TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2018-2019 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Môn: TOÁN KINH TẾ 2 KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG Mã môn học: MATH132801
Đề số/Mã đề: 03. Đề thi có 02 trang. ------------------------- Thời gian: 90 phút.
Được phép sử dụng tài liệu. Câu 1: (1.0 điểm). dx dy Tính các đạo hàm ;
biết các hàm ẩn x(t), y(t) xác định bởi hệ dt dt 2  x  ty  9 phương trình  . 2  y tx  20
Câu 2: (1.0 điểm). Từ đầu năm, số bệnh nhân đến khám bệnh tại bệnh viện X thay đổi 1 với tốc độ 2t 
(ngàn người/tháng), trong đó t là thời gian (đơn vị: tháng). Hỏi tổng t
số bệnh nhân đến khám tại bệnh viện X trong quý 2 là bao nhiêu?
Câu 3: (1.0 điểm). Giải phương trình vi phân 3y '(x) 12y(x)  4 biết y(0) 1, y '(0)  1 
Câu 4: (1.0 điểm). Giá p và sản lượng bán ra x của một loại hàng hóa có quan hệ là 2 2
p x  x  2000 . Áp dụng vi phân toàn phần cho biết giá hàng hóa thay đổi như thế nào
khi sản lượng bán ra tăng từ 20 lên 20,5 đơn vị sản phẩm.
Câu 5: (2.0 điểm). Một nhà máy sản xuất 2 loại hàng hóa X, Y với nguyên liệu đầu vào tương ứng là 1
x, y có hàm chi phí là C x, y 2 2
 2x  y và hàm sản xuất là 2 Q , x y  xy  m
a) Xác định lượng nguyên liệu của hai loại hàng hóa X, Y để chi phí nhỏ nhất.
b) Áp dụng định lý bao cho biết tham số m ảnh hưởng như thế nào đến chi phí nhỏ
nhất. Nếu sản lượng tăng gấp đôi thì chi phí nhỏ nhất thay đổi như thế nào?
Câu 6: (2.0 điểm). Một người sở hữu 3 khoản đầu tư với lãi kỳ vọng lần lượt là R1, R2
và R3 với các tính chất sau
E R  7, E R 10, E R  3 1  2  3
Var R  9, Var R  16, Var R  0, Cov R , R  6 1   2  3  1 2 a) Tính 2 E   E R R . 1 R   và  1 2 b) Nếu R  a  
với a b c 1 thì hãy xác định tỷ lệ a, b, c sao cho R đạt 1 R b 2 R cR3
lãi kỳ vọng bằng 8 và có rủi ro thấp nhất.
Câu 7: (2.0 điểm). Xét mô hình kinh tế vĩ mô như sau C  100 0,3Y t t 1  I 150 5 C C  t  t t 1   Y  C  I t t t
Trong đó Y, C, I lần lượt là tổng thu nhập quốc dân, lượng tiêu dùng và lượng đầu tư ; t
là thời gian (đơn vị : năm).
a) Biết Y  50,Y  75 , hãy dự đoán tổng thu nhập quốc dân sau 5 năm. 0 1
b) Mô hình trên có ổn định không? Tại sao? Nếu có thì tổng thu nhập quốc dân sẽ hội tụ về đâu?
Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.
Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/1
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Nội dung kiểm tra
[G1.1]: Tính được vi phân toàn phần của hàm nhiều biến, Câu 1, 2
tích phân bất định, tích phân xác định.
[G1.3]: Giải được phương trình sai phân và phương trình Câu 3 vi phân cấp 1, cấp 2
[G2.1]: Xây dựng được mô hình toán học sử dụng phép Câu 5
tính vi phân hàm nhiều biến để giải các bài toán cực trị
trong kinh tế như cực đại hóa lợi nhuận, cực tiểu hóa chi phí…
[G2.2]: Xử lý được các tính toán trong kinh tế dựa vào tích Câu 4, 6
phân và biến ngẫu nhiên
[G2.3]: Lập được phương trình sai phân và phương trình vi Câu 7
phân cấp 1, cấp 2 để giải các bài toán trong kinh tế. Ngày 3 tháng 6 năm 2019 Thông qua bộ môn Nguyễn Văn Toản
Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/1
Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP.HCM
Đáp án môn: TOÁN KINH TẾ 2 KHOA KHUD – Bộ môn Toán Mã môn học: MATH132801 Ngày thi: 10/06/2019 Câu Ý Nội dung Thang điểm 2  x  ty  9 2xdx  tdy  ydt  0    0,5 2  y  tx  20 tdx   2 ydy xdt  0 2  dx xt 2 1 y  2 dx dy x  t   y   2  dt dt  dt 4xy  t     0,5 2 dx dy dy yt  2  2 x t y x      2  dt dt  dt  4xy t
Gọi số bệnh nhân đến khám tại bệnh viện X ở tháng thứ t là N(t) dN(t) 1 0,5 Ta có  2t  dt t 2
Tổng số bệnh nhân đến khám trong quý 2 là 6  1  0,5 N  2t  dt  28.43   (ngàn người) 3  t  4
3y '(x) 12y(x)  4  y '(x)  4y(x)  3 4 1 0,5 Giá trị cân bằng 3 y*     4 3 Đa thức đặc trưng 2 r  4  0  r  2 3  5  4        1 A A y(0) y* A 1 2  12  3   11  2A 2A 1       0,5 1 2 2 A  12 1 5 11
Vậy nghiệm của phương trình là 2t 2 ( ) t y x e e     3 12 12        2  2 2 2 dp p 2 2000 2 2  0 x p x x pxdp p x dx    0,5 dx 2 px 4
Khi lượng bán ra tăng từ 20 -> 20,5 thì giá sẽ giảm 2 p  2x 
 0.5  0.17 (đơn vị tiền tệ) 0,5 2 px x 20 p 80 1 5 a Hàm Lagrange 2 2
L (x ,y ,m, )  2x  y   xy m 0,5 2
Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/1  L    4 y x    0 x  2 x   L  x Điều kiện bậc nhất  y    0 y  2 y   L    xy m 0     2 2  4x  y   * 1 x   m x  y   0  2 0,5 2 y   * y  2m  xy  m   0 * *3 C  L  2 y Áp dụng định lý bao: *       4 * m x x * 0,5 m  m  * y y x *  b * m
Độ co giãn của C* theo m là  C ( ) m  4 . m  2 *2 1 *2 2x  y 0,5 2
Vậy nếu sản lượng m tăng gấp đôi thì chi phí nhỏ nhất tăng gấp 4 lần. E R
  Var R  E R  9 7  58  1   1  12 2 2 a 0,5
E R R  Cov R , R  E R E R  6   7 1  0  64 1 2   1 2   1  2  2 Va [ r ] R  a Var R  2  b VarR  2abCo  v R , R  2 2  9a 16b 12ab (1) 1 2 1 2 0,5 [ E ]
R  7a 10b 3c  8 (2); a b c 1 (3) 5 4 
Từ (2) và (3) suy ra 4  7  5 a a b  b 6 7 Thay vào (1) ta được b 0,5 2     2 5 4a 5 4a 1033 2 1060 400 Va [ r ] R  9a 16 12a  a  a   f ( ) a    7  7 49 49 49 2066 1060 2066 f '( ) a  a  0 a 0,513; f '( ) a  0 49 49 49 0,5
Vậy tỷ lệ đầu tư cần thiết là a  0,513; b  0,421; c  0,066
Y  C  I  100 0,3Y 150 5 100 0,3Y 1000,3Y t t t t 1   t 1  t 2   0,5 Y  2501,8Y 1,5Y t t 1  t 2  Y  250 1  ,8 7  5 1  ,5 5  0  310 a 2 Y  250 1  ,8 3  10 1  ,575  695,5 3 0,5 Y  250 1  ,8 6  95,5 1  ,5310 1036,9 4 7 Y  2501,8 1
 036,91,5695,5 1073,17 5 9 69 Đa thức đặc trưng 2 r 1  ,8r 1,5  0  r   i 0,5 1,2 10 10 b 6 Vì r  1 1,2
 nên mô hình không ổn định, do đó tổng thu nhập quốc 2 0,5 dân Yt sẽ phân kỳ.
Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/1
Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/1