có lỗ kim châm nào. HƯỚNG DẪN Bài 1:
a) Diện tích hình tròn có bán kính 4cm là: S = p 2 R = p 2 15 (cm )
b) Diện tích hình quạt tròn có bán kính 4cm, số đo cung 0 72 là: p 2 R n p 2 R S = = 2 (cm ) q 360 5 Bài 2: a)
AB là cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn (O;R) a
Ta có: AB = R 2  R = 2 a 2 p 2 S = pR = (đvdt) hinhtron 2 b)
AB là cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn (O;R) a
Ta có: AB = R 3  R = 3 a 2 p 2 S = pR = (đvdt) hinhtron 3 Bài 3: AB = ,
R AB là dây cung của đường tròn (O;R)
AB là cạnh của lục giác đều nội tiếp đường tròn (O;R)   đAB = 0 s 60 nên là tam giác đều.
24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 2 2 OA 3 3R S = = (đvdt) OAB 4 4 p 2 R n p 2 R S = = (đvdt) quatOAB 360 6 p 2 - 3 3 S = S - S = 2 R (đvdt)  quatOAB OAB vienphanAmB 12 Bài 4:  0 AOB = 120
AB là cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn (O;R) R 0  OH =
;AB = R 3, s A đ B = 120 2 OH.AB 3 2 S = = R (đvdt) OAB 2 4 2 n 120 R 2 2 S = R p = R p = p (đvdt) (quatOAB) 360 360 3 2 2 R 3 R 2 S = S - S = p - R = (4p - 3 3) (đvdt) (vienphanAmB) (quatOAB) AOB 3 4 12 Bài 5: S = p 2 .R R1 1 1 R2 O S = p 2 .R 2 2 S = S - S vanhkhan 1 2 = p 2 (R - 2 R ) (đvdt) 1 2 A Bài 6:
Gọi O là tâm của tam giác đều ABC m I 2 2 a 3 a 3
Ta có: OA = AH = . = 3 3 2 3 O B C H
O nằm trên cung chứa góc 0
120 dựng trên đoạn AB
25. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com nên có số đo  OA = 0 60 a 3
 DIAO đều có IO = AI = AO = 3 S = 6S hoathi (vienphanAmO) S = S - S (vienphanAmO) quatAIO AIO æ ö2 æ ö2 ça 3 ÷ ça 3 ÷ p ç ÷ ç ÷ 2 ç ÷ 3 a 3 ç ÷ ç ÷ 2 ç 3 ÷ ç ÷ p è ø ç 3 ÷ è ø a 2 a = - = 3 - 3 = p (2 - 3 3) 6 4 6 4 36 2 a Suy ra: S = (2p - 3 3) (đvdt) hoathi 6 Bài 7: DOAB có  B = 0 90 ; 1 OB = OA = ( R) 2
Nên DOBA là nửa tam giác đều Suy ra:  BOA = 0 60 ;AB = R 30
Mà DOBA = DOCA nên  BOC = 0 120 Và OB.AB S = 2S = 2 = . R R 3 = 2 R 3 (đvdt) BOAC DOBA 2 2 Mặt khác: 120 R S = pR = p (đvdt) quatOBC 360 3 2 2 Do đó: R R S = S - S = 2 R 3 - p = (3 3 - p) (đvdt) cantim OBAC (quatOBC ) 3 3 Bài 8:
Đặt AB = 2a,AM = 2x
Suy ra: MB = 2(a - x) A M B
Gọi S là diện tích hình giới hạn bởi ba nửa đường
26. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
tròn trên; S ,S ,S là diện tích các nửa đường tròn 1 2 3
có đường kính lần lượt là AM;MB;AB . 2 é 2 2 ù a x (a - Ta có: x) S S (S S ) p êp p ú = - + = - + 3 1 2 ê ú 2 êë 2 2 úû 2 a - 2 x - 2 a + 2ax - 2 x = = p - 2 (x - ax) 2 æ ö2 2 2 a a a = p ç ÷ - çx - ÷ + p £ p ç ÷ (không đổi) ç 2÷ è ø 4 4 a
Dấu “=” xảy ra khi x =
M là trung điểm AB . 2 2 a
Diện tích giới hạn bởi ba nửa đường tròn lớn nhất là p
khi M là trung điểm của đoạn thẳng AB . 4 Bài 9: d A B C
Dễ thấy OACD là hình chữ nhật do đó AC = OD R R 1 2 2 = ¢2 - ¢ 2 OD OO O D O D O' = (R + 2 R ) - (R - 2 R ) = 4R R 1 2 2 1 1 2
Suy ra: AC = 2 R R 1 2
Chứng minh tương tự ta cũng có:
AB = 2 R R ;BC = 2 R R ;AC = AB + BC 1 3 2 3 1 1 1
 2 R R = 2 R R + 2 R R  = + 1 2 1 3 2 3 R R R 3 2 1 1
S S min  R R min  max 1 2 1 2 R R 1 2 1 1 1 Mà tổng = + = không đổi R R R 3 2 1
27. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 1 1 1 1 1 Do đó tích . max  = = R R R R 2 R 1 2 1 2 3
R = R = 4R . 1 2 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của S S là 16p 2 R (đvdt). 1 2 3 Bài 10:
Ta cần chứng minh được hình tròn (O;1cm) không có lỗ kim châm nào.
(1) Tâm (O) của hình tròn (O;1cm) có mép giấy 1cm.
(2) Tâm (O) của hình tròn (O;1cm) cách mọi lỗ kim châm không nhỏ hơn 1cm.
Từ (1)  tâm (O) thuộc hình tròn (O¢;99cm) có diện tích là: 2 p = p 2 99 9801 (cm )
Từ (2)  tâm (O) phải ở ngoài 9800 hình tròn có tâm là 9800 lỗ kim chân và có bán kính là 1cm, diện tích là: 2 p = p 2 9800.1 . 9800 (cm ) 9801 > 9800
Suy ra trong tờ giấy vẫn còn chỗ trống để chọn được tâm (O). Ta có đpcm.
---------------------Toán Học Sơ Đồ--------------------
28. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com