Lý thuyết và công thức nhanh môn giải tích | Môn toán cao cấp
Nếu hàm số f x( ) và g x( ) cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số f x( ) + g x( ) cũng đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu f x( ) − g x( ) . Nếu hàm số f x( ) và g x( ) là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số f x( ) ( ).g x cũng đồng biến (nghịch biến) trên. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem !
Môn: Toán Cao Cấp (KTHCM)
Trường: Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh
Thông tin:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
lOMoAR cPSD| 49519085
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 MỤC LỤC
PHẦN I. HÀM SỐ ................................................................................................................................. 4
1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ........................................................................ 4
1.1. Định nghĩa ................................................................................................................................ 4
1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm ......................................................................................... 4
1.3. Bảng công thức tính đạo hàm................................................................................................... 5
1.4. . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức ..................................................................... 5
1.5. Đạo hàm cấp 2 .......................................................................................................................... 6
2. CỰC TRỊ HÀM SỐ ........................................................................................................................ 7
2.1. Định nghĩa ................................................................................................................................ 7
2.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị ......................................................................................... 8
2.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị .......................................................................................... 8
2.4. Quy tắc tìm cực trị .................................................................................................................... 9
3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ ................................................ 9
3.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba y = ax 3 +bx 2 + cx + d. ..................................................... 9 (
3.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương y = ax 4 +bx 2 + c a,
0) .................................. 12
4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ........................................................................... 14
4.1. Định nghĩa. ............................................................................................................................. 14
4.2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN .......................................................................................... 14
5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ........................................................................... 15
5.1. Đường tiệm cận ngang .......................................................................................................... 15
5.2. Đường tiệm cận đứng ........................................................................................................... 15
6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ .......................................................... 16
6.1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức.................................................................. 16
6.2. Một số phép biến đổi đồ thị ................................................................................................... 17
7. TIẾP TUYẾN ................................................................................................................................ 20
7.1. Tiếp tuyến .............................................................................................................................. 20
7.2. Điều kiện tiếp xúc .................................................................................................................. 20
8. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ .............................................................................................................. 20
9. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG ............................................................................. 21
9.1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong....................................................................... 21
9.2. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên ....................................................................................... 21
9.3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng ................................................................................ 21
9.4. Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách ................................................................................ 22 lOMoAR cPSD| 49519085
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
PHẦN II. MŨ VÀ LOGARIT .............................................................................................................. 25
1. LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA ....................................................................................... 25
1.1. Khái niệm lũy thừa ................................................................................................................. 25
1.2. Phương trình x n = b. ............................................................................................................ 25
1.3. Một số tính chất của căn bậc n .............................................................................................. 26
1.4. Hàm số lũy thừa ..................................................................................................................... 26 1.5. Khảo
sát hàm số mũ y = ax, (a 0,a 1) . ................................................................... 27
2. LOGARIT ..................................................................................................................................... 28
2.1. Khái niệm Logarit ................................................................................................................... 28
2.2. Bảng tóm tắt công thức Mũ-logarit thường gặp ..................................................................... 28
3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. .............................................................................. 29
3.1. Bất phương trình mũ cơ bản .................................................................................................. 29
3.2. Bất phương trình logarit cơ bản ............................................................................................. 29
4. BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG ........................................................................................ 30
4.1. Lãi đơn ................................................................................................................................... 30
4.2. Lãi kép .................................................................................................................................... 30
4.3. Tiền gửi hàng tháng ............................................................................................................... 31
4.4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng ............................................................................. 31
4.5. Vay vốn trả góp ...................................................................................................................... 31
4.6. Bài toán tăng lương ................................................................................................................ 32
4.7. Bài toán tăng trưởng dân số ................................................................................................... 32
4.8. Lãi kép liên tục ....................................................................................................................... 32
PHẦN III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ......................................... 34
1. NGUYÊN HÀM ............................................................................................................................ 34
1.1. Định nghĩa .............................................................................................................................. 34
1.2. Tính chất của nguyên hàm ..................................................................................................... 34
1.3. Sự tồn tại của nguyên hàm ..................................................................................................... 34
1.4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp............................................................................. 34
1.5. Bảng nguyên hàm mở rộng .................................................................................................... 35
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM .......................................................................... 36
2.1. Phương pháp đổi biến ............................................................................................................ 36
2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần ................................................................................... 37
3. TÍCH PHÂN ................................................................................................................................. 38
3.1. Công thức tính tích phân ........................................................................................................ 38 lOMoAR cPSD| 49519085
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
3.2. Tính chất của tích phân .......................................................................................................... 38
4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN ......................................................................................... 39
4.1. Phương pháp đổi biến ............................................................................................................ 39
4.2. Phương pháp tích phân từng phần ........................................................................................ 40
5. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN ......................................................................... 40
5.1. Tích phân hàm hữu tỉ ............................................................................................................. 40
5.2. Tích phân hàm vô tỉ ............................................................................................................... 42
5.3. Tích phân hàm lượng giác ...................................................................................................... 45
6. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN .......................................................................................................... 48
6.1. Diện tích hình phẳng .............................................................................................................. 48
6.2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay ............................................................................. 49
PHẦN IV. SỐ PHỨC ........................................................................................................................... 50
1. SỐ PHỨC ..................................................................................................................................... 50
1.1. Khái niệm số phức .................................................................................................................. 50
1.2. Hai số phức bằng nhau .......................................................................................................... 50
1.3. Biểu diễn hình học số phức .................................................................................................... 50
1.4. Số phức liên hợp ..................................................................................................................... 50
1.5. Môđun của số phức ................................................................................................................ 50
2. PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC .............................................................................. 51
2.1. Phép cộng và phép trừ số phức .............................................................................................. 51
2.2. Phép nhân số phức ................................................................................................................. 51
2.3. Chia hai số phức ..................................................................................................................... 51
3. TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC .................................................................................... 51
4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC ...................................................................... 52
4.1. Căn bậc hai của số thực âm .................................................................................................... 52
4.2. Phương trình bậc hai với hệ số thực ...................................................................................... 52
5. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC............................................ 52
PHẦN I. HÀM SỐ
1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
1.1. Định nghĩa
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f x( ) xác định trên lOMoAR cPSD| 49519085
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 K ta có:
• Hàm số y = f x( ) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu: x x ) 1, 2
K x, 1 x2 f x( )1 f x( 2
• Hàm số y = f x( ) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu: x x ) 1, 2
K x, 1 x2 f x( )1 f x( 2
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K
* Nhận xét: f x( ) − f x( )
• Hàm số f x( ) đồng biến trên K 2 1 0 x x1, 2 K , x1 x2. Khi đó đồ thị x2 − x1
của hàm số đi lên từ trái sang phải. f x( ) − f x( )
• Hàm số f x( ) nghịch biến trên K 2 1 0 x x1, 2 K , x1 x 2. Khi đó đồ x 2 − x1
thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
• Nếu f ( )x 0, x (a b; ) hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng (a b; ).
• Nếu f ( )x 0, x (a b; ) hàm số f x( ) nghịch biến trên khoảng (a b; ). ( )
• Nếu f ( )x = 0, x (a b; ) hàm số f x
không đổi trên khoảng (a b; ).
• Nếu f x( ) đồng biến trên khoảng (a b; ) f ( )x 0, x (a b; ).
• Nếu f x( ) nghịch biến trên khoảng (a b; ) f ( )x 0, x (a b; ).
• Nếu thay đổi khoảng (a b; ) bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm
giả thiết “hàm số f x( ) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. lOMoAR cPSD| 49519085
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm
Quy tắc tính đạo hàm: Cho u = u x( ); v = v x( ); C : là hằng số .
• Tổng, hiệu: (u v) = u v .
• Tích: (u v. ) = u v . + v u . ( C u. ) =C u. .
• Thương: u
= u v . −2v u . , ( 0) C = −C u.2 v v v u u
• Đạo hàm hàm hợp: Nếu y = f u( ), u = u x( ) yx = y uu . x . 1.3. Bảng công thức
tính đạo hàm
Đạo hàm của hàm sơ cấp
Đạo hàm của hàm hợp (x ) = .x −1
( )C = 0 (C là hằng số).
(u ) = .u −1.u ( x ) = .x 1 = − u2 −1 (u 0) 1 = − 12 u (x 0) u ) u = 2 x u x ( u ( u 1 x ) = 2 x ((x 0) 0) (sin x ) = cosx
(sin u) =u .cosu lOMoAR cPSD| 49519085
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
(cosx) = −sin x
(cosu) = −u .sinu u (tan x) = 1 ( 2 tanu) = 2 cos x cos u u (cot x ) = − 1 ( 2 cot u) = − 2 sin x sin u ( ) ( ex = ex
eu ) =u e . u
(ax ) = ax.ln a (
au ) = u a . u.lna u (ln x ) = 1 ( ln u ) = x u u (log x) = (loga u ) = a u.lna
1.4 . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức ax +b ad −bc • cx + d
= (cx + d)2 . a b 2 a c b c
ax 2 + bx + c
d e x + 2 d f x + e f • 2 = 2 .
dx + ex + f
(dx 2 + ex + f ) lOMoAR cPSD| 49519085
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
1.5. Đạo hàm cấp 2 1.5.1. Định nghĩa f ( )x = f ( )x
1.5.2. Ý nghĩa cơ học
Gia tốc tức thời của chuyển động s = f t( ) tại thời điểm t 0 là: a t( )0 = f ( )t 0 .
1.5.3. Đạo hàm cấp cao ) f ( ) ( ) ( ) n x = f (n −1 x
, (n ¥ , n 2) . * Một số chú ý:
• Nếu hàm số f x( ) và g x( ) cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số f x( ) + g
x( ) cũng đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có thể không đúng đối với
hiệu f x( ) − g x( ) .
• Nếu hàm số f x( ) và g x( ) là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên
K thì hàm số f x( ) ( ).g x cũng đồng biến (nghịch biến) trên K.Tính chất này có thể
không đúng khi các hàm số f x( ),g x( ) không là các hàm số dương trên K.
• Cho hàm số u = u x( ), xác định với x (a b; ) và u x( ) (c d; ). Hàm số f u x ( )
cũng xác định với x (a b; ) .
Ta có nhận xét sau:
• Giả sử hàm số u = u x( ) đồng biến với x (a b; ) . Khi đó, hàm số f u x ( ) đồng
biến với x (a b; ) f u( ) đồng biến với u (c d; ).
• Giả sử hàm số u = u x( ) nghịch biến với x (a b; ) . Khi đó, hàm số f u x ( ) nghịch
biến với x (a b (
; ) f u( ) nghịch biến với u c d; ). lOMoAR cPSD| 49519085
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số. Giả
sử hàm số f có đạo hàm trên K
• Nếu f ' ( )x 0 với mọi x K và f ' ( )x = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x K
thì hàm số f đồng biến trên K . • x
Nếu f ' ( )x 0 với mọi x K và f ' ( )x = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm
K thì hàm số f nghịch biến trên K . Chú ý: ax +b d y
* Đối với hàm phân thức hữu tỉ = x −
thì dấu " = " khi xét dấu cx +d c
đạo hàm y không xảy ra.
Giả sử y = f x( ) = ax 3 +bx 2 + cx + d f ( )x= 3ax 2 + 2bx + c.
Hàm số đồng biến trên ¡
Hàm số nghịch biến trên ¡ a 0 a 0 0 0
f ( )x 0; x ¡ ba == 00
f ( )x 0; x ¡ ba == 00 . . c 0 c 0
Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a = b = c = 0 thì f x( ) = d
(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu) lOMoAR cPSD| 49519085
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
* Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài
bằng l ta giải như sau:
Bước 1: Tính y = f (x m;) = ax 2 +bx + c.
Bước 2: Hàm số đơn điệu trên (x x ) 1; 2
y = 0 có 2 nghiệm phân biệt 0 ( ) 0 * a
Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng l x ( )2 1 − x2 = l
x1 + x2 − 4x x1 2 = l2 S2 − 4P = l2 (* *)
Bước 4: Giải ( )* và giao với (* *) để suy ra giá trị m cần tìm.
2. CỰC TRỊ HÀM SỐ
2.1. Định nghĩa
Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x0 K . Ta nói:
• x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a b; ) chứa x 0 sao cho (a b; )
K và f x( ) f x( ) )
0 , x (a b; ) \
x0 . Khi đó f x( 0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f .
• x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a b; ) chứa x0 sao cho (a b; )
K và f x( ) f x( ) ) 0 ,
x (a b; ) \ x0 . Khi đó f x( 0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f .
• Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.
• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
• Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực
trị phải là một điểm trong tập hợp K. lOMoAR cPSD| 49519085
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số. • ( Nếu x ))
0 là điểm cực trị của hàm số thì điểm x0; f x( 0
được gọi là điểm cực trị của đồ
thị hàm số f . * Nhận xét:
• Giá trị cực đại (cực tiểu) f x( )
0 nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của
hàm số f trên tập D; f x( )
0 chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một
khoảng (a b; ) nào đó chứa x0hay nói cách khác khi x0 điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn
tại khoảng (a;b) chứa x )
0 sao cho f x( 0 là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng (a b; ).
• Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K . Hàm số có thể
không có cực trị trên một tập cho trước.
2.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1:
Giả sử hàm số y = f x( ) đạt cực trị tại điểm x 0 . Khi đó, nếu y = f x( ) có đạo hàm tại điểm x ) 0 thì f (x0 = 0. Chú ý:
• Đạo hàm f ( )x có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0 .
• Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
• Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc
tại đó hàm số không có đạo hàm.
2.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2: lOMoAR cPSD| 49519085
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x )
0. Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm x0 thì f '(x0 = 0 .
• Nếu f ( )x 0 trên khoảng (x )
0 − h x; 0 và f ( )x 0 trên khoảng (x0;x0 + h) thì x 0 là
một điểm cực đại của hàm số f x( ).
• Nếu f ( )x 0 trên khoảng (x )
0 − h x; 0 và f ( )x 0 trên khoảng (x x + 0; 0 h) thì x 0
là một điểm cực tiểu của hàm số f x( ).
2.4. Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1:
• Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f ( )x .
• Bước 2: Tìm các điểm xi (i = 1;2;...) mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên
tục nhưng không có đạo hàm.
• Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f ( )x . Nếu f ( )x đổi dấu khi đi qua xi
thì hàm số đạt cực trị tại xi .
Định lí 3:
Giả sử y = f x( ) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x0 − h x; 0 + h) với h 0. Khi đó:
• Nếu f (x ) ) 0 = 0, f
(x0 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x0. • Nếu ) f (x ) = 0 0, f
(x0 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0.
Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số Quy tắc 2:
• Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f ( )x .
• Bước 2: Tìm các nghiệm xi (i = 1;2;...) của phương trình f ( )x = 0.
• Bước 3: Tính f
( )x và tính f ( )xi . lOMoAR cPSD| 49519085
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 Nếu f ( )xi 0
thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xi. Nếu f ( )xi 0
thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xi.
3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ
3.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba y ax= 3 +bx 2 + +cx d.
3.1.1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước
Bài toán tổng quát:
Cho hàm số y = f x m( ; )
= ax 3 +bx 2 + cx + d. Tìm tham số m để hàm số có cực
đại, cực tiểu tại x x1, 2 thỏa mãn điều kiện K cho trước?
Phương pháp: • Bước 1:
Tập xác định: D = ¡ .
Đạo hàm: y = 3ax 2 + 2bx + c = Ax 2 + Bx +C • Bước 2:
Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu) y = 0 y
có hai nghiệm phân biệt và
đổi dấu qua 2 nghiệm đó lOMoAR cPSD| 49519085
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt . A
y ==3aB 2 −04AC = 4b2 − 12ac 0
ba2 −03ac 0 m D1 • Bước 3: y
Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình = 0. B 2b
x1 + x2 = − A = − 3a . Khi đó:
x x1. 2 = C = c A 3a • Bước 4:
Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P . Từ đó giải ra tìm được m D2. • Bước 5:
Kết luận các giá trị m thỏa mãn: m = D1 D2. *
Chú ý: Hàm số bậc ba: y = ax 3 +bx 2 + cx +d a( 0 .)
Ta có: y ' = 3ax 2 + 2bx + c. Điều kiện Kết luận b2 − 3ac 0
Hàm số không có cực trị. b2 − 3ac 0
Hàm số có hai điểm cực trị.
Điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu. ▪
Hàm số có 2 cực trị trái dấu
phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu AC. = 3ac 0 ac 0.
▪ Hàm số có hai cực trị cùng dấu
phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu y 0 C
P = x x1 2.= A 0
▪ Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương
phương trình y = 0 có hai nghiệm dương phân biệt lOMoAR cPSD| 49519085
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 y 0 = x1 + x2 =
− B 0 S A
P = x x1. 2 = C 0 A
▪ Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm
phương trình y = 0 có hai nghiệm âm phân biệt lOMoAR cPSD| 49519085
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 y ' 0 = x1 + x2 =
− B 0 S A
P = x x1. 2 = C 0 A
Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x x1, 2 thỏa mãn: x1 x2 x1 x2 x1 x2
▪ Hai cực trị x x1, 2 thỏa mãn x1 x2 (x )( ) 1 −
x2 − ) 0 x x1. 2 − (x1 + x2 + 2 0
▪ Hai cực trị x x1, 2 thỏa mãn x1 x2 (x )( ( 1 1+−x 2 x2 2 − ) 0 x xx11.+2 x−2 2x 1 + x ) 2 + 2 0 x
▪ Hai cực trị x x1, 2 thỏa mãn x1 x 2 (x )( 11+−x 2 x2 2 − ) 0 x xx ( ) 11.+2x−2
2x 1 + x2 + 2 0 x
▪ Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng − = b
khi có 1 nghiệm làx
, có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1 nghiệm là 3a lOMoAR cPSD| 49519085
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 d 3 x = − a . lOMoAR cPSD| 49519085
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
3.1.2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác phía
so với một đường thẳng
Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng: Cho 2 điểm A x( ) )
A;yA , B x( B ;yB và đường thẳng : ax + by + c = 0.
Nếu (axA +byA + c)(axB +byB + c) 0 thì hai điểm A B, nằm về
hai phía so với đường thẳng .
Nếu (axA +byA + c)(axB +byB + c) 0 thì hai điểm A B, nằm cùng
phía so với đường thẳng .
Một số trường hợp đặc biệt:
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy
hàm số có 2 cực trị cùng dấu
phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy
hàm số có 2 cực trị trái dấu
phương trình y = 0 có hai nghiệm trái dấu
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox y phương trình
= 0 có hai nghiệm phân biệt và yC Đ.yCT 0
Đặc biệt:
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox y .y y
0 phương trình = 0 có hai nghiệm phân biệt và yCCĐĐ +CTyCT 0
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox y .y 0 y phương trình
= 0 có hai nghiệm phân biệt và
yCCĐĐ +CTyCT 0
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox y phương trình
= 0 có hai nghiệm phân biệt và yC Đ.yCT 0
(áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình đường thẳng đi qua
hai điểm cực trị của đồ thị hàm số) lOMoAR cPSD| 49519085
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox
đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
phương trình hoành độ giao điểm f x( ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt (áp
dụng khi nhẩm được nghiệm)
3.1.3. Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị
hoặc g x( ) = y −
hoặc g x( ) = y − y
g x( ) = 2c − 2b2 x + d y y . . y . 3.1.4. − bc Khoảng 3y 18a cách giữa 3 9a 9a hai điểm cực trị
của đồ thị hàm số bậc 3 là e 3 4 + e 16 AB = với e = b 2 − 3ac a 9a
3.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương y = ax 4 +bx 2 + c a,( 0)
3.2.1. Một số kết quả cần nhớ • Hàm số có một cực trị ab 0.
• Hàm số có ba cực trị ab 0. a 0
• Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu b 0 . lOMoAR cPSD| 49519085
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 a 0
• Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại b 0 . a 0
• Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại b 0 . a 0
• Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại b 0 .
3.2.2. Một số công thức tính nhanh b 4 2 b − y B − − − a 2
Giả sử hàm số = ax +bx + c có 3cực trị: A(0; ),c 2a ; 4a ,C ; − 4a ab
tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện: 0
Đặt: BAC· = a lOMoAR cPSD| 49519085
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12