lOMoAR cPSD| 49519085
BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KÊ KHOA KINH TẾ - LUẬT
Slide bài giảng TOÁN CAO CẤP
GV. ThS. NGUYỄN TRUNG ĐÔNG
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2022 lOMoAR cPSD| 49519085
TRƯỜNG ĐẠI HỌC
TRƯỜNG ĐẠI HỌC
TÀI CHÍNH - MARKETING
TÀI CHÍNH - MARKETING
KHOA KINH TẾ - LUẬT KHOA KINH TẾ LUẬT
Môn : TOÁN CAO CẤP Môn : TOÁN CAO CẤP
Hình thức đánh giá môn học
Điểm quá trình (40%) Số tín chỉ : 4
Điểm kết thúc học (60%) Số tiết : 60
Điểm học phần = (Điểm quá trình + Điểm kết thúc học)
Giảng viên : ThS. Nguyễn Trung Đông
Giảng viên : ThS. Nguyễn Trung Đông
Mail : nguyendong@ufm.edu.vn
Mail : nguyendong@ufm.edu.vn 1 2 NỘI DUNG MÔN HỌC
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Chương 1. Ma trận – Định thức Tiếng Việt
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
1) Nguyễn Huy Hoàng, Giáo trình toán cao cấp, lưu hành
Chương 3. Không gian vectơ nội bộ, 2020.
2) Lê Đình Thúy, Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB
Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến
Đại học kinh tế Quốc Dân. (Phần I: Giải tích và Phần
Chương 5. Tích phân
II : Đại số tuyến tính) 3) Lê Sĩ Đồng, Toán cao cấp,
Chương 6. Hàm nhiều biến
NXB Giáo Dục. 4) Đỗ Công Khanh, Toán cao cấp, NXB ĐHQG
Chương 7. Phương trình vi phân
TPHCM. (Đại số + Giải tích). 3 4
TÀI LIỆU THAM KHẢO
TÀI LIỆU THAM KHẢO TiếngAnh
5) Nguyễn Huy Hoàng (chủ biên), Lê Thị Anh, Phùng
Minh Đức, Bùi Quốc Hoàn, Phạm Bảo Lâm, Nguyễn
6) SecondeditionCALCULUSCONCEPTSAND
Mai Quyên, Đoàn Trọng Tuyến, Hoàng Văn Thắng – CONTEXTSJAMESSTEWART.
Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà
7) Edward T. Dowling, Ph.D, Introduction to
kinh tế, NXB ĐHKTQD, 2006 NXB Thống kê, 2007 Mathematicaleconomics.
8) Ngoàira,mộtsốtàiliệukhác 5 6 lOMoAR cPSD| 49519085 1 lOMoAR cPSD| 49519085 Bài Giảng
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (Linear Algebra) Chương 1 Ma Trận - Định Thức
GV: ThS. Nguyễn Trung Đông nguyendong@ufm.edu.vn Chương 1
Ma Trận - Định Thức ❖Ma trận
❖Định thức của ma trận vuông
❖Ma trận nghịch đảo
❖Hạng của ma trận 2 1 lOMoAR cPSD| 49519085 1. Ma Trận (Matrix) 1. Định nghĩa a11 a12 a1n A a21 a22 a2n  am1 am2 amn
A gọi là ma trận cấp m n , A Mmxn Ký hiệu : A øa ù ij m n hay A aij m n
[A]ij là phần tử tại hàng i, cột j trong A. 3 2 lOMoAR cPSD| 49519085
1 . Ma Trận(Matrix )
Ví dụ 1. Cho các ma trận 14 147 A 25 B 258 36 369 135 00 C D 246 00 4 . Ma 1
Trận (Matrix )
2 . Ma trận bằng nhau A,B Mmn A B [ A ] ,m,j ij [ B],ij i 1 1 ,n a b 1 4 Ví dụ 2. Cho A ;B c d 3 5 a1 b4 AB c3 d5 5 3 lOMoAR cPSD| 49519085
1 . Ma Trận (Matrix )
3 .Cácmatrậnđặcbiệt
3.1 .Matrậnkhông 0 0  0 0 0  0 0 mn  0 0  0
Ví dụ 3. Cho ma trận 0 0 0 0 0 O ;O 0 0 23 32 0 0 0 0 0 6 1. Ma Trận (Matrix)
3. Các ma trận đặc biệt
3.2. Ma trận vuông (Square Matrix)
Là ma trận có số hàng và số cột bằng nhau.
A Mnxn hay A Mn , A được gọi là ma trận vuông cấp n.
+) Các phần tử [A]11, [A]22,…, [A]nn được gọi
là thuộc đường chéo chính của A.
+) Các phần tử [A]n1, [A]n-1,2,…, [A]1n được gọi
là thuộc đường chéo phụ của A. 7 4 lOMoAR cPSD| 49519085 1. Ma Trận (Matrix)
3. Các ma trận đặc biệt 3.2. Ma trận vuông
Ví dụ 4. Cho ma trận vuông cấp 3 1 2 3 1 2 3 A 02 63 55 A 0 2 63 55 Đường chéo chính Đường chéo phụ 8 1. Ma Trận (Matrix)
3. Các ma trận đặc biệt
3.3. Ma trận chéo (Diagonal Matrix)
Là ma trận vuông mà mọi phần tử không
nằm trên đường chéo chính đều bằng 0.
Ví dụ 5. Cho ma trận chéo cấp 3 5 0 0 5 lOMoAR cPSD| 49519085 A 0 7 0 0 0 0 9 1. Ma Trận (Matrix)
3. Các ma trận đặc biệt
3.4. Ma trận đơn vị (Identity Matrix)
Là ma trận chéo mà mọi phần tử nằm trên
đường chéo chính đều bằng 1. Ký hiệu :
In là ma trận đơn vị cấp n. 1 0 0 I ø ù 1 1 ; I2 1010 ;...; In 0  10 0 0 1 10 6 lOMoAR cPSD| 49519085 1. Ma Trận (Matrix)
3. Các ma trận đặc biệt
3.5. Ma trận tam giác trên (dưới) Là ma
trận vuông mà mọi phần tử nằm ở phía
dưới (phía trên) đường chéo chính đều bằng 0. Ví dụ 6: 5 2 1 A 0 7 4 0 0 0
A được gọi là ma trận tam giác trên 11 1. Ma Trận (Matrix)
3. Các ma trận đặc biệt
3.6. Ma trận hàng (cột)
Là ma trận chỉ có một hàng hay một cột
còn được gọi là vectơ hàng (vectơ cột).
Một ma trận cấp m n có thể được xem
như được tạo bởi m vectơ hàng 7 lOMoAR cPSD| 49519085
Ma trận hàng:hay bởi n vectơ cột.A ø2 1 0ù Ma trận cột: A 021 12 1. Ma Trận (Matrix)
4. Các phép toán trên ma trận Cho A, B Mm n , k .
4.1. Phép nhân ma trận với một số thực
k.A là ma trận được xác định bởi kA ij k A ij , i 1,m, j 1,n.
(–1).A hay –A được gọi là ma trận đối của A.
4.2. Phép cộng hai ma trận A + B là
ma trận được xác định bởi A B ij A ij B ij , i 1,m, j 1,n.
Phép trừ được định nghĩa là A + (–B) 13 8 lOMoAR cPSD| 49519085
1 . Ma Trận(Matrix ) 123 246 2A 2 456 81012 1 11 44 4 4 B 4 11 1 4 44 14
1 . Ma Trận(Matrix ) 1 2 3 1 1 1 A B 4 5 6 1 1 1 2 1 4 3 6 5 2 4 6 4 4 4 2 A 4 B 8 1012 4 4 4 2 8 2 12 616 15 9 lOMoAR cPSD| 49519085 1. Ma Trận (Matrix)
4. Các phép toán trên ma trận 4.3. Tính chất
a. A + B = B + A (tính giao hoán)
b. (A+B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp)
c. A + 0 = A (0 được hiểu là 0mxn) d. A + ( A) = 0 e. h(kA) = k(hA) f. h(A + B) = hA + hB g. (h + k)A = hA + kA h. 1.A = A 16 1. Ma Trận (Matrix)
4. Các phép toán trên ma trận
4.4. Phép nhân hai ma trận
Cho hai ma trận A Mm n , B Mn p Tích
của A và B là ma trận cấp m p ký
hiệu: AB được xác định bởi AB n ij A ik B kj, i1,m, j 1,p k 1
[AB]ij chính là tích vô hướng của vectơ hàng thứ i
của ma trận A với vectơ cột thứ j của ma trận B. 10 lOMoAR cPSD| 49519085 17 1. Ma Trận (Matrix)
4. Các phép toán trên ma trận
4.4. Phép nhân hai ma trận Ví dụ 8: 1 2 3 A 21 13 M 3x2 , B 221 M2x2 632+++-63+1-2- 4+ 2 - 2-3 22 33 AB 111141 .21 .2 + 22 113 -4--4-2-4-2 2-4-222 -5-29552- 25 AB 22 33 1. Ma Trận (Matrix)
4. Các phép toán trên ma trận 4.5. Tính chất
a. A(BC) = (AB)C (tính kết hợp) 11 lOMoAR cPSD| 49519085
b. (A + B)C = AC + BC C(A + B) = CA
+ CB (tính phân bố) c. k(AB) = (kA)B = A(kB)
Lưu ý: Tích của A và B không chắc
tồn tại và không có tính giao hoán. 19 1. Ma Trận (Matrix)
5. Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng
5.1. Hoán vị hai hàng Ký hiệu ø ùi ø ùi/ Ví dụ 9: 3 2 1 5 1 3 2 4 A 1 3 2 40 1 2 3 ø ù ø ù1 3  0 1 2 33 2 1 5 5 1 2 0 5 1 2 0 20 12 lOMoAR cPSD| 49519085 1. Ma Trận (Matrix)
5. Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng
5.2. Nhân hàng i với một số ≠ 0 Ký hiệu ø ùi : ø ùi Ví dụ 10: 1 2 3 1 2 3 A 0 14 ø ù3 : 15ø ù3 0 1 4 0 0 5 0 0 1 21 1. Ma Trận (Matrix)
5. Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng
5.3. Thay hàng i bởi hàng i cộng với lần hàng i/ Ký hiệu ø ùi : ø ùi ø ùi/ Ví dụ 11: 1 1 0 1 1 0 13 lOMoAR cPSD| 49519085 A 0 1 1 ø ù3 : ø ù ø ù3 1 0 1 1 1 0 2 0 1 2 22 1. Ma Trận (Matrix)
6. Áp dụng của các phép biến đổi sơ cấp theo hàng
6.1. Chuyển ma trận vuông về ma trận tam giác trên Ví dụ 12: A 01 1110 ø ù3 : ø ù ø ù3 1 1 0 2 1 1 0 1 1 0 0 10 1 1 2 ø ù3 : ø ù ø ù3 2 0 00 1 1 1 23 14 lOMoAR cPSD| 49519085 1. Ma Trận (Matrix)
6.1. Chuyển ma trận vuông về ma trận tam giác trên
Giải thuật: Ví dụ 13: 1 1 0 21 11 1 0 2222 20 2 0 300 2 0 300 1 12 1 1353 AAA 1 30 0 1 100 0 1 1202 0 3 0 3151 3 70 0 0 100 4 3 440 344 33 104 442 24 1. Ma Trận (Matrix)
6. Áp dụng của các phép biến đổi sơ cấp theo hàng
6.2. Chuyển ma trận tam giác trên về ma trận đơn vị
Nếu các phần tử thuộc đường chéo chính của
ma trận tam giác trên đều khác 0. Ví dụ 14 1 1 0 1 1 0 1 0 0 15 lOMoAR cPSD| 49519085 A 00 1 1
ø ù2 :ø ù1 : ø ù ø ù 2 ø ù1 3 0 1 0 (1): (1)(3):(2): (3)(2)(2) 00 01 10 I3 0 1 0 0 1 25 1. Ma Trận (Matrix)
6.2. Chuyển ma trận tam giác trên về ma trận đơn vị
Giải thuật: Ví dụ 15 AA
1 0 0 00 0 1 00 0 0 10 1 001 0 00 0 1 10 0 00 1 00 0 1 10 0 0 101 0 0 00 0 1 00 0 00 1 01 0 2112 01 0 22 000 100 1000 10 1011 11 11 10 10112231 2322321 322 26 16