Lý thuyết định thức cáp 4 và một số tính quan trọng của định thức | Môn toán cao cấp
Để tính định thức này, người ta thường dùng công thức khai triển theo dạng hoặc khai triển theo cột như sau. Khai triển theo :1 2 3 4; 1 1 2 2 3 3 4 4 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)Khai triển theo cột j :1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) j j j j A a D a D a D a D j j j j j j j j
trong đó Dij là định thức thu được từ A là định thức cấp 3.Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem !
Môn: Toán Cao Cấp (KTHCM)
Trường: Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh
Thông tin:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
lOMoAR cPSD| 47305584 B i Tự Đọc
ĐỊNH THỨC CẤP 4 &
MỘT SỐ T˝NH CHẤT QUAN TRỌNG CỦA ĐỊNH THỨC
1. Định Thức Cấp 4.
XØt ma tra n vu ng ca p 4 sau đa y a11 a12 a13 a14 A
aa2131 aa2232 aa2333 aa2434
a41 a42 a43 a44
Đị nh thứ c cu a A đứợ c gọ ị l đị nh thứ c ca p 4 v k hịệ u l
a11 a12 a13 a14
det( )A A a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34 a41
a42 a43 a44
Đệ tí nh đị nh thứ c na y, ngứợ ị ta thứợ ng døng c ng thứ c khai triển theo d ng họa c khai triển theo cột nhứ sau.
Khaị trịệ n thệọ d ng i :
A ( 1)i 1a Di1 i1 ( 1)i 2a Di2 i2 ( 1)i 3a Di3 i3 ( 1)i 4a
Di4 i4 Khaị trịệ n thệọ cọ t j :
A ( 1)1 j a D1j 1j ( 1)2 j a D2j 2j ( 1)3 j a D3j 3j ( 1)4 j a D4j 4j
trọng đọ Dij la đị nh thứ c thu đứợ c tứ A ba ng cÆch x a d ng i v x a cọ t j (nghí a l x a d ng & x a cọ t chứ a
pha n tứ aij ). Va đệ ra ng Dij la đị nh thứ c ca p 3.
Trọng thứ c h nh, nệ u đứợ c, chu ng ta thứợ ng khaị trịệ n thệọ d ng (họa c cọ t) saọ chọ d ng (họa c cọ t) a y
c chứ a nhịệ u sọ 0 nha t. 1 3 1 1
B i tập minh họa : T nh đị nh thứ c D 2 0 1 1 1 0 2 1 1 2 2 1
ThS. Đào-Bảo-Dũng Trang 1 lOMoAR cPSD| 47305584 B i Tự Đọc
Hướng dẫn giải : Quan sa t đị nh thứ c đª chọ, ta tha y cọ t 2 c chứ a nhịệ u sọ 0 nha t. V va y, ta nŒn khaị trịệ n thệọ cọ t 2.
Khaị trị ệ n thệọ c ọ t 2, ta c : 2 1 1 1 1 1 12 42 D (1) 3 1 21 (1) (2) 2 1 1 1 2 1 1 2 1 Xa dng 1 v c ọ t 2 c u a A Xa dng 4 v c ọ t 2 c u a A
Va y : D ( 3) ( 12) ( 2) 9 18
2. Một Số T nh Chất Quan Trọng Của Định Thức.
• T nh chất 1 : Vợ ị ma tra n An n th A AT
• T nh chất 2 : Nệ u đọ ị chọ haị d ng, ta c mọ t đị nh thứ c mợ ị c gịÆ trị ngứợ c da u vợ ị đị nh thứ c cu .
• T nh chất 3 : Nệ u đị nh thứ c c haị d ng gịọ ng nhau họa c ty lệ nhau th đị nh thứ c c gịÆ trị ba ng 0 .
• T nh chất 4 : Nệ u nh n mọ t sọ v ọ một d ng cu a đị nh thứ c, ta c mọ t đị nh thứ c mợ ị c gịÆ trị ba ng
ga p la n đị nh thứ c cu .
• T nh chất 5 : Đị nh thứ c cu a ma tra n tam gịÆc c gịÆ trị ba ng t ch cÆc pha n tứ thuọ c đứợ ng chØọ ch nh.
• T nh chất 6 : Nệ u cọ ng thŒm v ọ mọ t d ng bợ ị k la n d ng khÆc, ta c mọ t đị nh thứ c mợ ị c gịÆ trị ba ng đị nh thứ c cu .
• T nh chất 7 : Vợ ị cÆc ma tra n An n v Bn n th AB. A B. . Chœ :
✓ Nhợ t nh cha t 1, nŒn cÆc t nh cha t 2 đệ n t nh cha t 6 va n đu ng nệ u ta thay d ng ba ng cọ t".
✓ Tứ t nh cha t 4, ta c mọ t hệ quả sau đa y :
k A. n n k An vợ ị k
a1 a2 a3 c1 c2 c3
V dụ 1 (t nh chất 2) : b1 b2 b 3 1 b2 b b 3 (đọ ị chọ d ng 1 v d ng 3)
c1 c2 c3 a1 a2 a3
V dụ 2 (t nh chất 3) :
ThS. Đào-Bảo-Dũng Trang 2 lOMoAR cPSD| 47305584 B i Tự Đọc 2 4 2 4 6 6 0
(v d ng 1 v d ng 2 gịọ ng nhau) 2019 2020 2021 1 2020 10 2 2021 20 0
(v cọ t 1 v cọ t 3 ty lệ nhau) 3 2022 30
a1 a2 a3ka1 a2 a3a1 ka2 a3a1 a2 ka3
V dụ 3 (t nh chất 4) : k b
kb1 b2 b3 1 b2 b3 b1 kb2 b3 b1 b2
kb3 vợ ị k
c1 c2 c3kc1 c2 c3c1 kc2 c3c1 c2 kc3
V dụ 4 (t nh chất 4) : Vợ ị , , ta c
a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3
a1 a2 ka 3 b 3 1 b2 b 3 b1 b2 b3 b1 b2 b3 b1 b2 kb 3
c1 c2 c3 c1 c2 c3 c1 c2 c3 c1 c2 kc
V dụ 5 (hệ quả của t nh chất 4) : XØt ma tra n A3 3 c A
2 . Khị đọ 3A ( 3)3 A 54 1 1 6 1 0 8 12 3 4 24 2 2
V dụ 6 (t nh chất 5) : 4 0 0 3 3 T . T AA
(dọ tnh ch ấ t 7 ) . M T A
A (dọ tnh ch ấ t 1 ) 0 0 0
V dụ 7 (t nh chất 7) : Vợ ị An n th AA.
nŒn suy ra AA. T A2
➢ Một số b i tập minh họa : 1 1 1 1 B i tập 1 : T nh D 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1
Ta c thệ sứ du ng t nh cha t 6 đệ t nh đị nh thứ c ca p bọ n D ba ng mọ t đị nh thứ c ca p 3. CÆch thứ c hịệ n nhứ sau.
Døng t nh cha t 6 (d ng 2 trừ hai lần d ng 1, d ng 3 cộng bởi d ng 1, d ng 2 cộng bởi hai lần d ng 1) :
ThS. Đào-Bảo-Dũng Trang 3 lOMoAR cPSD| 47305584 B i Tự Đọc 1 1 1 1 0 3 1 4 D 0 1 3 2 0 3 4 1
Khị đọ , khaị trịệ n thệọ cọ t 1 th ta c : 3 1 4 D ( 1)1 1 11 3 260 3 4 1 1 1 1 1
B i tập 2 : T nh đị nh thứ c D 1 m 1
1 vợ ị m l tham sọ . 1 1 m 1 1 1 1 m
Ta c thệ sứ du ng t nh cha t 6 đệ tí nh đị nh thứ c ca p bọ n D ba ng mọ t đị nh thứ c ca p 3. CÆch thứ c hịệ n nhứ sau.
Døng t nh cha t 6 (d ng 2 trừ d ng 1, d ng 3 trừ d ng 1, d ng 4 trừ d ng 1) : 1 1 1 11 1 1 1 D 1 m 1 10 m 1 0 0 1 1 m 10
0 m 1 0 1 1 1 m0 0 0 m 1
`p du ng t nh cha t 5 (định thức của ma trận tam giÆc), ta c : 1 1 1 1 0 m 1 0 03 0 0 m 1 0 (m 1) 0 0 0 m 1 1 1 1 1 Va y : D 1 m 1 1 (m 1)3 1 1 m 1 1 1 1 m
ThS. Đào-Bảo-Dũng Trang 4 lOMoAR cPSD| 47305584 B i Tự Đọc a b c 1
B i tập 3 : T nh đị nh thứ c D b c a
1 vợ ị a b c, , c a b 1 b c c a a b 2
Ta c thệ sứ du ng mọ t sọ t nh cha t cu a đị nh thứ c đệ t nh D. CÆch thứ c hịệ n nhứ sau.
Døng t nh cha t 6 (cộng cột 2, cột 3 v o cột 1), ta c : a b c b c 1 a b c c a 1 a b c a b 1 D
2(a b c ) c a a b 2 a b c b c 1 a b c c a 1 Ta
tha y c cọ t 1 ty lệ vợ ị cọ t 4, nŒn thệọ t nh cha t 3 th : a b c a b 1
2(a b c ) c a a b 2
a b c b c 1 a b c c a 1 a b c a b 10
2(a b c ) c a a b 2
Va y : D 0 vợ ị a b c, ,
ThS. Đào-Bảo-Dũng Trang 5