Lý thuyết chương 4: Đường chéo hóa ma trận | Môn toán cao cấp

Tính các rank (A-21). j sao cho rank(A-2,I) > n-n; : A không chéo hóa được. rank(A-2,1) = n-n, với mọi i = 1,n : A chéo hóa được. Bước 4: Tìm các vector tạo thành cơ sở của các không gian con riêng tương ứng các giá trị riêng. Lập ma trận 5 có cột là những vector vừa tìm được.Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem !

lOMoARcPSD| 47305584
Đại Số Tuyến T nh
ThS.Đào-Bảo-Dũng Trang 1
CH O H
A MA TRẬN
B i toÆn CH O H A MỘT MA TRẬN (Diagonalizable) 󰈨An
n
󰈨
Thuật toÆn :
ớc 1󰉼󰉴󰈨󰉼A I 0󰈖 󰈨
1 2 k󰈨󰉼󰉴󰉼 n1n2nk
ớc 2󰈜 
n1 n2 ... nk nAkhông chéo hóa được
n1 n2 ... nk nAchéo hóa được
ớc 3rank A( kI)
jrank A( jI) n njAkh ng chØo hóa được
rank A( jI) n nj󰉴 󰈨 i 1,nAchéo hóa được
ớc 4󰈨 󰉴󰉴󰈖 󰈖 
󰉼󰉴󰉼 󰈨󰈨󰈨S󰈨󰉼 󰉼 
󰉼󰉴󰈨 
3 2 0
B i tập 1󰈨A
2 3 0
0 0 5
Giải
c 1
3 2 0
A I
2 3 0 A I ( 1)( 5)
2
lOMoARcPSD| 47305584
Đại Số Tuyến T nh
ThS.Đào-Bảo-Dũng Trang 2
0 0 5
󰉼󰉴󰈨󰉼A I 0
( 1)( 5)
2
0
1󰈨n1 1 5󰈨n2 2
c 2
n1 n2 1 2 3 n󰈘 󰈖 󰈨A AchØo hóa
đưc
c 3
2 2 0 2 2 0
󰉴  1A I 2 20 d2 d2 d1 00 0
0 0 4 0 0 4 2 2 0

d
2
d
3
0 0 4 R A( I) 2 n n1
0 0 0
2 2 0 2 2 0
󰉴  5A 5I
2 20
d
2
d
2
d
1
0 0 0 
0 0 0 0 0 0
 R A( 5 )I 1 n n2
Achéo hóa được
c 4
x y
(A I X). 0󰈨󰈜  y 
z 0
lOMoARcPSD| 47305584
Đại Số Tuyến T nh
ThS.Đào-Bảo-Dũng Trang 3
y 1
󰉼 󰉴  1W1
y / y 󰉴󰉴󰈖  u1
1 
0 0
x y
(A 5 ).I X 0󰈨󰈜  y 
z
y
󰉼 󰉴  5W2
y
/ y z, 󰉴󰉴󰈖 
z
1 0
u2 1 ,u3
0 
0 1
1 1 0 1 0 0
󰈨P 1 1 0 P AP
1
0 5 0 
0 0 1 0 0 5
󰈜 󰈚 󰉼 󰉼󰈨 󰈖 󰈨󰈨P AP
1
󰈨 󰈨
󰉼 󰉼󰈨 󰉼󰉴󰉼 󰉼󰉴󰈨 󰈠 󰈨P
lOMoARcPSD| 47305584
Đại Số Tuyến T nh
ThS.Đào-Bảo-Dũng Trang 4
Lưu :
1 1 0 5 0 0
󰈘 󰈘 󰈨P
1 1 0 P AP
1
0 1
0
0 0 1 0 0 5 1 0
1 5 0 0
󰈘 󰈘 󰈨P
1 0 1 P AP
1
0 5
0
0 1 0 0 0 1
5 0 0
B i tập 2󰈨A 1 5 0
0 1 5
Giải
c 1
5 0 0
A I
1 5 0 A I ( 5)
3
0 1 5
󰉼󰉴󰈨󰉼A I 0
( 5)
3
0
5󰈨n1 3
c 2󰈖 n1 3 n
c 3󰉴  5
lOMoARcPSD| 47305584
Đại Số Tuyến T nh
ThS.Đào-Bảo-Dũng Trang 5
0 0 0 1 0 0 1 0 0
A 5I 1 0 0 d1 d2 00 0 d2 d3 01 0
0 1 0 0 1 0 0 0 0
R A( 5 )I 2 n n1 0
Akhông chéo hóa được󰈘 󰈨
󰈨A󰉼󰉴󰈨 
| 1/5

Preview text:

lOMoAR cPSD| 47305584
Đại Số Tuyến T nh CH O H A MA TRẬN
B i toÆn CH O H A MỘT MA TRẬN (Diagonalizable) : Cho ma tra n vu ng An
n . Hªy chØo h a ma tra n n y.
Thuật toÆn :
Bước 1 : Xé t phương trnh đa c trưng A
I 0. Gia i ra cÆc giÆ tri riŒng 1, 2, ,
k c bo i tương ư ng l n1, n2, , nk
Bước 2 : Kié m tra • n 1 n2 ...
nk n : A không chéo hóa được. • n 1 n2 ...
nk n : A chéo hóa được.
Bước 3 : T nh cÆc rank A( kI) •
j sao cho rank A( jI) n
nj : A kh ng chØo hóa được. • rank A( jI) n
nj vơ i mo i i 1,n : A chéo hóa được.
Bước 4 : T m cÆc véctor ta o tha nh cơ sơ cu a cÆc kh ng gian con riŒng
tương ư ng cÆc giÆ tri riŒng. La p ma tra n S c co t l như ng véctor vư a t m đươ c. 3 2 0
B i tập 1 : ChØo h a ma tra n A 2 3 0 0 0 5 Giải : Bước 1 : 3 2 0 Ta c A I 2 3 0 nŒn A I ( 1)( 5)2 ThS.Đào-Bảo-Dũng Trang 1 lOMoAR cPSD| 47305584
Đại Số Tuyến T nh 0 0 5
Xé t phương trnh đa c trưng A I 0 ( 1)( 5)2 0 1 (bo i n 1 1) , 5 (bo i n2 2) Bước 2 : Ta c : n 1 n2
1 2 3 n (ca p cu a ma tra n A) A chØo hóa được. Bước 3 : 2 2 0 2 2 0 ➢ Vơ i 1 : A I 2 20 d2 d2 d1 00 0 0 0 4 0 0 4 2 2 0 d2 d3 0 0 4 nŒn R A( I) 2 n n1 0 0 0 2 2 0 2 2 0 ➢ Vơ i 5 :A 5I 2 20 d2 d2 d1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
nŒn R A( 5 )I 1 n n2
A chéo hóa được. Bước 4 : x y
➢ XØt (A I X). 0, ta c nghié m to ng quÆt y . Kh ng gian con z 0 ThS.Đào-Bảo-Dũng Trang 2 lOMoAR cPSD| 47305584
Đại Số Tuyến T nh y 1 riŒng ư ng vơ i 1 l W1 y / y  , né n co cơ sơ l u1 1 . 0 0 x y
➢ XØt (A 5 ).I X 0, ta c nghié m to ng quÆt
y . Kh ng gian con z y riŒng ư ng vơ i 5 l W2 y / y z,  , né n co cơ sơ l z 1 0 u 2 1 ,u3 0 . 0 1 1 1 0 1 0 0 Khi đo , đa t P 1 1 0 th P AP 1 0 5 0 0 0 1 0 0 5
(đé vé thư tư cu a cÆc giÆ tri riŒng trong ma tra n P AP 1 phu thuo c
v o thư tư ca c véctor rié ng tương ư ng đươ c sa p trong ma tra n P) ThS.Đào-Bảo-Dũng Trang 3 lOMoAR cPSD| 47305584
Đại Số Tuyến T nh Lưu : 1 1 0 5 0 0
▪ Né u ta vié t ma tra n P 1 1 0 th P AP 1 0 1 0 0 0 1 0 0 5 1 0 1 5 0 0
▪ Né u ta vié t ma tra n P 1 0 1 th P AP 1 0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0
B i tập 2 : ChØo h a ma tra n A 1 5 0 0 1 5 Giải : Bước 1 : 5 0 0 Ta c A I 1 5 0 nŒn A I ( 5)3 0 1 5
Xé t phương trnh đa c trưng A I 0 ( 5)3 0 5 (bo i n 1 3)
Bước 2 : (tho a mªn, v c n 1 3 n) Bước 3 : Vơ i 5 ta c ThS.Đào-Bảo-Dũng Trang 4 lOMoAR cPSD| 47305584
Đại Số Tuyến T nh 0 0 0 1 0 0 1 0 0 A 5I 1 0 0 d1 d2 00 0 d2 d3 01 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
nŒn R A( 5 )I 2 n n 1 0
A không chéo hóa được. Ké t lua n
: ma tra n A kho ng ché o ho a đươ c. ThS.Đào-Bảo-Dũng Trang 5