Phương pháp giải toán 9 hệ số góc của đường thẳng y=ax+b (có đáp án và lời giải chi tiết)

Bài 5. HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG y  ax  b a  0
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
 Góc tạo bởi đường thẳng y  ax  ba  0 và trục Ox : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , khi nói
góc  là góc tạo bởi đường thẳng y  ax  b và trục Ox (hoặc nói rằng đường thẳng
y  ax  b tạo với trục Ox một góc  ), ta cần hiểu rằng đó là góc tạo bởi tia Ax và tia AT ,
trong đó A là giao điểm của hai đường thẳng y  ax  b với trục Ox , T là điểm thuộc đường
thẳng y  ax  b và có tung độ dương.
 Cho đường thẳng y  ax  ba  0 . Khi đó, hệ số góc của đường thẳng đã cho là k  a.
 Cho đường thẳng y  ax  ba  0 ; với  là góc tạo bởi đường thẳng y  ax  b và trục Ox . Khi đó
 Nếu a  0 thì  là góc nhọn. Hệ số a càng lớn thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 90 .
 Nếu a  0 thì  là góc tù. Hệ số a càng lớn thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 180 .
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tìm hệ số góc của đường thẳng
 Sử dụng kiến thức liên quan đế vị trí tương đối của hai đường thẳng và hệ số góc của hai đường thẳng.
Ví dụ 1. Xác định hệ số góc của các đường thẳng sau:
a) d : y  2x 1; b) d : y  3  x  4 ; 1 2 1 c) d : y  x  3 ;
d) d : 3y  x  2 . 3 2 4
Ví dụ 2. Cho đường thẳng d : y  ax  b . Xác định hệ số góc của d biết:
a) d song song với đường thẳng d : 3x  y  2 ; ĐS: k  3. 1 b) 
d tạo với tia Ox một góc   60 . ĐS: k  3 .
Ví dụ 3. Cho đường thẳng d : y  (2m  5)x  3m  2 với m là tham số. Tìm hệ số góc của d biết
a) d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 ; ĐS: k 11.
b) d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 ; ĐS: k  7  . c) d đi qua điểm ( A 2; 2)  . ĐS: k  1  .
Ví dụ 4. Cho đường thẳng d y   2 :
m  2m  2 x  5m  7 với m là tham số. Tìm m để d có hệ số góc nhỏ nhất. ĐS: m 1.
Dạng 2: Xác định góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox
 Cách 1: Gọi  là góc tạo bởi trục Ox và đường thẳng d . Ta có Trang 1
 Nếu   90 thì a  0 và a  tan .
 Nếu   90 thì a  0 và a   tan 180   .
 Cách 2: Vẽ đường thẳng d trên mặt phẳng tọa độ và sử dụng tỉ số lượng giác của góc
nhọn của tam giác vuông một cách hợp lý.
Ví dụ 4. Tìm góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng d (làm tròn đến độ) biết:
a) d : y  2x 1 ; ĐS: 63 .
b) d : y  x  4 ; ĐS: 135 .
c) d : 3x  y 1  0; ĐS: 60 .
d) d : x  y 1  0 . ĐS: 45 .
Ví dụ 5. Tìm góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng d biết:
a) d có phương trình là y   3x  2 ; ĐS: 120 .
b) d cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 1 và cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng 1. ĐS: 45 .
Ví dụ 6. Cho các đường thẳng d : y  x  2 và d : x  y  3 . 1 2
a) Vẽ d và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ; 1 2
b) Gọi A , B lần lượt là giao điểm của d và d với trục hoành. Gọi C là giao điểm của d và d . 1 2 1 2
Tính số đo các góc của tam giác ABC ;
c) Tính diện tích tam giác ABC .
Dạng 3: Xác định phương trình đường thẳng khi biết hệ số góc
 Bước 1: Gọi d : y  ax  b là phương trình đường thẳng cần tìm ( a,b là các hằng số).
 Bước 2: Dựa vào kiến thức đã học về góc và hệ số góc để tìm a,b .
Ví dụ 7. Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau: 2
a) d đi qua M ( 3
 ;1) và có hệ số góc bằng ; ĐS: 2 11 (d ) : y  x  . 5 5 5
b) d đi qua N (1; 2) và tạo với tia Ox một góc 60 ;
ĐS: (d ) : y  3x  2  3 .
c) d đi qua điểm P(0; 2)
 và tạo với tia Ox một góc 135 .
ĐS: (d) : y  x  2 .
Ví dụ 8. Xác định đường thẳng d biết d đi qua điểm (
A 1; 1) sao cho d tạo với tia Ox một góc  1 có tan   . ĐS: 1 4 (d ) : y  x  . 3 3 3
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG I. TRẮC NGHIỆM Trang 2
Câu 1. Đường thẳng (d ) đi qua giao điểm của hai đường thẳng y  x 1, y  2x và song song với
đường thẳng y  2x  2  2 là A. y  4x  2  2 .
B. y  (2  2)x 1. C. y  2x  2  2 .
D. y  x  2 . 1 3
Câu 2. Đường thẳng y  x 
vuông góc với đường thẳng nào dưới đây? 2 2 1 3 3 A. y   x  . B. y  2x  . 2 2 2 3 1 3
C. y  2x  . D. y  x  . 2 2 2 1
Câu 3. Đường thẳng y  (m 1)x  2 vuông góc với đường thẳng y 
x  2011 thì m bằng 2 A. 2  . B. 3  . C. 1. D. 1. II. TỰ LUẬN
Bài 1. Xác định hệ số góc của đường thẳng sau:
a) d : y  3x 1 ; b) d : y  3  x  7 ; 1 2 1 c) d : y  x  3 ; d) d : 3y  2  x  2 . 3 5 4
Bài 2. Cho đường thẳng d : y  ax  5 . Xác định hệ số góc của d biết:
a) d song song với đường thẳng d :: 2x  y  2 ; ĐS: k  2 . 1 b) 
d tạo với Ox một góc   60 . ĐS: k  3 .
Bài 3. Cho đường thẳng d : y  (3  2 )
m x  m 1 với m là tham số. Tìm hệ số góc của d biết rằng
a) d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1; ĐS: k  1  .
b) d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4  ; ĐS: k  9 .
c) d đi qua điểm (3 A ;3) . ĐS: k 1.
Bài 4. Cho đường thẳng d y   2 :
9m  6m  2 x  m  3 , với m là tham số. Tìm m để d có hệ số nhỏ nhất. ĐS: 1 m  . 3
Bài 5. Tìm góc tạo bởi tia Ox và các đường thẳng sau (làm tròn đến độ) biết: a) d : y  2  x 1; ĐS: 117 . 1 Trang 3 1 b) d : y   x  4 ; ĐS: 162 . 2 3 3 1 c) d : x  y   0 ; ĐS: 41 . 3 2 2
d) d : x  4 y  0 . ĐS: 14 . 4
Bài 6. Tìm góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng d biết:
a) d có phương trình là y  3x 1 ; ĐS: 72 .
b) d cắt tia Oy tại điểm có tung độ bằng 4 và cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng 3  . ĐS: 53 . 1
Bài 7. Cho các đường thẳng d : y  2x  3 và d : y  x . 1 2 2
a) Vẽ d và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ; 1 2
b) Gọi A là giao điểm của d với trục tung, B là giao điểm của d và d . Tính số đo các góc của 1 1 2 tam giác OAB ; ĐS: ˆ  ˆ  ˆ A 34 , B 63 ,O 83    .
c) Tính diện tích tam giác OAB . ĐS: 3.
Bài 8. Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau: 1
a) d đi qua M (4;3) và có hệ số góc bằng ; ĐS: 1 (d ) : y  x  2 . 4 4
b) d đi qua N  3;4 và tạo với tia Ox một góc 30 ; ĐS: 3 (d ) : y  x  5 . 3
c) d đi qua P(0; 4) và tạo với tia Ox một góc 45 .
ĐS: (d) : y  x  4 .
Bìa 9. Xác định đường thẳng d , biết d đi qua điểm ( A 7; 3
 ) sao cho d tạo với tia Ox một góc  5 có tan   . ĐS: 5 (d ) : y  x  8 . 7 7
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 10. Xác định hệ số góc của các đường thẳng sau: a) d : y  5  x  4 ;
b) d : y  x 1 ; 1 2 3 c) d : y  x  2 ;
d) d : 2 y  x . 3 5 4
Bài 11. Cho đường thẳng d : y  ax  b . Xác định hệ số góc của d biết:
a) d vuông góc với đường thẳng d : 4x  y  3  0 ; ĐS: 1 k   . 1 4 Trang 4 b) 
d tạo với tia Ox một góc   150 . ĐS: 1 k   . 3
Bài 12. Cho đường thẳng d y   2 :
2m  5m x  m  4 với m là tham số. Tìm hệ số góc của d biết rằng
a) d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 ; ĐS: 13 k  2,  k   . 9
b) d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2  ; ĐS: k 102 . c) d đi qua điểm ( A 2; 2) . ĐS: 9 k  2,  k   . 8
Bài 13. Tìm m để đường thẳng d y   2 :
m  4m  2 x 2m1 với m là tham số có hệ số góc lớn nhất. ĐS: m  2  .
Bài 14. Tìm góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng d (làm tròn đến độ) biết: a) d : y  3  x 1; ĐS: 108 . 1 1
b) d : y  x  ; ĐS: 45 . 2 2
c) d : 3y  x  2 ; ĐS: 30 . 3
d) d : x  y  0 . ĐS: 135 . 4
Bài 15. Tìm góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng d biết:
a) d có phương trình là y  2x  5 ; ĐS: 63 .
b) d đi qua hai điểm (
A 1; 0) và B(0; 3) . ĐS: 60 . 1 2
Bài 16. Cho các đường thẳng d : y  2x  4 và d : y   x  . 1 2 9 9
a) Vẽ các đường thẳng d và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ và chứng minh chúng cắt nhau tại 1 2
điểm A nằm trên trục hoành;
b) Gọi giao điểm của d và d với trục hoành lần lượt là B và C . Tính các góc của tam giác ABC 1 2 ;
c) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC .
Bài 17. Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:  1 
a) d đi qua điểm A ; 1 
 và có hệ số góc bằng 3  ; ĐS: 1
(d ) : y  3x  .  2  2 Trang 5
b) d đi qua điểm B(0;1) và tạo với tia Ox một góc 150 ; ĐS: 3 (d ) : y   x 1. 3
c) d đi qua điểm C(1; 0) và tạo với tia Ox một góc 30 . ĐS: 3 3 (d ) : y  x  . 3 3
Bài 18. Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau: 3
a) d có hệ số góc bằng 
và chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 12 ; 2 3 ĐS: 3 (d ) : y  
x  6 hoặc (d ) : y   x  6 . 2 2 4 3
b) d có hệ số góc bằng 
và khoảng cách từ O đến d bằng . 3 5 ĐS: 4 4
(d ) : y  
x 1 hoặc (d ) : y   x 1. 3 3
E. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Đường thẳng y  (m 1)x  5 đi qua điểm F (1;3) thì có hệ số góc bằng bao nhiêu?
Câu 2. Tính hệ số góc của đường thẳng (d ) : y  (m  2)x  3 , biết nó song song với đường thẳng (d )
 : 2x  y 1  0 . Vẽ đường thẳng (d ) vừa tìm được. Lời giải Đường thẳng (d )
 có phương trình 2x  y 1  0 hay y  2x 1. Vì (d ) (d )
  a  a và b  b nên m 2  2 và 3  1  .
Do đó hệ số góc của đường thẳng (d ) là 2 .  3 
Ta có (d ) : y  2x  3 . Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (
A 0;3) và B  ; 0 
 là đường thẳng (d )  2  cần vẽ (hình bên). Bạn đọc tự vẽ.
Câu 3. Tính hệ số góc của đường thẳng (d ) : y  (1 m)x 1, biết nó vuông góc với đường thẳng (d )
 : x  2y  4  0 . Vẽ đồ thị (d ) vừa tìm được. Lời giải Đườ 1 ng thẳng (d )
 có phương trình x  2y  4  0 hay y  x  2 . 2 1
Vì (d )  (d )
  a a  1
 nên (1 m)  1
  1 m  2 . 2 Trang 6
Do đó hệ số góc của đường thẳng (d ) là 2  .  1 
Ta có (d ) : y  2
 x 1. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm ( A 0;1) và B ; 0 
 là đường thẳng (d )  2  cần vẽ (hình bên). Bạn đọc tự vẽ.
Câu 4. Tính hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm (
A 1;1) và B(2; 3  ) .
Câu 5. Tính góc tạo bởi đường thẳng y  2
 x  3 và trục Ox . Lời giải
Vẽ đường thẳng y  2
 x  3 . Khi đó BAx là góc tạo bởi đường thẳng y  2
 x  3 với trục Ox (hình bên).
Xét tam giác vuông ABO , ta có OB 3 tan OAB 2 OAB 6326      OA 1, 5 BAx 180 OAB 11634     .
Chú ý: Trong đó 2 chính là giá trị tuyệt đối của hệ số góc của đường thẳng y  2  x  3 . Bạn đọc tự vẽ.
Câu 6. Cho đường thẳng (d) : y  mx  3 . Tính góc tạo bởi (d ) với trục Ox , biết (d ) đi qua điểm ( A 3  ;0) . Lời giải 1 Vì ( A 3
 ;0)(d) : y  mx  3  m  . 3
Khi đó (d ) có phương trình 1 y  x  3 . 3
Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng (d ) với trục Ox . Khi đó ta có 1 tan   30    . 3
Vậy góc tạo bởi đường thẳng (d ) với trục Ox là 30 . Bạn đọc tự vẽ. 1
Câu 7. Cho hai đường thẳng (d ) : y  2
 x và (d ) : y  x . Gọi (d ) là đường thẳng song song 1 2 2 3
với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 3 ; (d ) cắt (d ) và (d ) lần lượt tại A và B . 3 1 2 
Chứng minh rằng AOB  90 . Trang 7 Lời giải
Vẽ ba đường thẳng (d ), (d ), (d ) như hình bên. 1 2 3
Xét hai tam giác AHO và OHB , ta có  HA HO 1
AHO  OHB  90 ;   . HO HB 2
Do đó AHO ∽ OHB  AOH  OBH . Mà OBH HOB 90   nên AOH HOB 90 AOB 90     . Chú ý: 1 1 1 (d ) : y  2
 x có hệ số góc a  2
 ; (d ) : y  x có hệ số góc a  . Ta thấy a  a  2  1, 1 1 2 2 2 2 1 2 2
do đó (d )  (d ) . 1 2 Bạn đọc tự vẽ.
Câu 8. Xác định đường thẳng (d ) đi qua điểm (
A 2;3) và có hệ số góc bằng 2  .
Câu 9. Xác định đường thẳng (d ) đi qua điểm (
A 1;1) và tạo với trục Ox một góc bằng 45 .
Câu 10. Xác định đường thẳng (d ) đi qua điểm (
A 0;1) và tạo với đường thẳng y  2 một góc bằng 60 . 3x  5
Câu 11. Hệ số góc của đường thẳng y  là 2 3  3x
Câu 12. Hệ số góc của đường thẳng y  là 5  3 
Câu 13. Hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm M  3;    là 2  
Câu 14. Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm P(1; 3  2) và Q( 3;3  2) là 1 3
Câu 15. Góc tạo bởi đường thẳng y  x  và trục Ox là 2 5 7  2x
Câu 16. Góc hợp bởi đường thẳng y  và trục Ox là 5
Câu 17. Xác định đường thẳng (d ) biết nó có hệ số góc bằng 2 và đi qua điểm ( A 3  ;2) .
Câu 18. Tính hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm (
A 1; 2) và B(3; 4) .
Câu 19. Cho đường thẳng (d ) : y  mx  3 . Tính góc  tạo bởi (d ) với trục Ox , biết: Trang 8
a) (d ) đi qua điểm ( A  3; 0) ;
b) (d ) đi qua điểm B(6; 3  ) .
Câu 20. Xác định đường thẳng (d ) đi qua điểm (
A 0;3) và tạo với đường thẳng y  2 một góc bằng 60 . --- HẾT --- Trang 9