Chuyên đề góc nội tiếp

Tài liệu gồm 51 trang, được biên soạn bởi tác giả Toán Học Sơ Đồ, tổng hợp kiến thức trọng tâm, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng bài tập tự luận & trắc nghiệm chuyên đề góc nội tiếp, hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập chương trình Hình học 9 chương 3 bài số 3. Mời bạn đọc đón xem.

147 74 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Góc với đường tròn

Môn: Toán 9

Thông tin:

51 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
GÓC NỘI TIẾP
A.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Góc
B
AC có đỉnh A nằm trên đường tròn và hai cạnh AB, AC là hai dây cung được gọi là góc nội tiếp
Cung BC nằm bên trong được gọi là cung bị chắn.
1
2
s
d BAC sd BC
(số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn).
Tính chất: Trong một đường tròn:
* Các góc nội tiếp bằng nhau thì chắn các cung bằng nhau.
* Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
* Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90°) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
* Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
B.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau. Tính số đo góc.
Bài 1: Cho nửa đường tròn
O
đường kính AB và dây
AC
. N là điểm chính giữa cung CB. Chứng minh rằng

CAN NAB
Bài 2: Cho đường tròn
O
đường kính AB và một cung AM có số đo nhỏ hơn
90
. Vẽ các dây
MC AB,MD / /AB
. Chứng minh rằng
DMB ADC
Bài 3: Cho
ABC
nhọn nội tiếp đường tròn
O
có đường cao AH . Chứng minh rằng
BAH OAC
.
Bài 4: Cho lục giác
ABCDEF
có các đỉnh thuộc đường tròn
O
. Biết
AB / /DE,BC / EF.
chứng minh rằng
ADC DAF
.
Bài 5: Cho tam giác
ABC

A
BAC
nội tiếp đường tròn (O), đường trung tuyến AM. Lấy điểm D trên cung
BC không chứa A sao cho
AD CAM . Chứng minh rằng
A
DB CDM .
Bài 6: Cho
ABC
nhọn nội tiếp đường tròn
O
đường kính BD. Biết
BAC 45
. Tính số đo của góc
CBD
Bài 7: Cho
ABC
nhọn có
BAC 60
. Vẽ đườn tròn đường kính
BC
tâm O cắt AB, AC lần lượt tại D và E.
tính số đo góc
ODE
Bài 8: Cho ABC nội tiếp
O . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa
A
vẽ tia
Bx
sao cho
xBA A .
Tính sô đo góc
OBx
Bài 9: Tính góc
Acủa tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), biết
90IOK
, trong dó I là tâm đường tròn nội
tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A.
Dạng 2: Tính độ dài, tính diện tích.
Bài 1:
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Clà trung điểm của OB. Gọi D, E là các điểm thuộc nửa
đường tròn sao cho
90ACD BCE
. Biết CD CE a . Tính DE theo a.
Bài 2:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính
1dm
,
oo
45 , 15BC
. Tính dộ dài
,,
A
CBCAB
và diện tích tam giác
ABC .
Bài 3:
Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi K là trung điểm của OC. Gọi
M là giao điểm thứ hai của BK với đường tròn (O), I là giao điểm của MD và AB. Tính diện tích :
a)Tam giác MAB;
b)Tam giác
MIK.
Dạng 3: Bài toán dựa hệ quả của góc nội tiếp chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Bài 1:
Cho đường tròn
O đường kính
AB
và một cung
AM
có số đo nhỏ hơn
90
. Vẽ các dây
MC AB,MD / /AB
. Chứng minh rằng ba điểm C, O, D thẳng hàng.
Bài 2: Cho đường tròn
O
đường kính AB . Vẽ đường tròn
K
tiếp xúc với đường tròn
O
tại C. Các dây
CA, CB cắt đường tròn
K
lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng E, K, F thẳng hàng.
Bài 3: Cho đường tròn
O đường kính AB . Điểm M chuyển động trên
O ,
MA,MB
. Kẻ MH AB .
Kẻ đường tròn
1
O đường kính MH cắt đường thẳng MA và MB tại C và D. Chứng minh rằng
C,D,O
thẳng
hàng.
Bài 4: Cho
ABC
nhọn có
BAC 45
nội tiếp đường tròn
O
. Các đường cao
BH,CK
cắt đường tròn
O
lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng
D,O,E
thẳng hàng .
Dạng 4: Bài toán dựa vào định lí, tính chất góc nội tiếp chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC

A
BAC
nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là
giao điểm thứ hai của
AH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC ởI. Chứng
minh rằng
IK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 2:
Cho tam giác nhọn
A
BC AB AC
, trực tâm H. Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm của BC.
Tia phân giác của góc
BAC cắt IM ở K. Chứng minh rằng
90 .AKH
Bài 3:
Cho tam giác
A
BC
nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc Acắt BCởD và cắt đường tròn (O) ở M
(khác
A). Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn
;
M
MB
,K là tiếp điểm. Chứng minh rằng DK vuông góc với AM.
Bài 4: Cho hai đường tròn
O và
O’ cắt nhau ở A và B , O nằm trên đường tròn
O’ . Dây AC của
O cắt

O’ ở D, dây OE của

O’ cắt
O ở
F
như trên hình. Chứng minh rằng: OD ⊥ BC
Bài 5: Cho
ABC
nội tiếp
O
. Tia phân giác góc
BAC
cắt đường tròn
O
tại D. đường tròn
D,DB
cắt
đường thẳng
AB tại
Q
(khác B), cắt đường thẳng
AC
tại P (khác C). Chứng minh rằng
AO PQ
Bài 6: Trong đường tròn
O có dây AC và
BD
vuông góc với nhau tại
E
. Gọi
M
là trung điểm BC . Chứng
minh rằng
IM AD
.
Bài 7: Cho đường tròn
O
, đường kính AB .
S
là một điểm nằm bên ngoiaf đường tròn.
SA
và
SB
lần lượt
cắt đường tròn tại
M ,
N
. Gọi H giao điểm của BM và AN . Chứng minh rằng SH AB .
Dạng 5:Nâng cao phát triển tư duy
Bài 1.
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm tam giác ABC, K
là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC
ở I. Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 2.
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn của hai đường tròn
tiếp xúc với (O) tại A, tiếp xúc với (O’) tại B. tiếp tuyến của đường tròn (O) tại P cắt (O’) tại điểm thứ
hai D khác P, đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại R. Chứng minh rằng:
a)

QAR QBR
;
b) Tam giác BPR cân;
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB và RB.
Bài 3.
Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và một cát tuyến MCD. Gọi I là giao
điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
IC MC
ID MD
.
Bài 4.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), BE và CF là các đường cao. Các tiếp
tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại S, các đường thằng BC và OS cắt nhau tại M.
a) Chứng minh rằng:
A
BBS
A
EME
.
b) Chứng minh rằng:
A
EM ABS∽ .
c) Gọi N là giao điểm của AM và EF, P là giao điểm của AS và BC. Chứng minh rằng NP vuông góc
với BC.
Bài 5.
Cho
A
BC
vuông tại A, đường cao AH và đường tròn (O) ngoại tiếp
H
AC
. Gọi D là điểm đối
xứng của B qua H, nối A với D cắt đường tròn (O) tại E. Chứng minh:
a) CH là tia phân giác của góc ACE.
b)
//
H
OEC
.
Bài 6. Cho hình vuông ABCD; M là điểm tùy ý thuộc cạnh CD. Hai đường tròn đường kính CD và AM
cắt nhau tại N (khác D). Gọi K là giao điểm của DN và BC. Chứng minh AC vuông góc KM.
Bài 7. Gọi CA, CB lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R) với A, B là các tiếp điểm. Vẽ đường
tròn tâm I qua C và tiếp xúc với AB tại B. Đường tròn (I) cắt đường tròn (O) tại M. Chứng minh rằng
đường thẳng AM đi qua trung điểm của BC.
Bài 8.
Cho (O; R) và một tiếp tuyến xy tại A của (O; R). Trên tiếp tuyến lấy điểm C (Khác A). Gọi B là
trung điểm của AC. Qua C vẽ đường thẳng cắt (O) tại E, M (theo thứ tự C, E, M). Tia BE cắt (O) tại F
và tia CF cắt (O) tại N. Chứng minh:
//
M
NAC
.
Bài 9.
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dựng CD là tiếp tuyến chung của (O) và (O’)
sao cho C thuộc (O), D thuộc (O
’) và B nằm trong tam giác CDA. Đường thẳng CB cắt (O’) tại M.
Chứng minh tia AD là phân giác của góc CAM.
Bài 10.
Cho hình bình hành ABCD, góc A <
90
o
. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. Chứng
minh rằng BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB.
Bài 11.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại điểm P.
Trên cung nhỏ BC, lấy điểm K (K khác B và C). Đường thẳng PK cắt đường tròn (O) lần thứ hại tại Q.
Phân giác góc
K
BQ cắt KQ tại I.
a) Chứng minh rằng CI là tia phân giác
K
CQ
;
b) Giả sử đường thẳng AK đi qua trung điểm M của cạnh BC. Chứng minh rằng
//
A
QBC
.
Bài 12.
Chứng minh rằng từ 2015 điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn luôn chọn được ít nhất
1008 điểm mà 3 điểm bất kỳ trong đó là các đỉnh của một tam giác tù.
Bài 13.
Cho hình vuông ABCD với tâm O. Gọi M là trung điểm AB. Các điểm N, P thuộc BC, CD sao cho
//
M
NAP
. Chứng minh rằng:
1. Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP và
45
o
NOP .
2. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC.
3. Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy.
Bài 14.
Cho đoạn thẳng AC có độ dài bằng a. Trên đoạn AC lấy điểm B sao cho AC = 4AB. Tia Cx vuông
góc với AC tại điểm C, gọi D là một điểm bất kỳ thuộc tia Cx (D không trùng với C). Từ điểm B kẻ
đường thẳng vuông góc với AD cắt hai đường thẳng AD và CD lần lượt tại K, E.
a) Tính giá trị DC, CE theo a.
b) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ nhất.
c) Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên tia Cx thì đường tròn đường kính DE luôn có một dây
cung cố định.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau. Tính số đo góc.
Bài 1:
Cho nửa đường tròn
O
đường kính AB và dây
AC
. N là điểm chính giữa cung CB. Chứng minh rằng

CAN NAB
Lời giải: ( h 1.1).
Ta có
1
CAN CN
2
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
1
NAB NB
2
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Lại có
CN NB
.

CAN NAB
.
Bài 2:
Cho đường tròn
O
đường kính
AB
và một cung
AM
có số đo nhỏ hơn
90
. Vẽ các dây
MC AB,MD / /AB
. Chứng minh rằng
DMB ADC
.
Lời giải: ( h 1.2)
Ta có
AB MC MA AC
( đường kính vuông góc
với một dây).
Ta lại có:
MD / /AB MA DB
( hai cung chắn giữa hai
dây song song).
AC DB
MA ADC DMB
( góc nội tiếp chắn
hai cung bằng nhau).
hình 1.1
N
O
A
B
C
hình 1.2
D
C
O
A
B
M
Bài 3: Cho
ABC
nhọn nội tiếp đường tròn
O
có đường cao AH . Chứng minh rằng
BAH OAC
.
Lời giải: ( h 1.3)
Dựng đường kính
AD
Ta có
1
CAD CBD DC
2




. ( góc nội tiếp cùng chắn một
cung ).
Lại có
BAH DBC
( hai góc có các cạnh tương ứng vuông
góc ).
BAH DAC BAH OAC
.
O
. Biết
Bài 4: Cho lục giác
ABCDEF
có các đỉnh thuộc đường tròn
AB / /DE, BC / EF.
chứng minh rằng
ADC DAF
.
Lời giải: ( h 1.4)
Do
BC / /EF EDC FAB
EAC BDF
AB / /ED AEF BCD
BFD ACE
Do đó
BFD ECA g.g
Suy ra
DBF AEC DEF ABC
ABC DAF
Bài 5:
Cho tam giác ABC

A
BAC
nội tiếp đường
tròn (O), đường trung tuyến
AM. Lấy điểm D trên cung BC không chứa A sao cho
BAD CAM . Chứng minh
rằng
A
DB CDM .
Lời giải
12
 BAAMADAC, lại có
A
BM ADC (góc nội tiếp) nên

A
BM ADC
(g.g)
1
2
1
M
O
B
C
A
D
hình 1.3
D
H
O
A
B
C
hình 1.4
F
E
O
A
B
C
D

B
ABMMC
A
DDCCD
.
Kết hợp với
11
A
C
suy ra BAD MCD (c.g.c)
ADB CDM
.
Bài 6:
Cho
ABC
nhọn nội tiếp đường tròn
O
đường
kính
BD . Biết
BAC 45
. Tính số đo của góc
CBD
Lời giải: (h 1.5)
Ta có:
1
CDB CAB CB
2




CDB 45
Lại có
DCB 90
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
CBD 180 CDB DCB 45

Bài 7: Cho
ABC
nhọn có
BAC 60
. Vẽ đường tròn đường kính
BC
tâm O cắt AB, AC lần lượt tại D và E.
tính số đo góc
ODE
Lời giải: ( h1.6)
Ta có
BDC 90
( góc nội tiếp chắn nửa đường
tròn).
ADC 90 ADC
vuông tại D suy ra
ACD 30
EOD 60
( do
EOD 2ECD ED
Mà ta lại có
EOD
cân tại O
Suy ra
EOD
đều
EDO 60
hình 1.5
D
O
C
A
B
hình 1.6
D
E
O
C
A
B
Bài 8: Cho ABC
nhọn
nội tiếp
O . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx sao cho
xBC A
. Tính sô đo góc
OBx
Lời giải: ( h 1.7)
Dựng đường kính BD khi đó
DCB 90
DBC CDB 90
Mà
1
BDC CAB CB
2




Lại có
BAC CBx DBC CBx 90
DBx 90
Bài 9:Tính góc Acủa tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), biết
90IOK , trong dó I là tâm đường tròn nội
tiếp,
K là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A.
Lời giải
Gọi
D là giao điểm của đoạn IK và đường tròn (O).
1
2
DBI
sđ
DN ;
1
2
BID
sđ
1
2
BD
sđ
A
N DBI BID BDIcân tại D
DB DI
IBK vuông tại B có DB DI nên DI DK và
1
2
DB IK
. (1)
IOK
vuông tại O có
DI DK
nên
1
2
OD IK
. (2)
Từ (1) và (2) suy ra
BD OD OB
.
BOD
đều
60 60BOD BAC .
Dạng 2: Tính độ dài, tính diện tích.
Bài 1:
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Clà trung điểm của OB. Gọi D, E là các điểm thuộc nửa
đường tròn sao cho
90ACD BCE . Biết
CD CE a
. Tính DE theo a.
N
D
K
I
B
O
C
A
x
hình 1.7
O
C
A
B
D
Lời giải
Trên CDlấy Ksao cho
CK CE
thì
DK CD CK CD CE a
.
Kéo dài
DCcắt đường tròn (O) ở I.
Ta có
23l
CCC E đối xứng với Iqua AB
1
2
EOB
sđ
EI D
. (1)
E
CK
cân
o
4
12
180
2
C
K
CDKEOCE
 
(bù với hai góc trên). (2)
Từ (1) và (2) suy ra
DKE OCE
(g.g)
2
DE OE OB
DK OC OC

. Vậy
22DE DK a
.
Bài 2:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 1dm ,
oo
45 , 15BC. Tính dộ dài
,,
A
CBCAB
và diện tích tam giác
ABC .
Lời giải
oo
45 90 2 2
B
AOC AC OC dm 
.
Kẻ OM BC .
Ta có
21
oo o
45 15 30CCC

o
.cos30
3
3
2
B
CdmMC OC  .
Kẻ
A
HBC . Đặt
,HC x HB
y

thì
3xy
(1)
Ta có
22 22 2
2HC HB HC HA AC
nên
22
2xy (2)
Từ (1) và (2) suy ra


2
22
2321xy x y x y
(3)
Từ (2) và (3) suy ra

2
22
2211 1
x
yxyxy xy
(4)
Từ (1) và (4) suy ra

31
2
ydm
. Do đó

62
2
2
A
By dm
 .

2
113133
..3.
2224
ABC
SBCAH dm


1
2
15°
45°
1dm
O
A
B
C
M
H
Bài 3: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi K là trung điểm của OC. Gọi
M là giao điểm thứ hai của BK với đường tròn (O), I là giao điểm của MD và AB. Tính diện tích :
a) Tam giác
MAB;
b) Tam giác
MIK.
Lời giải
a)
90 , 90AMB BOK 
nên
1
tan
2
MA OK
B
MB OB

.
Từ
222
4
2
MA M
MB A
B
M
R

dễ dàng tính được
2
24 4
,,
5
55
MAB
RR R
MA MB S

. (1)
b)
MI là đường phân giác của
1
2
IA MA
MAB
IB MB

. Lại có 2IA IB R nên dễ dàng tính được
4
3
R
IB
.
2
114
...
22323
KIB
R
RR
SIBKO . (2)
22
11144
.
333515
MAI MAB
R
R
AI AB S S

. (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra
22 2 2
44
53155
MIK MAB KIB MAI
R
RRR
SSSS


.
Dạng 3: Bài toán dựa hệ quả của góc nội tiếp chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Bài 1:
Cho đường tròn
O
đường kính AB và một cung AM có số đo nhỏ hơn
90
. Vẽ các dây
MC AB,MD / /AB
. Chứng minh rằng ba điểm
C, O, D
thẳng hàng.
Lời giải ( h 1.8)
Ta có
MD / /AB
mà
AB MC
nên
MC MD DMC 90
CMD
là góc nội tiếp mà bằng
90
nên phải chắn nửa đường tròn,
suy ra
CD
là đường kính, do đó ba điểm
C,O,D
thẳng hàng.
I
M
K
D
C
B
O
A
hình 1.8
D
C
O
A
B
M
Bài 2: Cho đường tròn
O đường kính AB . Vẽ đường tròn
K
tiếp xúc với đường tròn
O tại C. Các dây CA, CB cắt đường tròn
K lần lượt tại
E
và
F
. Chứng minh rằng
E, K, F thẳng hàng.
Lời giải (h 1.9)
Xét
O có
ACB 90
nên
ECF 90
Xét đường tròn
K
vì
ECF 90
nên EF là đường kính
Suy ra ba điểm
E,K,C
thẳng hàng
Bài 3: Cho
ABC
nhọn có
BAC 45
nội tiếp đường tròn
O
. Các đường cao
BH,CK
cắt đường tròn
O
lần lượt tại E và D. Chứng minh rằng
D,O, E
thẳng hàng
Lời giải ( h 1.10).
Ta có:
BH AC ABH
vuông tại H
Mà
BAH 45 ABH 45

hay
EBA 45
(1)
Mặt khác có
CK AB
suy ra
ACK
vuông tại K
Mà
KAC 45 KCA 45

Ta lại có
DBA DCA
( cùng chắn cung AD )
Nên
ABD 45
(2)
Từ (1)(2)
EBD DBA ABE 90
nên
DE
là đường kính của
O hay
D,O, E
thẳng hàng
Bài 4: Cho hai đường tròn
O
và
O'
cắt nhau tại A và B sao cho
OAO' 90
. Lấy điểm C thuộc
O'
và ở
bên ngoài đường tròn
O . Kẻ các tia
CA,CB
cắt đường tròn
O tại
D,E
. Chứng minh rằng
D,O, E
thẳng
hàng.
Lời giải ( h 1.11)
Xét
O
có
1
AEB AOB
2
(1)
Xét
O'
có
1
ACB AO'B
2
(2)
Từ (1); (2) ta có
1
AEB ACB AOB AO 'B 90
2

Nên
EAC 90 DAE 90

nên DE là đường kính của
O
hình 1.9
F
E
C
D
O
A
B
K
hình 1.10
H
K
D
E
O
A
C
B
hình 1.11
E
D
B
O
A
O'
C
Vậy
D,O, E
thẳng hàng.
Dạng 4: Bài toán dựa vào định lí, tính chất góc nội tiếp chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC

A
BAC
nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là
giao điểm thứ hai củaAH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC ởI. Chứng
minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Lời giải
Dễ chứng minh Hđối xứng với Kqua BC, suy ra
212

K
HH(1)
Ta lại có
11
K
A nên
1
K
phụ
2
H (2)
Từ (1) và (2) suy ra
2
K
phụ
1
K
. Vậy IK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 2: Cho tam giác nhọn

A
BC AB AC , trực tâm H. Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm của BC.
Tia phân giác của góc BAC cắt IM ở K. Chứng minh rằng
90 .AKH
Lời giải
Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp
A
BC
. Vẽ bán kính OD đi qua M thì D là điểm chính giữa của cung BC nên
,,
A
KD
thẳng hàng.
Vẽ đường kính AN. Dễ chứng minh đươch BHCN là hình bình hành
,,HMN
thẳng hàng và
1
2
OM AH AI
. Tứ giác
A
OMI
có
// ,
A
IOMAI OM
nên là hình bình hành
11
//  OA MI A K
1
1
1
2
2
I
K
H
O
B
C
A
2
1
1
N
D
K
M
I
H
O
B
C
A
Kết hợp với
12

A
DA
nên
12
 
K
AIKIAIH
. Vậy
o
90AKH
.
Bài 3:
Cho tam giác
A
BC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc Acắt BCởD và cắt đường tròn (O) ở M (khác A).
Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn
;
M
MB ,K là tiếp điểm. Chứng minh rằng DK vuông góc với AM.
Lời giải
12
A
A mà
21
A
B (góc nội tiếp)nên

11
A
B .

M
BD MAB
(g.g)

M
DMB MDMK
M
BMA MKMA
.
Kết hợp với
DMK KMA
ta có
DMK KMA (c.g.c)
90 MDK MKA . Vậy
DK AM
.
Bài 4: Cho đường tròn
O
, đường kính AB .
S
là một điểm nằm bên ngoài đường tròn.
SA
và
SB
lần lượt
cắt đường tròn tại
M ,
N
. Gọi H giao điểm của BM và
AN
. Chứng minh rằng
SH AB
.
Lời giải (h 1.12)
Ta có:
AMB ANB 90
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét
SAB
có
AN, BM
là hai đường cao. Mà H là giao điểm của
AN
và
BM
suy ra H là trọng tâm
SAB
.
SH
là đường cao trong
SAB SH AB
.
1
1
2
K
M
D
O
C
B
A
hình 1.12
H
N
M
O
A
B
S
Bài 5: Cho
ABC
nội tiếp
O
. Tia phân giác góc
BAC
cắt đường tròn
O
tại D . đường tròn
D,DB
cắt
đường thẳng
AB tại
Q
(khác B ), cắt đường thẳng
AC
tại P (khác
C
). Chứng minh rằng
AO PQ
Lời giải (h 1.13)
Gọi
I,K
lần lượt là giao điểm của
AO
với
O,PQ
.
Ta có
CPQ QBC APQ ABC
Mà
ABC AKC
APQ AKC
.(1)
Lại có
AKC CAK 90
(2)
Từ (1)(2) suy ra
APQ PAK 90
Xét
API
có
PAI API 90 AIP 90

Hay
AO PQ
Bài 6: Trong đường tròn
O
có dây
AC
và BD vuông góc với nhau tại I . Gọi M là trung điểm
BC
. Chứng
minh rằng
IM AD .
Lời giải (h 1.14).
Gọi EIMAD.
AC BD
tại I nên
BCI
vuông tại I.
Mà
MB MC MI MB
( tính chất đường trung tuyến
trong tam giác vuông) nên
MBI cân.
do đó
MIB MBI
mà
NID BIM
đối đỉnh do đó
MBI NID
.
Ta có
BDA BCA
( góc nội tiếp chắn
AB
).
Mà
BCA MBI 90
(
BCI
vuông tại I.)
Suy ra
NID BDA 90
AEI 90
hay MI AD .
hình 1.13
I
K
P
Q
D
O
A
B
C
hình 1.14
E
M
I
D
O
A
C
B
Bài 7: Cho hai đường tròn
O và
O’ cắt nhau ở A và B , O nằm trên đường tròn
O’ . Dây AC của
O cắt
O’ ở
D
, dây OE của
O’ cắt
O ở
F
như trên hình. Chứng minh rằng:
OD BC
Lời giải(h 1.15)
Dựng hai bán kính
OB,OC
của
O
.
Xét đường tròn
O' ta có
1
BAD BOD BD
2




Mà
11
BAC BC BOD BC
22

.(1)
Xét đường tròn
O ta có
BOC BC
(2)
Từ (1),(2) ta được:

1
BOD BOC BOD DOC
2

hay
OD
là tia phân giác
BOC
Ta lại có
BOC
cân tại
O
suy ra
OD
vừa là tia phân giác vừa là đường cao trong
BOC
Hay
OD BC
Dạng 5:Nâng cao phát triển tư duy
Bài 1.
Dễ dàng chứng minh được H đối xứng với K qua BC
Suy ra
212
KHH
. (1)
Ta lại có:
11
A
K
nên
1
K
phụ với
2
H
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
2
K phụ với
1
K
Vậy IK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 2.
a) Ta có
QAP DPQ (Góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến với dây cung cùng chắn một cung cung chắn
một cung) và
D
PQ QBP (góc nội tiếp cùng chắn một cung).
Từ đó suy ra

.QAP QBR
b) Ta có
B
PR PAB ABP (tình chất góc ngoài của tam giác)
Mặt khác,
.
B
RP BQA PAB ABP
Suy ra hay tam giác BPR cân đỉnh B.
hình 1.15
F
D
A
O'
O
B
E
C
c) Ta có
BQP ABP (1)
(góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến với dây cung
cùng chắn một cung)
BAR ABP (2)
(góc nội tiếp cùng chắn một cung)
BPR PAB ABP (3)

PQR PQB BQR
(4)
Từ (1); (2); (3) (4) suy ra
PQR BPR BRP
Do đó: Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc PB và RB (định lí bổ sung).
Bài 3.Ta có
~MAC MDA
Suy ra:
2
.MA MC MD
và
MA AC
MD AD
~MBC MDB
suy ra:
MB BC
MD BD
Xét
2
22
.
..
MC MC MD MA MA MB AC BC
MD MD MD AD BD
MD MD
 (1)
Mặt khác
~
I
AC IDB
Suy ra:
;~
IC AC
IBC IDA
IB BD

Suy ra:
;
IB BC
ID AD
Do đó:
...
AC BC AC BC IC IB IC
AD BD BD AD IB ID ID
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
.
IC MC
ID MD
Bài 4.
a) Do
BAE SBM
(hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) và
90AEB BMS
nên
~AEB BMS
, suy ra: .
AB BS
AE BM
Mà
BM ME
nên
.
AB BS
AE ME
(1)
b)
B
ME cân tại M nên
.
M
EB M BE
Lại có
90SBM ABE BAE ABE AEB
SBA AEM
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
~AEM ABS.
c) Từ câu b, suy ra:
.
B
AP EAN
Mà
A
BP AEN (cùng bù với
CEF )
nên
~AEN ABP
, suy ra:
.
AN NE
AP PB
(3)
Vì
~AEM ABS (câu b) và tương tự ta có:
~
M
AF SAC
nên
A
ME ASB ,
A
MF ASC
E
MF BSC SBP MEN
(do hai tam giác cân có hai góc ở đỉnh bằng nhau)
Suy ra:
~
NE NM
EMN BSP
PB PS
 (4).
Từ (3) và (4) suy ra:
// S
AN NM
NP M
AP PS

, mà
M
SBC nên .NP BC
Bài 5.
a) Ta có:
A
BD cân nên:
12
A
A (1)
Mặt khác:
12
A
C
(cùng phụ với góc B)
12
CA (cùng chắn chung HE).
Suy ra:
12
CC
b) Ta có:
12
2. // .OsñAH C ACE HOEC
Bài 6.
Gọi I là giao điểm của đường tròn (O) đường kính AM và CD
90 .AIM
Tứ giác DAIM là hình chữ nhật (vì
90AIM IAD ADM
)
90IMD DI
là đường kính của (O)
90IND
N thuộc đường tròn đường kính DC
90DNC
Ta có:
90 90IND DNC
180INC
I, N, C thẳng hàng.
Xét
CDK
và
MIC
có:

90 .DCK IMC DC MI AD
KDC CIM
(Cặp góc nhọn có cạnh tương ứng với góc).
Do đó:
CDK MIC CK MC CMK
cân tại C. CA là tia phân giác
MCK
(vì ABCD là hình
vuông)
.AC KM
Bài 7.
Gọi K là giao điểm của AM và BC.
Xét
KBM
và
AKB
có:
K chung;
KBM KAB (góc tạo bởi tia tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp
chắn chung
BM của

O
)
Do đó:
2
A.
A
KB KM
KBM K B KB KM KA
KKB
∽ (1)
MCK MBA
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây
cung và góc nội tiếp cùng chắn cung
BM
của
(1)).
KAC M BA
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây cung
và góc nội tiếp cùng chắn cung
AM
của

O
).
Do đó:
.
MCK KAC
Xét
KCM
và
KAC
có
K chung,
MCK KAC
.
Do đó
2
.
KC KM
KCM KAC KC KM KA
KA KC
∽ (2).
Từ (1) và (2) ta có:
22
.KC KB KC KB
Vậy AM đi qua trung điểm K của BC.
Bài 8.
Xét
BAE
và
BFA
có
ABE chung,
1
2
BAE BFA sñ AE




Do đó:
B
AE BFA∽
BA BE BC BE
BF BA BF BC

(vì
BC BA
)
Xét
BCE
và
BFC
có:
CBE
(chung), .
BC BE
BF BC
Do đó

BCE BFC BCE BFC
∽
Mà
EMN BFC
(hai góc nội tiếp cùng chắn chung EN)
Do đó
// .BCE EMN MN AC
Bài 9.
DBM BCD BDC

(
DBM là góc ngoài của
BDC
)
1
,
2
BAC BCD sñBC




1
2
BAD BDC sñBD




Do đó:
CAD BAC BAD BCD BDC DBM

Mà
DAM DBM
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung DM)
Nên
CAD DAM AD

là tia phân giác của
.
CAM
Bài 10.
Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình
hành.
..IA IC IE IA IE IC

...IBE ICD g g IE IC IB ID ∽
Từ đó suy ra:
2
...IE IA IE IC IB ID IB
.
IB IA
IE IB

Ta có
IBE
và
IAB
có
IB IA
IE IB
và
BIA chung
Suy ra

..IBE IAB c g c∽
nên
IBE IAB
.
Từ đó suy ra BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB (định lí bổ sung)
Bài 11.
a) Ta có
PBK PQB (hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

.
PB BK
PBK PQB g g
PQ QB
 ∽
(1).
Tương tự ta có:

.
PC CK
PCK PQC g g
PQ QC
 ∽
(2)
Từ (1) và (2) kết hợp với
PB PC
ta có:
BK CK
QB QC
(3).
Ta có BI là phân giác
KBQ nên
IK BK
IQ QB
(4)
Suy ra CI là tia phân giác
KCQ
b) Ta có

.
MC MA
MKC MBA g g
KC BA
 ∽ (5)

.
MB MA
MKB MCA g g
KB CA
 ∽ (6)
Từ (5) và (6) vế chia theo vế
KB CA
KC BA
 (7) (vì
MB MC
)
Mặt khác theo kết quả câu a, ta có:
BK KC BK QB
QB QC KC QC

(8).
Từ (7) và (8)

..
AC QB
ABC QCB c g c
AB QC
 ∽
// .ACB QBC ACB QAC AQ BC
Bài 12.
Xét đường kính của đường tròn không đi qua điểm nào trong 2015 điểm đã cho (luôn tồn tại)
Chọn nửa đường tròn chứa số điểm nhiều hơn
Nửa đó chứa ít nhất 1008 điểm.
Xét 3 điểm bất kỳ trong số các điểm thuộc nửa đường tròn đã chọn ta có 3 điểm đó là các đỉnh của một
tam giác tù (vì có một góc n
ội tiếp chắn cung lớn hơn nửa đường tròn).
Bài 13.
1) Do
//
N
BAD
,
//
B
MDP
,
//
M
NPA
nên
.NBM ADP∽
Suy ra
.
2. 2.
BN BN DA DO
BO DP
BM DP

Kết hợp với
45NBO PDO
.BNO DOP ∽
Suy ra:
180NOP NOB POD
180 45 .NOB ONB NBO
2) Vì
BNO DOP∽
và
BO DO
nên .
ON BO DO
OP DP DP

Mặt khác
45NOP NBO
, suy ra
ONP DO P BNO∽∽
.
Gọi Q là tâm đường tròn ngoại tiếp
ONP
, chú ý rằng
ONP BN O∽
ta có:

180
90 .
2
ONQ
QON OPN COB BON CON


Do đó tia OQ trùng với tia ON. Vậy Q thuộc OC.
3) Gọi E, F thứ tự là giao điểm của BD với MN, PA.
Chú ý rằng
NBM ADP∽
; BD là đường chéo hình vuông, ta có:
A
.
BEM DFP
BEN DF
SS
EM BM DP FP
EN S BN DA S FA

Kết hợp với
//MN AP
, theo bổ đề hình thang
Suy ra ,,BD AN PM đồng quy.
Bài 14.
a) Ta có:
EBC ADC
(Cùng bù với góc
KBC
);
90ACD E CB
ACD ECB ∽
(g-g)
...
DC AC
DC CE AC BC
BC EC

Do
4
a
AB ;
2
33
.. .
44
aa
BC DC EC AC BC
b)
1
.
2
BDE BDE
SBCDES

 nhỏ nhất khi và chỉ khi DE nhỏ nhất.
Ta có:
2
3
2. 2 3
4
a
DE DC EC DC EC a
(Theo chứng minh phần a)
Dấu
3
"" .
2
a
DC EC

BDE
S
nhỏ nhất bằng
2
33
8
a
khi D thuộc tia Cx sao cho
3
.
2
a
CD
c) Gọi giao điểm của đường tròn đường kính DE với đường thẳng AC là M, N (M nằm giữa A và B)
M, N đối xứng qua DE.
Ta có:
AKB ACD∽
(g-g)
..
AK AB
AK AD AC AB
AC AD

(1)
AKM AND∽
(g-g) ..
AK AM
AK AD AM AN
AN AD
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra
2
..
4
a
AM AN AC AB

2
22
4
a
AC MC AC NC AC MC (Do
M
CNC
)
2
2
33
42
aa
MC MC NC
M, N là hai điểm cố định.
Vậy đường tròn đường kính DE luôn có dây cung MN cố định.
C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ
Câu 1
. Cho tứ giác
ABCD
nội tiếp đường tròn
()O
(hình
1
). Chọn khẳng định
sai?
A.

BDC BA C= . B.
180ABC ADC+=
. C.
DCB BAx= . D.
BCA BAx= .
Câu 2. Cho tứ giác
ABCD
nội tiếp. Chọn câu sai.
A.
0
180BAD BCD+=
. B.
ABD ACD= . C.
0
36
ˆ
ˆˆˆ
0ABC D+++=
. D.
ADB DAC= .
Câu 3. Tứ giác ở hình nào dưới đây là tứ giác nội tiếp?
A. Hình
2
. B. Hình
3
. C. Hình
4
. D. Hình5 .
Câu 4. Cho nửa đường tròn
(; )OR
đường kính
BC
. Lấy điểm
A
trên tia đối của tia
BC
. Kẻ tiếp tuyến
,AF Bx
của nửa đường tròn
()O
(với
F
là tiếp điểm). Tia
AF
cắt tia
Bx
của nửa đường tròn tại
D
.
Khi đó tứ giác
OBDF
là:
A. Hình thang. B. Tứ giác nội tiếp. C. Hình thang cân. D. Hình bình hành.
Câu 5. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
đường cao
AH
. Kẻ
HE
vuông góc với
AB
tại
E
. kẻ
HF
vuông góc với
AC
tại
F
. Chọn câu đúng.
A. Tứ giác
BEFC
là tứ giác nội tiếp. B. Tứ giác
BEFC
không nội tiếp.
C. Tứ giác
AFHE
là hình vuông. D. Tứ giác
AFHE
không nội tiếp.
Câu 6. Tứ giác
ABCD
nội tiếp đường tròn có hai cạnh đối
AB
và
CD
cắt nhau tại
M
và
0
70BAD =
thì
BCM = ?
A.
0
110 . B.
0
30 . C.
0
70
. D.
0
55 .
Câu 7. Cho đường tròn
()O
đường kính
AB
. Gọi
H
là điểm nằm giữa
O
và
B
. Kẻ dây
CD
vuông góc
với
AB
tại
H
.
trên cung nhỏ
AC
lấy điểm
E
kẻ
CK
vuông góc
AE
tại
K
. Đường thẳng
DE
cắt
CK
tại
F
. Chọn câu đúng?
A.
AHCK
là tứ giác nội tiếp. B.
AHCK
không nội tiếp đường tròn.
C.
EAO HCK=
. D.
..AH AB AD BD=
.
Câu 8. Cho điểm
A
nằm ngoài đường tròn
()O
qua
A
kẻ hai tiếp tuyến
AB
và
AC
với đường tròn (
,BC
là tiếp điểm). Chọn đáp án đúng:
A. Tứ giác ABOC là hình thoi. B. Tứ giác ABOC nội tiếp.
C. Tứ giác ABOC không nội tiếp. D. Tứ giác ABOC là hình bình hành.
Câu 9. Cho hình vẽ dưới đây.
Khi đó mệnh đề đúng là?
A.
0
80ABC =
. B.
0
90ABC =
. C.
0
100ABC =
. D.
0
110ABC =
.
Câu 10. Cho hình vẽ dưới đây
Số đo góc
BAD
là:
A.
0
80
BAD
=
. B.
0
75BAD =
. C.
0
65
BAD
=
. D.
0
60
BAD
=
.
Câu 11. Cho hình vẽ dưới đây.
Chọn câu đúng:
A.
0
80
ABC
=
. B.
0
90
ABC
=
. C.
0
110
ABC
=
. D.
0
100
ABC
=
.
Câu 12. Cho hình vẽ dưới đây
Số đo góc
BAD
là:
A.
0
55
BAD
=
. B.
0
75BAD =
. C.
0
65
BAD
=
. D.
0
60
BAD
=
.
Câu 13. Cho
BCDD
cân tại
A
có
0
120BAC = , trên nửa mặt phẳng bờ
BC
không chứa đỉnh
A
, lấy
D
sao cho
BCD
là tam giác đều. Khi đó
A.
ACDD
cân. B.
ABDC
nội tiếp . C.
ABDC
hình thang. D.
ABD C
hình vuông.
Câu 14. Cho
ABCD
cân tại
A
có
130BA C =. Trên nửa mặt phẳng bờ
BC
không chứa đỉnh
A
, kẻ
;Bx BA Cx CA^^
. chọn đáp án sai.
A.
BCDD
cân. B.
ABDC
nội tiếp. C.
ABDC
là hình thoi. D.
50BDC =
.
Câu 15. Cho tam giác nhọn
ABC
nội tiếp đường tròn
()O
.
M
là điểm thuộc cung nhỏ
AC
(cung
CM
bé hơn cung
AM
). Vẽ
MH
vuông góc với
BC
tại
H
, vẽ
MI
vuông góc với
AC
tại
I
. Chọn câu
đúng:
A.
MIHC
là hình chữ nhật. B.
MIHC
là hình vuông.
C.
MIHC
không là tứ giác nội tiếp. D.
MIHC
là tứ giác nội tiếp.
Câu 16. Cho hình bình hành. Đường tròn đi qua ba đỉnh cắt đường thẳng tại. Khi đó.
A.
ABCP
là hình thang cân. B.
AP AD=
.
C.
AP BC=
.
D. Cả
,,ABC
đều đúng.
Câu 17. Cho đường tròn
()O
đường kính
.AB
Gọi
H
là điểm nằm giữa
O
và
.B
Kẻ dây
CD
vuông góc với
AB
tại
H
. Trên cung nhỏ
AC
lấy
điểm
,E
kẻ
CK AE^
tại
.K
Đường thẳng
DE
cắt
CK
tại
F
.
Tứ giác
AHCK
là:
A. Tứ giác nội tiếp. B. Hình bình hành. C. Hình thang. D. Hình thoi.
Câu 18. Cho đường tròn
()O
đường kính
.AB
Gọi
H
là điểm nằm giữa
O
và
.B
Kẻ dây
CD
vuông góc với
AB
tại
H
. Trên cung nhỏ
AC
lấy
điểm
,E
kẻ
CK AE^
tại
.K
Đường thẳng
DE
cắt
CK
tại
F
.
Tích
.AH AB
bằng:
A.
2
4AO . B.
.AD BD
. C.
2
BD . D.
2
AD .
Câu 19. Cho đường tròn
()O
đường kính
.AB
Gọi
H
là điểm nằm giữa
O
và
.B
Kẻ dây
CD
vuông góc với
AB
tại
H
. Trên cung nhỏ
AC
lấy
điểm
,E
kẻ
CK AE^
tại
.K
Đường thẳng
DE
cắt
CK
tại
F
.
Tam giác
ACF
là tam giác.
A. Cân tại
F
B. Cân tại
C
C. Cân tại
A
D. Đều
Câu 20. Cho
ABCD
vuông ở
A
. Trên cạnh
AC
lấy điểm
M
và vẽ đường tròn đường kính
MC
. Kẻ
BM
cắt đường tròn tại
D
. Đường thẳng
DA
cắt đường tròn tại
S
. Chọn đáp án sai trong các đáp án
sau:
A. Tứ giác
ABCD
nội tiếp. B.
ABD ACD=
.
C.
CA
là phân giác của
SCB
.
D. Tứ giác
ABCS
nội tiếp.
Câu 21. Trên các cạnh
,BC C D
của hình vuông
ABCD
ta lấy lần lượt các
điểm M,NM,N sao cho
0
45MA N = . Đường thẳng
BD
cắt các đường
thẳng
,AM AN
tương ứng tại các điểm
,PQ
.
I. Tứ giác
ABMQ
nội tiếp; II tứ giác
ADNP
nội tiếp. Chọn kết luận đúng.
A. Cả
()I
và
()II
đều đúng. B. Chỉ
()I
đúng.
C. Chỉ
()II
đúng. D. Cả
()I
và
()II
đều sai.
Câu 22. Trên các cạnh
,BC C D
của hình vuông
ABCD
ta lấy lần lượt các
điểm
,MN
sao cho
0
45MAN =
. Đường thẳng
BD
cắt các đường
thẳng
,AM AN
tương ứng tại các điểm
,PQ
Năm điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn?
A.
,, , ,PQN M B
. B.
,, ,,PQNC M
. C.
,, ,,PQNC D
. D.
,, ,,PANCM
.
Câu 23. Cho đường tròn
()O
đường kính
AB
. Gọi
I
là trung điểm của
OA
. Dây
CD
vuông góc với
AB
tại
I
. Lấy
K
tùy ý trên cung
BC
nhỏ,
AK
cắt
CD
tại
H
. Khẳng định nào đúng?
A. Tứ giác
BIHK
nội tiếp. B. Tứ giác
BIHK
không nội tiếp.
C. Tứ giác
BIHK
là hình chữ nhật. D. Các đáp án trên đều sai.
Câu 24. Cho tam giác nhọn
ABC
nội tiếp đường tròn
()O
, các đường cao
,,( ; ; )AD BE CF D BC E AC F ABÎÎÎ
cắt nhau tại
H
. khi đó ta có:
A.
..BH BE BC BD=
. B.
..CH CF CD CB=
. C.
,AB
đều đúng . D.
,AB
đều sai.
Câu 25. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
và
B
điểm nằm giữa
A
và
B
. Đường tròn đường kính
BD
cắt
BC
tại
E
. các đường thẳng
,CD AE
lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai là
F
và
G
. Khi
đó, kết luận không đúng là:
A.
ABC E BDDD
∽
. B. Tứ giác
ADE C
là tứ giác nội tiếp.
C. Tứ giác
AFBC
không là tứ giác nội tiếp. D. Các đường thẳng
,AC DE
và
BF
đồng quy.
Câu 26. Cho tứ giác
ABCD
nội tiếp
()O
.
M
là điểm chính giữa cung
AB
. Nối
M
với
,DM
với
C
cắt
AB
lần lượt ở
E
và
P
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Tứ giác
PEDC
nội tiếp. B. Tứ giác
PEDC
không nội tiếp.
C. Tam giác
MDC
đều. D. Các câu trên đều sai.
Câu 27. Cho nửa
()O
đường kính
AB
. Lấy
(,)MOAM OAι
. Qua
M
vẽ đường thẳng
d
vuông góc
với
AB
. Trên
d
lấy
N
sao cho
ON R>
. Nối
NB
cắt
()O
tại
C
.
Kẻ tiếp tuyến
NE
với
()O
(
E
là
tiếp điểm,
E
và
A
cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ
d
) và
F
là giao điểm của
EC
và đường tròn
()O
.
Chọn
khẳng định sai?
A. Bốn điểm
,, ,OEMN
cùng thuộc một đường tròn. B.
2
.NE NC NB=
.
C.
NEH NME= (
H
là giao điểm của
AC
và
d
). D.
90NFO <
.
Câu 28. Cho nửa đường tròn tâm
O
, đường kính
2AB R=
. Đường thẳng qua
O
vuông góc
AB
cắt
cung
AB
tại
C
. Gọi
E
là trung điểm
BC
.
AE
cắt nửa
đường tròn
O
tại
F
. Đường thẳng qua
C
và vuông góc
AF
tại
G
cắt
AB
tại
H
. Khi đó góc
OGH
có số đo là:
A.
0
45
. B.
0
60
. C.
0
90
. D.
0
120
.
Câu 29. Cho hình vẽ, khi đó đáp án đúng là:
A.
0
70ADC =
. B.
0
80ADC = . C.
0
75ADC =
. D.
0
60ADC = .
Câu 30. Cho tam giác
ABC
cân tại
A
nội tiếp đường tròn
()O
và
(0 90 )A ¶<< = . Gọi
M
là một điểm tùy ý trên cung nhỏ
AC
vẽ tia
Bx
vuông góc với
AM
cắt tia
CM
tại
D
. Số đo góc
BDM là:
A.
2
AMD
=
. B.
0
90
2
AMD
=+. C.
0
45AMD =+
. D.
0
90
2
AMD
=-.
Câu 31. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
. Điểm
E
di động trên cạnh
AB
. Qua
B
vẽ một đường thẳng
vuông góc với
CE
tại
D
và cắt tia
CA
tại
H
. Biết
0
30BCA =
. So đó
ADH là:
A.
0
30 . B.
0
150 . C.
0
60 . D.
0
90 .
Câu 32. Tứ giác
ABCD
nội tiếp
()O
. Hai đường chéo
AC
và
BD
cắt nhau tại
I
. Vẽ đường tròn ngoại
tiếp tam giác
ABI
. Tiếp tuyến của đường tròn này tại
I
cắt
AD
và
BC
lần lượt
M
và
N
. Chọn câu
sai:
A.
// MN DC
. B. Tứ giác
ABNM
nội tiếp.
C. Tứ giác
MICD
nội tiếp. D. Tứ giác
INCD
là hình thang.
Câu 33. Cho tứ giác
ABCD
nội tiếp đường tròn tâm
O
bán kính bằng
a
. Biết rằng
AC BD^
. Khi đó
để
AB CD+
đạt giá trị lớn nhất thì.
A.
AC AB=
. B.
AC BD=
. C.
DB AB=
. D. Không có đáp án nào đúng.
Câu 34. Cho tam giác
ABC
không cân, nội tiếp đường tròn
()O
,
BD
là đường phân giác của góc
ABC . Đường thẳng
BD
cắt đường tròn
()O
tại điểm thứ hai là
E
. Đường tròn
1
()O
đường kính
DE
cắt đường tròn
()O
tại điểm thứ hai là
F
. Khi đó đường thẳng đối xứng với đường thẳng
BF
qua đường
thẳng
BD
cắt
AC
tại
N
thì:
A.
AN NC=
. B.
AD DN=
. C.
2AN NC=
. D.
2AN NC=
.
HƯỚNG DẪN
Câu 1. Đáp án D.
Vì tứ giác
ABCD
là tứ giác nội tiếp nên

BDC BAC= (hai góc nội tiếp cùng chắn cung
BC
)
180ABC ADC+=
(tổng hai góc đối bằng 180
)
DCB BAx=
(góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó).
Câu 2. Đáp án D.
+)
180BAD BCD+=
(tổng hai góc đối)
+)
ABD ACD= (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD)
+)
0
36
ˆ
ˆˆˆ
0ABC D+++=
(tổng 4 góc trong tứ giác).
Câu 3. Đáp án C.
Hình 2 sai vì
0000
115 75 190 1
ˆ
ˆ
80AC+= + = ¹
Hình 3 sai vì
00 0 0
92 85 177 1
ˆˆ
80CB+=+= ¹
.
Hình 5 sai vì
0000
50 50 100 1
ˆˆ
80DB+= + = ¹
.
Hình 4 đúng vì tứ giác này có
4
đỉnh cùng thuộc một đường tròn.
Câu 4. Đáp án B.
Ta có
0
90DBO = và
0
90DFO = ( tính chất tiếp tuyến).
Tứ giác
OBDF
có
00 0
90 90 180DBO DFO+=+=
nên nội tiếp được trong một đường tròn.
Câu 5. Đáp án A.
Xét tứ giác
AEHF
có:
0
ˆ
ˆˆ
90AE F===
Tứ giác
AEHF
là hình chữ nhật (dhnb).
Tứ giác
AEHF
là tứ giác nội tiếp (có tổng hai góc đối diện bằng
0
180 )
AFEAHE=
(hai góc cùng nhìn đoạn AE).
AHE ABH= (cùng phụ
BHE)
AF ( )EABC AHE= =
Xét tứ giác BEFC có:
AFE là góc ngoài tại đỉnh
F
và
().AFE ABC cmt=
BEFC
nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).
Câu 6. Đáp án C.
Tứ giác
ABCD
nội tiếp nên có:
0000
180 180 70 110DAB BCD BCD+==-=
Mà
0
180BCD BCM+=
(kề bù)
000
180 110 70BCM=-=
.
Câu 7. Đáp án A.
Có
0
90AHC = (CD vuông góc AB);
0
90AKC = (AK vuông góc CF)
0
AHC 180AKC+=
tứ giác AHCK nội tiếp phương án A đúng, B sai.
0
180EAO HCK+= (hai góc đối diện
phương án C sai.
Xét tam giác vuông
ADB
có
2
.AH AB AD= (hệ thức lượng trong tam giác vuông) nên phương án D
sai.
Câu 8. Đáp án B.
Ta có AB và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau
AB AC=
(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Xét tứ giác ABOC có:
()
()
AB AC cmt
OB OC R
ì
ï
=
ï
í
ï
==
ï
î
tứ giác ABOC chưa là hình thoi và không là hình bình
hành đáp án A, D sai.
Có
0
ABO 90= (do AB là tiếp tuyến của (O))
0
ACO 90= (do AC là tiếp tuyến của (O))
0
ABO 180ACO+=
tứ giác ABOC nội tiếp (dhnb).
Câu 9. Đáp án C.
Ta có
BCE DCF= (hai góc đối đỉnh). Đặt
xBCEDCF==
Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có:
00
40 (1); 20 (2)ABC x ADC x=+ =+
Lại có
0
180 (3)ABC ADC+=
(hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).
Từ
(1); (2)
và
(3)
ta nhận
0000
( 40 ) ( 20 ) 180 60xx x+++= =
Từ
(1)
ta có
00 0
60 40 100ABC =+=
.
Câu 10. Đáp án D.
Ta có
BCE DCF=
(hai góc đối đỉnh). Đặt
xBCEDCF==
Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có:
00
40 (1); 2 20()ABC x ADC x=+ =+
Lại có
0
180 (3)ABC ADC+=
(hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).
Từ
(1); (2)
và
(3)
ta nhận được
0000
( 40 ) ( 20 ) 180 60 60xx xBCE+++= = =
.
Do
,BCD BCE
là hai góc kề bù nên
0000
180 180 60 120BCD BCE BCD+= =-=
Ta lại có
,BAD BCD
là hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp nên
0000
180 180 120 60BAD BCD BAD+= =-=
Câu 11. Đáp án D.
Ta có
BCE DCF= (hai góc đối đỉnh).
Đặt
xBCEDCF==
Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có:
=+ =+
00
(1); )45 25 (2ABCx ADCx
Lại có
0
180 (3)ABC ADC+=
(hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).
Từ
(1); (2)
và
(3)
ta nhận được
0000
( 45) ( 25) 180 55.xx x+++= =
Từ
(1)
ta có
00 0
55 45 100ABC =+= .
Câu 12. Đáp án A.
Ta có
BCE DCF=
(hai góc đối đỉnh).
Đặt
xBCEDCF==
Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có:
0
0
45
2
(1)
5(2)
ABC x
ADC x
=+
=+
Lại có
0
180 (3)ABC ADC+=
(hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).
Từ
(1); (2)
và
(3)
ta nhận được
0000 0
( 45 ) ( 25 ) 180 55 55xx xBCE+++= = =
Do
,BCD BCE
là hai góc kề bù nên
0000
180 180 55 125BCD BCE BCD+= =-=
Ta lại có
,BAD BCD
là hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp nên
0000
180 180 125 55BAD BCD BAD+= =-=
Câu 13. Đáp án B.
Ta có
BCDD
là tam giác đều nên
0
60 (1).DCB =
Mặt khác
ABCD
là tam giác cân tại
A
có
0
120BAC = hơn nữa tổng ba góc trong một tam giác bằng
0
180 nên ta nhận được

0
0
30
180
(2)
ABXC
ACB
ACB ABC BAC
ACB
ì
ï
=
ï
ï
=
í
ï
ï
ï
î
=++
Từ
(1)
và
(2)
ta có
00 0
60 30 90 (3)DCA DCB BCA=+=+=
Chứng minh tương tự ta có
0
90 (4)ABD =
Từ
(3)
và
(4)
ta nhận được
00 0
90 90 180ABD DCA+=+=
Vậy tứ giác
ABD C
là tứ giác nội tiếp.
Câu 14. Đáp án C.
Theo đề bài ta có
90 90 90 180ABD ACD ABD ACD==+=+=

mà hai góc
;ABD ACD
ở vị trí đối nhau nên tứ giác
ABDC
là tứ giác nội tiếp nên đáp án B đúng.
+ Lại có
ABCD
cân tại
A
có

180 130
130 25
2
BAC ABC ACB
-
= = = =


+ Ta có
90 90 25 65BDC ABC BDC+==-=

Và

90 90 25 65BCD ACB BCD+==-=

Từ đó suy ra tam giác
BCD
cân tại
D
nên đáp án A đúng.
+ Xét tứ giác
ABDC
nội tiếp nên

180 180 180 130 50BAC BDC BDC BAC+==-=-=

nên D đúng.
Ta chưa đủ điều kiện để suy ra tứ giác
ABD C
là hình thoi nên C sai.
Câu 15. Đáp án D.
Xét tứ giác
IM HC
ta có:
0
90MIC =
(
MI
vuông góc với
AC
);
0
90MHC = (
MH
vuông góc với
BC
)
0
MIC 180MHC+ = tứ giác
IM HC
nội tiếp (dhnb).
Và tứ giác
IM HC
chưa đủ điều kiện để là hình chữ nhật và hình vuông.
Câu 16. Đáp án D.
Do tứ giác
ABCP
nội tiếp (vì có 4 đỉnh cùng thuộc đường tròn) và
,BAP BCP
là các góc đối nên
0
180 (1)BAP BCP+=
Do
ABCD
là hình bình hành nên
//CD AB
suy ra
0
180 (2)ABC BCP+=
Từ
(1)
và
(2)
ta nhận được
.BAP A BC=
Mặt khác
//CP AB
nên
ABCP
là hình thang cân. Đáp án A đúng.
Từ đó ta suy ra
(3)AP BC=
(Đáp án C đúng)
Do
BC AD=
(vì
ABCD
là hình bình hành)
(4)
Từ
(3)
và
(4)
ta suy ra
.AP AD=
Đáp án B đúng.
Vậy cả ba đáp án
,,ABC
đều đúng.
Câu 17. Đáp án A.
Tứ giác
AHCK
có
(
)
(
)
90 ; 90AHC AB CD AKC AK FC=^ = ^

nên
180AHC AKC+=
Tứ giác
AHCK
nội tiếp.
Câu 18. Đáp án D.
Xét tam giác
ADB
có
90ADB =
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
ADBD
vuông tại
D
Do đó
2
.AD AH AB= (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà
;AD BD AD AB¹<
nên phương án A, B, C sai.
Câu 19. Đáp án C.
Xét
()O
có

EAC EDC= (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Xét tứ giác nội tiếp
AHCK
có

KAC KHC=
nên

()EDC KHC KAC==
mà hai góc ở vị trí đồng vị
nên
//KH ED
Xét tam giác
CFD
có
//KH ED
mà
H
là trung điểm của
DC
( do
AB DC^
) nên
K
là trung điểm của
CF
Xét tam giác
ACF
có
AK
vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên
ACFD
cân tại
A
.
Câu 20. Đáp án D.
+) Ta có:
MDC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính
0
90MC MDC=
(tính chất góc
nội tiếp).
Xét tứ giác
ABCD
ta có:
Góc
BAC
và góc
BDC
cùng nhìn đoạn BC dưới góc
0
90 .
⇒
ABCD
là tứ giác nội tiếp (dhnb) phương án A đúng.
+) Xét tứ giác
ABCD
nội tiếp ta có
ABD ACD= (cùng nhìn đoạn
AD
phương án B đúng.
+) Xét đường tròn đường kính
MC
ta có
4
điểm
,,,MCDS
cùng thuộc đường tròn.
Tứ giác
MCSD
là tứ giác nội tiếp.
ADM SCM=
(góc ngoài tại
1
đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).
(1)
Vì tứ giác
ABCD
nội tiếp (cmt)
ACB ADB= (cùng nhìn đoạn
AB
)
(2)
Từ
(1)
và
(2)
()BCA ACS ADB= =
Hay
CA
là phân giác của
SCB
phương án C đúng.
+) Giả sử tứ giác
ABCS
là tứ giác nội tiếp
ASB BCA=
(hai góc cùng nhìn đoạn
AB
).
Mà
;ACB BDA BAD BSA=¹
(xét trong đường tròn đường kính
CM
)
ASB BCA¹ tứ giác
ABCS
không là tứ giác nội tiếp
Câu 21. Đáp án A.
Xét hình vuông
ABCD
có
45DBC BDC==
(tính chất)
Xét tứ giác
ABMQ
có
45QAM QBM==
mà hai đỉnh
A
và
B
cùng nhìn đoạn thẳng
MQ
nên
ABMQ
là tứ giác nội tiếp.
Xét tứ giác
APND
có

45PAN PDN==
mà hai đỉnh
A
và
D
cùng nhìn đoạn thẳng
PN
nên
APND
là tứ giác nội tiếp.
Câu 22. Đáp án B.
Từ kết quả câu trước ta suy ra
00
45 , 45ADP ANP QAM QBM== = =
,NP AM MQ AN^ ^
Tập hợp các điểm
,,PQC
nhìn đoạn
MN
dưới một
góc vuông, nên các điểm này nằm trên đường tròn đường kính
MN
.
Câu 23. Đáp án A.
Ta có:
AKB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)
0
90 ( / ).AKB t c=
Xét tứ giác
HKBI
ta có
90
180
90 ( { })
HKB
HKB HIB
HIB CD AB Ido ^=
ì
ï
=
ï
ï
+=
í
ï
=
ï
ï
î
Tứ giác
BKHI
là tứ giác nội tiếp
(dhnb) phương án A đúng, phương án B sai.
Lại có
0
90KBA < do
AKBD
vuông tại
KKBIH
không là hình chữ nhật.
phương án C sai.
Câu 24. Đáp án C.
Do
,AD BE
là các đường cao nên
0
90 .HDC HEC==
Do đó
00 0
90 90 180 .HDC HEC+=+=
Vậy tứ giác
DCEH
là tứ giác nội tiếp.
Các góc
,HED HCD
cùng chắn cung
HD
nên
(1).HED HCD=
Xét hai tam giác
,BDE BHCDD
có
HED HCD=
(theo
(1)
) và góc
EBC chung.
Do đó
.BD E BHCD~D
Từ đó ta nhận được ...
BD BE
BH BE BC BD
BH BC
= = Đáp án A đúng.
Chứng minh tương tự ta có
...CH CF CDCB=
Đáp án B đúng.
Câu 25. Đáp án C.
+) Xét đường tròn đường kính
BD
có góc
BED
là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
0
90 .BED=
Xét
ABCD
và
BEDD
ta có:
DBE chung
và
00 0
90 90 180DEC DAC+=+=
phương án A
đúng.
+) Xét tứ giác
ADE C
có:
00 0
90 90 180DEC DAC+=+=
Tứ giác
ADE C
là tứ giác nội tiếp (dhnb) Đáp án B đúng.
+) Chứng minh tương tự ta được tứ giác
AFBC
là tứ giác nội tiếp phương án C sai.
+) Gọi giao điểm của
BF
và
AC
là
H
.
Xét tam giác
BHC
có hai đường cao
CF
và
BA
cắt nhau tại
D
D
là trực tâm của tam giác
BHC
Mà
DE AB DE^
là đường cao của tam giác
BHC
hay
,,HED
thẳng hàng.
,DE A C
và
BF
đồng quy tại
H
phương án D đúng.
Câu 26. Đáp án A.
Theo đề bài ta có: M là điểm chính giữa cung AB nên
AM MB=
Xét đường tròn (O) có:
+)
MCD
là góc nội tiếp chắn cung
1
.(1)
2
DM MCD s DM=đ
+)
AED là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung
MB
và cung
AD
æöæö
÷÷
çç
= + = + =
÷÷
çç
÷÷
èøèø
đđ đđ đ
111
(2)
222
MCD s AD s M B s AD s MA s DM
Từ (1) và (2)
1
.
2
MCD AED s DM==đ
Xét tứ giác DEPC có:
()MCD AED cmt=
PEDC
nội tiếp (góc ngoài của một đỉnh bằng góc trong
của đỉnh đối diện).
Câu 27. Đáp án D.
+) Vì
90NEO NMO NEMO==
là tứ giác nội tiếp nên bốn điểm
,, ,OEMN
cùng thuộc một
đường tròn
Phương án A đúng.
+)
1
2
NEC CBE==
số đo cung
()
NE NC
CE NEC NBE g g
NB NE
DD-=∽
2
.NB NC NE= Phương án B đúng.
+) Hai tam giác vuông ()
NC NH
NCH NMB g g
NM NB
DD- =
∽
..
NC NH
NC NB NH NM
NM NB
= =
Từ đó
()NEH NME c g c NEH EMNDD-- = ∽
Phương án C đúng.
+)
EMN EO N= (tứ giác
NEM O
nội tiếp)
NEH NOE=
Mà góc
ENO
phụ với góc
EON
nên góc
EON
cũng phụ với góc
NEH EH N O^
OEFD
cân có
ON
là phân giác
EON NOF NEF NOF==
nên tứ giác
NEOF
nội tiếp
180 90NFO NEO=-=

Phương án D sai.
Câu 28. Đáp án A.
Theo giả thiết ta có
,OC AB CG AG^^
nên ta suy ra
0
90 .AOC AGC==
Nói cách khác
,OG
cùng nhìn
AC
dưới một góc vuông.
Do đó tứ giác
ACG O
nội tiếp đường tròn đường kính
AC
nên
.OGA OCA=
Mà
OACD
vuông cân tại
O
nên
0
45 .OCA = Suy ra
0
45 .OGA = Ta lại có
00000
90 90 90 45 45 .OGH OGA HGA AGC OGH OGA+= = = =-=-=
Do đó
0
45OGH = .
Câu 29. Đáp án B.
Do tứ giác
ABCD
nội tiếp đường tròn tâm
,O
nên ta có
CAD CBD= (cùng chắn cung
CD
).
Do đó ta có
0
40 .CAD = Tổng ba góc trong một tam giác bằng
0
180
Nên:
++ =
0
180CAD ACD ADC
=-+ =-+=
00000
180 ( ) 180 (40 60 ) 80 .ADC CAD ACD
Câu 30. Đáp án A.
Xét tam giác ABC cân tại A và
00
00
ˆ
180 180
60 90 .
22 2
ˆ
ˆˆ
A
ABC
¶¶--
=== = =-
Ta có tứ giác AMCB là tứ giác nội tiếp (4 điểm
,,,AM BC
cùng thuộc
()O
).
¶¶
æö
÷
ç
÷
=-=--=+==-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
0000 0
180 180 90 90 90
22 2
AMC ABC DMA ABC
(tính chất tứ giác nội tiếp).
Gọi I là giao điểm của AM vàBD
DMID
vuông tạiI .
000
90 90 90 .
22
BDM AMD
¶¶
æö
÷
ç
÷
=-=--=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Câu 31. Đáp án A.
Xét tứ giác ACBD ta có:

0
90BAC BDC== và cùng nhìn đoạn BC.
Tứ giác ACBD là tứ giác nội tiếp (dhnb).
0000
180
180 180 30 150 .
BDA B CA
BDA BCA
+=
=-=-=
Có góc
HDA và
BDA kề bù nên
00
180 30HDA BDA=- =.
Câu 32. Đáp án C.
Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI ta có:
BAI là góc nội tiếp chắn cungBI .
BIN
là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung
BI
.

BAI BIN=
(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BI ).
Xét đường tròn
()O
ta có:

BDC BAC=
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung
BC
).
()BIN BDC BAC= =
Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị
(
)
// // .IN CD hay MN CD dpcm
đáp án A đúng.
+) Xét tứ giác ABNM ta có:
( )BAI BIN cmt= tứ giác ABNM là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại 1
đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).
Đáp án B đúng.
+) Ta có:
(
)
//IN CD cmt INCD
là hình thang đáp án D đúng.
Câu 33. Đáp án B.
Vẽ đường kính
CE
của đường tròn
()O
Ta có

00
90 , 90EAC EDC==
(góc nội tiếp chắn đường kính
EC
).
Từ đó ta có
.AE AC^
Mặt khác theo giả thiết
.AC BD^
Kéo theo
// .AE BD
Vậy
AED B
là hình
thang.
Do hình thang
AEDB
nội tiếp
()O
nên nói phải là hình thang cân.
Kéo theo
AB DE=
(các cạnh bên hình thang cân).
Từ đó ta có
22 2 2 2 22
(2 ) 4AB C D DE DC EC a a+=+ = = =
(do
EDCD
vuông tại
).D
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho
22
(, )AB BD
ta có
22 22 22
2
2. 2( ) 2.
().
AB BD AB CD AB BD AB BD ABCD
AB CD
+³ + ³++
=+
Kéo theo
222
()2(4)8 22.AB CD a a AB CD a+£ =+£
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.AB CD=
Xét tam giác
,ABI DCIDD
có
,AB CD=
ABD ACD=
(góc nội tiếp cùng chắn cung
),AD
BAC DCB=
(góc nội tiếp cùng chắn cung
).BC
Do đó
(...)ABI DCI g c gDD=
Kéo
theo
,.AI ID IB IC==
Suy ra
.AC AI IC ID IB BD=+=+=
Câu 34. Đáp án A.
Gọi
M
là trung điểm của
.AC
Do
E
là điểm chính giữa cung
AC
nên
.EM AC^
Do đó
EM
đi qua tâm của đường tròn
().O
Giả sử rằng
0
90 ,DFE =
nên
0
90 ,GFE = hay
GE
là đường kính của
().O
Suy ra
,,GME
thẳng hàng.
Vì vậy
0
90 ,GBE =
mà
0
90 .GM D =
Kéo theo tứ giác
BDMG
là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính
.GD
Vì vậy
(1)MBD DGM FGE==
(cùng chắn cung
)DM
Lại có tứ giác
BFEG
là tứ giác nội tiếp nên
(2)FBE FGE=
( cùng chắn cung
FE
).
Từ
(1)
và
(2)
ta suy ra
.MBD FBE= Do đó
BF
và
BM
đối xứng nhau qua
.BD
Vì vậy
MNº
hay
N
là trung điểm của
AC
nên
AN NC=
.
D.PHIẾU BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
Cho hai đường tròn
()O
và
()O
¢
cắt nhau tại A và B . Vẽ các đường kính AC và AD
a) Chứng minh rằng
,,BC D thẳng hàng
b) Đường thẳng
d
di động qua
A
cắt
(),( )OO
¢
lần lượt tại
,EF
(
,EF
khác
A
,
A
nằm giữa
,EF
)
1)
Chứng minh rằng
BEFD
∽
ACDD
2)
Xác định vị trí d để chu vi tam giác BEF lớn nhất, diện tích tam giác BEF lớn nhất.
Bài 2: ,,AB BC CA là ba dây cung của đường tròn
()O
. Từ trung điểm M của cung AB ta vẽ dây
MN BC
. Gọi S là giao điểm của MN và AC .
Chứng minh rằng
SM SC= và SN SA= .
Bài 3: Cho đường tròn
()O
, hai đường kính AB , CD vuông góc nhau. M là điểm trên cung AC , tiếp
tuyến tại
M cắt CD tại E .
Chứng minh rằng
2MED MBA= .
Bài 4: Cho điểm A ở ngoài đường tròn
(; )OR
. Vẽ các cát tuyến ,ABC ADE đến đường tròn
(, , , ())BC DE OÎ
Chứng minh rằng
22
..AB AC AD AE OA R==-
Bài 5: Cho điểm A nằm trong đường tròn
(; )OR
(A khác O ). ,BC DE là hai dây cung qua A .
Chứng minh rằng:
22
..AB AC AD AE R OA==-
Bài 6: Cho tam giác nhọn
ABC
nội tiếp đường tròn
(; )OR
có đường cao
AH
và đường phân giác
AD
cắt đường tròn
()O
ở E . Vẽ đường kính AF . I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
Chứng minh rằng:
a)
HABD
∽
CAFD c)
sin sin sin
AB BC AC
CAB
==
b)
..
4
ABC
AB AC BC
S
R
=
d) EB EI EC==
e)
2
..AB AC DB DC AD-=
Bài 7: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn
(; )OR
. M là điểm nằm trên cung nhỏ BC . Trên đoạn
thẳng
MA lấy điểm D sao cho MD MB= .
a) Chứng minh rằng
MBDD đều
b) Chứng minh
MA MB MC=+
c) Xác định vị trí điểm
M để
MA MB MC++
lớn nhất, nhỏ nhất
Bài 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn
(; )OR
. ,,DEF lần lượt là chính giữa của các cung
,,AB BC CA . DE và EF cắt AB và AC lần lượt ở ,MN
Chứng minh rẳng:
a)
MN BC
b)
MN đi qua tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC
d
F
E
D
C
B
A
O'
O
Bài 9: Từ một điểm
A
ở ngoài đường tròn
()O
kẻ các tiếp tuyến ,AB AC tới đường tròn
()O
. Qua điểm
X
thuộc dây
BC
, kẻ đường thẳng
KL
vuông góc
XO
. (
K
và
L
lần lượt) nằm trên
AB
và
AC
).
Chứng minh
KX LX= .
Bài 10: Trên cạnh
CD
của hình vuông
ABCD
, lấy một điểm
M
, vẽ đường tròn tâm
O
đường kính
AM
.
Gọi
E là giao điểm của đường tròn tâm
()O
¢
đường kính CD . Hai đường tròn cắt nhau tại điểm thứ hai
N
. Tia
DN
cắt
BC
tại
P
. Chứng minh rằng:
a) Ba điểm
,,ENC thẳng hàng
b)
CA MP^
Bài 11: Cho đường tròn
()O
, M là điểm ở ngoài
()O
, hai tiếp tuyến MA và MB (A ,B là hai tiếp
tuyến),
C là một điểm trên đường tròn tâm M bán kính MA và nằm trong đường tròn
()O
. Các tia AC
và
BC cắt đường tròn
()O
lần lượt tại E và D .
Chứng minh ba điểm
,,DOE thẳng hàng.
Bài 12: Cho tam giác đều
ABC
, đường cao
AH
. Trên cạnh
BC
lấy một điểm
M
hạ
MP AB^
và
MQ AC^ . Gọi O là trung điểm của AM .
a) Chứng minh năm điểm
,, , ,AP M HQ cùng thuộc một đường tròn
b) Tứ giác
OPHQ là hình gì? Chứng minh.
c) Xác định vị trí điểm
M trên BC để PQ nhỏ nhất.
Bài 13: Cho đường tròn
()O
và điểm P cố định ở bên trong đường tròn (khác O ). Hai dây AD và CD
thay đổi qua
P và vuông góc với nhau. M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC .
Chứng minh rằng:
MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 14: Trên các cạnh ,AB BC của tam giác ABC dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông
12
ACA A
và
12
BCB B . Chứng minh rằng các đường thẳng
11 22
,,AB A B A B đồng quy.
Bài 15: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AC , một dây AB cố định, M là điểm bất kỳ thuộc cung
AB . Gọi K là trung điểm của đoạn MB . Từ K hạ KB AM^ .
a) Chứng minh rằng: khi
M di động trên AB thì đường thẳng KP luôn đi qua một điểm cố định.
b) Tìm quỹ tích các điểm
K khi M di động trên cung AB .
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1:
a)
0
90ABC =
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
AB BC^
Tương tự có
AB BD^
Suy ra
,,BC D thẳng hàng.
b) 1) Xét
BEFD và ACDD có:
BEF ACD=
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB
S
M
C
B
N
A
O
M
ED
C
A
O
của đường tròn
()O
)
BEF ACD= (hai góc nội tiếp cùng chắn cung
AB
của đường tròn
()O
¢
)
Do đó
BEFD
∽
ACDD
2) *
BEFD
∽
ACDD
()
()
CV BEF BE
CV ACD AC
=
()
() .
CV ACD
CV BEF BE
AC
=
,
()CV ACD
AC
không đổi
Do đó:
()CV BEF
lớn nhất
BE
lớn nhất
BE
là đường kính của đường tròn
()O
0
90BAE d AB=^ tại A
Vậy khi
d vuông góc với AB tại A thì chu vi tam giác BEF lớn nhất.
*
BEFD
∽
ACDD
2
BEF
ACD
S
BE
SAC
æö
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
2
2
.
ACD
BEF
S
SBE
AC
=
,
2
ACD
S
AC
không đổi
BEF
S
lớn nhất
2
BE
lớn nhất
BE
lớn nhất
BE là đường kính của đường tròn
()O
0
90BAE d AB=^
tại
A
Vậy khi
d vuông góc với AB tại A thì diện tích tam giác BEF lớn nhất.
Bài 2:
Ta có:
MN BC
(gt)
MB NC=
Mà
AM MB= (gt)
Do đó:
AM NC=
Suy ra:
ACM NMC= (hai góc nội tiếp chắn hai cung
bằng nhau)
Do đó SMCD cân tại SSMSC=
Chứng minh tương tự cũng có
SN SA= .
Bài 3:
MBA
là góc nội tiếp;
0
90MBA £
M
N
E
D
C
B
A
O
N
M
E
D
C
B
A
O
F
E
HD
C
B
A
O
1
2
MBA MOA=
2MOA MBA=
Mà
MOA MED= (hai góc cùng phụ với góc
EOM
)
Do đó:
2MED MBA=
.
Bài 4:
Xét
ACDD
và
ABED
có
CAD
chung
ACD AEB=
(Hai góc nội tiếp chắn cung
BD )
Do đó
ACDD
∽
AEBD
AC AD
AE AB
=
..AB AC AD AE=
OA
cắt đường tròn
()O
tại ,MN (
M
nằm giữa
O
và
A
)
Chứng minh tương tự trên có:
..AB AC AM AN=
Mà
.( ).( )AM AN OA MA OA ON=- +
22
()()OA R OA R OA R=- +=-.
Bài 5:
Xét
ACDD
và
AEBD
có:
ACD AEB=
(Hai góc nội tiếp chắn cung
BD )
ACD EAB=
(đối đỉnh)
Do đó
ACDD
∽
AEBD
AC AD
AE AB
=
..AB AC AD AE=
AO
cắt đường tròn
()O
tại ,MN (
A
nằm giữa
O
và
M
)
Chứng minh tương tự trên có:
..AB AC AM AN=
Mà
.( ).( )AM AN OM OA ON OA=- +
22
()()ROAROA R OA=- + =- .
Bài 6:
a)
0
90ACF =
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét
HABD và CAFD có:
0
(90)AHB ACF==
HBA CFA=
(Hai góc nội tiếp chắn cung AC )
Do đó
HABD
∽
CAFD
b)
HABD
∽
CAFD
AB AH
AF AC
=
E
..
2
AB AC AB AC
AH
AF R
= =
1..
.
24
ABC
AB AC BC
SAHBC
R
==
a)
ACFD vuông tại C , ta có:
sinAC AF AFC=
2sinAC R B= (vì
AFC B=
)
2
sin
AC
R
B
=
Chứng minh tương tự có:
2
sin sin
AC BC
R
CA
==
Do đó:
sin sin sin
AC BC AC
CAB
==
b)
BAE EAC BEB EC EB EC===
Mặt khác:
BIE BAI BAI=+ (BIE là góc ngoài của tam giác ABI )
IBE EBC CBI=+
,IBE EBC ABI CBI==
Do đó:
BIE IBE EIB=D cân tại
EEBEI=
Do đó:
EB EI EC==
c)
Xét ABDD và AECD có:
,BAD EAC ABD AEC==
(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung
AC )
Do đó
ABDD
∽
AECD
..
AB AD
AB AC AD AE
AE AC
= =
Xét
DABD và DCED có:
ABD CDE=
(đối đỉnh)
DAB DCE=
(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung
BE )
Do đó
DABD
∽
DCED
..
AD DB
DB DC AD DE
DC DE
= =
Do đó
.. ..AB AC DB DC AD AE A D DE-=-
2
()AD AE DE AD=-=.
D
M
C
B
A
O
N
M
F
E
D
I
O
C
B
A
Bài 7:
a)
0
60BMD BCAD==
(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung
AB
)
MBDD cân tại M (vì MB MD= ) (gt)
Có
0
60BMD MBD=D đều
b)
MNDD đều
0
,60MB BD MD MBD== =
Xét
MBCD
và
DBAD
có:
MB BD= ,
BC BA= ( ABCD đều)
0
(60 )MBC DBA ABC==-
Do đó:
MBC DBAD=D
(c.g.c)
MC DA=
Ta có:
MA MC MD DA MA-=+=
c)
MA MB MC=+
Do đó
2MA MB MC M A++ =
MA MB MC++
lớn nhất
MA
lớn nhất
MA
là đường kính của đường tròn
()O
M
là trung điểm của BC
Vậy khi
M là trung điểm của BC thì:
MA MB MC++
lớn nhất
Mặt khác, xét ba điểm
,,MBC có:
MB MC BC+³
Do đó:
2( ) 2MA MB MC M B M C BC++ = + ³
, không đổi
Dấu “=” xảy ra
MBº hoặc MCº
Vậy khi
M trùng B hoặc MCº thì
MA MB MC++
nhỏ nhất
Bài 8:
a)
AD DB= (gt)
AED BED=
Xét
EABD có EM là đường phân giác nên:
MA AE
MB BE
=
(1)
Tương tự:
NA AE
NC CE
=
(2)
Mà
BE CE= (vì BE CE= ) (3)
Từ (1), (2) và (3) có:
MA NA
MB NC
=
L
X
K
C
B
A
O
M
N
P
D
C
E
BA
O'
O
Xét ABCD có
MA NA
MB NC
=
, theo định luật Ta-lét đảo có
MN BC
b)
Gọi I là giao điểm BF và CD ta có I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
EBID cân tại E có ED là đường phân giác nên là đường trung trực của BI .
MI MB MBI= D
cân tại
M
MIB MBI=
Mà
MBI IBC=
Nên
MIB IBC MI BC=
Ta có
,,,MI BC MN BC M I N
thẳng hàng.
Vậy
MN đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
Bài 9:
Ta có:
0
90ABO =
(AB là tiếp tuyến của
()O
) và
0
90KXO =
(gt)
X
và B nằm trên đường tròn đường kính OK
OBX OKX=
(góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Chứng minh tương tự:
OLX OCX=
lại có OBCD cân
()OB OC=
OBX OCX=
Vậy:
OKX OLX=
OKLD
cân có
OX
là đường cao cũng là đường trung tuyến
Vậy
KX LX= .
Bài 10:
a) Ta có D là giao điểm thứ nhất của
()O
và
()O
¢
Dễ thấy
AEMD là hình chữ nhật và ED là đường kính của
()O
Nên
0
90END =
(góc nội tiếp chắn nửa cung đường tròn)
Mặt khác
CD là đường kính của
()O
¢
nên
0
90DNC =
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
0
180END DNC+= hay ba điểm
,,ENC thẳng hàng.
Ta có
AEMD là hình chữ nhật
AECM
là hình chữ nhật
EB CM=
(1)
Xét
CBED và CDPD có
BCE CDP= (hai góc cùng phụ với góc DPC )
0
;90CB DC B C===
(gt)
c
D
E
B
A
M
O
KQ
P
HM
CB
A
O
Do đó:
CBE DCPD=D
(g.c.g)
EB CP=
(2)
Từ (1) và (2)
CM CP=
hay
PCMD
cân có
CA
là đường phân giác
CA
cũng đồng thời là đường cao.
Vậy
CA MP^ .
Bài 11:
Trong đường tròn
()O
ta có:
1
2
ABD AOD=
Mặt khác trong đường tròn
()M
có:
1
2
ABC AMC=
(góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng
chắn một cung).
AMC AOD= (1)
Tương tự ta có:
BMC BOE=
(2)
Do
MA và MB là tiếp tuyến của
()O
nên:
0
90MAO MBO==
Hay
0
180MAO MBO==
0
180AMB AOB+=
Hay
0
180AMC BMC A OB++=
(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
0
180AOD BOE AOB++=
Vậy ba điểm
,,DOE thẳng hàng.
Bài 12:
a) Ta có:
0
90APM AHM AQM===
Ba điểm ,,PHQ nằm trên đường tròn đường kính AM hay năm điểm ,, , ,AP M H P cùng thuộc một
đường tròn.
b)
APMD vuông có PO là đường trung tuyến
PO A O MO==
AQMD có QO là đường trung tuyến
QO AO MO PO QO== =
Trong
AHMD vuông có: HO là đường trung tuyến
HO AO MO==
P
N
M
D
C
B
A
O
3
2
1
Từ đó:
HO PO=
Do
,, ,AP M H cùng thuộc đường tròn tâm O .
Nên
2POH PAH=
(góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm)
Mà
0
30PAH = (
ABCD
đều,
AH
là đường cao nên vừa là đường phân giác)
Do đó:
00
2.30 60POH ==
POHD có PO HO= và
0
60POH =
Nên
POHD
đều
PO PH=
Chứng minh tương tự ta có:
QOHD
đều và
QO QH=
Tứ giác
OPQH có các cạnh liên tiếp bằng nhau
OP PH HQ QO=== nên là hình thoi.
c)
Nối P và Q ta có:
PQ OH^ tại K và
2
PQ
KP KQ==
2
OH
KO KH==
(Do tính chất đường chéo hình thoi)
PKOD vuông theo định lí Py-ta-go ta có:
22
222
24
AM AM
PK PO KO
æöæö
÷÷
çç
÷÷
=-= -
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
22 2
11 3
416 16
AM AM AM=- =
333
422
PK AM PQ AM AH= = ³
không đổi
Dấu “=” xảy ra
MHº
Vậy
PQ nhỏ nhất khi MHº .
Bài 13:
Giả sử PM cắt CB tại
M
¢
Ta có:
BCD BDA=
(góc nội tiếp cùng chắn
BD )
1
PAM P= ( AMPD cân vì MP MA MD==)
Do đó:
1
BCD P=
Ta còn có:
23
PP= (đối đỉnh)
Mà
0
12 3
190PP vCP+=+= hay MP CB^
Mặt khác:
ON CB^ (đường kính qua trung điểm của dây cung)
Vậy
MP ON
B
C
A
B
1
B
2
A
2
A
2
I
C
K
P
M
B
A
O
Tương tự:
NP OM
Do vậy tứ giác
PMON
là hình bình hành
OP
và MN cắt nhau tại trung điểm I của PO hay MN đi qua I cố định.
Bài 14:
Trường hợp 1:
=
0
90C
. Rõ ràng
11 22
,,AB A B A B
đồng quy tại C .
Trường hợp 2:
0
90C ¹
Các đường tròn ngoại tiếp hình vuông
12
ACA A
và
12
BCB B
Có điểm chung c sẽ cắt nhau tại
M
(khác
C
)
Ta có:
0
2
45AMA =
(góc nội tiếp chắn cung một phần tư đường tròn)
0
22
90AMC AAC== (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Tương tự:
0
1
45CMB =
Vì tia
2
MA
nằm giữa hai tia
MA
và
MC
,
tia
MC nằm giữa hai tia MB và
2
MA
nên
000 0
22 1
45 90 45 180AMA A MC CMB++=++=
hay
,,AM B thẳng hàng.
Chứng minh tương tự
1
,,AMB
và
22
,,AMB
thẳng hàng
Vậy
11
,AB A B
và
22
AB
cùng đi qua M
Hay
11
,AB A B
và
22
AB
đồng quy.
Bài 15:
a) CM AM^ (
0
90MAC =
góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
KP AM^ (gt)
KP CM
Gọi
I
là giao điểm của
PK
và
BC
.
Ta có:
PI CM
mà KB KM= .
Vậy
KI là đường trung bình của MBCD
IB IC=
,BC cố định
I
cố định
Vậy
PK luôn đi qua điểm I cố định.
b)
Ta có:
0
90 , ,OKB O B=
cố định
M di động trên cung AB
K
thuộc một phần cung tròn đường kính OB ./.
| 1/51
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

GÓC NỘI TIẾP
A.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Góc
BAC có đỉnh A nằm trên đường tròn và hai cạnh AB, AC là hai dây cung được gọi là góc nội tiếp
Cung BC nằm bên trong được gọi là cung bị chắn.  1 
sd BAC sd BC (số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn). 2
Tính chất: Trong một đường tròn:
* Các góc nội tiếp bằng nhau thì chắn các cung bằng nhau.
* Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
* Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90°) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
* Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
B.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau. Tính số đo góc.
Bài 1: Cho nửa đường tròn O đường kính AB và dây AC . N là điểm chính giữa cung CB. Chứng minh rằng   CAN  NAB
Bài 2: Cho đường tròn O đường kính AB và một cung AM có số đo nhỏ hơn 90 . Vẽ các dây
MC  AB, MD / /AB . Chứng minh rằng   DMB  ADC Bài 3: Cho AB 
Cnhọn nội tiếp đường tròn O có đường cao AH . Chứng minh rằng   BAH  OAC .
Bài 4: Cho lục giác ABCDEF có các đỉnh thuộc đường tròn O . Biết AB / /DE, BC / EF.chứng minh rằng   ADC  DAF.
Bài 5: Cho tam giác ABC AB AC nội tiếp đường tròn (O), đường trung tuyến AM. Lấy điểm D trên cung
BC không chứa A sao cho  
BAD CAM . Chứng minh rằng  
ADB CDM . Bài 6: Cho AB 
Cnhọn nội tiếp đường tròn O đường kính BD. Biết 
BAC  45 . Tính số đo của góc  CBD Bài 7: Cho AB  Cnhọn có 
BAC  60 . Vẽ đườn tròn đường kính BC tâm O cắt AB, AC lần lượt tại D và E. tính số đo góc  ODE Bài 8: Cho AB 
C nội tiếp O . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx sao cho   xBA  A . Tính sô đo góc  OBx
Bài 9: Tính góc Acủa tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), biết 
IOK  90 , trong dó I là tâm đường tròn nội
tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A.
Dạng 2: Tính độ dài, tính diện tích.
Bài 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Clà trung điểm của OB. Gọi D, E là các điểm thuộc nửa đường tròn sao cho  
ACD BCE  90 . Biết CD CE a . Tính DE theo a.
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 1dm,  o  o
B  45 ,C  15 . Tính dộ dài AC, BC, AB
và diện tích tam giác ABC .
Bài 3: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi K là trung điểm của OC. Gọi
M là giao điểm thứ hai của BK với đường tròn (O), I là giao điểm của MD và AB. Tính diện tích : a)Tam giác MAB; b)Tam giác MIK.
Dạng 3: Bài toán dựa hệ quả của góc nội tiếp chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Bài 1: Cho đường tròn O đường kính AB và một cung AM có số đo nhỏ hơn 90 . Vẽ các dây
MC  AB, MD / /AB . Chứng minh rằng ba điểm C, O, D thẳng hàng.
Bài 2: Cho đường tròn O đường kính AB . Vẽ đường tròn K tiếp xúc với đường tròn O tại C. Các dây
CA, CB cắt đường tròn K lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng E, K, F thẳng hàng.
Bài 3: Cho đường tròn O đường kính AB . Điểm M chuyển động trên O , M  A, M  B . Kẻ MH  AB .
Kẻ đường tròn O đường kính MH cắt đường thẳng MA và MB tại C và D. Chứng minh rằng C, D,O thẳng 1  hàng. Bài 4: Cho AB  C nhọn có 
BAC  45 nội tiếp đường tròn O . Các đường cao BH,CK cắt đường tròn O
lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng D, O, E thẳng hàng .
Dạng 4: Bài toán dựa vào định lí, tính chất góc nội tiếp chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC AB AC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là
giao điểm thứ hai củaAH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC ởI. Chứng
minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC AB AC , trực tâm H. Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm của BC.
Tia phân giác của góc BAC cắt IM ở K. Chứng minh rằng  AKH  90 . 
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc Acắt BCởD và cắt đường tròn (O) ở M
(khác A). Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn M ; MB ,K là tiếp điểm. Chứng minh rằng DK vuông góc với AM.
Bài 4: Cho hai đường tròn O và O’ cắt nhau ở A và B , O nằm trên đường tròn O’ . Dây AC của O cắt
O’ở D, dây OE của O’cắt O ở F như trên hình. Chứng minh rằng: OD ⊥ BC Bài 5: Cho AB 
C nội tiếp O . Tia phân giác góc 
BACcắt đường tròn O tại D. đường tròn D,DB cắt
đường thẳng AB tại Q (khác B), cắt đường thẳng AC tại P (khác C). Chứng minh rằng AO  PQ
Bài 6: Trong đường tròn O có dây AC và BD vuông góc với nhau tại E . Gọi M là trung điểm BC . Chứng minh rằng IM  AD .
Bài 7: Cho đường tròn O , đường kính AB . S là một điểm nằm bên ngoiaf đường tròn. SA và SB lần lượt
cắt đường tròn tại M , N . Gọi H giao điểm của BM và AN . Chứng minh rằng SH  AB .
Dạng 5:Nâng cao phát triển tư duy
Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm tam giác ABC, K
là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC
ở I. Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn của hai đường tròn
tiếp xúc với (O) tại A, tiếp xúc với (O’) tại B. tiếp tuyến của đường tròn (O) tại P cắt (O’) tại điểm thứ
hai D khác P, đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại R. Chứng minh rằng: a)  
QAR QBR ; b) Tam giác BPR cân;
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB và RB.
Bài 3. Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và một cát tuyến MCD. Gọi I là giao IC MC
điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:  . ID MD
Bài 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), BE và CF là các đường cao. Các tiếp
tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại S, các đường thằng BC và OS cắt nhau tại M. AB BS a) Chứng minh rằng:  . AE ME
b) Chứng minh rằng: AEM ∽ ABS .
c) Gọi N là giao điểm của AM và EF, P là giao điểm của AS và BC. Chứng minh rằng NP vuông góc với BC. Bài 5. Cho A
BC vuông tại A, đường cao AH và đường tròn (O) ngoại tiếp H
AC . Gọi D là điểm đối
xứng của B qua H, nối A với D cắt đường tròn (O) tại E. Chứng minh:
a) CH là tia phân giác của góc ACE. b) HO//EC .
Bài 6. Cho hình vuông ABCD; M là điểm tùy ý thuộc cạnh CD. Hai đường tròn đường kính CD và AM
cắt nhau tại N (khác D). Gọi K là giao điểm của DN và BC. Chứng minh AC vuông góc KM.
Bài 7. Gọi CA, CB lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R) với A, B là các tiếp điểm. Vẽ đường
tròn tâm I qua C và tiếp xúc với AB tại B. Đường tròn (I) cắt đường tròn (O) tại M. Chứng minh rằng
đường thẳng AM đi qua trung điểm của BC.
Bài 8. Cho (O; R) và một tiếp tuyến xy tại A của (O; R). Trên tiếp tuyến lấy điểm C (Khác A). Gọi B là
trung điểm của AC. Qua C vẽ đường thẳng cắt (O) tại E, M (theo thứ tự C, E, M). Tia BE cắt (O) tại F
và tia CF cắt (O) tại N. Chứng minh: MN //AC .
Bài 9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dựng CD là tiếp tuyến chung của (O) và (O’)
sao cho C thuộc (O), D thuộc (O’) và B nằm trong tam giác CDA. Đường thẳng CB cắt (O’) tại M.
Chứng minh tia AD là phân giác của góc CAM.
Bài 10. Cho hình bình hành ABCD, góc A < 90o . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. Chứng
minh rằng BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB.
Bài 11. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại điểm P.
Trên cung nhỏ BC, lấy điểm K (K khác B và C). Đường thẳng PK cắt đường tròn (O) lần thứ hại tại Q. Phân giác góc 
KBQ cắt KQ tại I.
a) Chứng minh rằng CI là tia phân giác  KCQ ;
b) Giả sử đường thẳng AK đi qua trung điểm M của cạnh BC. Chứng minh rằng AQ//BC .
Bài 12. Chứng minh rằng từ 2015 điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn luôn chọn được ít nhất
1008 điểm mà 3 điểm bất kỳ trong đó là các đỉnh của một tam giác tù.
Bài 13. Cho hình vuông ABCD với tâm O. Gọi M là trung điểm AB. Các điểm N, P thuộc BC, CD sao cho
MN //AP . Chứng minh rằng:
1. Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP và  45o NOP  .
2. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC.
3. Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy.
Bài 14. Cho đoạn thẳng AC có độ dài bằng a. Trên đoạn AC lấy điểm B sao cho AC = 4AB. Tia Cx vuông
góc với AC tại điểm C, gọi D là một điểm bất kỳ thuộc tia Cx (D không trùng với C). Từ điểm B kẻ
đường thẳng vuông góc với AD cắt hai đường thẳng AD và CD lần lượt tại K, E.
a) Tính giá trị DC, CE theo a.
b) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ nhất.
c) Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên tia Cx thì đường tròn đường kính DE luôn có một dây cung cố định. HƯỚNG DẪN GIẢI
Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau. Tính số đo góc.
Bài 1: Cho nửa đường tròn O đường kính AB và dây AC . N là điểm chính giữa cung CB. Chứng minh rằng   CAN  NAB
Lời giải: ( h 1.1). C N 1 Ta có  
CAN  CN ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 2  1 
NAB  NB ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 2 A B O Lại có   CN  NB.    CAN  NAB . hình 1.1
Bài 2: Cho đường tròn O đường kính AB và một cung AM có số đo nhỏ hơn 90 . Vẽ các dây
MC  AB, MD / /AB . Chứng minh rằng   DMB  ADC . Lời giải: ( h 1.2) Ta có  
AB  MC  MA  AC ( đường kính vuông góc M D với một dây). Ta lại có:  
MD / /AB  MA  DB ( hai cung chắn giữa hai A B O dây song song).    AC  DB   
 MA  ADC  DMB( góc nội tiếp chắn C hai cung bằng nhau). hình 1.2 Bài 3: Cho AB 
Cnhọn nội tiếp đường tròn O có đường cao AH . Chứng minh rằng   BAH  OAC . Lời giải: ( h 1.3) A Dựng đường kính AD  1  Ta có    CAD  CBD  DC 
 . ( góc nội tiếp cùng chắn một  2  cung ). O Lại có  
BAH  DBC ( hai góc có các cạnh tương ứng vuông góc ). H B C    
 BAH  DAC  BAH  OAC . D hình 1.3
Bài 4: Cho lục giác ABCDEF có các đỉnh thuộc đường tròn O . Biết
AB / /DE, BC / EF.chứng minh rằng   ADC  DAF. Lời giải: ( h 1.4) E D Do   BC / /EF  EDC  FAB    EAC  BDF   AB / /ED  AEF  BCD    BFD  ACE O Do đó BFD  ECAg.g F C Suy ra     DBF  AEC  DEF  ABC    ABC  DAF A B hình 1.4
Bài 5: Cho tam giác ABC AB AC nội tiếp đường
tròn (O), đường trung tuyến AM. Lấy điểm D trên cung BC không chứa A sao cho  
BAD CAM . Chứng minh rằng   ADB CDM . Lời giải A 2 1 O B 1 M C D    
A A BAM DAC , lại có  
ABM ADC (góc nội tiếp) nên ABM  ADC (g.g) 1 2
BA BM MC . AD DC CD Kết hợp với  
A C suy ra BAD  MCD (c.g.c)  
ADB CDM . 1 1 Bài 6: Cho AB 
Cnhọn nội tiếp đường tròn O đường kính BD . Biết 
BAC  45 . Tính số đo của góc  CBD C Lời giải: (h 1.5) D  1  Ta có:    CDB  CAB  CB     CDB  45  2  O Lại có 
DCB  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). A B    
 CBD 180  CDB DCB  45 hình 1.5 Bài 7: Cho AB  Cnhọn có 
BAC  60 . Vẽ đường tròn đường kính BC tâm O cắt AB, AC lần lượt tại D và E. tính số đo góc  ODE C Lời giải: ( h1.6) E Ta có 
BDC  90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường O tròn).   ADC  90  A  DC vuông tại D suy ra A D B  ACD  30   EOD  60 ( do    EOD  2ECD ED hình 1.6
Mà ta lại có EOD cân tại O Suy ra EOD đều   EDO  60 Bài 8: Cho AB 
C nhọn nội tiếp O . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx sao cho  
xBC  A . Tính sô đo góc  OBx B x Lời giải: ( h 1.7)
Dựng đường kính BD khi đó  DCB  90    DBC  CDB  90 O  1  Mà    BDC  CAB  CB    2  A C Lại có    
BAC  CBx  DBC  CBx  90   DBx  90 D hình 1.7
Bài 9:Tính góc Acủa tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), biết 
IOK  90 , trong dó I là tâm đường tròn nội
tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A. Lời giải A N I O B C D K
Gọi D là giao điểm của đoạn IK và đường tròn (O).  1 DBI  sđ  DN ;  1 BID  sđ  1 BD  sđ   
AN DBI BID B
DI cân tại D DB DI 2 2 2  1
IBK vuông tại B có DB DI nên DI DK và DB IK . (1) 2  1
IOK vuông tại O có DI DK nên OD IK . (2) 2
Từ (1) và (2) suy ra BD OD OB . BOD đều  
BOD  60  BAC  60 .
Dạng 2: Tính độ dài, tính diện tích.
Bài 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Clà trung điểm của OB. Gọi D, E là các điểm thuộc nửa đường tròn sao cho  
ACD BCE  90 . Biết CD CE a . Tính DE theo a. Lời giải
Trên CDlấy Ksao cho CK CE thì DK CD CK CD CE a .
Kéo dài DCcắt đường tròn (O) ở I. Ta có   
C C C E đối xứng với Iqua AB  1 EOB  sđ   EI D . (1) 2 l 3 2 o  180  C ECK cân  4     K
C DKE OCE (bù với hai góc trên). (2) 1 2 2
Từ (1) và (2) suy ra DKEOCE (g.g) DE OE OB  
 2 . Vậy DE  2DK  2a . DK OC OC
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 1dm,  o  o
B  45 ,C  15 . Tính dộ dài AC, BC, AB
và diện tích tam giác ABC . Lời giải A 45° M 15° 1 B C 2 H O 1dm   o  o
B  45  AOC  90  AC OC 2  2 dm .
 Kẻ OM BC . Ta có    o o o
C C C  45 15  30 2 1 3 o
MC OC.cos30 
BC  3 dm . 2
 Kẻ AH BC . Đặt HC x, HB y thì x y  3 (1) Ta có 2 2 2 2 2
HC HB HC HA AC  2 nên 2 2
x y  2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra xy   x y2   2 2 2
x y   3 2 1 (3)
Từ (2) và (3) suy ra  x y2 2 2
x y  2xy  2 1  1 x y  1 (4) 3 1 6  2
Từ (1) và (4) suy ra y
dm . Do đó AB y 2  dm . 2 2 1 1 3 1 3  3  S
BC.AH  . 3.  dm ABC  2 2 2 2 4
Bài 3: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi K là trung điểm của OC. Gọi
M là giao điểm thứ hai của BK với đường tròn (O), I là giao điểm của MD và AB. Tính diện tích : a) Tam giác MAB; b) Tam giác MIK. Lời giải C M K A I B O D MA OK 1 a)   AMB  90 ,  90 BOK   nên  tan B   . MB OB 2 MB  2 A M 2 2R 4R 4R Từ 
dễ dàng tính được MA  , MB  , S  . (1) 2 2 2 MA    MB  4R 5 5 MAB 5 IA MA 1 4R
b) MI là đường phân giác của MAB  
 . Lại có IA IB  2R nên dễ dàng tính được IB  . IB MB 2 3 2 1 1 4R R R SI . B KO  . .  . (2) KIB 2 2 3 2 3 2 2 1 1 1 4R 4R
AI AB SS  .  . (3) 3 MAI  3 MAB 3 5 15 Từ (1), (2) và (3) suy ra 2 2 2 2 4R R 4R R SSSS     . MIK MAB KIBMAI 5 3 15 5
Dạng 3: Bài toán dựa hệ quả của góc nội tiếp chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Bài 1: Cho đường tròn O đường kính AB và một cung AM có số đo nhỏ hơn 90 . Vẽ các dây
MC  AB, MD / /AB . Chứng minh rằng ba điểm C, O, D thẳng hàng.
Lời giải ( h 1.8) M D
Ta có MD / /AB mà AB  MC nên  MC  MD  DMC  90 
CMD là góc nội tiếp mà bằng 90 nên phải chắn nửa đường tròn, A B O
suy ra CD là đường kính, do đó ba điểm C, O, D thẳng hàng. C hình 1.8
Bài 2: Cho đường tròn O đường kính AB . Vẽ đường tròn K
tiếp xúc với đường tròn O tại C. Các dây CA, CB cắt đường tròn K lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng E, K, F thẳng hàng.
Lời giải (h 1.9) C K F E Xét O có  ACB  90 nên  ECF  90 A B D O
Xét đường tròn K vì 
ECF  90 nên EF là đường kính
Suy ra ba điểm E, K,C thẳng hàng hình 1.9 Bài 3: Cho AB  C nhọn có 
BAC  45 nội tiếp đường tròn O . Các đường cao BH,CK cắt đường tròn O
lần lượt tại E và D. Chứng minh rằng D, O, E thẳng hàng
Lời giải ( h 1.10).
Ta có: BH  AC ABH vuông tại H D B Mà   
BAH  45  ABH  45 hay  EBA  45 (1) K
Mặt khác có CK  AB suy ra ACK vuông tại K O Mà    KAC  45  KCA  45 H A C Ta lại có  
DBA  DCA ( cùng chắn cung AD ) E Nên  ABD  45 (2) hình 1.10 Từ (1)(2)   
 EBD  DBA  ABE  90 nên DE là đường kính của O hay D,O,E thẳng hàng
Bài 4: Cho hai đường tròn O và O ' cắt nhau tại A và B sao cho 
OAO'  90 . Lấy điểm C thuộc O' và ở
bên ngoài đường tròn O . Kẻ các tia CA,CB cắt đường tròn O tại D, E . Chứng minh rằng D,O,E thẳng hàng.
Lời giải ( h 1.11) D 1 A Xét O có   AEB  AOB (1) 2 C 1 Xét O ' có   ACB  AO 'B (2) O' 2 O Từ (1); (2) ta có B   1  
AEB  ACB  AOB  AO'B  90 E 2 hình 1.11 Nên   
EAC  90  DAE  90 nên DE là đường kính của O Vậy D, O, E thẳng hàng.
Dạng 4: Bài toán dựa vào định lí, tính chất góc nội tiếp chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC AB AC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là
giao điểm thứ hai củaAH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC ởI. Chứng
minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O). Lời giải A 1 2 H 1 O I B C 1 2 K
Dễ chứng minh Hđối xứng với Kqua BC, suy ra   
K H H (1) 2 1 2 Ta lại có   K A nên  K phụ  H (2) 1 1 1 2 Từ (1) và (2) suy ra  K phụ 
K . Vậy IK là tiếp tuyến của đường tròn (O). 2 1
Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC AB AC , trực tâm H. Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm của BC.
Tia phân giác của góc BAC cắt IM ở K. Chứng minh rằng  AKH  90 .  Lời giải A 2 1 I 1 K O H B M C N D
Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp ABC . Vẽ bán kính OD đi qua M thì D là điểm chính giữa của cung BC nên ,
A K, D thẳng hàng.
Vẽ đường kính AN. Dễ chứng minh đươch BHCN là hình bình hành  H , M , N thẳng hàng và 1
OM AH AI . Tứ giác AOMI có AI // OM , AI OM nên là hình bình hành  
OA// MI A K 2 1 1 Kết hợp với   
A D A nên  
K A IK IA IH . Vậy  o AKH  90 . 1 2 1 2 Bài 3:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc Acắt BCởD và cắt đường tròn (O) ở M (khác A).
Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn M ; MB ,K là tiếp điểm. Chứng minh rằng DK vuông góc với AM. Lời giải A 1 2 K O C B 1 D M   A A mà  
A B (góc nội tiếp)nên   A B . 1 2 2 1 1 1
MBD  MAB (g.g)
MD MB MD MK . MB MA MK MA Kết hợp với  
DMK KMA ta có
DMK  KMA (c.g.c)  
MDK MKA  90 . Vậy DK AM .
Bài 4: Cho đường tròn O , đường kính AB . S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt
cắt đường tròn tại M , N . Gọi H giao điểm của BM và AN . Chứng minh rằng SH  AB .
Lời giải (h 1.12) S Ta có:  
AMB  ANB  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) N
Xét SAB có AN, BM là hai đường cao. Mà H là giao điểm của M H
AN và BM suy ra H là trọng tâm SAB .
 SH là đường cao trong SAB  SH  AB . A B O hình 1.12 Bài 5: Cho AB 
C nội tiếp O . Tia phân giác góc 
BACcắt đường tròn O tại D . đường tròn D,DB cắt
đường thẳng AB tại Q (khác B ), cắt đường thẳng AC tại P (khác C ). Chứng minh rằng AO  PQ
Lời giải (h 1.13)
Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AO với O,PQ . Ta có     CPQ  QBC  APQ  ABC P D K Mà   ABC  AKC   C  APQ  AKC .(1) O I A Q B Lại có   AKC  CAK  90 (2) Từ (1)(2) suy ra   APQ  PAK  90 hình 1.13 Xét API có    
PAI  API  90  AIP  90 Hay AO  PQ
Bài 6: Trong đường tròn O có dây AC và BD vuông góc với nhau tại I . Gọi M là trung điểm BC . Chứng minh rằng IM  AD .
Lời giải (h 1.14). B Gọi E  IM  AD . M
AC  BD tại I nên BCI vuông tại I. A I C
Mà MB  MC  MI  MB ( tính chất đường trung tuyến E
trong tam giác vuông) nên MBI cân. O do đó   MIB  MBI mà  
NID  BIM đối đỉnh do đó   MBI  NID . D hình 1.14 Ta có  
BDA  BCA ( góc nội tiếp chắn  AB ). Mà  
BCA  MBI  90 (BCI vuông tại I.) Suy ra   NID  BDA  90 
 AEI  90 hay MI  AD .
Bài 7: Cho hai đường tròn O và O’ cắt nhau ở A và B , O nằm trên đường tròn O’ . Dây AC của O cắt
O’ở D , dây OE của O’cắt O ở F như trên hình. Chứng minh rằng: OD  BC A E
Lời giải(h 1.15) F
Dựng hai bán kính OB, OC của O .  1  O
Xét đường tròn O ' ta có    BAD  BOD  BD O'    2  D 1 1 Mà    
BAC  BC  BOD  BC .(1) 2 2 B C
Xét đường tròn O ta có   BOC  BC(2) hình 1.15 1 Từ (1),(2) ta được:    
BOD  BOC  BOD  DOC hay OD là tia phân giác  BOC 2
Ta lại có BOC cân tại O suy ra OD vừa là tia phân giác vừa là đường cao trong BOC Hay OD  BC
Dạng 5:Nâng cao phát triển tư duy Bài 1.
Dễ dàng chứng minh được H đối xứng với K qua BC Suy ra   
K H H . (1) 2 1 2 Ta lại có:   A K 1 1 nên  K phụ với  H (2) 1 2 Từ (1) và (2) suy ra  K phụ với  K 2 1
Vậy IK là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 2. a) Ta có  
QAP DPQ (Góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến với dây cung cùng chắn một cung cung chắn một cung) và  
DPQ QBP (góc nội tiếp cùng chắn một cung). Từ đó suy ra   QAP QB . R b) Ta có   
BPR PAB ABP (tình chất góc ngoài của tam giác) Mặt khác,    
BRP BQA PAB ABP.
Suy ra hay tam giác BPR cân đỉnh B. c) Ta có  
BQP ABP (1)
(góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến với dây cung cùng chắn một cung)  
BAR ABP (2)
(góc nội tiếp cùng chắn một cung)   
BPR PAB ABP (3)   
PQR PQB BQR (4)
Từ (1); (2); (3) (4) suy ra   
PQR BPR BRP
Do đó: Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc PB và RB (định lí bổ sung).
Bài 3.Ta có MAC  ~ MDA MA AC Suy ra: 2
MA MC.MD và  MD AD MBC MB BC  ~ MDB suy ra:  MD BD 2 MC MC.MD MA MA MB AC BC Xét    .  . (1) 2 2 MD MD MD MD MD AD BD Mặt khác IAC ~ IDB IC AC Suy ra: 
; IBC ~ IDA IB BD IB BC Suy ra:  ; ID AD AC BC AC BC IC IB IC Do đó: .  .  .  (2) AD BD BD AD IB ID ID IC MC Từ (1) và (2) suy ra:  . ID MD Bài 4. a) Do  
BAE SBM (hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) và  
AEB BMS  90 nên AE AB BSB ~ BMS , suy ra:  . AE BM AB BS
Mà BM ME nên  . (1) AE ME
b) BME cân tại M nên   MEB MBE. Lại có     
SBM ABE BAE ABE  90  AEB  
SBA AEM (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AEM  ~ ABS . c) Từ câu b, suy ra:   BAP EAN. Mà  
ABP AEN (cùng bù với  CEF ) nên AEN  ~ ABP , suy ra: AN NE  . (3) AP PB Vì AEM  ~ A
BS (câu b) và tương tự ta có: MAF ~ SAC  nên  
AME ASB ,   AMF ASC    
EMF BSC SBP MEN (do hai tam giác cân có hai góc ở đỉnh bằng nhau) Suy ra:  ~ NE NM EMN BSP   (4). PB PS AN NM Từ (3) và (4) suy ra: 
NP // MS, mà MS BC nên NP BC. AP PS Bài 5.
a) Ta có: ABD cân nên:   A A (1) 1 2 Mặt khác:  
A C (cùng phụ với góc B) 1 2  
C A (cùng chắn chung HE). 1 2 Suy ra:   C C 1 2 b) Ta có:    
O sñ AH  2.C ACE HO // EC. 1 2 Bài 6.
Gọi I là giao điểm của đường tròn (O) đường kính AM và CD   AIM  90 . 
Tứ giác DAIM là hình chữ nhật (vì   
AIM IAD ADM  90 ) 
IMD  90  DI là đường kính của (O)   IND  90
N thuộc đường tròn đường kính DC   DNC  90 Ta có:  
IND DNC  90  90 
INC  180  I, N, C thẳng hàng. Xét CDK và MIC có:  
DCK IMC  90.DC MI  AD  
KDC CIM (Cặp góc nhọn có cạnh tương ứng với góc). Do đó: CDK   M
IC CK MC CM
K cân tại C. CA là tia phân giác 
MCK (vì ABCD là hình
vuông)  AC KM. Bài 7.
Gọi K là giao điểm của AM và BC.
Xét KBM và KAB có:  K chung;  
KBM KAB (góc tạo bởi tia tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp chắn chung 
BM của O) KB KM Do đó: 2 KBM  ∽ KAB  
KB KM.KA (1) KA KB  
MCK MBA (góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây
cung và góc nội tiếp cùng chắn cung  BM của (1)).  
KAC MBA (góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây cung
và góc nội tiếp cùng chắn cung 
AM của O). Do đó:   MCK KAC. Xét KCM và KAC  có  K chung,   MCK KAC . KC KM Do đó 2 KCM ∽ KAC  
KC KM.KA (2). KA KC Từ (1) và (2) ta có: 2 2
KC KB KC K . B
Vậy AM đi qua trung điểm K của BC. Bài 8.  1 
Xét BAE và BFA có  ABE chung,   
BAE BFA sñ AE  2   
Do đó: BAE ∽ BFA BA BE BC BE    
(vì BC BA ) BF BA BF BC Xét BCE và BFC có:  BC BE CBE (chung),  . BF BC Do đó  
BCE ∽ BFC BCE BFC Mà  
EMN BFC (hai góc nội tiếp cùng chắn chung EN) Do đó  
BCE EMN MN // AC. Bài 9.   
DBM BCD BDC ( 
DBM là góc ngoài của BDC )    1  
BAC BCD sñBC  ,  2     1  
BAD BDC sñBD  2    Do đó:      
CAD BAC BAD BCD BDC DBM Mà  
DAM DBM (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DM) Nên  
CAD DAM AD là tia phân giác của  CAM. Bài 10.
Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành.
IA IC IE.IA IE.IC
IBE ∽ ICD  .
g g  IE.IC IB.ID Từ đó suy ra: 2
IE.IA IE.IC  . IB ID IB IB IA   . IE IB IB IA
Ta có IBE và IAB có  và  BIA chung IE IB
Suy ra IBE ∽ IAB  . c . g c nên   IBE IAB .
Từ đó suy ra BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB (định lí bổ sung) Bài 11. a) Ta có  
PBK PQB (hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)   ∽   .  PB BK PBK PQB g g   (1). PQ QB PC CK
Tương tự ta có: PCK  ∽ PQC  . g g   (2) PQ QC BK CK
Từ (1) và (2) kết hợp với PB PC ta có:  (3). QB QC IK BK Ta có BI là phân giác  KBQ nên  (4) IQ QB
Suy ra CI là tia phân giác  KCQ MC MA
b) Ta có MKC ∽ MBA  . g g   (5) KC BA  ∽   .  MB MA MKB MCA g g   (6) KB CA KB CA
Từ (5) và (6) vế chia theo vế   (7) (vì KC BA MB MC ) BK KC BK QB
Mặt khác theo kết quả câu a, ta có:    (8). QB QC KC QC AC QB Từ (7) và (8)    ABC  ∽ QCB  .c . g cAB QC    
ACB QBC ACB QAC AQ // BC. Bài 12.
Xét đường kính của đường tròn không đi qua điểm nào trong 2015 điểm đã cho (luôn tồn tại)
Chọn nửa đường tròn chứa số điểm nhiều hơn
 Nửa đó chứa ít nhất 1008 điểm.
Xét 3 điểm bất kỳ trong số các điểm thuộc nửa đường tròn đã chọn ta có 3 điểm đó là các đỉnh của một
tam giác tù (vì có một góc nội tiếp chắn cung lớn hơn nửa đường tròn). Bài 13.
1) Do NB // AD , BM // DP , MN // PA nên NBM  ∽ ADP. BN BN DA DO Suy ra    . BO 2.BM 2.DP DP Kết hợp với  
NBO PDO  45  BNO  ∽ D  . OP Suy ra:   
NOP  180  NOB POD   
 180  NOB ONB NBO  45 .  ON BO DO 2) Vì BNO  ∽ D
OP và BO DO nên   . OP DP DP Mặt khác  
NOP NBO  45, suy ra ONP ∽ DOP ∽ BNO .
Gọi Q là tâm đường tròn ngoại tiếp ONP  , chú ý rằng ONP ∽ BNO ta có:   180  ONQ     QON
 90 OPN COB BON CON. 2
Do đó tia OQ trùng với tia ON. Vậy Q thuộc OC.
3) Gọi E, F thứ tự là giao điểm của BD với MN, PA. Chú ý rằng NBM  ∽ A
DP ; BD là đường chéo hình vuông, ta có: EM S BM DP S FP BEM DFP      . EN S BN DA S FA BEN D A F
Kết hợp với MN // AP , theo bổ đề hình thang
Suy ra BD, AN, PM đồng quy. Bài 14. a) Ta có:   EBC ADC (Cùng bù với góc  KBC );  
ACD ECB  90  ACD ∽ ECB (g-g) DC AC  
DC.CE AC.BC. BC EC a 2 3a 3a
Do AB  ; BC
DC.EC AC.BC  . 4 4 4 1 b) S
BC.DE S
nhỏ nhất khi và chỉ khi DE nhỏ nhất. BDE 2 BDE 2 3a
Ta có: DE DC EC  2 DC.EC  2
a 3 (Theo chứng minh phần a) 4 a 3
Dấu "  "  DC EC  . 2 2 3a 3 a 3
 S nhỏ nhất bằng
khi D thuộc tia Cx sao cho CD  . BDE 8 2
c) Gọi giao điểm của đường tròn đường kính DE với đường thẳng AC là M, N (M nằm giữa A và B)  M, N đối xứng qua DE. AK AB Ta có: AKB  ∽ ACD (g-g) 
AK.AD AC.AB (1) AC AD AK AM AKM  ∽ AND (g-g)  
AK.AD AM.AN (2) AN AD 2 a
Từ (1) và (2) suy ra AM.AN AC.AB  4 2 a
 AC MCAC NC 2 2
AC MC (Do MC NC ) 4 2 2 3a a 3  MC
MC NC  4 2
 M, N là hai điểm cố định.
Vậy đường tròn đường kính DE luôn có dây cung MN cố định.
C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ
Câu 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) (hình 1). Chọn khẳng định sai? A.   BDC = BAC . B.  
ABC + ADC = 180 . C.   DCB = BAx . D.   BCA = BAx .
Câu 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Chọn câu sai. A.   0
BAD + BCD = 180 . B.   ABD = ACD . C. 0 ˆ ˆ ˆ ˆ
A + B +C + D = 360 . D.   ADB = DAC .
Câu 3. Tứ giác ở hình nào dưới đây là tứ giác nội tiếp? A. Hình 2 . B. Hình 3 . C. Hình 4 . D. Hình 5 .
Câu 4. Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính BC . Lấy điểm A trên tia đối của tiaBC . Kẻ tiếp tuyến
AF,Bx của nửa đường tròn (O) (với F là tiếp điểm). Tia AF cắt tia Bx của nửa đường tròn tại D .
Khi đó tứ giác OBDF là: A. Hình thang.
B. Tứ giác nội tiếp. C. Hình thang cân. D. Hình bình hành.
Câu 5. Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH . Kẻ HE vuông góc với AB tại E . kẻ HF
vuông góc với AC tại F . Chọn câu đúng.
A. Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp. B.
Tứ giác BEFC không nội tiếp.
C. Tứ giác AFHE là hình vuông.
D. Tứ giác AFHE không nội tiếp.
Câu 6. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có hai cạnh đối AB và CD cắt nhau tại M và  0 BAD = 70 thì  BCM = ? A. 0 110 . B. 0 30 . C. 0 70 . D. 0 55 .
Câu 7. Cho đường tròn (O) đường kính AB . Gọi H là điểm nằm giữa O và B . Kẻ dây CD vuông góc
với AB tại H . trên cung nhỏ AC lấy điểm E kẻ CK vuông góc AE tại K . Đường thẳng DE cắt
CK tại F . Chọn câu đúng?
A. AHCK là tứ giác nội tiếp.
B. AHCK không nội tiếp đường tròn. C.   EAO = HCK .
D. AH.AB = A . D BD .
Câu 8. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O) qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (
B,C là tiếp điểm). Chọn đáp án đúng:
A. Tứ giác ABOC là hình thoi.
B. Tứ giác ABOC nội tiếp.
C. Tứ giác ABOC không nội tiếp. D.
Tứ giác ABOC là hình bình hành.
Câu 9. Cho hình vẽ dưới đây.
Khi đó mệnh đề đúng là? A.  0 ABC = 80 . B.  0 ABC = 90 . C.  0 ABC = 100 . D.  0 ABC = 110 .
Câu 10. Cho hình vẽ dưới đây Số đo góc  BAD là: A.  0 BAD = 80 . B.  0 BAD = 75 . C.  0 BAD = 65 . D.  0 BAD = 60 .
Câu 11. Cho hình vẽ dưới đây. Chọn câu đúng: A.  0 ABC = 80 . B.  0
ABC = 90 . C.  0 ABC = 110 . D.  0 ABC = 100 .
Câu 12. Cho hình vẽ dưới đây Số đo góc  BAD là: A.  0 BAD = 55 . B.  0
BAD = 75 . C.  0 BAD = 65 . D.  0 BAD = 60 . Câu 13. Cho BCD D cân tại A có  0
BAC = 120 , trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A , lấy
D sao cho BCD là tam giác đều. Khi đó A. ACD D cân.
B. ABDC nội tiếp . C. ABDC hình thang.
D. ABDC hình vuông. Câu 14. Cho AB D
C cân tại A có 
BAC = 130 . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A , kẻ Bx ^ ;
BA Cx ^ CA . chọn đáp án sai. A. BCD D cân.
B. ABDC nội tiếp.
C. ABDC là hình thoi. D.BDC = 50 .
Câu 15. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) . M là điểm thuộc cung nhỏ AC (cung CM
bé hơn cung AM ). Vẽ MH vuông góc với BC tại H , vẽ MI vuông góc với AC tại I . Chọn câu đúng:
A. MIHC là hình chữ nhật.
B. MIHC là hình vuông.
C. MIHC không là tứ giác nội tiếp.
D. MIHC là tứ giác nội tiếp.
Câu 16. Cho hình bình hành. Đường tròn đi qua ba đỉnh cắt đường thẳng tại. Khi đó.
A. ABCP là hình thang cân. B. AP = AD . C. AP = BC . D. Cả , A , B C đều đúng.
Câu 17. Cho đường tròn (O) đường kính .
AB Gọi H là điểm nằm giữa O và .
B Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H . Trên cung nhỏ AC lấy
điểm E, kẻ CK ^ AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F . Tứ giác AHCK là: A. Tứ giác nội tiếp. B. Hình bình hành. C. Hình thang. D. Hình thoi.
Câu 18. Cho đường tròn (O) đường kính .
AB Gọi H là điểm nằm giữa O và .
B Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H . Trên cung nhỏ AC lấy
điểm E, kẻ CK ^ AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F .
TíchAH.AB bằng: A. 2 4AO . B. . AD BD . C. 2 BD . D. 2 AD .
Câu 19. Cho đường tròn (O) đường kính .
AB Gọi H là điểm nằm giữa O và .
B Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H . Trên cung nhỏ AC lấy
điểm E, kẻ CK ^ AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F .
Tam giác ACF là tam giác. A. Cân tại F B. Cân tại C C. Cân tại A D. Đều Câu 20. Cho AB D
C vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC . Kẻ
BM cắt đường tròn tại D . Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S . Chọn đáp án sai trong các đáp án sau:  
A. Tứ giác ABCD nội tiếp. B. ABD = ACD .
C. CA là phân giác của  SCB .
D. Tứ giác ABCS nội tiếp.
Câu 21. Trên các cạnh BC,CD của hình vuông ABCD ta lấy lần lượt các điểm M,NM,N sao cho  0
MAN = 45 . Đường thẳng BD cắt các đường
thẳng AM,AN tương ứng tại các điểm P,Q .
I. Tứ giácABMQ nội tiếp; II tứ giác ADNP nội tiếp. Chọn kết luận đúng.
A. Cả (I ) và (II ) đều đúng. B. Chỉ (I )đúng. C. Chỉ (II ) đúng. D.
Cả (I ) và (II ) đều sai.
Câu 22. Trên các cạnh BC,CD của hình vuông ABCD ta lấy lần lượt các
điểm M,N sao cho  0
MAN = 45 . Đường thẳng BD cắt các đường
thẳng AM,AN tương ứng tại các điểm P,Q
Năm điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn? A. P, ,
Q N,M,B .
B. P,Q,N,C,M .
C. P,Q,N,C,D . D. P, ,
A N,C,M .
Câu 23. Cho đường tròn (O) đường kính AB . Gọi I là trung điểm của OA . Dây CD vuông góc với
AB tại I . Lấy K tùy ý trên cung BC nhỏ, AK cắt CD tại H . Khẳng định nào đúng?
A. Tứ giác BIHK nội tiếp. B.
Tứ giác BIHK không nội tiếp.
C. Tứ giác BIHK là hình chữ nhật. D. Các đáp án trên đều sai.
Câu 24. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) , các đường cao
AD,BE,CF(D Î BC ;E Î AC ;F Î AB) cắt nhau tại H . khi đó ta có:
A. BH.BE = BC.BD .
B. CH.CF = . CDCB . C. ,
A B đều đúng . D. , A B đều sai.
Câu 25. Cho tam giác ABC vuông tại A và B điểm nằm giữa A và B . Đường tròn đường kính BD
cắt BC tại E . các đường thẳng CD,AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai là F và G . Khi
đó, kết luận không đúng là: A. AB D C ∽ E D BD . B.
Tứ giác ADEC là tứ giác nội tiếp.
C. Tứ giác AFBC không là tứ giác nội tiếp.
D. Các đường thẳng AC,DE và BF đồng quy.
Câu 26. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) . M là điểm chính giữa cung AB . Nối M với , D M với C
cắt AB lần lượt ở E và P . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Tứ giác PEDC nội tiếp. B.
Tứ giác PEDC không nội tiếp.
C. Tam giác MDC đều.
D. Các câu trên đều sai.
Câu 27. Cho nửa (O) đường kính AB . Lấy M Î O ( A M ¹ O, )
A . Qua M vẽ đường thẳng d vuông góc
vớiAB . Trên d lấy N sao cho ON > R . Nối NB cắt (O) tại C . Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (E là
tiếp điểm, E và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ d ) và F là giao điểm của EC và đường tròn (O) . Chọn khẳng định sai?
A. Bốn điểm O,E,M,N cùng thuộc một đường tròn. B. 2
NE = NC.NB . C.  
NEH = NME (H là giao điểm của AC và d ). D. 
NFO < 90 .
Câu 28. Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB = 2R . Đường thẳng qua O vuông góc AB cắt
cung AB tại C . Gọi E là trung điểm BC . AE cắt nửa
đường tròn O tại F . Đường thẳng qua C và vuông góc AF tại G cắt AB tại
H . Khi đó góc OGH có số đo là: A. 0 45 . B. 0 60 . C. 0 90 . D. 0 120 .
Câu 29. Cho hình vẽ, khi đó đáp án đúng là: A.  0 ADC = 70 . B.  0
ADC = 80 . C.  0 ADC = 75 . D.  0 ADC = 60 .
Câu 30. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) và  A = ( ¶ 0 < ¶ < 90 )
 . Gọi M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AC vẽ tia Bx
vuông góc với AM cắt tia CM tại D . Số đo góc  BDM là: A.AMD = . B.  0 AMD = 90 + . C.  0
AMD = 45 + . D.  0 AMD = 90 - . 2 2 2
Câu 31. Cho tam giác ABC vuông tại A . Điểm E di động trên cạnh AB . Qua B vẽ một đường thẳng
vuông góc với CE tại D và cắt tia CA tại H . Biết  0 BCA = 30 . So đó  ADH là: A. 0 30 . B. 0 150 . C. 0 60 . D. 0 90 .
Câu 32. Tứ giác ABCD nội tiếp (O) . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I . Vẽ đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABI . Tiếp tuyến của đường tròn này tại I cắt AD và BC lần lượt M và N . Chọn câu sai: A. MN / / DC .
B. Tứ giác ABNM nội tiếp.
C. Tứ giác MICD nội tiếp.
D. Tứ giác INCD là hình thang.
Câu 33. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính bằng a . Biết rằngAC ^ BD . Khi đó
để AB + CD đạt giá trị lớn nhất thì.
A. AC = AB .
B. AC = BD .
C. DB = AB .
D. Không có đáp án nào đúng.
Câu 34. Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O) , BD là đường phân giác của góc 
ABC . Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E . Đường tròn (O ) đường kính DE 1
cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F . Khi đó đường thẳng đối xứng với đường thẳng BF qua đường
thẳng BD cắt AC tại N thì:
A. AN = NC .
B. AD = DN .
C. AN = 2NC .
D. 2AN = NC . HƯỚNG DẪN Câu 1. Đáp án D.
Vì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên  
BDC = BAC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC )  
ABC + ADC = 180 (tổng hai góc đối bằng 180 )  
DCB = BAx (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó). Câu 2. Đáp án D. +)  
BAD + BCD = 180 (tổng hai góc đối) +)  
ABD = ACD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD) +) 0 ˆ ˆ ˆ ˆ
A + B +C + D = 360 (tổng 4 góc trong tứ giác). Câu 3. Đáp án C. Hình 2 sai vì 0 0 0 0 ˆ ˆ
A +C = 115 + 75 = 190 ¹ 180 Hình 3 sai vì 0 0 0 0 ˆ ˆ
C + B = 92 + 85 = 177 ¹ 180 . Hình 5 sai vì 0 0 0 0 ˆ ˆ
D + B = 50 + 50 = 100 ¹ 180 .
Hình 4 đúng vì tứ giác này có 4 đỉnh cùng thuộc một đường tròn. Câu 4. Đáp án B. Ta có  0 DBO = 90 và  0
DFO = 90 ( tính chất tiếp tuyến).
Tứ giác OBDF có   0 0 0
DBO + DFO = 90 + 90 = 180 nên nội tiếp được trong một đường tròn. Câu 5. Đáp án A.
Xét tứ giác AEHF có: 0 ˆ ˆ ˆ
A = E = F = 90
 Tứ giác AEHF là hình chữ nhật (dhnb).
 Tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp (có tổng hai góc đối diện bằng 0 180 )  
 AFE = AHE (hai góc cùng nhìn đoạn AE).  
AHE = ABH (cùng phụ  BHE)   
 AFE = ABC (= AHE) Xét tứ giác BEFC có: 
AFE là góc ngoài tại đỉnh F và  
AFE = ABC (cmt).  BEFC nội tiếp (dấu hiệu nhận biết). Câu 6. Đáp án C.
Tứ giác ABCD nội tiếp nên có:   0  0 0 0
DAB + BCD = 180  BCD = 180 - 70 = 110 Mà   0
BCD + BCM = 180 (kề bù)  0 0 0
BCM = 180 -110 = 70 . Câu 7. Đáp án A. Có  0
AHC = 90 (CD vuông góc AB);  0
AKC = 90 (AK vuông góc CF)   0
 AHC + AKC = 180  tứ giác AHCK nội tiếp  phương án A đúng, B sai.   0
EAO + HCK = 180 (hai góc đối diện phương án C sai.
Xét tam giác vuông ADB có 2
AH .AB = AD (hệ thức lượng trong tam giác vuông) nên phương án D sai. Câu 8. Đáp án B.
Ta có AB và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) AB ìï = AC (cmt) Xét tứ giác ABOC có: ïí
 tứ giác ABOC chưa là hình thoi và không là hình bình OB ï = OC (= R) ïî hành  đáp án A, D sai. Có  0
ABO = 90 (do AB là tiếp tuyến của (O))  0
ACO = 90 (do AC là tiếp tuyến của (O))   0
 ABO + ACO = 180  tứ giác ABOC nội tiếp (dhnb). Câu 9. Đáp án C. Ta có  
BCE = DCF (hai góc đối đỉnh). Đặt  
x = BCE = DCF
Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có:  0  0
ABC = x + 40 (1);ADC = x + 20 (2) Lại có   0
ABC + ADC = 180 (3) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).
Từ (1);(2) và (3) ta nhận 0 0 0 0
(x + 40 ) + (x + 20 ) = 180  x = 60 Từ (1) ta có  0 0 0 ABC = 60 + 40 = 100 . Câu 10. Đáp án D. Ta có  
BCE = DCF (hai góc đối đỉnh). Đặt  
x = BCE = DCF
Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có:  0  0
ABC = x + 40 (1);ADC = x + 20 2 ( ) Lại có   0
ABC + ADC = 180 (3) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).
Từ (1);(2) và (3) ta nhận được 0 0 0 0 
(x + 40 ) + (x + 20 ) = 180  x = 60  BCE = 60 . Do   ,
BCD BCE là hai góc kề bù nên   0  0 0 0 BCD B
+ CE = 180  BCD = 180 - 60 = 120 Ta lại có   BA ,
D BCD là hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp nên   0  0 0 0 BAD B
+ CD = 180  BAD = 180 - 120 = 60 Câu 11. Đáp án D. Ta có  
BCE = DCF (hai góc đối đỉnh). Đặt  
x = BCE = DCF
Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có:  0  ABC = x + 45 ADC = x + 0 (1); 25 ( ) 2 Lại có   0
ABC + ADC = 180 (3) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).
Từ (1);(2) và (3) ta nhận được 0 0 0 0
(x + 45 ) + (x + 25 ) = 180  x = 55 . Từ (1) ta có  0 0 0 ABC = 55 + 45 = 100 . Câu 12. Đáp án A. Ta có  
BCE = DCF (hai góc đối đỉnh). Đặt  
x = BCE = DCF  0 ABC = x + 45 (1)
Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có:  0 ADC = x + 25 (2) Lại có   0
ABC + ADC = 180 (3) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).
Từ (1);(2) và (3) ta nhận được 0 0 0 0  0
(x + 45 ) + (x + 25 ) = 180  x = 55  BCE = 55 Do   ,
BCD BCE là hai góc kề bù nên   0  0 0 0 BCD B
+ CE = 180  BCD = 180 - 55 = 125 Ta lại có   BA ,
D BCD là hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp nên   0  0 0 0 BAD B
+ CD = 180  BAD = 180 - 125 = 55 Câu 13. Đáp án B. Ta có BCD D là tam giác đều nên  0
DCB = 60 (1). Mặt khác ABC D
là tam giác cân tại A có  0
BAC = 120 hơn nữa tổng ba góc trong một tam giác bằng 0 180 nên ta nhận được   ACB ìïï ABXC = ï  0 í ï    ACB = 30 (2) 0 A
ï CB + ABC + BAC = 180 ïî Từ (1) và (2) ta có    0 0 0
DCA = DCB + BCA = 60 + 30 = 90 (3)
Chứng minh tương tự ta có  0 ABD = 90 (4)
Từ (3) và (4) ta nhận được   0 0 0
ABD + DCA = 90 + 90 = 180
Vậy tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp. Câu 14. Đáp án C. Theo đề bài ta có     
ABD = ACD = 90  ABD + ACD = 90 + 90 = 180 mà hai góc   ABD;ACD
ở vị trí đối nhau nên tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp nên đáp án B đúng.   -  + Lại có AB D
C cân tại A có    180 130
BAC = 130  ABC = ACB = = 25 2 + Ta có    
BDC + ABC = 90  BDC = 90 - 25 = 65 Và    
BCD + ACB = 90  BCD = 90 - 25 = 65
Từ đó suy ra tam giác BCD cân tại D nên đáp án A đúng.
+ Xét tứ giác ABDC nội tiếp nên      
BAC + BDC = 180  BDC = 180 - BAC = 180 - 130 = 50 nên D đúng.
Ta chưa đủ điều kiện để suy ra tứ giác ABDC là hình thoi nên C sai. Câu 15. Đáp án D.
Xét tứ giác IMHC ta có: 0
MIC = 90 (MI vuông góc với AC );  0
MHC = 90 (MH vuông góc với BC )   0
 MIC + MHC = 180  tứ giác IMHC nội tiếp (dhnb).
Và tứ giác IMHC chưa đủ điều kiện để là hình chữ nhật và hình vuông. Câu 16. Đáp án D.
Do tứ giác ABCP nội tiếp (vì có 4 đỉnh cùng thuộc đường tròn) và  
BAP,BCP là các góc đối nên   0
BAP + BCP = 180 (1)
Do ABCD là hình bình hành nên CD / /AB suy ra   0
ABC + BCP = 180 (2)
Từ (1) và (2) ta nhận được   BAP = ABC .
Mặt khác CP / /AB nên ABCP là hình thang cân. Đáp án A đúng.
Từ đó ta suy ra AP = BC (3) (Đáp án C đúng)
Do BC = AD (vì ABCD là hình bình hành) (4)
Từ (3) và (4) ta suy ra AP = .
AD Đáp án B đúng. Vậy cả ba đáp án , A , B C đều đúng. Câu 17. Đáp án A.
Tứ giác AHCK có 
AHC = 90 (AB ^ CD) 
;AKC = 90 (AK ^ FC ) nên  
AHC + AKC = 180  Tứ giác AHCK nội tiếp. Câu 18. Đáp án D.
Xét tam giác ADB có 
ADB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  AD D
B vuông tại D Do đó 2
AD = AH .AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà AD ¹ BD;AD < AB nên phương án A, B, C sai. Câu 19. Đáp án C. Xét (O) có  
EAC = EDC (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Xét tứ giác nội tiếp AHCK có  
KAC = KHC nên   
EDC = KHC(= KAC ) mà hai góc ở vị trí đồng vị nên KH / /ED
Xét tam giác CFD có KH / /ED mà H là trung điểm của DC
( do AB ^ DC ) nên K là trung điểm của CF
Xét tam giác ACF có AK vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên AC D
F cân tại A . Câu 20. Đáp án D. +) Ta có: 
MDC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính  0
MC MDC = 90 (tính chất góc nội tiếp).
Xét tứ giác ABCD ta có:
Góc BAC và góc BDC cùng nhìn đoạn BC dưới góc 0 90 .
⇒ ABCD là tứ giác nội tiếp (dhnb)  phương án A đúng.
+) Xét tứ giác ABCD nội tiếp ta có  
ABD = ACD (cùng nhìn đoạn AD  phương án B đúng.
+) Xét đường tròn đường kính MC ta có 4 điểm M,C,D,S cùng thuộc đường tròn.
 Tứ giác MCSD là tứ giác nội tiếp.  
ADM = SCM (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện). (1)
Vì tứ giác ABCD nội tiếp (cmt)  
ACB = ADB (cùng nhìn đoạnAB ) (2) Từ (1) và (2)   
BCA = ACS (= ADB)
Hay CA là phân giác của 
SCB  phương án C đúng.
+) Giả sử tứ giác ABCS là tứ giác nội tiếp  
ASB = BCA (hai góc cùng nhìn đoạn AB ). Mà     ACB = BD ;
A BAD ¹ BSA (xét trong đường tròn đường kính CM )  
ASB ¹ BCA  tứ giác ABCS không là tứ giác nội tiếp Câu 21. Đáp án A.
Xét hình vuông ABCD có  
DBC = BDC = 45 (tính chất)
Xét tứ giác ABMQ có  
QAM = QBM = 45 mà hai đỉnh A và B cùng nhìn đoạn thẳng MQ
nên ABMQ là tứ giác nội tiếp.
Xét tứ giác APND có  
PAN = PDN = 45 mà hai đỉnh A và D cùng nhìn đoạn thẳng PN
nên APND là tứ giác nội tiếp. Câu 22. Đáp án B.
Từ kết quả câu trước ta suy ra   0   0
ADP = ANP = 45 ,QAM = QBM = 45
NP ^ AM,MQ ^ AN Tập hợp các điểm P,Q,C nhìn đoạn MN dưới một
góc vuông, nên các điểm này nằm trên đường tròn đường kính MN . Câu 23. Đáp án A. Ta có: 
AKB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)  0
AKB = 90 (t / c). Xét tứ giác HKBI ta có ìï HK ï B = 90 ï   íï
HKB + HIB = 180 HIB ï
= 90 (doCD ^ AB = {I}) ïî
 Tứ giác BKHI là tứ giác nội tiếp
(dhnb)  phương án A đúng, phương án B sai. Lại có  0
KBA < 90 do AK D
B vuông tại K KBIH không là hình chữ nhật.  phương án C sai. Câu 24. Đáp án C. Do ,
AD BE là các đường cao nên   0
HDC = HEC = 90 . Do đó   0 0 0
HDC + HEC = 90 + 90 = 180 . Vậy tứ giác DCEH là tứ giác nội tiếp. Các góc   HE ,
D HCD cùng chắn cung HD nên   HED H
= CD (1). Xét hai tam giác BDE D , B D HC có   HED H
= CD (theo (1) ) và góc  EBC chung. BD BE Do đó BD D E ~ B
D HC. Từ đó ta nhận được =
BH.BE = BC.BD. Đáp án A đúng. BH BC
Chứng minh tương tự ta có CH.CF = . CD .
CB Đáp án B đúng. Câu 25. Đáp án C.
+) Xét đường tròn đường kính BD có góc BED là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  0  BED = 90 . Xét AB D C và BE D D ta có:  DBE chung và   0 0 0
DEC + DAC = 90 + 90 = 180  phương án A đúng.
+) Xét tứ giác ADEC có:   0 0 0
DEC + DAC = 90 + 90 = 180
 Tứ giác ADEC là tứ giác nội tiếp (dhnb) Đáp án B đúng.
+) Chứng minh tương tự ta được tứ giác AFBC là tứ giác nội tiếp  phương án C sai.
+) Gọi giao điểm của BF và AC là H .
Xét tam giác BHC có hai đường cao CF và BA cắt nhau tại D D là trực tâm của tam giác BHC
Mà DE ^ AB DE là đường cao của tam giác BHC hay H,E,D thẳng hàng.
DE,AC và BF đồng quy tại H  phương án D đúng. Câu 26. Đáp án A.
Theo đề bài ta có: M là điểm chính giữa cung AB nên   AM = MB Xét đường tròn (O) có: 1 +) 
MCD là góc nội tiếp chắn cung  
DM MCD = s D đ M. (1) 2 +) 
AED là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung MB và cung AD  1 æ  ö 1 æ  ö 1 
MCD = çsđAD + s MB÷ ç đ
÷ = çsđAD + s M ÷ ÷ ç đ ÷ A = ÷ s DM (2) 2 è ø 2 è ø đ 2 1 Từ (1) và (2)   
MCD = AED = s D đ M. 2 Xét tứ giác DEPC có:  
MCD = AED (cmt)  PEDC nội tiếp (góc ngoài của một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện). Câu 27. Đáp án D. +) Vì  
NEO = NMO = 90  NEMO là tứ giác nội tiếp nên bốn điểm O,E,M,N cùng thuộc một đường tròn  Phương án A đúng. NE NC +)   1
NEC = CBE = số đo cung CE NE D C ∽ N
D BE(g - g)  = 2 NB NE 2
NB.NC = NE  Phương án B đúng. NC NH
+) Hai tam giác vuông NCH D ∽ N
D MB(g - g)  = NM NB NC NH  =
NC.NB = NH.NM NM NB Từ đó   N D EH ∽ N
D ME(c - g - c)  NEH = EMN  Phương án C đúng. +)  
EMN = EON (tứ giác NEMO nội tiếp)    NEH = NOE
Mà góc ENO phụ với góc EON nên góc EON cũng phụ với góc NEH EH ^ NO OE D
F cân có ON là phân giác    
EON = NOF NEF = NOF nên tứ giác NEOF nội tiếp   
NFO = 180 - NEO = 90  Phương án D sai. Câu 28. Đáp án A.
Theo giả thiết ta có OC ^ ,
AB CG ^ AG nên ta suy ra   0
AOC = AGC = 90 .
Nói cách khác O,G cùng nhìn AC dưới một góc vuông.
Do đó tứ giác ACGO nội tiếp đường tròn đường kính AC nên   OGA = O . CA Mà OA D
C vuông cân tại O nên  0 OCA = 45 . Suy ra  0
OGA = 45 . Ta lại có     0  0  0 0 0
OGH +OGA = HGA = AGC = 90  OGH = 90 -OGA = 90 - 45 = 45 . Do đó  0 OGH = 45 . Câu 29. Đáp án B.
Do tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm , O nên ta có  
CAD = CBD (cùng chắn cung CD ). Do đó ta có  0
CAD = 40 . Tổng ba góc trong một tam giác bằng 0 180 Nên:   
CAD + ACD + ADC = 0 180  0    ADC =
- CAD + ACD = 0 - 0 + 0 = 0 180 ( ) 180 (40 60 ) 80 . Câu 30. Đáp án A. 0 0 ˆ 180 - 180 -
Xét tam giác ABC cân tại A và 0 0 ˆ = 60 ˆ ˆ A AB = C = = = 90 - . 2 2 2
Ta có tứ giác AMCB là tứ giác nội tiếp (4 điểm ,
A M,B,C cùng thuộc(O) ).  0  æ 0 0 ö ç ÷ 0   0
AMC = 180 - ABC = 180 - ç90 - ÷ = 90 +
DMA = ABC = 90 - ç ÷ ç 2 ÷ è ø 2 2
(tính chất tứ giác nội tiếp).
Gọi I là giao điểm của AM vàBD DDMI vuông tạiI .  æ ö ç ÷ 0  0 0
BDM = 90 - AMD = 90 - 90 ç - ÷ = . ç çè 2 ÷÷ø 2 Câu 31. Đáp án A.
Xét tứ giác ACBD ta có:   0
BAC = BDC = 90 và cùng nhìn đoạn BC.
 Tứ giác ACBD là tứ giác nội tiếp (dhnb).  
BDA + BCA = 180  0  0 0 0
BDA = 180 - BCA = 180 - 30 = 150 . Có góc  HDA và  BDA kề bù nên  0  0
HDA = 180 - BDA = 30 . Câu 32. Đáp án C.
Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI ta có: 
BAI là góc nội tiếp chắn cungBI . 
BIN là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung BI .  
BAI = BIN (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BI ).
Xét đường tròn (O) ta có:  
BDC = BAC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC ).   
BIN = BDC(= BAC ) Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị
IN / /CD hay MN / /CD (dpcm).  đáp án A đúng.
+) Xét tứ giác ABNM ta có:  
BAI = BIN (cmt)  tứ giác ABNM là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại 1
đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).  Đáp án B đúng.
+) Ta có: IN / /CD (cmt)  INCD là hình thang  đáp án D đúng. Câu 33. Đáp án B.
Vẽ đường kính CE của đường tròn (O) Ta có  0  0
EAC = 90 ,EDC = 90 (góc nội tiếp chắn đường kính EC ).
Từ đó ta có AE ^ AC. Mặt khác theo giả thiết AC ^ B .
D Kéo theo AE / /BD. Vậy AEDB là hình thang.
Do hình thang AEDB nội tiếp (O) nên nói phải là hình thang cân.
Kéo theo AB = DE (các cạnh bên hình thang cân). Từ đó ta có 2 2 2 2 2 2 2
AB + CD = DE + DC = EC = (2a) = 4a (do EDC D vuông tại D).
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 2
(AB ,BD ) ta có 2 2 2 2 2 2
AB + BD ³ 2AB.CD  2(AB + BD ) ³ AB + BD + 2AB.CD 2 = (AB +CD) . Kéo theo 2 2 2
(AB +CD) £ 2(4a ) = 8a AB +CD £ 2 2a.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = . CD Xét tam giác AB D I, D
D CI có AB = CD,  
ABD = ACD (góc nội tiếp cùng chắn cung AD),  
BAC = DCB (góc nội tiếp cùng chắn cung BC). Do đó ABI D = D D CI(g. . c g.) Kéo theo AI = , ID IB = IC.
Suy ra AC = AI + IC = ID + IB = BD. Câu 34. Đáp án A.
Gọi M là trung điểm của AC. Do E là điểm chính giữa cung AC nên EM ^ AC.
Do đó EM đi qua tâm của đường tròn (O). Giả sử rằng  0 DFE = 90 , nên  0
GFE = 90 , hay GE là đường kính của (O). Suy ra G,M,E thẳng hàng. Vì vậy  0 GBE = 90 , mà  0 GMD = 90 .
Kéo theo tứ giác BDMG là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính . GD Vì vậy   
MBD = DGM = FGE (1) (cùng chắn cung DM )
Lại có tứ giác BFEG là tứ giác nội tiếp nên  
FBE = FGE (2) ( cùng chắn cung FE ). Từ (1) và (2) ta suy ra  
MBD = FBE. Do đó BF và BM đối xứng nhau qua .
BD Vì vậy M º N
hay N là trung điểm của AC nên AN = NC .
D.PHIẾU BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O )
¢ cắt nhau tại A và B . Vẽ các đường kính AC và AD a) Chứng minh rằng ,
B C,D thẳng hàng b)
Đường thẳng d di động qua A cắt (O),(O )
¢ lần lượt tại E,F (E,F khác A , A nằm giữa E,F ) 1) Chứng minh rằng BEF D ∽ AC D D 2)
Xác định vị trí d để chu vi tam giác BEF lớn nhất, diện tích tam giác BEF lớn nhất.
Bài 2: AB, BC,CA là ba dây cung của đường tròn (O). Từ trung điểm M của cung AB ta vẽ dây
MN BC . Gọi S là giao điểm của MN và AC .
Chứng minh rằng SM = SC và SN = SA.
Bài 3: Cho đường tròn (O), hai đường kính AB , CD vuông góc nhau. M là điểm trên cung AC , tiếp
tuyến tại M cắt CD tại E . Chứng minh rằng   MED = 2MBA.
Bài 4: Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O;R). Vẽ các cát tuyến ABC,ADE đến đường tròn
(B,C, D, E Î (O)) Chứng minh rằng 2 2
AB.AC = AD.AE = OA - R
Bài 5: Cho điểm A nằm trong đường tròn (O;R) (A khác O ). BC,DE là hai dây cung qua A . Chứng minh rằng: 2 2
AB.AC = AD.AE = R -OA
Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R) có đường cao AH và đường phân giác AD
cắt đường tròn (O) ở E . Vẽ đường kính AF . I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Chứng minh rằng: a) AB BC AC HA D B ∽ CAF D c) = = sinC sin A sin B b) AB.AC.BC S =
d) EB = EI = EC ABC 4R e) 2
AB.AC - DB.DC = AD
Bài 7: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O;R). M là điểm nằm trên cung nhỏ BC . Trên đoạn
thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MB .
a) Chứng minh rằng MB D D đều
b) Chứng minh MA = MB + MC c) Xác
định vị trí điểm M để MA + MB + MC lớn nhất, nhỏ nhất
Bài 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). ,
D E, F lần lượt là chính giữa của các cung
AB, BC,CA . DE và EF cắt AB và AC lần lượt ở M, N Chứng minh rẳng: a) MN BC b)
MN đi qua tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Bài 9: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (O). Qua điểm
X thuộc dây BC , kẻ đường thẳng KL vuông góc XO . ( K và L lần lượt) nằm trên AB và AC ).
Chứng minh KX = LX .
Bài 10: Trên cạnh CD của hình vuông ABCD , lấy một điểm M , vẽ đường tròn tâm O đường kính AM .
Gọi E là giao điểm của đường tròn tâm (O )
¢ đường kính CD . Hai đường tròn cắt nhau tại điểm thứ hai
N . Tia DN cắt BC tại P . Chứng minh rằng: a) Ba
điểm E, N,C thẳng hàng b) CA ^ MP
Bài 11: Cho đường tròn (O), M là điểm ở ngoài (O), hai tiếp tuyến MA và MB ( A , B là hai tiếp
tuyến), C là một điểm trên đường tròn tâm M bán kính MA và nằm trong đường tròn (O). Các tia AC
và BC cắt đường tròn (O) lần lượt tại E và D . Chứng minh ba điểm , D , O E thẳng hàng.
Bài 12: Cho tam giác đều ABC , đường cao AH . Trên cạnh BC lấy một điểm M hạ MP ^ AB và
MQ ^ AC . Gọi O là trung điểm của AM . a) Chứng minh năm điểm ,
A P,M, H,Q cùng thuộc một đường tròn
b) Tứ giác OPHQ là hình gì? Chứng minh. c) Xác
định vị trí điểm M trên BC để PQ nhỏ nhất.
Bài 13: Cho đường tròn (O) và điểm P cố định ở bên trong đường tròn (khác O ). Hai dây AD và CD
thay đổi qua P và vuông góc với nhau. M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC .
Chứng minh rằng: MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 14: Trên các cạnh AB, BC của tam giác ABC dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông ACA A 1 2
và BCB B . Chứng minh rằng các đường thẳng AB ,A B,A B đồng quy. 1 2 1 1 2 2
Bài 15: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AC , một dây AB cố định, M là điểm bất kỳ thuộc cung
AB . Gọi K là trung điểm của đoạn MB . Từ K hạ KB ^ AM .
a) Chứng minh rằng: khi M di động trên AB thì đường thẳng KP luôn đi qua một điểm cố định. b) Tìm
quỹ tích các điểm K khi M di động trên cung AB . HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: a)  0
ABC = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) d F A  AB ^ BC E
Tương tự có AB ^ BD O' O Suy ra ,
B C, D thẳng hàng. b) 1) Xét BEF D và AC D D có: C D B  
BEF = ACD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB
của đường tròn (O))  
BEF = ACD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB
của đường tròn (O ) ¢ ) Do đó BEF D ∽ AC D D 2) * BEF D ∽ AC D D CV (BEF) BE  = CV (ACD) AC CV (ACD) CV ACDCV (BEF) = .BE , ( ) không đổi AC AC
Do đó: CV (BEF) lớn nhất  BE lớn nhất
BE là đường kính của đường tròn (O)  0
BAE = 90  d ^ AB tại A
Vậy khi d vuông góc với AB tại A thì chu vi tam giác BEF lớn nhất. 2 S æ BE ö * BEF D ç ÷ ∽ AC D D BEF  = ç ÷ S çèAC ÷÷ø ACD S S ACD 2  S =
.BE , ACD không đổi BEF 2 AC 2 AC S lớn nhất 2  BE lớn nhất BEFBE lớn nhất
BE là đường kính của đường tròn (O)  0
BAE = 90  d ^ AB tại A
Vậy khi d vuông góc với AB tại A thì diện tích tam giác BEF lớn nhất. Bài 2:
Ta có: MN BC (gt) A    MB = NC S M N O Mà   AM = MB (gt) Do đó:   AM = NC B C Suy ra:  
ACM = NMC (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) Do đó SMC D
cân tại S SM = SC
Chứng minh tương tự cũng có SN = SA. A Bài 3: M 
MBA là góc nội tiếp;  0 MBA £ 90 E D C O  1   MBA = MOA 2    MOA = 2MBA Mà  
MOA = MED (hai góc cùng phụ với góc EOM ) Do đó:   MED = 2MBA. Bài 4: Xét  ACD D và  AB D E có  CAD chung  
ACD = AEB (Hai góc nội tiếp chắn cung  BD ) C B Do đó ACD D ∽ AE D B A AC AD M  = AE AB N O D
AB.AC = AD.AE
OA cắt đường tròn (O) tại M, N ( M nằm giữa O và A ) E
Chứng minh tương tự trên có: AB.AC = AM.AN
Mà AM.AN = (OA - M )
A .(OA +ON ) 2 2
= (OA - R)(OA + )
R = OA - R . Bài 5: M Xét ACD D và AE D B có: D  
ACD = AEB (Hai góc nội tiếp chắn cung  BD ) C B A  
ACD = EAB (đối đỉnh) O Do đó ACD D ∽ AE D B E AC AD  = AE AB N
AB.AC = AD.AE
AO cắt đường tròn (O) tại M, N ( A nằm giữa O và M )
Chứng minh tương tự trên có: AB.AC = AM.AN
Mà AM.AN = (OM - ) OA .(ON + ) OA 2 2 = (R -O ) A (R +O )
A = R -OA . A Bài 6: a)  0
ACF = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) O Xét HA D B và CAF D có:   0
AHB = ACF(= 90 ) B H D C  
HBA = CFA (Hai góc nội tiếp chắn cung AC ) F E Do đó HA D B ∽ CAF D b) HA D B ∽ CAF D AB AH  = E AF AC AB.AC AB.ACAH = = AF 2R 1 AB.AC.BC S = AH.BC = ABC 2 4R a) ACF D
vuông tại C , ta có: 
AC = AF sin AFC
AC = 2R sin B (vì   AFC = B ) AC  = 2R sin B
Chứng minh tương tự có: AC BC = = 2R sinC sin A Do đó: AC BC AC = = sinC sin A sin B b)   
BAE = EAC BEB = EC EB = EC Mặt khác:   
BIE = BAI + BAI ( BIE là góc ngoài của tam giác ABI )   
IBE = EBC +CBI   
IBE = EBC, ABI = CBI Do đó:   
BIE = IBE EI
D B cân tại E EB = EI
Do đó: EB = EI = EC c) Xét AB D D và AE D C có:    
BAD = EAC, ABD = AEC (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung  AC ) Do đó AB D D ∽ AE D C AB AD  =
AB.AC = AD.AE AE AC Xét DA D B và DC D E có:  
ABD = CDE (đối đỉnh)  
DAB = DCE (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung  BE ) Do đó DA D B ∽ DC D E AD DB  =
DB.DC = AD.DE DC DE
Do đó AB.AC - DB.DC = AD.AE - AD.DE 2
= AD(AE - DE) = AD . Bài 7: A a)  0 BMD D = BCA = 60
(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung  AB ) MB D
D cân tại M (vì MB = MD ) (gt) O Có  0 BMD = 60  M D BD đều D B C b) MN D D đều  0  MB = BD = , MD MBD = 60 M Xét MBC D và DBA D có: MB = BD ,
BC = BA ( AB D C đều)   0  MBC = DB ( A = 60 - ABC ) Do đó: MB D C = D
D BA (c.g.c)  MC = DA
Ta có: MA - MC = MD + DA = MA
c) MA = MB + MC
Do đó MA + MB + MC = 2MA
MA + MB + MC lớn nhất  MA lớn nhất
MA là đường kính của đường tròn (O)
M là trung điểm của BC
Vậy khi M là trung điểm của BC thì:
MA + MB + MC lớn nhất
Mặt khác, xét ba điểm M, ,
B C có: MB + MC ³ BC
Do đó: MA + MB + MC = 2(MB + MC ) ³ 2BC , không đổi
Dấu “=” xảy ra  M º B hoặc M º C
Vậy khi M trùng B hoặc M º C thì MA + MB + MC nhỏ nhất Bài 8: A a)   AD = DB (gt)    AED = BED F Xét EA D
B có EM là đường phân giác nên: D MA AE = (1) I O MB BE M N Tương tự: NA AE = (2) B C NC CE
Mà BE = CE (vì BE = CE ) (3) E
Từ (1), (2) và (3) có: MA NA = MB NC Xét AB D C có MA NA =
, theo định luật Ta-lét đảo có MN BC MB NC b)
Gọi I là giao điểm BF và CD ta có I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . EBI D
cân tại E có ED là đường phân giác nên là đường trung trực của BI .
MI = MB  DMBI cân tại M    MIB = MBI Mà   MBI = IBC Nên  
MIB = IBC MI BC
Ta có MI BC, MN BC M, I, N thẳng hàng.
Vậy MN đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Bài 9: B Ta có:  0
ABO = 90 ( AB là tiếp tuyến của (O)) và  0 KXO = 90 (gt) K
X và B nằm trên đường tròn đường kính OK A  
OBX = OKX (góc nội tiếp cùng chắn một cung) O Chứng minh tương tự: X  
OLX = OCX lại có OBC D
cân (OB = OC ) C    OBX = OCX L Vậy:   OKX = OLX
 DOKL cân có OX là đường cao cũng là đường trung tuyến Vậy KX = LX . Bài 10: a) Ta có
D là giao điểm thứ nhất của (O) và (O ) ¢
Dễ thấy AEMD là hình chữ nhật và ED là đường kính của (O) A E B Nên  0
END = 90 (góc nội tiếp chắn nửa cung đường tròn)
Mặt khác CD là đường kính của (O ) ¢ nên  0
DNC = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) O N P   0
END + DNC = 180 hay ba điểm O'
E, N,C thẳng hàng. D M C
Ta có AEMD là hình chữ nhật
AECM là hình chữ nhật    EB = CM (1) Xét CB D E và CD D P có
BCE = CDP (hai góc cùng phụ với góc DPC ) 0
CB = DC;B = C = 90 (gt) Do đó: CBE D = D D CP (g.c.g)
EB = CP (2) Từ (1) và (2)
CM = CP hay PC D
M cân có CA là đường phân giác
CA cũng đồng thời là đường cao. Vậy CA ^ MP . Bài 11: Trong đường tròn 1 (O) ta có:   ABD = AOD 2
Mặt khác trong đường tròn (M ) có:  1 
ABC = AMC (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng 2 D chắn một cung). A  
AMC = AOD (1) c O Tương tự ta có:   BMC = BOE (2) M E B
Do MA và MB là tiếp tuyến của (O) nên:   0 MAO = MBO = 90 Hay   0 MAO = MBO = 180   0
AMB + AOB = 180 Hay    0
AMC + BMC + AOB = 180 (3) Từ (1), (2) và (3) ta có: 0
AOD + BOE + AOB = 180 Vậy ba điểm , D , O E thẳng hàng. Bài 12: a) Ta có:    0
APM = AHM = AQM = 90
 Ba điểm P,H,Q nằm trên đường tròn đường kính AM hay năm điểm ,
A P,M, H, P cùng thuộc một đường tròn. A b) AP D
M vuông có PO là đường trung tuyến
PO = AO = MO AQ D
M có QO là đường trung tuyến O K Q
QO = AO = MO PO = QO P Trong AH D
M vuông có: HO là đường trung tuyến B M H C
HO = AO = MO
Từ đó: HO = PO Do ,
A P, M,H cùng thuộc đường tròn tâm O . Nên  
POH = 2PAH (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm) Mà  0 PAH = 30 ( AB D
C đều, AH là đường cao nên vừa là đường phân giác) Do đó:  0 0 POH = 2.30 = 60 POH D
có PO = HO và  0 POH = 60 Nên POH D
đều  PO = PH
Chứng minh tương tự ta có: QO D
H đều và QO = QH
Tứ giác OPQH có các cạnh liên tiếp bằng nhau
OP = PH = HQ = QO nên là hình thoi. c)
Nối P và Q ta có: PQ
PQ ^ OH tại K và KP = KQ = 2 OH KO = KH =
(Do tính chất đường chéo hình thoi) 2 PKO D
vuông theo định lí Py-ta-go ta có: 2 2 æAM ö æ ç ÷ AM ö 2 2 2
PK = PO - KO ç ÷ = ç ÷ -ç ÷ ç çè 2 ÷÷ ç ø è 4 ÷÷ø 1 1 3 2 2 2 = AM - AM = AM 4 16 16 3 3 3  PK = AM PQ = AM ³ AH không đổi 4 2 2
Dấu “=” xảy ra  M º H
Vậy PQ nhỏ nhất khi M º H . Bài 13: C
Giả sử PM cắt CB tại M ¢ N P 3 B A 1 Ta có:  
BCD = BDA (góc nội tiếp cùng chắn  BD ) 2  
PAM = P ( AM D
P cân vì MP = MA = MD ) 1 M O Do đó:   BCD = P 1 Ta còn có:  
P = P (đối đỉnh) D 2 3 Mà     0
P + P = 1v C + P = 90 hay MP ^ CB 1 2 3
Mặt khác: ON ^ CB (đường kính qua trung điểm của dây cung) Vậy MP ON
Tương tự: NP OM
Do vậy tứ giác PMON là hình bình hành
OP và MN cắt nhau tại trung điểm I của PO hay MN đi qua I cố định. Bài 14: B1  Trường hợp 1: C = 0
90 . Rõ ràng AB , A B, A B đồng quy tại C . 1 1 2 2 A2 C  Trường hợp 2:  0 C ¹ 90 B2
Các đường tròn ngoại tiếp hình vuông ACA A và BCB B 1 2 1 2
Có điểm chung c sẽ cắt nhau tại M (khác C ) A2 A B Ta có:  0 AMA = 45 2
(góc nội tiếp chắn cung một phần tư đường tròn)   0
A MC = A AC = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 2 2 Tương tự:  0 CMB = 45 1
Vì tia MA nằm giữa hai tia MA và MC , 2
tia MC nằm giữa hai tia MB và MA 2 nên    0 0 0 0
AMA + A MC +CMB = 45 + 90 + 45 = 180 2 2 1 hay ,
A M, B thẳng hàng.
Chứng minh tương tự A , M, B và A ,M,B thẳng hàng 1 2 2
Vậy AB ,A B và A B cùng đi qua M 1 1 2 2
Hay AB , A B và A B đồng quy. 1 1 2 2 Bài 15: a) CM ^ AM (  0
MAC = 90 góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) P
KP ^ AM (gt)  KP CM M K B
Gọi I là giao điểm của PK và BC . I
Ta có: PI CM mà KB = KM .
Vậy KI là đường trung bình của MBC D A C O  IB = IC , B C cố định  I cố định
Vậy PK luôn đi qua điểm I cố định. b) Ta có:  0 OKB = 90 , , O B cố định
M di động trên cung AB
K thuộc một phần cung tròn đường kính OB ./.