lOMoAR cPSD| 49519085 LÊ THÁI THANH GIÁO TRÌNH TOÁN I
(Chương Trình Chất Lượng Cao Việt-Pháp) lOMoAR cPSD| 49519085
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM 51 89/176-05 Mã số: 8I092M5 GD-05 Lời nói đầu
Tập bài giảng Toán I này được biên soạn dành cho sinh viên trong chương trình Chất lượng cao Việt-Pháp.
Tổng số giờ lí thuyết và bài tập của môn học khoảng 180 tiết kéo dài trong 15 tuần. Nội dung của môn học
bao gồm các vấn đề cơ bản của Đại số đại cương, Đại số tuyến tính và Giải tích hàm một biến.
Nội dung của giáo trình dựa theo các tài liệu [1], [2], [3] trong toàn bộ bảy tập của tác giả Jean-Marie
Monier. Đây là tài liệu chính dành cho sinh viên của chương trình Việt-Pháp. Chúng tôi cố gắng biên soạn lại
cho dễ hiểu hơn đối với sinh viên Việt Nam và cũng tham khảo thêm một số sách khác như [6], [7]. Các bài
tập được tuyển chọn trong các sách kể trên và trong các cuốn sách [4], [5], [8].
Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc. Thư từ góp ý xin gửi về:
Bộ môn Toán ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa TP. HCM, 104 Nhà
B4, 268 Lý Thường Kiệt, P.14, Q.10, TP. HCM.
Điện thoại: 08-8647256 (ext. 5305)
E-mail: tlethai@hcmut.edu.vn
TP. HCM, ngày 22 tháng 4 năm 2010 Tác giả Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 TẬP HỢP-ÁNH XẠ-QUAN HỆ 8 lOMoAR cPSD| 49519085
1.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Bài tập chương 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 17
2.1 Phép toán hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Nhóm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Bài tập chương 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 CÁC TẬP HỢP SỐ 28
3.1 Số tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5 Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Bài tập chương 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 DÃY SỐ 38
4.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 lOMoAR cPSD| 49519085 MỤC LỤC 5
4.2 Dãy con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Một số loại dãy thông thường
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.1 Dãy truy hồi tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.2 Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.3 Dãy trung bình Césaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Bài tập chương 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 50
5.1 Khái niệm hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2 Giới hạn của hàm số
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3 Vô cùng bé và vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.4 Tính liên tục
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Bài tập chương 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 66
6.1 Đạo hàm và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2 Các định lý về hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.3 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.4 Sự biến thiên của hàm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.5 Khảo sát và vẽ đồ thị đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.5.1 Đường cong cho bởi phương trình y f x
. . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.5.2 Đường cong cho bởi phương trình tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.5.3 Đường cong trong toạ độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Bài tập chương 6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 7 TÍCH PHÂN 88 7.1 Tích phân bất định
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.1.1 Định nghĩa và cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.1.2 Tích phân các hàm hữu tỉ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.1.3 Tích phân một số hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.1.4 Tích phân các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 lOMoAR cPSD| 49519085 MỤC LỤC 7.2 Tích phân xác định
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.2.1 Định nghĩa và các tính chất
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6
7.2.2 Các phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.3 Tích phân suy rộng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.3.2 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.4 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Bài tập chương 7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8 ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN 111
8.1 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.1.2 Các phép toán trên ma trận
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.2 Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.2.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.2.2 Các ví dụ tính định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 8.3 Ma trận nghịch đảo
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.4 Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Bài tập chương 8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 9 KHÔNG GIAN VECTƠ 126
9.1 Khái niệm về không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 9.2 Không gian vectơ con
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.3 Không gian Euclide thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Bài tập chương 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 144
10.1Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 10.2Hệ thuần nhất
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Bài tập chương 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 lOMoAR cPSD| 49519085 MỤC LỤC 7
CHỈ DẪN VÀ TRẢ LỜI 151
Chỉ dẫn và trả lời bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Chỉ dẫn và trả lời bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Chỉ dẫn và trả lời bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Chỉ dẫn và trả lời bài tập chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Chỉ dẫn và trả lời bài tập chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Chỉ dẫn và trả lời bài tập chương 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Chỉ dẫn và trả lời bài tập chương 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Chỉ dẫn và trả lời bài tập chương 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Chỉ dẫn và trả lời bài tập chương 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Chỉ dẫn và trả lời bài tập chương 10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 lOMoAR cPSD| 49519085 CHƯƠNG MỘT
TẬP HỢP-ÁNH XẠ-QUAN HỆ Mục lục
1.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Quan hệ hai ngôi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 §1.1 MỆNH ĐỀ
Mệnh đề hay mệnh đề toán học là những khẳng định có giá trị xác định (đúng hoặc sai nhưng không thể
vừa đúng vừa sai). Các giá trị đúng hoặc sai được gọi là chân trị của mệnh đề. Ví dụ 1.1. "1 1
2" là mệnh đề có giá trị chân trị đúng.
"4 là số nguyên tố" là mệnh đề có giá trị chân trị sai.
Khẳng định "n là số nguyên tố" không phải là mệnh đề toán học. Tuy nhiên, nếu thay n bởi một số tự nhiên nào
đó thì nó trở thành mệnh đề và tùy theo n, giá trị chân trị của mệnh đề có thể đúng hoặc sai.
Ta thường ký hiệu mệnh đề bởi các chữ các in hoa: P,Q,R,. . ; chân trị đúng là 1 (hoặc T), chân trị sai là 0
(hoặc F). Để kiểm tra một mệnh đề là đúng hay sai ta thường lập bảng chân trị cho mệnh đề đó. Cho P và Q
là hai mệnh đề. Xét các phép toán sau: phép phủ định ( P), phép tuyển (P Q), phép hợp (P Q), phép kéo theo
(P Q), phép tương đương (P Q). Giá trị của các phép toán được cho bởi bảng chân trị sau: P Q P P Q P Q P Q P Q 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1.1 Mệnh đề
Chú ý: Mệnh đề P Q có thể đọc theo nhiều cách như sau: P là điều kiện đủ của Q hoặc Q là điều kiện cần của
P. Còn mệnh đề P Q có thể đọc như sau: P là điều kiện cần và đủ để có Q hoặc P nếu và chỉ nếu Q hoặc P khi và chỉ khi Q. lOMoAR cPSD| 49519085 9
Các tính chất sau đây của các phép toán trên mệnh đề có thể dễ dàng chứng minh bằng các lập bảng chân
trị và xem như bài tập. 1. P P 4. P Q P Q 2. P Q P Q 5. P Q Q P 3. P P Q Q 6. P Q Q R P R
Vị từ là một khẳng định P x,y,. . trong đó có chứa một số biến x,y,. . lấy giá trị trong những tập hợp cho trước
X,Y,. . sao cho bản thân P x,y,. . không phải là mệnh đề và nếu thay x,y,. . bởi những phần tử cố định x a X,y b
Y,. . ta được môt mệnh đề P a,b,.. Ví dụ 1.2.
P n = "n là một số nguyên tố" là một vị từ theo một biến n N
Q x,y = "y 2,x y,x 2y là các số chẵn" là một vị từ với hai biến tự do x,y Z. Chẳng hạn, Q 4,2 là mệnh đề đúng. Trong
khi Q 5,2 ,Q 4,7 là những mệnh đề sai.
Cho hai vị từ P x ,Q x theo một biến x X. Khi đó:
Phủ định của P x , ký hiệu là P x , là vị từ mà khi thay x bởi một phần tử a cố định của X thì ta được mệnh đề P a .
Các phép toán ( , , , ) trên các vị từ P x ,Q x là những vị từ theo biến x mà khi thay x bởi phần tử cố định
a X ta được các mệnh đề tương ứng.
Giả sử P x là một vị từ theo biến x
X. Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Khi thay x bởi một phần tử tùy ý trong a X, ta luôn được một mệnh đề đúng P a . Như vậy
mệnh đề "với mọi x X, P x " là mệnh đề luôn luôn đúng và ký hiệu bởi " x X, P x "
Trường hợp 2: Với một số giá trị a X thì P a là mệnh đề đúng, và với một số giá trị b X thì P b là mệnh đề sai.
Như vậy, mệnh đề "tồn tại x X, P x " là mệnh đề đúng và ký hiệu bởi " x X, P x ".
Các ký hiệu và được gọi là các lượng từ với mọi và lượng từ tồn tại. Ngoài ra ta còn dùng ký hiệu ! với ý nghĩa
là tồn tại duy nhất. Chú ý rằng ký tự tác động bởi lượng từ là câm (nghĩa là có thể thay thế bởi các ký tự khác). Ví dụ: x X,p x y X,p y hoặc x X,p x y X,p y 1.2 Tập hợp
Ta cũng có thể dùng phép toán phủ định đối với một câu lượng hóa. lOMoAR cPSD| 49519085 10 x X,p x x X, p x hoặc x X,p x x X, p x
Chú ý rằng nói chung ta không thể thay đổi thứ tự các lượng từ trong một câu lượng hóa. Ví dụ,
x N, y N,x
y là mệnh đề đúng, nhưng y N, x N,x
y là mệnh đề sai. §1.2 TẬP HỢP
Tập hợp là một khái niệm toán học không được định nghĩa. Nó được hiểu như một tụ tập các đối tượng
do một tính chất chung nào đó hợp thành. Ta ký hiệu tập hợp bởi các chữ cái in hoa như A,B,C,X,Y,. . Nếu x là
một thành phần tạo nên tập hợp X thì ta nói x là phần tử của X và viết x X. Nếu y không phải là phần tử của X thì ta viết y X.
Ta nói tập hợp A là tập con của tập hợp B, ký hiệu là A B, nếu x A x B. Phủ định của A
B được viết là A B. Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau, A B, khi và chỉ khi A B và B A.
Để xác định một tập hợp, ta có thể liệt kê các phần tử của tập hợp đó X x,y,z,. . hoặc chỉ ra tính chất mà
các phần tử của nó có X x p x . Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng và ký hiệu . Ta có với
mọi tập X: X.
Một tập hợp có hữu hạn các phần tử được gọi là tập hợp hữu hạn. Ngược lại được gọi là tập hợp vô hạn.
Số lượng các phần tử của một tập hợp A được ký hiệu là Card A hay #A.
Tập tất cả các tập con của tập X cho trước được ký hiệu là B X . Nếu X là một tập hữu hạn có n phần tử thì
tập B X có 2n phần tử.
Giả sử X là một tập hợp, A,B B X . Ta định nghĩa các phép toán trên các tập hợp con của X như sau:
Phần bù của tập A trong X: CX A x X x A
Hợp của hai tập hợp A và B: A B x X
x A x B
Giao của hai tập hợp A và B: A B x X
x A x B
Hiệu của hai tập hợp A và B: A B A B
x X x A x B
. Đối với phép toán phần bù, nếu
Hai tập hợp A và B được gọi là rời nhau nếu A B
không có gì nhầm lẫn ta ký hiệu CX A C A A.
Các phép toán trên tập hợp có các tính chất sau (xem như bài tập, sinh viên tự chứng minh). 1. CX
X,CX X ,CX CX A A 1.3 Ánh xạ lOMoAR cPSD| 49519085 11 2. A B B A, A B C A B C ,A B B A B 3. A B B A, A B C A B C ,A B B B A 4. CX A B CX A CX B ,CX A B CX A CX B 5. A B C A B A C ,A B C A B A C 6. A B A CX B A A B ,A B A B
Giả sử x,y là hai phần tử tương ứng của hai tập hợp X,Y . Ta thành lập một phần tử mới x,y gọi là cặp x,y . Hai
cặp x,y và u,v được gọi là bằng nhau nếu x u và y v. Nói chung x,y y,x . Do đó thứ tự các phần tử trong cặp là
quan trọng. Bây giờ cho hai tập X và Y . Tập tất cả các cặp x,y với x X và y Y được gọi là tích Decartes của X và
Y và ký hiệu là X Y . Ta có thể mở rộng khái niêm tích Decartes ra cho nhiều tập hợp. Nếu X Y thì tích Decartes
X Y được ký hiệu là X2. §1.3 ÁNH XẠ
Cho X và Y là hai tập hợp. Một ánh xạ f từ X đến Y là một qui tắc cho tương ứng với mỗi phần tử x của X
một phần tử xác định duy nhất, ký hiệu là y f x của Y . Ta viết f : X Y x y f x
Tập hợp X được gọi là tập nguồn hay miền xác định và tập hợp Y được gọi là tập đích hay miền giá trị của
ánh xạ f. Phần tử y f x được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f, khi đó x được gọi là tạo ảnh của y. Tập hợp tất cả
các ánh xạ đi từ X đến Y được ký hiệu là Y X.
Ví dụ 1.3. Xét ánh xạ f : X X sao cho x f x
x là ánh xạ đồng nhất trên X và ký hiệu là IdX.
Hai ánh xạ f : X Y và g : X Y được gọi là bằng nhau nếu với mọi x X ta luôn có f x g x .
Xét ánh xạ f : X Y . Một tập con Γ của tích Descartes X Y gồm các cặp x,f x với x X được gọi là đồ thị của ánh xạ f. Cho f : X Y,x X,A X,B Y . Ta có: lOMoAR cPSD| 49519085 12
f A y Y x A : f x y là ảnh của A bởi f. f 1 B x X f x B được gọi là tạo ảnh toàn phần của B bởi f. 1.3 Ánh xạ
f là đơn ánh nếu x,x X,f x f x x x .
f là toàn ánh nếu f X Y , nghĩa là y Y, x X : f x y. f là song ánh nếu nó vừa là
đơn ánh vừa là toàn ánh.
Cho hai ánh xạ f : X Y và g : Y Z. Một ánh xạ h : X Z được xác định sao cho x X,h x g f x được gọi là tích của hai
ánh xạ f và g và ký hiệu là g f. Nói chung tích các ánh xạ không có tính giao hoán. Ta có các định lý sau.
Định lý 1.1. Tích của hai ánh xạ có tính kết hợp.
Chứng minh. Giả sử f : X
Y , g : Y
Z và h : Z T . Ta có x X, h g f x h g f x h g f x h g f x h g f x .
Định lý 1.2. Tích của hai đơn ánh (toàn ánh, song ánh) là một đơn ánh (toàn ánh, song ánh).
Chứng minh. Cho f : X Y và g : Y Z là hai ánh xạ. Nếu f và g là các đơn ánh thì x,x X ta có: g f x g f x g f x g f x f x f x x
x . Do đó g f là đơn ánh.
Giả sử f và g là các toàn ánh. Lấy z
Z. Vì g là toàn ánh nên có một y Y : g y
z. Tương tự vì f là
toàn ánh nên có x X : f x y. Vậy có z Z, x X : z g y g f x g f x . Vậy g f là toàn ánh. Còn nếu f và g là các song ánh thì
từ hai kết quả trên ta được g f cũng là song ánh.
Định lý 1.3. Cho f : X Y và g : Y Z là hai ánh xạ. Nếu g f là đơn ánh thì f là đơn ánh, còn nếu g f là toàn ánh thì g là toàn ánh.
Chứng minh. Giả sử g f là đơn ánh. Khi đó x,x X ta có f x f x g f x g f x g f x g f x x x . Do vậy f là đơn ánh. Cho g f là
toàn ánh. Lấy z Z, khi đó có x X : g f x g f x z. Nghĩa là có phần tử y f x Y : f y z. Vậy g là toàn ánh.
Cho f : X Y . Ta nói ánh xạ g : Y X là ánh xạ ngược của f nếu g f IdX và f g IdY .
Định lý 1.4. Ánh xạ ngược nếu có là duy nhất.
Chứng minh. Giả sử có hai ánh xạ ngược của f là g và h. Khi đó g f IdX và f h IdY . Từ đó: g g IdY g f h g f h IdX h h. lOMoAR cPSD| 49519085 13
Ta ký hiệu ánh xạ ngược của f là f 1. Ta có mệnh đề quan trọng sau đây.
Định lý 1.5. Ánh xạ f : X
Y có ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là song ánh.
Chứng minh. Giả sử f có ánh xạ ngược là f 1. Khi đó f 1 f IdX và f f 1 IdY . Lấy x và x tùy ý thuộc X và giả sử f x f x . Ta có
x f 1 f x f 1 f x x . Vậy f là đơn ánh. Bây giờ xét
1.4 Quan hệ hai ngôi y là phần tử tùy ý của Y . Ta có f f 1 y y. Do đó có phần tử x f 1 y X để cho f x y, nên f là toàn ánh. Vậy f là song ánh.
Đảo lại, nếu f là song ánh thì qui tắc cho ứng với mỗi phần tử y Y một phần tử duy nhất x f 1 y X là ánh xạ g : Y X.
Dễ thấy rằng g f IdX và f g IdY , và g là ánh xạ ngược của f. Định lý 1.6. Giả sử f : X Y và g : Y Z là các song ánh. Khi
đó g f 1 f 1 g 1.
Chứng minh. Ta có g g IdY g f f 1 g f
f 1. Do đó IdZ g g 1 g f f 1 g 1 g f f 1
g 1. Điều này chứng tỏ g f 1 f 1 g 1.
Cho I α,β,γ,. . là tập khác rỗng và X là một tập tùy ý. Xét ánh xạ f : I X cho ứng với mỗi phần tử của I, là α
chẳng hạn, với một phần tử x X, ký hiệu là f α xα. Khi ấy ta nói tập hợp X được đánh số bởi tập hợp I và tập I
được gọi là tập các chỉ số. Ta cũng có thể viết X xα α I. Nếu các phần tử của X là các tập hợp thì ta nói X là một họ các tập hợp.
Cho một họ các tập hợp X Xα α I. Khi ấy ta có thể định nghĩa các phép toán hợp và giao của một họ các tập hợp như sau: Phép hợp: Xα x α I,x Xα α I Phép giao: §1.4 QUAN HỆ HAI NGÔI
Cho X và Y là hai tập hợp. Ta gọi một quan hệ hai ngôi R của X và Y là một bộ ba
R X,Γ,Y với Γ là một tập con của tích Descartes X Y . Hai phần tử x X và y Y là có quan hệ với nhau theo quan
hệ R nếu x,y Γ và ta viết xRy. Trường hợp X Y thì ta gọi R là một quan hệ hai ngôi trong X. Trong giáo trình
này chúng ta chỉ xét quan hệ hai ngôi trong tập hợp X. Quan hệ hai ngôi R trong tập hợp X có các tính chất sau: Tính phản xạ: x X,xRx. lOMoAR cPSD| 49519085 14 Tính đối xứng: x,y X, xRy yRx. y .
Tính phản đối xứng: x,y
X, xRy yRx x Tính
bắt cầu: x,y,z
X, xRy yRz xRz . Ví dụ 1.4. Xét tập X 1,2,3 và quan hệ R
được xác định bởi tập Γ
1,2 , 2,1 , 1,3 , 3,1 , 2,3 , 3,2
. Quan hệ R có tính đối xứng nhưng không có tính phản
xạ, phản đối xứng và bắt cầu.
1.4 Quan hệ hai ngôi Cũng xét tập X 1,2,3 và quan hệ R bây
giờ được xác định bởi Γ
1,1 , 2,2 , 3,3 , 1,2 , 1,3 , 2,3 . Quan hệ R có tính phản xạ và bắt cầu, không có tính đối xứng và phản đối xứng.
Xét X là tập tất cả các học sinh trong một trường phổ thông trung học và R là quan hệ "học chung lớp". Quan hệ
R có tính phản xạ, đối xứng và bắt cầu nhưng không có tính phản đối xứng.
Cho R là một quan hệ hai ngôi trên X. Ta nói R là một quan hệ tương đương trên X nếu nó có tính phản xạ,
đối xứng và bắt cầu.
Với mọi x X, ta gọi lớp tương đương của x theo quan hệ R là tập con của X, ký hiệu là Cl x , được xác định như sau: Cl x y X xRy Đương nhiên x
Cl x . Dễ thấy rằng nếu R là một quan hệ tương đương trên X thì x,y
X ta có xRy Cl x Cl y x Cl y y Cl x .
Ta gọi tập thương của X theo quan hệ tương đương R, ký hiệu X R, là tập tất cả các lớp tương đương
theo quan hệ tương đương R. Như vậy: X R Cl x , x X Ví dụ 1.5. Quan hệ bằng nhau
trên một tập bất kỳ là một quan hệ tương đương. Với mọi x X,Cl x x , và E là tập x ,x X .
Với mọi n nguyên dương, quan hệ đồng dư modul n (
) được định nghĩa như sau: x,y Z, x y n x y
là một quan hệ tương đương trên Z. Với mỗi x Z, lớp tương đương của x là lớp đồng dư modulo n và thường
được ký hiệu là x x kn,k Z . Tập thương theo quan hệ tương đương này được ký hiệu là Z nZ 0,1,. .,n 1 . lOMoAR cPSD| 49519085 15
Xét tập hợp D các đường thẳng trong mặt phẳng. Quan hệ song song của các đường thẳng là quan hệ tương
đương. Với mọi đường thẳng d của D, lớp tương đương của d theo modulo song song xác định phương của d.
Cho R là một quan hệ hai ngôi trong X. Ta nói R là một quan hệ thứ tự trong X nếu nó có tính phản xạ,
phản đối xứng và bắt cầu. Quan hệ thứ tự thường được ký hiệu là . Nếu trong X có một quan hệ thứ tự thì ta
nói X là tập được sắp thứ tự. Ví dụ 1.6. Quan hệ
trong tập các số tự nhiên N là một quan hệ thứ tự. lOMoAR cPSD| 49519085 16 Bài tập chương 1
Quan hệ chia chẵn trong N (m chia chẵn cho n được ký hiệu là n
m) cũng là một quan hệ thứ tự. Quan hệ bao hàm
trong tập B X cũng là một quan hệ thứ tự.
Cho X là tập được sắp thứ tự với quan hệ thứ tự . Hai phần tử x và y của X được gọi là so sánh được với
nhau nếu hoặc x y hoặc y x. Nếu mọi cặp phần tử của X đều có thể so sánh được với nhau, thì ta nói là một
quan hệ thứ tự toàn phần và tập X là tập được sắp thứ tự toàn phần. Trong ba ví dụ vừa nêu, quan hệ trong
N là quan hệ thứ tự toàn phần. Còn quan hệ chia chẵn trong N và quan hệ bao hàm trong B X không phải là
các quan hệ thứ tự toàn phần.
Cho là một quan hệ thứ tự trong X, A B X và x X. Phần tử x được gọi là cận trên (cận dưới) của A trong X
nếu a A,a x a A,x a . Nếu A X có một cận trên (cận dưới) thì ta nói nó bị chặn trên (bị chặn dưới) trong X. Tập
hợp vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là tập bị chặn. Phần tử x A được gọi là phần tử lớn nhất (nhỏ
nhất) của A nếu a A,a x a A,x a . Phần tử x A được gọi là phần tử cực đại (cực tiểu) của A nếu a A,x a x a a A,a x x a . Một số nhận xét:
Ký hiệu MajX A - tập các cận trên của A trong X và MinX A - tập các cận dưới của A trong X.
Nếu x và y là hai phần tử lớn nhất (nhỏ nhất) của A trong X thì x y. Một tập hợp có thể có hoặc
không có phần tử lớn nhất (nhỏ nhất).
Một tập hợp có thể không có, có một hoặc có nhiều phần tử cực đại. Nếu
là một quan hệ thứ tự toàn phần trên X và A
X có phần tử cực đại thì nó là duy nhất. Phần
tử này cũng chính là phần tử lớn nhất của A.
Nếu tập MajX A có phần tử nhỏ nhất thì nó được gọi là cận trên bé nhất của A và ký hiệu là sup A . Còn
nếu tập MinX A có phần tử lớn nhất thì nó được gọi là cận dưới lớn nhất của A và ký hiệu là inf A . Cho A là
tập khác rỗng và tồn tại inf A ,sup A , khi đó inf A sup A . BÀI TẬP
Câu 1. Giả sử X là một tập hợp và A,B,C,D là các tập con của X. Hãy chứng minh: (a) A B A C B CX C lOMoAR cPSD| 49519085 (b) A B A C B A C Bài tập chương 1 (c) A B A C A B A C B C (d) A B A C A B C (e) A B C D,C D X,C A,D B A C,B D
Câu 2. Giả sử X là một tập hợp và A,B B X . Hãy giải trong B X các phương trình sau: (a) Y A B (b) Y A B
Câu 3. Cho f : X
Y là một ánh xạ, A X,B X,C Y,D Y . Chứng minh: (a) A B f A f B f B f B (e) f 1 C D f 1 C f 1 D f 1 D (b) f A B f (f) f 1 C D f 1 C f 1 D A (g) A f 1 f A (c) f A B f A (h) f f 1 C C (d) C D f 1 C
Câu 4. Cho X,Y là hai tập hợp, f : X
Y,g : Y X là hai ánh xạ. Giả sử g f g
f là toàn ánh và f g f
g là đơn ánh. Chứng minh f và g là các song ánh.
Câu 5. Cho X là tập hợp và f : X X là ánh xạ sao cho f f f
f. Chứng minh rằng f là đơn ánh khi
và chỉ khi f là toàn ánh.
Câu 6. Cho X là tập hợp, A X. Ta định nghĩa A B X B A ,A C X A C ,A A A
Ánh xạ f : B X A xác định bởi Y B X , f Y Y A,Y A . Chứng tỏ rằng f là song ánh.
Câu 7. Cho X là tập hợp khác rỗng, A,B B X . Xét ánh xạ f : B X B X B X xác định bởi Y B X , f Y Y A,Y B .
(a) Chứng tỏ rằng f không là toàn ánh.
(b) Chứng tỏ rằng f là đơn ánh khi và chỉ khi A B .
Câu 8. Cho X là một tập hợp và R là một quan hệ phản xạ trong X sao cho: zRx Chứng
tỏ rằng R là một quan hệ tương đương. lOMoAR cPSD| 49519085 18
Câu 9. Trên R, xét quan hệ R xác định như sau: xRy x2 y2 x
y . Chứng tỏ rằng R là quan
hệ tương đương. Với mọi x R, tìm Cl x . CHƯƠNG HAI
CẤU TRÚC ĐẠI SỐ Mục lục
2.1 Phép toán hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 §2.1 PHÉP TOÁN HAI NGÔI
Ta gọi phép toán hai ngôi trong một tập hợp E là ánh xạ f đi từ E2 vào E. Phần tử f x,y được gọi là cái hợp
thành của hai phần tử x và y của E. Thông thường một phép toán hai ngôi trong E được ký hiệu bởi các dấu ,
, , , , , ,. . . Trong trường hợp tổng quát ta sẽ dùng dấu . Khi đó f x,y x y. Một tập hợp E mà trên đó có xác định
một phép toán được ký hiệu là E, và gọi là một phỏng nhóm. Ví dụ 2.1.
Phép cộng và phép nhân thông thường là các phép toán hai ngôi trong N.
Với tập hợp X bất kỳ, phép hợp và phép giao là các phép toán hai ngôi trong B X .
Cho E là một phỏng nhóm với phép toán
. Ta đưa ra một số tính chất của phép toán :
Định nghĩa 2.1. Phép toán
có tính chất kết hợp nếu: .
Khi đó ta có thể bỏ các dấu ngoặc đơn và viết x y z. Trường hợp cụ thể đối với các phép toán , có tính kết hợp, ta ký hiệu: lOMoAR cPSD| 49519085 n xnx nx xnx xn Ví dụ 2.2.
Phép cộng và phép nhân thông
thường trong N có tính kết hợp. Xét phép toán hai ngôi trong Q như sau: . Phép toán không có tính kết hợp vì 4 0 4 1 4 0 4 1. lOMoAR cPSD| 49519085 20
2.1 Phép toán hai ngôi
Định nghĩa 2.2. Phép toán
có tính chất giao hoán nếu: x,y E2, x y y x. Ví dụ 2.3.
Phép cộng và phép nhân thông thường trong N có tính giao hoán. Xét phép toán hai ngôi trong Q như sau: . Phép toán không có tính giao hoán vì 1 2 5 2 1 2.
Định lý 2.1. Cho E là một tập hợp với phép toán
có tính giao hoán và kết hợp. Thế thì: 1. , ta có: n p p n 2. , ta có: xij xij . i 1 j 1 j 1 i 1
Định nghĩa 2.3. Phần tử a
E là chính qui trái (giản ước được bên trái) đối với nếu . Phần tử a
E là chính qui phải (giản ước được bên phải) đối với nếu
. Phần tử a E là chính qui (giản ước được) đối với nếu nó
vừa là chính qui trái vừa là chính qui phải.
Ví dụ 2.4. Trong Z mọi phần tử đều chính qui đối với phép cộng thông thường và mọi phần tử khác không đều chính
qui đối với phép nhân thông thường.
Định nghĩa 2.4. Phần tử e E là trung hòa trái đối với nếu x E,e x x. Phần tử e E là trung hòa phải đối với nếu
x E,x e x. Phần tử e E là phần tử trung hòa đối với nếu nó vừa là trung hòa trái vừa là trung hòa phải. Nghĩa
là x E,e x x e x. Ví dụ 2.5. 0 là phần tử trung hòa đối với phép cộng trong Z.
Xét N, với phép toán : N2 N sao cho x,y N2,x y y. Ta thấy mọi phần tử của N đều là trung hòa trái và không có
phần tử nào là trung hòa phải.
Định lý 2.2. Cho E,
là một phỏng nhóm với e là trung hòa trái và e là trung hòa phải của phép toán . Thế thì e e .
Hệ quả 2.1. Cho E, . Nếu phép toán
có phần tử trung hòa thì nó là duy nhất.
Một phỏng nhóm E, với phép toán có tính kết hợp và E có phần tử trung hòa e được gọi là một vị nhóm.