Đại số ma trận – Giáo trình môn Toán kinh tế 1 | Trường đại học sư phạm kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh

Chương 3 ĐẠI SỐ MA TRẬN
Chương 3 sẽ cung cấp kiến thức cơ bản về ma trận như: các dạng ma trận, các
phép toán trên ma trận và các ứng dụng của ma trận trong giải hệ phương trình, khảo sát
trị riêng, vector riêng và dạng toàn phương trong không gian nhiều chiều.
Sau khi học xong chương này, người học có khả năng
 Áp dụng các phép toán trên ma trận.
 Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính và áp dụng nó vào các bài toán kinh tế.
 Tìm được trị riêng, vector riêng của ma trận và áp dụng chúng vào một số mô
hình kinh tế như biểu diễn phổ của ma trận, chuỗi Markov, sự cân bằng của một nền kinh tế.
Một ma trận về cơ bản chỉ là một bảng các con số. Ví dụ ma trận A cho bởi 50 45 A 35 15     65 25  
có thể là điểm số của sinh viên qua hai kỳ thi. Khi chúng ta làm việc với các dữ liệu thì
ngầm hiểu rằng chúng ta đang làm việc với các ma trận.
Đại số ma trận là nghệ thuật vận dụng các ma trận theo cách thức tương tự như
việc vận dụng các con số trong đại số thông thường. Vì thế, chúng ta cũng sẽ học các
phép toán cộng, trừ, nhân và chia các ma trận. Thậm chí ta có thể tính được luôn eA hay
ln(A) với A là một ma trận.
Trong một số trường hợp thì đại số ma trận không hẳn là một cách ký hiệu tiện lợi
mà đôi khi người ta có thể làm việc trực tiếp với các con số trong ma trận. Và trong một
số trường hợp khác thì ký hiệu của đại số ma trận lại tốt hơn hẳn. Ví dụ như các đạo hàm
trong kinh tế đôi khi bạn phải mất tới 5 trang để tính toán nếu không sử dụng ký hiệu ma
trận. Đại số ma trận được xem là một ký hiệu “thâm thúy”, nó cho bạn thấy được những
điều mà có thể bạn chưa bao giờ thấy. Theo giải tích thì nó là một trong hai kỹ năng toán
học cơ bản mà một sinh viên ngành kinh tế bắt buộc phải có.
Giá trị sức mạnh của đại số ma trận rất đáng ngạc nhiên. Một số bản năng trong
đại số thông thường có thể khiến bạn lạc đường khi làm việc với các ma trận. Một ví dụ
điển hình là hai biểu thức A B và B  A là không giống nhau. Vì vậy bạn phải hết sức
cẩn thận khi bắt đầu tìm hiểu về ma trận. Chúng ta bắt đầu với các định nghĩa sau:
Định nghĩa 3.1. Một ma trận cấp m x n với m hàng và n cột có dạng sau:  a a ... a  11 12 1n  a a ... a  21 22 2n A  a      ij m  n  ... ... ... ...    a a a  m m ... 1 2 mn 
trong đó aij là phần tử ở vị trí hàng i và cột j của A.
Ví dụ 3.1. Ma trận cấp 3 x 2: a a 11 12  5 4 A a a  3 1    . 21 22     a a  6 2  31 32   
có a  4, a  3, a  2. 12 21 32
Định nghĩa 3.2. (Ma trận vuông).
Một ma trận A cấp m x n là một ma trận vuông nếu m = n.
Định nghĩa 3.3. (Đường chéo của ma trận vuông)
Cho ma trận vuông cấp n x n : A= [aij]. Khi đó các phần tử đường chéo là các
phần tử aij thỏa i = j. 5 4
Ví dụ 3.2. Cho ma trận vuông cấp 2 x 2 là  3 1  
Các phần tử nằm trên đường chéo là a  5, a  1. 11 22 Chú thích:
Đường chéo sẽ đi từ góc trên bên trái đi xuống góc dưới bên phải như sau 2                
Yếu tố rất quan trọng trong đại số ma trận chính là các vector.
Định nghĩa 3.4. (Vector hàng)
Một vector hàng hay vector dòng x = [xi] là một ma trận cấp 1 x n.
Định nghĩa 3.5. (Vector cột)
Một vector cột x = [xi] là một ma trận cấp n x 1.
Định nghĩa 3.6. (Đại lượng vô hướng)
Một đại lượng vô hướng là một ma trận cấp 1 x 1 hay chỉ là một số thông thường. Ví dụ 3.3.
Dưới đây ta thấy x là một vector cột 3 x 1, y là một vector hàng 1 x 3 và z là một đại lượng vô hướng 1 x 1:  1  x  2  
, y [5 4 2], z  3.    3    Chú thích:
Bất kỳ ma trận A cấp m x n có thể được xem như là một sự kết hợp của n vector
hàng với kích thước m x 1 hoặc là m vector cột với kích thước 1 x n. Ví dụ 3.4. Ma trận cấp 3 x 2: 5 4  5 4   5 4              A  3 1  3 1   3  1          6 2   6 2   
        6 2   5   4 
được tạo thành từ hai vector cột  3  ,  1       6   2      3 hoặc ba vector hàng  5  4 , 3  1 , 6  2 .
3.1. Phép cộng và phép trừ ma trận
Bản năng của bạn trong đại số thông thường có thể đáng tin cậy đối với phép cộng
và trừ các ma trận. Các quy luật khá đơn giản như sau:
3.1.1. Định nghĩa phép cộng trừ ma trận Định nghĩa 3.7.
Nếu A  [a ] và B  [b ] cùng là các ma trận cấp m x n và C  A B thì C là ij ij
một ma trận cấp m x n với: C  [a b ] ij ij Định nghĩa 3.8.
Nếu A  [a ] và B  [b ] cùng là các ma trận cấp m x n và C  A B thì C là ij ij
một ma trận cấp m x n với: C  [a b ] ij ij
Chú thích: Sai lầm thường gặp của bạn là cộng hay trừ các ma trận khác cấp. Ví dụ 3.5.  3 4   5 3  8 7 
 2 1   8 3  6 4            6 2   9 1   15 3         3 4   5 3   2 1 
 2 1   8 3  10 2             6 2   9 1         3 1  Ví dụ 3.6.
Tổng sau không xác định vì hai ma trận không cùng cấp.  5 1   3 4   8 6   1 2        9 2  
Định nghĩa 3.9. (Phép nhân ma trận với một số)
Nếu C   A trong đó  là đại lượng vô hướng và A  [a ] là một ma trận cấp ij
m x n thì C là một ma trận cấp m x n với: C  [ a  ] ij 4 Ví dụ 3.7.  3 4  12 16     42 1  8 4       1 2   4 8     
3.1.2 Ma trận 0 (ma trận zero) Định nghĩa 3.10.
Trong đại số ma trận, khi viết A  0 , ta hiểu là các phần tử của ma trận A đều bằng 0.
Định nghĩa 3.11.
Trong đại số ma trận, khi viết A  0 , ta hiểu là ma trận A không phải là ma trận
0 , nghĩa là tồn tại ít nhất một phần tử của ma trận A khác số 0. Ví dụ 3.8
Cho ma trận A cấp 3 x 2  5 3    8 3    9 1  
Nếu ta trừ ma trận A cho chính nó, ta được A  A  0 hay  5 3  5 3  0 0         8 3   8 3   0 0         9 1   9 1   0 0       
Chú ý rằng 0 không phải là số 0 thông thường mà là ma trận 0 cấp 3 x 2.
Do đó, nếu ta viết A  A  0 dưới giả thiết A là ma trận cấp 3 x 2, ta hiểu ngầm kích
thước ma trận 0 là 3 x 2. Ví dụ 3.9. 0 0   Nếu A 0 0 
thì ta viết A  0 vì a 0.   32 5 0   5
3.2 . Phép nhân hai ma trận
Không như phép cộng, trừ ma trận, phép nhân ma trận phức tạp hơn nhiều và bản
năng trong đại số thông thường lúc này là không đáng tin cậy. Ta bắt đầu phép nhân hai
ma trận với trường hợp đơn giản nhất, nhân một vector hàng với một vector cột. Ta có
3.2.1. Định nghĩa phép nhân hai ma trận
Định nghĩa 3.12.
Cho a  [a ] là một ma trận hàng cấp 1 x n và b  [b ] là ma trận cột cấp n x 1. i i
Khi đó tích a.b là một số cho bởi công thức:  b  1    b  2    . 
ab a a . . . a   
 a b  a b ...  a b 1 2 n  1 1 2 2  . n n     .     b   n   Ví dụ 3.10.  2   
Cho trước a  [1 3 6] và b   4  , ma trận tích của hai ma trận là:    7     2    ab 1 3 6 4   1.2 3.4  6.7  56    7    Chú thích
Ở đây, thứ tự các ma trận là quan trọng, nghĩa là ab và ba không bằng nhau. Trong
ví dụ trên, trong khi ab là số 56, ta sẽ thấy rằng ba là một ma trận cấp 3 x 3.  2  2  6 12     
ba   4 1 3 6 4 12 24       7  7  21 42     6
Bây giờ, ta tính AB trong đó A và B không phải là các vector. Một thủ thuật là xem
A như là tập hợp của các vector hàng và B như là tập hợp của các vector cột. Các phần tử
của AB được tìm ra bởi phép nhân một vector hàng của ma trận A với một vector cột của
ma trận B theo cách mà ta vừa được học. Định nghĩa 3.13.
Nếu A là một ma trận cấp m x n và B là một ma trận cấp n x s thì để có được AB,
ta viết A như là tập hợp của m vector hàng và B là tập hợp của s vector cột:  a  1    a  2 A    ,
B b b . . . b 1 2 s        a   m 
Trong đó vector hàng ai cấp 1 x n là vector hàng thứ i của ma trận A và vector cột bj cấp
n x 1 là vector cột thứ j của ma trận B. Tích C = AB là ma trận cấp m x s được định nghĩa bởi:  a b a b ... a b  1 1 1 2 1 s    a b a b ... a b  2 1 2 2 2 s C            a b a b ... a b   m 1 m 2 m s  Chú thích:
Để tích AB tồn tại thì số cột của A phải bằng số hàng của B. Một thuật toán để xác
định AB tồn tại và sau đó tính AB được trình bày dưới đây:
Thuật toán nhân hai ma trận
Cho trước hai ma trận: A cấp m x n và B cấp r x s, viết các kích thước hai ma trận
theo thứ tự mà bạn muốn nhân chúng. Do vậy, để có AB ta viết:
m x n | r x s Ta có:
1. Tích AB được định nghĩa khi và chỉ khi hai số ở giữa bằng nhau, tức là n = r. 7
2. Nếu 1. được thỏa thì AB được xác định, khi đó kích thước AB được tìm bằng cách
loại bỏ hai số n và r ở giữa để mà AB là một ma trận cấp m x s.
3. Viết A như là tập hợp của m vector hàng và B là tập hợp của s vector hàng. Phần tử
hàng i cột j của ma trận C = AB = [cij] được tìm bằng cách nhân hàng i của ma
trận A với cột j của ma trận B sao cho cij = aibj .
Ví dụ 3.11. Tính AB với hai ma trận  3 4 6 7      A  2 1 , B 5 4          6 2 1  2      Giải:
Theo thuật toán trên ta có
1. Viết kích thước của ma trận AB: 3 x 2|3 x 2 , ta thấy rằng hai số bên trong không
bằng nhau. Vì vậy tích AB không xác định và dĩ nhiên không thể tính được.
Ví dụ 3.12. Tính AB với  3 4   5 2 1 A   2 1  , B      3 3 4 6 2       Giải: Theo thuật toán ta có:
1. Viết kích thước của ma trận AB như: 3 x 2|2 x 3, ta thấy rằng hai số bên trong bằng
nhau, vì vậy tích AB xác định.
2. Xóa bỏ hai số nằm giữa, ta được ma trận AB là ma trận cấp 3 x 3.
3. Để tính AB, ta viết A là tập hợp của 3 vector hàng và B là tập hợp của 3 vector cột như sau:  3  4     5   2 1    A    2 
1  , B            3   3   4           6 2      8
Thực hiện phép nhân, ta thấy rằng:  3  4  
  5 2 1  AB    2  1         
  3 3 4  
        6  2       5   2 1     3  4   3 4  3  4     3   3   4             2 1          2  1  2  1  2  1      3 4                2 1   6  2 6 2  6 2    3   4           27 18 19      13 7 6     36 18 14   
Ví dụ, để tính phần tử 2, 3 của ma trận AB, ta nhân  1  2  1    2.1 1.4 6  4  
Trong khi để có phần tử 1, 1 của AB, ta nhân  5
3 4    3.5 4.3  27.  3  
Bạn nên tự lập phép tính các phần tử còn lại.
Ví dụ 3.13. Đảo ngược thứ tự phép nhân trong ví dụ trước và tính BA trong đó A và B
được cho như ví dụ trước. Theo thuật toán, ta có
1. Vì B cấp 2 x 3 và A cấp 3 x 2 , ta có 2 x 3|3 x 2 và BA được xác định.
2. Loại bỏ hai số bên trong ta được BA là một ma trận cấp 2 x 2.
3. Ta viết B là tập hợp của 2 vector hàng và A là tập hợp của 2 vector cột như sau: 9  3 4   5 2 1        B    , A   2 1      3 3 4            6 2       
Thực hiện phép nhân B với A, ta được:  3   4     5 2  1        BA     2 1   
 3 3 4           6 2         3 4         5 2  1 2   5 2  1 1           6 2           3 4             3 3  4 2   3 3 4 1           6   2           25 24      39 23   
Ta nhận thấy rằng BA có cấp 2 x 2 trong khi AB có cấp 3 x 3. Điều này minh họa cho
thực tế quan trọng rằng: kể cả khi AB và BA tồn tại thì AB  B . A
3.2.2. Ma trận đơn vị (Ma trận đồng nhất)
Ma trận đơn vị I trong đại số ma trận đóng một vai trò như số 1 trong đại số thông thường.
Định nghĩa 3.14. (Ma trận đơn vị).
Ma trận đơn vị I là một ma trận vuông cấp n x n với các số 1 nằm trên đường chéo
và các số 0 nằm ngoài đường chéo.
Nhận thấy rằng số 1 có tính chất: 1 x 5 = 5 x 1 = 5 và ma trận đơn vị cũng có tính chất
tương tự cho các ma trận, nghĩa là Định lý 3.15.
Với mọi ma trận A thì IA= AI = A. Ví dụ 3.14. 10
Ma trận đơn vị 3 x 3 được cho bởi  1 0 0    I   0 1 0  3    0 0 1   
Bạn có thể kiểm chứng rằng:  27 18 19   1 0 0   27 18 19        13 7 6   0 1 0  13 7 6        36 14 18   0 0 1  36 14 18       
3.3. Phép chuyển vị của ma trận
Nhìn chung trong đại số ma trận, nếu ta đổi chỗ các dòng và các cột thì ta được ma
trận chuyển vị của ma trận ban đầu.
Định nghĩa 3.16. (Ma trận chuyển vị)
Nếu A [a ] là một ma trận cấp m x n thì ma trận chuyển vị của A ký hiệu là AT, ij
là một ma trận cấp n x m trong đó phần tử ở hàng i cột j là a T ji hay A  [a ]. ji
Chú thích: Một điều hiển nhiên là chuyển vị của một số là chính nó. Ví dụ 5T = 5. Ví dụ 3.15 3 4 T      3  2 6  2 1        4 1 2 6 2       T  5  3   5 2 1        2 3  . 3 3 4      1 4   
Định lý 3.17. Ma trận chuyển vị thỏa mãn các tính chất sau
1. Nếu AB xác định thì (AB)T = BTAT 2. (AT)T = A 3. (A + B)T=AT + BT
3.3.1. Ma trận đối xứng
Định nghĩa 3.18. (Ma trận đối xứng). Ma trận A gọi là đối xứng khi và chỉ khi A = AT. 11 Chú thích:
Chỉ có ma trận vuông mới có thể đối xứng. Thật vậy, nếu A có cấp m x n thì AT có cấp
n x m và vì vậy A = AT kéo theo m = n. Ví dụ 3.16.
Ma trận A sau đây đối xứng vì A = AT hay 1 2 5 1 2 5 T 1 2 5      
A 2 3 6  2 3 6  2 3 6       5 6 4 5 6 4 5 6 4      
Tuy nhiên các ma trận B và C dưới đây không đối xứng vì 1 2 5 1 2 5 T  1 2 7       B  2 3 6 T
  B  2 3 6  2 3 6       7 6 4 7 6 4 5 6 4       1 2 1 2 T      1 2 5 C  2 3 T
  C  2 3        2 3 6 5 6 5 6          
3.3.2. Chứng minh rằng ATA là ma trận đối xứng
Nhìn chung chúng ta không thể thực hiện phép lũy thừa cho một ma trận bất kỳ.
Vì nếu ma trận A có kích thước m x n thì ma trận A2 không xác định trừ phi m = n. Như
vậy phép bình phương chỉ tồn tại với ma trận vuông. Tuy nhiên chúng ta luôn bình
phương A ở dạng ATA là ma trận kích thước n x n hay AAT là ma trận kích thước m x m.
Các ma trận dạng ATA hay AAT đóng vai trò rất quan trọng trong kinh tế và chúng
luôn luôn là các ma trận đối xứng.
Định lý 3.19.
Các ma trận ATA và AAT đều đối xứng. Chứng minh:
Nói chung, để chứng minh tính đối xứng, ta bắt đầu với CT và chứng minh rằng nó
bằng với C. Do đó nếu C = ATA thì CT
= (ATA)T (định nghĩa) 12
= AT(AT)T (vì (DE)T = ETDT)
= ATA (vì (DT)T = D) = C (định nghĩa).
Suy ra C đối xứng.
Một cách tương tự, bạn có thể chứng minh AAT cũng đối xứng hoặc sử dụng kết
quả trên vì nếu D = AAT thì D = BTB trong đó B = AT . Vì vậy D có dạng ATA và đối xứng.
Ví dụ 3.17. Cho trước  3 4   A  2 1    6 2  
Ta có ATA và AAT đều đối xứng. Thật vậy, ta có  3 4 3 2 6   49 22 T A A   2 1    4 1 2   22 21    6 2     và  3 4 25 2  26    3 2 6   T A A  2  1    2  5 1  0   4 1 2    6 2  26 10 40      
3.4. Ma trận nghịch đảo
Cũng như trong số học thông thường, chúng ta cũng mong muốn thực hiện phép
chia các ma trận. Với những con số chúng ta có thể biểu diễn phép bằng cách sử dụng
phép nhân và nghịch đảo như sau: 1 a b a b     .
Bây giờ ta thay a và b bằng hai ma trận A và B, chúng ta đã biết cách nhân chúng
A x B, vì vậy nếu ta tìm được B-1 (gọi là nghịch đảo của ma trận B) thì ta có thể mở rộng
phép chia ma trận như sau: 1 A B A B     13 1 1
Trở lại với số học, nghịch đảo của 3 là 1 thỏa mãn 3  3  1 . Trong đại số 3 3 3
ma trận thì quy tắc của số 1 được thể hiện bằng ma trận đơn vị I và đ đó ta có định lý sau:
Định nghĩa 3.20. (Ma trận nghịch đảo).
Ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A cấp n x n, ký hiệu là 1
A thỏa mãn  1  1 A A  AA  I . Chú thích:
 Nhìn chung trong đại số ma trận chúng ta viết 1 A B  
thay vì viết A  B
 Trong số học, chúng ta thường biểu diễn phép chia là a a  b  và ký hiệu a áp b b
dụng được với các con số vì thứ tự của phép nhân không ảnh hưởng, nghĩa là a 1 1 a b   b a 
. Nhưng đối với ma trận thì thứ tự của phép nhân là điều cần phải b quan tâm vì 1 1 A B
 B  A . Vì vậy A là một ký hiệu tồi vì nó không thể hiện được B ý của bạn là 1 A B  hay 1 B
A. Vì vậy với ma trận chúng ta không viết A . B
 Chỉ có ma trận vuông mới tồn tại ma trận nghịch đảo. Ví dụ 1 3 4       2  1  không xác định.    6 2  
Tuy nhiên không phải tất cả các ma trận vuông đều có ma trận nghịch đảo. Ví dụ
đại lượng vô hướng 0 hoặc bất kỳ ma trận vuông 0 đều không có nghịch đảo vì 0
A  0A  0 với mọi ma trận A.
Đồng thời cũng có những ma trận vuông khác 0 mà cũng không có nghịch đảo.
Chúng ta xem xét các kết quả sau 14
Định nghĩa 3.21. (Ma trận không suy biến).
Nếu ma trận A có nghịch đảo, ta nói rằng ma trận A không suy biến hay A khả nghịch.
Định nghĩa 3.22. (Ma trận suy biến).
Nếu ma trận A không có nghịch đảo, ta nói rằng ma trận A suy biến hay A không khả nghịch. Ví dụ 3.18.
Một ví dụ của ma trận không suy biến là  49 22 A    22 21  
mà ma trận nghịch đảo của nó là 1  49 22       1 21 22 1 A        22 21 545  22 49      bởi vì: 1  21 2  2 4  9 22 1 5  45 0  1 0 1 A A           545 22 49  2  2 21 545  0 545 0  1         Ví dụ 3.19.
Một ma trận với các phần tử khác 0 mà không có ma trận nghịch đảo là 1  2 A    1  2   Chứng minh:
Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử ngược lại là ma trận 1 B A  tồn tại.
Bởi vì BA  I theo định nghĩa của ma trận nghịch đảo, ta có b  b  1  2 1 0 11 12       b  b  1  2 0 1  21 22     
Thực hiện phép nhân hai ma trận, ta thu được 15  b  b 1  11 12 
2b  2b  0  b  b  0.   11 12 11 12
Từ đó suy ra điều mâu thuẫn: 1 = 0. Vậy ma trận A không có nghịch đảo.
Sau đây là một số kết quả hữu ích của ma trận nghịch đảo Định lý 3.23.
Nếu A có nghịch đảo thì ma trận nghịch đảo là duy nhất. Định lý 3.24.  Nếu 1
A  tồn tại thì A  1 1  A. Định lý 3.25. 1 T Nếu 1
A  tồn tại thì  T A  A  1 . Định lý 3.26.
Nếu A và B là các ma trận khả nghịch và có cùng cấp thì   AB 1  1  1  B A . Định lý 3.27.
Nếu A là ma trận cấp 2 x 2 thì ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi
a a a a  0 11 22 12 21 và được cho bởi 1  a a    a a   1 11 12 1 22 12 A        a a 
a a a a  a  a  21 22 11 22 12 21 21 11    
Ví dụ 3.20. Ma trận 1  2 A   1  2  
không có ma trận nghịch đảo vì
a a  a a  1 2 21 0 11 22 12 21 16 Định lý 3.28.
Nếu ma trận A đối xứng và 1
A  tồn tại thì 1
A cũng là ma trận đối xứng. Chứng minh.
Nếu A đối xứng thì T
A  A . Bây giờ  T    T A A  1 1 1 A   và vì vậy 1 A đối xứng.
Ví dụ 3.21. Ma trận đối xứng 9  3 A    3  2  
có ma trận nghịch đảo vì
a a  a a  9 2 33  9  0 11 22 12 21 Và 1
A được cho bởi  2 1 1 9 3     1  2 3 1   9 3 A           3 2 9 3 9   1 1        3   
cũng là ma trận đối xứng.
3.4.1. Ma trận đường chéo
Định nghĩa 3.29. (Ma trận đường chéo).
Nếu A  [a ] là một ma trận cấp n x n với a  0 i   j hay ij ij a 0  0  11    0 a  0  22 A             0 0  a   nn
thì A được gọi là ma trận đường chéo.
Ví dụ 3.22. Cho các ma trận sau: 17  3 0 0  3 0 7  3 0 6      
 0 2 0 ;  4 2 0 ;  4 2 0        0 0 4  0 0 4  3 0 4      
Ma trận thứ 1 là ma trận đường chéo trong khi ma trận thứ 2 và thứ 3 không phải
là ma trận đường chéo.
Các ma trận đường chéo rất dễ dàng khi thực hiện phép nhân, bạn chỉ cần nhân các
phần tử tương ứng trên đường chéo.
Định lý 3.30.
Nếu A và B là các ma trận đường chéo cùng cấp thì a  0  0  b  0  0  11 11      0 a  0   0 b  0  22 22 A B                      0 0  a   0 0  b   nn   nn  a b 0  0  11 11    0 a b  0  22 22             0 0  a b   nn nn
Chú thích: Đối với ma trận đường chéo thì AB = BA.
Ví dụ 3.23. Cho các ma trận 2 0 0 5 0 0    
A 0 3 0 ; B  0 6 0     0 0 4 0 0 7     Ta có:  2 0 0  5 0 0  25 0 0  10 0 0         
AB  0 3 0 0 6 0   0 3 6  0    0 18 0          0 0 4 0 0 7  0 0 4 7  0 0 28         
Định lý 3.31.
Một ma trận đường chéo A không suy biến khi và chỉ khi tất cả các phần tử trên
đường chéo đều khác không và khi đó ta có 18  1   0  0   a  11    1   0  0  1 A   a  22            1   0 0    a   nn  Ví dụ 3.24. 1    0 0  1  3 3 0 0          1 0 2 0 0 0          2  0  0 4   1    0  0   4    Ví dụ 3.25.
Bởi vì ma trận đồng nhất I là ma trận đường chéo với các số 1 nằm trên đường chéo, ta có 1 I  I .
Ví dụ 3.26. Ma trận đường chéo 3  0 0   0  2 0   0  0 0  
suy biến vì phần tử thứ 3 trên đường chéo bằng 0.
3.5. Định thức của ma trận
Một đặc tính quan trọng của ma trận vuông là định thức của nó. Nếu A là một ma
trận vuông cấp n x n thì ta viết định thức của nó là | A | hay det[ ] A . Định nghĩa 3.32.
Nếu A là ma trận cấp 1 x 1 (đại lượng vô hướng) thì det[A]  A trong khi nếu
A  [a ] là ma trận cấp 2 x 2 thì ij 19 a a  11 12 det[A]  det  a a  a a   . 11 22 12 21 a a  21 22 
Ví dụ 3.27. Ta có
det5 5; det 3 3 trong khi 5 1 det    5 3  1  4  11 4 3  
Để xác định định thức trong trường hợp n  3 nói chung là phức tạp vì nó liên
quan đến khái niệm của một hoán vị. Thay vì đề cập đến khái niệm đó, ta sử dụng khai
triển Laplace để giảm cấp của một định thức cấp n thành một dãy định thức cấp (n - 1).
Các định thức cấp (n -1) gọi là các định thức cấp con và được tìm bằng cách bỏ một hàng
và một cột từ một ma trận ban đầu.
Định nghĩa 3.33. (Định thức con)
Định thức cấp con thứ i, j của ma trận A, ký hiệu là mij , được cho bởi: m  det[ A ] ij ij
trong đó Aij là ma trận cấp (n – 1) x (n – 1) có được bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột
thứ j của ma trận A.
Định nghĩa 3.34. (Phần bù đại số)
Phần bù đại số thứ i, j của một ma trận A, ký hiệu là cij , được cho bởi
c  (1)i jm ij ij
trong đó mij là định thức cấp con thứ i, j của ma trận A.
Ví dụ 3.28. Xét ma trận 3 x 3: 3 1 4   A  1 2 6   3 1 8   20