Một kỹ năng khi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình – hệ phương trình

Tài liệu gồm 05 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Vũ Hồng Phong (giáo viên Toán trường THPT Tiên Du 1, huyện Tiên Du, tỉnh Bắc Ninh), hướng dẫn một kỹ năng khi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình – hệ phương trình.Mời bạn đọc đón xem

33 17 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 9

Môn: Toán 9

Thông tin:

5 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
1
Số 557 (11 -2023)
Một điều quan trọng giúp chúng ta giải được một
phương trình (PT) hay hệ phương trình bằng cách
đặt ẩn phụ đó là phát hiện được các mối liên hệ
giữa các ẩn với nhau. Mối liên hệ này gồm có:
• Mối liên hệ giữa các ẩn mới.
• Mối liên hệ giữa các ẩn cũ.
• Mối liên hệ giữa các ẩn mới với các ẩn cũ.
Mối liên hệ giữa các ẩn được thể hiện dưới dạng
các đẳng thức hoặc bất đẳng thức.Sau đây là một
số thí dụ.
Thí dụ 1.Giải phương trình:
55
2
41 ( 1) ( 1)
1.
42
xx
xx
−− +
− −=
Lời giải. Điều kiện:
1.x ≥
Ta có:
2
22 1xx−−
1 2 ( 1)( 1) 1x xx x= +− + − + −
=
2
( 1 1)xx+− −
11xx= +− −
1 1.xx= +− −
Do đó PT đã cho tương đương với
Đặt
1 0,xa+= >
1 0.xb
−=≥
Từ cách đặt ta phát hiện ra mối liên hệ sau:
22
2.ab−=
Suy ra:
2 22
( )4ab−=
(2). Khi đó PT(1) có
dạng:
55
4( ) 41 (3).ab b a−= −
Nhân theo vế (2) và (3) ta được:
2 22 5 5
( ) ( ) 41a b ab b a− −= −
5 4 32 23 4 5
2 2 2 42 0a ab ab ab ab b⇔−− + +− =
4 3 22 3 4
( 2 )(2 3 4 10 21 ) 0a b a a b a b ab b⇔− + + + + =
4 3 22 3 4
2
.
2 3 4 10 21 0 (4)
ab
a a b a b ab b
=
⇔
++ + +=
Vì
0, 0ab>≥
nên
VT(4) 0.>
Suy ra (4) vô
nghiệm.
Với
2ab=
⇒
12 1xx+= −
⇔
5
1 4( 1) .
3
xxx+= − ⇔ =
Thử lại ta thấy
5
3
x =
là nghiệm PT đã cho.
Vậy PT đã cho có một nghiệm
5
.
3
x
=
Thí dụ 2.Giải phương trình:
24
1 1 ( 1) 2x x xx+=+ − +
(*).
Lời giải. Điều kiện:
3
43
2
2 0 ( 2) 0 .
0
x
x x xx
x
≤−
+ ≥⇔ + ≥⇔
≥
• Với
3
2
x ≤−
thì
10x
−<
⇒VT(*) > 1 > VP(*).
• Dễ thấy
0x =
là một nghiệm của PT(*).
• Xét
0.x >
Đặt
24
1 1; 2 0.ax bx x= +≥ = + >
Ta có mối liên hệ sau:
22 42
21ab xx x+=+++
(1).
Từ PT đã cho có:
1 ( 1) .
a xb=+−
Thay vào (1) ta
được:
( )
2
242
1 1 21x b bxx x+− +=++ +


2 2 42
( 2 2) (2 2) ( 2 ) 0x x b x bxx x⇔ −+ + − − ++ =
2 2 32
( 2 2) (2 2) ( 1)( 2 ) 0x x b x bx xx x⇔ − + + − −+ −+ =
2 32
( 1)[( 2 2) 2 ] 0bx x x bx x x⇔ −− − + + − + =
⇔
2
2
1
17
.
()
24
( 1) 1
bx
xx
b
x
= +

−+


= −
−+
Do
0x >
nên
2
2
17
()
24
0
( 1) 1
xx
b
x

−+


=−<
−+
(loại) .
2
Số 557 (11 - 2023)
Với
1bx= +
thì
2
ax
=
khi đó có hệ:
22
4
1
21
xx
x xx
+=
+=+
24
42
1
1
2 ( 1)
x
xx
x xx
≥−
⇔ +=
+=+
42
2
1
1
15
.
15
2
10
2
x
x
x
xx
x
≥−
≥−
+
⇔ ⇔ ⇔=

+
− −=
=
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm
15
0; .
2
xx
+
= =
Thí dụ 3.Giải phương trình:
42
33
2
22 22
xx
xx−−++ +−
42
33
33
2
22 22
xx
xx=−−++ +−
(1).
Lời giải.Đặt
42
33
0; 2 0.
22 22
xx
x ax b−−+=≥ +−=≥
PT(1) trở thành
33
abab+=+
(2). Ta có
mối liên hệ sau:
( )
2
42 2
2 1 1 1.ab x x x
+=− + =− − ≤
Suy ra:
1 101
ab≤− ≤− =
và
1 1 0 1.
ba≤− ≤− =
Với
01a≤≤
ta thấy:
2
(1 ) 0
aa−≥
66
32 3 2
aa a a
⇒≤⇒ ≤
3
aa⇒≤
(3).
Đẳng thức xảy ra
0; 1.aa⇔= =
Tương tự
3
bb≤
(4).Đẳng thức xảy ra
0; 1.bb⇔= =
Cộng vế với vế (3),(4) ta được:
33
.abab
+≤+
Do vậy(2) xảy ra khi
0b =
hoặc
1.b =
• Khi
0b =
có:
2
1
3
2 0.
3
22
4
x
x
x
x
= −
+−=⇔
=
• Khi
1b =
có:
2
3
21
22
x
x +−=
2
1
5
2 0.
5
22
4
x
x
x
x
=
⇔ +−=⇔
= −
Thử lại ta thấy phương trình đã cho có đúng hai
nghiệm
1.x = ±
Thí dụ 4.Giải hệ phương trình:
22 2
22323
22
2 6 12 6 12 (1)
.
(2 6 12) 3 ( 6 12)
1
(2)
2
3
x y x x x xy
xy x x x
x y xy
−−++ −+=+
−−+ − −+
=
+
Lời giải. Ta có
22
6 12 ( 3) 3 0
xx x− + = − +>
nên
VT(1) > 0,
suy ra
0.xy+>
Đặt
22
2 6 12 0;
xy x a−−+=≥
2
6 12 0.
xx b−+=>
Từ cách đặt ta có mối liên hệ sau:
22 2 2
.ab xy−=−
Kết hợp với PT(1) ta có:
22 2 2
ab x y
ab xy
+=+
−=−
( )( ) ( )( )
ab x y
a ba b x yx y
+=+
⇔
+ −=+ −
ab x y
ab xy
+=+
⇔
−=−
0
0
ax
by
= ≥
⇔
= >
(*).
Thay vào PT(2) được:
33
22
31
32
xy
x y xy
−
=
+
32 2 3
2 3 60x x y xy y⇔−− −=
22
( 2 )(2 3 3 ) 0x y x xy y
⇔− + + =
(3).
Do
0
xy
+>
nên x,y không đồng thời bằng 0. Suy
ra
2
2
22
3 15
2
24
2 3 3 0.
2
yy
x
x xy y

++


++= >
Vì
vậy
(3) 2 .
xy⇔=
Thay
2xy=
vào (*) ta có:
2
22
22
2
7 12 12 2
7 12 12 4
4 12 12
4 12 12
yy y
yy y
yy y
yy y
− +=
− +=

⇔

− +=
− +=
2
3 12 12 0yy
⇔ − +=
2.y⇔=
Với = 2 suy ra
4.x =
Vậy hệ PT đã cho có đúng
một nghiệm (x;y) =
(4; 2).
Thí dụ 5.Giải hệ phương trình:
22
2 2 2 22
3 4 18 6 (1)
.
3 4 18 2 6 ( ) (2)
x xy x x y
x xy x x y
+ + − +=+
+ + − += −
Lời giải. Đặt
2
3 4 18 0x xy a+ +=≥
,
2
6 6.xb+=≥
3
Số 557 (11 -2023)
Suy ra
22
34a b xy
−=
(3).Mà
22 2
4()()()(4)xy xy xy xy=+ −− ≤+
Từ (1) ta có:
ab x y−=+
(5).
Từ (3),(4),(5) suy ra:
22 2
3()a b ab− ≤−
⇔
2( 2) 0
ba b−≤
⇔
20ab−≤
(6)(do
6b ≥
).
Từ (2) có
2 22
2( )0abxy−= − ≥
(7).
Từ (6),(7) suy ra
2 0,ab−=
thay vào (7) được:
2 22
0 ( ).xy= −
Suy ra :
22
2 22
3 4 18 2 6
( )0
x xy x
xy
+ += +
−=
⇔
22
3 4 18 4( 6)x xy x
yx
+ += +
= ±
⇔
2
2
x
yx
=
=
hoặc
2
5 60x
yx
+=
= −
2.xy⇔==±
Thử lại ta thấy hệ PT đã cho chỉ có nghiệm
2.xy= =
Nhận xét: Việc tìm ra các mối liên hệ (3) và (4)
đã giúp ta giải được hệ PT.
Thí dụ 6.Giải hệ phương trình:
5
5
22 44
22 22 22
22 2
2
(1)
2
.
4 22 1
1 (2)
2 14 2 7
x y xy x y
xy xy xy
x y xy
xy y y


−+
−=


++


+ −+
=
+ −+
Lời giải. Dễ thấy
2
14 2 7 0.yy− +>
Điều kiện:
, 0;2 2 1 0.x y y xy≠ − +≥
Đặt
22
22
;
xy
a
xy
−
=
+
22
2
.
xy
b
xy
−
=
+
Dễ thấy do
,0xy≠
nên
1a ≠±
và
0.b ≠
Ta có đẳng thức:
2
2
22
22 22
2
1.
x y xy
xy xy


−−
+=


++


Suy ra:
22
1ab+=
22
10ab⇒=−≥
11b⇒− ≤ ≤
3 23
1 1 (1 ) 0b bb⇒− ≤ ≤ ⇒ − ≥
52
bb⇒≤
(3).
Tương tự :
52
aa≤
(4).
Từ (3),(4) suy ra
55 22
VT(1) 1
abab=+≤+=
(5).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
23
23
(1 ) 0
(1 ) 0
aa
bb
−=
−=
0
.
1
a
b
=
⇔
=
Với
0, 1ab= =
ta có:
22
22
22
0
2
1
xy
xy
xy
xy
−
=
+
−
=
+
22
.
2
1
xy
xy
xy
xy
= ±
⇔ ⇔=−
−
=
+
Mặt khác
44
22
VP(1)
2
xy
xy
+
=
(
)
2
22
22
11
2
xy
xy
−
=+≥
(6).
nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
22
0.
xy x y− =⇔=±
Từ (5),(6) suy ra có
VT(1) VP(1).≤
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
xy
yx
xy
= −
⇔=−
= ±
Như vậy
PT(1) .yx⇔=−
Thay
yx
= −
vào PT(2)
ta được:
2
42
4 2 21
1
2 14 2 7
x xx
x xx
+ −+
=
+ ++
2 42
4 2 2 1 2 14 2 7 (*).
x xx x xx⇔ + − += + + +
Đặt
42
2 14 2 7 0;
x xx c+ + +=≥
2
2 2 1 0.xx d
− += ≥
Suy ra:
22 4 2
2 16 8cd x x
+= + +
(7).
Từ PT(*) ta có:
4cd x= +
(**), thay vào (7) được:
22 4 2
( 4 ) 2 16 8dx d x x
+ += + +
24
2 8 (2 8) 0d xd x⇔ + − +=
2 42 2
4 ( 4 44)0
d xd x x x⇔ + − + +− =
( )
22 2
22
22 22
( 2 2)( 2 2) 0
dxx xxd
xx xx
⇔+ ++−+−
− + + −+=
( )( )
22
22 2 20dxx dxx⇔−+− +++=
4
Số 557 (11 - 2023)
2
2
22
.
1 ( 1) 0
dx x
dx
=−+
⇔
=−− + <
Ta chỉ lấy
2
2 2,dx x
=−+
thay vào (**) được:
2
2 2.cx x=++
Với c,d vừa tìm ta có:
42 2
22
2 14 2 7 2 2
2 21 2 2
x xx xx
xx xx
+ ++=++
−+=−+
42 2 2
2 22
2 14 2 7 ( 2 2)
2 2 1 ( 2 2)
x xx xx
xx xx
+ ++= ++
⇔
−+= −+
432
4 6 6 30xxxx⇔ − + − +=
( )
3
( 1) ( 1) 2 0xx⇔− − −=
3
1
.
12
x
x
=
⇔
= +
Với
1x =
thì
1.y = −
Với
3
12x = +
thì
2
1 2.y =−−
Kiểm tra thấy các nghiệm thỏa mãn điều kiện.
Vậy hệ PT đã cho có 2 nghiệm (x;y) là:
( )
1; 1−
;
( )
33
1 2; 1 2 .+ −−
Thí dụ 7.Cho hệ phương trình:
22
2
1
111 3
41
11118
xy yz zx
xy yz zx
xy yz zx
xy yz zx
− −−
++=−
+++

− −−

++=


+++


a) Giải hệ phương trình.
b) Tìm các nghiệm (x;y;z) sao cho x,y,z là các số
nguyên.
Lời giải.a)Đặt
;;.
111
xy yz zx
abc
xy yz zx
− −−
= = =
+++
Ta chứng minh mối liên hệ sau:
.a b c abc++=
Thật vậy:
abc++
111
xy yz zx
xy yz zx
− −−
=++
+++
2
( )( 1)
(1 )(1 ) 1
x zy z x
xy yz zx
−+ −
= +
++ +
2
( ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
(1 )(1 )(1 )
z x xy yz y zx
xy yz zx

− + + −+ +

=
+++
2
( )( ) ( )( )( )
.
(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )
z x xy yz y xz x y y z z x
abc
xy yz zx xy yz zx
− +−− − − −
= = =
+++ +++
Ta có hệ PT:
222
1
3
41
.
18
1
3
abc
abc
abc
++=−
++=
= −
Do
( )
2
222
222a b c a b c ab bc ca++ = + + + + +
nên có
13
.
12
ab bc ca++=−
Ta có:
( )( )( ) 0
t at bt c
− − −=
32
( )( ) 0
t a b c t ab bc ca t abc⇔ − ++ + + + − =
32
1 13 1
0
3 12 3
tt t⇔+ − +=
(*).
Suy ra a,b,c là các nghiệm của (*).
Ta có:
2
14
(*) 0
23
tt

⇔− + =


1
2
t⇔=
hoặc
4
.
3
t = −
Suy ra (a;b;c) nhận
11 4
;; ,
22 3

−


1 41
; ;,
2 32

−


411
;; .
322

−


Với (a;b;c) =
11 4
;;
22 3

−


có:
11 4
;; .
1 21 21 3
xy yz zx
xy yz zx
− −−
= = = −
+++
Từ
1 21
12 2
xy x
y
xy x
−−
=⇒=
++
(1).
Từ
1 21
12 2
yz y
z
yz y
−−
= ⇒=
++
(2).
Từ (1) và (2) suy ra:
42
1
34
2
.
21
43
2
2
x
x
x
z
x
x
x
−
−
−
+
= =
−
+
+
+
Thay vào PT :
4
13
zx
zx
−
= −
+
được :
5
Số 557 (11 -2023)
34
4
43
34
3
1.
43
x
x
x
x
x
x
−
−
+
= −
−
+
+
(luôn đúng).
Vì vậy trong trường hợp này nghiệm (x;y;z) của hệ
PT là:
11
1
11
2 13 4
t; ;
24 3
tt
tt

−−

++

với
11
4
2; t .
3
t
≠− ≠−
Giải tương tự các trường hợp còn lại.Từ đó ta có
tất cả các nghiệm (x;y;z) của hệ PT đã cho là:
11
1
11
2 13 4
t; ; ,
24 3
tt
tt

−−

++

22
2
22
2121
t; ; ,
22
tt
tt

−− −

+−

33
3
33
3 42 1
t; ; .
43 2
tt
tt

−−−−

−−

b)Xét
11
1
11
2 13 4
( ; ; ) t; ;
24 3
tt
xyz
tt

−−
=

++

Ta có
1
11
21
5
2.
22
t
tt
−
= −
++
Do x,y là số nguyên nên
1
5
.
2t
∈
+
Suy ra
1
2t +
là ước của 5.Từ đó ta
được
{ }
1
1; 3; 3; 7 .t ∈− − −
Thử lại ta được các
nghiệm (x;y;z) cần tìm là:
( )
(
)
7; 3;1 , 1; 3; 7− −−
.
Giải tương tự các trường hợp còn lại. Ta có tất cả
các nghiệm (x;y;z) sao cho x,y,z là số nguyên là:
( ) ( )
7; 3;1 , 1; 3; 7 ,− −−
( ) ( )
3; 7; 1 , 3;1; 7 ,−− −
( ) (
)
1;7;3,7;1;3.− −−
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài tập 1.Giải các phương trình:
33
22 2
3
a) (7 ) 9 56 8 .x x xx+−=+ −
55
2
50 ( 2) ( 2)
b) 2 2 4 .
4(3 2)
xx
xx
x
−− +
− −=
−
24
c) 5 ( 1) 2 3 2.x x xx+− − + −=
2 42
d) 3 7 1 2 3 7 3 2 .xx xxx x+ −− + − + =
3
22
e) 3 5 8 9 2 .x xx x− + − +=
2
2
3
24 2
f) 2 . 1.
3 33
x
xx x
+
− ++ =
3
22
g) 5 4 . 3 5 1.x x xxx+ += −++
3
22
h) 3 8 4 . 4 5 1.x x xx x− ++ + +=
Bài tập 2.Giải hệ phương trình:
( )( )( )
( )( )( )
111
1
6
30
xy yz zx
xy yz zx
xy yz zx
xyyzzx
xyyzzx
+ + =
− −−
+ ++
++=−
− −−
+ ++
=
− −−
Bài tập 3.Giải các hệ phương trình:
22
22
2
3
8 3 5 10
a) .
2
54 . 2
3
xy x x
xy
xy x
+ − +=
++
+−− =
44
162
b) .
2
3 26 3
xy
xy x y y
xy x x y
+=
+ − + −+ =+
22
4
4
22
3 4 18 3 2
c) .
3 4 1 8 34
x y xy x y
x y xy xy
− −+ − = +
− −+ − =
22
2 2 22
2 2 12 0
d) .
2 20 3 20 2
x xy y
x y x y xy
+ − +=
+ −+ −+=+
5
5
22 4 4
22 22 4 22 4
2
2
2 33
22 2
e) .
1 2 21
1 4 81
3
12
xy x y x y
xy xy x xy y
yy
xx
xy xy


−+
+=


+ + ++


+ ++
+ ++
+=
++
5
5
22 2
22 22 2
2
2
22
24
3
3
22 22
2 21
2
1
f) .
2
2
xy x y x xz
xy xy z
xy x y
zz
xy xy


− −−
+=+


++ +




−
+=−


++


3
3
2 66
22 22 2222
8( )
g) .
42
4 5 45
3
xy xy y x y
xy xy xyxy
x xy
x xy


−+
+=


++ +


+=+ + −
| 1/5
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Một điều quan trọng giúp chúng ta giải được một Vì a > 0,b ≥ 0 nên VT(4) > 0.Suy ra (4) vô
phương trình (PT) hay hệ phương trình bằng cách nghiệm.
đặt ẩn phụ đó là phát hiện được các mối liên hệ Với a = 2b ⇒ x +1 = 2 x −1
giữa các ẩn với nhau. Mối liên hệ này gồm có:
• Mối liên hệ giữa các ẩn mới. ⇔ 5
x +1 = 4(x −1) ⇔ x = .
• Mối liên hệ giữa các ẩn cũ. 3
• Mối liên hệ giữa các ẩn mới với các ẩn cũ. Thử lại ta thấy 5
x = là nghiệm PT đã cho.
Mối liên hệ giữa các ẩn được thể hiện dưới dạng 3
các đẳng thức hoặc bất đẳng thức.Sau đây là một Vậy PT đã cho có một nghiệm 5 x = . số thí dụ. 3
Thí dụ 2.Giải phương trình:
Thí dụ 1.Giải phương trình: 2 4
x +1 =1+ (x −1) x + 2x (*). 5 5
41 (x −1) − (x +1) 2 x − x −1 = . 4 2
Lời giải. Điều kiện:
Lời giải. Điều kiện: x ≥1. Ta có: 3  4 3 x ≤ − 2
x + 2x ≥ 0 ⇔ x(x + 2) ≥ 0 ⇔  . x ≥ 0 2
2x − 2 x −1 = x +1− 2 (x +1)(x −1) + x −1 • Với 3
x ≤ − 2 thì x −1< 0 ⇒VT(*) > 1 > VP(*). = 2
( x +1 − x −1) = x +1 − x −1
• Dễ thấy x = 0 là một nghiệm của PT(*).
= x +1 − x −1.
• Xét x > 0. Đặt 2 4
a = x +1 ≥1;b = x + 2x > 0.
Do đó PT đã cho tương đương với Ta có mối liên hệ sau: 5 5
4( x +1 − x −1) = 41 (x −1) − (x +1) (1). 2 2 4 2
a + b = x + x + 2x +1 (1). Đặt = + − x Từ PT đã cho có: Thay vào (1) ta
+1 = a > 0, x −1 = b ≥ 0. a 1 (x 1) . b
Từ cách đặt ta phát hiện ra mối liên hệ sau: được:  +  (x − ) 2 2 4 2 1
1 b + b = x + x + 2x +1  2 2 a − b = 2. 2 2 4 2
⇔ (x − 2x + 2)b + (2x − 2)b − (x + x + 2x) = 0 Suy ra: 2 2 2
(a − b ) = 4 (2). Khi đó PT(1) có 2 2 3 2
⇔ (x − 2x + 2)b + (2x − 2)b − (x +1)(x − x + 2x) = 0 dạng: 5 5
4(a − b) = 41b − a (3). 2 3 2
⇔ (b − x −1)[(x − 2x + 2)b + x − x + 2x] = 0
Nhân theo vế (2) và (3) ta được: b = x +1 2 2 2 5 5
(a − b ) (a − b) = 41b − a  ⇔  1 2 7 x (x )   − + .   5 4 3 2 2 3 4 5
⇔ 2a − a b − 2a b + 2a b + ab − 42b = 0   2 4 b  = −  2 4 3 2 2 3 4
⇔ (a −2b)(2a +3a b+ 4a b +10ab + 21b ) = 0  (x −1) +1 a = 2b  1 2 7 ⇔ − +  . x (x )   4 3 2 2 3 4  2 4
2a + 3a b + 4a b +10ab + 21b = 0 (4)
Do x > 0 nên b  = − < 0 (loại) . 2 (x −1) +1 Số 557 (11 -2023) 1
Với b = x +1 thì 2
a = x khi đó có hệ:
Thí dụ 4.Giải hệ phương trình:  2 2 2  x ≥ 1 −
2x − y −6x +12 + x −6x +12 = x + y (1) 2 2  x +1 = x    2 4 ⇔ x +1 = x 2 2 3 2 3  .
(2x − y −6x +12) −3 (x −6x +12) 1 4  x 2 + x = x +1   = (2) 4 2
x + 2x = (x +  1) 2 2  x y +3xy 2 x ≥ 1 − x ≥ 1 −  1+ 5
Lời giải. Ta có 2 2
x − 6x +12 = (x − 3) + 3 > 0 nên ⇔  ⇔  ⇔ + x = . 4 2 2 1 5
x − x −1= 0 x = 2
VT(1) > 0,suy ra x + y > 0.  2 Đặt 2 2
2x − y − 6x +12 = a ≥ 0;
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm 1+ 5 x = 0; x = . 2 2
x − 6x +12 = b > 0.
Từ cách đặt ta có mối liên hệ sau:
Thí dụ 3.Giải phương trình: 2 2 2 2
a − b = x − y . 4 x 3 2 x 3
−x − + + 2x + −
a + b = x + y 2 2 2 2
Kết hợp với PT(1) ta có:  2 2 2 2
a − b = x − y 4 x 3 2 x 3 = 3 − − + + 3 x 2x + − (1). 2 2 2 2
a + b = x + y ⇔ 
Lời giải.Đặt
(a + b)(a − b) = (x + y)(x − y)  + = +  = ≥ 4 x 3 2 x 3 a b x y a x 0
−x − + = a ≥ 0; 2x + − = b ≥ 0. ⇔ ⇔ (*). 2 2 2 2  
a − b = x − y b  = y > 0 PT(1) trở thành 3 3
a + b = a + b (2). Ta có 3 3 x − 3y 1 mối liên hệ sau: Thay vào PT(2) được: = 2 2 x y + 3xy 2
a + b = −x + x = − (x − )2 4 2 2 2 1 1 ≤1. 3 2 2 3
⇔ 2x − x y − 3xy − 6y = 0
Suy ra: a ≤1− b ≤1− 0 =1 và b ≤1− a ≤1− 0 =1. 2 2
⇔ (x − 2y)(2x + 3xy + 3y ) = 0 (3).
Với 0 ≤ a ≤1 ta thấy: 2
a (1− a) ≥ 0
Do x + y > 0 nên x,y không đồng thời bằng 0. Suy 3 2 6 3 6 2
⇒ a ≤ a ⇒ a ≤ a 3
⇒ a ≤ a (3). 2 2  3y  15  2 y x + +
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = 0;a =1. Tương tự  ra 2 2  2  4
2x + 3xy + 3y = > 0.Vì 3
b ≤ b (4).Đẳng thức xảy ra ⇔ b = 0;b =1. 2
Cộng vế với vế (3),(4) ta được: vậy (3) ⇔ x = 2 .
y Thay x = 2y vào (*) ta có: 3 3
a + b ≤ a + b.  2 2 2
 7 y −12y +12 = 2y
7y −12y +12 = 4y  ⇔ 
Do vậy(2) xảy ra khi b = 0 hoặc b =1. 2 2 2
 4y −12y +12 = y
4y −12y +12 = yx = 1 − x 3 2
⇔ 3y −12y +12 = 0 ⇔ y = 2. • Khi b = 0 có: 2 2x 0  + − = ⇔ 3 . 2 2 x =
Với 𝑦𝑦 = 2 suy ra x = 4.Vậy hệ PT đã cho có đúng  4
một nghiệm (x;y) = (4;2). x • Khi b = 1 có: 2 3 2x + − =1 2 2
Thí dụ 5.Giải hệ phương trình: x = 1  2 2
 3x + 4xy +18 − x + 6 = x + y (1) 2 x 5 2x 0  ⇔ + − = ⇔ 5 .  . 2 2 x = − 2 2 2 2 2
 3x + 4xy +18 − 2 x + 6 = (x − y ) (2)  4
Thử lại ta thấy phương trình đã cho có đúng hai Lời giải. Đặt nghiệm x = 1. ± 2
3x + 4xy +18 = a ≥ 0 , 2
x + 6 = b ≥ 6. 2 Số 557 (11 - 2023) Suy ra 2 2
a − 3b = 4xy (3).Mà Tương tự : 5 2 a ≤ a (4). 2 2 2
4xy = (x + y) − (x − y) ≤ (x + y) (4) Từ (3),(4) suy ra Từ (1) ta có: 5 5 2 2
a − b = x + y (5).
VT(1) = a + b ≤ a + b =1 (5). Từ (3),(4),(5) suy ra:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 2 2 a 2 3
− 3b ≤ (a − b) ⇔ 2b(a − 2b) ≤ 0
a (1− a ) = 0 a = 0  ⇔  . 2 3 b  (1− b ) = 0 b  = 1
⇔ a − 2b ≤ 0 (6)(do b ≥ 6 ). Từ (2) có 2 2 2 = = a Với ta có:
− 2b = (x − y ) ≥ 0 (7). a 0,b 1 2 2
Từ (6),(7) suy ra a − 2b = 0, thay vào (7) được:  x − y =  0 x = ± y 2 2  x + y  2 2 2
0 = (x − y ) .  ⇔  2 − xy ⇔ x = − . y 2 −  xy = 1  2 2  = 1  x + y 2 2 2 2  +
Suy ra :  3x + 4xy +18 = 2 x + 6 x y  2 2 2
(x − y ) = 0 4 4 + (x − y )2 2 2 Mặt khác VP(1) x y = = 1+ ≥ 1 (6). 2 2  + + = + 2 2 2 2 ⇔ 3x 4xy 18 4(x 6) 2x y 2x y  y = ±x
nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2  = 2  + = 2 2 ⇔ x 2 5x 6 0
x − y = 0 ⇔ x = ± . y  hoặc 
⇔ x = y = ± 2. y = xy = −x
Từ (5),(6) suy ra có VT(1) ≤ VP(1).
Thử lại ta thấy hệ PT đã cho chỉ có nghiệm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2. x = −y
Nhận xét: Việc tìm ra các mối liên hệ (3) và (4)  ⇔ y = − . x x = ± y
đã giúp ta giải được hệ PT.
Như vậy PT(1) ⇔ y = − .x Thay y = −x vào PT(2)
Thí dụ 6.Giải hệ phương trình: 2 + − + 5 5  4x 2x 2x 1 2 2 4 4
x − y   2xy x + y ta được: = 1   −   = (1) 4 2
2x +14x + 2x + 7 2 2 2 2 2 2  x + y   x + y  2x y  . 2 4 2
⇔ 4x + 2x − 2x +1 = 2x +14x + 2x + 7 (*).
 4x + 2y − 2xy +1 = 1 (2)  2 2 2
2x y +14y − 2y +  7 Đặt 4 2
2x +14x + 2x + 7 = c ≥ 0;
Lời giải. Dễ thấy 2
14y − 2y + 7 > 0. 2
2x − 2x +1 = d ≥ 0.
Điều kiện: x, y ≠ 0;2y − 2xy +1≥ 0. Suy ra: 2 2 4 2
c + d = 2x +16x + 8 (7). 2 2 −
Từ PT(*) ta có: c = d + 4x (**), thay vào (7) được: Đặt x y − = a;
2xy = .bDễ thấy do x, y ≠ 0 2 2 x + y 2 2 x + y 2 2 4 2
(d + 4x) + d = 2x +16x + 8 nên a ≠ 1
± và b ≠ 0. Ta có đẳng thức: 2 4
⇔ 2d + 8xd − (2x + 8) = 0 2 2 2 2  x − y   2 − xy  2 4 2 2
⇔ d + 4xd − (x + 4x + 4 − 4x ) = 0   +   = 1. 2 2 2 2  x + y   x + y  2 ⇔ d + ( 2 2
x + 2x + 2 − x + 2x − 2)d Suy ra: 2 2 a + b =1 2 2
⇒ a =1− b ≥ 0 2 2
− (x + 2x + 2)(x − 2x + 2) = 0 ⇒ 1 − ≤ b ≤1 3 2 3 ⇒ 1
− ≤ b ≤1⇒ b (1− b ) ≥ 0 ⇔ ( 2
d − x + x − )( 2 2
2 d + x + 2x + 2) = 0 5 2
⇒ b ≤ b (3). Số 557 (11 -2023) 3 2
d = x − 2x + 2 2
(z − x)(xy + yz − y − xz)
(x − y)(y − z)(z − x) ⇔  . = = = . abc 2 
(1+ xy)(1+ yz)(1+ zx)
(1+ xy)(1+ yz)(1+ zx) d = 1 − − (x +1) < 0 Ta chỉ lấy 2
d = x − 2x + 2, thay vào (**) được: Ta có hệ PT: 2
c = x + 2x + 2.  1
a + b + c = −
Với c,d vừa tìm ta có:  3   4 2 2  41
 2x +14x + 2x + 7 = x + 2x + 2 2 2 2
a + b + c = .  18  2 2
 2x − 2x +1 = x − 2x + 2  1 abc = −  4 2 2 2
2x +14x + 2x + 7 = (x + 2x + 2)  3 ⇔  2 2 2
2x − 2x +1 = (x − 2x + 2)
Do (a + b + c)2 2 2 2
= a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca 4 3 2
⇔ x − 4x + 6x − 6x + 3 = 0 nên có 13
ab + bc + ca = − . x = 1 12 ⇔ x − ( 3 (
1) (x −1) − 2) = 0 ⇔  . 3
Ta có: (t − a)(t − b)(t − c) = 0 x = 1+ 2 3 2
Với x =1thì y = 1. −
⇔ t − (a + b + c)t + (ab + bc + ca)t − abc = 0 1 13 1 Với 3 x =1+ 2 thì 2 y = 1 − − 2. 3 2 ⇔ t + t − t + = 0 (*). 3 12 3
Kiểm tra thấy các nghiệm thỏa mãn điều kiện.
Suy ra a,b,c là các nghiệm của (*).
Vậy hệ PT đã cho có 2 nghiệm (x;y) là: 2  1   4  (1; )1 ⇔ − + = − ; ( 3 3 1+ 2; 1 − − 2). Ta có: (*) t  t  0  2   3 
Thí dụ 7.Cho hệ phương trình: 1 ⇔ t = hoặc 4 t = − .  x − y y − z z − x 1 2 3 + + = − 1
 + xy 1+ yz 1+ zx 3
Suy ra (a;b;c) nhận   2 2 2  1 1
4   1 4 1   4 1 1    x − y   y − z   z − x  41 ; ;−  , ;−  ; , −  ; ; .   +   + =   2 2
3   2 3 2   3 2 2    1+ xy  1+ yz   1+ zx  18  
a) Giải hệ phương trình.
Với (a;b;c) = 1 1 4 ; ;−  có: 2 2 3   
b) Tìm các nghiệm (x;y;z) sao cho x,y,z là các số
x − y 1 y − z 1 z − x 4 nguyên. = ; = ; = − .
1+ xy 2 1+ yz 2 1+ zx 3
Lời giải.a)Đặt x − y = ; y − z = ; z − x a b = . c 1+ xy 1+ yz 1+ zx Từ x − y 1 2x −1 = ⇒ y = (1). 1+ xy 2 x + 2
Ta chứng minh mối liên hệ sau: y − z y −
a + b + c = . abc Từ 1 2 1 = ⇒ z = (2). 1+ yz 2 y + 2 Thật vậy: a − − − + b + c x y y z z x = + + Từ (1) và (2) suy ra:
1+ xy 1+ yz 1+ zx 4x − 2 2
(x − z)(y +1) z − x −1 x + 2 3x − 4 = + z = = .
(1+ xy)(1+ yz) 1+ zx 2x −1 4x + 3 + 2 x + 2 2
(z − x) (1+ xy)(1+ yz) − (1+ y )(1+ zx)   = z − x
(1+ xy)(1+ yz)(1+ zx) Thay vào PT : 4 = − được : 1+ zx 3 4 Số 557 (11 - 2023) 3x − 4 − x 2 2 4 x + 2 4x 2 + 3 4 3 f)
x − 2x + + .x = 1. = − 3 (luôn đúng). x − 4 3 3 3 3 1+ .x 4x+3 2 3 2
g) x + 5x + 4 = .
x 3x − x + 5 +1.
Vì vậy trong trường hợp này nghiệm (x;y;z) của hệ 2 3 2
h) 3x − 8x + 4 + . x x + 4x + 5 =1. PT là:
Bài tập 2.Giải hệ phương trình: 
2t −1 3t − 4  4 1 1  t ; ; với t ≠ 2; − t ≠ − . 1 t 2 4t 3 + + 1 1   3 1 1 1 1 1   + + = 1
Giải tương tự các trường hợp còn lại.Từ đó ta có  x − y
y − z z − x
x + y y + z z + x
tất cả các nghiệm (x;y;z) của hệ PT đã cho là:  + + = 6 −
x − y y − z z − x  
2t −1 3t − 4   2t −1 2 − t −1 1 1   t ; ; , 2 2  t ; ; ,
(x + y)( y + z)(z + x) 1 t + 2 4t +  3 2 t + 2 t −  2  = 30 1 1  2 2 
(x − y)( y − z)(z − x)  3 − t − 4 2 − t −1 3 3  t ; ; . 3 4t − 3 t −
Bài tập 3.Giải các hệ phương trình:  2 3 3  2 2 8
xy + 3x − 5x +1 = 0  − −  b)Xét 2t 1 3t 4 1 1 ( ; x y; z) =   t ; ; 1 a)  . t 2 4t 3  + + 2 2  x + y + 2 1 1  2 3
 5 + 4x − y − . x = 2  3 − Ta có 2t 1 5 1 = 2 −
.Do x,y là số nguyên nên 4 4 t + 2 t + 2 x + y =162 1 1 b)  . xy x y y 5 
+ − + 2xy − x + = x + y ∈ .
 Suy ra t + 2 là ước của 5.Từ đó ta  3 2 6 3 t + 2 1 1 4 2 2 4
 3x − 4y −1 + 8xy − 3 = x + 2y được t ∈ 1 − ; 3 − ;3; 7
− .Thử lại ta được các c)  . 1 { } 2 2
 3x − 4y −1 + 8xy − 3 = 4xy
nghiệm (x;y;z) cần tìm là: ( 7 − ;3; ) 1 ,( 1 − ; 3; − 7) . 2 2
x + 2xy − 2y +12 =  0
Giải tương tự các trường hợp còn lại. Ta có tất cả d)  . 2 2 2 2
các nghiệm (x;y;z) sao cho x,y,z là số nguyên là:
 x + 2y − 20 + 3x − y + 20 = 2x + y ( 5 5 7 − ;3; ) 1 ,( 1 − ; 3; − 7), ( 3 − ;7;− ) 1 ,(3;1; 7 − ),  2 2 4 4  2xy   x − y  3x + 3y   +   = ( 2 2 2 2 4 2 2 4 1; 7 − ;3),(7; 1 − ; 3 − ).  x + y   x + y
2x + 2x y + 2y e) . 2 2 1
 + 4x + 8x +1 1+ 2y + 2y +1
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ  + = 3  1+ xy 2 + xy
Bài tập 1.Giải các phương trình: 5 5  2 2 2  2xy   x − y x − 2xz −1   +   = 2 + 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2
a) x + (7 − x) = 9 + 56x − 8x .  x + y    x + y z +1 f ) . 2 2 2 2 5 5 
50 (x − 2) − (x + 2)  2xy   x − y  2 4 2
b) 2x − 2 x − 4 = . 3    + 3   = 2z − z 2 2 2 2 4(3x − 2)
  x + y   x + y  3 3 2 4
c) x + 5 − (x −1) x + 2x − 3 = 2.  2 6 6 
xy   xy − y x + y   +   = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 d) 3x
+ 7x −1 − 2x + 3x − 7x + 3 = 2 . xx + y   x + y
8x y (x + y ) g) .  4 2 2 3 2
e) 3 − x + 5x − 8x + 9 = 2 . x 4x + = 5 + + 4xy − 5  x 3xy Số 557 (11 -2023) 5