Giáo Án Dạy Thêm Đại Số 8 Chủ Đề Bài Tập Rút Gọn Phân Thức

CHỦ ĐỀ 9: BÀI TẬP RÚT GỌN PHÂN THỨC.
Bài 1. Rút gọn các phân thức sau: 2 2 3 a) x −16 + 4 + 3 15 ( + )
(x  0, x  4) b) x x (x  3 − )
c) x x y (y + (x + y)  0) 4x − x2 2x + 6 y 5 (x + y 2 ) 2
d) 5(x − y) − 3(y − x) 2 + 2 + 5 + 5 −
(x  y) e) x y x
y (x  −y) f) x
xy (x  y,y  0) 10(x − y) 2x + y 2 − x 5 − y 5 x 3 y − y2 3 2 2 g) a 2 x − a 4 x + a 2 4 − 4
(b  0, x  1  ) h) x
xy (x  0,x  y) b 5 − b 5 x2 x3 5 − x2 5 y 2 2 6 3 3 6
i) (x + y) − z + 2 +
(x + y + z  0) k) x x y
y (x  0,x  y) x + y + z x7 − xy6
Bài 2. Rút gọn các biểu thức. 4 2 3 2 a) m − m ;
b) ab + a − a b ; 2 2m + 2m + 2 3 4 a b + b
c) xy +1− x − y ;
d) ax + ay −bx −by ;
y + z −1− yz
ax − ay − bx + by 2 2 2 2 2
e) a + b − c + 2ab ; f) a − b ; 2 2 2
a − b + c + 2ac 2 2
a − a − b − b 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 g) a +1 ;
h) a (b − c ) + b (c − a ) + c (a −b ) ; 2 2a + 4a + 2 2 2 2
a (b − c) + b (c − a) + c (a − b) 2 2 2 2 2
i) x − (a + b)x + ab ;
j) x + a − b − 2bc + 2ax − c ; 2
x − (a − b)x − ab 2 2 2 2
x + b − a + 2bx − 2ac − c 3 2 x x − 2
k) 3x − 2x + 4x −5 ; l) . 2 6x + 3x − 9 2 x − 5x + 6 2 x 2 x 2 n) a − b ;
m) 1− (2a + 3b) ; x x a + b 2a + 3b +1 3x 3 y 4m 4n o) 3 − 3 ; ơ) 2 − 2 ; 3x + 3y 2n 2 2 + 2 m 2 2 2 3 2
p) a (b − c) + b (c − a) + c (a −b) ;
q) 2x − 7x −12x + 45 ;s 2 2 3 2
ab − ac − b + bc 3 2
3x −19x + 33x − 9 3 3 3 3 3 3 u)
x − y + z + 3xyz ; ư)
x + y + z − 3xyz . 2 2 2
(x + y) + ( y + z) + (z − x) 2 2 2
(x − y) + ( y − z) + (z − x) Trang 1
Bài 3: Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau: 2 2 3 2 2 a)
(2x + 2x)(x − 2) 1 − + A = với x = b) x x y xy B = với x = 5 − ,y = 10
(x3 − 4x)(x +1) 2 x3 + y3
Bài 4: Rút gọn các phân thức sau: 2 2 2 2 2
a) (a+ b) − c
b) a + b − c + a 2 b a + b + c
a2 − b2 + c2 + a 2 c 3 2 c) 2x − x 7 −12x + 45 x3 3 −19x2 + 3 x 3 − 9
Bài 5: Rút gọn các phân thức sau: 3 3 3 3 3 3 a)
a + b + c − a 3 bc b)
x − y + z + x 3 yz
a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca (x + y 2 ) + (y + z 2 ) + (z− x 2 ) 3 3 3 2 2 2 c)
x + y + z − x 3 yz d)
a (b − c) + b (c − a) + c (a − b) (x − y 2 ) + (y − z 2 ) + (z− x 2 )
a4(b2 − c2) + b4(c2 − a2) + c4(a2 − b2) 2 2 2 24 20 16 4
e) a (b− c) + b (c − a) + c (a− b)
f) x + x + x + ...+ x +1
ab2 − ac2 − b3 + bc2
x26 + x24 + x22 + ...+ x2 +1
Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau: 3 3 a) x − 2 2 − x − − = 3 3 ) (x  0) b) x x(x y = (x  y) −x
x(x2 + 2x + 4) x + y y2 − x2 2 c) x + y a 3 (x + y) =
(a  0, x  −y) a 3 a2 9 (x + y)
Bài 7: Tìm giá trị của biến x để: a) 1 1 P =
đạt giá trị lớn nhất
ĐS: max P = khi x = 1 − x2 + 2x + 6 5 2 b) x + x +1 3 Q =
đạt giá trị nhỏ nhất
ĐS: minQ = khi x = 1 x2 + 2x +1 4
Bài 8: Chứng minh rằng phân thức sau đây không phụ thuộc vào x và y: 2 2 2 2
a) (x + a)(1+ a) + a x +1 b) x 3 y − x 3 + y 2 − 2 9x −1  1  −
 x  ,y  1
(x2 − a)(1− a) + a2x2 +1 y −1 x 3 −1  3  2 2 2
c) ax − a axy + ax − ay − a ( + ) − − (x  1 − ,y  1 − ) d) x a x x +1 y +1 2x + a Trang 2 2 2 e) x − y f) a
2 x − 2x − y 3 + a 3 y
(x + y)(ay − ax) a
4 x + 6x + y 9 + a 6 y
Bài 9. Tìm các giá trị của x để các phân thức sau bằng 0. 4 3 4 2 a)
x + x + x +1 ;
b) x − 5x + 4 . 4 3 2
x − x + 2x − x +1 4 2 x −10x + 9
Bài 10. Viết gọn biểu thức sau dưới dạng một phân thức.
A = (x2 - x + 1)(x4 - x2 + 1)(x8 - x4 + 1)(x16 - x8 + 1)(x32 - x16 + 1). HD:
Nhân biểu thức A với x2 + x + 1, từ đó xuất hiện những biểu thức liên hợp nhau 2 2 2 Bài 11. Rút gọn x + y + z biết rằng x + y + z = 0. 2 2 2
( y − z) + (z − x) + (x − y)
Bài 12. Tính giá trị của phân thức A = 3x − 2y , biết rằng 9x2 + 4y2 = 20xy, và 2y < 3x <0. 3x + 2 y HD 2 2
Ta có A2 = 9x + 4y −12xy 20xy −12xy 8xy 1 = = = 2 2
9x + 4y +12xy 20xy +12xy 32xy 4
Do 2y < 3x < 0  3x − 2y  0,3x + 2y  0  A  0 . vậy A = 1 − . 2 4 4 4 4
Bài 13. Rút gọn biểu thức: P = (1 + 4)(5 + 4)(9 + 4)...(21 + 4) . 4 4 4 4
(3 + 4)(7 + 4)(11 + 4)...(23 + 4) HD
Xét n4 + 4 = (n2 + 2)2 - 4n2 = (n2 +2n + 2)(n2 - 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2] Do đó P = ( 1
− .1+ 2)(1.3+ 2) (3.5 + 2)(5.7 + 2) (19.21+ 2)(21.23+ 2) 1 − .1+ 2 1  .... = =
(1.3 + 2)(3.5 + 2) (5.7 + 2)(7.9 + 2) (21.23 + 2)(23.25 + 2) 23.25 + 2 577
Bài 14. Cho phân số A = 1
(mẫu có 99 chữ số 0). Tính giá trị của A với 200 chữ số thập 1,00...01 phân. HD 100 Ta có A = 10
. Nhân tử và mẫu với 10100 - 1, ta được: 100 10 +1 100 100 100 100 A= 10 (10 −1) 99...900...0 = = 0,99...900...0 200 10 −1 99...9 100 100 200 Trang 3
(Theo quy tắc đổi số thập phân tuần hoàn đơn ra phân số). 2 2 2 2 2
Bài 15. Cho phân thức: M = (a + b + c )(a + b + c) + (ab + bc + ca) 2
(a + b + c) − (ab + bc + ca)
a) Tìm các giá trị của a, b, c để phân thức có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức M. HD:
a) Điều kiện để phân thức M có nghĩa là mẫu thức kác 0.
Xét (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = 0
 a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = 0.
 2a2 + 2b2 + 2c2 +2ab + 2bc + 2ca = 0
 (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = 0  a + b = b + c = c + a  a = b = c.
Vậy điều kiện để phân thức M có nghĩa là a, b, c không đồng thời bằng 0, tức là a2 + b2 + c2  0.
b) Do (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
Đặt a2 + b2 + c2 = x; ab + bc + ca = y. Khi đó (a + b + c)2 = x + 2y. 2 2 2 2
Ta có M = x(x + 2y) + y
x + 2xy + y (x + y) 2 2 2 = =
= x + y = a + b + c + ab + bc + ca
x + 2y − y x + y x + y
(Điều kiện là a2 + b2 + c2  0) Trang 4