Giáo Án Dạy Thêm Đại Số 8 Chủ Đề Phân Thức Đại Số

CHỦ ĐỀ 6: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Phân thức đại số:
* Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng A , trong đó A, B là B
những đa thức, B là đa thức khác đa thức 0 A là tử thức (tử). B là mẫu thức
* Mỗi một đa thức cũng được coi là một đa thức có mẫu là 1.
2. Hai phân tức bẳng nhau:
Với hai phân thức A và C , ta nói A = C nếu A.D = B.C B D B D
B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP.
DẠNG 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau. I/ Phương pháp
* Để chứng minh đẳng thức A = C ta cần chứng minh A.D = B.C thì kết luận A = C B D B D
* Để kiểm tra phân thức A có bằng phân thức C không thì ta xét các tích A.D và B.C B D
+ Nếu A.D = B.C thì kết luận A = C B D
+ Nếu A.D ≠ B.C thì kết luận A không bằng C B D
* Để tìm mẫu thức (tử thức) chưa biết trong phân thức bằng nhau A = C B D  A.D = B.C
Từ đó dùng phép chia đa thức (rút gọn nhân tử chung) có được mẫu thức (tử thức) cần tìm.
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau: Trang 1 2 3 3 4 2 x (x + 2) 2 a) x y 7x y − − + = b) x = c) 3 x x 6x 9 = 5 35xy x(x + 2)2 x + 2 2 3 + x 9 − x 3 2 3x ( x + 5)
d) x − 4x −x − 2x = e) 5y 20xy = f) 3x = ; 10 − 5x 5 7 8x 2( x + 5) 2 x + 2 (x + 2)(x + )1 2 2 3 g) − − − + + = h) x x 2 x 3x 2 = i) x 8 = x + 2. 2 x −1 x −1 x +1 x −1 2 x − 2x + 4
Bài 2. Ba phân thức sau có bằng nhau không? 2 2
x + x − 2 x + 2 x − 4 ; ; . 2 2 x −1
x +1 x − x − 2
Bài 2. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau. 2 2 a) A 6x + 3x − − − = ;
b) 4x 3x 7 4x 7 = ; 2 2x −1 4x −1 A 2x + 3 2 2 2 c) 4x − 7x + 3 A − + = ; d) x 2x x 2x = . 2 2 x −1 x + 2x +1 2 2x − 3x − 2 A
Bài 3. Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai. Em hãy sửa sai cho đúng. 2 2
a) 5x + 3 5x +13x + 6 + + = ; b) x 1 x 3 = ; 2 x − 2 x − 4 2 x + 3 x + 6x + 9 2 2 2 c) x − 2 x + 2 − + − − = ;
d) 2x 5x 3 2x x 3 = . 2 x −1 x +1 2 2 x + 3x − 4 x + 5x + 4
DẠNG 2: Tìm điều kiện của biến để phân thức có nghĩa, bằng 0, khác 0. I/ Phương pháp.
* Điều kiện phân thức A có nghĩa (Tìm tập xác định) là mẫu thức B ≠ 0. B
Chú ý: Trước khi tìm điều kiện để A có nghĩa ta cần phân tích mẫu thức B thành B nhân tử. A = 0
* Để phân thức A = 0 thì  B B  0 A  0
* Để phân thức A ≠ 0 thì  B B  0
II/ Bài tập vận dụng. Trang 2
Bài 6. Tìm điều kiện của các phân thức sau: 2 a) 3 b) x + 3 c) x d) 2x +1 . 5x + 2 2 x − 6x + 9 2 x + 3x 2 x − 3x + 2
Bài 7. Tìm các giá trị của biến để các biểu thức sau bằng 0. 2 2 a) 3x −1 b) x − x c) x − 3x + 2 2 x − 5 2x +1 2 x +1 2 4 3 4 2 d) x − 2x e)
x + x + x +1
f) x − 5x + 4 . 2 x − 4x + 4 4 3 2
x − x + 2x − x +1 4 2 x −10x + 9
DẠNG 3: Chứng minh một phân thức luôn có nghĩa. I/ Phương pháp.
Để chứng minh phân thức A luôn có nghĩa ta cần chứng minh mẫu thức B ≠ 0 với mọi B
giá trị của biến tức là phải biến đổi B về một trong các dạng sau:
B = a + [f(x)]2 hoặc B = - a - [f(x)]2 với số a > 0
B = a + |f(x)| hoặc B = - a - |f(x)| với số a > 0
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa: − a) 3 b) 3x − 5 c) 7x -1 2 2x + 7 2 −(3x −1) − 2 2 x + 2x + 4 2 d) x e) x 2 x − 4x+5 2 x − x + 7
Bài 2: Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa: a) x − y b) 2x − y 2 2 x y − 2xy + 3 2 2 x + y − 2x + 2
DẠNG 4: Tìm GTNN, GTLN của phân thức. I/ Phương pháp.
* T = a + [f(x)]2 ≥ a Hoặc T = a + |f(x)| ≥ a
=> GTNN của T bằng a khi f(x) = 0
* T = b - [f(x)]2 ≤ b Hoặc T = a - |f(x)| ≤ a
=> GTLN của T bằng b khi f(x) = 0
* Nếu a > 0 và T > 0 thì a nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) khi T lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) T Trang 3
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: Tìm GTNN của phân thức 3+ | 2x −1| . 14 Hướng dẫn
Vì mẫu thức là 14 > 0 => phân thức có GTNN khi 3 + |2x – 1| có GTNN
Vì |2x – 1| ≥ 0 nên 3 + |2x – 1| ≥ 3
=> 3 + |2x – 1| có GTNN bằng 3 khi 2x – 1 = 0  x = 1 2
=> GTNN của phân thức 3+ | 2x −1| bằng 3 14 14 2
Bài 2: Tìm GTLN của phân thức 4 − x + 4x 15 Hướng dẫn
Vì mẫu thức là 15 > 0 => phân thức có GTLN khi – 4x2 + 4x có GTLN
Ta có: – 4x2 + 4x = 1 – (2x – 1)2
Vì – (2x – 1)2 ≤ 0 nên 1 – (2x – 1)2 ≤ 1
=> 1 – (2x – 1)2 có GTLN bằng 1 khi 2x – 1 = 0  x = 1 2 2
=> GTLN của phân thức 4
− x + 4x bằng 1 15 15
Bài 3: Tìm GTLN của phân thức: 5 2 x + 2x + 2 Hướng dẫn
Vì Tử thức là 5 > 0 và mẫu thức x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 > 0
=> phân thức có GTLN khi (x + 1)2 + 1 có GTNN
Vì (x + 1)2 ≥ 0 nên (x + 1)2 + 1 ≥ 1
=> (x + 1)2 + 1 có GTNN bằng 1 khi x + 1 = 0  x = - 1 => GTLN của phân thức 5 bằng 5 khi x = - 1 2 x + 2x + 2
Bài 4: Tìm GTLN của phân thức: 3 2+ | 2x − 5 | Hướng dẫn Trang 4
Vì Tử thức là 3 > 0 và mẫu thức 2 + |2x – 5| > 0
=> phân thức có GTLN khi 2 + |2x – 5| có GTNN
Vì |2x – 5| ≥ 0 nên 2 + |2x – 5| ≥ 2
=> 2 + |2x – 5| có GTNN bằng 2 khi 2x - 5 = 0  x = 5 2 => GTLN của phân thức 3 bằng 3 khi x = 5 2+ | 2x − 5 | 2 2
Bài 5: Tìm GTNN của các phân thức 2 a) x + 4x + 6 b) 4 + 2 |1− 2x | 3 15
Bài 6: Tìm GTLN của các phân thức a) 12 b) 5
3+ | 5x +1| + | 2y −1| 2 2
4x + 4x + 2y + y + 3
DẠNG 5: Tìm giá trị nguyên của biến để phân thức nhận giá trị nguyên. I/ Phương pháp.
Với phân thức a (tử thức a là số nguyên) f (x)
Bước 1: Tìm điều kiện để f(x) ≠ 0
Bước 2: Phân thức a nhận giá trị nguyên thì f(x) phải là Ước của số a f (x)
Bước 3: Giải f(x) = Ư(a) để tìm x.
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1. Tìm các giá trị nguyên của biến để phân thức sau nhận giá trị nguyên: 3 2 x + x +1
Bài 2. Tìm các giá trị nguyên của biến để phân thức sau nhận giá trị nguyên: 6 ; x − 3
Bài 3. Tìm các giá trị nguyên của biến để các phân thức sau nhận giá trị nguyên: 2 1+ | 2x −1| Trang 5
BÀI TẬP TỔNG HỢP
PHÂN THỨC BẰNG NHAU.
Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: 2 2 a) y 3 6xy = 3 − 3 2( − ) 2 − (x  0) b) x x = (y  0) c) x y = (x  y) 4 x 8 y 2 − y 2 3(y − x) 3 2 d) 2xy x 8 y − − 2 2 − = 1 1
(a  0,y  0) e) x x = (y  2) f) a a = (b  0) a 3 1 a 2 y 2 − y y − 2 − b 5 b 5
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: 3 3 a) x − 2 2 − x − − = 3 3 ) (x  0) b) x x(x y = (x  y) −x
x(x2 + 2x + 4) x + y y2 − x2 2 c) x + y a 3 (x + y) =
(a  0, x  −y) a 3 a2 9 (x + y)
Bài 3. Với những giá trị nào của x thì hai phân thức sau bằng nhau: x − 2 và 1 x2 − x 5 + 6 x − 3
Bài 4. Cho hai phân thức (2x +1)(x − 2) − 2 A = , x B =
. Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các 3(2x +1) 3 trường hợp sau: a) x N b) x Z c) xQ
Bài 5. Cho ba phân thức x +1 ( +1)( + 2) ( +1)(3 − 2) A = , x x B = , x x C =
. Hãy xét sự bằng nhau của 5 5(x + 2) 5( x 3 − 2)
chúng trong các trường hợp sau: a) x N b) x Z c) xQ
TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PHÂN THỨC CÓ NGHĨA.
Bài 1. Tìm điều kiện xác định của phân thức: 2 2 a) x − 4 b) 2x −1 c) x − 4 9 2 x −16 2 x − 4x + 4 2 x −1 Trang 6 2 d) 5x − 3 e) x − x 5 + 6 f) 2 x2 2 − x x2 −1 (x +1)(x − 3) g) 2x +1 x2 − x 5 + 6
Bài 2. Tìm điều kiện xác định của phân thức: 2 a) 1 b) x y + 2x c) x 5 + y x2 + y2 x2 − 2x +1 x2 + 6x +10 d) x + y x 2 + + y 2 ( 3) ( − 2)
TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ THÂN THỨC BẰNG 0, KHÁC 0
Bài 1. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không: 2 a) 2x −1 b) x − x c) 2x + 3 x 5 −10 2x 4x − 5 2
d) (x −1)(x + 2)
e) (x −1)(x + 2) f) x −1 x2 − 4x + 3 x2 − 4x + 3 x2 − 2x +1
Bài 2. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không: 2 3 3 2 a) x − 4 b) x −16x
c) x + x − x −1 x2 + x 3 −10 x3 − x2 3 − 4x x3 + 2x − 3
Bài 3. Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau khác không: 2 a) x −1 b) x − 2x c) x + 3 2x −10 2x -1 4x − 7
CHỨNG MINH MỘT PHÂN THỨC LUÔN CÓ NGHĨA.
Bài 1. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa: a) 3 b) x 3 − 5 c) x 5 +1 x2 +1 (x 2 −1) + 2 x2 + 2x + 4 2 d) x − 4 e) x + 5 −x2 + 4x − 5 x2 + x + 7
Bài 2. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa: a) x + y b) 4 x2 + y2 2 +1
x2 + y2 − 2x + 2 Trang 7