Lý thuyết Chương 2: Phép tính vi phân hàm một biến | Môn toán cao cấp

lOMoAR cPSD| 47207194 Ch
ng 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM M T BI N A. Lý thuy t:
I. Đ o hàm c p m t và ñ o hàm c p cao:
1. Đ o hàm: Cho hàm s y = f x( ) xác ñ nh trên (a b, ), x ∈( 0
a b, ), ∆x là s gia c a ñ i s t i x )
0. Đ t ∆ =y f x( + ∆ 0
x) − f x( 0 g i là s gia c a hàm s . N u ∆y lim
t n t i h u h n thì ta nói hàm s f có ñ o hàm t i x0 và gi i h n ñó ñư c ∆ →x0 ∆x ′ dy
g i là ñ o hàm c a f t i x ( ) 0 , kí hi u là f x0 (hay x x= 0 ). dx ∆y
2. Đ o hàm trái: N u lim
t n t i h u h n ta g i nó là ñ o hàm trái c a hàm
∆ →x0− ∆x ′ s t i x ( −) 0 kí hi u f x0 ∆y
3. Đ o hàm ph i: N u lim
t n t i h u h n ta g i nó là ñ o hàm ph i c a hàm ∆ →x0+ ∆x ′ s t i x ( +) 0 , kí hi u f x0 .
4. Đ o hàm trên kho ng: N u hàm s f có ñ o hàm t i m i ñi m x∈(a b, ) thì ta nói f
có ñ o hàm trên (a b, ). ′
5. Đ o hàm c p hai: Cho hàm s y = f x( ) có ñ o hàm f (x) xác ñ nh trên (a b, ). N ′
u t n t i ñ o hàm c a f (x) thì ñ o hàm này ñư c g i là ñ o hàm c p hai c a f và kí hi ′′ ′′ ′
u là f (x). Ta có f ( )x =( f ( )x )′.
6. Đ o hàm c p cao: Đ o hàm c p n c a hàm s f x( ), kí hi u là f (n) (x) . Ta lOMoAR cPSD| 47207194
có: f n ( )x = ( f (n−1) ( )x )′. ( )
Công th c tính ñ o hàm b c cao c a t ng, c a tích. ( + ) = + ( ) = ∑ − v i = = −
(Công th c: 2) g i là công th c Leibnitz) Công
th c ñ o hàm b c cao c a m t s hàm s = > . = + π ( ) = + π ( ) = − − − + − . ( ) − − − = . 7. Quy t c ñ o hàm: -
Đ o hàm t ng, hi u: (u ± v)′ = u′± v′ -
Đ o hàm tích: (uv)′ = u v′ + v u′ - Đ o hàm thương: uv ′ =
u v′ v−v u′ ⇒ 1 ′ = −v2′ 2 v v -
Đ o hàm hàm h p: ( f u x( ( )))′ = f ′( )u u x. ′( ) lOMoAR cPSD| 47207194 -
Đ o hàm hàm ngư c: N u hàm s y = f x( ) có ñ o hàm t i x0 là f f ′(x ) Vì x ) ) = 1 0
0 = g y( 0 nên g′(y0 f ′(g y( )) 0
T ñó suy ra: g x′( ) = 1. ′ f (g x( )) =
- Đ o hàm c a hàm ph thu c tham s : N u hàm s cho b i ′ = phương trình ′′ ′ =ϕ = ψ ∈ αβ ⇒ ′ = và ′′ ′ ′ - Đ o hàm c a hàm s d ng = = ⇒ = ⇒( )′ =( )′ ′ ′ ⇔ = ′ + ( )′ ⇔ ′ = ′ + ⇔ ′ = − ( ′ + ) ′( ′ x ) ( ) = 1 0
≠ 0 , x = g y( ) là hàm ngư c c a hàm f x( ). Khi ñó: g y0 . lOMoAR cPSD| 47207194
8. Các công th c tính ñ o hàm: Hàm s Đ o hàm Hàm s Đ o hàm ∈ℝ 0 − α α α− < ≠ − − + − +
II. Vi phân hàm m t bi n:
1. Vi phân hàm m t bi n: Ta nói hàm s y = f x( ) kh vi t i n u có th vi t
∆ =y A x.∆ + 0(∆x), trong ñó là m t h ng s , 0(∆x) là VCB b c cao hơn ∆x Khi |
ñó bi u th c A x.∆ ñư c g i là vi phân c a hàm s y = f x( ) t i x0, kí hi u là dy x x= 0 hay df x( ) 0 .
2. Tính ch t: Hàm s y = f x( ) kh vi t i x0 khi và ch khi nó có ñ o hàm t i x0. Khi ñó ′ df x( ) ( ) 0 = f x0 ∆x .
Th t v y, Gi s hàm s y = f x( ) kh vi t i x0 khi ñó ∆ =y
A x.∆ + 0(∆x) chia hai v cho ∆x ta ñư c
∆y = A+ 0(∆x) . lOMoAR cPSD| 47207194 ∆x ∆x ∆y 0
Suy ra f ′(x ) (∆x) 0 = lim = A+ lim = A. ∆ →x 0 ∆x ∆ →x 0 ∆x ∆y
Ngư c l i, n u t n t i A = f ′(x ) 0 = lim ∆ →x 0 ∆x ⇒ ∆y
= A+ 0(∆x) ⇒ ∆ =yA x.∆ + 0(∆x) nên f kh vi t i x0. ∆x ∆x
Lưu ý: Ta g i dy hay df là vi phân c a hàm s y = f x( ) t i m t ñi m x b t kỳ. Khi ñó dy
= y′.∆x hay df = f ′(x).∆x . N u y = x thì dy = dx = f ′(x)∆ = ∆x x do ñó ta ñ ng
nh t dx v i ∆x .
V y, vi phân c a hàm s y = f x( ) là: df = f ′(x dx) hay dy = y dx′
Ví d : Hàm s y = x3 có vi phân là dy = 3x dx2
Hàm s y = sin x có vi phân là dy = cos .x dx .
3. Vi phân c p cao: Cho hàm s y = f x( ) có vi phân dy = f ′(x dx) . Khi ñó, dy có d
ng m t hàm theo bi n x v i tham s dx -
Vi phân c p hai: ta g i vi phân c a dy là vi phân c p hai c a hàm s y = f x( ), kí ′′
hi u d y2 = f (x dx) 2 ′′′ -
Vi phân c p ba c a hàm s y = f x( ) là vi phân c a d y2 , kí hi u d y3 = f (x dx) 3. -
Vi phân c p n c a hàm s y = f x( ) là vi phân c a dn−1y và kí hi u là d yn = f (n) ( )x dxn.
4. Các quy t c l y vi phân N u
là hai hàm s có ñ o hàm trên kho ng thì : 1) = v i = 2) ± = ± . 3) = v i = lOMoAR cPSD| 47207194 4) = + 5) = − n u ≠
III. ng d ng c a ñ o hàm và vi phân:
1. Kh d ng vô ñ nh trong tình gi i h n (Quy t c L’Hospital): f x( ) 0 ∞ f ′(x) Tính ch t 1: N u lim có d ng ho c mà lim = A thì ′ ( ) x→x g x( ) 0 g x 0 ∞ x→x0 f x( ) lim
= A. x→x0 g x( )
Ví d : Tìm lim xln x. x→0+ Gi i: ln x ∞
Ta có lim xln x = lim
có d ng . Theo Quy t c L’Hospital ta có 1 x→0 ∞ + x→0+ x ln x (ln x)′ lim = = (− + xln x = lim+ lim+ lim+ x) = 0. x→0 x→0 1 x→0′ ( x→0 x 1 ) x
2. Tìm c c tr hàm s :
Cho hàm s y = f x( ) xác ñ nh trên (a b, ) lOMoAR cPSD| 47207194
a) C c ñ i c a hàm s :. Đi m x ∈( 0
a b, ) ñư c g i là ñi m c c ñ i n u có m t kho ng I ch a x ) }
0 sao cho f x( ) < f x( 0 , ∀ ∈x I \{x0 .
b) C c ti u c a hàm s : Đi m x ∈( 0
a b, ) ñư c g i là ñi m c c ti u n u có m t kho ng I ch a x ) }
0 sao cho f x( ) > f x( 0 , ∀ ∈x I \{x0 .
c) C c tr hàm s : Các ñi m c c ti u và c c ñ i c a hàm s ñư c g i là ñi m c c tr hay c c tr c a hàm s .
d) Cách tìm c c tr c a hàm s : ′
(B1) Tính f (x) ; ′
(B2) Gi i phương trình f (x) = 0, tìm các ñi m d ng xi ; ′′
(B3) Tính f (x). ′′ ′′
(B4) N u f (x ) > ( ) < i
0 thì xi là ñi m c c ti u. N u f xi
0 thì xi là ñi m c c ñ i.
Ví d : Xét hàm y = − +x33x 1
Ta có y ' = 3x2 − 3 2 x = 1
y ' = 0 ⇔ 3x − 3 = 0 ⇔ x = −1
Ta có y′′ = 6x y;′′(1) = 6 > 0; y′′(−1) = − <6 0.
V y, x =1 là c c ti u; x = −1 là c c ñ i.
3. Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s :
Cho hàm s y = f x( ) xác ñ nh trên [a b, ] và kh vi trong kho ng (a b, ).
Khi ñó t n t i giá tr l n nh t và nh nh t c a f x( ) trên [a b, ] và cách tìm như sau:
(B1) Tính f a( ), f b( ); ′ ′
(B2) Tính f (x) , gi i phương trình f (x) = 0, tìm các ñi m d ng xi ; (B3) Tính các f x( ) i ; lOMoAR cPSD| 47207194
(B4) max f x( ) = max{ f a( ), f b( ); f x( ) i } x∈[a b, ]
min f x( ) = min{ f a( ), f b( ); f x( ) i } x∈[a b, ] 4. Tính g n ñúng: Theo ñ nh nghĩa vi phân ta có: ∆ =ff x( + ∆ ) = 0 x)− f x( 0
f ′(x)∆ +xo(∆x) . T ñó f x( + ∆ )+ ) 0 x) = f x( 0
f ′(x0 .∆ +xo(∆x) V y, f x( + ∆ )+ ) 0 x) ≈ f x( 0
f ′(x0 .∆x
Ví d : Tính g"n ñúng sin65o o 65π π π π ππ 3 1 π Gi i: Ta có sin 65 = sin = sin + ≈ sin + cos . = + . . 180 3 36 3 3 36 2 2 36 B. Bài t p
I. Bài t p có l i gi i:
1. Tính ñ o hàm b ng ñ nh nghĩa: Cho = ′ Gi i L y b t kỳ Theo ñ nh
nghĩa ñ o hàm t i m t ñi m ta có: − lOMoAR cPSD| 47207194 ′ = = = → − →→ == = ⇒ →→ 2. Cho hàm s = − ≠ = Hãy xét xem t i ñi m = , hàm s có ñ o hàm hay không? Gi i − π Đ t Xét: = − → − → = − ⇒ = +→ ⇒ → π ⇒ → − π π π+ → ππ π = π = = → V y
có ñ o hàm t i ñi m = và ′ = π 3. Cho: = = v i ∈ π ′ ′′ . Gi i Tacó: ′ = ′ =− lOMoAR cPSD| 47207194 ⇒ ′ = = − ′′= ′′ ′ ′ = ′ − =− ×− − ′ × − = − = −
4. Tính vi phân c a các hàm s sau = b) = : a) Gi i a) = ( )′ = + ′ b) = ( ) = . 5. a) = b) = Gi i lOMoAR cPSD| 47207194 a) Theo công th c Lepnit ta có : ∑ , ta có : = ( ) = + + = + + ⇒ = + + = = = b) Ta có: = ( ) = ( ( ) + ′( ) + ′′( ) ) = + π + + π − = −( − ) = −( ) = − ( + ) 6. Tìm các gi i h n sau ñây : − = → − ; = . →π = ; → − Gi i: ′ + − − = + = = = = − ′ = → − → → ′ → ′ = = → − ′ − = = → → ( )′ = = lOMoAR cPSD| 47207194 → ′ = = = →π →π ′ →π −′ = = = →π → π − → π → π ′ = = = → π
II. Bài t p không l i gi i: Câu 1: Cho hàm s ≠= =
Tính ñ o hàm c a hàm s t i ñi m = 0
Câu 2: Ch ng minh r ng hàm s sau không có ñ o hàm t i = 2 =2 − 5 + 6
Câu 3: Tìm vi phân c p m t c a hàm s + −1 = ( )
Câu 4: Tìm vi phân c p hai c a hàm s = + 2 +1
Câu 5: Tìm vi phân c p m t c a hàm s = 1 + −1 t i ñi m =−1
Câu 6: Tính ′ và ′′ c a hàm s cho b i h phương trình tham s = 2 − 2 = 3 − 3
Câu 7: Tính ′ và ′′ c a hàm s cho b i h phương trình tham s lOMoAR cPSD| 47207194 = =
Câu 8: Tính ′ và ′′ c a hàm s cho b i h phương trình tham s = 1+ 2 = 2
Câu 9: Tính ′ và ′′ c a hàm s cho b i h phương trình tham s = − = 1−
Câu 10: Tính ′ và ′′ c a hàm s cho b i h phương trình tham s = = 1− 2
Câu 11: Ch ng minh r ng hàm s = + th a h th c ′′ − ′ + 2 = 0
Câu 12: Ch ng minh r ng hàm s = th a h th c 3 ′′ +1 = 0
Câu 13: Ch ng minh r ng hàm s = + th a h th c 2 ′′ + ′ + = 0
Câu 14: Dùng quy t#c L’Hospital tìm gi i h n sau −π →π
Câu 15: Dùng quy t#c L’Hospital tìm gi i h n sau ( + ) →
Câu 16: Dùng quy t#c L’Hospital tìm gi i h n sau ( + ) →+∞ lOMoAR cPSD| 47207194
Câu 17: Dùng quy t#c L’Hospital tìm gi i h n sau →π
Câu 18: Dùng quy t#c L’Hospital tìm gi i h n sau π + →+∞