lOMoAR cPSD| 47206071 Toán học
Euclid, nhà toán học Hy Lạp, thế kỷ thứ 3 trước Tây
lịch, theo hình dung của họa sĩ Raphael, trong một chi tiết của bức họa "Trường Athens".[1]
Toán học hay gọi tắt là toán (Tiếng Anh: mathematics hoặc Math) là ngành nghiên cứu
trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số),[2] cấu trúc (tập hợp, tô pô, nhóm,
vành, ...),[3] không gian (hình học, hệ toạ độ, vector, ...), khả năng (xác suất, biến ngẫu
nhiên, ...) và sự thay đổi (hàm số, giới hạn, đạo hàm, vi phân, tích phân, ...).[4][5]
[6] Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học.[7][8]
Các nhà toán học tìm kiếm các mô thức [9] [10] và sử dụng chúng để tạo ra những giả
thuyết mới. Họ lý giải tính đúng đắn hay sai lầm của các giả thuyết bằng các chứng
minh toán học. Khi những cấu trúc toán học là mô hình tốt cho hiện thực, lúc đó suy
luận toán học có thể cung cấp sự hiểu biết sâu sắc hay những tiên đoán về tự nhiên.
Thông qua việc sử dụng những phương pháp trừu tượng và lôgic, toán học đã phát
triển từ việc đếm, tính toán, đo lường đến việc nghiên cứu có hệ thống những hình
dạng và chuyển động của các đối tượng vật lý. Con người đã ứng dụng toán học trong
đời sống từ xa xưa. Việc tìm lời giải cho những bài toán có thể mất hàng năm, hay
thậm chí hàng thế kỷ.[11]
Những lập luận chặt chẽ xuất hiện trước tiên trong nền toán học Hy Lạp cổ đại, đáng
chú ý nhất là trong tác phẩm Cơ sở của Euclid. Kể từ những công trình tiên phong của
Giuseppe Peano (1858–1932), David Hilbert (1862–1943), và của những nhà toán học
khác trong thế kỷ 19 về các hệ thống tiên đề, nghiên cứu toán học trở thành việc thiết
lập chân lý thông qua suy luận logic chặt chẽ từ những tiên đề và định nghĩa thích hợp.
Toán học phát triển tương đối chậm cho tới thời Phục hưng, khi sự tương tác giữa
những phát minh toán học với những phát kiến khoa học mới đã dẫn đến sự gia tăng
nhanh chóng những phát minh toán học vẫn tiếp tục cho đến ngày nay.[12]
Toán học được sử dụng trên khắp thế giới như một công cụ thiết yếu trong nhiều lĩnh
vực, bao gồm khoa học, kỹ thuật, y học, và tài chính. Toán học ứng dụng, một nhánh
toán học liên quan đến việc ứng dụng kiến thức toán học vào những lĩnh vực khác,
thúc đẩy và sử dụng những phát minh toán học mới, từ đó đã dẫn đến việc phát triển lOMoAR cPSD| 47206071
nên những ngành toán hoàn toàn mới, chẳng hạn như thống kê và lý thuyết trò chơi.
Các nhà toán học cũng dành thời gian cho toán học thuần túy, hay toán học vị toán học.
Không có biên giới rõ ràng giữa toán học thuần túy và toán học ứng dụng, và những
ứng dụng thực tiễn thường được khám phá từ những gì ban đầu được xem là toán học Thuần túy.[13] [sửa | sửa mã nguồn ]
Nhà toán học Hy Lạp Pythagoras (khoảng 570–495 TCN ) ,
được coi là đã phát minh ra định lý Pythagore.
Bài chi tiết: Lịch sử toán học
Nhà toán học Ba Tư Al-Khwarizmi (Khoảng 780-850 TCN),
người phát minh ra Đại số.
Từ "mathematics" trong tiếng Anh bắt nguồn từ μάθημα (máthēma) trong tiếng Hy Lạp
cổ, có nghĩa là "thứ học được",[14] "những gì người ta cần biết," và như vậy cũng có
nghĩa là "học" và "khoa học"; còn trong tiếng Hy Lạp hiện đại thì nó chỉ có nghĩa là "bài
học." Từ máthēma bắt nguồn từ μανθάνω (manthano), từ tương đương trong tiếng Hy
Lạp hiện đại là μαθαίνω (mathaino), cả hai đều có nghĩa là "học." Trong tiếng Việt,
"toán" có nghĩa là tính; "toán học" là môn học về toán số.[15] Trong các ngôn ngữ sử
dụng từ vựng gốc Hán khác, môn học này lại được gọi là số học. lOMoAR cPSD| 47206071
Sự tiến hóa của toán học có thể nhận thấy qua một loạt gia tăng không ngừng về
những phép trừu tượng, hay qua sự mở rộng của nội dung ngành học. Phép trừu
tượng đầu tiên, mà nhiều loài động vật có được,[16] có lẽ là về các con số, với nhận thức
rằng, chẳng hạn, một nhóm hai quả táo và một nhóm hai quả cam có cái gì đó chung, ở
đây là số lượng quả trong mỗi nhóm.
Các bằng chứng khảo cổ học cho thấy, ngoài việc biết đếm những vật thể vật lý, con
người thời tiền sử có thể cũng đã biết đếm những đại lượng trừu tượng như thời gian - ngày, mùa, và năm.[17]
Đến khoảng năm 3000 trước Tây lịch thì toán học phức tạp hơn mới xuất hiện, khi
người Babylon và người Ai Cập bắt đầu sử dụng số học, đại số, và hình học trong việc
tính thuế và những tính toán tài chính khác, trong xây dựng, và trong quan sát thiên
văn.[18] Toán học được sử dụng sớm nhất trong thương mại, đo đạc đất đai, hội họa, dệt,
và trong việc ghi nhớ thời gian.
Các phép tính số học căn bản trong toán học Babylon (cộng, trừ, nhân, và chia) xuất
hiện đầu tiên trong các tài liệu khảo cổ. Giữa năm 600 đến 300 trước Tây lịch, người
Hy Lạp cổ đã bắt đầu nghiên cứu một cách có hệ thống về toán học như một ngành
học riêng, hình thành nên toán học Hy Lạp.[19] Kể từ đó toán học đã phát triển vượt bậc;
sự tương tác giữa toán học và khoa học đã đem lại nhiều thành quả và lợi ích cho cả
hai. Ngày nay, những phát minh toán học mới vẫn tiếp tục xuất hiện làm cho toán học ngày càng đa dạng hơn.
Cảm hứng, thuần túy ứng dụng, và vẻ đẹp[sửa | sửa mã nguồn ]
Bài chi tiết: Vẻ đẹp của toán học
Isaac Newton (1643–1727), một trong những người phát minh ra vi tích phân.
Toán học nảy sinh ra từ nhiều kiểu bài toán khác nhau. Trước hết là những bài toán
trong thương mại, đo đạc đất đai, kiến trúc, và sau này là thiên văn học; ngày nay, tất
cả các ngành khoa học đều gợi ý những bài toán để các nhà toán học nghiên cứu,
ngoài ra còn nhiều bài toán nảy sinh từ chính bản thân ngành toán. Chẳng hạn, nhà vật
lý Richard Feynman đã phát minh ra tích phân lộ trình (path integral) cho cơ học lượng lOMoAR cPSD| 47206071
tử bằng cách kết hợp suy luận toán học với sự hiểu biết sâu sắc về mặt vật lý, và lý
thuyết dây - một lý thuyết khoa học vẫn đang trong giai đoạn hình thành với cố gắng
thống nhất tất cả các tương tác cơ bản trong tự nhiên - tiếp tục gợi hứng cho những lý
thuyết toán học mới.[20] Một số lý thuyết toán học chỉ có ích trong lĩnh vực đã giúp tạo ra
chúng, và được áp dụng để giải các bài toán khác trong lĩnh vực đó. Nhưng thường thì
toán học sinh ra trong một lĩnh vực có thể hữu ích trong nhiều lĩnh vực, và đóng góp
vào kho tàng các khái niệm toán học.
Các nhà toán học phân biệt ra hai ngành toán học thuần túy và toán học ứng dụng. Tuy
vậy các chủ đề toán học thuần túy thường tìm thấy một số ứng dụng, chẳng hạn như lý
thuyết số trong ngành mật mã học. Việc ngay cả toán học "thuần túy nhất" hóa ra cũng
có ứng dụng thực tế chính là điều mà Eugene Wigner gọi là "sự hữu hiệu đến mức khó
tin của toán học".[21] Giống như trong hầu hết các ngành học thuật, sự bùng nổ tri thức
trong thời đại khoa học đã dẫn đến sự chuyên môn hóa: hiện nay có hàng trăm lĩnh vực
toán học chuyên biệt và bảng phân loại các chủ đề toán học đã dài tới 46 trang.[22] Một
vài lĩnh vực toán học ứng dụng đã nhập vào những lĩnh vực liên quan nằm ngoài toán
học và trở thành những ngành riêng, trong đó có xác suất, vận trù học, và khoa học máy tính.