Lý thuyết chương 5: Đạo hàm và vi phân | Môn giải tích

lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 5: Đạo hàm & vi phân
Phần 2. GIẢI TÍCH
Gv: Phan Ngô Tuấn Anh
Khoa Toán – Thống Kê, UEH
Chương 5. Đạo hàm & vi phân
I. Đạo hàm (derivative) 1.1 Định nghĩa
Đạo hàm của hàm số f(x) tại x , ký hi0 ệu là f (x )
0 , ược ịnh nghĩa là giới hạn: f (x ) 0 lim x0 f(x)x f(x )x0 0 x
Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói hàm số f(x) có ạo hàm (khả vi – differentiable) tại x 0
Ví dụ: Cho f(x) x2 , chứng minh rằng f (x) 2x x Lấy x0 , theo ịnh nghĩa: f (x ) 0 xlim x0 f(x)x f(x )x0 0 xlim x0 xx2 xx02 00 0 lim (x x )(x0 x ) 0 x x x x 0 0 lim(x x x ) 0 0 x Trang | 1 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 5: Đạo hàm & vi phân 2x0
Vì x tùy ý nên ta k0 ết luận f (x) 2x x ln(1 3x2 ) khi x 0 Ví dụ: Cho f(x) x 0 khi x 0
Hàm số f(x) có khả vi tại 0 hay không? Nếu có, tính f (0)
Để hàm số f(x) khả vi tại 0 thì giới hạn sau phải tồn tại hữu hạn: f (0) lim f(x) f(0) x 0 x 0 ln(1 3x2 ) x x 0 0 lim x 0 x 0 lim ln(1 23x2 ) 00 x 0 x lim ln(13 x32 x2 ) 3 x 0 3 (chú ý rằng ln(13 x32 x2 ) x 0 1 vì ln(1t t) t 0 1)
Vậy, hàm số f(x) khả vi tại 0 và f (0) 3 Trang | 2 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 5: Đạo hàm & vi phân xsin 1x khi x
0 Ví dụ: : Cho f(x) 0 khi x 0
a) Hàm số f(x) có liên tục tại 0 hay không?
Để hàm số f(x) liên tục tại 0 thì limf(x) f(0) x 0 Trong ó, limf(x)x limxsinx 0 1x 0 limf(x)x 0 f(0) 0 f(0) 0 1 xsin 1x x 0 0 vì xsin x
là tích của một ại lượng tiến về 0 và một ại lượng (chú ý rằng, bị chận)
Vậy hàm số f(x) liên tục tại 0.
b) Hàm số f(x) có khả vi tại 0 hay không?
Để hàm số f(x) khả vi tại 0 thì giới hạn sau phải tồn tại hữu hạn: f (0) lim f(x) f(0) x 0 x 0 x 0 xsin 1x 0 lim Trang | 3 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 5: Đạo hàm & vi phân x 0 x 0 limsinx 0 1x Giới hạn limsinx 0 sin 1x không tồn tại vì khi x 0 thì 1x không hội tụ
về bất cứ giá trị nào cả.
Vậy, hàm số f(x) không khả vi tại 0 (dù rằng liên tục tại 0).
Nhận xét: Ví dụ trên cho ta thấy, hàm số liên tục nhưng chưa chắc có ạo hàm (khả vi). Ghi chú: df(x) Ngoài ký hiệu f (x) , ta còn dùng ký hiệu ể chỉ ạo
hàm của hàm số f(x) : dx f (x) df(x) dx d(x
Chẳng hạn, thay vì viết (x2 ) 2x , ta có thể viết là )2 2x dx Đặt
x x x0 ( ộ biến thiên của x)
f f(x) f(x )0 f(x0 x) f(x )0 ( ộ biến thiên của f(x) ) thì f (x ) 0 limx 0 xf lim f(x0 x) f(x )0 x 0 x f Trang | 4 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 5: Đạo hàm & vi phân Tỉ số
có ý nghĩa là ộ biến thiên (tăng, giảm) trung bình của hàm số f(x) khi biến số x tăng x
thêm 1 ơn vị. Trong kinh tế, nó chính là biên tế của ại lượng f(x) . Chẳng hạn, nếu x là sản lượng f
và f(x) là chi phí sản xuất (hàm chi phí) thì tỉ số
chính là mức tăng chi phí trung bình khi tăng x
sản lượng thêm 1 ơn vị, ược gọi là chi phí biên (marginal cost). f Đẳng thức f (x ) 0 limx0
x nói lên rằng, khi ộ biến thiên của x khá nhỏ, nghĩa là x 0, thì ộ xf 0 : biến thiên trung bình
có giá trị rất gần f (x ) f f (x ) khi x 0 0 x
Vậy, khi ộ biến thiên của biến số khá nhỏ thì ộ biến thiên trung bình có thể xấp xỉ với ạo hàm.
Kế tiếp, ta ịnh nghĩa các ạo hàm một phía (one-sided derivatives) của hàm số.
Đạo hàm bên phải (right-hand derivative) của hàm số f(x) tại x là gi0 ới hạn bên phải: f (x ) 0 lim f(x) f(x )0 x x x x 0 0
và ạo hàm bên trái (left-hand derivative) của hàm số f(x) tại x là gi0 ới hạn bên trái: f (x ) 0 lim f(x) f(x )0 x x x x 0 0
Áp dụng kết quả trong phần giới hạn hàm số (chương 4 - giới hạn & sự liên tục), ta có:
Mệnh ề. Để hàm số f(x) có ạo hàm (khả vi) tại x thì 0
iều kiệu cần và ủ là f (x ) f (x ) 0 0 Khi ó: f (x ) 0 f (x ) 0 f (x ) 0 Trang | 5 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 5: Đạo hàm & vi phân
Ghi chú: Đẳng thức f (x ) 0 f (x ) 0 f (x )
0 nói lên rằng, khi hàm số f(x) khả vi tại x thì 0
ồ thị của hàm số tại iểm (x ,y
0 0 ) là trơn (smooth), không bị gãy:
Ví dụ: Hàm số sau ây có ạo hàm (khả vi) tại 0 không? ln(1 x )2 f(x) x khi x 0 sin x khi x 0
Để hàm số f(x) có ạo hàm tại 0 thì f (0 ) f (0 ) f (0 ) lim f(x) f(0) x 0 x 0 ln(1 x ) 2 x 0 sin0 x lim x 0 x 0 ln(1 x ) 2 x 0lim x2 1 (chú ý rằng sin0 0 và ln(1x 2 x )2 x 0 1 vì ln(1t t) t 0 1) Trang | 6 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 5: Đạo hàm & vi phân f (0 ) lim f(x) f(0) x 0 x 0 x 0 sin x sin0 lim x 0 x 0 lim sin x x 0 x 1 sin t (chú ý rằng sin0 0 và t 0 1) t
Ta thấy f (0 ) f (0 ) 1, do ó hàm số f(x) có ạo hàm tại 0 và f (0) f (0 ) f (0 ) 1
Ví dụ: Hàm số f(x) x có ạo hàm (khả vi) tại 0 không? Ta có: f (0 ) lim f(x) f(0) x 0 x 0 x 0 x 0 lim x 0 x 0 1 f (0 ) lim f(x) f(0) x 0 x 0 x 0 x 0lim ( x) 0 x 0 1
Ta thấy f (0 ) f (0 ) nên không có ạo hàm (không khả vi) tại 0, nghĩa là f (0) không tồn tại. Trang | 7 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 5: Đạo hàm & vi phân
Nhận xét: Hàm số f(x) | x | liên tục tại 0 ( ồ thị là ường nét liền), nhưng không có ạo hàm tại 0.
Khi i băng ngang qua iểm 0, ồ thị bị gãy.
Giữa tính khả vi (có ạo hàm) và tính liên tục của hàm số có mối liên hệ như sau:
Mệnh ề. Nếu hàm số f(x) khả vi tại x thì liên t0 ục tại x 0 (ngược lại thì sai)
Hệ quả. Nếu hàm số f(x) không liên tục tại x thì không kh0 ả vi tại x 0
Tính khả vi bảo ảm ồ thị hàm số là ường cong liên tục ( ường nét liền) và trơn. Do ó, hàm số khả vi
còn ược gọi là hàm trơn (smooth function).
Ta nói hàm số f(x) khả vi trên khoảng (a,b) nếu hàm số có ạo hàm tại mọi iểm thuộc khoảng (a,b).
Ta nói hàm số f(x) khả vi trên oạn [a,b] nếu hàm số khả vi trên khoảng (a,b) và có ạo hàm bên phải a
(tồn tại f (a ) ), có ạo hàm bên trái b (tồn tại f (b ) ).
1.2 Ý nghĩa kinh tế của ạo hàm
a) Biên tế (Marginal functions)
Giả sử x và y là các ại lượng kinh tế có mối quan hệ hàm số y y(x). Biên tế của y theo x là biểu thức: My y (x) dy dx
Giá trị của biên tế cho ta biết, khi ại lượng x tăng thêm 1 ơn vị thì ại lượng y tăng thêm (hoặc giảm i)
trung bình (xấp xỉ) bao nhiêu ơn vị.
Biên tế My có cùng ơn vị o với ại lượng y.
Ví dụ: Chi phí biên (Marginal Cost)
Gọi q (quantity) là sản lượng và C (Cost) là tổng chi phí sản xuất thì C C(q)(hàm chi phí). Trang | 8 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 5: Đạo hàm & vi phân Chi phí biên: MC C (q) dC dq Giá trị của
chi phí biên cho ta biết, khi tăng sản lượng thêm 1 ơn vị thì chi phí
sản xuất sẽ tăng thêm trung bình bao nhiêu ơn vị.
Về mặt hình học, chi phí biên là hệ số góc ( ộ dốc – slope) của tiếp tuyến với ường cong chi phí. Chi
phí biên càng lớn thì tiếp tuyến càng dốc ứng.
Áp dụng: Một xí nghiệp có sản lượng trung bình mỗi ngày là q 25 và hàm chi phí sản xuất của xí
nghiệp là C q2 20q 10. Hãy tính chi phí biên tại mức sản lượng này và nêu ý nghĩa. Ta có: MC C (q) 2q 20 (hàm chi phí biên)
Tại q 25 thì MC 2 25 20 70 ( ơn vị tiền)
Vậy, tại mức sản lượng thường ngày của xí nghiệp là q 25, nếu xí nghiệp tăng sản lượng thêm 1 (
ơn vị hàng) thì chi phí sản xuất tăng thêm xấp xỉ 70 ơn vị tiền.
Chú ý: Tại mức sản lượng q 25, nếu tăng sản lượng thêm 1 ( ơn vị hàng) thì chi phí tăng thêm một
lượng chính xác là
C C(26) C(25) (262 20.26 10) (252 20.25 10) 71 ( ơn vị tiền)
Ví dụ: Doanh thu biên (Marginal Revenue)
Giả sử giá (price) của sản phẩm phụ thuộc vào sản lượng: p p(q) Biểu
thức R p.q p(q).q ược gọi là hàm doanh thu. Trang | 9 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 5: Đạo hàm & vi phân Doanh thu biên: MR R (q) Giá trị của dR
doanh thu biên cho ta biết, khi tăng sản lượng thêm 1 ơn vị thì dq doanh thu sẽ
tăng thêm (hoặc giảm i) trung bình bao nhiêu ơn vị.
Áp dụng: Biết giá của sản phẩm tuân theo quy luật p p(q) 400 q và mức sản lượng thường
ngày của xí nghiệp là q 120 . Hãy tính doanh thu biên tại mức sản lượng này và nêu ý nghĩa.
Ta có hàm doanh thu: R pq (400 1 q)q 400q 1 q2 2 2 Doanh thu biên: MR R (q) (400q q )2 400 q
Tại q 120 thì MR 400 120 280 ( ơn vị tiền)
Vậy, tại mức sản lượng thường ngày q 120 , nếu xí nghiệp tăng sản lượng thêm 1 ơn vị thì doanh
thu tăng thêm trung bình 280 (on vị tiền).
Chú ý: Khi sản lượng tăng quá nhiều so với nhu cầu tiêu thụ thì giá bán của sản phẩm sẽ giảm mạnh
và hậu quả là doanh thu có thể giảm (dù sản tượng tăng) Ví dụ: Năng suất biên (Marginal Product)
Giả sử mức sản lượng q (quantity) phụ thuộc vào lượng lao ộng l (labor): q q(l)
Ta gọi hàm q q(l) là hàm năng suất (production function). Biên tế của hàm năng suất theo lượng lao
ộng ược gọi là năng suất biên theo lao ộng (Marginal Product of Labor), ký hiệu là MPL : MPL q (l) dq dl
Giá trị của năng suất biên theo lao ộng cho ta biết, khi lượng lao ộng tăng thêm 1 ơn vị thì sản lượng
sẽ tăng thêm trung bình bao nhiêu ơn vị.
Áp dụng: Sản lượng của xí nghiệp ược cho bởi hàm năng suất q q(l) 120l l và lượng lao ộng
hiện tại của xí nghiệp là l 625 . Hãy tính năng suất biên theo lao ộng hiện tại và nêu ý nghĩa.
Ta có: MPL q (l) (120l l) 120 1 2 l Tại l 625 thì MPL 120 1 120 1 120.02 2 625 2.25 Trang | 10 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 5: Đạo hàm & vi phân
Vậy, với lượng lao ộng hiện tại, nếu tăng lượng lao ộng thêm 1 ơn vị thì sản lượng sẽ tăng thêm xấp
xỉ 120.02 ơn vị sản phẩm
Ví dụ: Khuynh hướng chi tiêu biên MPC (Marginal Propensity to Consume) và khuynh hướnng tiết
kiệm biên MPS (Marginal Propensity to Save) Ta gọi •
I (Income) là tổng thu nhập •
C (Consume) là lượng chi tiêu •
S (Save) là lượng tiết kiệm của một hộ gia ình (tính băng ơn vị tiền).
Rõ ràng, lượng chi tiêu C và lượng tiết kiệm S phụ thuộc vào thu nhập I: C C(I) (hàm chi tiêu) S S(I) (hàm tiết kiệm)
Biên tế của C và S theo I ược gọi là khuynh hướng chi tiêu biên (Marginal Propensity to Consume) và
khuynh hướnng tiết kiệm biên (Marginal Propensity to Save), ký hiệu là MPC và MPS: MPC C (I) dC dI MPS S (I) dS dI
Giá trị của MPC và MPS cho ta biết, khi mức thu nhập tăng thêm 1 ơn vị tiền thì lượng chi tiêu và
lượng tiết kiệm sẽ tăng thêm trung bình bao nhiêu.
Vì I C(I) S(I) nên lấy ạo hàm 2 vế theo biến số I thì ta ược 1 C (I) S (I) MPC MPS
Vậy, ta có ẳng thức: MPC MPS 1
Đẳng thức này nói lên rằng, khi thu nhập tăng thêm 1 ơn vị tiền thì tổng của lượng chi tiêu tăng thêm
và lượng tiết kiệm tăng thêm bằng 1. 2I 1
Áp dụng: Biết C C(I)
, hãy tính MPC và MPS tại I 7 và nêu ý nghĩa. I 3 Trang | 11 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 5: Đạo hàm & vi phân Ta có: MPC C (I) 2II 31 2(I (3)I 3)(22 I 1) (I 73)2 Tại I 7 thì MPC
0.07 và MPS 1 MPC 10.07 0.93
Vậy, tại mức thu nhập I 7 , nếu thu nhập tăng thêm 1 ( ơn vị tiền) thì lượng chi tiêu tăng thêm 0.07 (
ơn vị tiền), lượng tiết kiệm tăng thêm 0.93 ( ơn vị tiền).
b) Độ co giãn (Elasticity)
Giả sử x và y là các ại lượng kinh tế có quan hệ hàm số y y(x) Độ
co giãn (Elasticity) của y theo x là biểu thức: Ey y (x) x dy x y(x) dx y
(chú ý là ộ co giãn không có ơn vị o).
Giá trị của ộ co giãn cho ta biết, khi ại lượng x tăng thêm 1% thì ại lượng y sẽ tăng thêm (hoặc giảm
i) trung bình bao nhiêu phần trăm.
Ví dụ: Cho hàm cầu (demand function) của một mặt hàng là qD 6000 2p, trong ó p (price) là giá
của mặt hàng, q (demand quantity) D là lượng cầu tương ứng.
Mức giá hiện tại của mặt hàng này là p 2000. Tính ộ co giãn của lượng cầu tại mức giá hiện tại và nêu ý nghĩa. p
Ta có biểu thức của ộ co giãn lượng cầu: E D qD p dqD p 2 qD dp 6000 2p qD
Tại mức giá hiện tại p 2000 thì ED 2 2 (không có ơn vị o)
Vậy, ở mức giá hiện tại là p 2000, nếu giá tăng thêm 1% (nghĩa là giá tăng thêm 1% 2000 20 ơn
vị tiền) thì lượng cầu giảm trung bình 2% (ây là mặt hàng xa xỉ, không thiết yếu). Trang | 12 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 5: Đạo hàm & vi phân
1.3 Quy tắc tính ạo hàm
a) Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản (C) 0 (C là hằng số) (x ) x 1 ( là hằng số) 1 ( x ) 2 x
(a x ) a lnax (a 0 là hằng số) (ex ) ex (log xa ) (a 0, a 1 là hằng số) 1 (ln x) xlna 1 x (sin x) cosx (cosx) sin x 1 ( tan x ) 2 cosx (cot x) 12 sin x
Ví dụ: Áp dụng công thức (x ) x 1 , ta có (x3 ) 3x2 Trang | 13 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 5: Đạo hàm & vi phân
( 3 x) (x1/3) 13 x13 1 13 x 32 3x123 31x2 3 1x (x 1) 1.x 2 x12 1 x 12 12 x 12 1 12 x 23 1 32 2 1x3 x 2x
Ví dụ: Áp dụng công thức (a x ) a lnax, ta có (3 )x 3x ln3
Ví dụ: Áp dụng công thức (log xa ) 1, ta có (log x 4) 1 xlna xln4
b) Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương Nếu các
hàm số u u(x); v v(x) có ạo hàm thì (u v) u v ( u) u (uv) u v v u u u v 2v u v v Trang | 14 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 5: Đạo hàm & vi phân Ví dụ: Tính (4 x 3ex 5ln x 6cosx 7) 4 1
3ex 5 1 6.( sin x) 2 3ex 5 6sin x 2 x x x x
(x e5x ) (x ) .e5 x (e ) .xx 5 5x e4 x e xx 5 x e (54 x x) uv u v v u 3ln x2ln x 1
(2ln x) .(3ln x (3 ln x1) (31)ln x2 1) .(2 ln x) u u v v u v v2 2 3 (3ln x 1) (2ln x) x (3ln x 1)x 2 x(3ln x2 1)2
c) Đạo hàm của hàm số hợp
Giả sử các hàm số u u(x) (biến số là x) và z f(u) (biến số là u) có ạo hàm. Khi ó, hàm số hợp
(composite function) z f(u(x)) (biến số là x) có ạo hàm và: z (x) f (u).u (x)
Ghi chú: Công thức trên có thể viết dưới dạng dz df du dx du dx
Hệ quả. Giả sử hàm số u u(x) có ạo hàm. Khi ó, ta có các công thức:
(u ) x u 1u ( là hằng số) Trang | 15 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 5: Đạo hàm & vi phân 1 ( u ) u x 2 u
(au ) x a (lna)uu (a 0 là hằng số) (eu ) x e uu (log ua ) x (a 0, a 1 là hằng số) 1 (lnu) x 1 u ulna u u (sinu) x (cosu)u (cosu) x (sinu)u (tanu) x 1 cos u 2 u 1 ( cotu ) u x 2 sinu
Sau ây, ta xét một số ví dụ tính ạo hàm của hàm số hợp.
Ví dụ: Tính ạo hàm (3x 2)5
Ta ặt u u(x) 3x 2 (khi ó u (x)
3) rồi áp dụng công thức (u ) x u 1u với 5 thì ược: (3x 2)5 5(3x 2) .34 15((3x 2)4
Ví dụ: Tính ạo hàm (sin x2 )
Chú ý rằng sin x2 (sin x)2 Trang | 16 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 5: Đạo hàm & vi phân
Áp dụng công thức (u ) x u 1u với u u(x) sin x (khi ó u (x) cosx ) và 2 thì ược: (sin x2) (sin x)2 2sin xcosx sin2x
Ghi chú: sin 2 2sin cos Ví
dụ: Tính ạo hàm (ln x3 ) Chú ý rằng ln x3 (ln x)3
Áp dụng công thức (u ) x u 1u với u u(x) ln x (khi ó u (x) 1 ) và 3 thì ược: x (ln x3) (ln x)3 3(ln x)2 1x
Ví dụ: Tính ạo hàm x3 1
Ta ặt u u(x) x3 1 (khi ó u (x)
3x 2 ) rồi áp dụng công thức ( u) x 1 u thì ược: 2 u x3 1 1 3x2 3x2 2 x3 1 2 x3 1
Ví dụ: Tính ạo hàm 3 ln x
Chú ý rằng 3 ln x (ln x)13 nên ặt u u(x) ln x (khi ó u (x) 1 ) và áp dụng công thức x
(u ) x u 1u với thì ược: Trang | 17 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 5: Đạo hàm & vi phân 1 1 3 ln x (ln x) 13 13(ln x) 32 1x 13 23 1x 3x ln x3 2 (ln x) 1
Ví dụ: Tính ạo hàm ln x 1 1 nên ặt u u(x) ln x (khi ó u (x) 1 ) và áp dụng công thức Chú ý rằng (ln x) ln x x
(u ) x u 1u với 1 thì ược: 1 1 ln x (ln x) 1 1.(ln x) 2 1x xln x 2
Ví dụ: Tính ạo hàm e 3x
Xem u u(x) 3x (khi ó u (x) 3) rồi áp dụng công thức (eu ) x e uu thì ược: e 3x e 3x .( 3)
3e 3x Ví dụ: Tính ạo hàm ex2
Xem u u(x) x2 (khi ó u (x) 2x ) rồi áp dụng công thức (eu ) x e uu thì ược: Trang | 18 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 5: Đạo hàm & vi phân ex2 e .2xx2 2xex2
Ví dụ: Tính ạo hàm 4x
Xem u u(x) x (khi ó u (x) 1 ) rồi áp dụng công thức (au ) x a (lna)uu với a 4 thì 2 x ược: ln4 4 x 4 x (ln4) 1 4 x 2 x 2 x
Ví dụ: Tính ạo hàm ln6x Xem u u(x) 6x (khi ó u (x) 6 ) rồi áp dụng công thức 1 (lnu) x u thì ược: u ln6x 1 6 1 6x x
Ví dụ: Tính ạo hàm ln(x 2 1) Xem u u(x) x2 1 (khi ó u (x) 2x ) rồi áp dụng công thức 1 (lnu) x u thì ược: u ln(x 1 2 1) 2 2x 2 x 2 x 1 x 1 Trang | 19 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 5: Đạo hàm & vi phân
Ví dụ: Tính ạo hàm ln(cosx) 1 Xem u u(x) cosx (khi ó u (x)
sin x ) rồi áp dụng công thức (lnu) x u thì ược: u ln(cosx) ( sin x) tan x sin Ghi chú: tan cos
Ví dụ: Tính ạo hàm log (x 2 3 1) 1 Xem u u(x) x2 1 (khi ó u (x)
2x ) rồi áp dụng công thức (log u a ) u x với a 3 thì ulna ược: 1 2x log (x 2 3 1) 2 2x 2 (x 1)ln3 (x 1)ln3
Ví dụ: Tính ạo hàm (sin5x)
Xem u u(x) 5x (khi ó u (x) 5 ) rồi áp dụng công thức (sinu) x (cosu)u thì ược: (sin5x) (cos5x).5 5cos5x
Ví dụ: Tính ạo hàm cos(x )2 Xem u u(x) x2 (khi ó u (x)
2x ) rồi áp dụng công thức (cosu) x (sinu)u thì ược: cos(x )2 sin(x ).2x2 2xsin(x 2 ) Trang | 20