Lý thuyết chương 6: Hàm nhiều biến | Môn toán cao cấp

lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 6: Hàm nhiều biến Gv: Phan Ngô Tuấn Anh
Khoa Toán – Thống Kê, UEH
Chương 6. Hàm nhiều biến
Trong chương này, ta khảo sát hàm 2 biến số. Tất cả các ịnh nghĩa, kết quả ối với hàm 2 biến ều có
thể mở rộng cho hàm 3 biến…
I. Giới thiệu về hàm 2 biến 1.1. Khái niệm
Trước hết, nhắc lại tập hợp 2 là tập hợp bao gồm những phần tử có dạng (x,y) , với x và y là những số thực tùy ý: 2 (x,y) / x ,y
Về mặt hình học thì mỗi phần tử (x,y)
2 là một iểm nằm trong mặt phẳng tọa ộ Oxy và ta ồng nhất 2 với mặt phẳng Oxy
Cho D là một tập hợp con của 2 , mỗi phần tử của D có dạng là (x,y) . Một phép biến ổi f liên kết mỗi
phần tử (x,y) D với một số thực duy nhất f(x,y)sẽ ược gọi là một hàm 2 biến xác ịnh trên D (nói cho
ơn giản thì hàm 2 biến là một biểu thức phụ thuộc vào 2 biến x và y).
Ví dụ: f (x,y) 2x 3y 5 là hàm 2 biến, xác ịnh với mọi (x,y)
2 , nó là hàm bậc nhất ối với cả 2 biến x
và y, ược gọi hàm tuyến tính. Ví dụ: f(x,y)
4 x2 y2 là hàm 2 biến, xác ịnh tại những iểm (x,y) thỏa 4 x2 y2 0 x2 y2 4
Miền xác ịnh của hàm này là hình tròn có tâm là gốc (0,0) , bán kính bằng 2. Trang | 1 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 6: Hàm nhiều biến
Ví dụ: Giá của 2 mặt hàng là p1 30,p2 25. Nếu lượng hàng ược mua tương ứng là x và y ơn vị thì
tổng chi phí mua 2 mặt hàng sẽ là hàm 2 biến: C(x,y) p x1 p y2 30x 25y
Ví dụ: Một xí nghiệp sản xuất 2 mặt hàng. Gọi x và y là sản lượng của 2 mặt hàng này thì chi phí sản
xuất của xí nghiệp là hàm 2 biến C(x,y) , ược gọi là hàm chi phí. Tương tự, ta có hàm doanh thu R(x,y) , hàm lợi nhuận (x,y)…
Ví dụ: Sản lượng Q của xí nghiệp phụ thuộc vào 2 yếu tố ầu vào là lượng lao ộng L (Labor) và lượng
vốn ầu tư K (Capital). Vậy Q là hàm 2 biến Q Q(L,K), ược gọi là hàm năng suất.
Về hình học, ồ thị của hàm 2 biến ược biểu diễn trong hệ trục tọa ộ vuông góc 3 chiều Oxyz. Nếu z
f(x,y) là hàm 2 biến thì ồ thị của hàm z f(x,y) trong hệ trục Oxyz là một mặt cong hoặc mặt phẳng (
ồ thị là mặt phẳng nếu hàm z f(x,y) là hàm tuyến tính)
1.2. Đạo hàm riêng (partial derivatives)
a) Đạo hàm riêng cấp 1 Cho hàm 2 biến f(x, y)
Nếu xem x là biến số duy nhất (xem y là hằng số) thì f (x, y) trở thành hàm của biến số x mà thôi (hàm
1 biến). Khi lấy ạo hàm của hàm số này (với biến số duy nhất là x) thì ta ược ạo hàm riêng
theo biến x, ký hiệu là f (x,y)x hoặc f(x,y) x f(x,y)
Tương tự, ta có ạo hàm riêng theo biến y, ký hiệu là f (x,y)y hoặc . y Trang | 2 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 6: Hàm nhiều biến
Khi tính ạo hàm riêng theo biến số nào thì ta xem biến số ó là biến số duy nhất, tất cả các biến còn
lại ều xem là hằng số. Ví dụ: f(x,y) 3x 7y 1
• Xem x là biến số duy nhất (y là hằng số): f (x,y)x 3
• Xem y là biến số duy nhất (x là hằng số): f (x,y)y 7 Ví dụ: f(x,y) x4 y2
• Xem x là biến số duy nhất (y là hằng số): f (x,y)x 4x3
• Xem y là biến số duy nhất (x là hằng số): f (x,y)y 2y Ví dụ: f(x,y) x y5 2
• Xem x là biến số duy nhất (y là hằng số): f (x,y)x 5x y4 2
• Xem y là biến số duy nhất (x là hằng số): f (x,y)y x .2y5 2x y5
Ví dụ: f(x,y) 3x2 2xy 9y2 7x 4y 1
• Xem x là biến số duy nhất (y là hằng số): f (x,y)x 6x 2y 7
• Xem y là biến số duy nhất (x là hằng số): f (x,y)y 2x 18y 4 Ví dụ: f(x,y) x e2 y
• Xem x là biến số duy nhất (y là hằng số): f (x,y)x 2xey
• Xem y là biến số duy nhất (x là hằng số): f (x,y)y x e2 y Ví dụ: f(x,y) x e3 7y
• Xem x là biến số duy nhất (y là hằng số): f (x,y)x 3x e2 7y
• Xem y là biến số duy nhất (x là hằng số): f (x,y)y x .(7e3 7y) 7x e3 7y Ví dụ: f(x,y) x tan y2
• Xem x là biến số duy nhất (y là hằng số): f (x,y)x 2x tan y
• Xem y là biến số duy nhất (x là hằng số): f (x,y)y Trang | 3 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 6: Hàm nhiều biến x2 cos y12 cos yx22 Ví dụ: f(x,y) x2 5y
• Xem x là biến số duy nhất (y là hằng số): 1 1 x f (x,y)x 2 5y (x2 5y) x 2 x2 5y 2x x2 5y 2 x
• Xem y là biến số duy nhất (x là hằng số): 1 5 f (x,y)y 21 (x2 5y) y 2 5y ( 5) 2 x2 5y 2 x 5y 2 x Ví dụ: f(x,y) ln(2y x )5
• Xem x là biến số duy nhất (y là hằng số): f (x,y)x 2y1 x (2y x )5 x 1 x5 ( 5x4) 2y5x 4x5 5 2y
• Xem y là biến số duy nhất (x là hằng số): 1 1 2 f (x,y)y 2y x5 (2y x )5 y 2y x5 2 2y x5 Ví dụ: f(x,y) exy2
• Xem x là biến số duy nhất (y là hằng số): f (x,y)x exy2.(xy2 ) x exy2y2
• Xem y là biến số duy nhất (x là hằng số): f (x,y)y
exy2.(xy2) y exy2.(x.2y) 2xyexy2 Ví dụ: f(x,y) x sin(3x2 y)
• Xem x là biến số duy nhất (y là hằng số) : Trang | 4 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 6: Hàm nhiều biến f (x,y)x [ x sin(3x2 y)] x ( x ) sin(3x2 x y) [sin(3x y)] x x 2 uv u v v u
Vì (x2) x 2x và [sin(3x y)] x cos(3x y).(3x y) x cos(3x y).3 nên thay vào ta ược:
f (x,y)x 2xsin(3x y) 3cos(3x y)x2
Xem y là biến số duy nhất (x là hằng số): f (x,y)y [x sin(3x2 y)] y x [sin(3x2 y)] y x .cos(3x2 y).(3x y) y x .cos(3x2 y).( 1) x .cos(3x2 y)
Ví dụ: Cho f(x) là hàm khả vi thỏa f (1)
8 và ặt g(x,y) f(4x 3y) . Tính g (1,1) x và g (1,1) y g (x,y) x [f(4x 3y)] x f (4x
3y).(4x 3y) x f (4x 3y).4 g (x,y) y [f(4x 3y)] y f (4x 3y).(4x 3y) y f (4x 3y).( 3) Tại (x,y) (1,1) thì g (1,1) x f (1).4 ( 8).4 32 g (1,1) y f (1).( 3) ( 8).( 3) 24
b) Biên tế riêng và ộ co giãn riêng
Cho x, y, z là các ại lượng kinh tế có quan hệ hàm số: z z(x,y)
• Biên tế của z theo x là: Mzx z (x,y) x
Biên tế của z theo x cho ta biết, khi tăng ại lượng x thêm 1 ơn vị (giữ nguyên ại lượng y) thì ại
lượng z sẽ biến thiên bao nhiêu ơn vị.
• Biên tế của z theo y là: Mzy z (x,y) y
Biên tế của z theo y cho ta biết, khi tăng ại lượng y thêm 1 ơn vị (giữ nguyên ại lượng x) thì ại
lượng z sẽ biến thiên bao nhiêu ơn vị. Trang | 5 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 6: Hàm nhiều biến
• Độ co giãn của z theo x là: Ezx z x x z
Độ co giãn của z ối với x
cho ta biết, khi tăng ại lượng x thêm 1% (giữ nguyên
ại lượng y) thì ại lượng z sẽ tăng thêm (hoặc giảm i) bao nhiêu phần trăm.
• Độ co giãn của z theo y là: Ezy z y y z
Độ co giãn của z ối với y
cho ta biết, khi tăng ại lượng y thêm 1% (giữ nguyên
ại lượng x) thì ại lượng z sẽ tăng thêm (hoặc giảm i) bao nhiêu phần trăm.
Ví dụ: Cho hàm sản xuất Cobb-Douglas Q Q(L,K) aL K
Trong ó, Q là sản lượng, L là lượng lao ộng (Labor), K là lượng vốn ầu tư (Capital) , còn a, , là các hằng số thỏa a 0; 0 , 1
a) Tính các năng suất biên theo lao ộng, theo vốn và nêu ý nghĩa:
Năng suất biên theo lao ộng (Marginal Productivity of Labor) là biên tế của hàm sản xuất Q theo
lượng lao ộng L, nó chính là ạo hàm riêng của Q theo biến số L: MPL Q L a L 1K
Giá trị của MPL cho ta biết, với cùng một lượng vốn ầu tư (vốn K không ổi), nếu lượng lao ộng L tăng
thêm 1 ơn vị thì sản lượng Q sẽ tăng thêm bao nhiêu ơn vị.
Tương tự, năng suất biên theo vốn (Marginal Productivity of Capital) là biên tế của hàm năng suất Q
theo vốn ầu tư K, nó chính là ạo hàm riêng của Q theo biến số K : MPK Q K aL .( K 1) a L K 1
Giá trị của MPK cho ta biết, với cùng một lượng lao ộng (L không ổi), nếu lượng vốn ầu tư K tăng
thêm 1 ơn vị thì sản lượng Q sẽ tăng thêm bao nhiêu ơn vị. b) Tính ộ co giãn của hàm Q theo L, theo K và nêu ý nghĩa:
Độ co giãn của Q theo L là EQL Q L QL a L 1K aL K L
Kết quả EQL nói rằng, khi tăng lượng lao ộng L thêm 1% (giữ nguyên lượng vốn ầu tư K) thì sản lượng Q tăng thêm %
Độ co giãn của Q theo K là Trang | 6 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 6: Hàm nhiều biến EQK Q K KQ a L K 1 aL KK
Kết quả EQK nói rằng, khi tăng lượng vốn ầu tư K thêm 1% (giữ nguyên lượng lao ộng L) thì sản lượng Q tăng thêm %
Chẳng hạn, cho Q 2L K0.4 0.6 thì EQL 0.4; EQK 0.6 . Điều này có nghĩa là, khi lượng lao ộng tăng thêm
1% thì sản lượng tăng thêm 0.4% ; khi lượng vốn ầu tư tăng 1% thì sản lượng tăng thêm 0.6%.
Ghi chú: Tổng quát hóa ví dụ trên, nếu z ax y thì
• ộ co giãn của z theo x là Ezx (bằng số mũ của x)
• ộ co giãn của z theo y là Ezy (bằng số mũ của y)
Ví dụ: Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm là A và B. Giá bán của hai loại sản phẩm là p1 133; p2 174 Hàm tổng chí phí: C q 2 2 1
q q1 2 2q2 3q1 4q2 10 với q và 1
q là sản lượng của A và B 2
Mức sản lượng hiện tại của xí nghiệp là (q ,q1 2 ) (30,25)
a) Tính doanh thu biên theo q và nêu ý nghĩa: 1
Doanh thu của xí nghiệp là tổng doanh thu của hai mặt hàng: R p q11 p q2 2 133q1 174q2 Doanh thu biên theo q là: 1
MRq1 R q1 (133q1 174q )2 q1 133
Điều này có nghĩa là tại mức sản lượng (q ,q1 2 ) (30,25) , nếu tăng sản lượng của sản phẩm A lên 1
ơn vị (giữ nguyên sản lượng của sản phẩm B) thì tổng doanh thu tăng thêm 133 ơn vị tiền. b) Tính lợi
nhuận biên theo q và nêu ý nghĩa: 2 Hàm lợi nhuận : R C (133q 2 2 1 174q )2 (q1 q q1 2 2q2 3q1 4q2 10) 130q 2 1 170q2 q1 q q1 2 2q22 10
Lợi nhuận biên theo q là: 2 Trang | 7 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 6: Hàm nhiều biến M 2 q2 (130q1 170q2 q1 q q1 2 2q22 10) q 2 170 q1 4q2
Tại mức sản lượng hiện tại (q ,q1 2 ) (30,25) thì: M q2 170 q1 4q2 170 30 4 25 40
Điều này có nghĩa là tại mức sản lượng hiện tại (q ,q1 2 ) (30,25) , nếu tăng sản lượng của sản phẩm
B lên 1 ơn vị (giữ nguyên sản lượng của sản phẩm A) thì lợi nhuận tăng thêm xấp xỉ 40 ơn vị tiền.
Ví dụ: Một xí nghiệp sản xuất hai mặt hàng, với giá bán cho bởi:
p1 400 q1 0.6q ; p2 2 320 0.4q1 0.5q2 (p ,p là giá bán và 1 2
q ,q là sản lượng của hai mặt hàng) 1 2
Tính doanh thu biên theo q tại mức sản lượng 1 (q ,q1 2 ) (55,70) và nêu ý nghĩa.
Doanh thu của xí nghiệp là tổng doanh thu của hai mặt hàng: R p q11 p q2 2
(400 q1 0.6q )2 q1 (320 0.4q1 0.5q )2 q2 400q 2 2 1 320q2 q1 q q1 2 0.5q2 Doanh thu biên theo q là: 1 MRq1 R q1 (400q 2 1 320q2 q1 q q1 2 0.5q )22 q1 400 2q1 q2
Tại mức sản lượng (q ,q1 2 ) (55,70) thì: MRq1 400 2 55 70 360 ( ơn vị tiền)
Điều này có nghĩa là tại mức sản lượng (q ,q1 2 ) (55,70), nếu sản xuất thêm 1 ơn vị sản phẩm của
mặt hàng thứ nhất (giữ nguyên sản lượng mặt hàng thứ hai) thì doanh thu của xí nghiệp tăng thêm
xấp xỉ 360 ơn vị tiền.
Ví dụ: Khi mua hai mặt hàng thì lợi ích thu ược cho bởi hàm hữu dụng U(x,y), với x và y là lượng hàng ược mua. Trang | 8 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 6: Hàm nhiều biến
Hữu dụng biên ối với từng mặt hàng là: x U(x,y) MUx U x MUy U y U(x,y) y
và chúng cho ta biết phần lợi ích tăng thêm khi chi tiêu thêm cho 1 ơn vị hàng ối với mỗi mặt hàng.
Chẳng hạn, cho hàm hữu dụng của hai mặt hàng là U(x,y) 6x1/2y1/3 . Hữu dụng biên ối với từng mặt hàng là:
MUx U x (6x1/2y1/3) x 3x 1/2y1/3 1/2y1/3) y 2x1/2y 2/3 MUy U y (6x
Giả sử lượng hàng ược mua là (x,y) (25,64) , khi ó hữu dụng biên ối với từng mặt hàng là 1 1 12 MU (25,64)x 3.25 1/2.641/3 3 3 64 3 4 25 5 5 1 1 5
MU (25,64)y 2.25 .641/2 2/3 2. 25 3 64 2 2.5 16 8
Điều này có nghĩa là, với lượng hàng ược mua hiện tại là (x,y) (25,64) , nếu ta mua thêm 1 ơn vị
hàng thứ nhất thì lợi ích tăng thêm là 125 , còn nếu mua thêm 1 ơn vị hàng thứ hai thì lợi ích tăng thêm là 58
Ví dụ: Doanh thu của công ty cho bởi R 80x1/4y3/4 với x và y lần lượt là chi phí dành cho quảng cáo
trên báo và trên truyền hình.
Ngân sách dành cho quảng cáo trong tháng là (x,y) (16,256) Trang | 9 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 6: Hàm nhiều biến
Hãy tính ộ co giãn của R theo x và nêu ý nghĩa.
Độ co giãn của R theo x: ERx R x x R với
R x (80x1/4y3/4 ) x 80 ( x 3/4 ) y3/4 20x 3/4y3/4 Thay vào, ta ược:
ERx R x Rx (20x 3/4y3/4 ) 80x1x/4y3/4 14 0.25 (x,y )
Điều này có nghĩa là với ngân sách dành cho quảng cáo trong tháng là (x,y) (16,256) , nếu tăng chi
phí quảng cáo trên báo thêm 1% (tăng thêm 0.16 ơn vị tiền) và giữ nguyên chi phí quảng cáo trên
truyền hình thì doanh thu tăng thêm xấp xỉ 0.25%.
Ví dụ: Cho hàm cầu của 2 mặt hàng A và B như sau qDA 1500 40pA 3pB (1) q B 900 5pA 20pB (2) D
với p ,p là giá của các mặt hàng A, B. A B
Quan hệ giữa hai mặt hàng A và B là gì (thay thế, bổ sung) ?
Ta khảo sát mối quan hệ giữa lượng cầu của mặt hàng này và giá của mặt hàng kia.
Từ (1) ta có biên tế của qDA theo p là: B MqD pA B (qDA ) pB 3
Điều này có nghĩa là: khi giá mặt hàng A không ổi, nếu giá mặt hàng B tăng thêm 1 ( ơn vị tiền) thì
lượng cầu mặt hàng A tăng thêm 3 ơn vị. Tình huống này xảy ra khi mặt hàng A và mặt hàng B có
quan hệ thay thế vì khi giá mặt hàng B tăng và giá mặt hàng A ổn ịnh thì người tiêu dùng có xu
hướng chuyển qua dùng mặt hàng A, khiến cho lượng cầu của mặt hàng A tăng lên (chẳng hạn các
mặt hàng thịt và cá có quan hệ thay thế).
Tương tự, từ (2)ta có biên tế của qDB theo p là: A MqD pB A (qDB ) pA 5 Trang | 10 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 6: Hàm nhiều biến
Điều này có nghĩa là: khi giá mặt hàng B không ổi, nếu giá mặt hàng A tăng thêm 1 ( ơn vị tiền) thì
lượng cầu mặt hàng B tăng thêm 5 ơn vị. Tình huống này cũng xảy ra khi mặt hàng A và mặt hàng B
có quan hệ thay thế vì khi giá mặt hàng A tăng và giá mặt hàng B ổn ịnh thì người tiêu dùng có xu
hướng chuyển qua dùng mặt hàng B, khiến cho lượng cầu của mặt hàng B tăng lên (chẳng hạn các
mặt hàng thịt và cá có quan hệ thay thế). Ví dụ: Cho hàm cầu của 2 mặt hàng A và B như sau qDA pA100pB (1) qDB pB5300pA (2)
với p ,p là giá của các mặt hàng A, B. A B
Quan hệ giữa hai mặt hàng A và B là gì (thay thế, bổ sung) ?
Từ (1) ta có biên tế của q 1 DA theo p là: B
MqD pA B (qDA ) pB 50(p ) (A pB) 3/2 0
Suy ra qDA và p có quan hệ nghịch biến. Điều này có nghĩa là: khi giá mặt hàng A không ổi, nếu B giá
mặt hàng B tăng thì lượng cầu mặt hàng A giảm. Tình huống này xảy ra khi mặt hàng A và mặt hàng B
có quan hệ bổ sung (chẳng hạn như xe máy và xăng).
Tương tự, từ (2)ta có biên tế của qDB theo p là: A MqD pB A (qDB ) pA (pA ) 4/3(pB) 1 0
Suy ra qDB và p có quan hệ nghịch biến. Điều này có nghĩa là: khi giá mặt hàng B không ổi, nếu A giá
mặt hàng A tăng thì lượng cầu mặt hàng B giảm. Tình huống này xảy ra khi mặt hàng A và mặt hàng B
có quan hệ bổ sung (chẳng hạn như xe máy và xăng).
Tổng quát, cho hàm cầu của 2 mặt hàng A và B: qDA qDA (p ,pA B) q B qDB (p ,pA B ) D
Ta nói các mặt hàng A và B có Trang | 11 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 6: Hàm nhiều biến
• quan hệ thay thế nếu (qDA ) pB 0 và (qDB ) pA 0
• quan hệ bổ sung nếu (qDA ) pB 0 và (qDB ) pA 0 Ví dụ: Hàm cầu của hai mặt hàng A và B cho bởi p p q B A DA 10 ; qDB =33 pA pB
a) Xác ịnh mối quan hệ giữa hai mặt hàng A và B (thay thế, bổ sung)
Ta có biên tế của qDA theo p là: B MqD pA B (qDA ) pB 5(pA ) 1/2 (pB ) 1/2 0 và biên tế của qDB theo p là: A
MqD pB A (qDB ) pA (pA ) 2/3(pB) 1/3 0.
Vậy hai mặt hàng A và B có quan hệ thay thế.
b) Tính biên tế của qDA theo p , theo A p khi B pA 9,pB 16
Biên tế của qDA theo p là: A
MqD pA A (qDA ) pA 5(pA ) 3/2 (pB )1/2 5(9 3/2 )(161/2 )
Biên tế của qDA theo p là: B
MqD pA B (qDA ) pB 5(pA ) 1/2 (pB ) 1/2 5(9 1/2)(16 1/2 )
c) Khi giá mặt hàng A giữ nguyên là 9 và giá mặt hàng B giảm xuống còn là 14, dùng câu b) ể ước
lượng sự thay ổi của lượng cầu của mặt hàng A.
Theo câu b), tại mức giá pA 9,pB 16 biên tế của qDA theo p là: B MqD pA B
Điều này có nghĩa là: tại mức giá pA 9,pB 16 , nếu giá của mặt hàng A cố ịnh và giá mặt hàng B giảm
1 ơn vị tiền thì lượng cầu mặt hàng A giảm xấp xỉ ơn vị.
Suy ra, tại mức giá pA 9,pB 16 , nếu giá của mặt hàng A cố ịnh (giữ nguyên pA 9) và giá mặt hàng B
giảm 2 ơn vị tiền (p giảm từ 16 xuống 14) thì lượng cầu mặt hàng A giảm xấp xỉ 5 5 B 2 12 6 ơn vị. Trang | 12 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 6: Hàm nhiều biến c) Đạo hàm riêng cấp 2 Các hàm f (x,y)x và f (x,y)y
cũng là những hàm 2 biến. Khi ta lấy ạo hàm riêng của các
hàm này thì ta ược các ạo hàm riêng cấp 2 của hàm f (x, y), cụ thể là: 2 (x,y) f (x,y)x
x : lấy ạo hàm 2 lần theo cùng biến x (còn ược ký hiệu là 2f(x,y) x2 ) • fx 2 f (x,y)y
y : lấy ạo hàm 2 lần theo cùng biến y (còn ược ký hiệu là 2f(x,y) y2 ) • f (x,y)y • fxy (x,y) f (x,y)x
y : lấy ạo hàm theo x trước, y sau (còn ược ký hiệu là 2 f(x,y)x y ) • fyx (x,y) f (x,y)y
x : lấy ạo hàm theo y trước, x sau (còn ược ký hiệu là 2 f(x,y)y x ) (ta gọi fxy (x,y) và fyx
(x,y) là các ạo hàm riêng cấp 2 hỗn hợp)
Ví dụ: Tính ạo hàm riêng cấp 2 của hàm f(x,y) 3x2 5xy 6y2 8x 4y 20 Ta có: f (x,y)x 6x 5y 8 f (x,y)y 5x 12y 4 Do ó, fx 2 (x,y) (6x 5y 8) x 6 và fy 2 (x,y) ( 5x 12y 4) y 12 fxy (x,y) (6x 5y 8) y 5 và fyx (x,y) ( 5x 12y 4) x 5 Trang | 13 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 6: Hàm nhiều biến
(trong ví dụ này, ta thấy fxy (x,y) fyx (x,y) )
Ví dụ: Tính ạo hàm riêng cấp 2 của hàm f(x,y) 4x3 y5 10x2 15y 78 Ta có: f (x,y)x 1 2 x 2 2 0 x f (x,y)y 5y4 15 Do ó, fx 2 (x,y)
(12x2 20x) x 24x 20 và fy 2 (x,y) (5y4 15) y 20y3 f (x,y)xy (12x2 20x) y 0 và f (x,y)yx (5y4 15) x 0
(trong ví dụ này, ta lại thấy fxy (x,y) fyx (x,y) )
Ví dụ: Tính ạo hàm riêng cấp 2 của hàm f(x,y) exy Ta có:
f (x,y)x (exy) x e .(xy)xy x e .yxy yexy
f (x,y)y (exy) y e .(xy)xy y e .xxy xexy Do ó, fx 2 (x,y)
(yexy) x y.(e )xy x y.(ye )xy y e2 xy fy 2 (x,y) (xexy) y
x.(exy) y x.(xexy) x e2 xy f (x,y)xy ( yexy) y ( y) .e y
xy (e ) .yxy y 1.exy (xe ).yxy e (1xy xy) Trang | 14 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 6: Hàm nhiều biến uv u v v u fyx (x,y) (xe xy ) x (
x) .e x xy (e ) .xxy x 1.exy (ye ).xxy e (1xy xy) uv u v v u
(trong ví dụ này, ta lại thấy fxy (x,y) fyx (x,y) )
Ví dụ: Tính ạo hàm riêng cấp 2 của hàm f(x,y) x sin5y2 Ta có :
f (x,y)x (x sin5y2 ) x 2xsin5y
f (x,y)y (x sin5y2 ) y x .(sin5y)2 y x .(5cos5y)2 5x cos5y2 Do ó fx 2 (x,y) (2xsin5y) x 2sin5y fy
2 (x,y) (5x cos5y2 ) y 5x .(cos5y2 ) y
5x .( 5sin5y2 ) 25x sin5y2 fxy
(x,y) (2xsin5y) y 2x.(sin5y) y 2x.(5cos5y) 10xcos5y f (x,y)yx (5x cos5y2 ) x 5cos5y.(x2) x 5cos5y.(2x) 10xcos5y
(trong ví dụ này, ta lại thấy fxy (x,y) fyx (x,y) )
Ghi chú: Trong phạm vi chương trình, các hàm 2 biến f (x,y) ều thỏa fxy (x,y) fyx (x,y) . Điều này
nói rằng, việc lấy ạo hàm riêng hỗn hợp không phụ thuộc vào thứ tự của biến số, nghĩa là việc lấy ạo
hàm theo x trước, y sau hoặc theo y trước, x sau ều cho kết quả như nhau.
Ví dụ: Cho hàm số f(x) khả vi và ặt g(x,y) f(ax by) f(ax by) với a, b là hằng số. Chứng minh rằng: g x2 a(x,y) g y2 (x,y2 ) 2 b Ta có: Trang | 15 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 6: Hàm nhiều biến g (x,y) x [f(ax by) f(ax by)] x f (ax by).a f (ax
by).a g (x,y) y [f(ax by) f(ax by)] y f (ax by).b f (ax by).( b) Do ó, g
x2 (x,y) [f (ax by).a f (ax by).a] x f (ax by).a2 f (ax by).a2 a [f (ax2 by) f (ax by)] Vậy, g (x,y ) x2 2 f (ax by) f (ax by) (1) a Tương tự, g
y2 (x,y) [f (ax by).b f (ax by).( b)] y f (ax by).b2 f (ax by).( b) 2 b [f (ax2 by) f (ax by)] Suy ra g y2 (x,y2 ) f (ax by) f (ax by) (2) b g (x,y) g (x,y) Từ (1),(2) suy ra x2 a2 y2 b2 BÀI TẬP
1. Tính các ạo hàm riêng cấp 1 của hàm số: a) f(x,y) (3x2 2y)5 b) f(x,y) ln(x4 xy2 5y) c) f(x,y) x tan4y2 Trang | 16 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 6: Hàm nhiều biến d) f(x,y) xy
2. Một xí nghiệp sản xuất hai mặt hàng A và B với sản lượng tương ứng là q và A q . Hàm tổng
chi B phí của xí nghiệp cho bởi: C q2A q qA 1B/3 4qB 600
a) Viết biểu thức các hàm chi phí biên theo q (ký hiệu là A
MCqA ) và theo q (ký hiệu là B MCqB )
b) Mức sản lượng hiện tại là qA 11,qB 8. Hãy tính giá trị chi phí biên theo q A
c) Dùng kết quả trong câu b), hãy ước lượng sự thay ổi của tổng chi phí khi sản lượng mặt hàng A
giảm xuống còn là 9 và sản lượng mặt hàng B vẫn giữ ngyên là 8.
3. Tính ạo hàm riêng cấp 2 của hàm số f(x,y) 5xe3y II. Cực trị (extrema)
Tương tự như ối với hàm 1 biến, ta cũng có khái niệm cực ại, cực tiểu ( ịa phương) ối với hàm 2 biến.
Trong hình ảnh dưới ây, ta thấy hàm số có cực ại và cực tiểu.
Để tìm cực trị (cực ại, cực tiểu) ịa phương của hàm f (x, y), ta cũng thực hiện 2 bước:
Bước 1 (iều kiện cần): Tìm iểm dừng của hàm f (x, y)
Điểm dừng của hàm f (x, y) là nghiệm của hệ phương trình f (x,y)x 0 f (x,y)y 0 Trang | 17 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 6: Hàm nhiều biến
Nếu hệ vô nghiệm, ta kết luận hàm f (x, y) không có iểm dừng nên không có cực trị.
Nếu hệ có nghiệm, chẳng hạn là (x ,y ) thì ta gọi 0 0
(x ,y ) là iểm dừng rồi chuyển qua bước 2. 0
0 Bước 2 (iều kiện ủ) Kiểm tra hàm f(x, y) có ạt cực trị tại iểm dừng hay không?
Giả sử (x ,y ) là iểm dừng, ta tính các ạo hàm riêng cấp 2 của hàm 0 0 f (x,y) tại (x ,y ) rồi lập 0 0 ma trận f (x ,y ) fxy (x ,y0 H f 0) xxy 2 (x ,y00 fy 2 (x ,y0 00 ) 0) Sau ó, tính H1 fx 2 (x ,y0 0 ) H2 detH fx 2 (x ,y )f0 0 y 2 (x ,y00) f (x ,y )xy 0 0 2
Dựa vào dấu của H , ta có kết luận: 2
• Nếu H2 0 thì hàm f (x, y) không ạt cực trị tại (x ,y ) 0 0
• Nếu H2 0 thì hàm f(x, y) ạt cực trị tại (x ,y ) , cụ thể là: 0 0
Nếu H1 0 thì hàm f (x,y) ạt cực tiểu tại (x ,y ) 0 0
Nếu H1 0 thì hàm f (x, y) ạt cực ại tại (x ,y ) 0 0
Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x,y) 3xy x3 y3
Điều kiện cần: Tìm iểm dừng của hàm f (x,y) f (x,y)x 0 Giải hệ phương trình f (x,y)y 0 Ta có f (x,y)x 3y 3x2 và f (x,y)y 3x 3y2
Vậy, hệ phương trình trên trở thành 3y 3x2 0 y x2 (1) Trang | 18 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 6: Hàm nhiều biến 3x 3y2 0 x y2 (2)
Ta giải hệ bằng phương pháp thế. Thay y x2 trong (1) vào (2) thì ược: x x2 2 x x4 x(1 x )3 0
Vậy, x 0 hay 1 x3 0 x3 1 x 1
Với x 0 thì y x2 02 0, ta có iểm dừng (0,0)
Với x 1 thì y x2 12 1, ta có iểm dừng (1,1)
Vậy, hàm f (x, y) có 2 iểm dừng là (0,0) và (1,1)
Điều kiện ủ: Kiểm tra hàm f (x,y) có ạt cực trị tại iểm dừng hay không? fx 2 (x,y) fxy (x,y) Xét ma trận H fxy (x,y) fy 2 (x,y) với fx 2 (x,y) (3y 3x2) x 6x f (x,y)xy (3y 3x2) y 3 fy 2 (x,y) (3x 3y2) y 6y 6x 3
Thay vào ma trận H thì ược H 3 6y 0 3
• Tại iểm dừng (0,0) thì H 3 0 H1 0; H2 det H 9
Vì H2 0 nên hàm f(x, y) không ạt cực trị tại iểm dừng (0,0) 6 3
• Tại iểm dừng (1,1) thì H 3 6 H1 6; H2 detH 27 Trang | 19 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 6: Hàm nhiều biến
Vì H2 0 nên hàm f(x,y) ạt cực trị tại iểm dừng (1,1) , hơn nữa do H1 0 nên hàm f (x, y) ạt cực ại tại (1,1)
Vậy, hàm f (x, y) có cực ại, không có cực tiểu.
Ghi chú: Trong ví dụ trên, ta thấy tại iểm dừng thì hàm số chưa chắc ạt cực trị. Vì thế, việc kiểm tra
iều kiện ủ là rất cần thiết.
Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x,y) x2 2y2 2xy 4y 1
Điều kiện cần: Tìm iểm dừng của hàm f (x,y) f (x,y)x 0 Giải hệ phương trình f (x,y)y 0 Ta có f (x,y)x 2x 2y và f (x,y)y 4y 2x 4
Vậy, hệ phương trình trên trở thành 2x 2y 0 (1) 4y 2x 4 0 (2)
Ta giải hệ bằng phương pháp thế: từ (1) ta có y x , thay y x vào (2) thì ta ược: 4x 2x4 0 2x 4 0 x 2 Với x 2 thì y x 2
Vậy, hàm f (x, y) có 1 iểm dừng là (2,2)
Điều kiện ủ: Kiểm tra hàm f (x,y) có ạt cực trị tại iểm dừng hay không? fx 2 (x,y) fxy (x,y) Xét ma trận H fxy (x,y) fy 2 (x,y) với Trang | 20