PHƯƠNG PHÁP
BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU
BÀI TOÁN TÌM HÀM THỰC NGHIỆM
Cho hàm số dưới dạng bảng số (x , y i i )i 1, = n
Biết 2 đại lượng x và y có mối liên hệ phụ thuộc
nhau theo một dạng đã biết ví dụ như:
1.y = a + bx 2
2.y = a + bx + cx 3. = . bx y a c 4. b y = ax
5.y = a + bcos x + csin x
Tìm các giá trị cụ thể của các tham số a, b, c,…
PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU
• Giả sử hàm có dạng y = f ( , x , a , b , c ...)
• Lập tổng các bình phương của các sai số: n
S = ( y − f (x ,a, , b c,...) → S i i )2 min a,b,c,... i 1 =
Mục đích của phương pháp là tìm a,b,c,… sao cho S bé nhất
• S luôn đạt cực tiểu tại điểm dừng S  S  S  = 0, = 0, = 0,... a  b  c 
Trường hợp hàm bậc nhất n
S = (ax + b − y → S i i )2 min a,b i 1 = n n n n  S   
= 2(ax + b − y x =
a x + b x =  x y i i ) ( i ) 2 0 i i i i  a  i 1 =  i 1 = i 1 = i 1 =    n n n  S  
= 2(ax + b − y =
a x + bn =  y i i ) ( ) 1 0 i i  b    i 1 =  i 1 = i 1 = Trường hợp hàm bậc hai n
S = (ax + bx + c − y → S i i i )2 2 min a,b,c i 1 = n n n n  4 3 2 2  S  =
a x + b x + c x =  x y 0 i i i i i   i 1 = i 1 = i 1 = i 1 a =   n n n n  S   3 2 
= 0  ax + bx + cx = x y i i i i i b    i 1 = i 1 = i 1 = i 1 =  S   n n n = 0 2 
ax + bx + cn =  y  c  i i i  i 1= i 1 = i 1 = Trường hợp = . bx y a c • Lấy logarit 2 vế
log y = log a + b . x log c • Đặt
Y = log y, A = log , a B = . b log , c X = x
 Y = A + BX
 Áp dụng trường hợp bậc 1. Chú ý: A B
a = e ,b = logc Trường hợp = . b y
a x , a  0, x  0 • Lấy logarit 2 vế
log y = log a + . b log x • Đặt
Y = log y, A = log , a B = , b X = log x
 Y = A + BX
 Áp dụng trường hợp bậc 1. Chú ý: A
a = e ,b = B
Trường hợp hàm lượng giác
y = a + bcos x + csin x
• Tổng bình phương sai số: n 2
S = (y − a − bcos x − csin x ) i i i Tìm a,b,c từ hệ i 1 = n n n   S  =
na + bcos x + csin x =  y 0 i i i   i 1 = i 1 = i 1 a =   n n n n  S   2 
= 0  acos x + bcos x + csin x cos x =  y cos x i i i i i i b    i 1 = i 1 = i 1 = i 1 =  S   n n n n = 0 2 
asin x + bsin x cosx + csin x =  y sin x  c  i i i i i i  i 1= i 1 = i 1 = i 1 =