Silde bài giảng toán cao cấp | Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh

lOMoAR cPSD| 47207194
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING
BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KÊ
Slide bài giảng TOÁN CAO CẤP
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2022 lOMoAR cPSD| 47207194 Chương 1
Ma Trận -Định Thức Mục tiêu chương 1
Nắm vững khái niệm và các phép toán trên
ma trận : cộng trừ nhân ma trận, các phép
biến đổi sơ cấp, tìm ma trận nghịch đảo, từ
đó vận dụng giải các bài toán liên quan đến
ma trận. Định thức: khái niệm, các tính chất
và phương pháp tính. Hạng ma trận.
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt
1) Nguyễn Huy Hoàng, Giáo trình toán cao cấp, lưu hành nội bộ, 2020.
2) Lê Đình Thúy, Toán cao cấp cho các nhà kinh tế,
NXB Đại học kinh tế Quốc Dân. lOMoAR cPSD| 47207194
3) Nguyễn Huy Hoàng (chủ biên), Lê Thị Anh, Phùng
Minh Đức, Bùi Quốc Hoàn, Phạm Bảo Lâm, Nguyễn
Mai Quyên, Đoàn Trọng Tuyến, Hoàng Văn Thắng –
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà
kinh tế, NXB ĐHKTQD, 2006& NXB Thống kê, 2007 3
TÀI LIỆU THAM KHẢO
4) Đỗ Công Khanh, Toán cao cấp, NXB ĐHQG
TPHCM. (Đại số + Giải tích).
5) Lê Sĩ Đồng, Toáncaocấp, NXB Giáo Dục. Tiếng Anh
6) Second edition CALCULUS CONCEPTS AND CONTEXTS JAMES STEWART.
7) Edward T. Dowling, Ph.D, Introduction to Mathematical economics.
8) Ngoài ra, một số tài liệu khác 4 2 lOMoAR cPSD| 47207194 Nội dụng 1 .Matrận
2 .Địnhthứccủamatrậnvuông
3 .Matrậnnghịchđảo
4 .Hạngcủamatrận 5 1. Ma Trận (Matrix) 1. Định nghĩa a11 a12 a1n A a21 a22 a2n  am1 am2 amn
A gọi là ma trận cấp m n , A Mmxn lOMoAR cPSD| 47207194 Ký hiệu : A aij m n hay A aij
m n [A]ij là phần tử tại hàng i, cột j trong A 6 . M 1 a Trận (Matrix)
2 .Matrậnbằngnhau A,B M mn A B [ A ] [ i 1 ,n ij B], ,m,j 1 ij 3.C
ácmatrậnđặcbiệt
3.1 .Matrậnkhông 00  0 00  0 0 mn  00  0 7 1. Ma Trận (Matrix)
3. Các ma trận đặc biệt
3.2. Ma trận vuông (Square Matrix) Là ma
trận có số hàng và số cột bằng nhau. 4 lOMoAR cPSD| 47207194
A Mnxn hay A Mn , A được gọi là ma trận vuông cấp n.
+) Các phần tử [A]11, [A]22,…, [A]nn được gọi
là thuộc đường chéo chính của A.
+) Các phần tử [A]n1, [A]n-1,2,…, [A]1n được
gọi là thuộc đường chéo phụ của A. 8
1 . Ma Trận (Matrix )
3 . Cácma trậnđặcbiệt
3.2 . Ma trậnvuông Vídụ1: 1 23 12 3 A 0 6 5 A0 6 5 2 3 5 2 3 5 Đường chéo chính Đường chéo phụ 9 1. Ma Trận (Matrix)
3. Các ma trận đặc biệt
3.3. Ma trận chéo (Diagonal Matrix)
Là ma trận vuông mà mọi phần tử không
nằm trên đường chéo chính đều bằng 0. Ví dụ 2: lOMoAR cPSD| 47207194 5 0 0 A 0 7 0
, gọi là ma trận chéo cấp 3 0 0 0 10 1. Ma Trận (Matrix)
3. Các ma trận đặc biệt
3.4. Ma trận đơn vị (Identity Matrix)
Là ma trận chéo mà mọi phần tử nằm trên
đường chéo chính đều bằng 1.
Ký hiệu : In là ma trận đơn vị cấp n. 1 0 0 In 0 1 0   0 0 1 11 1. Ma Trận (Matrix)
3. Các ma trận đặc biệt
3.5. Ma trận tam giác trên (dưới) Là ma
trận vuông mà mọi phần tử nằm ở phía 6 lOMoAR cPSD| 47207194
dưới (phía trên) đường chéo chính đều bằng 0. Ví dụ 3: 5 20 7 4 1 A 0 0 0
A được gọi là ma trận tam giác trên 12 1. Ma Trận (Matrix)
3. Các ma trận đặc biệt
3.6. Ma trận hàng (cột)
Là ma trận chỉ có một hàng (cột). Còn
được gọi là vectơ hàng (cột). Một ma
trận cấp m n có thể được xem như
được tạo bởi m vectơ hàng hay bởi n vectơ cột. 2 Ma trận cột: A 1 Ma trận hàng: A 2 1 0 0 13 1. Ma Trận (Matrix)
4. Các phép toán trên ma trận Cho A, B Mm n , k  lOMoAR cPSD| 47207194
4.1. Phép nhân ma trận với một số thực
k.A là ma trận được xác định bởi kA ij k A ij , i 1,m, j 1,n
(–1).A hay –A được gọi là ma trận đối của A.
4.2. Phép cộng hai ma trận A + B là
ma trận được xác định bởi A B ij A ij B ij , i 1,m, j 1,n
Phép trừ được định nghĩa là A + (–B) 14 1. Ma Trận (Matrix)
Ví dụ 4. Cho hai ma trận: A 14 52 63 , B 11 11 11 . Tính 2A, 4B, A B, 2A 4B. 1 2 3 2 4 6 2A 2 4 5 6 8 10 12 1 1 1 4 4 4 4B 4 1 1 1 4 4 4 15 8 lOMoAR cPSD| 47207194
1 . Ma Trận(Matrix ) 123 1 11 AB 456 11 1 214 365 246 44 4 2A4B 8 1012 4 44 282 1 2616 16 1. Ma Trận (Matrix)
4. Các phép toán trên ma trận 4.3. Tính chất
a. A + B = B + A (tính giao hoán)
b. (A+B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp)
c. A + 0 = A (0 được hiểu là 0mxn) d. A + ( A) = 0 e. h(kA) = k(hA) f. h(A + B) = hA + hB g. (h + k)A = hA + kA h. 1.A = A 17 1. Ma Trận (Matrix)
4. Các phép toán trên ma trận
4.4. Phép nhân hai ma trận lOMoAR cPSD| 47207194
Cho hai ma trận A Mm n , B Mn p Tích
của A và B là ma trận cấp m p ký
hiệu: AB được xác định bởi AB n ij A ik B kj, i1,m, j 1,p k 1
[AB]ij chính là tích vô hướng của vectơ hàng thứ i
của ma trận A với vectơ cột thứ j của ma trận B.18 1. Ma Trận (Matrix)
4. Các phép toán trên ma trận
4.4. Phép nhân hai ma trận Ví dụ 5: 1 2 A 11 M3x2 , B 2213 M2x2 2 3 1 2 -2 5 AB 11 . 2213 -42 - 29 2 3 1. Ma Trận (Matrix)
4. Các phép toán trên ma trận 4.5. Tính chất 10 lOMoAR cPSD| 47207194
a. A(BC) = (AB)C (tính kết hợp)
b. (A + B)C = AC + BC C(A + B) =
CA + CB (tính phân bố) c. k(AB) = (kA)B = A(kB)
Lưu ý: Tích của A và B không chắc
tồn tại và không có tính giao hoán.20 1. Ma Trận (Matrix)
5. Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng
5.1. Hoán vị hai hàng Ký hiệu i  i/ Ví dụ 6: 3 2 1 5 1 3 2 4 A 0 1 2 3 1 3 03 12 1 52 3 1 3 2 4 5 1 2 0 5 1 2 0 21 1. Ma Trận (Matrix)
5. Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng lOMoAR cPSD| 47207194
5.2. Nhân hàng i với một số ≠ 0 Ký hiệu i : i Ví dụ 7: 1 2 3 1 2 3 A 0 14 3 : 15 3 0 1 4 0 0 5 0 0 1 22 1. Ma Trận (Matrix)
5. Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng
5.3. Thay hàng i bởi hàng i cộng với lần hàng i/ Ký hiệu i : i i/ Ví dụ 8: 1 1 0 1 1 0 A 10 01 1 2 1 3 : 3 0 1 1 0 1 2 23 12 lOMoAR cPSD| 47207194 1. Ma Trận (Matrix)
6. Áp dụng của các phép biến đổisơ cấp theo hàng
6.1. Chuyển ma trận vuông về ma trận tam giác trên Ví dụ 9: A 01 1 0 1 1 3 : 3 1 1 0 2 1 1 0 1 1 0 0 1 1 3 : 3 2 0 1 1 0 1 2 0 0 1 24
1 . Ma Trận (Matrix )
6.1 . Chuyển ma trận vuông về ma trận tam giác trên Giải thuật : Ví dụ 10: 11 0 2 22 1 5 A 13 0 5 37 3 10 25 lOMoAR cPSD| 47207194 1. Ma Trận (Matrix)
6. Áp dụng của các phép biến đổi sơ cấp theo hàng
6.2. Chuyển ma trận tam giác trên về ma trận đơn vị
Nếu các phần tử thuộc đường chéo chính
của ma trận tam giác trên đều khác 0. Ví dụ 11 1 1 0 1 1 0 1 0 0 A 00 1 1 2 : 1 : 2 1 3 0 1 0 (1): (1)(3):(2): (3)(2)(2) 00 01 10 I3 0 1 0 0 1 26
1 . Ma Trận(Matrix )
6.2 . Chuyển ma trận tam giác trên về ma trận đơn vị
Giải thuật : Ví dụ 12 27 14 lOMoAR cPSD| 47207194 1. Ma Trận (Matrix)
Ví dụ 13. Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng (dòng) Cho hai ma trận 1 1 1 1 4 3 A 1 2 1 ; B 1 3 2 . 2 3 1 1 1 1 1) Tính AB; BA 28 1. Ma Trận (Matrix) 1 1 1 1 4 3 1 0 0 AB 1 2 1 1 3 2 01 0 2 3 1 1 1 1 0 0 1 1 4 3 1 1 1 1 0 0 BA 1 3 2 1 21 0 1 0 1 1 1 2 3 1 0 0 1
Kết quả : Nếu AB BA I 3 thì A và B là hai
ma trận nghịch đảo của nhau. Ký hiệu : A 1 B; B 1 A. 29 lOMoAR cPSD| 47207194 1. Ma Trận (Matrix) 1 1 1 1 1 1 A 2 3 11 2 1 3 :2 : 3 2 2 11 00 11 32 1 1 1 1 0 3 0 1 2 3 : 32 1 : 1 2 0 1 2 0 0 1 0 0 1 1 0 0 2 :1 : 12 3 32 3 0 1 0 I3 0 0 1 30 16 lOMoAR cPSD| 47207194
1 . Ma Trận(Matrix ) 1 11 1 0 0 AI 12 1 0 1 0 3 23 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 2: 2 1 0 1 2 1 1 0 3: 3 21 0 1 3 2 1 0 31
1 . Ma Trận(Matrix ) 1 1 1 1 0 0 3: 3 2 0 1 2 1 1 0 0 0 1 1 1 1 10 3 2 1 0 1 1: 1 2 01 B 2 1 1 0 A 00 1 1 1 1 10 0 1 4 3 1: 1 33 01 0 1 3 2 IB 2: 2 23 3 00 1 1 1 1 32 lOMoAR cPSD| 47207194
1 . Ma Trận(Matrix ) 33 1. Ma Trận (Matrix) 1 1 1 x x y z AX 1 21 y x 2y z 2 31 z 2x 3y z x y z 2 AX B x 2y z 6 2x 3y z 7 x y z 2 18 lOMoAR cPSD| 47207194 x 2y z 6 (1) 2x 3y z 7 34
1 . Ma Trận(Matrix ) 1 4 3 2 1 1 AX B X AB 1 3 2 6 2 1 1 1 7 3 35
1 . Ma Trận(Matrix ) 1 11 2 AB 12 1 6 23 1 7 1 1 1 2 2: 2 1 0 1 2 8 3: 3 21 0 1 3 11 36