Chuyên đề vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Tài liệu gồm 26 trang, được biên soạn bởi tác giả Toán Học Sơ Đồ, tổng hợp kiến thức trọng tâm, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng bài tập tự luận & trắc nghiệm chuyên đề vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Mời bạn đọc đón xem.

1.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
V TRÍ TƯƠNG ĐỐI CA ĐƯỜNG THNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
A.KIN THC CN NH
V trí tương đối
S đi
m
chung
H thc gia
d
R
Hình minh ha
Đường thng và đường tr
ò
ct nhau
2

;dOd R
d
được gi là cát tuyến ca đườn
g
tròn

O
.
Đường thng và đường tr
ò
tiếp xúc nhau
1

;dOd R
d
gi là tiếp tuyến ca

O
M
tiếp đim.
Đường thng và đường tr
ò
không ct nhau
0

;dOd R
T
ÍNH CHT CA TIP TUYN
T
ÍNH CHT HAI TIP TUYN CT NHAU
2.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Nếu mt đường thng là tiếp tuyến ca mt đường
t
ròn thì nó vuông góc vi bán kính đi qua tiếp đim đ
Nếu mt đường thng đi qua mt đim ca đường
ròn và vuông góc vi bán kính đi qua đim đó thì
đ
ường thng y là mt tiếp tuyến ca đường tròn.
MA
MB
là hai tiếp tuyến ca đường tròn

O
.
K
hi đó:
12
34
MA MB
MM
OO
.
ĐƯ
NG TRÒN NI TIP TAM GIÁC
Đ
ƯỜNG TRÒN BÀNG TIP TAM GIÁC
Đường tròn tiếp xúc vi ba cnh ca mt tam giác
đ
ược gi là đường tròn ni tiếp tam giác, còn tam gi
á
đ
ược gi là ngoi tiếp đường tròn.
Tâm ca đường tròn ni tiếp tam giác là giao đim
c
a các đường phân giác ca các góc trong tam giác.
Đường tròn tiếp xúc vi m
cnh ca tam giác và tiếp xúc
vi các phn kéo dài ca hai
cnh kia được gi là đường
tròn bàng tiếp tam giác.
Mi tam giác, có ba đường
tròn bàng tiếp.
B.CÁC DNG BÀI TP T LUN MINH HA
Dng 1: Nhn biết v trí tương đối ca đường thng và đường tròn.
Phương pháp gii: So sánh dR da vào bng v trí tương đốỉ ca đường thng và đưng tròn đã nêu trong
phn Tóm tt lý thuyết.
Bài 1: Cho đường tròn tâm
O
bán kính
R
, gi
d
là khong cách t tâm
O
đến đường thng
a
. Viết các h
thc tương ng gia
d
và R vào bng sau.
V trí tương đối ca đường thng và đường tròn S đim chung
H thc gia
d
R
Đ
ường thng và đưng tròn ct nhau 2
Đ
ường thng và đưng tròn tiếp xúc nhau 1
Đ
ường thng và đưng tròn không giao nhau 0
3.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bài 2: Cho đường tròn tâm
O
bán kính
R
, gi
d
là khong cách t tâm
O
đến đường thng
a
. Đin vào
ch trng trong bng sau.
V trí tương đối ca đường thng và đường tròn
R
d
8 6
Đ
ường thng và đưng tròn tiếp xúc nhau
6
6 8
Bài 3: Đin vào ô trng
V
trí ca đường thng
đ
ường tròn
S Đim Chung H thc gia
R
D
Hình V
C
t Nhau
T
iếp Xúc
K
hông Giao Nhau
Bài 4: V hình theo yêu cu và xác định v trí tương đối ca đường thng và đường tròn
a) V

,5Ocm
đường thng

d
cách tâm
O
6cm
b) V

,10Ocm
đường thng

k
cách tâm
O
7cm
c) V

,5Ocm
đường thng

n
cách tâm
O
6cm
d) V

,10Od cm
dường thng

m
cách tâm
O
5cm
Dng 2: Bài tp vn dng tính cht tiếp tuyến
Bài 5: Cho đim A thuc đường tròn
(;3cm)O
. Trên tiếp tuyến ti A ca đường tròn
()O
ly đim B sao cho
4.AB cm
Tính độ dài đon thng OB
Bài 6: Cho đườngtròn
(;15cm)O
, dây
24
AB
cm
. Mt tiếp tuyến ca đường tròn song song vi
AB
ct các
tia
OA
,
OB
theo th t
E
,
F
. Tính độ dài
EF
.
Bài 7: Cho tam giác cân
ABC
(
AB AC
) ni tiếp đường tròn (
O
). Chng minh rng:
BC
song song vi tiếp tuyến ti
A
ca đường tròn (
O
)
Dng 3: Chng minh tiếp tuyến ca đường tròn
Bài 8: Cho tam giác
ABC
đường cao
AH
. Chng minh rng
BC
là tiếp tuyến ca đường tròn tâm
A
bán
kính
AH
.
Bài 9: Cho hình thang vuông
ABCD

0
(90)AB
O
là trung đim ca
AB
và góc
0
90COD . Chng
minh
CD
là tiếp tuyến ca đường tròn đưng kính
Bài 10: Cho hình vuông
ABCD
có cnh bng
a
. Gi
,
MN
là hai đim trên các cnh
,
AB AD
sao cho chu vi
tam giác
AMN
bng
2a
. Chng minh đường thng
MN
luôn tiếp xúc vi
1
đường tròn c định.
Bài 11: Cho tam giác
ABC
cân ti
A
đường cao
BH
. Trên na mt phng cha
C
b
AB
v
Bx BA
ct
đường tròn tâm
B
bán kính
BH
ti
D
. Chng minh
CD
là tiếp tuyến ca
()
B
4.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bài 12: Cho tam giác
ABC
vuông ti
A
()
AB AC
đường cao
AH
. Gi
E
đim đối xng vi
B
qua
H
. Đường tròn tâm
O
đường kính
EC
ct
AC
ti
K
.
Chng minh
HK
là tiếp tuyến ca đường tròn
()
O
.
Dng 4:Nâng cao phát trin tư duy
Bài 13: Cho na đường tròn

O
đường kính
AB
. Qua đim
C
thuc na đường tròn, k tiếp tuyến
d
ca
đường tròn. Gi
E
F
ln lượt là chân các đường vuông góc k t
A
B
đến
d
. Gi
H
là chân đường
vuông góc k t
C
đến
AB
. Chng minh:
a)
CE CF
.
b)
AC
là tia phân giác ca góc
BAE
.
c)
2
.CH AE BF
.
Bài 14: Cho
ABC
vuông ti

AAB AC
, đường cao
AH
.
E
đim đối xng ca
B
qua
H
. V đường
tròn đường kính
EC
ct
AC
ti
K
. Xác định v trí tương đối ca
HK
vi đường tròn đường kính
EC
.
HƯỚNG DN
Dng 1: Nhn biết v trí tương đối ca đường thng và đường tròn.
Bài 1: Cho đường tròn tâm
O
bán kính
R
, gi
d
là khong cách t tâm
O
đến đường thng
a
. Viết các h
thc tương ng gia
d
và R vào bng sau.
V trí tương đối ca đường thng và đường tròn S đim chung
H thc gia
d
R
Đ
ường thng và đưng tròn ct nhau 2
dR
Đ
ường thng và đưng tròn tiếp xúc nhau 1
dR
Đ
ường thng và đưng tròn không giao nhau 0
dR
Bài 2: Cho đường tròn tâm
O
bán kính
R
, gi
d
là khong cách t tâm
O
đến đường thng
a
. Đin vào
ch trng trong bng sau.
V trí tương đối ca đường thng và đường tròn
R
d
Đ
ường thng và đưng tròn ct nhau 8 6
Đ
ường thng và đưng tròn tiếp xúc nhau 6 6
Đ
ường thng và đưng tròn không giao nhau 6 8
Bài 3: Đin vào ô trng
V
trí ca đường thng v
đ
ường tròn
S Đim Chung H thc gia R và D Hình V
C
t Nhau 2 R>D
H
c sinh t v
T
iếp Xúc 1 R=D
H
c sinh t v
K
hông Giao Nhau 0 R<D
H
c sinh t v
5.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bài 4: V hình theo yêu cu và xác định v trí tương đối ca đường thng và đường tròn
a) V (O,5cm) dường thng (d) cách tâm O 6cm
Đường thng không ct đường tròn
b) V (O,10cm) dường thng (k) cách tâm O 7cm
Đường tròn ct đường thng
d
k
6.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
c) V (O,5cm) dường thng (n) cách tâm O 6cm
d) V (O,d=10cm) dường thng (m) cách tâm O 5cm
Dng 2: Bài tp vn dng tính cht tiếp tuyến
Bài 5: Cho đim A thuc đường tròn
(;3cm)
O
. Trên tiếp tuyến ti A ca đường tròn
()
O
ly đim B sao cho
4.AB cm
Tính độ dài đon thng OB
Li gii
Do AB là tiếp tuyến ca đường tròn
(;3cm)
O
Suy ra
0
90AB OA BOA
Áp dng định lý Pitago trong tam giác vuông AOB
Ta có:
222
OB OA AB
222
34 25 5
OB OB
Bài 6: Cho đườngtròn
(;15cm)
O
, dây
24AB
cm
. Mt tiếp tuyến ca đường tròn song song vi
AB
ct các
tia
OA
,
OB
theo th t
E
,
F
. Tính độ dài
EF
Li gii
D thy rng
OAB OEF OEF
cânti
O
.
Gi tiếp đim
I
, gi
M
làtrung đim ca
AB
.
Ta có
.OM AB OI EF
Trong tam giácvuông
OMB
22 22
15 12 9 cm.OM OB MB
O
A
B
n
m
7.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
MB IF
nên theo định lí Ta-lét ta có
40 cm.
OM AB AB OI
EF
OI EF OM

Bài 7: Cho tam giác cân
ABC
(
AB AC
) ni tiếp đường tròn (
O
).. Chng minh rng:
BC
song song vi tiếp tuyến ti
A
ca đường tròn (
O
)
Li gii
Gi d là tiếp tuyến ti A ca đường tròn tâm O,
suy ra
(1)
dOA
.
AB AC
suy ra A thuc trung trc ca đon thng
BC
Li có
OB OC
suy ra O thuc trung trc ca đon thng
BC
Do đó OA là trung trc ca đon thng BC
(2)
OA BC
T

1 ; (2) d//BC
Dng 3: Chng minh tiếp tuyến ca đường tròn
Bài 8: Cho tam giác
ABC
đường cao
AH
. Chng minh rng
BC
là tiếp tuyến ca đường tròn tâm
A
bán
kính
AH
.
Li gii
Cách 1: (s dng du hiu v khong cách)
Ta thy khong cách t tâm A ca (A;AH) đến đường thng BC
là AH
Suy ra BC là tiếp tuyến ca (A;AH)
Cách 2 (s dng du hiu vuông góc)
Ta có H là đim chung ca (A;AH) và BC
Li có BC AH ti H. Suy ra BC là tiếp tuyến ca (A; AH)
Bài 9: Cho hình thang vuông
ABCD

0
(90)AB
O
là trung đim ca
AB
và góc
0
90COD . Chng
minh
CD
là tiếp tuyến ca đường tròn đưng kính
Li gii
Kéo dài
OC
ct
BD
ti
E
0
90COD
Suy ra
0
90EOD .
Xét tam giác
COD
EOD
ta có
OD
chung
1
OC OA
OC OD COD EOD
OD OB

.
Suy ra
DC DE
hay tam giác
ECD
cân ti
D
.
K
OH CD
thì
OBD OHD OH OB
OB OA OH OB OA
hay
,,
AH B
thuc đường tròn
()
O
.
Do đó
CD
là tiếp tuyến ca đường tròn đường kính
AB
.
d
A
O
B
C
E
H
D
C
O
B
A
H
A
B
8.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bài 10: Cho hình vuông
ABCD
có cnh bng
a
. Gi
,
MN
là hai đim trên các cnh
,
AB AD
sao cho chu vi
tam giác
AMN
bng
2a
. Chng minh đường thng
MN
luôn tiếp xúc vi
1
đường tròn c định.
Li gii
Trên tia đối ca
BA
ta ly đim
E
sao cho
BE ND
.
Ta có
BCE DCN CN CE
.
Theo gi thiết ta có:
MN AM AN AB AD
AM MB AN DNAM AN MB BE
.
Suy ra
MN MB BE ME
.
T đó ta suy ra
MNC MEC CMN CMB . K
CH MN
CH CB CD a
.
Vy
,,
DH B
thuc đường tròn tâm
C
bán kính
CB a
Suy ra
MN
luôn tiếp xúc vi đường tròn tâm
C
bán kính bng
a
.
Bài 11: Cho tam giác
ABC
cân ti
A
đường cao
BH
. Trên na mt phng cha
C
b
AB
v
Bx BA
ct
đường tròn tâm
B
bán kính
BH
ti
D
. Chng minh
CD
là tiếp tuyến ca
()
B
Li gii
Vì tam giác
ABC
cân ti
A
nên ta có:
BC
.
0
2
90Bx BA B
.
Mt khác ta cũng có

0
112
90BBB
 .
Hai tam giác
BHC
BDC
BC
chung,
12
BB ,
BH BD R
Suy ra
(..)
BHC BDC c g c
suy ra

0
90BHC BDC .
Nói cách khác
CD
là tiếp tuyến ca đường tròn
()
B
Bài 12: Cho tam giác
ABC
vuông ti
A
()
AB AC
đường cao
AH
. Gi
E
đim đối xng vi
B
qua
H
. Đường tròn tâm
O
đường kính
EC
ct
AC
ti
K
.
Chng minh
HK
là tiếp tuyến ca đường tròn
()
O
.
Li gii
Vì tam giác
EKC
có mt cnh
EC
đường kính ca
()
O
Nên
0
90EKC . K
// //HI AC BA HI EK
Suy ra
AI IK
t đó ta có tam giác
AHK
cân ti
H
.
Do đó
1
KB ( cùng ph vi góc hai góc bng nhau là
,BAH IHK
).
Mt khác ta cũng có:
23
KC ( do tam giác
KOC
cân ti
O
).
00
312
90 90BC K K  suy ra
0
90HKO
H
N
M
E
D
C
B
A
α
2
1
x
D
H
C
B
A
3
2
1
I
K
O
EH
C
B
A
9.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Hay
HK
là tiếp tuyến ca
()
O
.
Bài 13: Cho na đường tròn

O
đường kính
AB
. Qua đim
C
thuc na đường tròn, k tiếp tuyến
d
ca
đường tròn. Gi
E
F
ln lượt là chân các đường vuông góc k t
A
B
đến
d
. Gi
H
là chân đường
vuông góc k t
C
đến
AB
. Chng minh:
d)
CE CF
.
e)
AC
là tia phân giác ca góc
BAE
.
f)
2
.CH AE BF
.
Định hướng
T giác
ABFE
là hình thang và
// //OC AE BF
nên
OC
đường trung bình ca hình thang
ABFE
(vì
O
trung đim
AB
). Suy ra
CE CF
.
Tam giác
AOC
cân ti
O
nên
CAO ACO
CAE ACO do
//
AE OC
. Suy ra
CAE CAB .
Ta thy:
2
.CH AH BH
. Mà
AE AH
, tương t
BF BH
. Suy ra
2
.CH AE BF
.
Li gii
a) Ta có:
,//AE d BF d AE BF
.
Suy ra t giác
AEFB
là hình thang.
Li có
O
là trung đim ca
AB
// //OC AE BF
(vì
OC d
).
C
là trung đim ca
EF CE CF
.
b)
//AE OC CAE ACO (2 góc so le trong) (1).
Mt khác
OC OA AOC
cân ti

2OACOOAC .
T (1) và (2) suy ra
CAE CAO .
Suy ra
AC
là phân giác
BAE
.
c)
Do
C
thuc na đường tròn đường kính
2
AB
OC OA OB ABC vuông ti
C
.
Áp dng h thc lượng trong tam giác
ABC
vuông ti
C
, đường cao
CH
ta có:

2
.3CH AH BH
.
Xét
ACE
ACH
vuông ta có:
0
90AEC AHC
CAE CAH

Chung cnh
AC
ACE ACH 
(cnh huyn – góc nhn).
Theo phn b ta có:

4ACE ACH AH AE
.
10.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Tương t ta có:

5BH BF
.
T (3), (4), (5) suy ra
2
.CH AE BF
đpcm.
Bài 14: Cho
ABC
vuông ti

AAB AC
, đường cao
AH
.
E
đim đối xng ca
B
qua
H
. V đường
tròn đường kính
EC
ct
AC
ti
K
. Xác định v trí tương đối ca
HK
vi đường tròn đường kính
EC
.
Li gii
Gi
I
là tâm ca đường tròn đường kính
EC
,
I
là trung đim ca
EC
.
EC
đường kính ca

I
K
thuc

I
nên
EK KC
.
KAC ACEK
.
Mt khác
ABC
vuông ti
//
AABACABKE

.
Suy ra t giác
ABEK
là hình thang (du hiu nhn biết hình thang).
Ly
M
là trung đim ca
AK
. Vì
E
đối xng vi
B
qua
H
.
Suy ra
H
là trung đim ca
BE
, suy ra
HM
đường trung bình ca hình thang
//ABEK HM EK
, mà
EK AC HM AC HM AK 
.
HM
va là đường cao va là đường trung tuyến ca
AHK
.
AHK
cân ti

1H HAK AKH .

,AK EK AH BE HAK KEI EKI
.
E
K
thuc

I
nên
IK IE KEI

cân ti


2I KEI EKI
.
T (1) và (2) ta có:
0
90AKH EKI HKI HKE EKI AKH HKE AKE  .
HK IK HK

đường tròn đường kính
EC
tiếp xúc vi nhau.
C.TRC NGHIM RÈN LUYN PHN X
Câu 1:
Đường thng và đường tròn có nhiu nht bao nhiêu đim chung.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 2: Nếu đường thng và đường tròn có duy nht mt đim chung thì:
A. Đường thng tiếp xúc vi đường tròn. B. Đường thng ct đường tròn.
C. Đường thng không ct đường tròn. D. Đáp án khác.
Câu 3: Nếu đường thng và đường tròn có hai đim chung thì
A. Đường thng tiếp xúc vi đường tròn. B. Đường thng ct đường tròn.
C. Đường thng không ct đường tròn. D. Đáp án khác.
Câu 4: Nếu đường thng
d
là tiếp tuyến ca đường tròn
()O
ti
A
thì:
A.
//dOA
. B.
dOAº
. C.
dOA^
ti
A
. D.
dOA^
ti
O
.
Câu 5: Cho đường tròn
()O
đim
A
nm trên đường tròn
()O
. Nếu đường thng
dOA^
ti
A
thì:
11.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
A.
d
là tiếp tuyến ca
()O
. B.
d
ct
()O
ti hai đim phân bit.
C.
d
là tiếp xúc vi
()O
ti
O
. D. C A, B, C đều sai.
Câu 6: Cho đường tròn
()O
đường thng
a
. K
OH a^
, biết
OH R>
khi đó đường thng
a
đường
thng
()
O
.
A. Ct nhau. B. Không ct nhau. C. Tiếp xúc. D. Đáp án khác.
Câu 7: Cho đường tròn
()
O
đường thng
a
. K
OH a^
ti
H
, biết
OH R<
, khi đó đường thng
a
đường tròn
()
O
.
A. Ct nhau. B. Không ct nhau. C. Tiếp xúc. D. Đáp án khác.
Câu 8: Đin vào các v trí (1); (2) trong bng sau (
R
là bán kính ca đường tròn,
d
là khong cách t tâm đến
đường thng).
R
d
V trí tương đối ca đường thng và đường tròn
5cm
4cm
…(1)…
8cm
…(2)… Tiếp xúc nhau
A. (1): ct nhau; (2):
8cm
. B. (1):
9cm
; (2): Tiếp xúc nhau.
C. (1): không ct nhau; (2):
8cm
. D. (1): ct nhau; (2):
6cm
.
Câu 9: Đin vào các v trí (1); (2) trong bng sau (
R
là bán kính ca đường tròn,
d
là khong cách t tâm đến
đường thng).
R
d
V trí tương đối ca đường thng và đường tròn
3cm
5cm
…(1)…
…(2)…
9cm
Tiếp xúc nhau
A. (1): ct nhau; (2):
9cm
. B. (1): tiếp xúc nhau; (2):
8cm
.
C. (1): không ct nhau; (2):
9cm
. D. (1): không ct nhau; (2):
10cm
.
Câu 10: Trên mt phng to độ
Oxy
, cho đim
(4;5)
A
. Hãy xác định tương đối ca đường tròn
(;5)
A
và các
trc to độ.
A. Trc tung ct đường tròn và trc hoành tiếp xúc vi đường tròn.
B. Trc hoành ct đường tròn và trc tung tiếp xúc vi đường tròn.
C. C hai trc to độ đều ct đường tròn.
D. C hai trc to độ đều tiếp xúc vi đường tròn.
Câu 11: Trên mt phng to độ
Oxy
, cho đim
(2;3)
A
-
. Hãy xác định v trí tương đối ca đường tròn
(;2)
A
và các trc to độ.
A. Trc tung ct đường tròn và trc hoành tiếp xúc vi đường tròn.
B. Trc hoành không ct đường tròn và trc tung tiếp xúc vi đường tròn.
C. C hai trc to độ đều ct đường tròn.
D. C hai trc to độ đều tiếp xúc vi đường tròn.
12.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Câu 12: Cho
;ab
là hai đường thng song song và cách nhau mt khong
3cm
. Ly đim
I
trên
a
và v
đường tròn
(;3,5 )
Icm
. Khi đó đường tròn vi đường thng
b
.
A. Ct nhau. B. Không ct nhau. C. Tiếp xúc. D. Đáp án khác.
Câu 13: Cho
;ab
là hai đường thng song song và cách nhau mt khong
2, 5cm
. Ly đim
I
trên
a
và v
đường tròn
(;2,5 )
Icm
. Khi đó đường tròn vi đường thng
b
.
A. Ct nhau. B. Không ct nhau. C. Tiếp xúc. D. Đáp án khác.
Câu 14: Cho góc
xOy
(0 180 )xOy<<
. Đường tròn
()
I
đường tròn tiếp xúc vi c hai cnh
;Ox Oy
. Khi
đó đim
I
chy trên đường nào?
A. Đường thng vuông góc vi
Ox
ti
O
. B. Tia phân giác ca góc
xOy
.
C. Tia
Oz
nm gia
Ox
Oy
. D. Tia phân giác ca góc
xOy
tr đim
O
.
Câu 15: Cho đường tròn tâm
O
bán kính
3cm
và mt đim
A
cách
O
5cm
. K tiếp tuyến
AB
vi đường
tròn (
B
là tiếp đim). Tính độ dài
AB
.
A.
3AB cm=
. B.
4AB cm=
. C.
5AB cm=
. D.
2AB cm=
.
Câu 16: Cho đường tròn tâm
O
bán kính
6cm
và mt đim
A
cách
O
10cm
. K tiếp tuyến
AB
vi đường
tròn (
B
là tiếp đim). Tính độ dài
AB
.
A.
12AB cm=
. B.
4AB cm=
. C.
6AB cm=
. D.
8AB cm=
.
Câu 17: Cho đường tròn
(; )
OR
và dây
1, 2AB R=
. V mt tiếp tuyến song song vi
AB
, ct các tia
,OA OB
ln lượt ti
E
F
. Tính din tích tam giác
OEF
theo
R
.
A.
2
0, 75
OEF
SR=
. B.
2
1, 5
OEF
SR=
. C.
2
0, 8
OEF
SR=
. D.
2
1, 7 5
OEF
SR=
.
Câu 18: Cho đường tròn
(;6 )Ocm
và dây
9, 6AB cm=
. V mt tiếp tuyến song song vi
AB
, ct các tia
,OA OB
ln lượt ti
E
F
. Tính din tích tam giác
OEF
theo
R
.
A.
2
36( )
OEF
Scm=
. B.
2
24( )
OEF
Scm=
. C.
2
48( )
OEF
Scm=
. D.
2
96( )
OEF
Scm=
.
Câu 19: Cho đường tròn
(; )OR
. Cát tuyến qua
A
ngoài
()O
ct
()O
ti
B
C
. Cho biết
AB BC=
và k
đường kính
COD
. Tính độ dài đon thng
AD
.
A.
AD R=
. B.
3AD R=
. C.
2
R
AD =
. D.
2AD R=
.
Câu 20: Cho đường tròn
(;5 )Ocm
. Cát tuyến qua
A
ngoài
()O
ct
()O
ti
B
C
. Cho biết
AB BC=
k đường kính
COD
. Tính độ dài đon thng
AD
.
A.
2, 5AD cm=
. B.
10AD cm=
. C.
5AD cm=
. D.
15AD cm=
.
Câu 21: Cho hai đường thng
a
b
song song vi nhau mt khong là
h
. Mt đường tròn
()O
tiếp xúc vi
a
b
. Hi tâm
O
di động trên đường nào?
A. Đường thng
c
song song và cách đều
,ab
mt khong
2
h
.
13.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
B. Đường thng
c
song song và cách đều
,ab
mt khong
2
3
h
.
C. Đường thng
c
đi qua
O
vuông góc vi
,ab
.
D. Đường tròn
(; )AAB
vi
,AB
ln lượt là tiếp đim ca
,ab
vi
()O
.
Câu 22: Cho hai đường thng
a
b
song song vi nhau, cách nhau mt khong là
6cm
. Mt đường tròn
()O
tiếp xúc vi
a
b
. Hi tâm
O
di động trên đường nào?
A. Đường thng
c
song song và cách đều
,ab
mt khong
4cm
.
B. Đường thng
c
song song và cách đều
,ab
mt khong
6cm
.
C. Đường thng
c
đi qua
O
vuông góc vi
,ab
.
D. Đường thng
c
song song và cách đều
,ab
mt khong
3cm
.
Cho đường tròn
(; )OR
đường kính
AB
. V các tia tiếp tuyến
,Ax By
vi na đường tròn. Ly đim
M
di
động trên
Ax
, đim
N
di động trên tia
Oy
sao cho
2
.AM BN R=
.
Câu 23: Chn câu đúng:
A.
MN
là tiếp tuyến ca đường tròn
()O
. B.
90MON =
.
C. C A, B đều đúng. D. C A, B đều sai.
Câu 24: Chn câu đúng:
A. Đường tròn ngoi tiếp tam giác
OMN
luôn tiếp xúc vi đường thng
AB
c định.
B. Đường tròn ngoi tiếp tam giác
OMN
luôn tiếp xúc vi đường thng
AM
c định.
C. Đường tròn ngoi tiếp tam giác
OMN
luôn tiếp xúc vi đường thng
BN
c định.
D. C A, B, C đều sai.
Câu 25: T mt đim
A
nm bên ngoài đường tròn
()O
ta v hai tiếp tuyến
,AB AC
vi đường tròn (
,BC
các tiếp đim). Trên
AO
ly đim
M
sao cho
AM AB=
. Các tia
BM
CM
ln lượt ct đường tròn ti mt
đim th hai là
D
E
. Chn câu đúng.
A.
M
là tâm đường tròn ngoi tiếp tam giác
OBC
.
B.
DE
đường kính ca đường tròn
()O
.
C.
M
là tâm đường tròn ni tiếp tam giác
OBC
.
D. C A, B, C đều sai.
HƯỚNG DN
1. Li gii:
Đường thng và đường tròn có nhiu nht hai đim chung.
Đáp án cn chn là B.
2. Li gii:
V
trí tương đối ca đường thng và đường tròn
S
đim chung
H
thc gia
d
R
14.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Đ
ường thng và đường tròn ct nhau
2
dR<
Đ
ường thng và đường tròn tiếp xúc nhau
1
dR=
Đ
ường thng và đường tròn không giao nhau
0
dR>
Đường thng và đường tròn ch có mt đim chung thì đường thng tiếp xúc vi đường tròn.
Đáp án cn chn là A.
3. Li gii:
V
trí tương đối ca đường thng và đường tròn
S
đim chun
g
H
thc gia
d
v
à
R
Đ
ường thng và đường tròn ct nhau
2
dR<
Đ
ường thng và đường tròn tiếp xúc nhau
1
dR=
Đ
ường thng và đường tròn không giao nhau
0
dR>
Đường thng và đường tròn có hai đim chung thì đường thng ct đường tròn.
4. Li gii:
Nếu mt đường thng là tiếp tuyến ca đường tròn thì nó vuông góc vi bán kính đi qua tiếp đim.
Nên
dOA^
ti đim
A
.
Đáp án cn chn là C.
5. Li gii:
Nếu mt đường thng đi qua mt đim thuc
đường tròn và vuông góc vi bán kính đi qua
đim đó thì đường thng đó là tiếp tuyến ca đường tròn.
Hay
d
là tiếp tuyến ca
()O
ti
A
.
Đáp án cn chn là
A
.
6. Li gii:
OH R>
nên
a
không ct
()O
.
Đáp án cn chn là B.
d
O
A
a
O
H
15.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
7. Li gii:
OH R<
nên
a
ct
()O
.
Đáp án cn chn là A.
8. Li gii:
+ Vì
(4 5 )d R cm cm<<
nên đường thng ct đường tròn.
+ Vì đường thng tiếp xúc vi đường tròn nên
8
dR cm==
.
Đáp án cn chn là A.
9. Li gii:
+ Vì
(5 3 )
d R cm cm>>
nên đường thng không ct đường tròn hay (1) đin là: không ct nhau.
+ Vì đường thng tiếp xúc vi đường tròn nên
9
dR cm==
hay (2) đin là
9cm
.
Đáp án cn chn là C.
10. Li gii:
(4 ; 5 )A
nên khong cách t
A
đến trc hoành là
1
||5
A
dy==
, khong cách t
A
đến trc tung là
2
||4
A
dx==
.
Nhn thy
2
(5)
dR==
nên trc hoành tiếp xúc vi đường tròn
(;5)A
.
2
45dR=<=
nên trc tung ct đường tròn
(;5)A
.
Đáp án cn chn là A.
11. Li gii:
(2;3)A -
nên khong cách t
A
đến trc hoành là
1
||3
A
dy==
, khong cách t
A
đến trc tung là
2
||2
A
dx==
.
Nhn thy
2
(2)
dR==
nên trc tung tiếp xúc vi đường tròn
(;2)A
.
2
32dR=>=
nên trc hoành không ct đường tròn
(;2)A
.
Đáp án cn chn là B.
12. Li gii:
d
H
O
16.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Vì hai đường thng song song
,ab
cách nhau mt khong là
3cm
IaÎ
nên khong cách t tâm
I
đến
đường thng
b
3dcm=
.
Suy ra
(3 3, 5 )dRcm cm<<
nên đường tròn
(;3,5 )Icm
đường thng
b
ct nhau.
Đáp án cn chn là A.
13. Li gii:
Vì hai đường thng song song
,ab
cách nhau mt khong là
2, 5cm
IaÎ
nên khong cách t tâm
I
đến
đường thng
b
2, 5dcm=
.
Suy ra
2, 5dR cm==
nên đường tròn
(;2,5 )Icm
đường thng
b
tiếp xúc vi nhau.
Đáp án cn chn là C.
14. Li gii:
K
;IA Oy IB Ox^^
ti
,AB
.
()I
tiếp xúc vi c
;Ox Oy
nên
IA IB=
suy ra
I
thuc tia phân giác ca góc
xOy
()IO¹
(tính cht tia
phân giác ca mt góc).
Đáp án cn chn là D.
15. Li gii:
b
a
I
B
2,5cm
a
b
I
B
y
x
O
I
B
A
17.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
AB
là tiếp tuyến và
B
là tiếp đim nên
3;OB R cm AB OB== ^
ti
B
.
Áp dng định lý Pytago cho tam giác
ABO
vuông ti
B
ta được:
2222
53 4
AB OA OB cm=-=-=
.
Vy
4AB cm=
.
Đáp án cn chn là B.
16. Li gii:
AB
là tiếp tuyến và
B
là tiếp đim nên
6;OB R cm AB OB== ^
ti
B
.
Áp dng định lý Pytago cho tam giác
ABO
vuông ti
B
ta được:
22 22
10 6 8
AB OA OB cm=-=-=
.
Vy
8AB cm=
.
Đáp án cn chn là D.
17. Li gii:
K
OH EF^
ti
H
và ct
AB
ti
I
suy ra
OI AB^
(vì
//AB EF
)
Xét
()O
OI AB^
ti
I
nên
I
là trung đim ca
AB
(liên h gia đường kính và dây)
0, 6
2
AB
IA IB R== =
. Li có
OA R=
.
O
B
A
O
B
A
I
F
E
B
O
H
A
18.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Áp dng định lý Pytago cho tam giác vuông
OIA
ta có
22
0, 8OI OA IA R=-=
.
//AI EH
nên
0, 8 0, 6
0, 75
0, 8
AI OI R R
EH R
EH OH R
== = =
OEFD
cân ti
O
(vì

E F BAO ABO== =
) có
OH EF^
nên
H
là trung đim ca
EF
.
2
.
21,5 0,75
2
EOF
OH EF
EF EH R S R
= = = =
.
Đáp án cn chn là A.
18. Li gii:
K
OH EF^
ti
H
và ct
AB
ti
I
suy ra
OI AB^
(vì
//AB EF
)
Xét
()O
OI AB^
ti
I
nên
I
là trung đim ca
AB
(liên h gia đường kính và dây)
4, 8
2
AB
IA IB cm== =
. Li có
6OA cm=
.
Áp dng định lý Pytago cho tam giác vuông
OIA
ta có
22 2 2
64,8 3,6OI OA IA cm=-=-=
.
//AI EH
nên
3, 6 3 .5 4, 8.5
8
65 3 3
AI OI AI
EH
EH OH
==== = =
OEFD
cân ti
O
(vì

E F BAO ABO== =
) có
OH EF^
nên
H
là trung đim ca
EF
.
2
6.16
216 48()
2
EOF
EF EH cm S cm= = = =
.
Đáp án cn chn là C.
19. Li gii:
Xét
()O
2
DC
OB OC OD BO BDC=== D
vuông ti
B
(tam giác có đường trung tuyến ng vi mt
cnh bng na cnh y thì tam giác đó là tam giác vuông).
I
F
E
B
O
H
A
A
O
C
D
B
19.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Suy ra
BD A C^
.
Xét
ADCD
BD
va là đường trung tuyến va là đường cao nên
ADCD
cân ti
2
DDADC R= =
.
Vy
2AD R=
.
Đáp án cn chn là D.
20. Li gii:
Xét
()O
2
DC
OB OC OD BO BDC=== D
vuông ti
B
(tam giác có đường trung tuyến ng vi mt
cnh bng na cnh y thì tam giác đó là tam giác vuông).
Suy ra
BD A C^
.
Xét
ADCD
BD
va là đường trung tuyến va là đường cao nên
ADCD
cân ti
210
DDADC R cm= ==
.
Vy
10AD cm=
.
Đáp án cn chn là B.
21. Li gii:
K đường thng
OA a^
ti
A
ct
b
ti
B
thì
OB b^
ti
B
//ab
.
()O
tiếp xúc vi c
,ab
nên
OA OB=
. Li có
2
h
AB h OA OB= = =
.
Hay tâm
O
cách
a
b
mt khong cùng bng
2
h
.
Nên
O
chy trên đường thng
c
song song và cách đều
,ab
mt khong
2
h
.
Đáp án cn chn là A.
22. Li gii:
A
O
C
D
B
a
c
b
O
B
A
20.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
K đường thng
OA a^
ti
A
ct
b
ti
B
thì
OB b^
ti
B
//ab
.
()O
tiếp xúc vi c
,ab
nên
OA OB=
. Li có
6
63
2
AB cm OA OB cm
====
.
Hay tâm
O
cách
a
b
mt khong cùng bng
3cm
.
Nên
O
chy trên đường thng
c
song song và cách đều
,ab
mt khong
3cm
.
Đáp án cn chn là D.
23. Li gii:
V
,OH MN H MN
. Vì
2
..AM BN R AO BO==
nên
AM AO
BO BN
=
.
Xét
AOMD
BNOD
có:
90 ;
AM AO
MAO NBO AOM
BO BN
===D
BNOD
(c.g.c)
112 2
;MOON= =
.
Do đó góc
MON
bng
90
.
Ta có:
AM OM
BO ON
=
(do
AOMD
BNOD
)
AM OA
OM ON
=
Do đó
AOMD
ONMD
(c.g.c)
12
MM=
AOM HOMD=D
(cnh huyn, góc nhn)
AO OH OH R==
, do đó
MN
là tiếp tuyến ca đường tròn
()O
.
Đáp án cn chn là C.
24. Li gii:
a
c
b
O
B
A
2
2
2
1
1
M
N
O
A
B
H
21.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Gi
K
là trung đim ca
MN
.
Tam giác
MON
vuông ti
O
OK
là tiếp tuyến
KM KN KO==
Suy ra: Đường tròn
(; )KKO
đường tròn ngoi tiếp tam giác
OMN
.
Ta có
OK
đường trung bình ca hình thang
AMNB
nên
//OK AM
OK A B^
.
Suy ra
OK
là tiếp tuyến ca đường tròn
()K
. Vy đường tròn
()K
ngoi tiếp tam giác
OMN
luôn tiếp xúc vi
mt đường thng c định là đường thng
AB
.
Đáp án cn chn là A.
25. Li gii:
Tam giác
ABM
AB AM=
nên
ABMD
cân ti
A
ABM AM B=
(1)
Ta có
;OA BC OB A B^^
nên
90
90
ABM MBO
AMB MBC
ì
ï
+=
ï
ï
í
ï
+=
ï
ï
î
(2).
T (1) và (2)
MBO MBC=
Tương t
BCM OCM=
Đim
M
là giao đim ca hai đừng phân giác ca tam giác
OBC
nên
M
là tâm đường tròn ni tiếp tam giác
OBC
.
Vì tam giác
BOD
cân ti
OMBOMDO=
MBO MBC=
nên
MBC MDO=
Mà hai góc này v trí so le trong nên
//OD BC
Chng minh tương t, ta có
//OE BC
.
1
1
2
2
2
K
M
N
O
B
A
H
M
D
E
C
B
O
A
22.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
,,DOE
thng hàng.
Vy
DE
đường kính ca đường tròn
()O
.
Đáp án cn chn là B.
23.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
H
C
B
A
D
E
CB
A
D.T LUYN
Bài 1:
Cho tam giác
ABC
vuông ti
A
3, 4AB cm AC cm==
. V đường tròn tâm
A
bán kính
2, 8cm
.
Xác định v trí tương đối ca đường thng
BC
đường tròn tâm
A
bán kính
2, 8cm
.
Bài 2: Cho tam giác
ABC
vuông ti
A
BD
đường phân giác.
Xác định v trí tương đối ca đường thng
BC
đường tròn tâm
D
bán kính
DA
.
Bài 3: Cho đường thng
m
. Tâm
A
ca tt c các đường tròn có bán kính là 3cm và đường thng
m
tiếp xúc
nhau nm trên đường nào?
Bài 4: Cho hình thang vuông
ABCD
0
90 , 2 , 6 , 8A B AD cm BC cm CD cm== = = =
.
Chng minh rng
AB
tiếp xúc vi đường tròn đường kính
CD
.
Bài 5: Cho đường tròn
(; )OR
đường kính
AB
và tiếp tuyến
xAy
. Trên
xy
ly mt đim
M
, k dây cung
BN
song song vi
OM
. Chng minh
MN
là tiếp tuyến ca đường tròn
()O
.
Bài 6: Chng minh rng:
a)
Nếu đường thng
xy
không ct
(; )OR
thì mi đim ca
xy
nm bên ngoài đường tròn đó.
b)
Nếu đường thng
xy
qua mt đim bên trong
(; )OR
thì phi ct đường tròn này ti hai đim phân
bit.
c)
Nếu đường thng
xy
ct
(; )OR
ti
A
B
(
A
khác
B
) thì mi đim nm gia
A
B
đều nm bên
trong đường tròn, các đim còn li (tr
A
,
B
) nm bên ngoài đường tròn đó.
Bài 7: Cho đường thng
d
đường tròn
(; )OR
không giao nhau.
A
đim trên
()O
.
Xác định v trí đim
A
để khong cách t
A
đến đường thng
d
ln nht.
Bài 8: Cho đim
A
nm ngoài đường tròn
(; )OR
. Đường thng
d
qua
A
, gi
B
C
là giao đim ca đường
thng
d
đường tròn
()O
.
Xác định v trí ca đường thng
d
để tng
AB AC+
ln nht.
HƯỚNG DN
Bài 1:
V
AH
đường cao ca tam giác vuông
ABC
Ta có:
222
111
AH AB AC
=+
222
111
34AH
=+
22
222
14.3
34AH
=
+
2, 4 2, 8( )AH cm d R=<<
.
Do đó đường thng
BC
đường tròn
(;2,8 )Acm
ct nhau.
Bài 2:
24.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
B
A
d'
m
d
I
K
D
CB
A
O
N
B
A
M
y
x
V
()DE BC E BC
D
thuc tia phân giác góc
ABC
,DA AB DE BC^^
Nên
DE DA=
Do đó: đường thng
BC
đường tròn tâm
D
bán kính
DA
tiếp xúc nhau.
Bài 3:
V
()AB m B m
3AB cm=
không đổi, đường thng
m
c định.
Do đó:
A
thuc đường thng song song vi
m
cách
m
mt khong cách bng
3cm
.
Bài 4:
Gi
,IK
ln lượt là trung đim ca
CD
AB
.
Ta có:
IK
đường trung bình ca hình thang
ABCD
Nên
4( )
2
AD BC
IK cm
+
==
,AD IK AD AB^
Nên
IK AB^
(4 ),
2
CD
IK cm IK AB
== ^
Do đó:
AB
tiếp xúc vi đường tròn tâm
I
đường kính
CD
.
Bài 5:
BN OM
Nên
AOM ABN=
;
MON ONB=
OBND
cân ti
O
Nên:
OBM ONB=
Do đó:

MON AOM=
Ta có:
OAM ONMD=D
(vì

;;OA ON R AOM MON OM== =
là cnh chung)
25.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
d
O
M
H
y
x
O
N
d
y
x
MH
BA
Suy ra:

ONM OAM=
Ta li có:
0
90OAM =
(vì
xy
là tiếp tuyến ti
A
)
Nên ta có:
0
90ONM =
, hay
MN ON^
.
Vy
MN
là tiếp tuyến ca đường tròn
()O
.
Bài 6:
a) Nếu đường thng
xy
không ct
()O
thì
dR>
K
OH xy^
thì
OH d=
Gi
M
là mt đim bt k thuc
d
, ta có
OM OH³
Nên
OM R M>
ngoài
(; )OR
b)
Gi
M
là mt đim bên trong
(; )OR
thì
OM R<
Gi s đường thng
xy
qua
M
k
OH xy^
thì
OH d=
Ta có:
OH OM£
Do đó
dR<
suy ra đường thng
xy
ct
(; )OR
hai đim phân bit
c)
Gi s
M
là mt đim bt k nm gia
A
B
có th xy ta ba trường hp:
Nếu
MHº
khi đó
OM OH R M=<
bên trong đường tròn
(; )OR
Nếu
M
nm gia
A
H
khi đó
MH AH OM OA<<
(OM
OA
là hai đường xiên k t
O
ti
xy
,
có hai hình chiếu trên
xy
MH
AH
).
Do đó
OM R M<
bên trong đường tròn
(; )OR
M
nm gia
B
H
, chng minh tương t trên ta được
M
bên trong đường tròn
(; )OR
.
Gi s
M
là mt đim bt k nm trên
xy
nhưng ngoài đường thng
AB
, ta luôn luôn có
HN HA>
(hoc
HB
)
ON OA>
(hoc
OB
)
ON R>
Vy
N
nm ngoài đường tròn
(; )OR
.
26.
TOÁNHCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
d
O
HB
A
D'
D
C
H
B
d
A
O
Bài 7:
Gi
,HB
ln lượt là hình chiếu ca
,AO
trên
đường thng
d
, ta có
B
c định
AH HB^
nên
AH AB£
Xét ba đim
,,OAB
AB OA OB£+
Do đó:
,AH R OB R OB£+ +
không đổi
Du “=” xy ra
HB
OnamgiauAvaB
ì
ï
º
ï
í
ï
ï
î
Vy khi
A
là giao đim ca tia đối tia
OB
đường tròn
()O
(
B
là hình chiếu ca
O
trên
d
) thì khong
cách t
A
đến
d
ln nht.
bài 8:
V đường thng qua
A
tiếp xúc vi đường tròn
ti
D
D
¢
, ta có
D
D
¢
c định.
Nếu
d
trùng vi
AD
hoc
AD
¢
Ta có các đim
,,BC D
trùng nhau nên
22AB AC AD AD
¢
+= =
Nếu
d
không trùng vi
AD
hoc
AD
¢
V
()OH d H d
Ta có:
H
là trung đim
BC
(Định lí đường kính vuông góc dây cung)
Và có
OH R<
Nên
2AB AC AH HB AH HC AH+=++-=
Xét
OAHD
vuông ti
H
nên theo định lý Py-ta-go,
Ta có:
222
OH A H OA+=
Xét
OADD
vuông ti
D
nên theo định lý Py-ta-go,
Ta có:
222
OD AD OA+=
Do đó:
2222
OH AH OD A D+=+
OH OD R<=
nên
AH AD>
Nên
2AB AC AD+>
Vy khi đường thng
d
tiếp xúc vi đường tròn thì
AB AC+
nh nht.
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ToánHcSơĐồ‐‐‐‐‐‐‐‐‐
| 1/26

Preview text:

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Số điểm
Vị trí tương đối
Hệ thức giữa d R Hình minh họa chung
Đường thẳng và đường trò 2 d  ; O d   R cắt nhau
d được gọi là cát tuyến của đường tròn O .
Đường thẳng và đường trò 1 d  ; O d   R tiếp xúc nhau
d gọi là tiếp tuyến của O và M tiếp điểm.
Đường thẳng và đường trò 0 d  ; O d   R không cắt nhau
TÍNH CHẤT CỦA TIẾP TUYẾN
TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
 Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường MA MB là hai tiếp tuyến của đường tròn O .
tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm đ MA MB
 Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường  Khi đó:   M M . 1 2
tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì   O O  3 4
đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC
ĐƯỜNG TRÒN BÀNG TIẾP TAM GIÁC
 Đường tròn tiếp xúc với mộ
cạnh của tam giác và tiếp xúc
với các phần kéo dài của hai
 Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác
cạnh kia được gọi là đường
được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giá
tròn bàng tiếp tam giác.
được gọi là ngoại tiếp đường tròn.
 Mỗi tam giác, có ba đường
 Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm tròn bàng tiếp.
của các đường phân giác của các góc trong tam giác.
B.CÁC DẠNG BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA
Dạng 1: Nhận biết vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.
Phương pháp giải: So sánh dR dựa vào bảng vị trí tương đốỉ của đường thẳng và đường tròn đã nêu trong
phần Tóm tắt lý thuyết.
Bài 1: Cho đường tròn tâm O bán kính R , gọi d là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a . Viết các hệ
thức tương ứng giữa d và R vào bảng sau. Hệ thức giữa
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Số điểm chung d R
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau 2
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau 1
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 0
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 2: Cho đường tròn tâm O bán kính R , gọi d là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a . Điền vào
chỗ trống trong bảng sau.
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn R d 8 6
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau 6 6 8
Bài 3: Điền vào ô trống
Vị trí của đường thẳng Số Điểm Chung
Hệ thức giữa R D Hình Vẽ đường tròn Cắt Nhau Tiếp Xúc Không Giao Nhau
Bài 4: Vẽ hình theo yêu cầu và xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
a) Vẽ O,5cm đường thẳng d  cách tâm O 6cm
b) Vẽ O,10cm đường thẳng k  cách tâm O 7cm
c) Vẽ O,5cm đường thẳng n cách tâm O 6cm
d) Vẽ O, d  10cm dường thẳng m cách tâm O 5cm
Dạng 2: Bài tập vận dụng tính chất tiếp tuyến
Bài 5: Cho điểm A thuộc đường tròn (O;3cm) . Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) lấy điểm B sao cho AB  4c .
m Tính độ dài đoạn thẳng OB
Bài 6: Cho đườngtròn (O;15cm) , dây AB  24 cm . Một tiếp tuyến của đường tròn song song với AB cắt các
tia OA , OB theo thứ tự ở E , F . Tính độ dài EF .
Bài 7: Cho tam giác cân ABC ( AB AC ) nội tiếp đường tròn ( O ). Chứng minh rằng:
BC song song với tiếp tuyến tại A của đường tròn ( O )
Dạng 3: Chứng minh tiếp tuyến của đường tròn
Bài 8: Cho tam giác ABC đường cao AH . Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm A bán kính AH .
Bài 9: Cho hình thang vuông ABCD   0
( A B  90 ) có O là trung điểm của AB và góc  0 COD  90 . Chứng
minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
Bài 10: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N là hai điểm trên các cạnh AB, AD sao cho chu vi
tam giác AMN bằng 2a . Chứng minh đường thẳng MN luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định.
Bài 11: Cho tam giác ABC cân tại A đường cao BH . Trên nửa mặt phẳng chứa C bờ AB vẽ Bx BA cắt
đường tròn tâm B bán kính BH tại D . Chứng minh CD là tiếp tuyến của (B)
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB AC)
đường cao AH . Gọi E là điểm đối xứng với B qua H . Đường tròn tâm O đường kính EC cắt AC tại K .
Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (O) .
Dạng 4:Nâng cao phát triển tư duy
Bài 13: Cho nửa đường tròn O đường kính AB . Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của
đường tròn. Gọi E F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A B đến d . Gọi H là chân đường
vuông góc kẻ từ C đến AB . Chứng minh: a) CE CF . b)
AC là tia phân giác của góc  BAE . c) 2
CH AE.BF . Bài 14: Cho ABC
vuông tại A AB AC , đường cao AH . E là điểm đối xứng của B qua H . Vẽ đường
tròn đường kính EC cắt AC tại K . Xác định vị trí tương đối của HK với đường tròn đường kính EC . HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Nhận biết vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.
Bài 1: Cho đường tròn tâm O bán kính R , gọi d là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a . Viết các hệ
thức tương ứng giữa d và R vào bảng sau.
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Số điểm chung Hệ thức giữa d R
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau 2 d R
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau 1 d R
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 0 d R
Bài 2: Cho đường tròn tâm O bán kính R , gọi d là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a . Điền vào
chỗ trống trong bảng sau.
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn R d
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau 8 6
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau 6 6
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 6 8
Bài 3: Điền vào ô trống
Vị trí của đường thẳng v Số Điểm Chung Hệ thức giữa R và D Hình Vẽ đường tròn Cắt Nhau 2 R>D Học sinh tự vẽ Tiếp Xúc 1 R=D Học sinh tự vẽ Không Giao Nhau 0 RHọc sinh tự vẽ
4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 4: Vẽ hình theo yêu cầu và xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
a) Vẽ (O,5cm) dường thẳng (d) cách tâm O 6cm d
Đường thẳng không cắt đường tròn
b) Vẽ (O,10cm) dường thẳng (k) cách tâm O 7cm k
Đường tròn cắt đường thẳng
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
c) Vẽ (O,5cm) dường thẳng (n) cách tâm O 6cm n
d) Vẽ (O,d=10cm) dường thẳng (m) cách tâm O 5cm m
Dạng 2: Bài tập vận dụng tính chất tiếp tuyến
Bài 5: Cho điểm A thuộc đường tròn (O;3cm) . Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) lấy điểm B sao cho AB  4c .
m Tính độ dài đoạn thẳng OB Lời giải A
Do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O;3cm) Suy ra  0
AB OA BOA  90
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AOB B O Ta có: 2 2 2
OB OA AB 2 2 2
OB  3  4  25  OB  5
Bài 6: Cho đườngtròn (O;15cm) , dây AB  24 cm . Một tiếp tuyến của đường tròn song song với AB cắt các
tia OA , OB theo thứ tự ở E , F . Tính độ dài EF Lời giải Dễ thấy rằng OAB  ∽ OEF OEF  cântại O .
Gọi tiếp điểm I , gọi M làtrung điểm của AB .
Ta có OM AB OI EF.
Trong tam giácvuôngOMB có 2 2 2 2
OM OB MB  15 12  9 cm.
6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com OM AB AB OI
MB IF nên theo định lí Ta-lét ta có   EF   40 cm. OI EF OM
Bài 7: Cho tam giác cân ABC ( AB AC ) nội tiếp đường tròn ( O ).. Chứng minh rằng:
BC song song với tiếp tuyến tại A của đường tròn ( O ) Lời giải A d
Gọi d là tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm O,
suy ra d OA (1) .
AB AC suy ra A thuộc trung trực của đoạn thẳng BC O
Lại có OB OC suy ra O thuộc trung trực của đoạn thẳng BC
Do đó OA là trung trực của đoạn thẳng BC  OA BC (2) B C Từ   1 ; (2)  d//BC
Dạng 3: Chứng minh tiếp tuyến của đường tròn
Bài 8: Cho tam giác ABC đường cao AH . Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm A bán kính AH . Lời giải
Cách 1: (sử dụng dấu hiệu về khoảng cách)
Ta thấy khoảng cách từ tâm A của (A;AH) đến đường thẳng BC A là AH
Suy ra BC là tiếp tuyến của (A;AH)
Cách 2 (sử dụng dấu hiệu vuông góc)
Ta có H là điểm chung của (A;AH) và BC B H
Lại có BC ⊥ AH tại H. Suy ra BC là tiếp tuyến của (A; AH)
Bài 9: Cho hình thang vuông ABCD   0
( A B  90 ) có O là trung điểm của AB và góc  0 COD  90 . Chứng
minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính Lời giải A C
Kéo dài OC cắt BD t ại E vì  0 COD  90 Suy ra  0 EOD  90 . H
Xét tam giác COD và EOD ta có OD chung O OC OA
 1 OC OD  COD  EOD . OD OB
Suy ra DC DE hay tam giác ECD cân tại D . E D B
Kẻ OH CD thì OBD  OHD OH OB
OB OA OH OB OA hay ,
A H , B thuộc đường tròn (O) .
Do đó CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB .
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 10: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N là hai điểm trên các cạnh AB, AD sao cho chu vi
tam giác AMN bằng 2a . Chứng minh đường thẳng MN luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định. Lời giải M B E A
Trên tia đối của BA ta lấy điểm E sao cho BE ND . H
Ta có BCE  DCN CN CE . N Theo giả thiết ta có: D C
MN AM AN AB AD AM MB AN DN AM AN MB BE .
Suy ra MN MB BE ME . Từ đó ta suy ra   MNC M
EC CMN CMB . Kẻ CH MN CH CB CD a .
Vậy D, H , B thuộc đường tròn tâm C bán kính CB a
Suy ra MN luôn tiếp xúc với đường tròn tâm C bán kính bằng a .
Bài 11: Cho tam giác ABC cân tại A đường cao BH . Trên nửa mặt phẳng chứa C bờ AB vẽ Bx BA cắt
đường tròn tâm B bán kính BH tại D . Chứng minh CD là tiếp tuyến của (B) Lời giải A
Vì tam giác ABC cân tại A nên ta có:  
B C   . H Vì  0
Bx BA B    90 . 2 α Mặt khác ta cũng có  0  
B   90  B B . 1 B C 1 1 2 2
Hai tam giác BHC và BDC x D Có BC chung,  
B B , BH BD R 1 2
Suy ra BHC  BDC( .
c g.c) suy ra   0
BHC  BDC  90 .
Nói cách khác CD là tiếp tuyến của đường tròn (B)
Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB AC)
đường cao AH . Gọi E là điểm đối xứng với B qua H . Đường tròn tâm O đường kính EC cắt AC tại K .
Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (O) . Lời giải A I
Vì tam giác EKC có một cạnh EC là đường kính của (O) K 1 2 Nên  0
EKC  90 . Kẻ HI AC BA / /HI / /EK 3 C B H E O
Suy ra AI IK từ đó ta có tam giác AHK cân tại H . Do đó  
K B ( cùng phụ với góc hai góc bằng nhau là   BAH , IHK ). 1 Mặt khác ta cũng có:  
K C ( do tam giác KOC cân tại O ). 2 3 Mà   0   0
B C  90  K K  90 suy ra  0 HKO  90 3 1 2
8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Hay HK là tiếp tuyến của (O) .
Bài 13: Cho nửa đường tròn O đường kính AB . Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của
đường tròn. Gọi E F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A B đến d . Gọi H là chân đường
vuông góc kẻ từ C đến AB . Chứng minh: d) CE CF . e)
AC là tia phân giác của góc  BAE . f) 2
CH AE.BF . Định hướng
 Tứ giác ABFE là hình thang và OC / / AE / /BF nên OC là đường trung bình của hình thang ABFE (vì O
trung điểm AB ). Suy ra CE CF .
 Tam giác AOC cân tại O nên  
CAO ACO và  
CAE ACO do AE / /OC . Suy ra   CAE CAB .  Ta thấy: 2
CH AH.BH . Mà AE AH , tương tự BF BH . Suy ra 2
CH AE.BF . Lời giải a)
Ta có: AE d, BF d AE / /BF .
Suy ra tứ giác AEFB là hình thang.
Lại có O là trung điểm của AB OC / / AE / /BF (vì OC d ).
C là trung điểm của EF CE CF . b)  
AE / /OC CAE ACO (2 góc so le trong) (1). Mặt khác
OC OA  AOC cân tại  
O ACO OAC 2 . Từ (1) và (2) suy ra   CAE CAO .
Suy ra AC là phân giác  BAE . AB c)
Do C thuộc nửa đường tròn đường kính  OC OA OB
 ABC vuông tại C . 2
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại C , đường cao CH ta có: 2
CH AH.BH 3 .
Xét ACE và ACH vuông ta có:   0
AEC AHC  90   CAE CAH Chung cạnh AC ACE
 ACH (cạnh huyền – góc nhọn).
Theo phần b ta có: ACE  ACH AH AE 4 .
9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Tương tự ta có: BH BF 5 . Từ (3), (4), (5) suy ra 2
CH AE.BF  đpcm. Bài 14: Cho ABC
vuông tại A AB AC , đường cao AH . E là điểm đối xứng của B qua H . Vẽ đường
tròn đường kính EC cắt AC tại K . Xác định vị trí tương đối của HK với đường tròn đường kính EC . Lời giải
Gọi I là tâm của đường tròn đường kính EC , I là trung điểm của EC .
EC là đường kính của I  và K thuộc I  nên EK KC .
K AC AC EK .
Mặt khác ABC vuông tại A AB AC AB / /KE .
Suy ra tứ giác ABEK là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang).
Lấy M là trung điểm của AK . Vì E đối xứng với B qua H .
Suy ra H là trung điểm của BE , suy ra HM là đường trung bình của hình thang ABEK HM / /EK , mà
EK AC HM AC HM AK .
HM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của AHK  .  AHK  cân tại  
H HAK AKH   1 . Vì   
AK EK, AH BE HAK KEI EKI .
E K thuộc I  nên IK IE  KEI cân tại  
I KEI EKI 2 . Từ (1) và (2) ta có:         0
AKH EKI HKI HKE EKI AKH HKE AKE  90 .
HK IK HK và đường tròn đường kính EC tiếp xúc với nhau.
C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ
Câu 1: Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất bao nhiêu điểm chung. A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 2: Nếu đường thẳng và đường tròn có duy nhất một điểm chung thì:
A. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.
B. Đường thẳng cắt đường tròn.
C. Đường thẳng không cắt đường tròn. D. Đáp án khác.
Câu 3: Nếu đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung thì
A. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.
B. Đường thẳng cắt đường tròn.
C. Đường thẳng không cắt đường tròn. D. Đáp án khác.
Câu 4: Nếu đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A thì:
A. d//OA . B. d º OA .
C. d ^ OA tại A .
D. d ^ OA tại O .
Câu 5: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm trên đường tròn (O) . Nếu đường thẳng d ^ OA tại A thì:
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
A. d là tiếp tuyến của (O) .
B. d cắt (O) tại hai điểm phân biệt.
C. d là tiếp xúc với (O) tại O .
D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 6: Cho đường tròn (O) và đường thẳng a . Kẻ OH ^ a , biết OH > R khi đó đường thẳng a và đường thẳng (O) . A. Cắt nhau.
B. Không cắt nhau. C. Tiếp xúc. D. Đáp án khác.
Câu 7: Cho đường tròn (O) và đường thẳng a . Kẻ OH ^ a tại H , biết OH < R , khi đó đường thẳng a và đường tròn (O) . A. Cắt nhau.
B. Không cắt nhau. C. Tiếp xúc. D. Đáp án khác.
Câu 8: Điền vào các vị trí (1); (2) trong bảng sau (R là bán kính của đường tròn, d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng). R d
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 5cm 4cm …(1)… 8cm …(2)… Tiếp xúc nhau
A. (1): cắt nhau; (2): 8cm . B. (1): 9cm ; (2): Tiếp xúc nhau.
C. (1): không cắt nhau; (2): 8cm . D. (1): cắt nhau; (2): 6cm .
Câu 9: Điền vào các vị trí (1); (2) trong bảng sau (R là bán kính của đường tròn, d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng). R d
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 3cm 5cm …(1)… …(2)… 9cm Tiếp xúc nhau
A. (1): cắt nhau; (2): 9cm . B. (1): tiếp xúc nhau; (2): 8cm .
C. (1): không cắt nhau; (2): 9cm . D. (1): không cắt nhau; (2): 10cm .
Câu 10: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm (4
A ; 5) . Hãy xác định tương đối của đường tròn ( ; A 5) và các trục toạ độ.
A. Trục tung cắt đường tròn và trục hoành tiếp xúc với đường tròn.
B. Trục hoành cắt đường tròn và trục tung tiếp xúc với đường tròn.
C. Cả hai trục toạ độ đều cắt đường tròn.
D. Cả hai trục toạ độ đều tiếp xúc với đường tròn.
Câu 11: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm (
A -2; 3) . Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn ( ; A 2) và các trục toạ độ.
A. Trục tung cắt đường tròn và trục hoành tiếp xúc với đường tròn.
B. Trục hoành không cắt đường tròn và trục tung tiếp xúc với đường tròn.
C. Cả hai trục toạ độ đều cắt đường tròn.
D. Cả hai trục toạ độ đều tiếp xúc với đường tròn.
11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Câu 12: Cho a;b là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng 3cm . Lấy điểm I trên a và vẽ
đường tròn (I; 3, 5cm) . Khi đó đường tròn với đường thẳng b . A. Cắt nhau.
B. Không cắt nhau. C. Tiếp xúc. D. Đáp án khác.
Câu 13: Cho a;b là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng 2, 5cm . Lấy điểm I trên a và vẽ
đường tròn (I;2, 5cm). Khi đó đường tròn với đường thẳng b . A. Cắt nhau.
B. Không cắt nhau. C. Tiếp xúc. D. Đáp án khác. Câu 14: Cho góc  xOy  (0 < xOy < 180 )
 . Đường tròn (I ) là đường tròn tiếp xúc với cả hai cạnh Ox;Oy . Khi
đó điểm I chạy trên đường nào?
A. Đường thẳng vuông góc với Ox tại O .
B. Tia phân giác của góc  xOy .
C. Tia Oz nằm giữa Ox Oy . D. Tia phân giác của góc 
xOy trừ điểm O .
Câu 15: Cho đường tròn tâm O bán kính 3cm và một điểm A cách O là 5cm . Kẻ tiếp tuyến AB với đường
tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB .
A. AB = 3cm .
B. AB = 4cm .
C. AB = 5cm . D. AB = 2cm .
Câu 16: Cho đường tròn tâm O bán kính 6cm và một điểm A cách O là 10cm . Kẻ tiếp tuyến AB với đường
tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB .
A. AB = 12cm . B. AB = 4cm .
C. AB = 6cm . D. AB = 8cm .
Câu 17: Cho đường tròn (O;R) và dây AB = 1, 2R . Vẽ một tiếp tuyến song song với AB , cắt các tia , OA OB
lần lượt tại E F . Tính diện tích tam giác OEF theo R . A. 2 S = 0, 75R . B. 2 S = 1, 5R . C. 2 S = 0, 8R . D. 2 S = 1, 75R . OEF OEF OEF OEF
Câu 18: Cho đường tròn (O; 6cm) và dây AB = 9, 6cm . Vẽ một tiếp tuyến song song với AB , cắt các tia ,
OA OB lần lượt tại E F . Tính diện tích tam giác OEF theo R . A. 2 S = 36(cm ). B. 2 S = 24 (cm ) . C. 2 S = 48 (cm ). D. 2 S = 96(cm ) . OEF OEF OEF OEF
Câu 19: Cho đường tròn (O;R). Cát tuyến qua A ở ngoài (O) cắt (O) tại B C . Cho biết AB = BC và kẻ
đường kính COD . Tính độ dài đoạn thẳng AD . A. R AD = R .
B. AD = 3R . C. AD = .
D. AD = 2R . 2
Câu 20: Cho đường tròn (O; 5cm). Cát tuyến qua A ở ngoài (O) cắt (O) tại B C . Cho biết AB = BC
kẻ đường kính COD . Tính độ dài đoạn thẳng AD .
A. AD = 2, 5cm .
B. AD = 10cm .
C. AD = 5cm . D. AD = 15cm .
Câu 21: Cho hai đường thẳng a b song song với nhau một khoảng là h . Một đường tròn (O) tiếp xúc với
a b . Hỏi tâm O di động trên đường nào? A. Đường thẳng h
c song song và cách đều a,b một khoảng . 2
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com B. Đường thẳng h
c song song và cách đều a,b một khoảng 2 . 3
C. Đường thẳng c đi qua O vuông góc với a,b . D. Đường tròn ( ; A AB) với ,
A B lần lượt là tiếp điểm của a,b với (O) .
Câu 22: Cho hai đường thẳng a b song song với nhau, cách nhau một khoảng là 6cm . Một đường tròn (O)
tiếp xúc với a b . Hỏi tâm O di động trên đường nào?
A. Đường thẳng c song song và cách đều a,b một khoảng 4cm .
B. Đường thẳng c song song và cách đều a,b một khoảng 6cm .
C. Đường thẳng c đi qua O vuông góc với a,b .
D. Đường thẳng c song song và cách đều a,b một khoảng 3cm .
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB . Vẽ các tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Lấy điểm M di
động trên Ax , điểm N di động trên tia Oy sao cho 2
AM .BN = R .
Câu 23: Chọn câu đúng:
A. MN là tiếp tuyến của đường tròn (O) . B. MON = 90 .
C. Cả A, B đều đúng.
D. Cả A, B đều sai.
Câu 24: Chọn câu đúng:
A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn tiếp xúc với đường thẳng AB cố định.
B. Đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn tiếp xúc với đường thẳng AM cố định.
C. Đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn tiếp xúc với đường thẳng BN cố định.
D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 25: Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB,AC với đường tròn ( B,C
các tiếp điểm). Trên AO lấy điểm M sao cho AM = AB . Các tia BM CM lần lượt cắt đường tròn tại một
điểm thứ hai là D E . Chọn câu đúng.
A. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC .
B. DE là đường kính của đường tròn (O) .
C. M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OBC .
D. Cả A, B, C đều sai. HƯỚNG DẪN 1. Lời giải:
Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất hai điểm chung. Đáp án cần chọn là B. 2. Lời giải:
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d R
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau 2 d < R
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau 1 d = R
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 0 d > R
Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn. Đáp án cần chọn là A. 3. Lời giải:
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Số điểm chungHệ thức giữa d R
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau 2 d < R
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau 1 d = R
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau 0 d > R
Đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung thì đường thẳng cắt đường tròn. 4. Lời giải: O d A
Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
Nên d ^ OA tại điểm A . Đáp án cần chọn là C. 5. Lời giải:
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm thuộc
đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua
điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
Hay d là tiếp tuyến của (O) tại A .
Đáp án cần chọn là A . 6. Lời giải: O a H
OH > R nên a không cắt (O). Đáp án cần chọn là B.
14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 7. Lời giải: O d H
OH < R nên a cắt (O). Đáp án cần chọn là A. 8. Lời giải:
+ Vì d < R (4cm < 5cm) nên đường thẳng cắt đường tròn.
+ Vì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn nên d = R = 8cm . Đáp án cần chọn là A. 9. Lời giải:
+ Vì d > R (5cm > 3cm) nên đường thẳng không cắt đường tròn hay (1) điền là: không cắt nhau.
+ Vì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn nên d = R = 9cm hay (2) điền là 9cm . Đáp án cần chọn là C. 10. Lời giải: Vì (4
A ;5) nên khoảng cách từ A đến trục hoành là d =| y |= 5 , khoảng cách từ A đến trục tung là 1 A d =| x |= 4 . 2 A Nhận thấy d = (
R = 5) nên trục hoành tiếp xúc với đường tròn ( ; A 5) . 2
d = 4 < 5 = R nên trục tung cắt đường tròn ( ; A 5) . 2 Đáp án cần chọn là A. 11. Lời giải: Vì ( A 2
- ; 3) nên khoảng cách từ A đến trục hoành là d =| y |= 3 , khoảng cách từ A đến trục tung là 1 A d =| x |= 2 . 2 A Nhận thấy d = (
R = 2) nên trục tung tiếp xúc với đường tròn ( ; A 2) . 2
d = 3 > 2 = R nên trục hoành không cắt đường tròn ( ; A 2) . 2 Đáp án cần chọn là B. 12. Lời giải:
15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com I a b B
Vì hai đường thẳng song song a,b cách nhau một khoảng là 3cm I Î a nên khoảng cách từ tâm I đến
đường thẳng b d = 3cm .
Suy ra d < R (3cm < 3, 5cm) nên đường tròn (I;3,5cm) và đường thẳng b cắt nhau. Đáp án cần chọn là A. 13. Lời giải: a I 2,5cm b B
Vì hai đường thẳng song song a,b cách nhau một khoảng là 2, 5cm I Î a nên khoảng cách từ tâm I đến
đường thẳng b d = 2, 5cm .
Suy ra d = R = 2, 5cm nên đường tròn (I;2,5c )
m và đường thẳng b tiếp xúc với nhau. Đáp án cần chọn là C. 14. Lời giải: x B I O y A
Kẻ IA ^ Oy;IB ^ Ox tại , A B .
Vì (I ) tiếp xúc với cả Ox;Oy nên IA = IB suy ra I thuộc tia phân giác của góc 
xOy (I ¹ O) (tính chất tia
phân giác của một góc). Đáp án cần chọn là D. 15. Lời giải:
16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com B A O
AB là tiếp tuyến và B là tiếp điểm nên OB = R = 3cm;AB ^ OB tại B .
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABO vuông tại B ta được: 2 2 2 2
AB = OA -OB = 5 - 3 = 4cm .
Vậy AB = 4cm . Đáp án cần chọn là B. 16. Lời giải: B A O
AB là tiếp tuyến và B là tiếp điểm nên OB = R = 6cm;AB ^ OB tại B .
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABO vuông tại B ta được: 2 2 2 2
AB = OA -OB = 10 - 6 = 8cm .
Vậy AB = 8cm . Đáp án cần chọn là D. 17. Lời giải: E H F A B I O
Kẻ OH ^ EF tại H và cắt AB tại I suy ra OI ^ AB (vì AB//EF )
Xét (O) có OI ^ AB tại I nên I là trung điểm của AB (liên hệ giữa đường kính và dây) ABIA = IB =
= 0, 6R . Lại có OA = R . 2
17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OIA ta có 2 2
OI = OA - IA = 0, 8R . AI OI 0, 8R 0, 6R
AI//EH nên = =  EH = = 0, 75R EH OH R 0, 8
DOEF cân tại O (vì    
E = F = BAO = ABO ) có OH ^ EF nên H là trung điểm của EF . OH.EF 2
EF = 2EH = 1, 5R S = = 0, 75R . EOF 2 Đáp án cần chọn là A. 18. Lời giải: E H F A B I O
Kẻ OH ^ EF tại H và cắt AB tại I suy ra OI ^ AB (vì AB//EF )
Xét (O) có OI ^ AB tại I nên I là trung điểm của AB (liên hệ giữa đường kính và dây) ABIA = IB =
= 4, 8cm . Lại có OA = 6cm . 2
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OIA ta có 2 2 2 2
OI = OA - IA = 6 - 4, 8 = 3, 6cm . AI OI AI
AI//EH nên 3, 6 3 .5 4, 8.5 = = =  EH = = = 8 EH OH 6 5 3 3
DOEF cân tại O (vì    
E = F = BAO = ABO ) có OH ^ EF nên H là trung điểm của EF . 6.16 2
EF = 2EH = 16cm S = = 48 (cm ) . EOF 2 Đáp án cần chọn là C. 19. Lời giải: C B O A D DC
Xét (O) có OB = OC = OD BO =
 DBDC vuông tại B (tam giác có đường trung tuyến ứng với một 2
cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông).
18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Suy ra BD ^ AC .
Xét DADC BD vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên DADC cân tại D DA = DC = 2R . Vậy AD = 2R . Đáp án cần chọn là D. 20. Lời giải: C B O A D DC
Xét (O) có OB = OC = OD BO =
 DBDC vuông tại B (tam giác có đường trung tuyến ứng với một 2
cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông).
Suy ra BD ^ AC .
Xét DADC BD vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên DADC cân tại
D DA = DC = 2R = 10cm .
Vậy AD = 10cm . Đáp án cần chọn là B. 21. Lời giải: b B c O a A
Kẻ đường thẳng OA ^ a tại A cắt b tại B thì OB ^ b tại B a//b . h
Vì (O) tiếp xúc với cả a,b nên OA = OB . Lại có AB = h OA = OB = . 2 h
Hay tâm O cách a b một khoảng cùng bằng . 2 h
Nên O chạy trên đường thẳng c song song và cách đều a,b một khoảng . 2 Đáp án cần chọn là A. 22. Lời giải:
19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com b B c O a A
Kẻ đường thẳng OA ^ a tại A cắt b tại B thì OB ^ b tại B a//b .
Vì (O) tiếp xúc với cả a,b nên OA = OB . Lại có 6
AB = 6cm OA = OB = = 3cm . 2
Hay tâm O cách a b một khoảng cùng bằng 3cm .
Nên O chạy trên đường thẳng c song song và cách đều a,b một khoảng 3cm . Đáp án cần chọn là D. 23. Lời giải: M 2 1 H N 2 2 1 A O B AM AO
Vẽ OH ^ MN, H Î MN . Vì 2
AM.BN = R = A . O BO nên = . BO BN Xét AM AO
DAOM và DBNO có:   MAO = NBO = 90 ;  =  A
D OM ∽ DBNO (c.g.c) BO BN    
M = O ;O = N . 1 1 2 2
Do đó góc MON bằng 90 . AM OM AM OA Ta có: =
(do DAOM ∽ DBNO )  = BO ON OM ON
Do đó DAOM ∽ DONM (c.g.c)    M = M 1 2
DAOM = DHOM (cạnh huyền, góc nhọn)
AO = OH OH = R , do đó MN là tiếp tuyến của đường tròn (O). Đáp án cần chọn là C. 24. Lời giải:
20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com M 2 1 K H N 2 2 1 A O B
Gọi K là trung điểm của MN .
Tam giác MON vuông tại O OK là tiếp tuyến  KM = KN = KO
Suy ra: Đường tròn (K;KO) là đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN .
Ta có OK là đường trung bình của hình thang AMNB nên OK//AM OK ^ AB .
Suy ra OK là tiếp tuyến của đường tròn (K). Vậy đường tròn (K) ngoại tiếp tam giác OMN luôn tiếp xúc với
một đường thẳng cố định là đường thẳng AB . Đáp án cần chọn là A. 25. Lời giải: E B M A O C D
Tam giác ABM AB = AM nên DABM cân tại A  
ABM = AMB (1) ìï  AB ï M + MBO = 90
Ta có OA ^ BC;OB ^ AB nên ïí (2). ï  AM ï B + MBC = 90 ïî Từ (1) và (2)    MBO = MBC Tương tự   BCM =OCM
Điểm M là giao điểm của hai đừng phân giác của tam giác OBC nên M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OBC .
Vì tam giác BOD cân tại  
O MBO = MDO mà  
MBO = MBC nên   MBC = MDO
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên // OD BC
Chứng minh tương tự, ta có OE//BC .
21. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com  , D , O E thẳng hàng.
Vậy DE là đường kính của đường tròn (O). Đáp án cần chọn là B.
22. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com D.TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A AB = 3cm, AC = 4cm . Vẽ đường tròn tâm A bán kính 2, 8cm .
Xác định vị trí tương đối của đường thẳng BC và đường tròn tâm A bán kính 2, 8cm .
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A BD là đường phân giác.
Xác định vị trí tương đối của đường thẳng BC và đường tròn tâm D bán kính DA.
Bài 3: Cho đường thẳng m . Tâm A của tất cả các đường tròn có bán kính là 3cm và đường thẳng m tiếp xúc
nhau nằm trên đường nào?
Bài 4: Cho hình thang vuông ABCD có   0
A = B = 90 , AD = 2 , cm BC = 6 , cm CD = 8cm .
Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD .
Bài 5: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và tiếp tuyến xAy . Trên xy lấy một điểm M , kẻ dây cung BN
song song với OM . Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 6: Chứng minh rằng: a)
Nếu đường thẳng xy không cắt (O;R) thì mọi điểm của xy nằm bên ngoài đường tròn đó. b)
Nếu đường thẳng xy qua một điểm bên trong (O;R) thì phải cắt đường tròn này tại hai điểm phân biệt. c)
Nếu đường thẳng xy cắt (O;R) tại A B (A khác B ) thì mọi điểm nằm giữa A B đều nằm bên
trong đường tròn, các điểm còn lại (trừ A , B ) nằm bên ngoài đường tròn đó.
Bài 7: Cho đường thẳng d và đường tròn (O;R) không giao nhau. A là điểm trên (O).
Xác định vị trí điểm A để khoảng cách từ A đến đường thẳng d lớn nhất.
Bài 8: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R). Đường thẳng d qua A , gọi B C là giao điểm của đường
thẳng d và đường tròn (O).
Xác định vị trí của đường thẳng d để tổng AB + AC lớn nhất. B HƯỚNG DẪN H Bài 1:
Vẽ AH là đường cao của tam giác vuông ABC C 1 1 1 A Ta có: = + 2 2 2 AH AB AC 1 1 1 = + 2 2 2 AH 3 4 2 2 1 4 .3 = 2 2 2 AH 3 + 4
AH = 2, 4cm < 2, 8(d < R).
Do đó đường thẳng BC và đường tròn ( ;
A 2, 8cm) cắt nhau. A D Bài 2:
23. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com B E C
Vẽ DE ^ BC(E Î BC )
D thuộc tia phân giác góc ABC DA ^ A , B DE ^ BC Nên DE = DA
Do đó: đường thẳng BC và đường tròn tâm D d
bán kính DA tiếp xúc nhau. Bài 3: B m
Vẽ AB ^ m(B Î m)
AB = 3cm không đổi, đường thẳng m cố định. d'
Do đó: A thuộc đường thẳng song song với m cách A
m một khoảng cách bằng 3cm . Bài 4:
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của CD AB . A D
Ta có: IK là đường trung bình của hình thang ABCD + Nên AD BC IK = = 4(cm) 2 K I
AD IK, AD ^ AB Nên IK ^ AB B C CD IK =
(= 4cm), IK ^ AB 2
Do đó: AB tiếp xúc với đường tròn tâm I đường kính CD . Bài 5: BN OM Nên   AOM = ABN ;   y MON = ONB M Mà OBN D cân tại O N Nên:   OBM = ONB Do đó:   MON = AOM A O B Ta có: DOAM = O D NM (vì   OA = ON = ;
R AOM = MON;OM là cạnh chung) x
24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Suy ra:   ONM = OAM Ta lại có:  0
OAM = 90 (vì xy là tiếp tuyến tại A ) Nên ta có:  0
ONM = 90 , hay MN ^ ON .
Vậy MN là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 6: O O d d x N A M H B y x H M y a)
Nếu đường thẳng xy không cắt (O) thì d > R
Kẻ OH ^ xy thì OH = d
Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc d , ta có OM ³OH
Nên OM > R M ở ngoài (O;R) b)
Gọi M là một điểm ở bên trong (O;R) thì OM < R
Giả sử đường thẳng xy qua M kẻ OH ^ xy thì OH = d
Ta có: OH £OM
Do đó d < R suy ra đường thẳng xy cắt (O;R) ở hai điểm phân biệt c)
Giả sử M là một điểm bất kỳ nằm giữa A B có thể xảy ta ba trường hợp:
 Nếu M º H khi đó OM = OH < R M ở bên trong đường tròn (O;R)
 Nếu M nằm giữa A H khi đó MH < AH OM < OA (OM OA là hai đường xiên kẻ từ O tới xy ,
có hai hình chiếu trên xy MH AH ).
Do đó OM < R M ở bên trong đường tròn (O;R)
M nằm giữa B H , chứng minh tương tự trên ta được M ở bên trong đường tròn (O;R).
Giả sử M là một điểm bất kỳ nằm trên xy nhưng ở ngoài đường thẳng AB , ta luôn luôn có HN > HA (hoặc HB )
ON > OA (hoặc OB )  ON > R
Vậy N nằm ngoài đường tròn (O;R).
25. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Bài 7:
Gọi H,B lần lượt là hình chiếu của , A O trên A
đường thẳng d , ta có B cố định O
AH ^ HB nên AH £ AB Xét ba điểm O, ,
A B AB £OA +OB
Do đó: AH £ R +O ,
B R +OB không đổi H B d ìï H º B Dấu “=” xảy ra ï  í O ï namgiauAvaB ïî
Vậy khi A là giao điểm của tia đối tia OB và đường tròn (O) (B là hình chiếu của O trên d ) thì khoảng
cách từ A đến d lớn nhất. bài 8:
Vẽ đường thẳng qua A tiếp xúc với đường tròn
tại D D¢ , ta có D D¢ cố định.
 Nếu d trùng với AD hoặc AD¢ C D' H Ta có các điểm ,
B C, D trùng nhau nên B A
AB + AC = 2AD = 2AD¢ O d
 Nếu d không trùng với AD hoặc AD¢
Vẽ OH ^ d(H Î d) D
Ta có: H là trung điểm BC
(Định lí đường kính vuông góc dây cung)
Và có OH < R
Nên AB + AC = AH + HB + AH - HC = 2AH Xét OA D
H vuông tại H nên theo định lý Py-ta-go, Ta có: 2 2 2
OH + AH = OA
Xét DOAD vuông tại D nên theo định lý Py-ta-go, Ta có: 2 2 2
OD + AD = OA Do đó: 2 2 2 2
OH + AH = OD + AD
OH < OD = R nên AH > AD Nên
AB + AC > 2AD
Vậy khi đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn thì AB + AC nhỏ nhất.
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐Toán Học Sơ Đồ‐‐‐‐‐‐‐‐‐
26. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com