Lý thuyết toán triển khai taylor | môn toán cao cấp
Hàm đơn giản nhất là đa thức. (khai triển f thành a thức theo lũy thừa của (x – 1) đến (x – 1)3). Với phần dư Peano, chỉ cần tính đến hàm cấp 3.Với phần dư Lagrange, phải tính đến hàm cấp 4. Nếu dùng phần dư Lagrange. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem !
Môn: Toán Cao Cấp (KTHCM) 190 tài liệu
Trường: Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh 1.7 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
lOMoAR cPSD| 47207194
Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange
f có ạo hàm cấp n+1 trong (a, b) chứa x0: CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoAR cPSD| 47207194 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoAR cPSD| 47207194
f ( )x f x 0 f x0 x x0 f KHAI TRIỂN TAYLOR x0 x x0 2 1! 2! ( ) (n 1) c f n x0
x x0 n Rn n! Rn f(n 1)!
x x0 n 1,c nằm giữa x và x0
(khai triển Taylor ến cấp n trong lân cận x0)
Công thức khai triển Taylor với phần dư Peano
Ý nghĩa của khai triển Taylor
f có ạo hàm cấp n tại x0:
f(x): biểu thức phức tạp f 0 x f 0 x 2 f () x fx 0 x 0 x x 0 x 1! 2!
cần tìm 1 hàm số ơn giản hơn và gần bằng f(x) ể () n f 0 x n n
thuận tiện trong tính toán. x 0 x o ( x ) x 0 n!
Hàm ơn giản nhất là a thức. Phần dư Peano.
x0 = 0: khai triển Maclaurin. CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoAR cPSD| 47207194 f(x) = sinx f(x) = sinx f(x) = sinx f(x) = sinx 4 21 n n x 7 f () (1) ( ) x ox (2 n 1)! n 1 3 3 () () f x x () x 3 ox ox f () f () x x x () ox x x 3! 3!
f ( )x x o x( )3 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoAR cPSD| 47207194 () ox
f ( )x x CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoAR cPSD| 47207194 Ví dụ 1.
(khai triển f thành a thức theo lũy thừa của (x – 1) ến (x – 1)3)
Tìm khai triển Taylor ến cấp 3 trong lân cận x
•Với phần dư Peano, chỉ cần tính ến h cấp 3. = 1 cho
•Với phần dư Lagrange, phải tính ến h cấp 4. 1 f x( ) x f x( ) f (1) f (1)(x 1) f
Nếu dùng phần dư Lagrange: f x( ) 1 (1)(x 1)2
(x 1) (x 1)2 (x 1)3 R 1! 2! 3 f (1)(x 1)3 o (x 1) 3 3!
(4)( )c (x 1)4 f ( )x 245 R3 f 4! (4) 1
f x( ) 1 (x 1) 2(x 1)2 6(x 1)3 o x x ( 1)3 1! 2! 3! 1 24 4 (x 51)4 5 (x 1)
1 (x 1) (x 1)2 (x 1)3 o (x 1)3 4!c c
https://fb.com/tailieudientucntt Phần dư Peano lOMoAR cPSD| 47207194 1 1 f x( ) x f (1) 1
f ( )x x 2 f (1) 1 f ( )x 23 f (1) 2 x f ( )x f (1) 6 f (4)( )x 245 x x f x( ) f (1) f (1)(x 1) f (1)(x 1)2 1! 2! f (1)(x 1)3 o (x 1) 3 3! CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoAR cPSD| 47207194 Ví dụ 2
Viết khai triển Maclaurin ến cấp 3 cho f(x) = tan x f ( )x 1 tan2 x f
( )x 2tanx(1 tan2 x) f
( )x 2(1 tan2 x) 6tan2 x(1 tan2 x) f x( ) f (0) f (0)(x 0) f (0)(x 0)2 1! 2! f (0)(x 0)3 o (x 0) 3 3! 3 tan x x x o x( 3)
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoAR cPSD| 47207194 3
Khai triển Taylor của f ên cấp 3 không có Ví dụ 3 phần dư.
Biết f(x) là a thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = 1 ,
f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1) f x( ) f (2) f (2)(x 2) f (2)(x 2) 2 f (2)(x 2)3
Vì f(x) là a thức bậc 3 nên f(4)(x) = 0 1! 2! 3! f x( ) f(2) f (2)(x 2) f (2)(x 2)2
Khai triển Maclaurin các hàm cơ bản f (2)(x 2) 3 (x0 = 0) 1! 2! 3!
1. f (x) ex
0 1(x 2) 4(x 2)2 12 (x 2)3 1! 2! 3! n ( )k k! (0)k o (x
(x 2) 2(x 2)2 2(x 2)3 0)n
ex f (0) f (x 0)
f ( )x 1 4(x 2) 6(x 2)2 k 1
Biết f(x) là a thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = f (1) ( ) 1, f (1) 1 1 f ”
, (2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1)
f k ( )x ex f ( )k (0) 1 n
ex 1 1 xk o x( n) CuuDuongThanCong.com k 1k!
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoAR cPSD| 47207194 2.
f ( )x l 1n( x)
n ( )k (0) k o x n ln(1 x) f (0) f x k! 1 k ( 1)! k
f ( )k ( )x ( 1) k 1 (1 x)k
f ( )k (0) ( 1)k 1(k 1)! n k
ln(1 x) ( 1) k 1 x o x( n) k 1 k
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoAR cPSD| 47207194 Áp dụng cho = 1.
3. f ( )x sin x f k ( )x sin x k 2 (1 x) 1 x ( 1) x2
f ( )k (0) sink 2 1! 2! ( ) ( 1)( n 1) xn
o x( n) n!
f (2 )p 0 0 f (0) 1, f (3)(0) 1, f (2p 1)(0) 1 1 1 2 x3 p 1
( 1)n nx o x( n) 1 x x x (1) 2 1
n ( )k (0) k o x 2 1n sin x f (0) f x k 0 k! n 2 1k sin x ( 1) k 1 x o x 2 1n k 1 (2k 1)! CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoAR cPSD| 47207194
3. f x( ) (1 x) f ( )k ( )x ( 1)(
k 1)(1 x) k ( )k (0) ( 1)( k 1) f f
(1 x) f (0) n
( )k (0) xk o x n k 1 k! (1 x) 1 1!x ( 2! 1) x2 ( 1)( n 1) xn
o x( n) n!
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoAR cPSD| 47207194 Lưu ý cho hàm sin x
sin x f (0) 2n
f ( )k (0) xk o x 2n k 0 k!
f(2n)(0) = 0 hệ số của x2n là 0. n 2 1k sin x ( 1) k 1 x o x 2n k 1 (2k 1)! CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoAR cPSD| 47207194
Bảng công thức kt Maclaurin cơ bản 1! 2! n! n x 2 3 n x e 1 x n ( ) ox 2
ln(1 x) x x x ( 1)n 1 x o x( n) x
1 1x x2 x3
Khai triển Maclaurin của arctan và hyperbolic
( 1)n nx o x( n) 1 x 5 2n 1 5 2n 1
sinhx x x3! x5! (2xn 1)! o
sin x x x3! x5! ( 1)n 1 (2xn x 2n 1 1)! o x 2n 1 2 4 2n coshx 1 x x (x2n)! o
hay o x 2n x 2n 2! 4! 4 2
Giống sinx, cosx nhưng không an dấu x n x n 2n 3 5 2 cosx 1
( 1) (2 )!n o x 2!
xn 1 x n 1 o x 2n 1 4! arctan x x ( 1) 2 1 5 n hay o x
Giống sinx, nhưng mẫu số không có giai thừa. 2n 1
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoAR cPSD| 47207194 2 3 n (1 x) 1 1!x ( 2! 1) x2 ( 1)( n 1) xn o x( n) n! CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoAR cPSD| 47207194
1. Tìm khai triển Taylor ến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho: f x( ) 1 x Ví dụ áp dụng
2. Tìm khai triển Taylor ến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho:
f ( )x ln(x 2)
x0 = 1 0, ặt biến phụ : u = x – x0 = x – 1 f x( )
1 1 u u2 u3 o u 3 1 u Trả về biến cũ: f x( ) 1
(x 1) (x 1)2 (x 1)3 o (x 1)3 2 n 3
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoAR cPSD| 47207194 u = x – 1 x x
ln(1 x) x 2 3 ( 1)n 1 xn
2 u (2 u)2 (2 u)3 o (2
o x( n) f ( )x ln(3 u) ln(1 2 u) u)3 2 3
f ( )x ln(3 u) x 1 u 0 ln3 1 u 3 ln3 ln 1 u 3
3. Tìm khai triển Maclaurin ến cấp 3 cho: u 2 u 3 f x( ) 2 x 3x2 4 x ln3 u 3 3 o u 3 f x( ) x 2 1 6
(x 1)(x 4) 5(x 1) 5(x 4) 3 2 3 3 1 1 6 1 5 x 1 201 x
ln3 1u 1 u2 1 u3 o u( 3) 4 3 18 81
Lưu ý: khi khai triển cho f+g, mỗi hàm phải khai Nhớ trả về x
triển ến bậc ược yêu cầu. CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoAR cPSD| 47207194
Sai! (u + 2) 0 khi u = 0 (hay x = 1).
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoAR cPSD| 47207194 1 1 6 1
4. Tìm khai triển Maclaurin ến cấp 3
cho: f ( )x ex.ln(1 x) 6 f x( ) 5 x 1 201 x 1 1 x x
1.Khi tích các khai triển, chỉ giữ lại tất cả các 2 x3 o x4( 3) 5
lũy thừa từ bậc yêu cầu trở xuống và xếp thứ
tự bậc từ thấp ến cao.
2.Tính bậc trong khai triển cấp n cho tích f.g:
Bậc thấp nhất trong khai triển của f là k 2 3 ex ln(1 x)
g khai triển ến bậc (n – k)(và ngược lại). f x ( ) ex ln(1 x) khai triển cấp 3 (0) (1) 2 3 2 3 4 x x x x x 1 x x 2! 6 ! 2 3 4 x2 ( 2)
x x22 x33 o x( 3) f ( )x 1 x 2! o x
Bậc thấp nhất trong khai triển của ex là x0.
ln(1 + x) khai triển ến x3 2 3
Bậc thấp nhất trong khai triển của ln(1+x) là x1 x x 3) x o x( 2 ex khai triển ến x2 3 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt lOMoAR cPSD| 47207194 1 x x 2 x 3 o x 3 20 4 4 4 4
f x( ) 1 1x 7 x2 25 x3 o x( 3) 2 8 32 128 1 1
x 1 x x2 x3 (
1)n nx o x( n)
https://fb.com/tailieudientucntt