Lý thuyết và bài tập chương 2: Hệ phương trình tuyến tính | Môn toán cao cấp
Một nhà đầu tư dự định dùng số tiền 500000$ để mua 3 loại cổ phiếu là A, B, C. Biết rằng, Cổ phiếu A có giá là 50$ và cho lợi nhuận hàng năm là 12%. Cổ phiếu B có giá là 70$ và cho lợi nhuận hàng năm là 16%. Cổ phiếu C có giá là 30$ và cho lợi nhuận hàng năm là 9%. Nhà đầu tư dự tính mua cổ phiếu B nhiều gấp 3 lần cổ phiếu C.. Nếu nhà đầu tư muốn lợi nhuận của việc mua cổ phiếu là 14% thì cần mua cổ phiếu A,B,C với số lượng bao nhiêu? Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem !
Môn: Toán Cao Cấp (KTHCM)
Trường: Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh
Thông tin:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
lOMoAR cPSD| 47206071
CHƯƠNG 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I.
Một vài ví dụ có thể đưa về hệ pt tuyến tính:
Một nhà đầu tư dự định dùng số tiền 500000$ để mua 3 loại cổ phiếu là A, B, C. Biết rằng,
• Cổ phiếu A có giá là 50$ và cho lợi nhuận hàng năm là 12%
• Cổ phiếu B có giá là 70$ và cho lợi nhuận hàng năm là 16%
• Cổ phiếu C có giá là 30$ và cho lợi nhuận hàng năm là 9%
Nhà đầu tư dự tính mua cổ phiếu B nhiều gấp 3 lần cổ phiếu C.
Nếu nhà đầu tư muốn lợi nhuận của việc mua cổ phiếu là 14% thì cần mua cổ phiếu A,B,C
với số lượng bao nhiêu?
Gọi x 1 , x 2 , x 3 lần lượt là số cổ phiếu A,B,C được mua thì:
Tổng số tiền mua cổ phiếu là 50 x 1 + 70 x 2 + 30 x 3 phải bằng với số vốn đầu tư ban đầu là
500000$, nghĩa là: 50 x 1 + 70 x 2 + 30 x 3 = 500000(1)
Số cổ phiếu B được mua nhiều gấp 3 lần số cổ phiếu C, nghĩa là: x 2 = 3 x 3 (2)
Tổng lợi nhuận đầu tư cổ phiếu là 50 x 1 * 12% + 70 x 2 *16% + 30 x 3 * 9%= 6 x 1 + 11.2 x 2 +
2.7 x 3 bằng với lợi nhuận mong muốn là 500000 14% = 70000 , nghĩa là: 6 x 1 + 11.2 x 2 + 2.7 x = 70000 (3)
Từ (1),(2),(3) ta có hệ phương trình 3 ẩn
Mỗi phương trình trong hệ phương trình trên là bậc nhất đối với các ẩn 1 2 3 x , x , x nên ta
gọi hệ phương trình này hệ phương trình tuyến tính.
Trong phần sau, ta sẽ khảo sát hệ phương trình tuyến tính tổng quát, cùng với phương pháp
giải và điều kiện có nghiệm của hệ.
II. Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính
Một hệ phương trình tuyến tính (linear equation system) gồm m phương trình, n ẩn có dạng tổng quát như sau:
trong đó x 1 , x 2, ... x n là n ẩn số (unknowns) và a ij , b i là các hằng số.
Nghiệm (solution) của hệ thường được viết dưới dạng véc tơ 1 KINH TẾẾ VI MÔ _ UEH lOMoAR cPSD| 47206071
Nếu toàn bộ vế phải của hệ đều bằng 0, nghĩa là b i = 0 với mọi ihì ta có hệ phương trình thuần nhất
Hệ phương trình thuần nhất là hệ pt có vế trái đều bằng 0.
Khi đó hệ phương trình (∗) có thể viết dươi dạng dạng AX = B II.
Định lý Kronecker-Capelli
Xét hệ phương trình AX = B. Ký hiệu A = [A B] ↓
ma trận hệ số mở rộng •
Nếu rank(A) ≠rank(A) thì hệ vô nghiệm •
Nếu rank(A) = rank(A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất •
Nếu rank(A) = rank(A) = k < n thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc n − k tham số IV.
Phương pháp khử (C. F. Gauss)
Xét hệ phương trình AX = B.
B1: Lập ma trận mở rộng A = [A B]
B2: Đưa ma trận A về dạng bậc thang dòng A b. đ. s. c trên dòng
−−−−−−−−−−−−→ [A1 B1]
Từ đó suy ra rank(A) và rankA. Ngoài ra, ta có
AX = B ⇐⇒ A 1 X = B 1 B3 Xét các trường hợp sau
rank(A) 6= rank(A) =⇒ Hệ pt vô nghiệm rank(A) =
rank(A) = n =⇒ Hệ pt có nghiệm duy nhất
Tìm nghiệm (bằng cách giải hệ tương đương) 2 KINH TẾẾ VI MÔ _ UEH lOMoAR cPSD| 47206071
rank(A) = rank(A) = k < n =⇒ Hệ pt có vô số nghiệm
Tìm nghiệm tổng quát: Hệ A 1 X = B 1 có dạng
Chọn n − k ẩn tự do, tính các ẩn còn lại theo các ẩn tự do. V. Qui tắc Cramer
Hệ phương trình AX = B là hệ Cramer nếu A là ma trận vuông khả nghịch
• Mọi hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất
• Tìm nghiệm bằng ma trận nghịch đảo X = A -1 B • Qui tắc Cramer
X = [x 1 x 2 · · · x n ] T , x j = det(A j ) / det(A)
Ví dụ: Giải hệ phương trình 1 2 -1 2 1 0 1 2 -3 3 0 0 -7 10 -6 0 0 -7 14 -6
Vì rank(A) = 4 nên hệ có nghiệm duy nhất. Hpt => 3 KINH TẾẾ VI MÔ _ UEH