lOMoAR cPSD| 47207194 TOÁ N CÁO CÁ P Dành cho kinh t ế và qu ả n tr ị [School] [Course title] MỤC LỤC: Trang lOMoAR cPSD| 47207194 TOÁ N CÁO CÁ P
Chương I: Ma Trận Và Định Thức
............................................................................................. 2
Chương II: Hệ Phương Trình Tuyến Tính Và Ứng Dụng
....................................................... 8
Chương III: Tính Liên Tục Của Hàm Một Biến
..................................................................... 14
Chương IV: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến
............................................................. 16
Chương V: Hàm Nhiều Biến
..................................................................................................... 20
Chương VI: Phương Trình Vi Phân
.......................................................................................... 23
Chương VII: Ứng Dụng Của Giải Tích Trong Kinh Tế
......................................................... 28
Ghi chú: Tài liệu ược biên soạn bởi sinh viên nên chỉ mang tính chất tham khảo, giúp
các bạn có thể hiểu bằng những ngôn ngữ nói, không dùng nhiều thuật ngữ chuyên
sâu. Và cũng có thể còn một số sai sót, mong mọi người cho qua ạ Biê n soạ – – – Đạ lOMoAR cPSD| 47207194 TOÁ N CÁO CÁ P
n bở i Trạ n Khoạ FNC05 K46 Trưở ng i ho c Kinh tê TP.HCM
C ương I: Ma Trận Và Địn T ức
I. Định nghĩa: Ma trận A có cấp mxn là một bảng số các số thực, xếp thành m dòng và n cột có dạng a11 ⋯ a1n ( ⋮ ⋱ ⋮ ) am1 ⋯ amn
II. Các dạng ma trận 0 0 0 Ma trận không: (0 0 0) 0 0 0 1 2 3
Ma trận vuông: (4 5 6) (Số cột bằng số dòng) 7 8 9 1 2 3
Ma trận tam giác trên: (0 4
5) (là ma trận vuông có các phần tử dưới ường chéo chính bằng 0) 0 0 6 1 0 0 Ma trận ường chéo: (0 2
0) (ma trận vuông mà các phần tử không thuộc ường chéo bằng 0) 0 0 3 1 0 0
Ma trận ơn vị: I3 = (0 1 0) (ma trận ường chéo mà các phần tử thuộc chéo chính bằng 1) 0 0 1 a1 ( ⋮ ) là vecto cột; (a1 … an) là vecto dòng an 1 2 3 1 4 7
Ma trận chuyển vị: A = (4 5 6)  AT = (2 5 8) 7 8 9 3 6 9 1 4 Biê n soạ – – – Đạ lOMoAR cPSD| 47207194 TOÁ N CÁO CÁ P 1 2 3 Hay B = ( )  BT = (2 5) 4 5 6 3 6
III. Phép tính giữa 2 ma trận • Phép cộng 2 ma trận: 1 2 3 4 2 7 5 4 3 (4 5 6) + (9 6 6) = (13 5 6) 7 8 9 7 2 1 14 8 9
• Phép nhân ma trận với một số thực: 1 1 1 2 2 2 2 (1 1 1) = (2 2 2) 1 1 1 2 2 2
• Phép nhân 2 ma trận (nếu số dòng ma trận trước = số cột ma trận sau) 1
(1 2 3). (2) = 1.1 + 2.2 + 3.3 = 14 3
n bở i Trạ n Khoạ FNC05 K46 Trưở ng i ho c Kinh tê TP.HCM
IV. Các tính chất cơ bản • A + B = B + A • (α + β)A = αA + βA
• (A + B) + C = A + (B + C) • (αβ)A = α (βA) • A + (-A) = 0 • (αA + βB) T = αA T + βB T • α(A + B) = αA + αB
Lưu ý: không có hoán vị trong phép nhân
Cho D kxm , A mxn , Bmxn , C nxp : • I m A mxn = A • (DB)C = D(BC) • A mxn I n = A • (A + B)C = AC + BC • (BC) T = B T C T
• D(A + B) = DA + DB V. Định thức a11 … a1n
Chỉ xác ịnh với ma trận vuông và có dạng | ⋮ ⋱ ⋮ | an1 … ann
Đối với ma trận cấp 2: D 1 2 2 = | | = 1.4 – 2.3 = –2 3 4 1 2 3
Đối với ma trận cấp 3: D3 = |4 5 6| = (1.5.9 + 2.6.7 + 4.8.3) – (3.5.7 + 1.8.6 + 4.2.9)=0 7 8 9
Cách 1: Biến đổi ma trận về ma trận tam giác a11 … a1n b11 … b1n
| ⋮ ⋱ ⋮ | = | ⋮ ⋱ ⋮ | = b1.b2…bn an1 … ann 0 … bnn -1 1 2 0 -1 1 2 0 d3 →d2 + d3 -1 1 2 0 Biê n soạ – – – Đạ lOMoAR cPSD| 47207194 TOÁ N CÁO CÁ P Ví dụ: 3 | -1 0 4| = |d2 →3d1 + d2 0 2 6 4| = | 0 2 6 4 | -2 0 5 -2 d3 → -2d1 + d3 0 -2 1 -2 d4 → -32 d2 + d3 00 00 -37 -52 0 3 6 1 0 3 6 1 -1 1 2 0 d4 → d3 + d4 0 2 6 4 = | 0 0 7 2 | = -1.2.7. = 58 0 0 0 - Cách 2: Khai triển Laplace
Gọi Aij là KÝ HIỆU phần bù ại số của ma trận A
Mij là ịnh thức MA TRẬN tương ứng với ký hiệu Aij ược tạo thành do xóa dòng i cột j Aij = (-1)i+j.Mij
Nếu khai triển theo dòng 1: |A| =a11.A11 + a12.A12 + … + a1n.A1n
Nếu khai triển theo cột 1: |A| = a11.A11 + a21.A21 + … + an1.An1 1 1 2 0 Vi1 dụ: |A| 0 = | 2 6 4 | 0 -2 1 -2 0 3 6 1 2 6 4
Khai triển theo cột 1 ta ược |A| = (-1).A11 + 0.A21 + 0.A31 + 0.A41 = (-1).(-1)1+1. |-2 1 -2| = 58 3 6 1 Tính chất •
|A| = |AT| với A là ma trận vuông. •
Định thức ổi dấu nếu ổi chỗ 2 dòng/cột trong ịnh thức.
n bở i Trạ n Khoạ FNC05 K46 Trưở ng i ho c Kinh tê TP.HCM Biê n soạ – – – Đạ lOMoAR cPSD| 47207194 TOÁ N CÁO CÁ P •
Nếu các phần tử của một dòng/cột ều có thừa số chung là số α thì ta có thể rút α ra khỏi ịnh thức. •
Định thức bằng 0 nếu có 2 dòng/cột tỉ lệ nhau. •
Định thức sẽ không ổi nếu biến ổi dòng/cột i thành dòng/cột i cộng với k lần dòng/cột j (với k R, i ≠ j) •
Định thức của ma trận tam giác bằng các tích phần tử nằm trên ường chéo chính. •
|AB| = |A| . |B| với A,B là các ma trận vuông cùng cấp. Lưu ý: |2A| ≠ 2|A| 2a 2b 2c
|2A| là ịnh thức của ma trận nhân 2 lần cho mọi phần tử trong ma trận |2d 2e 2f| 2g 2h 2i 2a b c a b c
2|A| là ịnh thức của ma trận nhân 2 lần cho 1 dòng hoặc 1 cột của ma trận |2d e f| hoặc |2d 2e 2f| 2g h i g h i
Như vậy  |xA| = xn.|A| [n là số cấp của ma trận]
*Ghi nhớ: số muốn ra khỏi ịnh thức thì phải ĐỘI MŨ
VI. Ma trận nghịch đảo Cho A = (a
ij)mn, ta có A.A-1 = A-1.A = I n , lúc này A-1 là ma trận nghịch ảo của A
Nhớ nhanh cho ma trận nghịch ảo 2x2: A= a b - ( c d) →A-1=ad-bc1(-dc ab)
Cách 1: Dùng ma trận phụ hợp A11 … An1
Ma trận phụ hợp của A: A* = A1n … Ann
(Trong ó: các A11, A12,…., Ann là phần bù ại số của ma trận – xem lại phần khai triển Laplace) Như vậy ta có A-1 = |A1 |.A* 1 2 3 Ví dụ: A= (0 1 4) . Tìm A-1 5 6 0 |A| = 1 A 3 11 = (-1)1+1. |1 4| = -24 A21 = (-1)2+1. |2 3| =18 A31 = (-1)3+1. |2 | = 5 6 0 6 0 1 4 A 3 12 = (-1)1+2. |0 4| = 20 A22 = (-1)2+2. |1 3| =-15 A32 = (-1)3+2. |2 | =-4 5 0 5 0 1 4
Biê n soạ n bở i Trạ n Khoạ – FNC05 – K46 – Trưở ng Đạ i ho c Kinh tê TP.HCM lOMoAR cPSD| 47207194 TOÁ N CÁO CÁ P 1 2 3
Ví dụ A= (0 1 4) . Tìm A-1 5 6 0 A13 = (-1)1+3. |0 1| = 1 2 3 1 0 0 -5d1 + d3 1 2 3 1 0 0 -12 -3 -5 A23 = (-1)2+3. |1 (A|I) = (0 1 4|0 1 0) (0 1 4 | 0 0) -15 -4) 2| = 4 A33 1 1 4 1 = (-1)3+3. |1 2| = 5 6 0 0 0 1 0 -4 -15 -5 0 0 16 1 4d 0|20 2 + d3 1 2 3 1 0 0 -4d3 + d2 5 6 5 6 1 -5 1 2 (0 1 4| 0 1 0) 0 1 -3 d3 + d1 (0 1 0 0 1 -5 4 1 0 0 -24 18 5 1 0 0 -24 -12 -3 -2d2 + d1 A-1 = |A1 |.A* = ( 20 (0 1 0| 20 -15 -4) = (I|B) -15 -4) 0 0 1 -5 4 1 -24 -12 -3 -5 4 1  B = ( 20 -15
-4) là ma trận nghịch ảo của ma trận A Lưu ý: -5 4 1 Theo phản xạ nhiều Tính chất: • A-1 là duy nhất người lầm tưởng các • (A-1)T = (AT)-1
phần bù ại số ứng với
vị trí của ma trận phụ • (AB)-1 = B-1.A-1 hợp, NHƯNG thực ra
nó ã bị chuyển vị ( ó là lý do mình viết A11, A12, A13 theo cột chứ không theo dòng) Cách 2: Biến đổi sơ ấp theo dòng
Dùng ma trận mở rộng (A|I) sau ó biến ối theo dòng ể hình thành ma trận (I|B)
Như vậy B là ma trận nghịch ảo của A • (αA)-1 = .A-1
VII. Hạng của ma trận
Dễ hiểu là số dòng khác 0 sau 1 quá trình biến ổi sơ cấp theo dòng
Cách 1: Biến đổi về ma trận bậc thang a11 a12 a1n 0 a22 a2n
Dùng phép biến ổi ma trận ể biến ổi về dạng bậc thang: ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ) ( 1 1 2 0 Ví dụ: A = 2 ( 1 -1 3 ) -4 5 2 -1 lOMoAR cPSD| 47207194 TOÁ N CÁO CÁ P -1 7 3 2 -2d2 + d1 1 1 2 0 1 1 2 0 4d1 + d3 0 -1 -5 3 9d2 + d3 0 -1 -5 3 ( ) ( ) d1 + d4 0 9 10 -1 8d2 + d4 0 0 -35 26 0 8 5 2 0 0 -35 26 1 1 2 0 -d3 + d4 0 -1 -5 3  r(A) = 3 ( ) 0 0 -35 26 0 0 0 0
Cách 2: Dùng định thức bao quanh
Khi hạng của ma trận < số dòng thì chắc chắn tồn tại một ma trận vuông có ít nhất một dòng toàn số 0  ịnh thức = 0
Dabcd là ịnh thức ma trận tạo thành bởi giao iểm của dòng a,b với cột c,d 3 -5 1 A = -5 1 (0
6 4) thì D1223 = | 6 4| = -26 3 -2 2
Cách làm: Bắt ầu tìm ịnh thức cấp 2 bất kỳ  nếu khác 0  tìm các ịnh thức cấp 3 xung quanh  nếu khác
không  thì tìm các ịnh thức cấp 4 xung quanh  lặp lại cho tới khi tồn tại ịnh thức cấp n xung quanh ều = 0 1 2 3 4 -1 3 0 1 Ví dụ: A= 2 4 1 8 1 7 6 9 0 10 1 10 D1212 = -1 32 = 5 ≠ 0 D | = -25 ≠ 0 2 4 1 1 2 3 4 1 2 3 4
Biê n soạ n bở i Trạ n Khoạ – FNC05 – K46 – Trưở ng Đạ i ho c Kinh tê TP.HCM lOMoAR cPSD| 47207194 TOÁ N CÁO CÁ P D12341234 = -12 34 01 18| = 0 D12351234 = |-12 34 01 18 | = 0 4 7 6 9 0 10 1 10 Như vậy rank(A) = 3
Biện luận hạng của ma trận
Để không bị sót m, ta nên chia trường hợp của tất cả các phần tử chứa m 1 2 -1 -1
Ví dụ: Biện luận ma trận A = 2 m+4 -2 -1 3 m+6 -3 m-3 1 2 -1 -1 1 2 -1 -1 0 m 0 1 (0 m 0 1 ) 0 m 0 m 0 0 0 1-m Nếu m = 0  r(A) = 2
Nếu 1 - m = 0  m = 1  r(A) = 2
Nếu m≠0, m≠1  r(A) = 3
Một số dạng bài tập mở rộng c ương 1 2 1 3 Câu 1: Cho A = ( 2
m 4). Với giá trị nào của m thì A3.AT có hạng bé hơn 3 -1 -3 1
Khi hạng < 3 thì tồn tại một ma trận vuông có ít nhất một dòng toàn số 0  ịnh thức = 0 (Cách 2 của tìm hạng ma trận)
Như vậy | A3.AT | = |A|3.|AT| = |A|4 = 0  |A| = 0 -2 1 3
| 2 m 4| = 48 – m = 0  m = 48 -1 -3 1 1 2 3 1 1 3
Câu 2: Cho ma trận A =(-1) ; B = (1); C = (0
2) và một ma trận M thỏa M.A = (1) và M.B = (4) 0 1 1 1 1 6 Tính MC 4 2
Nhận thấy C = (B + A|B – A)  M.C = (MB + MA|MB – MA) = (5 3) 7 5
Câu 3: Cho các ma trận vuông cấp 3 có |A| = -2, |B| = 4, |C| = và P2A là ma trận phụ hợp của ma trận 2A. lOMoAR cPSD| 47207194 TOÁ N CÁO CÁ P Tính det(B-1. P2A.C2).
Dựa vào tính chất ta tính lần lượt |B -1| = |B|1 = 14 |2A| = 23.|A| = -16 |A -1| = |A|1 = - 12 (2A)
-1 = |2A|1 . P2A  | P2A| = |(2A)-1.|2A|| = |(2A)-1.(-16)| = |2A|1 .(-16)3 = 23.(-2)1 . (-16)3 = 256 |C 2| = |C|2 = 641  det(B -1. P2A.C2) = 14.256. = 1 1 2 -3 4 Câu 4: Cho A= -1 ( 5 7
9 ). Tính A41 + A42 + A43 + A44 -3 -3 -3 -3 1 3 6 5
Khai triển theo dòng 4: |A| = 1.A41 + 3.A42 + 6.A43 + 5.A44 không thể giải theo phương pháp thông thường Ta
tìm một ma trận khác có các hệ số của dòng 4 bằng 1 1 2 -3 4 B = (-1 5 7 9 ) -3 -3 -3 -3 1 1 1 1
Như vậy |B| = B41 + B42 + B43 + B44 = A41 + A42 + A43 + A44 (do ã bỏ dòng i cột j mà phần bù không ổi)
Vì dòng 3 và dòng 4 của B tỉ lệ với nhau nên |B| = 0  A41 + A42 + A43 + A44 = 0
C ương II: Hệ P ương Trìn Tuyến Tín Và Ứng Dụng
I. Định nghĩa
Biê n soạ n bở i Trạ n Khoạ – FNC05 – K46 – Trưở ng Đạ i ho c Kinh tê TP.HCM lOMoAR cPSD| 47207194 TOÁ N CÁO CÁ P
Hệ phương trình (hpt) tuyến tính là một hệ thống gồm m phương trình bậc nhất n ẩn có dạng tổng quát như sau:
a11.x1 + a12x2 +…+ a1nxn = b1
{ a21.x1 + a22…………x2 +…+ a2nxn = b2
am1.x1 + am2x2 +…+ amnxn = bm Ta ặt: a11 a12 ⋯ a1n x1 b1 a a22 ⋯ a x b 2n A= ( 21⋮ ⋮ ⋯ X = ( ⋮2) B = ( 2 ) am1 a ⋮ ) ⋮ m2 ⋯ a xn mn bm
Khi ó, theo công thức của phép nhân ma trận ta có: A.X = B
Ma trận A = (A|B) ược gọi là ma trận mở rộng (ma trận bổ sung) ●
Điều kiện ể hệ phương trình tuyến tính có nghiệm
Hệ 1.1 vô nghiệm  r(A) < r(A)
Hệ 1.1 có nghiệm  r(A) = r(A) 
Nếu r(A) = r(A) = n: hệ có 1 nghiệm
Nếu r(A) = r(A) < n: hệ có vô số nghiệm có n – r(A) tham số ● Phương pháp giải
Tìm hạng của ma trận A, A(cùng một lúc tìm hạng A, A; sử dụng phép biến ổi sơ cấp theo dòng trên ma trận mở rộng)
II. Cách giải
Cách 1: Phương pháp Gauss:
- Viết ma trận mở rộng của hệ: A = (A|B)
- Dùng các phép biến ổi sơ cấp theo dòng ể ưa A về dạng bậc thang và viết hệ phương trình tương ứng với bậc thang này
- Giải hệ ể suy ra nghiệm x1 - 5x2 + 4x3 = -7
Ví dụ 1: { 2x1 - 9x2 - x3 = 4
3x1 - 11x2 -7x3 =17 1 -5 4 -7
Vậy ta có ma trận mở rộng A = (2 -9 -1| 4 ) 3 -11 -7 17 + d -2d + d2 1 -5 4 -7 -4d2 3 1 -5 4 -7 1 (0 1 -9 |18) (0 1 -9| 18 ) -3d1 + d3 0 4 -19 -34 lOMoAR cPSD| 47207194 TOÁ N CÁO CÁ P 38 0 0 17
Nhận xét r(A) = r(A) = 3: hệ có 1 nghiệm duy nhất là (1;0;-2)
3x1 - x2 - x3 + 2x4= 1
Ví dụ 2: { xx11 + - xx22 + 3 - 2xx33 + 4 - 6xx44== -95
12x1 - 2x2 + x3 - 2x4= -10 3 -1 -1 2 1 4 5
Vậy ta có ma trận mở rộng A 1 = ( -1 -2 | ) 1 2 3 -6 -9 12 -2 1 -2 -10
Đổi chỗ dòng 1 và 3 ta có 1 2 3 -6 -9 1 -1 -2 4 1 -1 -2 4 5 -3d 5 ( | ) -d 11 + d + d32 (00 -2 -5 10 14 3 -1 -1 2 1 | ) 12 -2 1 -2 -10 -12d -4 1 + d2 0 -10 20 28 -14 -35 70 98
Nhận xét r(A) = r(A) = 2 < 4 : hệ có vô số nghiệm
3x - x2 - x3 + 2x4= 1  { x1=-5 x-x33+10+22xx44-4+14
{- 2x12 - 5x3 + 10x4= 14 x2=
Như vậy nghiệm tổng quát của hệ là ( 2 ; 2 ; x3; x4)
Cách 2: Phương pháp Cramer 1 -1 -2 4 5 -7-2dd22 + d + d 43 (00 -20 -50100 |140 ) 0 0 0 0 0
Hệ phương trình tuyến tính (1) ược gọi là hệ Cramer nếu m = n (tức là số phương trình bằng số ẩn) và
ma trận các hệ số A không suy biến (hay |A| ≠ 0). x1=DD1 ; x2=DD2 ●
Hệ pt Cramer luôn có 1 nghiệm và nghiệm ó duy nhất PP ; … xn= DDn giải
Cách 1: Dùng ma trận ảo D: ịnh thức ma trận A
Hệ pt viết dưới dạng : AX = B (|A| => X = A-1.B Dj : là |D| ã
Cách 2: Tính ịnh thức: từ công thức A-1 ta có nghiệm của hệ pttt Cramer t
Biê n soạ n bở i Trạ n Khoạ – FNC05 – K46 – Trưở ng Đạ i ho c Kinh tê TP.HCM lOMoAR cPSD| 47207194 TOÁ N CÁO CÁ P hay ổi cột thứ j bởi các hệ số
tự do x1 + 5x2 - x3= 1
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau: {-2x1 + x2 + x3 = 2
x1 + 16x2 + x3= 4 1 5 -1 Tính D -2 1
1 = 33 ≠ 0 nên hệ có duy nhất 1 nghiệm 1 16 1 1 5 -1 1 1 -1 D1 = 2 1 1 | = -33 D2 = |-2 2 1 | = 11 4 16 1 1 4 1
Áp dụng công thức Cramer, ta tính ược nghiệm của hệ là: x1
= DD1 = -1 x2 = DD2 = 13
Cách 3: Dùng ma trận nghị h đảo
Hệ phương trình ược viết dưới dạng A.X=B  X=A-1.B |A| = 33 A11=-15 A21=-21 A12=3 A22=2 A13=-33 A23=-11 1 5 1 D3 = |-2 1 2| = -11 1 16 4 D3 1 x3 = D= -3 A31=6 A32=1 A33=11 lOMoAR cPSD| 47207194 TOÁ N CÁO CÁ P -15 -21 6 -1 = 331 (-153 -212 61 ) A* = ( 3 2 1 )  A -33 -11 11 -33 -11 11 -1 1 -15 -21 6 1 1
Vậy X = A-1.B = 33(-333 -112 111 ) (24) = (-31) 3
III. Mô Hình Input-Output Mở Leontief
Giả sử trong nền kinh tế có n ngành, giữa chúng có quan hệ cung cấp và phân phối chéo lẫn nhau thì ta có ma trận Leontief a11 a12 ⋯ a1n a a22 ⋯ a2n A= ( ⋮21 ⋱ a ⋮ ⋮ ) n1 a ⋯ n2 ann Ý nghĩa hệ số:
Hệ số trong ma trận: ngành i phải cung cấp cho ngành j aij ơn vị tiền ể ngành j sản xuất ra 1 ơn vị tiền
Hệ số ngoài ma trận: ngành j cần các ngành mở cung cấp 1 lượng a0j ơn vị tiền ể ngành j sản xuất ra 1 ơn vị
tiền [a0j = 1 – tổng cột j] 0,1 0,2 0,3 Ví dụ: A= (0,3 0,1 0,1) 0,2 0,3 0,2
Ý nghĩa hệ số a21: ngành 2 phải cung cấp cho ngành 1 0,3 ơn vị tiền ể ngành 2 sản xuất ra 1 ơn vị tiền Ý
nghĩa hệ số a03 = 1 – (0,3 + 0,1 + 0,2) = 0,4: ngành mở phải cung cấp cho ngành 3 0,4 ơn vị tiền ể ngành 3
sản xuất ra 1 ơn vị tiền
● Gọi Y là tổng nguyên liệu X là tổng sản lượng AX = Y
Cũng theo ví dụ trên nếu tổng nguyên liệu mà ngành 1,2,3 cung cấp cho nền kinh tế lần lượt là 50;60;70 thì
sản lượng mà các ngành cung cấp cho nền kinh tế là bao nhiêu ? 50
Ta gọi Y = (60) là nguyên liệu ầu vào INPUT 70
-0,01 0,05 -0,01 50 150 -0,04 0,08 . 3 (
Vậy sản lượng ầu ra OUTPUT X = A-1.Y = 250 . -0,04 ) (60) = (100) 0,07 0,01 -0,05 70 50
● D: nhu cầu cuối cùng của ba loại hình (In – A).X = D
Biê n soạ n bở i Trạ n Khoạ – FNC05 – K46 – Trưở ng Đạ i ho c Kinh tê TP.HCM lOMoAR cPSD| 47207194 TOÁ N CÁO CÁ P
Cũng theo ví dụ trên nếu yêu cầu cuối của ngành mở là là 36,6;48,8;30,5 thì sản lượng mà các ngành cung
cấp cho ngành mở là bao nhiêu? 0,9 -0,2 -0,3 36,6 In – A = (-0,3 0,9 -0,1) D = (48,8) -0,2 -0,3 0,8 30,5 0,9 -0,2 -0,3 36,6 94,875
X = (In – A)-1.D = 125 . (-0,3 0,9 -0,1) . (48,8) = ( 96,75 ) 61 -0,2 -0,3 0,8 30,5 98,125
Một số dạng bài tập mở rộng c ương 2
* Nghiệm cơ bản: dễ hiểu là nghiệm có các ẩn tham số biểu diễn các ẩn chính
Câu 1: tìm m ể hệ có số nghiệm cơ bản lớn nhất (hạng ma trận nhỏ nhất) x1
+ x2 + x3 + x4 + x5=0 {
2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 + 6x5=0
(m–1)x1+ 5x2 + 6x3 + 7x4 + 2(m–1)x5=0 Ta có ma trận 1 1 1 1 1 0 –2d1 + d2 1 1 1 1 1 0 A = ( 2 3 4 5 6 |0) d1 + d3 (0 1 2 3 4 |0) m-1 5 6 7 2m-2 0 m 6 7 8 2m-1 0 –md1 + d3 1 1 1 1 1 0 (0 1 2 3 4 |0) 0 m-6 m-7 m-8 1-m 0
Như vậy ể r(A) min = 2 thì dòng 3 phải bằng 0 (hay nói cách khác là tỉ lệ với dòng 2) 1 2 3 4 → = = =
↔ m = 5 (thử lại và thỏa) m–6 m–7 m–8 1–m ax + by = c
Câu 2: Cho hệ phương trình (*) {bx + cy = a . Chứng minh rằng nếu (*) có nghiệm thì a3 + b3 + c3 = 3abc. cx + ay = b ax + by = c
Vì ây là hệ phương trình có số dòng lớn hơn số ẩn nên ta xét hệ (**) {bx + cy = a
Theo phương pháp Cramer ta có D = ac – b2 Dx = c2 – ab Dy = a2 – bc
TH1: D ≠ 0: hệ (**) có 1 nghiệm duy nhất c2 – ab a2 – bc x = ac – b2 y = ac – b2 lOMoAR cPSD| 47207194 TOÁ N CÁO CÁ P
Thế vào phương trình thứ 3 của hệ (*) ta có c. ac c2 –– ab b 3 2 + a. ac a2 –– bc b2
– abc + a3 – abc = abc – b3  a3 + b3 + c3 = 3abc = b  c
TH2: D = 0: hệ (**) vô số nghiệm D = 0 b2 = ca
Ta cũng ồng thời suy ra ược {Dx = 0  {c2 = ab  a3 + b3 + c3 =a.a2 + b.b2 + c.c2 = 3abc  Suy ra pcm Dy = 0 a2 = bc 0,2 0,3 0,1
Câu 3: Cho mô hình Leontief có ma trận hệ số kỹ thuật cho 3 ngành như sau (0,3 0,2 0,2). Tìm sản 0,1 0,1 0,3 lượng
của ngành kinh tế thứ hai khi biết rằng giá trị lượng sản phẩm ngành kinh tế thứ nhất cung cấp cho nó là 120.
Đối với việc tìm giá trị sản lượng thực của aij thì ta dùng bảng TAM SUẤT
1 → 2
Lý thuyết a12 = 0,3 1 Thực tế 120 400
Như vậy sản lượng ngành 2 là 400
Lưu ý: cách này chỉ dùng cho việc tính toán các hệ số ơn lẻ, không thể thay thế ể tính Y
Câu 4: Xét mô hình Input – Output Leontief có ma trận ầu vào – ầu ra Ngành 1 Ngành 2 Ngành 3 Nhu cầu cuối Ngành 1 300 140 360 700 Ngành 2 150 420 480 350 Ngành 3 300 280 120 500 Yếu tố khác 750 560 240
(Nhu cầu cuối còn gọi là yêu cầu ngành mở) a.
Lập ma trận hệ số kỹ thuật
b. Giả sử 3 ngành cần tạo ra sản lượng trị giá 100;120;150. Giá trị nguyên liệu mà ngành 2 cung cấp cho ngành 1 và 3 là
giá trị sản lượng ngành i cung cấp ngành j
Ta có hệ số kỹ thuật aij =
tổng giá trị sản lượng của cột j Tức là 300 140 360
a11 = tổng cột 1 = 0,2 150
a12 = tổng cột 2 = 0,1 420 a13 = tổng cột 3 = 0,3 480 a21 = tổng cột 1 = 0,1 a22 = tổng cột 2 = 0,3 a23 = tổng cột 3 = 0,4 300 280 120 a31 = tổng cột 1 = 0,2 a32 = tổng cột 2 = 0,2 a13 = tổng cột 3 = 0,1
Biê n soạ n bở i Trạ n Khoạ – FNC05 – K46 – Trưở ng Đạ i ho c Kinh tê TP.HCM lOMoAR cPSD| 47207194 TOÁ N CÁO CÁ P
Như vậy ta có ma trận hệ số kỹ thuật 0,2 0,1 0,3 A = (0,1 0,3 0,4) 0,2 0,2 0,1 b. Ta có 2 cách
Cách 1: dựa trên ma trận hệ số kỹ thuật 2 → 1 2 → 3
Lý thuyết a21 = 0,1 1
Lý thuyết a23 = 0,4 1 Thực tế 60 150 Thực tế 10 100
 tổng giá trị ngành 2 cung cấp cho ngành 1 và 3 = 10 + 60 = 70
Cách 2: dựa trên bảng của ề bài 2 → 1 2 → 3 Lý thuyết a21 =150 Tổng cột 1 = 1500
Lý thuyết a23 = 480 Tổng cột 1 = 1200 Thực tế 10 100 Thực tế 60 150
 tổng giá trị ngành 2 cung cấp cho ngành 1 và 3 = 10 + 60 = 70
Như vậy, bảng tam suất không chỉ giới hạn ở ma trận hệ số kỹ thuật mà còn sử dụng ược ở bảng sản lượng
Câu 5: Trong mô hình Input – Output mở gồm 3 ngành kinh tế cho ma trận hệ số ầu vào là 0,1 m 0,1 (0,3 0,2 0,3) 0,2 0,3 0,1
Khi sản lượng ngành 2 là 120 thì tổng lượng nguyên liệu ầu vào là 84. Tính lượng nguyên liệu ngành 1 cung cấp cho ngành 2. 1,2,3 a12 + a22 + a32 = 0,5 + m 1 → 2 Lý thuyết Thực tế 84 120 a12 = 0,2 1 Lý thuyết
Ta suy ra 0,5 + m = 0,7  m = 0,2 1 →
2 Thực tế 24 120
 Nguyên liệu ngành 1 cung cấp cho ngành 2 là 24 lOMoAR cPSD| 47207194 TOÁ N CÁO CÁ P
C ương III: Tính Liên Tục Của Hàm Một Biến
I. Định nghĩa
Xét f x xác ịnh trên D, x0 D: Nếu lim f x = f x0
thì f x liên tục tại iểm x0. x→x0 Phương pháp
Ta chứng minh: lim f(x) = f(x0) x→x0
f liên tục tại x0 ↔ f liên tục phải và trái tại x0 ↔ x→xlim+ f(x) =x→xlim0- f(x) = f(x0) 0 Ví dụ 1: 1- cos3x
Xét tính liên tục của f 3 khi x=0 f(0) = 3
xlim→0 f(x)=xlim→0 1-x
cos. sin3xx = xlim→0 2
sinx.sin2 3x2x = limx→0 x
(sin(3(2x32) ))2 .94.2sinx x= 29
→ f 0 ≠ lim f x → f x gián oạn tại x=0 x→0 3x-9 khi x ≠ 2
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của f(x) = { x-2 m khi x = 2 f(2)=m 3x 9 3xln3 Xét tại x=2: lim = lim = 9ln3 x→2 x– 2 x→2 1 3x 9 Vậy f(2)= lim
↔ m = 9ln3 → f(x)liên tục tại x = 2 x→2 x– 2
II. Các giới hạn về vô cùng bé (VCB): x → 0 và vô cùng lớn (VCL): x→ cần nhớ lOMoAR cPSD| 47207194 TOÁ N CÁO CÁ P
Khi x → 0 thì ex Khi x → thì
– 1 ~ x ln(1+x) lnx ~ x ~ 0 [x → x + 2 1 ] x – cosx ~ 2 sinx ex ~ + nếu [x → + ]
~ x tanx ~ x 0 nếu [x → – ] (1 + x)a ~ 1 + ax Ví dụ xln(1+2x) x.2x 2 xlim→0
3x2 = limx→0 3x2 =3 (5x)2 xlim→0
1–sincos522xx = limx→0 (22x)2 = 258 sinπx sin[π(t + 1)] sin(πt + π) – sinπt sinπt lim
(thay t = x – 1)= lim = lim =lim = lim– π
= –π x→1 x –1 t→0 t t→0 t t→0 t t→0 πt
*Chú ý: nên sử dụng cho các phép NHÂN, CHIA; vẫn sử dụng cho phép cộng trừ nếu biểu thức sau biến ổi
vẫn GIỮ NGUYÊN DẠNG VÔ ĐỊNH của ề bài III. Giới hạn của các dạng vô định , 00,
Ta luôn có lim A(x)B(x)=e
x→xlimoB(x).ln[A(x)] x→xo
Như vậy ta chỉ cần tính limB(x)ln[A(x)] x→xo Ví dụ 1: Tính A= lim (
1 + tanx )=e xlim→0 sin1x.ln(11+ + tansinxx ) x→0 1+sinx Xét I với 1 1 + tanx
ln 1+tanx) ln 1+sinx tanx sinx 1
I=lim .ln ( ) = lim–=lim – = lim
– 1= 0 x→0 sinx 1+sinx x→0 sinx sinx x→0 sinx sinx x→0 cosx  A = e0 = 1
Ví dụ 2 : Tính B= lim (ex + x)1x=e xlim→0 1x.ln(ex + x) x→0 Xét I với
I = lim 1 .ln(ex+x) = lim e x+ x – 1= lim
ex– 1+1=2 x→0 x x→0 x x→0 x  B = e2
Một số dạng bài tập mở rộng c ương 3 lOMoAR cPSD| 47207194 TOÁ N CÁO CÁ P d 3.f(4x)]. Tính
g(2) Câu 1: cho hàm số f(x) = có f(8) = 2 và f’(8) = -1 và g(x) = dx [x d 3.f(4x)]
= [x3.f(4x)]’ = 3x2f(4x) + x3.4f’(4x) g(x) = dx [x  g(2) = -8 α+e2x x ≥ 0
Câu 2: cho hàm số 𝑓
. Giả sử f(x) khả vi tại 0, khi ó f(α - β) là 4 + βx x < 0
Để khả vi tại x = 0 thì f ’(0+) = f ’(0-) f(x) – f(0) α + e2x – (α + 1) e2x – 1 e2x – 1 xét f ′(0+) x→0 x→0 2x - =x→0lim- f(x) – f(0)x =x→0lim+ 4 + βx – (α + 1)x
=x→0lim+β + 3 – αx xét f '0 nhận xét: nếu α ≠ 3 thì f ' 0-
 α = 3 ể khử dạng vô ịnh  f ' 0- β
Như vậy f ’(0+) = f ’(0-)  2 = β
Chương IV: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến
I. Định nghĩa:
f (x0) = x xlim0 f x( 0 −
xx)− f x( 0) = x xlim→ 0 f x( )x −− xf x0( 0) →
f(x) khả vi tại xo  f(x) có ạo hàm tại x0 ex2-1 Ví dụ 1: f(x)= { x khi x ≠ 0 m khi x = 0
a) Tìm m ể f(x) liên tục tại x=0 ex2-1 ex2-1 x→0 x→0
Biê n soạ n bở i Trạ n Khoạ – FNC05 – K46 – Trưở ng Đạ i ho c Kinh tê TP.HCM