Hệ phương trình tuyến tính | Bài giảng môn Phương pháp tính và matlab CTTT | Đại học Bách khoa hà nội

Trong chương này, chúng ta sẽ học một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính. Tài liệu trắc nghiệm môn Phương pháp tính và matlab CTTT giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!

22 11 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Phương pháp tính và matlab CTTT

Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội

Thông tin:

78 trang 1 tháng trước

Tác giả:

Profile Lê Na
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài giảng điện tử
Nguyễn Hồng Lộc
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
TP. HCM — 2013.
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 1 / 76
Đặt vấn đề
Đặt vấn đề
Trong chương này, chúng ta sẽ học một số phương
pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1i
x
i
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
x
1
+ a
i2
x
2
+ . . . + a
ii
x
i
+ . . . + a
in
x
n
= b
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n 1
x
1
+ a
n 2
x
2
+ . . . + a
ni
x
i
+ . . . + a
nn
x
n
= b
n
(1)
thường xuất hiện trong các bài toán kỹ thuật.
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 2 / 76
Đặt vấn đề
Ta chỉ xét hệ gồm n phương trình và n ẩn số,
trong đó A = (a
ij
) ∈ M
n
(K ) và detA 6= 0. Do đó
hệ sẽ có nghiệm duy nhất X = A
−1
B.
Tuy nhiên, việc tìm ma trận nghịch đảo A
−1
đôi
khi còn khó khăn gấp nhiều lần so với việc giải
trực tiếp hệ phương trình (1). Do đó cần phải có
phương pháp để giải hệ (1) hiệu quả.
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 3 / 76
Phương pháp Gauss Hệ phương trình tương đương
Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để giải hệ
Xét hệ phương trình tuyến tính gồm n phương
trình và n ẩn
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1j
x
j
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
x
1
+ a
i2
x
2
+ . . . + a
ij
x
j
+ . . . + a
in
x
n
= b
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n 1
x
1
+ a
n 2
x
2
+ . . . + a
nj
x
j
+ . . . + a
nn
x
n
= b
n
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 4 / 76
Phương pháp Gauss Hệ phương trình tương đương
Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau trên
hệ (1):
1
Đổi chỗ các phương trình của hệ (h
i
↔ h
j
) hay
c
i
↔ c
j
có đánh số lại các ẩn.
2
Nhân vào một phương trình của hệ một số
λ 6= 0(h
i
→ λh
i
).
3
Cộng vào một phương trình của hệ một
phương trình khác đã được nhân với một số
(h
i
→ h
i
+ λh
j
)
thì ta sẽ được một hệ phương trình mới tương
đương với hệ (1).
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 5 / 76
Phương pháp Gauss Hệ phương trình tương đương
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . .
a
n 1
a
n 2
. . . a
nn
b
1
b
2
. . .
b
n
BĐ sơ cấp trên hàng
−−−−−−−−−−−−−−→
c
11
c
12
. . . c
1n
0 c
22
. . . c
2n
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . c
nn
d
1
d
2
. . .
d
n
với
c
ii
6= 0, i = 1, 2, . . . , n.
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 6 / 76
Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss
Phương pháp Gauss
1
Viết ma trận mở rộng A
B
= (A|B) của hệ (1).
2
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng biến
đổi ma trận mở rộng về ma trận bậc thang.
3
Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận
bậc thang.
4
Ta giải hệ phương trình ngược từ dưới lên, tìm
biến x
n
sau đó x
n −1
, . . . , x
1
ta được 1 nghiệm
duy nhất.
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 7 / 76
Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss
Ví dụ
Giải hệ phương trình
x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
= 9
2x
1
+ 4x
2
+ 9x
3
= 23
3x
1
+ 7x
2
+ 8x
3
= 31
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 8 / 76
Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss
Giải.
1 2 2
2 4 9
3 7 8
9
23
31
h
2
→h
2
−2h
1
h
3
→h
3
−3h
1
−−−−−−→
1 2 2
0 0 5
0 1 2
9
5
4
h
2
↔h
3
−−−→
1 2 2
0 1 2
0 0 5
9
4
5
⇔
x
1
= 3
x
2
= 2
x
3
= 1
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 9 / 76
Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan
Phương pháp Gauss-Jordan
Định nghĩa
Phần tử trội là phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất,
sao cho không cùng hàng và cột với những phần
tử đã chọn trước.
Phương pháp Gauss-Jordan
1
Chọn phần tử trội để biến đổi cho tất cả các
phần tử trên cùng cột của phần tử trội bằng
không.
2
Qua n bước ta sẽ tìm được nghiệm cần tìm.
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 10 / 76
Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan
Ví dụ
Giải hệ phương trình
x
1
− x
2
+ 2x
3
− x
4
= −8
2x
1
− 2x
2
+ 3x
3
− 3x
4
= −20
x
1
+ x
2
+ x
3
+ 0x
4
= −2
x
1
− x
2
+ 4x
3
+ 3x
4
= 4
Giải.
1 −1 2 −1
2 −2 3 −3
1 1 1 0
1 −1 4 3
−8
−20
−2
4
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 11 / 76
Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan
Chọn phần tử trội là a
43
= 4. Thực hiện các phép
biến đổi sơ cấp
h
3
→4h
3
−h
4
h
2
→4h
2
−3h
4
h
1
→2h
1
−h
4
−−−−−−−→
1 −1 0 −5
5 −5 0 −21
3 5 0 −3
1 −1 4 3
−20
−92
−12
4
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 12 / 76
Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan
Chọn phần tử trội là a
43
= 4. Thực hiện các phép
biến đổi sơ cấp
h
3
→4h
3
−h
4
h
2
→4h
2
−3h
4
h
1
→2h
1
−h
4
−−−−−−−→
1 −1 0 −5
5 −5 0 −21
3 5 0 −3
1 −1 4 3
−20
−92
−12
4
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 12 / 76
Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan
Chọn phần tử trội không được nằm trên hàng 4 và
cột 3 là phần tử a
24
= −21. Thực hiện các phép
biến đổi sơ cấp
h
1
→21h
1
−5h
2
h
3
→7h
3
−h
2
h
4
→7h
4
+h
2
−−−−−−−→
−4 4 0 0
5 −5 0 −21
16 40 0 0
12 −12 28 0
40
−92
8
−64
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 13 / 76
Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan
Chọn phần tử trội không được nằm trên hàng 4,2
và cột 3,4 là phần tử a
32
= 40. Thực hiện các
phép biến đổi sơ cấp
h
1
→10h
1
−h
3
h
2
→8h
2
+h
3
h
4
→10h
4
+3h
3
−−−−−−−→
−56 0 0 0
56 0 0 −168
16 40 0 0
168 0 280 0
392
−728
8
−616
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 14 / 76
Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan
Chọn phần tử trội không được nằm trên hàng
4,2,3 và cột 3,4,2 là phần tử a
11
= −56. Thực
hiện các phép biến đổi sơ cấp
h
2
→h
2
+h
1
h
3
→7h
3
+2h
1
h
4
→h
4
+3h
1
−−−−−−−→
−56 0 0 0
0 0 0 −168
0 280 0 0
0 0 280 0
392
−336
840
560
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 15 / 76
Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau
−56x
1
= 392
−168x
4
= −336
280x
2
= 840
280x
3
= 560
⇔
x
1
= −7
x
2
= 3
x
3
= 2
x
4
= 2
Suy ra hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất
(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) = (−7, 3, 2, 2)
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 16 / 76
Phương pháp Gauss Bài tập
Bài tập
Bài 1. Sử dụng phương pháp phần tử trội giải hệ
phương trình
2x
1
− 1.5x
2
+ 3x
3
= 1
−x
1
+ 2x
3
= 3
4x
1
− 4.5x
2
+ 5x
3
= 1
Đáp số (x
1
, x
2
, x
3
) = (−1, 0, 1)
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 17 / 76
Phương pháp nhân tử LU Những khái niệm cơ bản
Những khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Ma trận vuông A =
a
11
a
12
. . . a
1n
0 a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . a
nn
được
gọi là ma trận tam giác trên.
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 18 / 76
Phương pháp nhân tử LU Những khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Ma trận vuông
a
11
0 0 0
a
21
a
22
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n 1
a
n 2
. . . a
nn
được gọi là
ma trận tam giác dưới.
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 19 / 76
| 1/78
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài giảng điện tử Nguyễn Hồng Lộc
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP. HCM — 2013.
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 1 / 76 Đặt vấn đề Đặt vấn đề
Trong chương này, chúng ta sẽ học một số phương
pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính  a 
11x1 + a12x2 + . . . + a1i xi + . . . + a1nxn = b1   
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
ai1x1 + ai2x2 + . . . + aiixi + . . . + ainxn = bi  
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   
 an1x1 + an2x2 + . . . + ani xi + . . . + annxn = bn (1)
thường xuất hiện trong các bài toán kỹ thuật.
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 2 / 76 Đặt vấn đề
Ta chỉ xét hệ gồm n phương trình và n ẩn số,
trong đó A = (aij) ∈ Mn(K ) và detA 6= 0. Do đó
hệ sẽ có nghiệm duy nhất X = A−1B.
Tuy nhiên, việc tìm ma trận nghịch đảo A−1 đôi
khi còn khó khăn gấp nhiều lần so với việc giải
trực tiếp hệ phương trình (1). Do đó cần phải có
phương pháp để giải hệ (1) hiệu quả.
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 3 / 76 Phương pháp Gauss
Hệ phương trình tương đương
Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để giải hệ
Xét hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trình và n ẩn  a 
11x1 + a12x2 + . . . + a1j xj + . . . + a1nxn = b1   
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
ai1x1 + ai2x2 + . . . + aijxj + . . . + ainxn = bi  
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   
 an1x1 + an2x2 + . . . + anj xj + . . . + annxn = bn
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 4 / 76 Phương pháp Gauss
Hệ phương trình tương đương
Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau trên hệ (1): 1
Đổi chỗ các phương trình của hệ (hi ↔ hj) hay
ci ↔ cj có đánh số lại các ẩn. 2
Nhân vào một phương trình của hệ một số λ 6= 0(hi → λhi). 3
Cộng vào một phương trình của hệ một
phương trình khác đã được nhân với một số (hi → hi + λhj)
thì ta sẽ được một hệ phương trình mới tương đương với hệ (1).
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 5 / 76 Phương pháp Gauss
Hệ phương trình tương đương   a11 a12 . . . a1n b1  a  21 a22 . . . a2n b2 BĐ sơ cấp trên hàng 
 −−−−−−−−−−−−−−→
 . . . . . . . . . . . . . . .    a n1 an2 . . . ann b n   c11 c12 . . . c1n d1  0 c  22 . . . c2n d2   với
 . . . . . . . . . . . . . . .    0 0 . . . c nn d n cii 6= 0, i = 1, 2, . . . , n.
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 6 / 76 Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss 1
Viết ma trận mở rộng AB = (A|B) của hệ (1). 2
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng biến
đổi ma trận mở rộng về ma trận bậc thang. 3
Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang. 4
Ta giải hệ phương trình ngược từ dưới lên, tìm
biến xn sau đó xn−1, . . . , x1 ta được 1 nghiệm duy nhất.
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 7 / 76 Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss Ví dụ Giải hệ phương trình  x1 + 2x2 + 2x3 = 9  2x1 + 4x2 + 9x3 = 23  3x1 + 7x2 + 8x3 = 31
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 8 / 76 Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss Giải.  1 2 2 9    h 1 2 2 9 2→h2−2h1 h3→h3−3h1 −−−−−−→  2 4 9 23   0 0 5 5  3 7 8 31 0 1 2 4  1 2 2 9   x 1 = 3 h  2↔h3 −−−→ ⇔  0 1 2 4  x2 = 2 0 0 5  5 x3 = 1
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 9 / 76 Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan Phương pháp Gauss-Jordan Định nghĩa
Phần tử trội là phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất,
sao cho không cùng hàng và cột với những phần tử đã chọn trước. Phương pháp Gauss-Jordan 1
Chọn phần tử trội để biến đổi cho tất cả các
phần tử trên cùng cột của phần tử trội bằng không. 2
Qua n bước ta sẽ tìm được nghiệm cần tìm.
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 10 / 76 Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan Ví dụ Giải hệ phương trình  x  1 − x2 + 2x3 − x4 = −8  
 2x1 − 2x2 + 3x3 − 3x4 = −20 x  1 + x2 + x3 + 0x4 = −2    x1 − x2 + 4x3 + 3x4 = 4   1 −1 2 −1 −8  2 −2 3 −3 −20  Giải.    1 1 1 0 −2    1 −1 4 3 4
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 11 / 76   1 −1 0 −5 −20  5 −5 0 −21 −92     3 5 0 −3 −12    1 −1 4 3 4 Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan
Chọn phần tử trội là a43 = 4. Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp h3→4h3−h4 h2→4h2−3h4 h1→2h1−h4 −−−−−−−→
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 12 / 76 Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan
Chọn phần tử trội là a43 = 4. Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp   h3→4h3−h4 1 −1 0 −5 −20 h2→4h2−3h4 h  5 −5 0 −21 −92  1→2h1−h4 −−−−−−−→    3 5 0 −3 −12    1 −1 4 3 4
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 12 / 76 Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan
Chọn phần tử trội không được nằm trên hàng 4 và
cột 3 là phần tử a24 = −21. Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp   h1→21h1−5h2 −4 4 0 0 40 h3→7h3−h2 h  5 −5 0 −21 −92  4→7h4+h2 −−−−−−−→    16 40 0 0 8    12 −12 28 0 −64
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 13 / 76 Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan
Chọn phần tử trội không được nằm trên hàng 4,2
và cột 3,4 là phần tử a32 = 40. Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp   h1→10h1−h3 −56 0 0 0 392 h2→8h2+h3 h  56 0 0 −168 −728  4→10h4+3h3 −−−−−−−→    16 40 0 0 8    168 0 280 0 −616
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 14 / 76 Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan
Chọn phần tử trội không được nằm trên hàng
4,2,3 và cột 3,4,2 là phần tử a11 = −56. Thực
hiện các phép biến đổi sơ cấp   h2→h2+h1 −56 0 0 0 392 h3→7h3+2h1 h  0 0 0 −168 −336  4→h4+3h1 −−−−−−−→    0 280 0 0 840    0 0 280 0 560
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 15 / 76 Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau   −56x x  1 = 392  1 = −7      −168x  4 = −336 x ⇔ 2 = 3 280x x  2 = 840  3 = 2      280x3 = 560  x4 = 2
Suy ra hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất
(x1, x2, x3, x4) = (−7, 3, 2, 2)
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 16 / 76 Phương pháp Gauss Bài tập Bài tập
Bài 1. Sử dụng phương pháp phần tử trội giải hệ phương trình  2x1 − 1.5x2 + 3x3 = 1  −x1 + 2x3 = 3  4x1 − 4.5x2 + 5x3 = 1
Đáp số (x1, x2, x3) = (−1, 0, 1)
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 17 / 76 Phương pháp nhân tử LU Những khái niệm cơ bản Những khái niệm cơ bản Định nghĩa   a11 a12 . . . a1n  0 a  Ma trận vuông A = 22 . . . a2n  . .  được  .. .. ... ...    0 0 . . . ann
gọi là ma trận tam giác trên.
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 18 / 76 Phương pháp nhân tử LU Những khái niệm cơ bản Định nghĩa   a11 0 0 0  a  Ma trận vuông 21 a22 . . . 0  . .  được gọi là  .. .. . . . ...    an1 an2 . . . ann ma trận tam giác dưới.
Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 19 / 76