Ngân hàng Bài tập xác suất thống kê hay, hấp dẫn nhất
Tổng hợp Bài tập môn xác suất thống kê của Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh giúp bạn ôn tập và đạt kết quả cao cuối học phần. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Xác suất thống kê (Toán 2)
Trường: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Môn:
Trường:
Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
BÀI TẬP XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ( 03 chỉ)
BÀI TẬP CHƯƠNG 2: PHÉP TÍNH XÁC SUẤT
A. Không gian mẫu và biến cố:
Bài 1: Lớp có 10 sinh viên giỏi toán, 7 sinh viên giỏi anh và 3 sinh viên vừa giỏi toán, giỏi anh.
A là biến cố sinh viên giỏi toán .
B là biến cố sinh viên giỏi anh.
Tìm C = biến cố sinh viên giỏi 2 môn = ?
D = biến cố sinh viên giỏi ít nhất 1 môn = ? (đã có đáp án)
Bài 2: Tung 1 con xúc xắc. Các biến cố nào xung khắc, các biến cố nào đối lập nhau? A={1,3,5} B={2,3,6} C={2,6} D={1,4} E={2,4,6}
B. Giải tích tổ hợp:
Bài 3: 5 người lên 7 toa tàu một cách ngẫu nhiên. Có bao nhiêu trường hợp xảy ra a/ có thể xảy ra (16807)
b/ 5 người cùng lên toa thứ 3
c/ 5 người cùng lên một toa
d/ 5 người lên 5 toa đầu và mỗi người một toa. (120)
Bài 4 : Ba người A, B, C đặt vé ô tô hãng Z đi đến cùng một nơi, cùng ngày và cùng giờ.
Hãng xe Z sắp xếp 3 người này lên 5 xe một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất 3 người này
đi trên 3 xe khác nhau. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 5: Một lô hàng có 10 sp trong đó có 8 sp tốt. Lấy ngẫu nhiên 1 sp từ lô hàng này.
Tính xác suất để được sản phẩm tốt.
Bài 6: Trong một hộp có 6 chiếc tất mầu trắng và 8 chiếc tất màu đen. Lấy ngẫu nhiên 2
chiếc từ hộp. Tính xác suất lấy được 2 chiếc cùng mầu. Người lấy cần lấy ra tối thiểu bao
nhiêu chiếc để chắc chắn lấy được 2 chiếc cùng màu. 1
Bài 7: Một cửa hàng có 30 máy tính, trong đó có 20 máy tính do cty A sản xuất và 10
máy tính do cty B sản xuất. Một khách hàng đến cửa hàng mua 3 máy tính. Giả sử khả
năng được mua của mỗi máy là như nhau. Tính xác suất để khách hàng này mua được 2
máy của A và 1 máy của B.
Bài 8: Một hộp có 8 quả cam và 7 quả táo. Lấy ra 5 quả. Tính Xác suất lấy được ít nhất 1 quả cam trong 5 quả.
Bài 9: Một lớp có 30 sinh viên, trong đó có 5 nữ sinh giỏi tiếng anh; 6 nam sinh giỏi vi
tính. Chọn ngẫu nhiên 2 sinh viên lớp này. Tính xác suất chọn được 2 sinh viên cùng giới
và cùng giỏi tiếng anh hoặc cùng giỏi vi tính. Đs: 5/87
Bài 10: Lớp A có 30 sinh viên trong đó có 20 sinh viên nữ. Lớp B có 40 sinh viên trong
đó có 28 sinh viên nữ. Gọi ngẫu nhiên 2 sinh viên lớp A và 2 sinh viên lớp B. Tính xác
suất trong các sinh viên gọi được có hai sinh viên nữ.
Bài 11: Có 2 lô hàng: lô I gồm 10 sản phẩm trong đó có 2 phế phẩm; lô II gồm 8 sản
phẩm trong đó có 1 phế phẩm. Từ mỗi lô lấy ngẫu nhiên cùng lúc 2 sản phẩm để kiêm
tra. Tình xác suất cả 4 sản phẩm đều tốt. Đs: 7/15
Bài 12: Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ một lô hàng có 15 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm
xấu bỏ vào một lô khác có 13 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu. Tính xác suất để số sản
phẩm tốt hoặc số sản phẩm xấu trong 2 lô bằng nhau. Đs: 5/38
Bài 13: Một lô hàng có 50 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm. Một người mua kiểm tra
bằng cách lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm từ lô hàng, nếu có không quá một phế phẩm trong
các sản phẩm được lấy ra thì mua lô hàng. Tính xác suất lô hàng được mua. Đs: 0,8258
Bài 14: Một lô hàng gồm 9 sản phẩm loại 1; 6 sản phẩm loại 2. Lấy ngẫu nhiên 2 sản
phâm từ lô hàng này. Tính xác suất 2 sản phẩm lấy ra khác loại . Đs: 18/35
Bài 15: Cho hai đường thẳng song song ;
, B ,C , D , E 1 2 . Năm điểm A1 1 1 1 1 nằm trên nằm 1 và sáu điểm A
, B ,C , D , E , F
trên . Lấy ngẫu nhiên 3 điểm trong 11 2 2 2 2 2 2 2
điểm. Tính xác suất lấy được 3 đỉnh của một tam giác. Đs: 9/11
Bài 16: Có 3 đường thẳng song song nằm ngang cắt 4 đường thẳng song song thẳng
đứng. Tính xác suất để được một hình chữ nhật ? (đáp án: xem video bài giải)
Bài 17: Gieo đồng thời 2 con xúc sắc đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện
trên 2 con xúc sắc bằng 9.
Bài 18: Có 5 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 5. Lấy ngẫu nhiên 3 tấm và xếp thành một
hàng, tính xác suất để được một số chia hết cho 3. 2
Bài 19: Xếp chỗ 9 người trong đó có 2 người A và B vào một bàn dài. Tính xác suất hai
người A và B ngồi cách nhau đúng 3 người. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 20: Mỗi bàn có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 3 ghế. Người ta muốn xếp cho
3 sinh viên nữ và 3 sinh viên nam vào bàn trên. Tính xác suất để hai sinh viên bất kỳ ngồi
đối diện thì khác giới tính nhau? (đáp án: xem video bài giải)
Bài 21*: Xếp ngẫu nhiên 30 sinh viên, trong đó có 2 sinh viên là A và B, ngồi trong 1
phòng có 15 bàn, mỗi bàn có 3 ghế. Tính xác suất để 2 sinh viên A và B ngồi cùng 1 bàn. Đs: 0,04545
Bài 22*: Chia ngẫu nhiên 30 sản phẩm, trong đó có 20 sản phẩm loại 1 và 10 sản phẩm
loại 2 thành 2 phần, mỗi phần 15 sản phẩm. Tính xác suất để phần nào cũng có ít nhất 9
sản phẩm loại 1. Đ/s: 0,7549
Bài 23: Trong một lô hàng có 3 sản phẩm loại 1, 4 sản phẩm loại 2 và 5 sản phẩm loại 3.
Chia ngẫu nhiên 12 sản phẩm này ra làm 2 phần bằng nhau. Tính xác suất để mỗi phần
đều có cả 3 loại sản phẩm
Bài 24: Một hộp chứa 18 sản phẩm loại I và 7 sản phẩm loại II. Hai người lần lượt lấy
ngẫu nhiên không hoàn lại mỗi người 2 sản phẩm từ hộp này. Tính xác suất trong các sản
phẩm lấy ra có ít nhất 2 sản phẩm loại I. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 25: Một hộp có 20 vé, trong đó có 4 vé trúng thưởng. Hai người lần lượt lấy ngẫu
nhiên mỗi người 2 vé từ hộp này. Tính xác suất để mỗi người lấy được ít nhất 1 vé trúng thưởng.
Bài 26: Xếp chỗ ngẫu nhiên 4 sinh viên vào 3 phòng. Tính xác suất phòng nào cũng có
sinh viên trong 4 sinh viên này. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 27*: 6 khách vào 1 ngân hàng có 4 quầy phục vụ. Tính xác suất để quầy nào cũng
có khách đến. Đs: 0,3808
Bài 28*: Trong một lớp có 30 sinh viên có 8 sinh viên giỏi tiếng anh; 7 sinh viên giỏi tin
học và 4 sinh viên giỏi cả 2 môn. Chọn ngẫu nhiên 4 sinh viên từ lớp để thực hiện nhiệm
vụ. Tính xác suất 4 sinh viên này hoàn thành nhiệm vụ, biết nhiệm vụ chỉ có thể hoàn
thành nếu 4 sinh viên này phải có sinh viên giỏi Anh và phải có sinh viên giỏi vi tính. Đs: 0,551
Bài 29* Có 4 cầu thủ mặc áo có số lần lượt là 1, 2, 3, 4 ngồi ngẫu nhiên vào 4 ghế được
đánh số là 1, 2, 3, 4. Tính xác suất để có ít nhất một cầu thủ có số áo và số ghế trùng nhau. 3
C. Công thức xác suất cơ bản:
* Công thức cộng, điều kiện, nhân:
Bài 30 (công thức cộng): Một công ty sản xuất giày dép thống kê được trong số các
khách đến xem sản phẩm có 50% khách mua giày (những người này có thể mua dép hoặc
không), 40% khách mua dép (những người này có thể mua giày hoặc không) và 20%
khách mua cả giày và dép. Tính xác suất để một khách đến xem có mua sản phẩm của công ty.
Bài 31: Công ty M đấu thấu 2 dự án A, B với xác suất trúng thầu lần lượt là 0,4 và 0,3.
Xác suất cả 2 dự án cùng trúng thầu là 0,1
a/ Tính xác suất có ít nhất 1 dự án trúng thầu.
b/ Tính xác suất không có dự án nào trúng thầu.
c/ Tính xác suất chỉ có dự án A trúng thầu. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 32 : Chia ngẫu nhiên 12 sản phẩm gồm 7 sản phẩm loại A và 5 sản phẩm loại B
thành 3 phần, mỗi phần có 4 sản phẩm. Tính xác suất có ít nhất một phần chỉ có đúng 1
loại sản phẩm. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 33 (công thức điều kiện): Gieo 3 con xúc sắc đồng chất thấy số chấm xuất hiện trên
3 mặt là khác nhau.Tính xác suất có ít nhất một mặt có số chấm chia hết cho 5 xuất hiện.
(đáp án: xem video bài giải)
Bài 34 (công thức nhân): Một thủ kho có 1 chùm chìa khóa gồm 9 chiếc bề ngoài giống
hệt nhau, trong đó chỉ có 2 chiếc mở được kho. Anh ta thử ngẫu nhiên từng chìa (chìa nào
không đúng thì mở ra). Tính xác suất anh ta mở được cửa ở lần thứ ba. Đs: 1/6
Bài 35: Một hộp có 4 sản phẩm A và 6 sản phẩm B. Một người lấy ngẫu nhiên lần lượt
không hoàn lại từng sản phẩm trong hộp cho đến khi lấy được các sản phẩm khác loại thì
dừng. Tính xác suất người này dừng lại ở lần lấy thứ 3.
Bài 36: Một chi tiết được gia công qua 3 công đoạn liên tiếp với khả năng gây ra khuyết
tật cho chi tiết ở mỗi công đoạn là độc lập và lần lượt là 0,1; 0,05 và 0,04.
Tính xác suất sau khi gia công chi tiết có lỗi. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 37: Một phân xưởng có 3 máy hoạt động độc lập. Xác suất các máy đó hỏng trong
một ngày làm việc tương ứng là 0,02; 0,04; 0,07. Biết có đúng 1 máy bị hỏng, tính xác
suất máy thứ nhất bị hỏng. Bài 38:
Công ty M đầu tư vào 2 dự án A, B một cách độc lập, với xác suất dự án A, B
mang lại lợi nhuận lần lượt là 0,7 và 0,8. Biết chỉ có một dự án mang lại lợi nhuận, tính
xác suất đó là dự án A. (đáp án: xem video bài giải) 4
Bài 39 : Trong lớp có 40 sinh viên nam và 10 sinh viên nữ. Gọi ngẫu nhiên lần lượt
từng sinh viên cho đến khi được 3 sinh viên nam thì dừng. Tính xác suất sinh viên gọi ra
thứ hai là nam biết rằng gọi tới sinh viên thứ 5 thì dừng.
Bài 40 : Biết �(�) = 0,5; �(�) = 0,4 và �(��) = 0,2.
Tính xác suất ít nhất một trong hai biến cố �, � xảy ra. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 41: Biết �(�) = 0,5; �(�) = 0,4 và �(��) = 0,3
Tính xác suất hai biến cố �, � không xảy ra. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 42: Biết �(�) = 0,5; �(�) = 0,4 và �(��) = 0,2.
1/ Tính xác suất chỉ có cố � xảy ra.
2/ Biết biến cố B đã xảy ra tính xác suất biến cố � xảy ra. Bài 43:
Biết �(�) = 0,4; �(�) = 0,65 và �(��) = 0,25
Tính xác suất chỉ có biến cố � xảy ra. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 44: Cho hai biến cố A, B xung khắc nhau và P(A) = 0,3 ; P(B) = 0,4 . Câu nào dưới đây sai:
a / P(A / B) = 0
b / P(AB) = 0,12
c / P(A È B) = 0,7
d / P(A Ç B) = 0,3
Bài 45 : Tính Biết �(�) = 0,3; �(�) = 0,25; �(�) = 0,4 và
�(��) = 0,1; �(�� ) = 0,2; �(��) = 0,15; �(���) = 0,05
1/ Tính xác suất không có biến cố nào trong 3 biến cố �, �, � xảy ra
2/ Tính xác suất 2 biến cố A và B không xảy ra
3/ Tính xác suất có chỉ có biến cố C xảy ra trong 3 biến cố �, �, �
4/ Tính xác suất có ít nhất một biến cố A hoặc B xảy ra biết biến cố C xảy ra
Bài 46 : Thống kê tại một cửa hàng tiện lợi cho thấy có 50% khách hàng đến mua đồ ăn
và 35% khách hàng đến mua đồ uống. Trong số những người đến mua đồ ăn có 20% là
mua đồ uống. Tính xác suất 1 khách hàng đến cửa hàng này mua ít nhất một nhóm mặt
hàng đồ ăn, thức uống. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 47 : Khu vực A trong thời gian thiếu điện bị cắt điện theo quy luật:
+) ngày lẻ xác suất bị cắt điện là 0,2;
+) ngày chẵn xác suất bị cắt điện khi ngày lẻ trước đó bị cắt điện là 0,1 còn nếu ngày lẻ
trước đó không bị cắt điện thì xác suất bị mất điện là 0,4. 5
Hỏi khả năng ngày chẵn bị mất điện là bao nhiêu?
Bài 48 : Thống kê tại một cửa hàng tạp hóa cho thấy có 40% khách hàng đến mua bột
giặt. Trong số những người đã mua nước xả có 35% mua bột giặt. Trong số những người
đến mua bột giặt có 20% là mua nước xả. Tính xác suất 1 khách hàng đến cửa hàng này
mua ít nhất một nhóm mặt hàng bột giặt, nước xả.
*Công thức đầy đủ:
Bài 49 : Ở một trạm xăng, 40% khách đổ xăng A95, 40% khách đổ xăng A92, và 20%
khách đổ xăng E5. Trong số những khách đổ xăng A95 chỉ có 50% khách đổ đầy bình;
với xăng A92 thì chỉ có 40% khách đổ đầy bình và với xăng E5 thì có 30% khách đổ đầy
bình. Biết người khách đến trạm xăng đã đổ đầy bình, tính xác suất người này đổ xăng A95.
Bài 50: Trong một kho hàng có 40% sản phẩm công ty A; 35 % sản phẩm công ty B, còn
lại là sản phẩm công ty C. tỷ lệ phế phẩm của công ty A là 1,5%; của công ty B là 1,7%
và của công ty C là 2%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho này. Tính xác suất để được phế phẩm. Đs 0,01695
Bài 51: Một công ty có 3 phân xưởng I, II, III cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỷ lệ
phế phẩm của phân xưởng I, II, III lần lượt là 2%,3%,5%. Một lô hàng của công ty này
có 48% sản phẩm của phân xưởng I, 22% sản phẩm của phân xưởng II, 30% sản phẩm
của phân xưởng III. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng, biết sản phẩm đó là phế
phẩm. Tính xác suất phế phẩm đó là của phân xưởng I. Đs : 30,7%
Bài 52: 2% dân số một vùng có người mắc một loại bệnh A. Một loại xét nghiệm cho ra
kết quả dương tính đối với 94% người có bệnh và 4% với người không mắc bệnh. Già sử
các xét nghiệm được áp dụng độc lập với hai mẫu máu khác nhau từ cùng một cá thể
được lựa chọn ngẫu nhiên.
a/ Một người nhận được kết quả dương tính, tính xác suất cá nhân này thật sự mắc bệnh.
b/ Tính xác suất cả hai kết quả xét nghiệm có cùng chung 1 kết luận
Bài 53: Ba cửa hàng bán nón bảo hiểm. Tỉ lệ nón không đạt tiêu chuẩn ở cửa hàng 1,2,3
lần lượt là 10%; 15%; 20%. Một người đến ngẫu nhiên một cửa hàng mua một nón thì
được nón đạt chất lượng. Tính xác suất người này mua ở cửa hàng thứ hai. Đs: 1/3
Bài 54: Một người có 4 nơi để đi câu cá với xác suất câu được cá lần lượt là 0,2; 0,25;
0,3 và 0,35. Người này đến ngẫu nhiên 1 nơi để câu cá. Tính xác suất người này câu được cá. 6
Bài 55: Có 3 lô hàng. Lô 1 có 8 sp tốt và 2 sp xấu. Lô 2 có 7 sp tốt và 1 sp xấu.Lô 3 có 9
sp tốt và 3 sp xấu. Chọn ngẫu nhiên 1 lô, rồi từ lô này lấy ra 2 sp thì được 2 sp khác loại.
tính xác suất 2 sp này là 2 sp của lô hàng 2. a/ 0,25 b/ 0,2678 c/0,2463 d/0,5463
Bài 56: Có 3 kiện hàng. Kiện thứ nhất có 15 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Kiện thứ
hai có 17 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Kiện thứ ba có 19 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm
xấu. Lấy ngẫu nhiên một kiện hàng rồi từ kiện đó chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm và được 2
sản phẩm khác loại. Tính xác suất các sản phẩm được lấy từ kiện thứ hai. Đs: 0,39
Bài 57: Có 3 lô hàng. Lô 1: 8 sản phẩm tốt – 2 sản phẩm xấu. Lô 2: 7 sản phẩm tốt và 1
sản phẩm xấu. Lô 3: 9 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên một lô rồi từ lô
đó lấy ra 2 sản phẩm thì được 2 sản phẩm khác loại. Tính xác suất 2 sản phẩm này là 2
sản phẩm của lô 2. Đs:0,2464
Bài 58 : Có 3 gói quà được gửi tới tặng cho trẻ em ở nơi A. Gói thứ nhất đóng gói 25
bóng xanh và 15 bóng đỏ; gói thứ hai đóng gói 25 bóng xanh và 25 bóng đỏ; gói thứ ba
đóng gói 25 bóng xanh và 35 bóng đỏ. Một người chọn ngẫu nhiên một gói quà và từ đó
lấy ngẫu nhiên ra một quả bóng, thấy là bóng mầu đỏ. Tính xác suất quả bóng lấy ra này của gói quà thứ 2.
Bài 59: Một thùng có 3 túi I và 5 túi II. Túi I có 3 bi xanh, 4 bi đỏ. Túi II có 5 bi xanh, 7
bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên một túi từ thùng, sau đó lấy 2 bi từ túi vừa lấy được.
a/Tính xác suất lấy được hai bi xanh.
b/ Giả sử lấy được 2 bi xanh, tính xác suất bi xanh này của túi I
Bài 60: Một lô hàng chứa 70 sản phẩm của nhà máy A và 30 sản phẩm của nhà máy B.
Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lô hàng này để kiểm tra và thấy cả 2 sản phẩm đều đạt chuẩn.
Tính xác suất để cả 2 sản phẩm đạt chuẩn này đều là sản phẩm của nhà máy A, biết xác
suất mỗi sản phẩm của nhà máy A đạt chuẩn là 0,9 và xác suất mỗi sản phẩm của nhà
máy B đạt chuẩn là 0,95
(đáp án: xem video bài giải)
* Công thức Bernoulli:
Bài 61: Công ty M đấu thấu 2 dự án A, B một cách độc lập với xác suất trúng thầu lần lượt là 0,4 và 0,3.
a/ Tính xác suất có ít nhất 1 dự án trúng thầu.
b/ Tính xác suất không có dự án nào trúng thầu.
c/ Tính xác suất chỉ có dự án A trúng thầu. (đáp án: xem video bài giải) 7
Bài 62*: (2011) Một người đem bán 5 lô hàng; mỗi lô có 10 sản phẩm, trong đó có 1 sản
phẩm hỏng. Người mua lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô 2 sản phẩm để kiểm tra, nếu lô nào có 2
sản phẩm kiểm tra đều tốt thì mua lô đó. Tính xác suất người này bán được ít nhất 2 lô. Đs: 0,99328
Bài 63*: Có 5 sinh viên trường Đại học M và 4 sinh viên trường Đại học P cùng nộp hồ
sơ tuyển dụng vào công ty X. Xác suất mỗi sinh viên trường M; P được tuyển lần lượt là
0,6 và 0,5. Tính xác suất có đúng 2 sinh viên được chọn trong 9 sinh viên này biết việc
lựa chọn các ứng viên là độc lập. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 64*: Có 5 người tốt nghiệp loại Khá, 2 người tốt nghiệp Trung bình và 3 người tốt
nghiệp loại Giỏi cùng ứng tuyển vào công ty A. Thống kê cho thấy xác suất một người
tốt nghiệp loại Giỏi, Khá, Trung bình được tuyển là 0,8; 0,7 và 0,5; Biết có đúng 1 người
được tuyển, tính xác suất người đó tốt nghiệp loại Khá. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 65*: (2009) Công ty A cần tuyển nhân viên. Có 2 sinh viên tốt nghiệp loại giỏi, 5
sinh viên tốt nghiệm loại khá và 9 sinh viên tốt nghiệp loại trung bình dự tuyển vào công
ty A. Xác suất để một sinh viên tốt nghiệp loại giỏi, khá, trung bình được dự tuyển vào
công ty A tương ứng là 0,9 ; 0,7 ; 0,5. Công ty A chỉ tuyển được 1 người. Tính xác suất
để người được tuyển tốt nghiệp loại trung bình. Đs: 0,2327 8
CHƯƠNG 3: BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC và PHÂN PHỐI XÁC SUẤT A. Biến rời rạc:
Bài 1 : Hộp có 10 viên bi đỏ và 4 bi xanh. Lấy ra 3 bi. X là số bi đỏ trong 3 bi lấy ra.
a/ Tìm hàm xác suất của X
b/ Tìm hàm phân phối tích luỹ của X. c/ Tính kì vọng của X
d/ Tính phương sai của X, độ lệch chuẩn của X
(đáp án: xem video bài giải)
Bài 2: Tính a/ E(5X 7Y 1)
b/V (4X 2Y 3) (đáp án: xem video bài giải)
Bài 3: Cho X là BNN có luật phân phối. Tính P(X ³ 20)? X 10 25 40 P 0,2 0,19 0,61
Bài 4: Gọi X là điểm số của học sinh một lớp, có hàm phân phối xác suất như sau : X 3 4 6 7 8 P 0.2 0.2 0.1 0.2 0.3
Tìm điểm trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn, giá trị tin chắc và trung vị?
Bài 5: Cho BNN X có tập các giá trị có thể có là 0, 1, 3 và 5. U 0 1 3 5 PX(u) 0,1 0,15 p 0,35 1) p? đ/s: 0,4
2) P(13) P(X2>1)= ? đ/s: 0,75
4) P((X>1)/(X<5)) ? đ/s: 8/13 5) E(X)=? đ/s: 3,1 6) V(X)=? đ/s : 2,8
Bài 6: Một hộp có 4 chiếc tất màu xanh, 6 chiếc tất mầu trắng và 8 chiếc tất mầu đen.
Một người lấy ngẫu nhiên ra 2 chiếc tất. Gọi X là số tất màu xanh được lấy ra.
a. Hãy tìm hàm xác suất của X; từ đó tính E(X); V(X).
b. Người này cần lấy ra ngẫu nhiên mấy chiếc tất để chắc chắn lấy được 2 chiếc cùng mầu? 9
Bài 7: Một kiện hàng có 4 sản phẩm loại A và 6 sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên không
hoàn lại từ kiện ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại A trong hai sản phẩm lấy ra. Tính phương sai của X. a/ 87/225 b/ 32/75 c/ 0,5267 d/ cả a/b/c đều sai
Bài 8*: Trong một chiếc hộp có 5 bóng đèn trong đó có 3 bóng tốt và 2 bóng hỏng. Một
người thử lần lượt từng chiếc cho đến khi lấy được 2 bóng tốt thì dừng lại. Gọi X là số
lần thử bóng đèn của người này. Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.
Bài 9: Lấy ngẫu nhiên 6 sản phẩm trong một lô hàng có 60 sản phẩm của nhà máy A và
40 sản phấm của nhà máy B. Gọi X là số sản phẩm của nhà máy A trong các sản phẩm
lấy ra. Tính xác suất có nhiều nhất 3 sản phẩm của nhà máy A.
Bài 10: Một hộp có 5 bi nặng 10g; 5 bi nặng 50g và 2 bi nặng 20g. Chọn ngẫu nhiên 1 bi
và gọi X là trọng lượng bi đó. Tính EX; VX ; σ ( X ) ; Mod X.
Bài 11: Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 7 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu
nhiên ra 3 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm xấu lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của
X. Tính kì vọng và phương sai X, Mod X, Med X. Đs: 0,49
Bài 12: Một lô hàng có 9 sản phẩm loại 1 và 6 sản phẩm loại 2. Lấy ngẫu nhiên 2 sản
phẩm từ lô hàng này. Gọi X là số sản phẩm loại 1 còn lại trong lô hàng. Tìm luật phân
phối xác suất của X và tính EX, DX. Đs: EX=7,8
Bài 13: Một tổ sản xuất 3 mô tơ hoạt động độc lập nhau, xác suất bị hư của mô tơ 1,2,3
trong ca làm việc lần lượt là 0,1 ; 0,2 ; 0,3. Gọi X là số mô tơ bị hư trong ca làm việc. Tính EX. a/ 0,45 b/ 0,3 c/ 0,6 d/ 0,8
Bài 14: Lớp A có 30 sinh viên trong đó có 20 sinh viên nữ. Lớp B có 40 sinh viên trong
đó có 25 sinh viên nữ. Gọi ngẫu nhiên 2 sinh viên trong lớp A và 2 sinh viên trong lớp B.
Gọi X là số sinh viên nữ trong số 4 sinh viên gọi ra. Tìm hàm xác suất của X, từ đó tính
số sinh viên nữ trung bình trong số 4 sinh viên gọi ra.
Bài 15*: Xác suất mỗi sản phẩm của công ty A hỏng trong thời gian bảo hành là 0,1.
Khi bán 1 sản phẩm lãi 100 000 đ, nhưng nếu phải bảo hành thì lỗ 400 000đ. Công ty đã
bán được 45 000 sản phẩm. Gọi X là số tiền lãi công ty A thu được. Tính EX (đáp án: xem video bài giải)
Bài 16: Xác suất mỗi sản phẩm của công ty A hỏng trong thời gian bảo hành là 0,15. Khi
bán 1 sản phẩm lãi 100.000 đ, nhưng nếu phải bảo hành thì lỗ 300.000đ. Công ty đã bán
được 55.000 sản phẩm. Gọi X là số tiền lãi công ty A thu được. Tính EX . Đs: 2200 triệu 10
Bài 17*: Lấy ngẫu nhiên từng sản phẩm từ lô hàng có 3 sản phẩm loại I và 2 sản phẩm
loại II cho đến khi số sản phẩm loại I và loại II còn lại bằng nhau thì dừng. Gọi X là số
sản phẩm lấy ra. Tìm hàm xác suất của X, tính E(X) và V(X).
B. Phân phối xác suất:
* Phân phối nhị thức:
Bài 18 : Mua 20 tờ vé số, xác suất trúng mỗi tờ là 0,3. Gọi X là số tờ trúng trong 20 tờ.
a/ Tính xác suất để trúng được 2 tờ.
b/ Tính EX ; Var X (đáp án: xem video bài giải)
Bài 19: Lấy 12 sản phẩm từ kho, xác suất được chính phẩm là 0,98305. Gọi X là số chính phẩm lấy được.
a/ Tính xác suất lấy được 8 chính phẩm.
b/ Tính kì vọng, phương sai. Đ/s: 11,8 ; 0,19995
Bài 20: Một người đem bán 5 lô hàng; mỗi lô có 10 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm
hỏng. Người mua lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô 4 sản phẩm kiểm tra, nếu lô nào cả 4 sản
phẩm kiểm tra đều tốt thì mua lô đó. Gọi X là số lô người này bán được.
1/ Tính kỳ vọng và phương sai của X.
2/ Tính xác suất người này bán được cả 5 lô hàng?
Bài 21: Một lô hàng có 10000 sản phẩm. Số sản phẩm loại B có trong lô là 2000. Người
mua hàng lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm từ lô.
a/ Gọi X là số sp loại B trong 10 sp, tính EX, VarX.
b/ Nếu trong 10 sản phẩm có quá 2 sản phẩm loại B thì mua lô đó. Tính xác suất lô hàng được mua?
Bài 22: Một số điện thoại cụ thể được sử dụng để nhận cả cuộc gọi thoại và tin nhắ fax.
Giả sử 20% các cuộc gọi đến bao gồm các tin nhắn fax. Xét một mẫu của 25 cuộc gọi đến. Tính xác suất:
a/ Tối đa 5 cuộc gọi đến là tin nhắn fax
b/ Chính xác 5 cuộc gọi đến là tin nhắn fax 11
c/ Ít nhất 5 cuộc gọi đến là tin nhắn fax
d/ Hơn 6 cuộc gọi đến là tin nhắn fax
e/ Tính số cuộc gọi thông báo fax trung bình, độ lệch chuẩn trong số 30 cuộc gọi đến.
f/ Tính xác suất trong 30 cuộc gọi đến số lượng có liên quan đến việc truyền fax lớn hơn
số cuộc gọi thông báo fax trung bình 2 độ lệch chuẩn.
Bài 23: Trong xưởng thực hành có 10 máy cơ khí. Xác suất một chiếc máy bị hỏng là 5%.
a. Tính xác suất không có chiếc máy nào bị hỏng.
b. Số máy bị hỏng trung bình là bao nhiêu?
c. Biết có ít nhất 1 máy bị hỏng, tính xác suất số máy bị hỏng là không quá 2 máy
Bài *24 : Thống kê cho thấy 60% khách hàng tới cửa hàng S mua bột giặt chọn loại bột
giặt E và số còn lại chọn loại bột giặt H. Trên kệ của cửa hàng lúc này còn 10 gói bột giặt
E và 8 gói bột giặt H. Tính xác suất số bột giặt này đáp ứng được nhu cầu của 12 khách
hàng mua bột giặt tiếp theo.
* Phân phối siêu bội:
Bài 25: Một hộp có 50 viên bi trong đó có 10 bi màu xanh. Lấy ra 20 viên bi. Gọi X là số
bi xanh trong 20 viên lấy ra.
a/ Tính xác suất có 6 viên bi màu xanh.
b/ Tính EX ; Var X (đáp án: xem video bài giải)
Bài 26: Một cửa hàng điện thoại có 20 chiếc điện thoại Samsung, trong đó có 10 chiếc có
kết nối mạng 5G. Giả sử có 6 chiếc được đặt trên kệ trưng bày, gọi X là số chiếc điện
thoại có 5G trong các chiếc trên kệ.
a/ Xác định phân phối của X
b/ Tính xác suất P( X 2) ; P( X 2) ; P( X 2)
* Phân phối nhị thức âm:
Bài 27: Xác suất trúng của một tờ vé số là 0.1.
a/ Gọi Y là số tờ vé số được mua đến khi nào trúng 1 tờ thì dừng. Tính xác suất phải mua 10 tờ. Tìm EY, VY
b/ Gọi Y là số tờ vé số được mua đến khi nào trúng 3 tờ thì dừng. Tính xác suất phải mua
10 tờ . Tìm EY, VY (đáp án: xem video bài giải) 12
Bài 28: Một công ty dầu mỏ thực hiện một nghiên cứu địa chất và thấy rằng khi đào một
giếng dầu có 20% khả năng có dầu .
a/ Tính xác suất đào đến giếng thứ ba thì mới có dầu?
b/ Tính xác suất được ba giếng dầu khi đào đến giếng thứ bảy?
c/ Tính trung bình và phương sai số giếng phải đào nếu công ty muốn có 3 giếng dầu?
Bài 29: Nhà máy M sản xuất sản phẩm với xác suất không đạt chuẩn của mỗi sản phẩm
là 0,045. Kiểm tra ngẫu nhiên từng sản phẩm của nhà máy M cho đến khi được 3 sản
phẩm không đạt chuẩn thì dừng. Gọi X là số sản phẩm cần kiểm tra.
Tính �(�), �(�) và �(� ≤ 10).
Bài 30: Giả sử rằng P(sinh con trai)=0,5 . Một cặp vợ chồng muốn sinh con đến khi nào có con trai thì dừng.
a/ Tính xác suất họ phải sinh 4 đứa con.
b/ Tính số con trung bình họ phải sinh
Bài 31: Giả sử rằng P(sinh con trai)=0,5 . Một cặp vợ chồng muốn sinh con đến khi nào có hai con trai thì dừng.
a/ Tính xác suất gia đình này có năm người con là bao nhiêu?
b/ Tính xác suất gia đình này có tối đa năm người con là bao nhiêu?
Bài 32: Một đại diện của Ban Marketing của Đội bóng quốc gia chọn ngẫu nhiên vài
người trên một con đường ngẫu nhiên ở thành phố A cho đến khi anh ta tìm được người
tham dự buổi bóng đá tối qua. Gọi p=0,3 là xác suất anh ta tìm được 1 người như vậy.
a/ Tính xác suất anh ta phải chọn 3 người?
b/ Tính xác suất anh ta phải chọn hơn 5 người?
c/ Tính kì vọng , phương sai số người anh ta cần chọn?
Bài 33: Cho lần lượt các sản phẩm vào máy kiểm tra chất lượng. Các sản phẩm kém chất
lượng được phát hiện với tỉ lệ là 3%. Kiểm tra đến khi nào thấy 3 sản phẩm xấu thì dừng.
Tính xác suất phải kiểm tra 5 sản phẩm?
Bài 34: Một đồng xu không cân đối (hay đồng xu thiên vị) với xác suất xuất hiện mặt có
hình gấp 4 lần xác suất xuất hiện mặt không có hình.
1) Xác suất xuất hiện mặt có hình là bao nhiêu? 13
2) Tung một đồng xu này. X là số lần xuất hiện mặt có hình. X có phân phối gì?
3) Tung đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt có hình 3 lần thì dừng. X là số lần không
xuất hiện mặt có hình. Hỏi X có phân phối gì?
4) Tung đồng xu này 20 lần. X là số lần xuất hiện mặt có hình. X có phân phối gì?
Trung bình của X bằng bao nhiêu?
* Phân phối Poisson:
Bài 35: Mua 1000 tờ vé số, xác suất trúng mỗi tờ là 0.005. Gọi X là số tờ trúng trong 1000 tờ.
a/ Tính xác suất để trúng được 60 tờ.
b/ Tính EX ; Var X (đáp án: xem video bài giải)
Bài 36: Một máy dệt có 800 ống sợi. Xác suất để một ống sợi bị đứt trong khoảng thời
gian 1 giờ máy hoạt động là 0,25%. Tìm xác suất để trong khoảng thời gian 1 giờ máy
hoạt động có không quá 2 ống sợi bị đứt. Đs: 0,6767
Bài 37: Xác suất để một máy sản xuất ra phế phẩm là một số không đổi và bằng 0,002.
Cho máy sản xuất 1000 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm có trong 1000 sản phẩm do nhà
máy sản xuất. Tính xác suất có 30 phế phẩm.
Bài 38*: Giả sử số lỗi chính tả trong một cuốn tiểu thuyết là biến ngẫu nhiên có phân
phối Poisson. Trung bình trong 100 trang tiểu thuyết có 2 lỗi chính tả. Tính xác suất
1) Trong 500 trang tiểu thuyết có không quá 8 lỗi chính tả.
2) Chương 1 có 200 trang, chương 2 có 300 trang và chương 3 có 200 trang. Tính
xác suất mỗi chương có không quá 3 lỗi chính tả.
Bài 39*: Số khách đến quầy dịch vụ S trong 5 phút là biến ngẫu nhiên có phân phối
Poisson với trung bình là 2. Tính xác suất trong 10 phút có ít nhất 3 khách đến quầy S,
biết có không quá 6 khách đến quầy S trong 10 phút này. TỔNG HỢP:
Bài 40: Một đồng xu thiên vị với xác suất xuất hiện mặt có hình gấp đôi mặt không có hình.
1) Tung đồng xu này 10 lần, tính xác suất số lần xuất hiện mặt có hình từ 3 đến 6 lần.
2) Tung đồng xu này cho đến khi xuất hiện mặt có hình thì dừng lại. Tính xác suất cần tung 5 lần thì dừng. 14
3) Tung đồng xu này cho đến khi xuất hiện mặt có hình 3 lần thì dừng lại. Tính xác suất
cần tung ít nhất 5 lần thì dừng lại.
Bài 41: Trong kho hàng có 30% sản phẩm là của công ty A, 45% sản phẩm là của công
ty B và 25% sản phẩm là của công ty C. Tỷ lệ sản phẩm của công ty A, B, C đạt chuẩn
tương ứng là 0,97; 0,94 và 0,91.
1) Tính tỷ lệ phế phẩm của kho hàng. Đ/s: 0,0585
2) Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho hàng này và thấy nó là sản phẩm đạt chuẩn.
Tính xác suất lấy được sản phẩm của công ty B.
3) Lấy ngẫu nhiên từ kho hàng ra 30 sản phẩm. Tính xác suất có không quá 3 sản
phẩm là phế phẩm trong số các sản phẩm lấy ra.
4) Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm từ kho hàng cho đến khi lấy được sản
phẩm là phế phẩm thì dừng. Tính xác suất lấy ra 10 sản phẩm.
Bài 42: Số khách đến quầy dịch vụ S trong 5 phút là biến ngẫu nhiên có phân phối
Poisson với trung bình là 3. Tính xác suất trong 10 phút có ít nhất 5 khách đến quầy S
biết rằng có không quá 8 khách đến quầy S trong 10 phút.
Bài 43 :Số cuộc gọi đến trung tâm tư vấn H trong các khung giờ 8 đến 9 giờ, 9 đến 10
giờ và 10 đến 11 giờ là các biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với các tham số lần
lượt là 8; 9 và 9. Tính xác suất trong khoảng thời gian từ 8 đến 11 giờ có không quá 30
cuộc gọi đến trung tâm tư vấn H. 15
CHƯƠNG 4: BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC và HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
A. Biến ngẫu nhiên liên tục:
Bài 1 : Theo dõi thực tế trọng lượng của một loại sản phẩm được quy định là có trọng
lượng 2.5 gam, có thể coi trọng lượng này là một biến ngẫu nhiên X liên tục có hàm mật độ ìï 3 2 .(1+ x f (x) = ï 62
) ; 2 £ x £ 4 ï ïî 0
; x > 2 hay x < 4 a/ Tính k b/ Tính EX, VX
c/ Tính xác suất trọng lượng loại sản phẩm này thực tế lớn hơn trọng lương quy định
d/ Tính xác suất chênh lệch giữa trọng lượng trong thực tế so với trọng lượng quy định
của loại sản phẩm này nhỏ hơn 0.25 gam.
(đáp án: xem video giải bài tập)
Bài 2 : Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất: ì
f (x) = ï k. x.(1- x) ; 0 £ x £ 1 íï ïî 0
; x > 1 hay x < - 1 a/ Tìm k
b/ Tìm hàm phân phối tích luỹ F(x)
c/ Tìm phân vị thứ 75 của X
(đáp án: xem video giải bài tập)
Bài 3: Cho biến ngẫu nhiên � có hàm mật độ xác suất 0 , � ∉ [0; 9]
a. Xác định k từ đó tính kỳ vọng, phương sai của � và �(2� + 3). Đ/s 2/81 ; 6 ; 4,5 ; 15
b. Tính �(3 < � < 5); �(� > 1/� < 2); �(� < 8/� > 2) Đ/s: 16/81 ; ¾ ; 60/77
c. Tìm phân vị thứ 60 của X
d. Tính xác suất X lớn hơn trung bình một độ lệch chuẩn 16
Bài 4: Một trạm xăng được cung cấp xăng 1 lần trong 1 tuần. Dung lượng kho chứa của
trạm là 10 m3. Dung lượng xăng được yêu cầu bán ra trong 1 tuần của trạm là biến ngẫu
nhiên X (đơn vị: m3) có hàm mật độ xác suất �(�) = �(17 − �)4 nếu � ∈ [0; 17], và
�(�) = 0 nếu � ∉ [0; 17]. Tính k và xác suất hết xăng trong một tuần của trạm này. Đ/s : 0,01183710754
Bài 5: Thời gian cần thiết để sản xuất một sản phẩm là biến ngẫu nhiên X ( đơn vị: phút) A
có hàm mật độ xác suất f (x)
nếu x [8;10] ; f (x) 0 nếu x [8;10] . Tìm A, x2
thời giant rung bình để sản xuất một sản phẩm, và tỷ lệ sản phẩm có thời gian sản xuất
nhỏ hơn thời gian trung bình.
Bài 6: Thời gian cần thiết để sản xuất một sản phẩm là biến ngẫu nhiên X ( đơn vị: phút) x
có hàm mật độ xác suất f (x)
nếu x [8;10] ; f (x) 0 nếu x [8;10] . Tính xác 18
suất để trong 10 sản phẩm đã sản xuất có ít nhất 2 sản phẩm có thời gian sản xuất không quá 9 phút.
Bài 7 : Tuổi thọ của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên X ( đơn vị: năm) có hàm mật
độ xác suất f (x) cx2 (5 x) nếu x [0;5] ; f (x) 0 nếu x [0;5] . Một người mua một
sản phẩm đã sử dụng được 9 tháng. Tính xác suất để có thể sử dụng được sản phẩm này thêm 2 năm nữa.
Bài 8: Tuổi thọ X (đơn vị: năm) của sản phẩm nhà máy H là biến ngẫu nhiên có hàm mật
độ xác suất �(�) = �(11 − �)−3, � � [0; 10] và �(�) = 0; � ∉ [0; 10]. Nhà máy H
bảo hành sản phẩm trong 2 năm, tính tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành của nhà máy H.
Bài 9: Thời gian sử dụng thiết bị điện tử A của công ty M là biến ngẫu nhiên liên tục X
(đơn vị: năm) có hàm mật độ xác suất �(�) = �(8 − �)4; � � [0; 8] và �(�) = 0 ;
� ∉ [0; 8]. Quan sát ngẫu nhiên một sản phẩm A đã sử dụng được 3 năm, tính xác suất
sản phẩm này sử dụng được thêm 2 năm nữa.
Bài 10: Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối xác suất 0 ; x 0 x2
F (x) ; 0 x 2 4 1 ; x 2
a/ Tính P( X 1,5) ; P(0,3 X 1.2) ; P( X 0.8) b/ Tìm trung vị 17 c/ Tìm hàm mật độ f(x) d/ Tính EX, VX
B. Các phân phối của biến liên tục * Phân phối đều:
Bài 11: Giả sử nhiệt độ phản ứng X ( oC) trong một phản ứng hoá học có phân phối đều với A= -6 ; B=6
a. Tính P( X 0)
b. Tính P(3.5 X 3.5)
c. Tính P(1 X 3)
Bài 12: Biến ngẫu nhiên X có phân phối đều trên đoạn [8; 18].
Xác định trung bình và phương sai của X. 1 5
Bài 13: Biến ngẫu nhiên X có phân phối đều trên [ , ]. 2 2
Tính �(4 < �2 < 7); �(� > 1/� > 0,6) Đ/s: ¼ ; 15/19
Bài 14: Bài báo “Mô hình hóa tương tác của trầm tích và cột nước đối với các chất ô
nhiễm kỵ nước” (Nghiên cứu về nước, 1984: 1169–1174) chỉ ra phân phối đều trên
khoảng (7,5; 20) là mô hình cho độ sâu (cm) của lớp xáo trộn sinh học trong trầm tích ở một vùng nhất định.
a. Giá trị trung bình và phương sai của độ sâu là gì? b. Pdf độ sâu là gì?
c. Xác suất để độ sâu quan sát được nhiều nhất là 9? Từ 8 đến 12?
d. Xác suất để độ sâu quan sát nằm trong khoảng 2 độ lệch chuẩn của giá trị trung bình là
bao nhiêu? Trong khoảng 3 độ lệch chuẩn là bao nhiêu?
Bài 15: Thời gian trễ khi đến trạm M của xe buýt K là biến ngẫu nhiên X (đơn vị: phút)
có phân phối đều trên [0; 6]. Quan sát thấy xe buýt K đã trễ 3 phút, tính xác suất khách đi
xe này không phải đợi thêm quá 2 phút nữa.
Bài 16*: Thời gian cần thiết để sản xuất một sản phẩm loại M là biến ngẫu nhiên X (đơn
vị : phút) có hàm mật độ xác suất �(�) = � nếu � ∈ [8; B] , �(�) = 0 nếu � ∉ [8 ;
�]. Tìm �, � và thời gian trung bình để sản xuất một sản phẩm loại này, biết xác suất để
một sản phẩm M có thời gian sản xuất không quá 9 phút là 0,25. 18
Bài 17*: Thời gian đi đến trường của sinh viên H là biến ngẫu nhiên X (đơn vị: phút) có
phân phối đều trên đoạn [A, 20]. Tính thời gian đi đến trường trung bình của sinh viên H
biết xác suất sinh viên H cần ít nhất 18 phút để đến trường là 0,2.
* Phân phối chuẩn:
Bài 18: Cho X : N (0,1) .Tính f (2, 58) = ;f (- 2, 01) = ;f (7) = P( X < 8) = P( X > 9) =
P( X £ 1, 96) =
P(0 < X < 2, 06) =
P( X £ - 2,1) =
P(1< X < 2, 58) =
P( X > 1,1) =
P(- 1, 9 < X < 2) =
P( X > - 1,1) =
Bài 19: Một xe máy có vận tốc tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình là
40km/h và độ lệch chuẩn 5.6km/h.
a/ Tính xác suất vận tốc tối đa nhiều nhất 51km/h
b/ Chọn 10 xe máy loại trên. Tính xác suất có 3 xe có vận tốc lớn hơn 35km/h
(đáp án: xem video giải bài tập)
Bài 20 : Điểm thi môn Toán của trường đại học A là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
với trung bình là 6,78 và độ lệch chuẩn là 0,46. Tính tỷ lệ sinh viên trường A có điểm
môn Toán từ 5 điểm trở lên.
Bài 21: Giả sử rằng 15% tổng số trục thép được sản xuất bởi một quy trình nhất định
không phù hợp nhưng có thể được gia công lại (thay vì phải loại bỏ). Hãy xem xét một
mẫu ngẫu nhiên gồm 300 trục và đặt X là số trục được gia công lại. Tính
a/ Xác suất số trục được gia công lại nhiều nhất là 20? b/ ít nhất là 20 c/ giữa 10 và 35
Bài 22*: Chiều cao của nam giới đã trưởng thành là biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn N(160 cm ; 36 cm2) . Tính xác suất để khi lấy ngẫu nhiên 4 nam giới thì có ít nhất
một người có chiều cao trong khoảng ( 157 cm ; 163 cm). Đs: 0,855. 19
Bài 23*: Thời gian một người tham quan Thảo Cầm Viên là biến ngẫu nhiên có phân
phối chuẩn với thời gian tham quan trung bình là 95 phút, độ lệch chuẩn là 18 phút.
Trong 80 người đến tham quan hãy tính xác suất có 20 người có thời gian tham quan nhỏ hơn 77 phút.
Bài 24*: Tuổi thọ một thiết bị điện là X (đơn vị: năm) có phân phối chuẩn N(16; 4). Tính
xác suất một thiết bị điện thuộc loại này đã sử dụng 10 năm có tuổi thọ dưới 18 năm.
Bài 25*: Nhà máy Q sản xuất một loại trục máy A có đường kính là biến ngẫu nhiên X
có phân phối chuẩn với đường kính trung bình là 1,55 cm và độ lệch chuẩn là 0,04 cm.
Trục máy A có đường kính chênh lệch so với đường kính trung bình không quá 0,03 cm
là trục đạt chuẩn. Tính tỷ lệ trục máy A đạt chuẩn của nhà máy M.
Bài 26*: Thời gian hoạt động của một máy do công ty A sản xuất là một biến ngẫu nhiên
(đơn vị: năm) có phân phối chuẩn �(5; 3,25).
a. Một người mua máy này đã sử dụng được 2 năm, tính xác suất để người này sử
dụng máy được thêm ít nhất 4 năm nữa. Đ/s : 0,3041
b. Công ty bảo hành sản phẩm trong 3 năm. Tính tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành của công ty. Đ/s : 0,13085
c. Một người mua 10 máy của công ty này, tính xác suất có không quá 2 máy phải
bảo hành trong 10 máy này. Đ/s 0,8672
d. Tính xác suất trong 10000 sản phẩm của công ty A, có không quá 1200 sản phẩm phải bảo hành. * Phân phối mũ:
Bài 27 : Thời gian sử dụng (đơn vị: năm) của một sản phẩm G là biến ngẫu nhiên có
phân phối mũ. Biết thời gian sử dụng trung bình của sản phẩm G là 3 năm và mỗi sản
phẩm G được bảo hành 1 năm. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm G, tính xác suất sản phẩm
này có thời gian sử dụng vượt quá thời gian bảo hành.
Bài 28 : Gọi X là thời gian giữa hai lần liên tiếp đến quầy phục vụ của một ngân hàng A.
Nếu X có phân phối mũ với λ 2 , hãy tính :
a/ EX b/ VX c/ P( X 5) d/ P(3 X 8)
Bài 29: Gọi X là khoảng cách (m) mà một người đi xe đạp có thể đi. Giả sử rằng X có
phân phối mũ với tham số λ 0.0215
a. Tính xác suất để khoảng cách xa nhất là 100 m? Nhiều nhất là 200 m? Giữa 100 và 200 m?
b. Tìm giá trị trung bình, µ, và độ lệch chuẩn, σ. 20
Bài 30*: Thời gian nhận cuộc gọi của khách hàng từ nhân viên tiếp thị của công ty S là
biến ngẫu nhiên X (đơn vị: phút) có phân phối mu ̃ với trung bình là 1⁄3 phút. Quan sát
ngẫu nhiên 20 cuộc gọi của nhân viên tiếp thị, tính xác suất có ít nhất 10 cuộc gọi có thời gian từ 1 phút trở lên.
Bài 31*: : Gọi T là một biến ngẫu nhiên có phân phối mũ tham số λ ln 2 .Tìm biểu thức
đơn giản nhất có thể cho P{T t} dưới dạng một hàm của t với t 0 , và tìm
P(T 1| T 2) * Tổng hợp:
Bài 32: Thời gian sử dụng (đơn vị: năm) của một loại sản phẩm sản xuất ra là biến ngẫu
nhiên có hàm mật độ xác suất có dạng �(�) = �� 2(5 − �) với � ∈ [0; 5] và �(�) = 0 với � ∉ [0; 5].
a/ Tính tỷ lệ sản phẩm có thời gian sử dụng vượt quá tuổi thọ trung bình của sản phẩm.
b/ Tính xác suất trong 30 sản phẩm này có ít nhất 15 sản phẩm có thời gian sử dụng vượt
quá tuổi thọ trung bình của sản phẩm.
Bài 33: Thời gian cần thiết để sản xuất một sản phẩm M là biến ngẫu nhiên X (đơn vị :
phút) có hàm mật độ xác suất �(�) = nếu � ∈ [8 ; 10], f(x)= 0 nếu x∉ [8 ; 10]. � �2 1/ Tìm A.
2/ Tính thời gian trung bình để sản xuất một sản phẩm M.
3/ Tính tỷ lệ sản phẩm có thời gian sản xuất nhỏ hơn thời gian trung bình (E(X)).
4/ Quan sát quá trình sản xuất một sản phẩm M thấy thời gian sản xuất mất ít nhất 8 phút
30 giây. Tính xác suất cần ít nhất 9 phút 30 giây để sản xuất sản phẩm này.
5/ Quan sát ngẫu nhiên thời gian sản xuất 30 sản phẩm này. Tính xác suất có từ 12 đến 25
sản phẩm có thời gian sản xuất ít nhất là 8 phút 30 giây.
Bài 34: Thời gian trả lời điện thoại (nghe máy) của một người ở vùng A khi nhân viên tư
vấn tiếp thị sản phẩm gọi đến là biến ngẫu nhiên X (đơn vị: phút) có phân phối mũ với
� = �, � (phút). (hoặc là với thời gian nghe điện thoại trung bình là 2/3 phút=40 giây).
1/ Nhân viên tiếp thị gọi đến cho một người, tính xác suất người này nhận cuộc gọi ít nhất 2 phút.
2/ Nhân viên tiếp thị gọi đến cho một người và người này đã nhận cuộc gọi được 1 phút.
Tính xác suất người này nhận cuộc gọi ít nhất 1 phút nữa.
3/ Tính xác suất thời gian nhận cuộc gọi khi nhân viên tiếp thị gọi đến của 1 người vùng A là từ 2 đến 3 phút?
4/ Tính xác suất trong 30 người mà nhân viên tiếp thị gọi đến có ít nhất 10 người có thời
gian nhận cuộc gọi ít nhất 2 phút. 21
5/ Nhân viên tiếp thị gọi lần lượt từng người cho đến khi được 5 người có thời gian nhận
cuộc gọi ít nhất 2 phút thì dừng. Tính xác suất nhân viên này không cần gọi quá 20 người.
Bài 35: Tuổi thọ sản phẩm của nhà máy M là biến ngẫu nhiên X (đơn vị: năm) có phân
phối chuẩn �(4; 1). Nhà máy M bảo hành sản phẩm trong 3 năm.
1/ Tính tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành của nhà máy M.
2/ Quan sát ngẫu nhiên một sản phẩm M đã sử dụng được 1 năm, tính xác suất sản phẩm
này sử dụng được thêm 2 năm nữa.
3/ Quan sát ngẫu nhiên thời gian sử dụng của 10 sản phẩm M, thấy có ít nhất 1 sản phẩm
phải bảo hành. Tính xác suất có không quá 5 sản phẩm phải bảo hành trong số 10 sản phẩm này.
4/ Tính xác suất có không quá 1200 sản phẩm phải bảo hành trong số 10000 sản phẩm M này.
CHƯƠNG 6,7: ƯỚC LƯỢNG 22
A. Ước lượng điểm:
Bài 1 : Kết quả quan sát về hàm lượng Vitamin C của một loại trái cây: Hàm lượng vitamin C(%) 5-7 7-9 9-11 11-13 13-15 15-17 Số trái 5 10 20 35 25 5
A/ Hãy ước lượng điểm cho hàm lượng vitamin C trung bình trong một trái.
B/ Tìm ước lượng không chệch tỷ lệ trái cây có hàm lượng Vitamin từ 12% trở lên a// 0,35 b/0,45 c/0,65 d/0,85
B. Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể:
Bài 2: Chiều cao của một loại cây gỗ 3 năm tuổi trồng tại vùng A là đại lượng ngẫu nhiên
phân phối chuẩn với chiều cao trung bình � (�) và độ lệch chuẩn là 1,5 (m).
Khảo sát chiều cao của 80 cây gỗ loại này tại vùng A, ta thu được giá trị trung bình mẫu là 15,6 (m).
a/ Tìm khoảng ước lượng cho chiều cao trung bình của cây gỗ loại này ở vùng A với độ tin cậy 98%.
b/ Với độ tin cậy 95%, nếu muốn tìm khoảng tin cậy cho chiều cao trung bình của cây gỗ
loại này với sai số không vượt quá 0,2 (m) thì cần quan sát tối thiểu bao nhiêu cây?
c/ Với số lượng cây đã quan sát, nếu muốn tìm khoảng tin cậy cho chiều cao trung bình
của cây gỗ loại này với độ rộng của khoảng ước lượng là 0,6 (m) thì độ tin cậy là bao nhiêu?
Bài 3: Thống kê số lượng bán ra trong một ngày của mặt hàng dầu ăn ở một siêu thị, ta
có bảng (xi là số lít; ni là số ngày bán được số lít tương ứng). xi 20-30 30- 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 100-120 40 ni 7 38 60 75 82 69 56 30 8
a/ Hãy tìm khoảng ước lượng dầu ăn bán ra trung bình một ngày ở cửa hàng đó với độ tin cậy 97%.
b/ Với độ tin cậy 96%, lượng dầu ăn bán ra trung bình một ngày ở cửa hàng đó tối đa là bao nhiêu?
c/ Với độ tin cậy 98%, lượng dầu ăn bán ra trung bình một ngày ở cửa hàng đó tối thiểu là bao nhiêu? 23
d/ Với cỡ mẫu đã quan sát, nếu muốn tìm khoảng tin cậy cho lượng dầu ăn bán ra trung
bình một ngày ở cửa hàng đó với độ rộng của khoảng ước lượng là 0,6 (lít) thì độ tin cậy là bao nhiêu?
(đáp án: xem video giải bài tập)
Bài 4: Khảo sát năng suất lúa thu được bảng số liệu sau: Năng suất (tấn/ha) 5,1 5,4 5,5 5,6 5,8 6,2 6,4 DT có NS tương ứng (ha) 10 20 30 15 10 10 5
Tìm ước lượng trung bình tối thiểu cho năng suất lúa trung bình ở vùng đó với độ tin cậy 95% . đs: 5,5455022
Bài 5: (ULTB) Quan sát 100 công nhân trong một xí nghiệp người ta tính được năng suất
trung bình của một công nhân ở mẫu này là: x = 12 sản phẩm/ngày và phương sai mẫu hiệu chỉnh là 25.
Muốn ước lượng năng suất trung bình của một công nhân trong xí nghiệp với độ tin cậy
99% và độ chính xác e = 0,8 thì cần quan sát năng suất của bao nhiêu công nhân nữa?
Bài 6: (ULTB) Mức tiêu thụ X của mỗi hộ gia đình vùng A trong mùa khô năm nay có
phân phối chuẩn. Điều tra 1 số hộ gia đình vùng A : X(kwh/t) 65-115 115-165 165-215 215-265 265-315 315-365 365-415 415-465 Số hộ 24 36 75 94 97 125 84 75
Nếu muốn ước lượng mức tiêu thụ điện trung bình các hộ vùng A trong mùa khô năm
nay với độ chính xác 10 kwh/tháng thì độ tin cậy bằng ? đs: 99%
Bài 7: Quan sát 100 công nhân trong một xí nghiệp người ta tính được năng suất trung
bình của một công nhân ở mẫu này là: x = 12 sản phẩm/ngày và phương sai mẫu 25.
Ước lượng năng suất trung bình của một công nhân trong xí nghiệp với độ tin cậy 99%. đs (10,7; 13,3)
C. Ước lượng khoảng cho tỉ lệ tổng thể:
Bài 8: Phỏng vấn 400 người ở khu vực B thấy 240 người ủng hộ dự luật A.
a/ Với độ tin cậy 96%, hãy ước lượng tỷ lệ người ủng hộ dự luật A.
b/ Với độ tin cậy 97%, tỷ lệ người ủng hộ dự luật A tối đa là bao nhiêu?
c/ Nếu muốn tìm khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ người ủng hộ dự luật A ở vùng B với sai
số không vượt quá 0,02 thì cần quan sát tối thiểu bao nhiêu nguời? 24
d/ Với mẫu đã cho, nếu độ chính xác của khoảng ước lượng cho tỷ lệ người vùng B ủng
hộ A là 0,03 thì độ tin cậy là bao nhiêu?
(đáp án: xem video giải bài tập)
Bài 9: Khảo sát chi tiêu X (triệu đồng/tháng) của một số người vùng A có thống kê sau
(Biết X có phân phối chuẩn) X 3,2-3,7 3,7-4,2 4,2-4,7 4,7-5,2 5,2-5,7 5,7- 6,2 6,2-6,7 n 23 33 55 73 45 22 18 i
a/ Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ người có chi tiêu trên 5,7 triệu đồng/ tháng vùng A. đs: (0,1061806; 0,1912172)
b/ Biết vùng A có 50 000 người. Tìm số người ở vùng A có chi tiêu trên 5,7 triệu
đồng/tháng với độ tin cậy 95% .đs: (5309; 9561)
c/ Biết vùng A có 10 000 người chi tiêu trên 5,7 triệu đồng/ tháng . Tìm số người vùng A
có với độ tin cậy 95% đs: (52297; 94179)
Bài 10: Công ty M kiểm tra ngẫu nhiên 1200 sản phẩm do ca sáng sản xuất thấy có 45
sản phẩm không đạt chuẩn . Tính tỷ lệ sản phẩm đạt chuẩn tối đa do ca sáng sản xuất với độ tin cậy 99%.
Bài 11: Đo chiều dài 1 số sản phẩm do nhà máy A sản xuất: X(cm) 53,8 53,81 53,82 53,83 53,84 53,85 53,86 53,87 Số sp ( n ) 9 14 30 47 40 33 15 12 i
Biết X có phân phối chuẩn. Tìm khoảng ước lượng đối xứng 98% cho tỉ lệ sản phẩm có
chiều dài trên 53,84 cm. đs (22,45 % ; 37,55%)
C. Ước lượng khoảng cho phương sai tổng thể:
Bài 12: Lấy 30 mẫu thép của một nhà máy sản xuất thép để kiểm tra chất lượng. Kết quả
kiểm tra về sức chịu lực R (đơn vị tính là KG/cm2) như sau: 13,1 12,8 12,7 13,6 13,5 10,0 13,5 12,5 14,7 13,7 14,7 14,5 13,7 12,8 11,5 14,1 14,0 14,7 14,2 14,0 25 12,2 12,3 14,5 14,0 15,0 14,0 12,9 11,0 14,1 14,0
Giả sử sức chịu lực của thép do nhà máy sản xuất này là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
a/ Hãy ước lượng sức chịu lực trung bình của thép do nhà máy này sản xuất với độ tin cậy 99%.
b/ Tìm khoảng tin cậy 95% cho phương sai của sức chịu lực của thép do nhà máy này sản xuất.
(đáp án: xem video giải bài tập) D. Tổng hợp:
Bài 13: Đo chiều dài 1 số sản phẩm do nhà máy A sản xuất, có thống kê sau: (X có phân phối chuẩn). Chiều dài X(cm) 53,80 53,81 53,82 53,83 53,84 53,85 53,86 53,87 Số sp ( n ) 9 14 30 47 40 33 15 12 i
1/ Tìm khoảng tin cậy 95% cho chiều dài trung bình các sản phẩm do nhà máy A sản
xuất. đs: (53,8322469; 53,839153)
2/ Tìm khoảng tin cậy 98% cho tỉ lệ sản phẩm có chiều dài trên 53,84 cm.
Đs: (0,2244993709; 0,3755006291)
Bài 14: Công ty M có 3000 đại lý, cho tiến hành điều tra ngẫu nhiên một số đại lý của
mình và thu được bảng số liệu sau (X là doanh số, đơn vị: triệu đồng/tháng), biết X có phân phối chuẩn. X 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 Số đại lý 7 12 18 27 22 17 13 4
1/ Những đại lý có X>45 triệu đồng/tháng gọi là đại lý có doanh số cao. Hãy ước lượng
số đại lý có doanh số cao với độ tin cậy 95%. Đs: (609;1089)
2/ Hãy ước lượng doanh số trung bình/tháng của các đại lý với độ tin cậy 99%. Đs(37,4 ; 41,6)
Bài 15: Khảo sát mức tiêu thụ điện X của một số hộ gia đình được chọn ngẫu nhiên ở
vùng A ta được bảng số liệu sau: X(kwh/tháng) 50- 100- 150- 200- 250- 300- 350- 400- 100 150 200 250 300 350 400 450 Số hộ 24 36 55 64 50 35 20 15 26
1/ Ước lượng mức tiêu thụ điện trung bình của các hộ gia đình ở vùng A với độ tin cậy 99%.
2/ Hộ có mức tiêu thụ điện dưới 100kwh/tháng gọi là hộ có mức tiêu thụ điện thấp. hãy
ước lượng số hộ có mức tiêu thụ điện thấp ở vùng A với độ tin cậy 98% .Biết vùng A có
10.000 hộ dân. Đs: (437; 1169)
Bài 16: Khảo sát thu nhập tại một doanh nghiệp có số liệu:
Thu nhập (triệu đồng/tháng) 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 Số lao động 24 10 26 18 22
1/ Nếu dùng số liệu trên để ước lượng thu nhập trung bình của một người với sai số ko
quá 0,5 triệu đồng/tháng thì điều tra ít nhất bao nhiêu người, với độ tin cậy 94%. Đs: n 122
2/ Nếu dùng số liệu trên để ước lượng tỷ lệ người thu nhập thấp với sai số 1%. Hỏi độ tin
cậy của ước lượng này khoảng bao nhiêu? biết người thu nhập thấp có thu nhập từ 6
trd/tháng trở xuống. Đs: t γ 0, 21. /2
Bài 17: Có số liệu thống kê về thu nhập (X: triệu đồng/ tháng) của 100 người ở một công ty như sau: xi 1-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9-13 ni 4 10 17 24 25 9 6 5
1/ Nếu muốn độ chính xác khi ước lượng thu nhập trung bình là 0,25 (triệu đồng/ tháng)
và độ tin cậy là 97% thì cần khảo sát bao nhiêu người? a/ 134 b/ 348 c/ 273 d/ 413
2/ Nếu muốn ước lượng thu nhập trung bình của các nhân viên ở công ty này có độ chính
xác là 0,25 (triệu đồng/ tháng) thì độ tin cậy đạt được bao nhiêu%? a/ 76,56% b/ 81,15% c/ 92,34% d/ 79,18%
Bài 18 : Muốn biết trong một hồ nước có bao nhiêu cá, người ta bắt lên 1000 con, đánh
dấu xong thả lại xuống hồ. Sau một thời gian, người ta bắt lên 200 con và thấy có 30 con
cá có đánh dấu của lần bắt trước. Dựa vào kết quả đó, hãy ước lượng số cá trong hồ với độ tin cậy 95% a/ (2013; 4950) b/(4513; 7650) c/(5013; 9950) d/ (6013; 9450)
CHƯƠNG 8: KIỂM ĐỊNH TRÊN MỘT MẪU ĐƠN
A. Kiểm định trung bình tổng thể với một số: 27
Bài 1: Chiều cao của một loại cây gỗ 3 năm tuổi trồng tại vùng A là đại lượng ngẫu nhiên
phân phối chuẩn với chiều cao trung bình � (�) và độ lệch chuẩn là 1,5 (m). Khảo sát
chiều cao của 80 cây gỗ loại này tại vùng A, ta thu được giá trị trung bình mẫu là 15,6
(m). Với mức ý nghĩa 3% hãy so sánh chiều cao trung bình của các cây gỗ loại này ở
vùng A với 15 (m). (đáp án: xem video giải bài tập)
Bài 2: Trọng lượng trung bình khi xuất chuồng ở một trại chăn nuôi gà công nghiệp
năm trước là 3 kg/con. Năm nay người ta sử dụng một loại thức ăn mới. Cân thử 30 con
khi xuất chuồng người ta tính được trung bình mẫu �̅ = 3,2 kg và phương sai mẫu �2 = 0,25.
Giả sử trọng lượng các con gà khi xuất chuồng tại trại chăn nuôi có phân phối
chuẩn. Với mức ý nghĩa 2%, hãy kết luận về tác dụng của loại thức ăn này có thực sự làm
tăng trọng lượng trung bình của đàn gà lên hay không?
(đáp án: xem video giải bài tập)
Bài 3: Cân thử 25 con khi xuất chuồng người ta tính được trung bình mẫu x = 3,2 kg và
phương sai mẫu s2 = 0,25 . Với mức ý nghĩa 5%, nếu trại chăn nuôi báo cáo trọng lượng
trung bình khi xuất chuồng là 3,3 kg/con thì chấp nhận được không? Đs: t=-1
Bài 4: Theo báo cáo trước đây mức tiêu thụ điện trung bình trong một tháng ở khu phố X
là 150kwh. Sau khi thực hiện chương trình tiết kiệm điện, kiểm tra ngẫu nhiên một số hộ ở
khu phố này về mức tiêu dùng điện trong một tháng được bảng: (KW/tháng) 100-120 120-140 140-160 160-180 Số hộ 5 11 9 3
Với a = 5% , hãy kiểm định xem mức tiêu thụ có giảm xuống không? Đs: z=-3,37
Bài 5: Lượng xăng hao phí trung bình khi đi từ A đến B của một loại xe là 94,5 lít. Nghi
ngờ đường xuống cấp làm tăng lượng xăng hao phí trung bình khi đi từ A đến B của loại
xe này. Thống kê lượng xăng hao phí X của một số chuyến xe loại này (chọn ngẫu nhiên)
khi đi từ A đến B và thu được bảng số liệu sau Lượng xăng 90-
91-92 92-93 93-94 94-95 95-96 96-97 98-99 99-100 (l) 91 Số xe 15 26 42 58 69 57 41 27 13 28
Hãy kết luận về nghi ngờ nói trên với mức ý nghĩa 3%. Biết lượng xăng hao phí khi đi từ
A đến B của loại xe này có phân phối chuẩn. (đáp án: xem video giải bài tập)
B. Kiểm định tỷ lệ tổng thể với một số:
Bài 6: Khảo sát 500 sinh viên trường đại học A vừa mới tốt nghiệp được 3 tháng thấy có
222 sinh viên có việc làm.
Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho nhận xét về ý kiến tỷ lệ sinh viên trường này có việc
làm sau 3 tháng tốt nghiệp là 50%.
(đáp án: xem video giải bài tập)
Bài 7: Chủ cửa hàng cho rằng tỉ lệ hài lòng của khách hàng với cửa tiệm là 90%. Nghi
ngờ điều trên, tiến hành phỏng vấn ngẫu nhiên 500 người thì có 400 người hài lòng. Với
mức ý nghĩa 5% hãy kiểm định xem nhận xét của chủ cửa hàng là đúng hay sai? Đs: z=- 7,453
Bài 8: Người ta tiến hành điều tra ngẫu nhiên 400 người ở vùng A thì thấy có 22 người
ở độ tuổi trưởng thành không biết chữ. Với mức ý nghĩa 2%, có thể cho rằng tỷ lệ dân số
ở độ tuổi trưởng thành không biết chữ ở vùng này trên 5% hay không? Đs: z=0,46
Bài 9: Tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy trước đây là 8%. Năm nay nhà máy ứng dụng
biện pháp kĩ thuật mới. Để nghiên cứu tác dụng của biện pháp kĩ thuật mới, người ta lấy
một mẫu gồm 710 sản phẩm để kiểm tra và thấy có 30 phế phẩm. Với a = 0, 02 , cho rằng
kỹ thuật mới làm giảm tỉ lệ phế phẩm được không? Đs: z = - 3, 707
C. P-value ( P- giá trị)
Bài 10: Cho H0 : μ 10 ; H : μ 10 ; p value 0, 0384 . Hãy kết luận về kiểm định trên a với a/ α 0, 05 b/ α 0, 01
Bài 11: Nước mưa có bị nhiễm độc bởi nhiều nguồn trong đó có cả những viên pin bị bỏ
đi. Một mẫu 45 pin Panasonic AAA có khối lượng kẽm trung bình là 2,06g và độ lệch chuẩn là 0,14g. a/ Tìm p-value đs: p-value=0,0012
b/ Dữ liệu này có giúp kết luận được là khối lượng kẽm trung bình của loại pin này đã
vượt quá 2g không? Kết luận với các trường hợp: Với α 0, 001 ; Với α 0, 01 ; Với
α 0, 05 ; Với α 0,1 29
Bài 12: a/ Cho H0 : μ 100 ; H : μ 100 với n 9 , σ 2 chưa biết. Tính được tiêu chuẩn a
kiểm định t 1, 6 . Hãy tìm p-value? Và kết luận?
b/ Cho H0 : μ 100 ; H : μ 100 với n 21 , σ 2 chưa biết. Tính được tiêu chuẩn kiểm a
định t 1, 6 . Hãy tìm p-value? Và biện luận ?
c/ Cho H0 : μ 100 ; H : μ 100 với n 21 , σ 2 chưa biết. Tính được tiêu chuẩn kiểm a
định t 1, 6 . Hãy tìm p-value? Và biện luận ? D. Tổng hợp:
Bài 13: Theo báo cáo trước đây mức tiêu thụ điện trung bình trong một tháng ở khu phố
X là 150kwh. Sau khi thực hiện chương trình tiết kiệm điện, kiểm tra ngẫu nhiên một số
hộ ở khu phố này về lượng điện tiêu dùng trong một tháng được bảng: (Kwh/tháng) 100-110 110-120 120-130 130-140 140- 15 Số hộ 5 11 19 30 28
1/ Với mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm định xem mức tiêu thụ có giảm xuống không?
2/ Tìm khoảng tin cậy 97% cho lượng điện tiêu thụ trung bình trong một tháng của một
hộ dân ở khu phố này sau khi sử dụng các biện pháp tiết kiệm điện.
3/ Tìm khoảng tin cậy 99% cho tỷ lệ hộ gia đình ở khu phố này sau khi sử dụng các
phương pháp tiết kiệm điện có lượng điện tiêu thụ từ 150 kwh/ tháng trở lên.
4/ Nếu muốn tìm khoảng ước lượng cho tỷ lệ hộ gia đình có mức tiêu thụ điện từ 140
kwh/tháng trở lên sau khi sử dụng các phương pháp tiết kiệm điện với sai số bằng 0,05
thì độ tin cậy là bao nhiêu?
(đáp án: xem video bài giải)
Bài 14: Năng suất lúa trung bình trong những vụ trước là 5,5 tấn/ha. Vụ lúa năm nay
người ta áp dụng một biện pháp kĩ thuật mới. Điều tra 100 hecta lúa ta có bảng: Năng suất Diện tích Năng suất Diện tích (ha) (tạ/ha) (ha) (tạ/ha) 40-45 7 60-65 20 45-50 12 65-70 8 30 50-55 18 70-75 5 55-60 27 75-85 3
Với mức ý nghĩa 5%, kết luận xem biện pháp kĩ thuật mới có làm tăng năng suất lúa
trung bình của vùng này lên không?
Bài 15: Sản phẩm của nhà máy có phân phối chuẩn với khối lượng trung bình quy định
50kg và độ lệch chuẩn là 0,25 kg. Nghi ngờ dây chuyền sản xuất không bình thường nên
tiến hành kiểm tra khối lượng một số sản phẩm được Khối lượng 49 49,5 50 50,5 51 Số sản phẩm 1 4 12 6 2
Theo bạn nghi ngờ trên đúng hay sai ? Với a = 5% . Đs: z = 1,6
Bài 16: Quan sát mức chi tiêu nhu yếu phẩm (triệu đồng/ năm) của một hộ thì thu được bảng: Chi tiêu 4 6 8 10 12 Số hộ 15 16 20 14 15
Những hộ chi tiêu dưới 7 triệu/ tháng là chi tiêu thấp? Trước đây tỉ lệ chi tiêu thấp là
30%. Hãy kiểm định xem tỷ lệ hộ chi tiêu thấp bây giờ đã tăng lên chưa? Với a = 5% . Đs: z = 1,708
Bài 17 : Trọng lượng của một loại sản phẩm do một nhà máy sản xuất là đại lượng ngẫu
nhiên có phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình là 500gr. Sau một thời gian sản xuất
người ta nghi ngờ trọng lượng của loại sản phẩm này có xu hướng giảm sút nên tiến hành
cân thử 25 sản phẩm và thu được kết quả cho ở bảng sau: Trọng lượng (gr) 480 485 490 495 500 510 Số sản phẩm 2 3 8 5 3 4
Với mức ý nghĩa 5%, hãy kết luận điều nghi ngờ trên có đúng hay không? Đs: t = 3,37
Bài 18: Khảo sát thu nhập của một số người của một công ty, người ta thu được bảng sau: Thu nhập (triệu đ/năm) 26-32 32-36 36-40 40-44 44-48 48-54 54-60 Số người 8 12 20 25 20 10 5
Nếu công ty báo cáo mức thu nhập bình quân của một người là 3,6 triệu đ/tháng thì có
chấp nhận được không? Kết luận với mức ý nghĩa a = 4% .
Bài 19: Một công ty lớn chuyên sản xuất phần mềm máy tính, cho rằng những người làm
việc ở công ty này có thu nhập trung bình 5 triệu đồng/tháng. Lấy mẫu ở công ty được bảng:
Thu nhập (triệu đồng/tháng) 3 4 5 8 10 Số người 6 7 8 2 2 31
Giả sử thu nhập của những người làm việc ở công ty này có phân phối chuẩn. Với mức ý
nghĩa 5%, hãy cho nhận xét về thông tin thu nhập trung bình ở trên có đáng tin hay không? Đs: t = -0,2959
Bài 20*: Trong 2115 trẻ sơ sinh chọn ngẫu nhiên có 1115 bé trai. Với mức ý nghĩa 5% có
thể kết luận mất cân đối giới tính không? Đs: z = 2, 483
Bài 21: Năm trước tỷ lệ đạt giải của đội tuyển Olympic tỉnh là 70%. Sau khi triển khai
phương pháp học tập mới, người ta tiến hành khảo sát kết quả của đội tuyển thì 120 em
chọn ngẫu nhiên thì thấy có 30 em bị trượt. Hãy kiểm định xem phương pháp mới có
mang lại hiệu quả hơn? Với a = 5% . Đs: z = 1,195
Bài 22: Khảo sát tuổi thọ X (đơn vị: tháng) của một số sản phẩm chọn ngẫu nhiên từ công ty A: X 6-9 9-12 12-15 15-18 18-21 21-24 24-27 n 23 33 55 73 57 42 35 i
1/ Tìm khoảng tin cậy 98% cho tuổi thọ trung bình của sản phẩm công ty A. Đs: (16,359;17,697)
2/ Dây chuyển sản xuất công ty A hoạt động bình thường nếu tuổi thọ trung bình của sản
phẩm sản xuất ra là 18 tháng. Với mức ý nghĩa 1% hãy xem dây chuyền có hoạt động
bình thường không? Đs: t 3,36 qs
3/ Công ty A chỉ có lãi khi tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành dưới 20%. Có ý kiến đề nghị
công ty A bảo hành sản phẩm trong 1 năm. Hãy kết luận về đề nghị này với mức ý nghĩa 5%. Đs: t 1, 07 qs
Bài 23: Công ty M có 3000 đại lý, cho tiến hành điều tra ngẫu nhiên một số đại lý của
mình và thu được bảng số liệu sau (X là doanh số, đơn vị: triệu đồng/tháng), biết X có phân phối chuẩn. X 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 Số đại lý 7 12 18 27 22 17 13 4
1/ Những đại lý có X>45 triệu đồng/tháng gọi là đại lý có doanh số cao. Hãy ước lượng
số đại lý có doanh số cao với độ tin cậy 95%. Đs: (609;1089)
2/ Có ý kiến cho rằng tỉ lệ đại lý có doanh số cao bằng 1/3 tỉ lệ đại lý có doanh thu còn
lại. cho nhận xét về ý kiến này với mức ý nghĩa 1%. Đs: t 0,83 qs
3/ Hãy ước lượng doanh số trung bình/tháng của các đại lý với độ tin cậy 99%. Đs(37,4 ; 41,6)
4/ Doanh số trung bình/tháng của các đại lý của công ty N là 35trd/tháng. Hãy so sánh
doanh số trung bình/tháng của các đại lý của 2 công ty M,N với mức ý nghĩa 5%. Đs: t 5,51 qs 32
Bài 24: Mức tiêu thụ X của mỗi hộ gia đình vùng A trong mùa khô năm nay có phân phối
chuẩn. Điều tra 1 số hộ gia đình vùng A có thống kê sau: X(kwh/t) 65-115 115-165 165- 215- 265- 315- 365- 415- 215 265 315 365 415 465 Số hộ 24 36 75 94 97 125 84 75
1/ Mức tiêu thụ điện trung bình các hộ gia đình vùng A trước là 280 kwh/tháng. Với mức
ý nghĩa 2% hãy xét xem mức tiêu thụ điện trung bình các hộ gia đình vùng A năm nay có tăng lên không.
2/ Với mức ý nghĩa 5% so sánh tỉ lệ hộ gia đình có mức tiêu thụ X £ 315 kwh / t với tỉ lệ
hộ gia đình có mức tiêu thụ X > 315 kwh / t vùng A.
3/ Hộ có X > 315 kwh / t là hộ có mức tiêu thụ cao. Hãy ước lượng số hộ có mức tiêu thụ
điện cao với độ tin cậy 95%, biết vùng này có 3000 hộ.
4/ Nếu muốn ước lượng mức tiêu thụ điện trung bình các hộ vùng A trong mùa khô năm
nay với độ chính xác 10 kwh/tháng thì độ tin cậy bằng ?
Bài 25: P-value nào làm H0 bị bác bỏ với mức ý nghĩa 0,05? a/ 0,001 b/ 0,021 c/ 0,078 d/ 0,047 e/ 0,148
Bài 26: Quan sát dữ liệu về cường độ của bê tông được mẫu sau: 112,3 96 92,7 85 102 99,2 95,8 103,5 89 86,7 (MPa)
Giả sử bê tông sẽ được sử dụng nếu cường độ trung bình của loại bê tông này lớn hơn
101MPa. Liệu bê tông này có được sử dụng không? Sử dụng kiểm định theo phương pháp p-value
Bài 27: Một mẫu 462 sinh viên trường X có 51 em sử dụng rượu bia thường xuyên. Có
thể kết luận chắc chắn rằng 10% tỉ lệ sinh viên sử dụng rượu bia thường xuyên của toàn
trường lớn hơn 10% được không? Dùng p-value để đưa ra kết luận.
CHƯƠNG 9: KIỂM ĐỊNH DỰA TRÊN HAI MẪU
A. Kiểm định hai trung bình tổng thể của hai mẫu:
Bài 1: Người quản lý công ty quan sát 80 buổi sáng đếm số sản phẩm sản xuất được trong
mỗi buổi và tính được trung bình mẫu x = 800 (sản phẩm/buổi) và độ lệch chuẩn mẫu hiệu 33 chỉnh
170. Quan sát 120 buổi chiều và tính được trung bình mẫu y = 723 (sản phẩm/ buổi) và
độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh 160.
Có ý kiến cho rằng làm việc buổi sáng hiệu quả hơn buổi chiều. Hãy cho nhận xét với mức ý nghĩa 2%
Bài 2: Để nghiên cứu tác dụng của việc bón phân đạm theo công thức A đối với sản lượng
của bắp, người ta làm thí nghiệm trên các mảnh đất . Quan sát sản lượng thu được trên các
mảnh không bón đạm và các mảnh có bón phân đạm theo công thức A được bảng sau Sản lượng (tạ/ha) 50 51 40 37 48 Mảnh không bón phân 4 5 6 3 5 Sản lượng 60 58 30 39 47 35 (tạ/ha) Mảnh bón phân 4 7 3 5 8 3
Hãy cho kết luận về hiệu quả của việc bón phân đạm theo công thức A, với mức ý nghĩa 0.02
B. Kiểm định 2 tỉ lệ tổng thể của hai mẫu
Bài 3: Kiểm tra tay nghề của 480 học viên trường A và 530 học viên trường B chọn một cách
ngẫu nhiên. Kết quả thu được, trường A có 100 học viên đạt tay nghề giỏi, trường B có 110
học viên đạt tay nghề giỏi.
1/ Tìm khoảng tin cậy 97% cho tỷ lệ học viên có tay nghề giỏi của trường A.
2/ Theo số liệu trên, hãy so sánh tỷ lệ học viên có tay nghề giỏi của trường A, B với mức ý nghĩa 2%.
Bài 4: Năm nay nhà máy A có cải tiến kĩ thuật làm mũ bảo hiểm. Kiểm tra chất lượng nón
bảo hiểm do 2 nhà máy A, B sản xuất được kết quả sau: trong số 500 nón bảo hiểm của nhà
máy A, có 95 nón không đạt tiêu chuẩn. Trong số 400 nón của nhà máy B có 95 nón không
đạt tiêu chuẩn. Với mức ý nghĩa 3% có thể kết luận về chất lượng nón bảo hiểm của nhà máy
A cao hơn nhà máy B không? 34
Bài 5: Trong 500 sv nam có 45 sv đạt loại giỏi. Trong 400 sv nữ có 50 sv đạt loại giỏi. Với
mức ý nghĩa 2%, kết luận tỉ lệ giỏi của nam cao hơn nữ được không? Đs : z 1, 69
C. Kiểm định hai phương sai tổng thể
Bài 6: Cho một mẫu A có 28 phần tử với độ lệch chuẩn mẫu là 52,6. Một mẫu B có 25 phần
tử, độ lệch chuẩn mẫu là 85,2 . So sánh độ lệch chuẩn tổng thể của hai mẫu trên với mức ý nghĩa 2%? Đs : 0,39 (bảng Fisher)
D. Kiểm định cho mẫu ghép đôi ( kiểm định cặp):
Bài 7: Khảo sát thời gian hoàn thành cùng 1 loại công việc (sản phẩm) của trong ca sáng và
ca chiều ta có bảng dữ liệu sau Thời gian (phút) 5-5,5 5,5-6 6-6,5 6,5-7 7-7,5 7,5-8 8-8,5 8,5-9 Số sản phẩm ca sáng 11 21 33 48 65 43 30 14 Số sản phẩm ca chiều 9 18 25 47 64 44 29 12
a. Với mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm định ý kiến cho rằng thời gian trung bình để hoàn
thành sản phẩm của ca sáng là nhiều hơn ca chiều.
b. Hãy so sánh tỷ lệ sản phẩm có thời gian hoàn thiện không quá 7 phút của 2 ca sáng và
chiều với mức ý nghĩa 4%.
c. Tìm khoảng tin cậy 98% cho hiệu giữa thời gian trung hoàn thành cùng 1 loại công
việc (sản xuất cùng 1 loại sản phẩm) của ca sáng trừ đi thời gian trung hoàn thành
cùng 1 loại công việc (sản xuất cùng 1 loại sản phẩm) của ca chiều.
(đáp án: xem video sửa bài tập)
Bài 8 : Để so sánh thời gian lên mạng xã hội (đơn vị: h) trong 1 tuần giữa vợ và chồng trong
1 gia đình có khác nhau không người ta khảo ngẫu nhiên 1 số hộ gia đình ở vùng A và thu
được bảng số liệu sau: Gia đình 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 thứ Vợ 13 15 18 21 22 17 19 22 18 19 20 21 25 28 21 19 17 10 Chồng 14 16 15 19 19 18 18 20 15 12 18 20 22 21 16 18 15 12
Giả sử thời gian lên mạng xã hội trong 1 tuần của vợ, chồng có phân phối chuẩn. 35
1/ Hãy cho nhận xét về ý kiến này với mức ý nghĩa 1%.
2/ Hãy tìm khoảng tin cậy 95%. Cho hiệu thời gian lên mạng xã hội trung bình của vợ trừ
cho chồng trong 1 gia đình.
(đáp án: xem video sửa bài tập) E. Tổng hợp:
Bài 9 : Sau khi tăng chế độ dinh dưỡng cho sinh viên trường A. Khảo sát chiều cao của sinh viên trường A, B ta có Chiều cao (m) 1,5-1,55 1,55-1,6 1,6-1,65 1,65-1,7 1,7-1,75 1,75-1,8 1,8-1,85 1,85-1,9 Số SV (A) 15 38 56 68 70 56 31 12 Số SV (B) 21 43 60 78 71 58 29 10
1) So sánh chiều cao trung bình của sinh viên 2 trường A, B với mức ý nghĩa 3%.
2) Có ý kiến cho rằng chiều cao trung bình của sinh viên trường A cao hơn trường B.
Hãy cho nhận xét với mức ý nghĩa 5%.
Bài 10: Nghiên cứu khả năng chống cảm cúm của Vitamin C, có kết quả sau: Trong số 420
người không uống Vitamin C, có 93 người bị cảm cúm. Trong số 417 người, mỗi ngày uống 1g
Vitamin C/ mỗi người, có 51 người bị cảm cúm. Với mức ý nghĩa 1% có thể cho rằng Vitamin
C có khả năng chống cảm cúm hay không? Đs: 3, 78
Bài 11: Giả thuyết rằng thời gian sử dụng điện thoại loại A, B có phân phối chuẩn. Quan sát
thời gian sử dụng một số điện thoại A, B ta có số liệu Thời gian (h) 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 10-11 11-12 Số điện thoại A 1 2 5 7 6 3 1 Số điện thoại B 1 3 4 5 3 2 1
Hãy so sánh thời gian sử dụng trung bình của 2 loại điện thoại này với mức ý nghĩa 5%.
Bài 12: Theo dõi thu nhập, chi tiêu (triệu đồng/tháng) của một số hộ gia đình trong vùng A có số liệu. ThuNhập 15 18 19 21 23 27 29 19 17 24 22 28 35 38 40 Chi tiêu 12 15 15 17 21 25 22 18 17 21 18 21 30 25 26 Số dư 3 3 4 4 2 2 7 1 0 3 4 7 5 13 14
Giả sử thu nhập, chi tiêu trong 1 tháng của mỗi hộ gia đình là các biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
a/ Tìm khoảng tin cậy 95% cho số tiền dư trung bình trong một tháng của mỗi hộ gia đình. 36
b/ Có ý kiến cho rằng số tiền dư trung bình của mỗi hộ trong 1 tháng là 4 triệu đồng. Hãy cho
nhận xét về ý kiến này với mức ý nghĩa 5%.
Bài 13: Biết trẻ em thành phố được chăm nuôi với chế độ dinh dưỡng tốt hơn trẻ em ở nông
thôn. Quan sát trọng lượng của 150 trẻ sơ sinh ở thành phố có 100 trẻ có trọng lượng trên 3000
gam; trong 200 trẻ sơ sinh ở nông thôn có 98 trẻ có trọng lượng trên 3000 gam. Có thể kết luận
lệ trẻ sơ sinh có trọng lượng trên 3000 gam ở thành phố cao hơn nông thôn với mức ý nghĩa 5% không?
CHƯƠNG 10: HỒI QUY TUYẾN TÍNH
Bài 1: Khảo sát điểm thi đầu vào môn A và điểm thi cuối khóa môn này của một số học viên
tại trung tâm bồi dưỡng M thu được bảng số liệu sau Học viên 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 37 thứ Đầu vào 68 55 73 73 67 56 72 71 61 74 78 63 70 48 45 48 38 43 Cuối 73 62 78 80 73 60 75 78 67 78 83 70 76 53 54 53 45 50 khóa
1/ Giả sử điểm thi đầu vào và điểm thi cuối khóa có phân phối chuẩn, với mức ý nghĩa
5% hãy kiểm định giả thuyết điểm thi trung bình cuối khóa cao hơn điểm thi trung bình đầu khóa.
2/ Có thể dự đoán điểm thi cuối khóa của học viên tại M theo điểm kiểm tra đầu vào bằng
mô hình hồi quy tuyến tính thực nghiệm hay không? Nếu có hãy dự đoán điểm cuối khóa
của học viên có điểm đầu vào là 50 điểm. Nếu điểm thi đầu vào tăng 10 điểm thì điểm
cuối khóa tăng trung bình bao nhiêu?
(xem video sửa bài tập)
Bài 2: Quan sát việc tổng hợp sinh khối ở một nhà máy từ năng lượng bức xạ mặt trời sau 8
tuần người ta thu được bảng số liệu sau:
Dựa vào số liệu này có thể dự đoán được trọng lượng sinh khối qua bức xạ mặt trời bằng hàm
hồi quy tuyến tính thực nghiệm hay không? Nếu được hãy dự báo xem khi bức xạ mặt trời ở
mức 500 thì trung bình sinh khối được sản xuất là bao nhiêu? Bức xạ mặt trời 30 68 121 217 314 419 536 642
Trọng lượng sinh khối (gram) 20 49 122 120 376 580 648 756
Bài 3: Để nghiên cứu sự phát triển của một loại cây trồng, người ta tiến hành đo chiều cao Y
(m) và đường kính X (cm) của một số cây. Kết quả được ghi ở bảng sau đây: Y 3 4 5 6 7 8 38 X 21 2 5 23 4 10 25 8 15 10 27 4 18 5 29 7 11
Tìm hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X.
Bài 4: Một công ty ấn định giá bán X của một loại sản phẩm tại 10 miền khác nhau. Bảng sau
đây cho biết số lượng Y bán được trong một tháng ứng với giá bán: X 34 35 36 36 35 37 38 40 39 40 Y 6 5,9 5,8 5,7 6,2 6,1 5,6 5,5 5,4 5,3
a) Có thể biểu diễn só lượng theo giá bán bằng phương trình hồi quy tuyến tính không? Vì sao?
b) Viết phương trình đường thẳng hồi quy mẫu của Y theo X.
Bài 5: Giả sử giá trị quan sát trên một mẫu của (X,Y) tuân theo quy luật phân phối chuẩn hai
chiều được cho trong bảng sau: X 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 2 4 5 5 8 8 9
Viết phương trình đường thẳng hồi quy mẫu của Y theo X. Dự đoán giá trị Y khi X=12.
Bài 6: Đo chiều cao X (đơn vị: cm) và trọng lượng Y (kg) của một số học sinh chọn ngẫu nhiên được 155 156 158 159 159 160 160 162 164 165 X Y 48 47 48 49 45 50 51 54 53 54
Hãy viết hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm của Y theo X và tính hệ số tương quan mẫu giữa X và Y 39