Chuyên đề đường kính và dây cung của đường tròn

Tài liệu gồm 29 trang, được biên soạn bởi tác giả Toán Học Sơ Đồ, tổng hợp kiến thức trọng tâm, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng bài tập tự luận & trắc nghiệm chuyên đề đường kính và dây cung của đường tròn. Mời bạn đọc đón xem.

155 78 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 2: Đường tròn

Môn: Toán 9

Thông tin:

29 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
1.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Đường kính và dây của đường tròn
Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây:
+ Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung
điểm của dây ấy.
+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không
đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
Liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây
Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Trong hai dây của một đường tròn:
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
B.CÁC DẠNG BÀI TỰ LUẬN MINH HỌA
Dạng 1: Các bài toán liên quan đến tính toán trong đường tròn
Bài 1. Cho đường tròn

O
có bán kính . Dây
HK
của đường tròn vuông góc với
OI
tại trung điểm của
OI
. Tính độ dài
HK
.
Bài 2. Cho đường tròn

O
, đường kính
AD 2R
. Vẽ cung tâm
D
bán kính
R
, cung này cắt đường tròn

O
ở
B
và
C
.
a) Tứ giác
OBDC
là hình gì? Vì sao?
b) Tính số đo các góc
CBD, CBO, OBA
.
c) Chứng minh tam giác
ABC
là tam giác đều.
Bài 3. Cho đường tròn

O
bán kính
4OA cm
. Dây
BC
vuông góc với
OA
tại trung điểm của
OA
. Tính
độ dài
BC
.
Bài 4. Cho đường tròn

O
đường kính
AD
, dây
AB
. Qua
B
vẽ dây
BC
vuông góc với
AD
tại
H
. Biết
10 ; 12AB cm BC cm
a) Tính độ dài đoạn
AH
.
b) Tính bán kính đường tròn

O
.
2.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bài 5. Cho nửa đường tròn

O
đường kính
AD
. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm
B
và
C
. Biết
25 , 6AB BC cm CD cm
. Tính bán kính đường tròn
Bài 6. Cho đường tròn

;OR
đường kính
AB
. Gọi
M
là một điểm nằm giữa
A
và
B
. Qua
M
vẽ dây
CD
vuông góc với
AB
. Lấy điểm
E
đối xứng với
A
qua
M
.
a) Tứ giác
ACED
là hình gì? Vì sao?
b) Giả sử
RcmMAcm6,5 , 4
. Tính
CD
.
c)* Gọi
H
và
K
lần lượt là hình chiếu của
M
trên
CA
và
CB
. Chứng minh:
MC
MH MK
R
3
.
2
.
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng không bằng nhau
Bài 1. Cho tam giác
ABC
, các đường cao
AH
và
CK
. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm
,, ,AC H K
cùng thuộc một đường tròn;
b)
HK AC.
Bài 2. Cho đường tròn

O, R
và ba dây
AB, AC, AD
; gọi
M
và
N
lần lượt là hình chiếu của
B
trên
các đường thẳng
AC, AD
. Chứng minh rằng
MN 2R
.
Bài 3. Tứ giác ABCD có
0
BD
ˆˆ
90
.
a) Chứng minh rằng bốn điểm
,,,ABCD
cùng thuộc một đường tròn.
b) So sánh độ dài
AC
và
BD
. Nếu
AC BD
thì tứ giác ABCD là hình gì?
Bài 4. Cho đường tròn
(,4 )Ocm
Vẽ hai dây
AB
và
CD
vuông góc với nhau. Tính diện tích lớn nhất của tứ
giác
ACBD
.
Dạng 3: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Bài 1. Cho nửa đường tròn tâm

O
, đường kính
AB
và dây
EF
không cắt đường kính. Gọi
I
và
K
lần
lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ
A
và
B
đến
EF
. Chứng minh rằng
IE KF
.
Bài 2. Cho đường tròn
()O
và dây
AB
không đi qua tâm. Gọi
M
là trung điểm của
AB
. Qua
M
vẽ dây
CD
không trùng với
AB
. Chứng minh rằng điểm
M
không là trung điểm của
CD
.
Bài 3. Cho đường tròn tâm
O
, đường kính
CD
. Dây
AB
cắt đường kính
CD
tại
I
. Gọi
H
và
K
theo thứ
tự là chân các đường vuông góc kẻ từ
C
và
D
đến
AB
. Chứng minh rằng
AH BK
.
Bài 4. Cho đường tròn

O, R
đường kính
AB
. Gọi M là một điểm nằm giữa
A
và
B
. Qua
M
vẽ dây
CD
vuông góc với
AB
. Lấy điểm
E
đối xứng với
A
qua
M
.
a) Tứ giác
ACED
là hình gì? Tại sao?
b) Giả sử
R6cm
và
MA 4cm
, hãy tính
CD
.
c) Gọi
H
và
K
lần lượt là hình chiếu của
M
trên
CA
và
CB
. Chứng minh
3
MH.MK
2
MC
R
.
3.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Các bài toán liên quan đến tính toán trong đường tròn
Bài 1.
Gọi M là trung điểm của OI. Ta có:
2
2
OI
OM cm
Áp dụng định lí pitago trong tam giác vuông OMH:
222 22222
4212OH OM MH MH OH OM
23MH cm
Vì OI ⊥ HK nên M là trung điểm của HK. Do đó:
243HK MH cm
Bài 2.
a) Theo bài ra, ta có
BD DC R OB BD DC CO
. Do đó, tứ giác
OBDC
là hình thoi.
b) Vì
OB BD DO R
nên tam giác
BOD
là tam giác đều, suy ra
60DBO 
Vì BC là đường chéo của hình thoi nên là đường phân giác của góc DBO.
Do đó:
30DBC CBO.
Tam giác ABD nội tiếp đường tròn đường kính AD nên
90ADB 
Suy ra

90 60 30ABO ABD OBD 
c) Xét tam giác ABC, ta có
30 30 60ABC ABO OBC 
Tương tự
60ACB 
Vậy tam giác ABC là tam giác đều.
Bài 3.
M
Hình1
O
K
I
H
Hình2
C
B
O
D
A
4.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Ta có:
11
.4 2
22
OM MA OA cm
Xét
OMB
vuông tại
M
22 2
MB OB OM
( Định lí Pytago)
222
4212 23MB MB cm 
Xét

O
có
OA BC
tại
M
1
2
MB MC BC
243BC MB cm
Bài 4
a) Xét
O
có
AD BC
tại
H
11
.12 6
22
HB HC BC cm
Xét AHB vuông tại H
222
AH AB HB
( Định lí Py ta go)
222
10 6 64 8AH AH cm
b) Xét
ABD
có cạnh
AD
là đường kính của đường tròn ngoại tiếp
ABD
vuông tại
B
2
.AB AH AD
( Hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông)
2
100 12,5
12,5 6,25
82
AB
AD cm OA cm
AH

Vậy bán kính đường tròn

O
là 6,25cm
Bài 5.
Ta có
AB BC B
đường trung trực của
AC
OA OC R O
đường trung trực của
AC
OB
là đường trung trực của
AC
IA IC
OI
là đường trung bình của
ADC
11
.6 3
22
OI CD cm
Xét
OIC
vuông tại
I
2222
9IC OC OI R 
( Định lí Py ta go)
Xét
BIC
vuông tại
I
222 2 2
(2 5) ( 3)IC BC BI R
( Định lí Py ta go)
2222
9(25) ( 3) 3 100RRRR 
C
B
M
O
A
H
C
A
O
D
B
B
I
A
O
D
C
5.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
5Rcm
hoặc
2Rcm
( loại)
Vậy bán kính đường tròn là 5cm.
Bài 6.
a) Xét

O
có
AB CD
tại
M
1
2
MC MD CD
Xét tứ giác
ACED
có
;MC MD MA ME
tứ giác
ACED
là hình bình hành
Mặt khác
AE CD ACED
là hình thoi.
b) Ta có
2. 13AB R cm
13 4 9MB AB AM cm
Xét
ABC
có cạnh
AB
là đường kính của đường tròn ngoại
tiếp
ABC
vuông tại
C
Áp dụng hệ thức
2
'. 'hbc
ta có
2
.4.936MC MA MB
62.2.612MC cm CD MC cm
c) Xét
MAC
vuông tại
M
có đường có
MH
, áp dụng hệ thức
..bc ah
ta có
.
..
MA MC
MH AC MA MC MH
AC

. Tương tự
.MB MC
MK
BC

MA MC MB MC MC MA MB MC MC MC
MH MK
AC BC AC BC MC AB R
2223
.. .. .
..
..2
.
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng không bằng nhau
Bài 1.
a) Gọi
I
là trung điểm của AC. Áp dụng tính chất
đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong các tam
giác vuông AKC, AHC ta có:
1
2
IK IH AC
Suy ra điểm I cách đều 4 điểm
A, K, H, C
Vậy bốn điểm
A, K, H, C
cùng thuộc đường tròn tâm
I
bán kính
AI
.
b) Trong đường tròn
(, ),IAI AC
là đường kính,
HK
là
dây phân biệt với
AC
nên
HK AC
Bài 2.
K
H
E
D
C
A
O
B
M
Hình3
I
K
H
C
B
A
6.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Gọi
I
là trung điểm của
AB
. Áp dụng tính chất đường
trung tuyến ứng với cạnh huyền trong các tam giác
vuông
, ABN ABM
ta có:
1
2
IM IN AB IM IN IA IB 
Suy ra điểm
I
cách đều 4 điểm
,, ,ABM N
Do đó bốn điểm
,, ,ABM N
cùng thuộc đường tròn tâm
I
bán kính
AI
.
Trong đường tròn
(, ),IAI AB
là đường kính,
MN
là
dây nên
MN AB
(1)
Mặt khác, trong đường tròn
(,),OR AB
là dây nên
2AB R
(2).
Từ (1) và (2) ta được
2MN R
.
Bài 3.
a) Gọi
O
là trung điểm của
AC
, áp dụng tính chất
đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong các tam
giác vuông
,ABC ADC
ta có:
OB OA OC OD
Suy ra bốn điểm
,,,ABCD
nằm trên đường tròn đường
kính
AC
.
b) Vì
BD
là dây của đường tròn tâm
O
đường kính
AC
nên
BD AC
Nếu
BD AC
thì
BD
cũng là một đường kính khác
của đường tròn tâm
O
đường kính
AC
. Suy ra,
90BAD BCD
Vậy tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
Bài 4.
Ta có AB, CD là dây của đường tròn
(,4 )Ocm
suy ra
4, 4AB cm CD cm
.
Vì tứ giác
ACBD
có
AB CD
nên
22
11
.4.4()8()
22
ABCD
SABCDcmcm
I
Hình4
O
N
M
D
C
B
A
O
Hình5
D
C
B
A
Hình6
D
C
B
A
7.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Vậy diện tích lớn nhất của tứ giác
ACBD
bằng
2
8( )cm
, dấu
""
xẩy ra khi và chỉ khi
4
A
BCD cm
AB
và
CD
là đường kính của hình tròn.
Dạng 3: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Bài 1.
Gọi
M
là chân đường vuông góc kẻ từ
O
đến
IK
, ta
có
// //AI OM BK
, mặt khác
OA ON
suy ra
MI MK
(1)
OM
là phần đường kính vuông góc với dây
EF
nên
ME MF
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
IE KF
.
Bài 2.
Giả sử
M
là trung điểm của
CD
, ta có
OM CD
.
Mặt khác
M
là trung điểm của
AB
nên
OM AB
Suy ra
AB CD
(trái giả thiết).
Do đó điều giả sử sai.
Vậy
M
không là trung điểm của
CD
.
Bài 3.
Kẻ
,,OM AB M AB OM
cắt
CK
tại
N
, ta có
AM BM
(1)
Tam giác
CKD
có
// ,ON KD OC OD
nên
NC NK
Tam giác CKH có
// ,MN CH NC NK
nên
M
HMK
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
AM MH BM MK AH KB
.
Bài 4.
a) Đường tròn
(,)OR
có đường kính
CD
,
AB
là dây mà
AB CD MC MD
mà
MA ME
Suy ra tứ giác
ACED
là hình bình hành.
Mặt khác
AE CD
nên
ACED
là hình thoi
M
Hình7
K
I
F
E
B
A
O
Hình8
O
M
D
C
B
A
N
M
H
K
O
D
C
B
A
Hình9
I
8.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
b) Do
C
nằm trên đường tròn đường kính
AB
nên
90ACB .
Trong tam giác vuông
ACB
có
MC
là đường cao nên
2
. 4.(10 4) 24 2 6MC MA MB MC
c) ÁP dụng tính chất
..ah bc
trong tam giác vuông AMC có
.
..
MA MC
MH AC MA MC MH
AC

Tương tự
.MB MC
MK
BC
Do đó
2223
.. .. .
..
..
M
AMCMBMC MCMAMB MCMC MC
MH MK
A
CBC ACBC MCBCBC

K
H
Hình10
D
C
E
M
B
A
O
9.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ
Câu 1: Cho đường tròn
()O
đường kính
AB
và dây
CD
không đi qua tâm. Khẳng định nào sau đây là
đúng?
A.
AB CD>
. B.
AB CD=
. C.
AB CD<
. D.
AB CD£
.
Câu 2: “Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài …”. Cụm từ thích hợp điền vào
chỗ trống là:
A. Nhỏ nhất. B. Lớn nhất. C. Bằng
10cm
. D. Bằng tổng hai dây bất kỳ.
Câu 3: Cho đường tròn
()
O
có hai dây
,AB CD
không đi qua tâm. Biết rằng khoảng cách từ tâm đến hai
dây là bằng nhau. Kết luận nào sau đây là đúng?
A.
AB CD>
. B.
AB CD=
. C.
AB CD<
. D.
//
AB CD
.
Câu 4: Cho đường tròn
()
O
có hai dây
,AB CD
không đi qua tâm. Biết rằng khoảng cách từ tâm đến dây
AB
lớn hơn khoảng cách từ tâm
O
đến dây
CD
. Kết luận nào sau đây là đúng?
A.
AB CD>
. B.
AB CD=
. C.
AB CD<
. D.
//
AB CD
.
Câu 5: “Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì … của dây ấy”. Điền vào dấu … cụm
từ thích hợp.
A. Đi qua trung điểm. B. Đi qua giao điểm của dây ấy với đường tròn.
C. Đi qua điểm bất kì. D. Đi qua điểm chia dây ấy thành hai phần có tỉ lệ
2:3
.
Câu 6: “Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm một dây không đi qua tâm thì ... với dây
ấy”. điền vào dấu … cụm từ thích hợp.
A. Nhỏ hơn. B. Bằng. C. Song song. D. Vuông góc.
Câu 7: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. Trong hai dây của một đường tròn.
A. Dây nào lớn hơn thì dây đó xa tâm hơn. B. Dây nào nhỏ hơn thì dây đó xa tâm hơn.
C. Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
D. Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
Câu 8: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. Trong hai dây của đường tròn.
A. Dây nào lớn hơn thì dây đó xa tâm hơn. B. Hai dây đi qua tâm thì vuông góc với nhau.
C. Dây nào gần tâm hơn thì dây đó nhỏ hơn. D. Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Câu 9: Cho đường tròn
()
O
có bán kính
5Rcm=
. Khoảng cách từ tâm đến dây
AB
là
3cm
. Tính độ
dài dây
AB
.
A.
6AB cm=
. B.
8AB cm=
. C.
10AB cm=
. D.
12AB cm=
.
Câu 10: Cho đường tròn
()
O
có bán kính
6, 5Rcm=
. Khoảng cách từ tâm đến dây
AB
là
2, 5 cm
. Tính
độ dài dây
AB
.
A.
6AB cm=
. B.
8AB cm=
. C.
10AB cm=
. D.
12AB cm=
.
10.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Câu 11: Cho đường tròn
(; )
OR
có hai dây
,AB CD
bằng nhau và vuông góc với nhau tại
I
. Giả sử
2; 4IA cm IB cm==
. Tổng khoảng cách từ tâm
O
dây
,AB CD
là:
A.
4cm
. B.
1cm
. C.
3cm
. D.
2cm
.
Câu 12: Cho đường tròn
(; )
OR
có hai dây
,AB CD
vuông góc với nhau ở
M
. Biết
16 ; 12 ; 2AB cm CD cm MC cm== =
. Khoảng cách từ tâm
O
đến dây
AB
là:
A.
4cm
. B.
5cm
. C.
3cm
. D.
2cm
.
Câu 13: Cho đường tròn
(; )
OR
có hai dây
,AB CD
vuông góc với nhau ở
M
. Biết
8; 1CD cm MC cm==
. Khoảng cách từ tâm
O
đến dây
AB
là:
A.
4cm
. B.
5cm
. C.
3cm
. D.
2cm
.
Câu 14: Cho đường tròn
(; )
OR
có hai dây
,AB CD
vuông góc với nhau ở
M
. Biết
14 ; 12 ; 2AB cm CD cm M C cm== =
. Bán kính
R
và khoảng cách từ tâm
O
đến dây
CD
lần lượt là
A.
8;29cm cm
. B.
65 ; 29cm cm
. C.
29 ; 65cm cm
. D.
29 ;8cm cm
.
Câu 15: Cho đường tròn
(; )
OR
có hai dây
,AB CD
vuông góc với nhau ở
M
. Biết
10 ; 8 ; 1AB cm CD cm MC cm===
. Bán kính
R
và khoảng cách từ tâm
O
đến dây
CD
lần lượt là
A.
34 ; 9cm cm
. B.
6;3cm cm
. C.
34 ; 3 2cm cm
. D.
32 ; 34cm cm
.
Câu 16: Cho nửa đường tròn
()
O
, đường kính
AB
và một dây
MN
. Kẻ
AE
và
BF
vuông góc với
MN
lần lượt tại
E
và
F
. So sánh độ dài
OE
và
OF
.
A.
OE OF=
. B.
3
2
OE OF=
. C.
OE OF<
. D.
OE OF>
.
Câu 17: Cho nửa đường tròn
()
O
, đường kính
AB
và một dây
CD
. Kẻ
AE
và
BF
vuông góc với
CD
lần lượt tại
E
và
F
. So sánh độ dài
CE
và
DF
.
A.
CE DF>
. B.
2CE DF=
. C.
CE DF<
. D.
CE DF=
.
Câu 18: Cho đường tròn
()
O
, đường kính
AB
. Kẻ hai dây
AC
và
BD
song song. So sánh độ dài
AC
và
BD
.
A.
AC BD>
. B.
AC BD<
. C.
AC BD=
. D.
3AC BD=
.
Câu 19: Cho đường tròn
()
O
, đường kính
AB
. Lấy điểm
C
là trung điểm đoạn
OB
. Kẻ dây
MN
qua
C
và dây
//
AD MN
. So sánh độ dài
AD
và
MN
.
A.
2.AD MN=
. B.
AD MN=
. C.
AD MN>
. D.
AD MN<
.
Câu 20: Cho đường tròn
()
O
, dây cung
AB
và
CD
với
CD AB<
. Giao điểm
K
của các đường thẳng
AB
và
CD
nằm ngoài đường tròn. Vẽ đường tròn
(; )
OOK
, đường tròn này cắt
KA
và
KC
lần lượt tại
M
và
N
. So sánh
KM
và
KN
.
11.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
A.
KN KM>
. B.
KN KM<
. C.
KM KN=
. D.
4
3
KN KM=
.
Câu 21: Cho đường tròn
()
O
, dây cung
AB
và
CD
với
CD AB=
. Giao điểm
K
của các đường thẳng
AB
và
CD
nằm ngoài đường tròn. Vẽ đường tròn
(; )
OOK
, đường tròn này cắt
KA
và
KC
lần lượt tại
M
và
N
. So sánh
KM
và
KN
.
A.
KN KM>
. B.
KN KM<
. C.
KM KN=
. D.
4
3
KN KM=
.
Câu 22: Cho đường tròn
(;10 )
Ocm
. Dây
AB
và
CD
song song, có độ dài lần lượt là
16cm
và
12cm
.
Tính khoảng cách giữa hai dây.
A.
14cm
. B.
10cm
. C.
12cm
. D.
16cm
.
Câu 23: Cho đường tròn
(;8 )
Ocm
. Dây
AB
và
CD
song song, có độ dài lần lượt là
14cm
và
10cm
. Tính
khoảng cách giữa hai dây
A.
215( )cm
. B.
239( )cm
. C.
39 15
()
2
cm
+
. D.
39 15 ( )cm
+
.
Câu 24: Cho tam giác
ABC
nhọn và có các đường cao
,BD CE
. So sánh
BC
và
DE
.
A.
BC DE=
. B.
BC DE<
. C.
BC DE>
. D.
2
3
BC DE=
.
Câu 25: Cho đường tròn
()
O
đường kính
14AB cm=
, dây
CD
có độ dài
12cm
vuông góc với
AB
tại
H
nằm giữa
O
và
B
. Độ dài
HA
là:
A.
713cm
+
. B.
713cm
-
. C.
7cm
. D.
7213cm
-
.
Câu 26: Cho đường tròn
()
O
đường kính
20AB cm=
, dây
CD
có độ dài
16cm
vuông góc với
AB
tại
H
nằm giữa
O
và
B
. Độ dài
HA
là:
A.
12cm
. B.
18cm
. C.
16cm
. D.
15cm
.
Câu 27: Cho hình vuông
ABCD
. Gọi
,MN
lần lượt là trung điểm của
,AB BC
. Gọi
E
là giao điểm của
CM
và
DN
. So sánh
AE
và
DM
.
A.
3
2
AM AE=
. B.
DM AE<
. C.
DM AE=
. D.
DM AE>
.
HƯỚNG DẪN
1. Lời giải:
Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
Đáp án cần chọn là A.
2. Lời giải:
Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài lớn nhất.
Đáp án cần chọn là B.
12.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
3. Lời giải:
Trong một đường tròn: Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Đáp án cần chọn là B.
4. Lời giải:
Trong một đường tròn: Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
Từ đề bài ta thấy dây
CD
gần tâm hơn dây
AB
nên
CD AB>
.
Đáp án cần chọn là C.
5. Lời giải:
Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
Đáp án cần chọn là A.
6. Lời giải:
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với
dây ấy.
Đáp án cần chọn là D.
7. Lời giải:
Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
Trong hai dây của một đường tròn:
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó g
ần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
Nên phương án B, C, D đúng.
Đáp án cần chọn là A.
8. Lời giải:
Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
Trong hai dây của một đường tròn:
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
+ Hai dây đi qua tâm thì chưa chắc vuông góc với nhau nên B sai.
Nên phương án A, B, C sai, D đúng.
Đáp án cần chọn là D.
9. Lời giải:
13.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Kẻ
OH AB^
tại
H
suy ra
H
là trung điểm của
AB
.
Xét tam giác
OHB
vuông tại
H
có
3; 5OH OB==
. Theo định lý Pytago ta có:
2222
53 4HB OB OH=-=-=
.
Mà
H
là trung điểm của
AB
nên
28AB HB cm==
.
Vậy
8AB cm=
.
Đáp án cần chọn là B.
10. Lời giải:
Kẻ
OH AB^
tại
H
suy ra
H
là trung điểm của
AB
.
Xét tam giác
OHB
vuông tại
H
có
2, 5; 6, 5OH O B==
. Theo định lý Pytago ta có:
22 22
6, 5 2, 5 6HB OB OH=-=-=
.
Mà
H
là trung điểm của
AB
nên
212AB HB cm==
.
Vậy
12AB cm=
.
Đáp án cần chọn là D.
11. Lời giải:
Xét đường tròn tâm
()O
.
Kẻ
OE AB^
tại
E
suy ra
E
là trung điểm của
AB
, kẻ
OF CD^
tại
F
.
Vì dây
AB CD=
nên
OE OF=
(hai dây bằng nhâu thì cách đều tâm).
Xét tứ giác
OEIF
có
90EFI===
nên
OEIF
là hình chữ nhật và
OE OF=
nên
OEIF
là hình
vuông
OE OF EI==
.
Mà
63 1AB IA IB cm E B cm EI EB IB cm=+= = = -=
nên
1OE OF cm==
Vậy tổng khoảng cách từ tâm đến hai dây
,AB CD
là
2cm
.
H
O
I
F
E
O
B
A
C
D
14.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Đáp án cần chọn là D.
12. Lời giải:
Xét đường tròn tâm
()O
.
Kẻ
OE AB^
tại
E
suy ra
E
là trung điểm của
AB
, kẻ
OF CD^
tại
F
suy ra
F
là trung điểm của
CD
.
Xét tứ giác
OEMF
có
90EFM== =
nên
OEIF
là hình chữ nhật, suy ra
FM OE=
.
Ta có
12 6
CD cm FC cm==
mà
24
MC cm FM FC MC cm==-=
nên
4OE cm=
Vậy khoảng cách từ tâm
O
đến dây
AB
là
4cm
.
Đáp án cần chọn là A.
13. Lời giải:
Xét đường tròn tâm
()O
.
Kẻ
OE AB^
tại
E
suy ra
E
là trung điểm của
AB
, kẻ
OF CD^
tại
F
suy ra
F
là trung điểm của
CD
.
Xét tứ giác
OEMF
có
90EFM== =
nên
OEIF
là hình chữ nhật, suy ra
FM OE=
.
Ta có
84CD cm FC cm==
mà
1413MC cm FM FC MC cm==-=-=
nên
3OE FM cm==
Vậy khoảng cách từ tâm
O
đến dây
AB
là
3cm
.
Đáp án cần chọn là C.
14. Lời giải:
Lấy
,EF
lần lượt là trung điểm của hai dây
AB
và
CD
. Khi đó:
;OE AB OF A C^^
lại có
90FM E =
nên
OEMF
là hình chữ nhật. Suy ra
4OE MF CF MC cm==-=
.
xét đường tròn
()O
, có
4,OE cm E=
là trung điểm của
AB
nên
14
7
2
AE cm==
.
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông
OEA
ta có
22
65OA AE OE=+=
nên
65R =
.
Lại có
65OD cm=
;
6FD cm=
nên áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông
OFD
ta có:
22
29OF OD FD cm=-=
.
M
F
E
O
A
B
D
C
15.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Do đó khoảng cách từ tâm đến dây
CD
là
29 cm
.
Đáp án cần chọn là B.
15. Lời giải:
Xét đường tròn tâm
()O
.
Kẻ
OE AB^
tại
E
suy ra
E
là trung điểm của
AB
, kẻ
OF CD^
tại
F
suy ra
F
là trung điểm của
CD
.
Xét tứ giác
OEMF
có
90EFM== =
nên
OEIF
là hình chữ nhật, suy ra
FM OE=
.
Ta có
84
CD cm FC cm==
mà
1413
MC cm FM FC MC cm==-=-=
nên
3OE FM cm==
.
E
là trung điểm của
AB
nên
14
7
2
AE cm==
.
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông
OEA
ta có
22
34OA AE OE=+=
nên
34R =
.
Lại có
34 ; 4
2
CD
OD R FD== = =
nên áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông
OFD
ta có:
22
34 16 3 2OF O D FD=-=-=
.
Do đó khoảng cách từ tâm đến dây
CD
là
32cm
.
Đáp án cần chọn là C.
16. Lời giải:
Lấy
I
là trung điểm của
EF
.
Xét tứ giác
AEFB
có
//AE FB
(vì cùng vuông với
EF
) nên
AEFB
là hình thang vuông tại
;EF
Ta có
OI
là đường trung bình của hình thang
AEFB
nên
// //OI AE FB OI EF^
Hay
OI CD^
nên
I
là trung điểm của
CD
(quan hệ giữa dây và đường kính)
Xét tam giác
OEF
có
OI
vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên
OEFD
cân tại
O
.
Suy ra
OE OF=
.
Đáp án cần chọn là A.
17. Lời giải:
F
I
E
O
A
B
M
N
16.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Lấy
I
là trung điểm của
EF
.
Xét tứ giác
AEFB
có
//AE FB
(vì cùng vuông với
EF
) nên
AEFB
là hình thang vuông tại
;EF
Ta có
OI
là đường trung bình của hình thang
AEFB
nên
// //OI AE FB OI EF^
Hay
OI CD^
nên
I
là trung điểm của
CD
(quan hệ giữa dây và đường kính)
Ta có
;IE IF IC ID IE IC IF ID EC DF==-=-=
.
Đáp án cần chọn là D.
18. Lời giải:
Kẻ đường thẳng qua
O
vuông góc với
AC
tại
E
và cắt
BD
tại
F
thì
EF BD^
tại
F
vì
//AC BD
.
Xét hai tam giác vuông
OEA
và tam giác
OFB
có
;OB OA EAO FBO==
(so le trong)
Nên
AEO BFOD=D
(ch-gn)
OE OF AC DB= =
(hai dây cách đều tâm thì bằng nhau).
Đáp án cần chọn là C.
19. Lời giải:
Kẻ đường thẳng qua
O
vuông góc với
AC
tại
E
và cắt
BD
tại
F
thì
EF BD^
tại
F
vì
//AC BD
.
Xét hai tam giác vuông
OEA
và tam giác
OFB
có
90 ;AEO OFC AOE FOC== =
(đối đỉnh)
Nên
AEO CFODD
(g - g)
OE OA
OF OC
=
mà
2. 2 2
OE OA
OA OB O C OE OF
OF OC
== = ==
F
I
E
O
B
A
C
D
F
E
D
O
B
A
C
E
F
D
M
CO
A
B
N
17.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Hay
OE OF>
suy ra
AD MN<
(dây nào xa tâm hơn thì dây đó nhỏ hơn).
Đáp án cần chọn là D.
20. Lời giải:
Xét đường tròn
(; )OOB
Kẻ
;OE CD OF A B^^
tại
,EF
mà
CD AB OE OF<>
(dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn)
Xét đường tròn
(; )OOK
có
;OE KN OF KM^^
tại
,EF
mà
OE OF KN KM> <
(liên hệ giữa dây
và khoảng cách từ tâm đến dây)
Đáp án cần chọn là B.
21. Lời giải:
Xét đường tròn
(; )OOB
Kẻ
;OE CD OF A B^^
tại
,EF
mà
CD AB OE OF<>
(hai dây bằng nhau thì cách đều tâm)
Xét đường tròn
(; )OOK
có
;OE KN OF KM^^
tại
,EF
mà
OE OF KN KM= =
(liên hệ giữa dây
và khoảng cách từ tâm đến dây)
Đáp án cần chọn là C.
22. Lời giải:
A
B
D
C
F
E
K
N
M
A
B
D
C
F
E
K
N
M
F
E
A
O
C
D
B
18.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Kẻ đường thẳng qua
O
vuông góc với
CD
tại
E
và cắt
AB
tại
F
thì
EF A B^
vì
//AB CD
.
Khi đó
E
là trung điểm của
CD
và
F
là trung điểm của
AB
(đường kính vuông góc với dây thì đi qua
trung điểm dây đó)
Nên
6; 8; 10ED cm FB cm OD OB cm====
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông
OED
ta được
22
8
OE OD ED cm=-=
.
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông
OFB
ta được
22
6OF OB FB cm=-=
.
Vậy khoảng cách giữa hai dây là
14
EF OE OF cm=+=
.
Đáp án cần chọn là A.
23. Lời giải:
Kẻ đường thẳng qua
O
vuông góc với
CD
tại
E
và cắt
AB
tại
F
thì
EF A B^
vì
//AB CD
.
Khi đó
E
là trung điểm của
CD
và
F
là trung điểm của
AB
(đường kính vuông góc với dây thì đi qua
trung điểm dây đó)
Nên
5; 7; 8
22
CD AB
ED cm FB cm OD OB cm== == ==
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông
OED
ta được
2222
85 39OE OD ED cm=-=-=
.
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông
OFB
ta được
2222
87 15OF OB FB cm=-=-=
.
Vậy khoảng cách giữa hai dây là
39 15EF OE OF cm=+= +
.
Đáp án cần chọn là D.
24. Lời giải:
F
E
A
O
C
D
B
19.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Lấy
I
là trung điểm của
BC
Xét tam giác vuông
BDC
có
DI
là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên
2
BC
DI IB IC===
.
Xét tam giác vuông
BEC
có
EI
là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên
2
BC
EI IB IC===
Từ đó
2
BC
ID IE IB IC====
hay bốn điểm
,,,BC DE
cùng thuộc đường tròn
;
2
BC
I
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Xét
;
2
BC
I
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
có
BC
là đường kính và
DE
là dây không đi qua tâm nên
BC DE>
.
Đáp án cần chọn là C.
25. Lời giải:
Xét
()O
có
AB CD^
tại
H
và
AB
là đường kính nên
H
là trung điểm của
CD
6
2
CD
HD HC cm===
Vì
14
14 7
2
AB OA OB OD cm= = = = =
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông
OHD
ta được
22
13OH OD DH=-=
Khi đó
713HA OA OH cm=+ =+
.
Đáp án cần chọn là A.
26. Lời giải:
D
E
I
O
C
B
A
H
D
O
A
B
C
20.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Xét
()O
có
AB CD^
tại
H
và
AB
là đường kính nên
H
là trung điểm của
CD
8
2
CD
HD HC cm===
Vì
20
20 10
2
AB OA OB OD cm= = = = =
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông
OHD
ta được
22 22
10 8 6OH OD DH=-=-=
Khi đó
10 6 16HA OA OH cm=+ =+=
.
Đáp án cần chọn là C.
27. Lời giải:
+ Ta có
CDN ECN=
(vì cùng phụ với
CNE
) nên
90CNE ECN CNE CDN+=+=
suy ra
90CEN CM DN= ^
+ Gọi
I
là trung điểm của
DM
Xét tam giác vuông
ADM
ta có
2
DM
AI ID IM== =
. Xét tam giác vuông
DEM
ta có:
2
DM
EI ID IM== =
Nên
2
DM
EI ID IM IA== ==
.
Do đó bốn điểm
,,,AD E M
cùng thuộc đường tròn tâm
I
bán kính
2
DM
R =
.
Xét
;
2
DM
I
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
có
DM
là đường kính và
AE
là dây không đi qua tâm nên
DM AE>
.
Đáp án cần chọn là D.
H
D
O
B
A
C
E
I
N
M
B
A
D
C
21.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho tam giác
ABC
, các đường cao
BD
và
CE
cắt nhau tại
H
.
a) Chứng minh rằng
,,,BEDC
cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng
,,,AD H E
cùng thuộc một đường tròn.
c) Chứng minh rằng
;BC DE AH DE>>
.
Bài 2: Cho đường tròn
(; )
OR
,
A
và
B
thuộc đường tròn
()
O
sao cho
0
90AOB =
. Gọi
M
là trung điểm
AB
.
a) Chứng minh rằng
OM AB^
b) Tính độ dài
,AB OM
theo
R
.
Bài 3: Cho đường tròn
(; )
OR
,
A
và
B
di động trên đường tròn
()
O
thỏa mãn
0
120AOB =
. Vẽ
OH AB^
tại
H
.
a) Chứng minh
H
là trung điểm của
AB
b) Tính
,OH AB
. Diện tích
OAB
theo
R
.
c) Tia
OH
cắt đường tròn
(; )
OR
tại
C
. Tứ giác
OABC
là hình gì? Vì sao?
Bài 4: Cho một nửa đường tròn
()
O
có đường kính
AB
và một dây cung
CD
. Vẽ
AP
và
BS
vuông góc
với
(,)
CD P CD S CD
ÎÎ
. Chứng minh:
a)
P
và
S
ở ngoài đường tròn
()
O
b)
PC DS=
c)
APSB ACB ADB
SSS
=+
.
Bài 5: Cho đường tròn
(; )
OR
và một dây cung
AB
. Gọi
I
là trung điểm của
AB
. Tia
OI
cắt cung
AB
tại
M
.
a) Cho
5; 6RcmABcm==
. Tính độ dài dây cung
MA
b) Gọi
N
là điểm đối xứng của
M
qua
O
, giả sử
5; 6MA cm AB cm==
. Tính bán kính
R
.
Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm
O
đường kính
AB
. Trên đoạn thẳng
OA
lấy điểm
C
và trên đoạn thẳng
OB
lấy điểm
D
sao cho
OC OD=
. Từ
C
và
D
kẻ hai tia song song cắt nửa đường tròn ở
E
và
F
. Gọi
I
là trung điểm của
EF
. Chứng minh rằng:
.
CEF DEF
SS EFOI+=
.
Bài 7: Cho đoạn thẳng
6AB cm=
. Các đường tròn đi qua
,AB
đường tròn nào có độ dài bán kính nhỏ
nhất.
Bài 8: Cho đường tròn
(; )
OR
. Các điểm
,,,ABC D
thuộc đường tròn
(; )
OR
.
Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác
ABCD
.
22.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
H
M
E
D
C
B
A
M
B
A
O
Bài 9: Cho tam giác nhọn
ABC
.
D
là điểm di động trên cạnh
BC
. Gọi
12
,
RR
lần lượt là bán kính của
đường tròn ngoại tiếp tam giác
,ABD ACD
. Xác định vị trí của
D
để tổng
12
RR+
nhỏ nhất.
Bài 10: Cho đường tròn
(; )
OR
.
A
là điểm nằm ngoài đường tròn
()
O
. Đường thẳng
d
qua
A
cắt đường
tròn
()
O
tại
,BC
. Xác định vị trí của
d
để
AB AC
+
lớn nhất.
Bài 11: Cho đường tròn tâm
O
, đường kính
AB
. Vẽ dây
CD
không qua tâm và không vuông góc với
AB
. Qua
A
và
B
vẽ các đường vuông góc với
CD
tại
E
và
F
. Chứng minh
CF DE=
.
Bài 12: Cho nửa đường tròn
(; )
OR
đường kính
AB
.
,CD
là hai điểm trên nửa đường tròn
()
O
sao cho
00
45 , 30CAB DAB==
.
AC
cắt
BD
tại
,MAD
cắt
BC
tại
N
.
a) Chứng minh rằng
MN AB^
b) Tính diện tích
ABM
theo
R
.
Bài 13: Cho đường tròn
(; )
OR
và
(2)
lO l R
<<
a) Tìm quỹ tích trung điểm
M
của tất cả các dây cung
1AB =
của đường tròn
()
O
b) Gọi
,CD
là hai điểm tùy ý sao cho
1CD =
. Hãy dựng hình bình hành
CDEF
sao cho
,EF
nằm
trên đường tròn
(; )
OR
. (Chỉ trình bày cách dựng và chứn minh).
HƯỚNG DẪN
Bài 1:
a)
00
90 ( ), 90 ( )BEC CE AB BDC BD AC=^ =^
Gọi
M
là trung điểm
BC
,
EBCD
vuông
tại
E
có
EM
là đường trung tuyến
2
BC
ME MB MC===
Tương tự:
2
BC
MD MB MC===
Ta có:
MB ME MD MC===
,,,BEDC
cùng thuôc đường tròn tâm
M
b) Chứng minh tương tự có
,,,ADH E
cùng thuộc đường tròn
c)
0
90 ,BED DE=
là dây cung khác đường kính đường tròn đường kính
BC
BC DE>
Chứng minh tương tự có:
AH DE
>
.
Bài 2:
a)
00
90 180AOB =¹
AB
không là đường kính của đường tròn
()
O
M
là trung điểm của dây cung
AB
23.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
H
C
B
A
O
F
S
P
I
K
H
E
D
C
B
A
O
Nên
OM AB^
b)
OABD
vuông tại
O
có:
()
OA OB R
==
nên là tam giác vuông cân
22AB OA R= =
.
OABD
vuông tại
O
,
OM
là đường trung tuyến nên:
12
22
OM AB R==
Bài 3:
a)
AB
là dây cung của đường tròn
()
O
OH AB^
(gt)
H
là trung điểm của đoạn thẳng
AB
.
b)
OABD
cân tại
O
(vì
OA OB R==
) có:
OH
là đường trung tuyến nên cũng là đường phân giác.
0
1
60
2
AOH HOB AOB== =
Tam giác
HAO
vuông tại
H
có
0
60AOH =
nên là nửa tam giác đều.
11 3 3
;;23
22 2 2
OH OA R AH OA R AB AH R= = = = = =
2
111 3
...3
2224
OAB
SOHABRRR== =
(đvdt)
c)
11
22
HC OC OH R R R=-=-=
Tứ giác
OACB
có
1
,()
2
HA HB HO HC R===
Nên là hình bình hành.
Mà
()
OA OB R
==
Do đó
OACB
là hình thoi
Bài 4:
a) Gọi
I
là trung điểm
PS
AP PS^
(gt),
BS PS^
(gt)
AP BS
APSB
là hình thang
Nên
OI
là đường trung bình của hình thang
APSB
OI AP
mà
AP PS OI PS
^^
Ta có
OI
là đường trung trực của
PS
24.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
N
E
M
I
B
A
O
OP OS
=
0
180 ( )PAB ABS AP BS+=
0
90PAB³
hoặc
0
90ABS ³
Giả sử
0
90
PAB
³
.
APOD
có
0
90PAD OP OA R³>=
P
nằm ngoài đường tròn
(; )
OR
Ta cũng có
OS OP R S=>
nằm ngoài đường tròn
(; )
OR
.
b)
OI CD IC ID^=
Do đó:
IP IC IS ID PC DS==- =
c) Hạ
,CH IE
và
DK
vuông góc với
AB
. Ta có tứ giác
HCDK
là hình thang và
IE
là đường trung
bình nên:
2
CH DK
IE
+
=
. Ta có:
11
..
22
ACB ADB
SS CHABDKAB+= +
1
().
2
CH DK AB=+
.IE AB=
(1) (Vì
1
()
2
OI CH DK=+
)
Giả sử
AP BS
<
, hạ
AF BS^
, ta có:
1
().
2
APSB
SAPBSAF=+
(2) (Vì
1
()
2
OI AP BS=+
)
Mặt khác:
OEID
∽
BFAD
Vì
IOE FBA=
(Vì
OI BS
) và
0
(90)EF==
Cho ta:
EI OI
FA BA
=
hay
..EI BA OI FA=
(3)
Từ (1), (2) và (3) cho ta:
APSB ACB ADB
SSS=+
.
Bài 5:
a) Vì
I
là trung điểm của dây
AB
nên:
6
3
22
AB
IA IB== ==
(cm)
Và
OI AB^
0
(90)OIA ID=
22222
5316OI OA IA=-=-=
25.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
F
I
E
DBCAO
41
OI cm IM cm
= =
AIMD
cho ta:
22222
3110
AM AI IM
=+=+=
10AM=
b) Gọi
E
là trung điểm của dây
NA
Ta có
OE NA^
và
2, 5NE EA cm==
IAND
cho ta:
22222
53 16 4()IN NA AI IN cm= - =-= =
NEOD NIAD
cho ta:
NE ON
NI NA
=
.2,5.5
3,125
4
NE NA
ON cm
NI
= = =
.
Bài 6:
Vì
I
là trung điểm của
EF
Nên
OI EF^
Ta có:
CE DF
Và
O
là trung điểm của
CD
nên tứ giác
CEFD
là hình thang
Và
OI
là đường trung bình
Suy ra:
OI CE DF

mà
OI EF^
nên
,CE EF DF EF^^
.
Do đó:
1
()
2
OI CE DF=+
Và
1
.
2
CEF
SCEEF=
1
.
2
DEF
SDEEF=
1
().
2
CEF DEF
S S EF CE DF EF O I+= +=
Bài 7:
Gọi
R
là bán kính của đường tròn đi qua
A
và
B
Ta có:
2RAB³
26Rcm³
3Rcm³
, không đổi
Dấu “=” xảy ra
AB
là đường kính của đường tròn đường kính
AB
có đọi dài bán kính nhỏ nhất.
Bài 8:
26.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
K
H
I
D
C
B
A
O
D
CB
A
Vẽ
(), ()
AH BD H BD CK BD K BD
^Î ^Î
Gọi
I
là giao điểm của
,AC BD
AH HI^
nên
AH AI£
CK KI^
nên
CK IC£
Do đó:
AH CK AI IC AC+£+=
2, 2AC R BD R££
(
,AC BD
là các dây cung của đường tròn
(; )
OR
).
Ta có:
11
..
22
ABCD ABD BCD
SSS BDAHBDCK=+= +
11
().
22
BC AH CK BD A C=+£
Do vậy:
2
1
2.2 2
2
ABCD
SRRR£=
Dấu “=” xảy ra
2
2
BD R
AC R
HIK
ì
ï
=
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
ºº
ï
ï
î
,AC BD
là hai đường kính vuông góc nhau.
Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác
ABCD
là
2
2
R
.
Bài 9:
1
R
là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABD
(gt)
Nên
1
2
RAB
³
Và
2
R
là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác
ACD
Nên
2
2
RAC
³
Do đó:
12
22R R AB AC+³+
12
1
()
2
R R AB AC+³ +
, không đổi
Dấu “=” xảy ra
,AB AC
là đường kính cả các đường tròn
ngoại tiếp các tam giác
ABD
,
ACD
.
0
90ADB ADC==
D
là chân đường cao vẽ từ
A
của tam giác
ABC
Vậy khi
D
là chân đường cao vẽ từ
A
của tam giác
ABC
thì
12
RR
+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 10:
27.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
d
C
H
B
A
O
I
E
F
D
C
BA
O
Vẽ
()
OH d H d
^Î
H
là trung điểm
BC
(Định lí đường kính vuông góc dây cung)
Ta có:
AB AC AH HB AH HC+=-++
()()2
AH AH HC HB A H
=++-=
Mà
OH AH^
nên
AH OA£
Do đó:
2AB AC OA+£
2OA
không đổi
Dâu “=” xảy ra
OH
º
Vậy khi đường thẳng
d
đi qua
O
thì tổng
AB AC
+
lớn nhất.
Bài 11:
Vẽ
,OI CD I CD^Î
IC ID=
(Định lí đường kính vuông góc với dây cung)
,,AE DC BF DC OI CD^^^
Các đường thẳng
,,AE BF OI
song song với nhau
Hình thẳng
EAFB
có:
OI A E
và
OA OB=
Do đó:
IF IF=
Ta có:
IC IF ID IE-=-
CF DE=
Bài 12:
a)
,CD
thuộc đường tròn đường kính
AB
(gt)
0
90ACB ADB==
Xét
MABD
có
,AD BC
là hai đường cao cắt nhau tại
N
N
là trực tâm của tam giác
MAB
MN AB
^
b) Gọi
H
là giao điểm của
MN
và
AB
HAMD
vuông tại
H
có
0
45MAH =
(gt)
HAMD
vuông cân tại
H
AH MH=
DABD
vuông tại
D
có
0
30DAB =
nên:
00
90 60DBA DAB DBA+==
MHBD
vuông tại
H
có
0
60MBH =
nên là nửa tam giác đều
28.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
N
M
H
D
O
C
B
A
J
I
C
F
E
D
H
O
B
M
A
3
3
MH
HB=
3
3
MH
MH AH HB+=+
33
2
3
MH R
+
=
2x3
33
MH R=
-
(3 3) R=-
2
1
.(33)
2
MAB
SMBAB R==-
(đvdt)
Bài 13:
a) 1) Phần thuận:
Vì
M
là trung điểm của dây cung
1AB =
Nên:
1
2
MA MB==
và
OM AB^
OMAD
cho:
2
22 2 2
1
4
OM OA AM OM R=- =-
không đổi
Do đó
M
ở trên đường tròn
2
2
1
(; )
4
OR-
2) Phần đảo:
Trên đường tròn
2
2
1
(; )
4
OR-
ta lấy một điểm
M
¢
bất kỳ.
Vẽ dây cung
AB
¢¢
vuông góc với
OM
¢
tại
M
¢
. Ta phải chứng minh
M
¢
là trung điểm của dây cung
1AB
¢¢
=
. Thật vậy:
- Vì dây cung
AB
¢¢
vuông góc với
OM
¢
tại
M
¢
. Nên
M
¢
là trung điểm của
AB
¢¢
- Ta có:
2
2
1
4
OM R
¢
=-
Nên
2
22
1
4
OM R
¢
=-
Tam giác vuông
OM A
¢¢
cho ta:
22 2
A M OA OM
¢¢ ¢ ¢
=-
22
22
11
44
RR
æö
÷
ç
÷
=- - =ç
÷
ç
÷
÷
ç
èø
29.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Suy ra:
1
2
AM
¢¢
=
và
1AB
¢¢
=
Vậy quỹ tích điểm
M
là đường tròn
2
2
1
(; )
4
OR-
.
b) 1) Cách dựng:
- Dựng
OH CD^
, đường thẳng
OH
cắt đường tròn
2
2
1
(; )
4
OR-
tại
I
và
J
.
- Dựng dây cung
EF
của đường tròn
(; )
OR
vuông góc với
OI
tại
I
(hoặc
OJ
tại
J
). Tứ giác
EFCD
là
hình bình hành phải dựng.
2) Chứng minh:
Vì
OI OM=
nên
EF AB EF CD
==
.
Theo cách dựng, ta còn có:
EF CD
(vì cùng
OH^
)
Vậy tứ giác
EFCD
là hình bình hành.
3) Biện luận:
Vì đường thẳng
OH
luôn cắt đường tròn
2
2
1
(; )
4
OR-
tại hai điểm nên bài toán luôn dựng được và có
hai nghiệm hình.
----------Toán Học Sơ Đồ---------
| 1/29
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Đường kính và dây của đường tròn
Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây:
+ Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung
điểm của dây ấy.
+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không
đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
Liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây
Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Trong hai dây của một đường tròn:
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
B.CÁC DẠNG BÀI TỰ LUẬN MINH HỌA
Dạng 1: Các bài toán liên quan đến tính toán trong đường tròn
Bài 1. Cho đường tròn Ocó bán kính . Dây HK của đường tròn vuông góc với OI tại trung điểm của OI
. Tính độ dài HK .
Bài 2. Cho đường tròn O , đường kính AD  2R . Vẽ cung tâm D bán kính R , cung này cắt đường tròn O ở B và C .
a) Tứ giác OBDC là hình gì? Vì sao?
b) Tính số đo các góc CBD, CBO, OBA .
c) Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
Bài 3. Cho đường tròn O bán kính OA  4cm . Dây BC vuông góc với OA tại trung điểm của OA . Tính
độ dài BC .
Bài 4. Cho đường tròn O đường kính AD , dây AB . Qua B vẽ dây BC vuông góc với AD tại H . Biết AB 10 ; cm BC 12cm a)
Tính độ dài đoạn AH . b)
Tính bán kính đường tròn O .
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 5. Cho nửa đường tròn O đường kính AD . Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C . Biết
AB BC  2 5 ,
cm CD  6cm . Tính bán kính đường tròn
Bài 6. Cho đường tròn  ;
O R đường kính AB . Gọi M là một điểm nằm giữa A và B . Qua M vẽ dây
CD vuông góc với AB . Lấy điểm E đối xứng với A qua M . a)
Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao? b)
Giả sử R  6, c
5 m, MA c
4 m . Tính CD . MC3 c)*
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CA và CB . Chứng minh: MH.MK  . 2R
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng không bằng nhau
Bài 1. Cho tam giác ABC , các đường cao AH và CK . Chứng minh rằng: a) Bốn điểm ,
A C, H, K cùng thuộc một đường tròn; b) HK  AC.
Bài 2. Cho đường tròn O, R và ba dây AB, AC, AD ; gọi M và N lần lượt là hình chiếu của B trên
các đường thẳng AC, AD . Chứng minh rằng MN  2R .
Bài 3. Tứ giác ABCD có 0 Bˆ  Dˆ  90 .
a) Chứng minh rằng bốn điểm , A ,
B C, D cùng thuộc một đường tròn.
b) So sánh độ dài AC và BD . Nếu AC BD thì tứ giác ABCD là hình gì?
Bài 4. Cho đường tròn ( , O 4c )
m Vẽ hai dây AB và CD vuông góc với nhau. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ACBD .
Dạng 3: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Bài 1. Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB và dây EF không cắt đường kính. Gọi I và K lần
lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến EF . Chứng minh rằng IE  KF .
Bài 2. Cho đường tròn ( )
O và dây AB không đi qua tâm. Gọi M là trung điểm của AB . Qua M vẽ dây CD
không trùng với AB . Chứng minh rằng điểm M không là trung điểm của CD .
Bài 3. Cho đường tròn tâm O , đường kính CD . Dây AB cắt đường kính CD tại I . Gọi H và K theo thứ
tự là chân các đường vuông góc kẻ từ C và D đến AB . Chứng minh rằng AH  BK .
Bài 4. Cho đường tròn O, R đường kính AB . Gọi M là một điểm nằm giữa A và B . Qua M vẽ dây
CD vuông góc với AB . Lấy điểm E đối xứng với A qua M .
a) Tứ giác ACED là hình gì? Tại sao?
b) Giả sử R  6cm và MA  4cm , hãy tính CD . 3 MC
c) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CA và CB . Chứng minh MH.MK  . 2R
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Các bài toán liên quan đến tính toán trong đường tròn Bài 1. OI
Gọi M là trung điểm của OI. Ta có: OM   2cm H 2
Áp dụng định lí pitago trong tam giác vuông OMH: 2 2 2 2 2 2 2 2
OH OM MH MH OH OM  4  2 12 O I M
MH  2 3cm
Vì OI ⊥ HK nên M là trung điểm của HK. Do đó: K
HK  2MH  4 3cm Hình 1 Bài 2.
a) Theo bài ra, ta có BD  DC  R  OB BD DC CO . Do đó, tứ giác OBDC là hình thoi.
b) Vì OB BD DO R nên tam giác BOD là tam giác đều, suy ra  DBO  60
Vì BC là đường chéo của hình thoi nên là đường phân giác của góc DBO. Do đó:  
DBC CBO  30 .
Tam giác ABD nội tiếp đường tròn đường kính AD nên  ADB  90 Suy ra   
ABO ABD OBD  90  60  30 c) Xét tam giác ABC, ta có B   
ABC ABO OBC  30  30  60 Tương tự  ACB  60
Vậy tam giác ABC là tam giác đều. O A D C Hình 2 Bài 3.
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 1 1
Ta có: OM MA OA  .4  2cm B 2 2 Xét OM
B vuông tại M 2 2 2
MB OB OM ( Định lí Pytago) O M 2 2 2
MB  4  2  12  MB  2 3cm A
Xét O có OA BC tại M  1
MB MC BC 2 C
BC  2MB  4 3cm Bài 4
a) Xét O có AD BC tại H B 1 1
HB HC BC  .12  6cm 2 2 Xét AHB vuông tại H D H A O 2 2 2
AH AB HB ( Định lí Py ta go) 2 2 2
AH 10  6  64  AH  8cm C
b) Xét ABD có cạnh AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp  ABD vuông tại B 2
AB AH.AD ( Hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) 2 AB 100 12,5  AD  
12,5cm OA   6, 25cm AH 8 2
Vậy bán kính đường tròn O là 6,25cm Bài 5.
Ta có AB BC B  đường trung trực của AC C
OA OC R O  đường trung trực của AC B
OB là đường trung trực của AC IA IC I
OI là đường trung bình của ADC D A O  1 1
OI CD  .6  3cm 2 2
Xét OIC vuông tại I 2 2 2 2
IC OC OI R 9 ( Định lí Py ta go)
Xét BIC vuông tại I 2 2 2 2 2
IC BC BI  (2 5)  (R  3) ( Định lí Py ta go) 2 2 2 2
R  9  (2 5)  (R  3)  R  3R 10  0
4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
R  5cm hoặc R  2cm ( loại)
Vậy bán kính đường tròn là 5cm. Bài 6. 1
a) Xét O có AB CD tại M MC MD CD C 2 K
Xét tứ giác ACED có MC M ; D MA ME H
 tứ giác ACED là hình bình hành A B
Mặt khác AE CD ACED là hình thoi. M O E
b) Ta có AB  2.R  13cm
MB AB AM  13  4  9cm
Xét ABC có cạnh AB là đường kính của đường tròn ngoại D
tiếp  ABC vuông tại C Áp dụng hệ thức 2
h b'.c ' ta có 2 MC M . A MB  4.9  36
MC  6cm CD  2.MC  2.6  12cm
c) Xét MAC vuông tại M có đường có MH , áp dụng hệ thức . b c  . a h ta có . MA MC . MB MC
MH.AC M . A MC MH  . Tương tự MK AC BC
MA MC MB MC MC2 MA MB MC2 MC2 MC3 . . . . .  MH.MK  .    . AC BC AC BC . MC.AB 2R
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng không bằng nhau Bài 1.
a) Gọi I là trung điểm của AC. Áp dụng tính chất A
đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong các tam giác vuông AKC, AHC ta có: K I 1
IK IH AC 2
Suy ra điểm I cách đều 4 điểm A, K, H, C C B H
Vậy bốn điểm A, K, H, C cùng thuộc đường tròn tâm Hình 3 I bán kính AI .
b) Trong đường tròn (I, AI), AC là đường kính, HK là
dây phân biệt với AC nên HK AC Bài 2.
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Gọi I là trung điểm của AB . Áp dụng tính chất đường A
trung tuyến ứng với cạnh huyền trong các tam giác N
vuông ABN, ABM ta có: D 1 I O
IM IN AB IM IN IA IB Suy ra điểm I 2 M cách đều 4 điểm , A , B M , N B Do đó bốn điểm , A ,
B M , N cùng thuộc đường tròn tâm C
I bán kính AI . Hình 4
Trong đường tròn (I, AI), AB là đường kính, MN là
dây nên MN AB (1)
Mặt khác, trong đường tròn ( ,
O R), AB là dây nên AB  2R (2).
Từ (1) và (2) ta được MN  2R . Bài 3.
a) Gọi O là trung điểm của AC , áp dụng tính chất B
đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong các tam
giác vuông ABC, ADC ta có: OB  OA  OC  OD C Suy ra bốn điểm , A ,
B C, D nằm trên đường tròn đường O kính AC . A
b) Vì BD là dây của đường tròn tâm O đường kính
AC nên BD AC D Hình 5
Nếu BD AC thì BD cũng là một đường kính khác
của đường tròn tâm O đường kính AC . Suy ra,  
BAD BCD  90
Vậy tứ giác ABCD là hình chữ nhật. Bài 4.
Ta có AB, CD là dây của đường tròn ( , O 4c ) m suy ra C AB  4 , cm CD  4cm . B
Vì tứ giác ACBD có AB CD nên A 1 1 2 2 SA .
B CD  4.4(cm )  8(cm ) ABCD 2 2 D Hình 6
6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Vậy diện tích lớn nhất của tứ giác ACBD bằng 2 8(cm )
, dấu "  " xẩy ra khi và chỉ khi AB CD  4cm
AB và CD là đường kính của hình tròn.
Dạng 3: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Bài 1.
Gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ O đến IK , ta F K
có AI / /OM / /BK , mặt khác OA ON suy ra E M MI MK (1) I
OM là phần đường kính vuông góc với dây EF nên A B O ME MF (2) Hình 7
Từ (1) và (2) suy ra IE KF . Bài 2.
Giả sử M là trung điểm của CD , ta có OM CD . B
Mặt khác M là trung điểm của AB nên OM AB C M
Suy ra AB CD (trái giả thiết).
Do đó điều giả sử sai. A O
Vậy M không là trung điểm của CD . D Hình 8 Bài 3. Kẻ OM  , AB M A ,
B OM cắt CK tại N , ta có B AM BM (1) K
Tam giác CKD có ON / /K ,
D OC OD nên NC NK N M
Tam giác CKH có MN / /CH, NC NK nên MH MK I D C O (2) H A Từ (1) và (2) ta có:
AM MH BM MK AH KB . Hình 9 Bài 4. a) Đường tròn ( ,
O R) có đường kính CD , AB là dây mà
AB CD MC MD mà MA ME
Suy ra tứ giác ACED là hình bình hành.
Mặt khác AE CD nên ACED là hình thoi
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
b) Do C nằm trên đường tròn đường kính AB nên  ACB  90 . D
Trong tam giác vuông ACB có MC là đường cao nên 2 MC  .
MA MB  4.(10  4)  24  MC  2 6 M O c) ÁP dụng tính chất . a h  .
b c trong tam giác vuông AMC có B A E . MA MC H MH.AC  . MA MC MH AC K . MB MC C Tương tự MK BC Hình 10 Do đó 2 2 2 3 M . A MC M . B MC MC .M . A MB MC .MC MC MH.MK  .    AC BC AC.BC MC.BC BC
8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ
Câu 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB và dây CD không đi qua tâm. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. AB > CD .
B. AB = CD .
C. AB < CD .
D. AB £ CD .
Câu 2: “Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài …”. Cụm từ thích hợp điền vào chỗ trống là: A. Nhỏ nhất.
B. Lớn nhất. C. Bằng 10cm .
D. Bằng tổng hai dây bất kỳ.
Câu 3: Cho đường tròn (O) có hai dây ,
AB CD không đi qua tâm. Biết rằng khoảng cách từ tâm đến hai
dây là bằng nhau. Kết luận nào sau đây là đúng?
A. AB > CD .
B. AB = CD .
C. AB < CD .
D. AB//CD .
Câu 4: Cho đường tròn (O) có hai dây ,
AB CD không đi qua tâm. Biết rằng khoảng cách từ tâm đến dây
AB lớn hơn khoảng cách từ tâm O đến dây CD . Kết luận nào sau đây là đúng?
A. AB > CD .
B. AB = CD .
C. AB < CD .
D. AB//CD .
Câu 5: “Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì … của dây ấy”. Điền vào dấu … cụm từ thích hợp.
A. Đi qua trung điểm.
B. Đi qua giao điểm của dây ấy với đường tròn.
C. Đi qua điểm bất kì.
D. Đi qua điểm chia dây ấy thành hai phần có tỉ lệ 2 : 3 .
Câu 6: “Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm một dây không đi qua tâm thì ... với dây
ấy”. điền vào dấu … cụm từ thích hợp. A. Nhỏ hơn.
B. Bằng. C. Song song. D. Vuông góc.
Câu 7: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. Trong hai dây của một đường tròn.
A. Dây nào lớn hơn thì dây đó xa tâm hơn. B. Dây nào nhỏ hơn thì dây đó xa tâm hơn.
C. Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. D. Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
Câu 8: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. Trong hai dây của đường tròn.
A. Dây nào lớn hơn thì dây đó xa tâm hơn. B. Hai dây đi qua tâm thì vuông góc với nhau.
C. Dây nào gần tâm hơn thì dây đó nhỏ hơn. D. Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Câu 9: Cho đường tròn (O) có bán kính R = 5cm . Khoảng cách từ tâm đến dây AB là 3cm . Tính độ dài dây AB .
A. AB = 6cm .
B. AB = 8cm .
C. AB = 10cm .
D. AB = 12cm .
Câu 10: Cho đường tròn (O) có bán kính R = 6, 5cm . Khoảng cách từ tâm đến dây AB là 2,5cm . Tính độ dài dây AB .
A. AB = 6cm .
B. AB = 8cm .
C. AB = 10cm .
D. AB = 12cm .
9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Câu 11: Cho đường tròn (O;R) có hai dây ,
AB CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I . Giả sử
IA = 2cm;IB = 4cm . Tổng khoảng cách từ tâm O dây , AB CD là:
A. 4cm . B. 1cm . C. 3cm . D. 2cm .
Câu 12: Cho đường tròn (O;R) có hai dây ,
AB CD vuông góc với nhau ở M . Biết AB = 16 ; cm CD = 12 ;
cm MC = 2cm . Khoảng cách từ tâm O đến dây AB là:
A. 4cm . B. 5cm . C. 3cm . D. 2cm .
Câu 13: Cho đường tròn (O;R) có hai dây ,
AB CD vuông góc với nhau ở M . Biết CD = 8 ;
cm MC = 1cm . Khoảng cách từ tâm O đến dây AB là:
A. 4cm . B. 5cm . C. 3cm . D. 2cm .
Câu 14: Cho đường tròn (O;R) có hai dây ,
AB CD vuông góc với nhau ở M . Biết AB = 14 ; cm CD = 12 ;
cm MC = 2cm . Bán kính R và khoảng cách từ tâm O đến dây CD lần lượt là
A. 8cm; 29 cm .
B. 65 cm; 29 cm . C. 29 cm; 65 cm . D. 29 cm; 8cm .
Câu 15: Cho đường tròn (O;R) có hai dây ,
AB CD vuông góc với nhau ở M . Biết AB = 10 ; cm CD = 8 ;
cm MC = 1cm . Bán kính R và khoảng cách từ tâm O đến dây CD lần lượt là
A. 34cm;9cm .
B. 6cm; 3cm .
C. 34cm; 3 2cm .
D. 3 2cm; 34cm .
Câu 16: Cho nửa đường tròn (O) , đường kính AB và một dây MN . Kẻ AE và BF vuông góc với MN
lần lượt tại E và F . So sánh độ dài OE và OF .
A. OE = OF . B. 3 OE = OF .
C. OE < OF .
D. OE > OF . 2
Câu 17: Cho nửa đường tròn (O) , đường kính AB và một dây CD . Kẻ AE và BF vuông góc với CD
lần lượt tại E và F . So sánh độ dài CE và DF .
A. CE > DF .
B. CE = 2DF .
C. CE < DF .
D. CE = DF .
Câu 18: Cho đường tròn (O) , đường kính AB . Kẻ hai dây AC và BD song song. So sánh độ dài AC và BD .
A. AC > BD .
B. AC < BD .
C. AC = BD .
D. AC = 3BD .
Câu 19: Cho đường tròn (O) , đường kính AB . Lấy điểm C là trung điểm đoạn OB . Kẻ dây MN qua C
và dây AD//MN . So sánh độ dài AD và MN .
A. AD = 2.MN .
B. AD = MN .
C. AD > MN . D. AD < MN .
Câu 20: Cho đường tròn (O) , dây cung AB và CD với CD < AB . Giao điểm K của các đường thẳng
AB và CD nằm ngoài đường tròn. Vẽ đường tròn (O;OK ) , đường tròn này cắt KA và KC lần lượt tại
M và N . So sánh KM và KN .
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
A. KN > KM . B. KN < KM .
C. KM = KN . D. 4 KN = KM . 3
Câu 21: Cho đường tròn (O) , dây cung AB và CD với CD = AB . Giao điểm K của các đường thẳng
AB và CD nằm ngoài đường tròn. Vẽ đường tròn (O;OK ) , đường tròn này cắt KA và KC lần lượt tại
M và N . So sánh KM và KN .
A. KN > KM . B. KN < KM .
C. KM = KN . D. 4 KN = KM . 3
Câu 22: Cho đường tròn (O;10cm). Dây AB và CD song song, có độ dài lần lượt là 16cm và 12cm .
Tính khoảng cách giữa hai dây.
A. 14cm . B. 10cm . C. 12cm . D. 16cm .
Câu 23: Cho đường tròn (O; 8cm) . Dây AB và CD song song, có độ dài lần lượt là 14cm và 10cm . Tính
khoảng cách giữa hai dây 39 + 15 A. 2 15 (cm) . B. 2 39 (cm) . C.
(cm) . D. 39 + 15 (cm). 2
Câu 24: Cho tam giác ABC nhọn và có các đường cao BD,CE . So sánh BC và DE .
A. BC = DE .
B. BC < DE .
C. BC > DE . D. 2 BC = DE . 3
Câu 25: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 14cm , dây CD có độ dài 12cm vuông góc với AB tại
H nằm giữa O và B . Độ dài HA là: A. 7 + 13 cm . B. 7 - 13 cm .
C. 7cm . D. 7 - 2 13 cm .
Câu 26: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 20cm , dây CD có độ dài 16cm vuông góc với AB tại
H nằm giữa O và B . Độ dài HA là:
A. 12cm . B. 18cm . C. 16cm . D. 15cm .
Câu 27: Cho hình vuông ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC . Gọi E là giao điểm của
CM và DN . So sánh AE và DM . A. 3 AM = AE .
B. DM < AE .
C. DM = AE . D. DM > AE . 2 HƯỚNG DẪN 1. Lời giải:
Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. Đáp án cần chọn là A. 2. Lời giải:
Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài lớn nhất. Đáp án cần chọn là B.
11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 3. Lời giải:
Trong một đường tròn: Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Đáp án cần chọn là B. 4. Lời giải:
Trong một đường tròn: Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
Từ đề bài ta thấy dây CD gần tâm hơn dây AB nên CD > AB . Đáp án cần chọn là C. 5. Lời giải:
Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. Đáp án cần chọn là A. 6. Lời giải:
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. Đáp án cần chọn là D. 7. Lời giải: Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
Trong hai dây của một đường tròn:
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
Nên phương án B, C, D đúng. Đáp án cần chọn là A. 8. Lời giải: Trong một đường tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
Trong hai dây của một đường tròn:
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
+ Hai dây đi qua tâm thì chưa chắc vuông góc với nhau nên B sai.
Nên phương án A, B, C sai, D đúng. Đáp án cần chọn là D. 9. Lời giải:
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com O A H B
Kẻ OH ^ AB tại H suy ra H là trung điểm của AB .
Xét tam giác OHB vuông tại H có OH = 3;OB = 5 . Theo định lý Pytago ta có: 2 2 2 2
HB = OB -OH = 5 - 3 = 4 .
Mà H là trung điểm của AB nên AB = 2HB = 8cm .
Vậy AB = 8cm . Đáp án cần chọn là B. 10. Lời giải:
Kẻ OH ^ AB tại H suy ra H là trung điểm của AB .
Xét tam giác OHB vuông tại H có OH = 2, 5;OB = 6, 5 . Theo định lý Pytago ta có: 2 2 2 2
HB = OB -OH = 6, 5 - 2, 5 = 6 .
Mà H là trung điểm của AB nên AB = 2HB = 12cm .
Vậy AB = 12cm . Đáp án cần chọn là D. 11. Lời giải: C O F B E I A D
Xét đường tròn tâm (O).
Kẻ OE ^ AB tại E suy ra E là trung điểm của AB , kẻ OF ^ CD tại F .
Vì dây AB = CD nên OE = OF (hai dây bằng nhâu thì cách đều tâm). Xét tứ giác  OEIF có  
E = F = I = 90 nên OEIF là hình chữ nhật và OE = OF nên OEIF là hình
vuông  OE = OF = EI .
Mà AB = IA + IB = 6cm EB = 3cm EI = EB - IB = 1cm nên OE = OF = 1cm
Vậy tổng khoảng cách từ tâm đến hai dây ,
AB CD là 2cm .
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Đáp án cần chọn là D. 12. Lời giải: D O F A E M B C
Xét đường tròn tâm (O).
Kẻ OE ^ AB tại E suy ra E là trung điểm của AB , kẻ OF ^ CD tại F suy ra F là trung điểm của CD .
Xét tứ giác OEMF có   
E = F = M = 90 nên OEIF là hình chữ nhật, suy ra FM = OE .
Ta có CD = 12cm FC = 6cm mà MC = 2cm FM = FC - MC = 4cm nên OE = 4cm
Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là 4cm . Đáp án cần chọn là A. 13. Lời giải:
Xét đường tròn tâm (O).
Kẻ OE ^ AB tại E suy ra E là trung điểm của AB , kẻ OF ^ CD tại F suy ra F là trung điểm của CD .
Xét tứ giác OEMF có   
E = F = M = 90 nên OEIF là hình chữ nhật, suy ra FM = OE .
Ta có CD = 8cm FC = 4cm mà MC = 1cm FM = FC -MC = 4 -1 = 3cm nên
OE = FM = 3cm
Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là 3cm . Đáp án cần chọn là C. 14. Lời giải:
Lấy E, F lần lượt là trung điểm của hai dây AB và CD . Khi đó:
OE ^ AB;OF ^ AC lại có 
FME = 90 nên OEMF là hình chữ nhật. Suy ra
OE = MF = CF - MC = 4cm .
xét đường tròn (O), có OE = 4c ,
m E là trung điểm của AB nên 14 AE = = 7 cm . 2
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OEA ta có 2 2
OA = AE +OE = 65 nên R = 65 .
Lại có OD = 65 cm ; FD = 6cm nên áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OFD ta có: 2 2
OF = OD -FD = 29 cm .
14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Do đó khoảng cách từ tâm đến dây CD là 29 cm . Đáp án cần chọn là B. 15. Lời giải:
Xét đường tròn tâm (O).
Kẻ OE ^ AB tại E suy ra E là trung điểm của AB , kẻ OF ^ CD tại F suy ra F là trung điểm của CD .
Xét tứ giác OEMF có   
E = F = M = 90 nên OEIF là hình chữ nhật, suy ra FM = OE .
Ta có CD = 8cm FC = 4cm mà MC = 1cm FM = FC - MC = 4 - 1 = 3cm nên OE = FM = 3cm .
E là trung điểm của AB nên 14 AE = = 7 cm . 2
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OEA ta có 2 2
OA = AE +OE = 34 nên R = 34 . Lại có CD
OD = R = 34 ;FD =
= 4 nên áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OFD ta có: 2 2 2
OF = OD - FD = 34 - 16 = 3 2 .
Do đó khoảng cách từ tâm đến dây CD là 3 2cm . Đáp án cần chọn là C. 16. Lời giải: F N I E M A O B
Lấy I là trung điểm của EF .
Xét tứ giác AEFB có AE//FB (vì cùng vuông với EF ) nên AEFB là hình thang vuông tại E; F
Ta có OI là đường trung bình của hình thang AEFB nên OI//AE//FB OI ^ EF
Hay OI ^ CD nên I là trung điểm của CD (quan hệ giữa dây và đường kính)
Xét tam giác OEF có OI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên DOEF cân tại O .
Suy ra OE = OF . Đáp án cần chọn là A. 17. Lời giải:
15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com F D I E C A O B
Lấy I là trung điểm của EF .
Xét tứ giác AEFB có AE//FB (vì cùng vuông với EF ) nên AEFB là hình thang vuông tại E; F
Ta có OI là đường trung bình của hình thang AEFB nên OI//AE//FB OI ^ EF
Hay OI ^ CD nên I là trung điểm của CD (quan hệ giữa dây và đường kính)
Ta có IE = IF;IC = ID IE - IC = IF - ID EC = DF . Đáp án cần chọn là D. 18. Lời giải: C E O A B F D
Kẻ đường thẳng qua O vuông góc với AC tại E và cắt BD tại F thì EF ^ BD tại F vì AC//BD .
Xét hai tam giác vuông OEA và tam giác OFB có   OB = ;
OA EAO = FBO (so le trong)
Nên DAEO = DBFO (ch-gn)  OE = OF AC = DB (hai dây cách đều tâm thì bằng nhau). Đáp án cần chọn là C. 19. Lời giải: D N E O C A B F M
Kẻ đường thẳng qua O vuông góc với AC tại E và cắt BD tại F thì EF ^ BD tại F vì AC//BD .
Xét hai tam giác vuông OEA và tam giác OFB có     AEO = OFC = 90 ;
AOE = FOC (đối đỉnh) OE OA OE OA
Nên DAEO  DCFO (g - g)  =
mà OA = OB = 2.OC  =
= 2  OE = 2OF OF OC OF OC
16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Hay OE > OF suy ra AD < MN (dây nào xa tâm hơn thì dây đó nhỏ hơn). Đáp án cần chọn là D. 20. Lời giải: N C E D K B F A M
Xét đường tròn (O;OB)
Kẻ OE ^ CD;OF ^ AB tại E, F mà CD < AB OE > OF (dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn) Xét đường tròn ( ;
O OK) có OE ^ KN;OF ^ KM tại E, F mà OE > OF KN < KM (liên hệ giữa dây
và khoảng cách từ tâm đến dây) Đáp án cần chọn là B. 21. Lời giải: N C E D K B F A M
Xét đường tròn (O;OB)
Kẻ OE ^ CD;OF ^ AB tại E, F mà CD < AB OE > OF (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm) Xét đường tròn ( ;
O OK) có OE ^ KN;OF ^ KM tại E, F mà OE = OF KN = KM (liên hệ giữa dây
và khoảng cách từ tâm đến dây) Đáp án cần chọn là C. 22. Lời giải: D E C B O F A
17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Kẻ đường thẳng qua O vuông góc với CD tại E và cắt AB tại F thì EF ^ AB vì AB//CD .
Khi đó E là trung điểm của CD và F là trung điểm của AB (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây đó)
Nên ED = 6cm;FB = 8cm;OD = OB = 10cm
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OED ta được 2 2
OE = OD - ED = 8cm .
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OFB ta được 2 2
OF = OB - FB = 6cm .
Vậy khoảng cách giữa hai dây là EF = OE +OF = 14cm . Đáp án cần chọn là A. 23. Lời giải: D E C B O F A
Kẻ đường thẳng qua O vuông góc với CD tại E và cắt AB tại F thì EF ^ AB vì AB//CD .
Khi đó E là trung điểm của CD và F là trung điểm của AB (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây đó) CD AB Nên ED = = 5cm;FB =
= 7cm;OD = OB = 8cm 2 2
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OED ta được 2 2 2 2
OE = OD - ED = 8 - 5 = 39cm .
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OFB ta được 2 2 2 2
OF = OB -FB = 8 - 7 = 15 cm .
Vậy khoảng cách giữa hai dây là EF = OE +OF = 39 + 15 cm . Đáp án cần chọn là D. 24. Lời giải:
18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com A O E D C I B
Lấy I là trung điểm của BC Xét tam giác vuông BC
BDC có DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên DI = IB = IC = . 2 BC
Xét tam giác vuông BEC có EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên EI = IB = IC = 2 æ BC ö Từ đó BC
ID = IE = IB = IC = hay bốn điểm ,
B C, D, E cùng thuộc đường tròn I çç ; ÷÷ 2 çè 2 ÷÷ø æ BC ö Xét I çç ; ÷÷ ç
có BC là đường kính và DE là dây không đi qua tâm nên BC > DE . çè 2 ÷÷ø Đáp án cần chọn là C. 25. Lời giải: D O H A B C
Xét (O) có AB ^ CD tại H và AB là đường kính nên H là trung điểm của CD CDHD = HC = = 6cm 2 Vì 14
AB = 14  OA = OB = OD = = 7cm 2
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OHD ta được 2 2
OH = OD - DH = 13
Khi đó HA = OA +OH = 7 + 13 cm . Đáp án cần chọn là A. 26. Lời giải:
19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com D O H A B C
Xét (O) có AB ^ CD tại H và AB là đường kính nên H là trung điểm của CD CDHD = HC = = 8cm 2 Vì 20
AB = 20  OA = OB = OD = = 10cm 2
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OHD ta được 2 2 2 2
OH = OD - DH = 10 - 8 = 6
Khi đó HA = OA +OH = 10 + 6 = 16cm . Đáp án cần chọn là C. 27. Lời giải: D C I E N A M B + Ta có  
CDN = ECN (vì cùng phụ với  CNE ) nên    
CNE + ECN = CNE +CDN = 90 suy ra 
CEN = 90  CM ^ DN
+ Gọi I là trung điểm của DM Xét tam giác vuông DM
ADM ta có AI = ID = IM =
. Xét tam giác vuông DEM ta có: 2 DM
EI = ID = IM = 2 Nên DM
EI = ID = IM = IA = . 2 DM Do đó bốn điểm , A ,
D E, M cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính R = . 2 æ DM ö Xét I çç ; ÷÷ ç
có DM là đường kính và AE là dây không đi qua tâm nên DM > AE . çè 2 ÷÷ø Đáp án cần chọn là D.
20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho tam giác ABC , các đường cao BD và CE cắt nhau tại H . a) Chứng minh rằng , B E, ,
D C cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh rằng ,
A D, H, E cùng thuộc một đường tròn. c)
Chứng minh rằng BC > DE;AH > DE .
Bài 2: Cho đường tròn (O;R), A và B thuộc đường tròn (O) sao cho  0
AOB = 90 . Gọi M là trung điểm AB . a)
Chứng minh rằng OM ^ AB b) Tính độ dài ,
AB OM theo R .
Bài 3: Cho đường tròn (O;R), A và B di động trên đường tròn (O) thỏa mãn  0 AOB = 120 . Vẽ
OH ^ AB tại H . a)
Chứng minh H là trung điểm của AB b)
Tính OH, AB . Diện tích OAB theo R . c)
Tia OH cắt đường tròn (O;R) tại C . Tứ giác OABC là hình gì? Vì sao?
Bài 4: Cho một nửa đường tròn (O) có đường kính AB và một dây cung CD . Vẽ AP và BS vuông góc
với CD(P Î CD,S Î CD). Chứng minh: a)
P và S ở ngoài đường tròn (O) b) PC = DS c) S = S + S . APSB ACB ADB
Bài 5: Cho đường tròn (O;R) và một dây cung AB . Gọi I là trung điểm của AB . Tia OI cắt cung AB tại M . a)
Cho R = 5cm;AB = 6cm . Tính độ dài dây cung MA b)
Gọi N là điểm đối xứng của M qua O , giả sử MA = 5cm;AB = 6cm . Tính bán kính R .
Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Trên đoạn thẳng OA lấy điểm C và trên đoạn thẳng
OB lấy điểm D sao cho OC = OD . Từ C và D kẻ hai tia song song cắt nửa đường tròn ở E và F . Gọi
I là trung điểm của EF . Chứng minh rằng: S + S = EF.OI . CEF DEF
Bài 7: Cho đoạn thẳng AB = 6cm . Các đường tròn đi qua ,
A B đường tròn nào có độ dài bán kính nhỏ nhất.
Bài 8: Cho đường tròn (O;R). Các điểm , A ,
B C, D thuộc đường tròn (O;R).
Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD .
21. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 9: Cho tam giác nhọn ABC . D là điểm di động trên cạnh BC . Gọi R , R lần lượt là bán kính của 1 2
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD,ACD . Xác định vị trí của D để tổng R + R nhỏ nhất. 1 2
Bài 10: Cho đường tròn (O;R). A là điểm nằm ngoài đường tròn (O). Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) tại ,
B C . Xác định vị trí của d để AB + AC lớn nhất.
Bài 11: Cho đường tròn tâm O , đường kính AB . Vẽ dây CD không qua tâm và không vuông góc với
AB . Qua A và B vẽ các đường vuông góc với CD tại E và F . Chứng minh CF = DE .
Bài 12: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB . C,D là hai điểm trên nửa đường tròn (O) sao cho  0  0
CAB = 45 , DAB = 30 . AC cắt BD tại M, AD cắt BC tại N . a)
Chứng minh rằng MN ^ AB b)
Tính diện tích ABM theo R .
Bài 13: Cho đường tròn (O;R) và l(O < l < 2R) a)
Tìm quỹ tích trung điểm M của tất cả các dây cung AB = 1 của đường tròn (O) b)
Gọi C,D là hai điểm tùy ý sao cho CD = 1 . Hãy dựng hình bình hành CDEF sao cho E,F nằm
trên đường tròn (O;R). (Chỉ trình bày cách dựng và chứn minh). HƯỚNG DẪN Bài 1: a)  0  0
BEC = 90 (CE ^ AB), BDC = 90 (BD ^ AC ) A
Gọi M là trung điểm BC , EBC D vuông
tại E có EM là đường trung tuyến D BC
ME = MB = MC = E 2 H Tương tự: BC
MD = MB = MC = 2 B M C
Ta có: MB = ME = MD = MC  ,
B E, D,C cùng thuôc đường tròn tâm M b)
Chứng minh tương tự có ,
A D, H, E cùng thuộc đường tròn c) 0
BED = 90 , DE là dây cung khác đường kính đường tròn đường kính BC BC > DE
Chứng minh tương tự có: AH > DE . Bài 2: A a)  0 0 AOB = 90 ¹ 180 M
AB không là đường kính của đường tròn (O)
M là trung điểm của dây cung AB B O
22. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Nên OM ^ AB b)
DOAB vuông tại O có:
OA = OB(= R) nên là tam giác vuông cân
AB = OA 2 = R 2 .
DOAB vuông tại O , OM là đường trung tuyến nên: 1 2 OM = AB = R 2 2 C Bài 3: H A B a)
AB là dây cung của đường tròn (O) OH ^ AB (gt) O
H là trung điểm của đoạn thẳng AB . b)
DOAB cân tại O (vì OA = OB = R ) có:
OH là đường trung tuyến nên cũng là đường phân giác.   1  0
AOH = HOB = AOB = 60 2
Tam giác HAO vuông tại H có  0
AOH = 60 nên là nửa tam giác đều. 1 1 3 3  OH = OA = ; R AH = OA = ;
R AB = 2AH = 3R 2 2 2 2 1 1 1 3 2 S = OH.AB = . . R 3R = R (đvdt) OAB 2 2 2 4 c) 1 1
HC = OC -OH = R - R = R 2 2 Tứ giác OACB có 1
HA = HB, HO = HC(= R) 2 Nên là hình bình hành.
Mà OA = OB(= R)
Do đó OACB là hình thoi Bài 4: a)
Gọi I là trung điểm PS
AP ^ PS (gt), BS ^ PS (gt)  AP BS
APSB là hình thang
Nên OI là đường trung bình của hình thang APSB S
OI AP mà AP ^ PS OI ^ PS I D P C
Ta có OI là đường trung trực của PS
23. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com F A H EO K B  OP = OS   0
PAB + ABS = 180 (AP BS)  0
PAB ³ 90 hoặc  0 ABS ³ 90 Giả sử  0 PAB ³ 90 . AP D O có 0
PAD ³ 90  OP > OA = R
P nằm ngoài đường tròn (O;R)
Ta cũng có OS = OP > R S nằm ngoài đường tròn (O;R). b)
OI ^ CD IC = ID
Do đó: IP = IC = IS - ID PC = DS c)
Hạ CH,IE và DK vuông góc với AB . Ta có tứ giác HCDK là hình thang và IE là đường trung bình nên: CH + DK IE = . Ta có: 2 1 1 S + S
= CH.AB + DK.AB ACB ADB 2 2 1
= (CH + DK).AB 2
= IE.AB (1) (Vì 1
OI = (CH + DK)) 2
Giả sử AP < BS , hạ AF ^ BS , ta có: 1 S
= (AP + BS).AF (2) (Vì 1
OI = (AP + BS) ) APSB 2 2 Mặt khác: OE D I ∽ DBFA Vì  
IOE = FBA (Vì OI BS ) và   0 E = F(= 90 ) Cho ta: EI OI =
hay EI.BA = OI.FA (3) FA BA
Từ (1), (2) và (3) cho ta: S = S + S . APSB ACB ADB Bài 5: a)
Vì I là trung điểm của dây AB nên: AB 6 IA = IB = = = 3 (cm) 2 2 Và OI ^ AB A   0 OI D ( A I = 90 ) E 2 2 2 2 2
OI = OA - IA = 5 - 3 = 16 N M
24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com O I B
OI = 4cm IM = 1cm AI D M cho ta: 2 2 2 2 2
AM = AI + IM = 3 + 1 = 10  AM = 10 b)
Gọi E là trung điểm của dây NA
Ta có OE ^ NA và NE = EA = 2, 5cm IAN D cho ta: 2 2 2 2 2
IN = NA - AI = 5 - 3 = 16  IN = 4(cm)  NE ON NE D O NI D A cho ta: = NI NA NE.NA 2, 5.5  ON = = = 3,125cm . NI 4 Bài 6:
Vì I là trung điểm của EF Nên OI ^ EF
Ta có: CE DF
Và O là trung điểm của CD nên tứ giác CEFD là hình thang
Và OI là đường trung bình
Suy ra: OI CE DF mà OI ^ EF E
nên CE ^ EF,DF ^ EF . I F Do đó: 1
OI = (CE + DF) 2 A C O D B Và 1 S = CE.EF CEF 2 1 S = DE.EF DEF 2 1  S + S
= EF(CE + DF) = EF.OI CEF DEF 2 Bài 7:
Gọi R là bán kính của đường tròn đi qua A và B
Ta có: 2R ³ AB 2R ³ 6cm
R ³ 3cm , không đổi
Dấu “=” xảy ra  AB là đường kính của đường tròn đường kính AB có đọi dài bán kính nhỏ nhất. Bài 8:
25. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Vẽ AH ^ BD(H Î BD),CK ^ BD(K Î BD) A B
Gọi I là giao điểm của AC, BD K
AH ^ HI nên AH £ AI H I
CK ^ KI nên CK £ IC O
Do đó: AH +CK £ AI + IC = AC C D AC £ 2 , R BD £ 2R
( AC,BD là các dây cung của đường tròn (O;R)). Ta có: 1 1 S = S + S
= BD.AH + BD.CK ABCD ABD BCD 2 2 1 1
= BC(AH +CK) £ BD.AC 2 2 Do vậy: 1 2 S £ 2 .
R 2R = 2R ABCD 2 ìï BD = 2R ïï Dấu “=” xảy ra ï  í AC = 2R ïH ïï º I º K ïî
AC, BD là hai đường kính vuông góc nhau.
Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD là 2 2R . Bài 9:
R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD (gt) 1 Nên 2R ³ AB 1
Và R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD 2 Nên 2R ³ AC 2 A
Do đó: 2R + 2R ³ AB + AC 1 2 1
R + R ³ (AB + AC ) , không đổi 1 2 2 Dấu “=” xảy ra  ,
AB AC là đường kính cả các đường tròn B D C
ngoại tiếp các tam giác ABD , ACD .   0
ADB = ADC = 90
D là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC
Vậy khi D là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC thì
R + R đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 Bài 10:
26. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Vẽ OH ^ d(H Î d)
H là trung điểm BC (Định lí đường kính vuông góc dây cung) C
Ta có: AB + AC = AH - HB + AH + HC H B A
= (AH + AH ) + (HC - HB) = 2AH d
Mà OH ^ AH nên AH £OA O
Do đó: AB + AC £ 2OA 2OA không đổi
Dâu “=” xảy ra  O º H
Vậy khi đường thẳng d đi qua O thì tổng AB + AC lớn nhất. Bài 11: Vẽ OI ^ , CD I Î CD C
IC = ID (Định lí đường kính vuông góc với dây cung) F
AE ^ DC, BF ^ DC,OI ^ CD I
 Các đường thẳng AE,BF,OI song song với nhau A B E O
Hình thẳng EAFB có: D
OI AE và OA = OB
Do đó: IF = IF
Ta có: IC - IF = ID - IE CF = DE Bài 12: a)
C, D thuộc đường tròn đường kính AB (gt)   0
ACB = ADB = 90 Xét MA D
B có AD, BC là hai đường cao cắt nhau tại N
N là trực tâm của tam giác MAB MN ^ AB b)
Gọi H là giao điểm của MN và AB
DHAM vuông tại H có  0 MAH = 45 (gt)
 DHAM vuông cân tại H AH = MH
DDAB vuông tại D có  0 DAB = 30 nên:   0  0
DBA + DAB = 90  DBA = 60 MH D
B vuông tại H có  0
MBH = 60 nên là nửa tam giác đều
27. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 3MHHB = M 3 C D 3MH MH + = AH + HB N 3 3 + 3 MH = 2R A B 3 O H 2x3 MH = R 3 - 3 = (3 - 3)R 1 2 S
= MB.AB = (3 - 3)R (đvdt) MAB 2 Bài 13: a) 1) Phần thuận:
Vì M là trung điểm của dây cung AB = 1 Nên: 1
MA = MB = và OM ^ AB 2 2 1 OM D A cho: 2 2 2 2
OM = OA - AM OM = R - không đổi 4 2 1
Do đó M ở trên đường tròn 2 (O; R - ) 4 2) Phần đảo: 2 1 Trên đường tròn 2 (O; R -
) ta lấy một điểm M ¢ bất kỳ. 4
Vẽ dây cung A¢B¢ vuông góc với OM ¢ tại M ¢ . Ta phải chứng minh M ¢ là trung điểm của dây cung
A¢B¢ = 1. Thật vậy:
- Vì dây cung A¢B¢ vuông góc với OM ¢ tại M ¢ . Nên M ¢ là trung điểm của A¢B¢ 2 1 - Ta có: 2 OM ¢ = R - A M B 4 2 1 J 2 2 E Nên OM ¢ = R - 4 O Tam giác vuông OM A ¢ ¢ cho ta: D 2 2 2 I
A¢M ¢ = OA¢ -OM ¢ 2 2 H æç 1 ö÷ 1 2 2 = R - R ç - ÷ = ç ÷ çè 4 ÷ø 4 F C
28. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Suy ra: 1 A¢M ¢ = và A¢B¢ = 1 2 2 1
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn 2 (O; R - ). 4 b) 1) Cách dựng: 2 1
- Dựng OH ^ CD , đường thẳng OH cắt đường tròn 2 (O; R -
) tại I và J . 4
- Dựng dây cung EF của đường tròn (O;R) vuông góc với OI tại I (hoặc OJ tại J ). Tứ giác EFCD là
hình bình hành phải dựng. 2) Chứng minh:
Vì OI = OM nên EF = AB EF = CD .
Theo cách dựng, ta còn có: EF CD (vì cùng ^ OH )
Vậy tứ giác EFCD là hình bình hành. 3) Biện luận: 2 1
Vì đường thẳng OH luôn cắt đường tròn 2 (O; R -
) tại hai điểm nên bài toán luôn dựng được và có 4 hai nghiệm hình.
----------Toán Học Sơ Đồ---------
29. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com