Lý thuyết Chương 6. Ứng dụng của hàm một biến số trong kinh tế | Môn toán cao cấp

lOMoAR cPSD| 47207194
Chương 6. Ứng dụng của hàm một biến số trong kinh tế
6.1. Bổ trợ về phép tính vi phân hàm một biến số
6.1.1. Các khái niệm cơ bản
6.1.1.1. Khái niệm hàm số
Định nghĩa. Cho tập hợp X R. Một hàm số f xác ịnh trên một tập hợp X là một quy tắc ặt tương
ứng mỗi số thực x X với một và chỉ một số thực y. •
Số y tương ứng với số x, theo quy tắc f, ược gọi là giá trị của hàm số f tại x, ký hiệu là y = f(x). •
x ược gọi là biến số ộc lập hay ối số. •
Tập X ược gọi là miền xác ịnh của f, ký hiệu là Df, tức là Df = X. •
Tập hợp Rf = {y R| x Df , y = f(x)} ược gọi là miền giá trị của f. Ký hiệu: f : X R
hay viết gọn lại là y = f(x). x y = f(x) Ví dụ 1. Hàm y = 1 - x2 có miền xác
ịnh là Df = [-1, 1] và miền giá trị Rf = [0, 1].
Ví dụ 2. Hàm dấu 1, nÕu x > 0; y = sign(x) = 0, nÕu x = 0; -1, nÕu x < 0
có miền xác ịnh là Df = R và miền giá trị là Rf = {-1, 0, 1}. 6.1.1.2.
Các lớp hàm ặc biệt a) Hàm số ơn iệu
b) Hàm số chẵn và hàm số lẻ: c) Hàm số tuần hoàn d) Hàm số bị chặn
6.1.1.3. Các phép toán trên hàm số
a) Các phép toán số học b) Hàm số hợp c) Hàm số ngược
6.1.1.4. Các hàm số thường gặp
a) Các hàm số sơ cấp cơ bản
1. Hàm số luỹ thừa y = x , là một số thực cho trước
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 1 lOMoAR cPSD| 47207194
2. Hàm số mũ: y = ax (a > 0, a 1)
3. Hàm số logarit: y = logax (a > 0 và a 1)
4. Các hàm số lượng giác: * Hàm y = cosx
* Hàm y = tgx *Hàm y = cotgx
5. Các hàm số lượng giác ngược: * Hàm y = arcsinx: Xét hàm số π π 1;1 f : - 2 ; 2 x f(x)=y=sinx
f là một song ánh, do ó f có hàm số ngược f 1 : 1;1 - 2π π; 2 y f (y) = x=arcsiny-1
x = arcsinycó nghĩa là “x bằng cung có sin bằng y”.
Với quy ước dùng chữ x ể chỉ biến số và chữ y ể chỉ hàm số thì hàm số ngược của hàm số y π π = sinx với x - 2 ; 2 là hàm số y = arcsinx.
- Miền xác ịnh : Dy = [-1, 1] - Miền giá trị: Ry = 2 , 2 .
* Hàm y = arccosx là hàm ngược của hàm số y = cosx trên 0, có
- Miền xác ịnh: Dy = [-1, 1] - Miền giá trị: Ry = 0, . , có
* Hàm y = arctanx (y = arctgx) là hàm ngược của hàm số y = tanx (y = tgx) trong 2 2 - Miền xác ịnh: Dy =
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 2 lOMoAR cPSD| 47207194 , 2 2 - Miền giá trị: Ry =
.* Hàm y = arccotx (y = arccotgx) là hàm ngược của hàm số y = cotx (y = cotgx) trong 0, có - Miền xác ịnh: Dy = - Miền giá trị: Ry = 0,
. b) Hàm số sơ cấp:
Định nghĩa: Ta gọi các hàm số sơ cấp là những hàm số ược tạo thành bởi một số hữu hạn các phép
toán số học và phép toán hợp trên các hàm số sơ cấp cơ bản. 2
Ví dụ 1. Các hàm f(x) = |x| (|x| = x = (x2) ), f(x) = lg3(arctg2 x ) + sin3x là những hàm số sơ cấp.
Ví dụ 2. Hàm số sau không phải là hàm số sơ cấp xc 1 os ,nÕu x 0 y = x 0, nÕu x = 0
Trong các hàm số sơ cấp, người ta ặc biệt chú ý ến hai loại hàm số: Hàm a thức bậc n (n N):
Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 ; ak R, k = 0, n; an 0.
Hàm phân thức hữu tỉ là hàm số có dạng tỉ số của hai a thức: P (x) n n = a0 a x + ... + a x 1 n m Q (x)m b + b x + ... + b x 0 1 m
trong ó: m, n N; ai, bj R, i = 0, n; bj, j = 0, m
c) Hàm luỹ thừa mũ: y = (f(x))g(x) ( iều kiện: f(x) > 0) 6.1.2. Giới hạn
6.1.2.1. Giới hạn của dãy số
1) Định nghĩa dãy số. Một hàm số xác ịnh trên tập số tự nhiên N: f : N R n u = f(n)n ược gọi là dãy số.
Dãy số thường ược viết dưới dạng liệt kê: u1, u2, ..., un, ...
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 3 lOMoAR cPSD| 47207194
hoặc: {un}, trong ó u1, u2, … là các số hạng của dãy; un , n N ược gọi là số hạng tổng quát của dãy, n là chỉ số của dãy. ( 1) n 1
Ví dụ 1. Công thức số hạng tổng quát: an = n 1 1 1 ( 1) n 1
cho dãy số tương ứng sau ây: 1, - , , - , …, , … 2 3 4 n
Ví dụ 2. Dãy số Fibonacci: a1 = 1, a2 = 1, an = an-1 + an-2, n N, n 3.
2) Giới hạn của dãy số
Định nghĩa. Ta nói rằng dãy số {un} có giới hạn là a (hữu hạn) nếu với mọi số > 0 nhỏ tuỳ ý, n0
N sao cho với n n0, ta ều có |un - a| < . Kí hiệu: limun = a hoặc un a, n . n
Nếu dãy {un} có giới hạn là a (hữu hạn) thì ta nói dãy này hội tụ về a . Ngược lại, nếu dãy {un} ta nói dãy này phân kỳ.
3) Một số tính chất của dãy số hội tụ
Tính chất 1. Nếu dãy số {un} có giới hạn thì giới hạn ó là duy nhất.
Tính chất 2. (Điều kiện cần ể một dãy số hội tụ) Mọi dãy số hội tụ thì ều bị chặn.
Hệ quả: Nếu dãy {un} không bị chặn thì nó phân kì. Tính
chất 3. Giả sử các dãy {un }, {vn } hội tụ. Khi ó limv lim limu limv i) limn (un + vn) = limun n + n n ii) n (un - vn) = n n - n n u limun limu limv lim limv iii) lim n n (un vn) = nn. n iv) n
vn = nlim vn , nếu n n 0. n n lim limu
Tính chất 4 (Nguyên lý kẹp). Nếu limn vn = n wn = a và vn un wn, n N thì n n = a. Ví dụ 1. Tính limu 1 1 n , với un n12 1 n2 2 ... n2 n n
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 4 lOMoAR cPSD| 47207194 Giải. 1 n n n 2 un 2 n
1. Vậy limun 1. n n n 1 n
Ví dụ 2. Tính lim1 22 n... nn n n Giải. Ta có
22 n ... nn n n2nn... nn = n11n nnnn = nn nnn 1n 1 = n11n 11 n 1 1 un = n n n Mặt khác 1 22 ... nn1 22 ...(n 1)n 1 1 2 ... (n 1) (n 1)n un = n = n + 1 n + 1 = n + 1 n n n 2n = n 2 - + 1 n 1. n-1 2n 2n 1 22 ... nn Vậy, limn nn = 1. {u }, {u } héi tôn n Tính chất 5. Nếu
u n vn, n nlim un nlim vn d±y {un} t¨ng d±y {un} gi°m
Tính chất 6. Nếu R: u n , n N hoặc
R: u n , n N thì dãy {un} hội tụ. u1 1/ 2
Ví dụ 1. Cho dãy số un 1 un ;n 2,3,.... Tính limun n . 2 un Giải. Ta có u n n 1 un unun un u (1n2 uu )n 0 ( do u n
0) . Vậy dãy số { }un là dãy giảm. 2
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 5 lOMoAR cPSD| 47207194 Mặt khác u n
0 nên dãy số { }un là dãy số bị chặn dưới. Do ó dãy { }un có giới hạn. Giải sử limun n
a. Chuyển qua giới hạn 2 vế của ẳng thức u a n 1 2 unun ta ược a 2 a a 0;a 1 (loại). Vậy limun 0. n
Ví dụ 2. Cho c là một hằng số dương. Xét dãy số: u1 = c ,u2 = c + c ,u3 = c + c + c , …
Dễ dàng thấy rằng dãy số ã cho ơn iệu tăng. Mặt khác, bằng phương pháp quy nạp ta có thể
chứng minh ược rằng un < 1 + c , n N. Thật vậy, hiển nhiên u1 = c 1 + c . Với giả thiết un 1 +
c , ta có: un + 1 = c + un c + 1 + c c + 1 + 2 c = 1 + c .
Dãy {un} tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ. Đặt n lim un = a, ta có:a2 = n lim un2 1= n lim (c + un)=c + a
2 – a – c = 0, từ ây ta tìm ược a = 1 + 1 + 4c . Suy ra a 2 4. Giới hạn vô tận Định nghĩa:
i) Ta nói dãy {un} có giới hạn là + nếu với M > 0, n0 sao cho n n0 thì un > M. Ký hiệu: limu n . n
ii) Ta nói dãy {un} có giới hạn là - nếu với N < 0, n0 sao cho n n0 thì xn < N. Ký hiệu: limu n . n
4. Một số giới hạn cơ bản lim a) n 1 + 1n
n= e 2,71828; b) Với |a| < 1 thì lima n n = 0;
c) lim n n = 1; d) lim n a = 1, víi a > 1 n n
6.1.2.2. Giới hạn của hàm số
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 6 lOMoAR cPSD| 47207194 1) Định nghĩa
a) Giới hạn của hàm số tại một iểm hữu hạn:
+ Giới hạn hữu hạn:
Định nghĩa. Cho hàm số f(x) xác ịnh trên D (có thể trừ iểm x0). Ta nói rằng f(x) có gới hạn là A (hữu
hạn) khi x dần tới x0, nếu với > 0 bất kỳ, tồn tại số > 0 sao cho với mọi x D|{x0} thoả mãn |x –
x0| < thì |f(x) – A| < . Kí hiệu: lim f(x) = A hay f(x) A, x x0. x x0 + Giới hạn vô hạn:
Định nghĩa: Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là
khi x x0 nếu với M > 0, > 0,
x D|{x0}, |x – x0| < thì f(x) > M. Ký hiệu: lim f(x) . x x 0
Tương tự ta có các ịnh nghĩa: lim f(x) . x x 0
b) Giới hạn của hàm số tại vô cực: Định nghĩa: Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là A khi x nếu với > 0,
> 0, x > thì |f(x) – A| < . Ký hiệu: lim f(x) = A. x
Tương tự ta có các ịnh nghĩa: lim f(x) = A; lim f(x) ; lim f(x) ; x x x lim f(x) ; lim f(x) . x x
2) Các tính chất của giới hạn: Cho hàm số f(x) xác ịnh trên tập D.
Tính chất 1. Giới hạn của hàm số f(x) khi x x0 (nếu có) là duy nhất. Tính lim f(x) lim g(x )
chất 2. Giả sử tồn tại , 0 hữu hạn. Khi ó x x0 x x0
i) lim f(x)[ g(x)]= lim f(x) lim g(x) x x0 x x x x 0 0
ii) lim f(x)[ g(x)]= lim f(x) lim g(x) x x0 x x x x 0 0
iii) lim f(x)g(x)= lim f(x). lim g(x) x x0x x x 0 x 0 lim f(x)
iv) lim f(x) = x x0 , với iều kiện lim g(x) 0. x x x0 g(x) lim g(x) x 0 x x0
Tính chất 3. lim f(x) = A (hữu hạn) với mọi dãy {xn} D\{x0}, xn n x0 thì x x0 limf(x )n = A. n
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 7 lOMoAR cPSD| 47207194
Hệ quả 1. Nếu tồn tại dãy {xn} D\{x0}; xn n
x0 mà limf(x )n ≠ A thì lim f(x) ≠ A. n x x0
Hệ quả 2. Nếu tồn tại dãy hai dãy {xn}, x'n D\{x0}, xn, x'n n x0 mà
lim f (x )n ≠ limf(x )'n thì lim f(x). n n x x0
Ví dụ. Chứng minh không tồn tại các giới hạn sau: 1 a) limsin x 0 x 1 b) limcos x 0 x Giải. a) Xét hai dãy iểm 1 xn = 0, n n x 'n = 12n 0, n 2
Đối với hai dãy giá trị này, các giá trị tương ứng của hàm sẽ là: limf(x ) f(xn) = sinn = 0 n = 0 n limf(x ) ' 2 2n = 1 n ' n = 1 f(x n ) = sin Vậy, limf(x )nn limf(x ) 'n n 1
nên theo hệ quả 2, hàm số f(x) = sin không có giới hạn khi x 0. x
Tính chất 4. (Nguyên lý kẹp) Giả sử các hàm số f(x), g(x), h(x) thoả mãn
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 8 lOMoAR cPSD| 47207194
i) g(x) f(x) h(x), với x lân cận nào ó của iểm x0 (có thể trừ iểm x0) ii) lim g(x) = lim h(x) = A x x0 x x0 Khi ó, lim f(x) = A. x x 0
Ví dụ. Tính limx sinn 2013 (n N*) x 0 x
Giải. Với mọi x 0, ta có
x sinn 2013 | x |n | x |n x sinn 2013 | x |n x x 2013 nên limx sn in = 0. x 0 x
3) Giới hạn một phía
Giới hạn bên phải của hàm số f(x) tại iểm x0: xlim x0 f(x) = xlim f(x) x0 . x x0
Giới hạn bên trái của hàm số f(x) tại iểm x0:x xlim f(x) 0 = xlim f(x) x0 . x x0
Định lý. xlim f(x)= A lim f(x) = lim f(x) = A. x0 x x 0 x x 0
Ví dụ. Tìm các giới hạn một phía của hàm f(x) tại iểm x = 0 và tìm limf(x) (nếu có): x 0 b) f(x) sinx b) f(x) = xx2 2, khi x 0 4 , khi x < 0 1 xcos x, x < 0 c) f(x) = 0, x = 0 cos 1, x > 0 x 1 1
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 9 lOMoAR cPSD| 47207194 lim lim
Giải. c) Với x < 0 thì f(x) = xcos x nên x 0 f(x) = x 0 xcos x
Vì xcos1 |x| x xcos 1 x nên lim f(x) = 0. x x x 0 1 1 lim lim
Với x > 0, f(x) = cos nên f(x) = cos x x x 0 x 0 1 n 0
và thu ược dãy hàm tương ứng Ta xét dãy số dương xn = n
f(xn) = cosn = (-1)n . Vì không tồn tại nlim (-1)n nên không tồn tại x 0lim f(x).
Từ ó suy ra không tồn tại limf(x). x 0
5) Một số giới hạn cơ bản:
• Nếu x0 là một iểm thuộc vào miền xác ịnh của hàm số y = f(x) thì lim f(x) = f(x ).0 x x0 • lim sinx = 1 x 0 x • lim(1 1)x = e x x lim (1 1)x = e x x lim (1 1)x = e x x 1 lim(1 + u)u = e u 0 • lim ln(1 x) = 1. x 0 x
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 10 lOMoAR cPSD| 47207194 • lim ex 1 = 1. x 0 x • lim tgx ; lim tgx x x 2 2 • lim arctgx ; lim arctgx x 2 x 2 • lim lnx x 0
• Nếu f(x), g(x) có giới hạn hữu hạn khi x x0 và lim f(x) > 0 thì x x0 lim g(x) g(x) x x0 xlim x0[f(x)] = xlim x0 f(x) • 1 u(x)v(x) x x x x00 xlim u(x) x0[ ]v(x) = ex xlim 0[(u(x) - 1)v(x)] Chứng minh. Ta có [u(x)- 1]v(x)
lim u(x)[ ]v(x) = lim[1 + (u(x) 1)]v(x) = lim [1 + (u(x) 1)] x x0 x x0 x x0 lim [(u(x) - 1)v(x)] x x 0 = e . x2 + 1 x2 + 1 Ví dụ. Tính lim 2 5 . x
x Giải. Ta có x2 + 1 x2 lim x lim 2 5 + 1 = ex x22 + 1 5 - 1
(x2 + 1) = e6xlim xx22 + 1 5 = e6. x x
6) Vô cùng bé và vô cùng lớn
a) Định nghĩa. Hàm số f(x) ược gọi là
i) vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi x x0 nếu lim f(x) = 0. x x0
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 11 lOMoAR cPSD| 47207194
ii) vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi x x0 nếu lim f(x) = . x x0
Ví dụ. Các hàm số xk (k > 0), sinx, tgx là các VCB khi x 0 .
Hàm số xk (k > 0) là VCL khi x , tgx là VCL khi x . 2 b) Tính chất f l¯ c²c VCB khi x x0 +)
|g(x)| M, x thuéc l©n cËn n¯o ®ã cña ®iÓm x (cã thÓ trõ ®iÓm x ) 0 0 f.g là VCB khi x x0.
Ví dụ. Tính limx .c2 os 1 . x 0 x
Giải. Do x2 là một vô cùng bé khi x 0 và 1 cos 1, x 0 x
nên x .c2 os 1 là một vô cùng bé khi x 0 . Vậy, limx .c2 os 1 0. x x 0 x f l¯ VCB khi x x 1 0 +)
0, x thuéc v¯o l©n cËn n¯o ®ã cña x 0 f là VCL khi x x0. f(x)
c) So sánh các VCB Cho f(x), g(x) là các VCB khi x x0. Giả sử lim
f(x) = k (hữu hạn) x x 0 g(x) i) Nếu k = 0 thì f(x)
ược gọi là VCB bậc cao hơn so với g(x) khi x x0.
Kí hiệu : f(x) = O(g(x)), x x0
Ví dụ 1. Với p > q > 0, ta có xp = O(xq), x 0, vì
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 12 lOMoAR cPSD| 47207194 xp p – q lim = lim x = 0. x 0 xq x 0
ii) Nếu k 0 thì f(x) và g(x)
ược gọi là những VCB cùng bậc khi x x0. Kí hiệu : f = O*(g), x x0.
Ví dụ 2. sin3x = O*(sinx), x 0, vì sin3x lim = 3. x 0 sinx
Đặc biệt, khi k = 1, thì f(x) và g(x) ược gọi là những VCB tương ương khi x x0 và viết: f(x) g(x), x x0.
Ví dụ 3. sinx ~ x, x 0 vì sinx lim = 1. x 0 x
Tương tự ta có: tgx ~ x, x 0 x 1 – cosx ~ 2 , x 0 2 ln(1 + x) ~ x, x 0 ex – 1 ~ x, x 0 f (
Định lý. Giả sử: f(x) f 1 x)
1(x), g(x) g1(x), x x0 và lim x x g 0 1(x) f(x) f (1 x) . Khi ó: lim = lim x x0 g(x) x x g 0 1(x) Ví dụ. Tính lim. x 0 Giải. Ta có 1 cos3x~ (3x)2 9x2 ,x 0, 2 2 sin 2x~(2x)2 2 4x ,x2 0.
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 13 lOMoAR cPSD| 47207194 Vậy limx 0 1
sin 2x cos3x lim9x /2 22 9 . 2 x 0 4x 8
6.1.3. Hàm số liên tục 1) Định nghĩa
Định nghĩa 1. Cho hàm số f(x) xác ịnh trên tập hợp D R và iểm x0 D; f (x) ược gọi là liên tục tại x0 nếu lim f(x) = f(x0). x x0 Ký hiệu: f C(x0).
• f (x) ược gọi là liên tục bên trái tại x0 nếu lim f(x) = f(x0). x x0 Kí hiệu: f C(x0 )
• f (x) ược gọi là liên tục bên phải tại x0 nếu lim f(x) = f(x0). x x0 Kí hiệu: f C(x0 )
Định lý (Điều kiện ể hàm số liên tục tại iểm x0). f C(x0) ff C(x )C(x )00
Định nghĩa 2. Hàm số f(x) ược gọi là liên tục trong khoảng (a, b) nếu:
f C(x), x (a,b). Ký hiệu: f C(a,b)
Định nghĩa 3. Hàm số f(x) ược gọi là liên tục trong oạn [a, b] nếu: f C(a, b) C(a ) f f C(b )-
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 14 lOMoAR cPSD| 47207194 Ký hiêu: f C[a,b].
Ví dụ 1. Theo tính chất của giới hạn của các hàm sơ cấp, ta thấy các hàm sơ cấp liên tục tại mọi iểm
thuộc miền xác ịnh của nó.
Ví dụ 2. Xác ịnh m ể hàm số liên tục trên toàn bộ R: x2, nÕu x 1 x3 sin 1x , nÕu x 0 a) f(x) = b) f(x) 3x + m, nÕu x < 1 m, nÕu x = 0
Giải. a) Với x > 1, f(x) = x2: hàm này liên tục với mọi x > 1.
Với x < 1, f(x) = 3x + m: hàm này liên tục với mọi x < 1. Với x = 1, ta có lim f(x) = lim x2 = 1 = f(1) x 1 x 1 lim f(x) = lim (3x + m)= 3 + m x 1 x 1
nên ể hàm số f liên tục tại iểm x0 = 1 thì 3 + m = f(1) = 1 m = -2 Như
vậy, với m = -2 thì hàm số f(x) liên tục trên R.
Định nghĩa 4. Hàm số y = f(x) ược gọi là gián oạn tại iểm x0 nếu nó không liên tục tại iểm x0 và iểm
x0 ược gọi là iểm gián oạn của hàm số ó và viết f C(x0). x0 Df nếu
Theo ịnh nghĩa, hàm số f(x) gián oạn tại iểm x0 xlim f (x) x0 xlim f (x) x0 f(x0 )
2) Các phép toán ối với hàm số liên tục
Nếu hàm f(x) và g(x) liên tục tại x0 thì i) f
(x) g(x) liên tục tại x0 . ii) Với k R , kf (x)
liên tục tại x0 . iii) f (x)g(x) liên tục tại x0 . f(x) 0 0 0.
iv) liên tục tại x , với g(x ) g(x)
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 15 lOMoAR cPSD| 47207194
6.1.4. Đạo hàm và vi phân
6.1.4.1. Đạo hàm và vi phân cấp 1 1) Đạo hàm
a) Định nghĩa. Cho hàm y = f(x) xác ịnh trên khoảng D R và x0 D. Cho số gia của ối số tại iểm
x0: x = x – x0 ủ bé sao cho số x0 + x D. Lập số gia của hàm số f(x) tại x0 tương ứng với
số gia x: f(x )0 = f(x0 + x ) – f(x0). Nếu
tồn tại giới hạn lim f(x0)
f(x + x) - f(x0 0) (hữu hạn) x 0 x = limx 0 x
thì giới hạn ó gọi là ạo hàm của hàm số y = f(x) tại iểm x0. Ký hiệu: y (x0), f (x0), dy , df(x0) . dx x0 dx
• Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
f(x ) f(x + x) - f(x ) xlim0 x0 = xlim0 0 x 0
thì giới hạn này ược gọi là ạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại iểm x
0. Ký hiệu: f (x 0 ) hay y (x ) 0
• Tương tự, ta cũng có khái niện ạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại iểm x0:
f (x 0 ) = y (x 0 ) = lim0 f(x x0) = xlim0 f(x + x) - f(x0 x 0) x Định lý. f (x )'0 f (x )'f (x ),f (x )' 0 0 f (x )'' 0 0
b) Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản
1. Với C = const thì (C)' = 0. 2. (x )’ = x -1. 1 Đặc biệt, (x)’ = 1; x ' = ; 1 ' 12 ..
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 16 lOMoAR cPSD| 47207194 2 x x x 3. (ax)’ = axlna Đặc biệt, (ex)’ = ex. 1 4. (logax)’ = . xlna 1 Đặc biệt, (lnx)’ = . x 5. (sinx)’ = cosx 6. (cosx)’ = -sinx 1 7. (tgx)’ = 2 cos x 1 8. (cotgx)’ = - 9. (arcsinx)’ = 1 1 10. (arccosx)’ = - 1 1 11. (arctgx)’ = 1 + x2 1 12. (arccotgx)’ = - 2 1 + x
c) Đạo hàm của hàm số hợp
Theo công thức (*) ta có các công thức ạo hàm tổng quát sau: 1. (u )’ = u -1.u' Đặc biệt: u ' = u'; 1 ' u2' .. 2 u u u 2. (au)’ = au (lna).u'
Đặc biệt, (eu)’ = eu.u' '
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 17 lOMoAR cPSD| 47207194 u 3. (logau)’ = . ulna
Đặc biệt, (lnu)’ = u' . u 4. (sinu)’ = u'.cosu 5. (cosu)’ = -u'.sinu ' u 6. (tgu)’ = 2 cos u ’ u' 7. (cotgu) = - 2 sin u ’ u' 8. (arcsinu) = 1 ' u 9. (arccosu)’ = - 1 ' u 10. (arctgu)’ = 1 + u2 ’ u' 11. (arccotgu) = - 2 1 + u
d) Đạo hàm của hàm luỹ thừa mũ: Cho hàm y = [u(x)]v(x), với u(x) > 0. ' ' y u (x) Khi ó: lny = v(x).ln(u(x)) = v'(x).ln(u(x)) + v(x). y u(x) u (x)
y' = [u(x)]v(x) [v'(x).ln(u(x)) + v(x). ' ]. u(x)
e) Các quy tắc tính ạo hàm: * u v u v
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 18 lOMoAR cPSD| 47207194 * u v u v * uv u v uv u * u v 2uv v u
6.1.4.2. Đạo hàm và vi phân cấp cao
1) Đạo hàm cấp cao a) Định nghĩa.
Đạo hàm của ạo hàm cấp một của hàm số y = f(x) (nếu có) ược gọi là ạo hàm cấp hai của
hàm số y = f(x), kí hiệu là d y2 d f(x)2 y , hoặc , hoặc f (x), hoặc dx2 dx2 Vậy f (x) = (f (x))’.
Tương tự, ạo hàm của ạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) (nếu có) ược gọi là ạo hàm cấp
ba của hàm số y = f(x), kí hiệu là d y3 d f(x)3 y , hoặc , hoặc f (x), hoặc dx3 dx3
Tổng quát, ạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) là ạo hàm của ạo hàm cấp (n – 1) của nó, ký hiệu là n n y(n), hoặc d y , hoặc f(n)(x), hoặc d f(x) dxn dxn
Như vậy: y(n) = f(n)(x) = (f(n – 1) (x)) .
b) Quy tắc tính ạo hàm cấp cao 1. (u v)(n) = u(n) v(n) 2.(ku)(n) = ku(n) n
3. (uv)(n) = C ukn (k)v(n - k) (Công thức Leibnitz) k = 0
c) Đạo hàm cấp cao của một số hàm thường gặp:
1. (x )(n) = ( - 1)...( - n + 1)x -n.
2. (sinbx)(n) = bnsin(bx + n ).
3. (cosbx)(n) = bncos(bx + n ).
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 19 lOMoAR cPSD| 47207194
Ví dụ 1. Cho f(x) x3 x. Tìm f (x) .
Giải. Ta có f (x) 3x2 1 , f (x) f (x) 6x .
Ví dụ 2. Tìm f (4) (x) if f(x) x .e3 2x .
Giải. Ta có f (x) 3x e2 2x 2x e3 2x , f (x) = 6xe 2x
6x e2 2x 6x e2 2x 4x e3 2x = 6xe 2x 12x2e 2x 4x3e 2x f (x)
6e 2x 12xe 2x 24xe 2x 24x e2 2x 12x e2 2x
8x e3 2x 6e 2x 36xe 2x 36x e2 2x
8x e3 2x f (4)(x) 12e 2x 36e 2x 72xe 2x 72xe 2x 72x e2 2x 24x e2 2x 16x e3 2x
48e 2x 144xe 2x 96x e2 2x 16x e3 2x
Ví dụ 3. Tính y(n), với y = x 1 , x ≠ -1/2. 2x + 1 Giải. Ta có y . x y’ = 3.
-1.2 2 = - 3 2 ( 1) 1!1 11 + 1 ; y’’ = 3 2 .2(2. 2 41) = - 3.2 ( 1) .2!2 2 3 ; 2 (2x + 1) 2 (2x + 1) 2 (2x + 1) 2 (2x + 1)
y’’’ = 3 2 2..3(23x 6 1)2 = 3. 2 .(3 1) 3!3 3+1 y(n) = 3. 2 .(n 1)n nn+1! . 2 (2x + 1) 2 (2x + 1) 2 (2x + 1)
6.2. Cấp số nhân và ứng dụng trong phân tích tài chính
a) Tính giá trị hiện tại và tương lai của tiền tệ
Giả sử ta có một khoản tiền A ồng gửi vào một ngân hàng nào ó với một mức lãi suất cố ịnh thì
sau một khoảng thời gian ta sẽ nhận ược một khoản tiền lớn hơn khoản tiền ã có là B = A + tiền lãi
B gọi là giá trị tương lai của khoản A ồng hôm nay và ngược lại: A gọi là giá trị hiện tại của khoản B
ồng mà ta sẽ có ược trong tương lai.
Giả sử ta có một khoản tiền là A ồng gửi vào một ngân hàng với lãi suất cố ịnh r (biểu diễn dưới dạng
thập phân) một năm. Gọi Bt là số tiền ta sẽ có sau t năm gồm cả gốc lẫn lãi thì B1 A rA (1 r)A B2 (1 r)A r(1 r)A (1 r) A2 … Bt (1 r) At
Như vậy ta sẽ có một dãy số nhân với công bội q 1 r : {Bt}.
GV: Nguyễn Dương Nguyễn, BM Toán, Khoa Cơ bản, FTU 20