Tài liệu lý thuyết giải tích 1 | Môn toán cao cấp
Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số: f(x)= 2x3 + 1 tại x = 2. Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số: y = 2x2 + x + 1 tại x0 = 2. Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem !
Môn: Toán Cao Cấp (KTHCM)
Trường: Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh
Thông tin:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
lOMoAR cPSD| 47305584
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Ví dụ 1 : Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số: f(x)= 2x3 + 1 tại x = 2 Giải:
Ví dụ 2: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số: y = 2x2 + x + 1 tại x0 = 2 Giải:
Ví dụ 3: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số: Giải: lOMoAR cPSD| 47305584
2. Ý nghĩa của đạo hàm
a) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
+) Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x = x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của
đồ thị hàm số y= f( x) tại điểm M0(x0; f(x0)).
+) Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là: y –
y0= f’(x0) ( x- x0) trong đó y0= f(x0).
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x3 – 3x2 + 2 tại điểm có hoành độ x = 3. Lời giải
Bằng định nghĩa ta tính được: y’(3) = 9.
Do đó hệ số góc của tiếp tuyến là 9. Ta có: y(3) = 2.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ x = 3 là:
y = 9(x – 3) + 2 = 9x – 27 + 2 = 9x – 25.
b) Ý nghĩa vật lý của đạo hàm: +) Vận tốc tức thời:
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s= s(t); với s= s(t) là một hàm số có đạo
hàm. Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s= s(t) tại t0: v(t0) = s’(t0).
+) Cường độ tức thời: Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian:
Q= Q(t) ( là hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo
hàm của hàm số Q= Q(t) tại t0: I(t0) = Q’(t0)
Ví dụ 2: Một vật rơi tự do theo phương trình s = (1/2)gt2, trong đó g ≈ 9,8 m/s2 là gia tốc
trọng trường. Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s Giải
Ta có vận tốc của chuyển động: v = (s)’ = gt
Khi đó vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s là: 9,8.5 = 49 m/s lOMoAR cPSD| 47305584
Ví dụ 3: Một xe máy chuyển động theo phương trình : s(t)= t2 + 6t+ 10 trong đó t đơn vị là
giây; s là quãng đường đi được đơn vị m. Tính vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3. Lời giải
Phương trình vận tốc của xe là v( t)=s' ( t)=2t+6 ( m/s)
⇒ Vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3 là: V(3)= 2.3+ 6 = 12 (m/s)
3. Các tính chất của đạo hàm
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số Giải:
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số Giải: Áp dụng công thức : Ta có:
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số: y = 5sin x – 3cos x Giải: lOMoAR cPSD| 47305584
4. Ứng dụng của đạo hàm
*Ứng dụng trong vật lý: trong bộ môn vật lý chúng ứng dụng để tính gia tốc của vật tại thời
gian xác định cụ thể, vận tốc và vị trí (quãng đường). Dựa vào đạo hàm việc tính toán các
đại lượng này sẽ dễ dàng và tính chính xác cao hơn. Ví dụ:
Có một xe máy chuyển động được biểu diễn theo phương trình tương ứng cho trước là s(t)=
t2 + 6t+ 10. Trong đó s là quãng đường đi được (m) và t là đơn vị thời gian (s). Yêu cầu tính
vận tốc tức thời ngay thời điểm t = 3. Giải:
Dựa vào phương trình chuyển động trên, ta suy ra được phương trình tính vận tốc của xe
tương ứng là v(t)=s' (t)=2t+6 (m/s).
⇒ Vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3 là: V(3)= 2. 3+ 6= 12(m/s)
* Ứng dụng của đạo hàm trong kinh tế: khi chúng hỗ trợ tính toán tốc độ tăng trưởng
kinh tế nhằm đưa ra những quyết định đầu tư đúng đắn. Ví dụ:
* Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : tính toán giá trị đồng biến, nghịch
biến, tính đơn điệu của hàm số để từ đó dễ dàng tính toán được bài toán trong thực tế hiệu quả. Cụ thể: lOMoAR cPSD| 47305584
*Đặc điểm của hàm số
4)Miền giá trị: là tập hợp những giá trị y tương ứng vs các giá trị x sao cho f(x) có nghĩa
5)Tính cực trị: Cực trị của hàm số là giá trị mà hàm số đổi chiều biến thiên khi qua đó Giả sử
hàm số f xác định trên K (K ⊂ ℝ) và x0 ∈ K. x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn
tại một khoảng (a;b) ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f(x) < f(x0), ∀ x ∈ (a;b) \{x0}. Khi đó f(x0) được
gọi là giá trị cực đại của hàm số f. x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một
khoảng (a;b) ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f(x) > f(x0), ∀ x ∈ (a;b) \{x0}. Khi đó f(x0) được gọi là
giá trị cực tiểu của hàm số f
6)Tính bất biến: Cho Ω là một tập hợp các trạng thái. T là tập hợp các phép biến đổi từ Ω vào Ω.
Hàm số f: Ω Æ R được gọi là bất biến trên tập các trạng thái Ω đối với tập các phép biến đổi T
nếu f(t(ω)) = f(ω) ∀ω ∈ Ω, ∀ t ∈ T.
Như vậy, bất biến f có thể giúp chúng ta giải quyết trọn vẹn câu hỏi “Bằng các phép biến đổi T,
có thể đưa từ trạng thái ωs về trạng thái ωf?” trong trường hợp mà f(ωs) ≠ f(ωf). Cụ thể câu trả
lời sẽ là “không” (như ở ví dụ 1). Tuy nhiên, nếu f(ωs) = f(ωs) thì ta lại chưa có thể kết luận gì.
Chính vấn đề này dẫn đến một khái niệm mới: bất biến toàn năng.
*Các hàm sơ cấp cơ bản:
1)Hàm lũy thừa: xn có những tính chất: tập xác định,tính chẵn,lẻ,tính đồng biến/nghịch biến
2)Hàm mũ : ex có những tính chất:tập xác định,tính cực trị,tính chẵn,lẻ,miền giá trị,tính đồng biến/nghịch biến
3)Hàm logarit: log(x) có những tính chất: tập xác định,tính cực trị,tính chẵn,lẻ,miền giá trị,tính
đồng biến/nghịch biến
4)Hàm lượng giác: sin(x),cos(x),…. có những tính chất: 11 tính chất kia (trừ tính chất đơn ánh,toàn ánh,song ánh)
5)Hàm lượng giác ngược:arcsin(x),arccos(x),….có những tính chất : 11 tính chất kia (trừ tính
chất đơn ánh,toàn ánh,song ánh)