Tài liệu Toán 9 chủ đề công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Tài liệu gồm 28 trang, bao gồm kiến thức cần nhớ, các dạng toán và bài tập chủ đề công thức nghiệm của phương trình bậc hai trong chương trình môn Toán 9, có đáp án và lời giải chi tiết. Mời bạn đọc đón xem.

42 21 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn

Môn: Toán 9

Thông tin:

28 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
1
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A. Kiến thức cần nhớ
1. Phương trình bậc hai một ẩn
- Phương trình bậc hai một ẩn (hay còn gọi là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:
( )
2
00ax bx c a+ += ≠
, trong đó
,,
abc
là các số thực cho trước và
x
là ẩn số.
- Giải phương trình bậc hai một ẩn là đi tìm tập nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn đó.
2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai
( )
2
00ax bx c a
+ += ≠
và biệt thức
2
4.b ac∆= −
- Trường hợp 1: Nếu
0∆<
thì phương trình vô nghiệm.
- Trường hợp 2: Nếu
0∆=
thì phương trình có nghiệm kép
12
.
2
b
xx
a
−
= =
- Trường hợp 3: Nếu
0∆>
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
1,2
.
2
b
x
a
−± ∆
=
3. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai
với
2 '.bb=
Gọi biệt thức
2
'' .b ac∆= −
- Trường hợp 1: Nếu
'0∆<
thì phương trình vô nghiệm.
- Trường hợp 2: Nếu
'0∆=
thì phương trình có nghiệm kép:
12
'
.
b
xx
a
−
= =
- Trường hợp 3: Nếu
'0∆>
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1,2
''
.
b
x
a
−±∆
=
*) Chú ý: Trong trường hợp hệ số
b
có dạng
2'b
ta nên sử dụng
'∆
để giải phương trình sẽ
cho lời giải ngắn gọn hơn.
- Nếu
,ac
trái dấu thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
B. Bài tập và các dạng toán
Dạng 1: Không dùng công thức nghiệm, giải phương trình bậc hai một ẩn cho trước
Cách giải: Ta có thể sử dụng một trong các cách sau
Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng tích
2
Cách 2: Đưa phương trình đã cho về phương trình mà vế trái là một bình phương còn vế phải
là một hằng số.
Bài 1: Giải các phương trình sau
a)
2
5 70
xx−=
b)
2
3 90x− +=
c)
2
6 50xx
− +=
d)
2
3 12 1 0xx
+ +=
Lời giải
a) Ta có:
(
)
2
7
5 7 0 5 7 0 0;
5
x x xx x

− =⇔ − =⇔∈


b) Ta có:
( )
{ }
22 2
3 90 3 90 3 3 0 3x x xx− + = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ∈±
c) Ta có:
( )( ) { }
2
6 5 0 1 5 0 1; 5xx x x x− +=⇔ − − =⇔∈
d) Ta có:
( )
2
2
6 33
3 12 1 0 3 2 11
3
xx x x
−±
+ += ⇔ + = ⇔ =
Bài 2: Giải các phương trình sau
a)
2
3 70xx− −=
b)
2
37
0
52
x
−
−=
c)
2
90
xx−−=
d)
2
3 6 50xx+ +=
Lời giải
a) Ta có:
( )
{ }
2
3 7 0 370 0;23x x xx x− − = ⇔− + = ⇔ ∈
b) Ta có:
2 22
3 7 35
0 6 35 0
52 6
x x xx
−−
− = ⇔ − − = ⇔ = ⇔ ∈∅
c) Ta có:
2
1 37
90
2
xx x

±

−−=⇔∈



d) Ta có:
( )
2
22
5
3 6503 2 03 1 20
3
xx xx x

+ +=⇔ + + =⇔ + +=


(vô lý).
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 3: Giải các phương trình sau
a)
2
22 0xx+=
b)
( )
22
2 50mx+ −=
với
m
∈
3
c)
2
1
2 0, 25 0
2
x

−− =


d)
2
3 20xx− +=
Lời giải
a) Ta có
(
)
2
0
22 0 22 0
22
x
x x xx
x
=
+ =⇔+ =⇔
=
Vậy tập nghiệm của phương trình là
{ }
0; 2 2S =
b) Ta có
( )
22 2
22
55
2 50
22
mx x x
mm
+ −=⇔ = ⇔ =±
++
(vì
2
20m +>
)
Vậy tập nghiệm của phương trình là
22
55
;
22
S
mm


= −

++


c) Ta có
22
11
1
2
1 1 11
22
2 0, 25 0 2 0, 25 2
2
11
2 2 22
0
2
22
x
x
x xx
x
x
−=
=
 
− − =⇔ − = ⇔ −=⇔ ⇔
 
 
=
−=−
Vậy tập nghiệm của phương trình là
1
;0
2
S

=


d) Ta có
( )( )
22
1
3 20 2 20 1 2 0
2
x
x x xxx x x
x
=
− +=⇔ −− +=⇔ − − =⇔
=
Vậy tập nghiệm của phương trình là
{ }
1; 2S =
.
Bài 4:
Với giá trị nào của tham số m thì phương trình
22
4 40x mx m+ +=
có nghiệm
1
x =
Lời giải
Thay
1x =
vào phương trình ta có:
22
4.1 .1 4 0 2mm m+ + =⇔=−
.
Vậy
2m = −
Bài 5:
Cho phương trình
22
4 10 0.mx x m−− =
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có
nghiệm
2x =
Lời giải
Thay
2x =
vào phương trình ta được:
22 2
4 11
4 .2 2 10 0 10 16 2 0 .
5
m m mm m
±
− − = ⇔− + − = ⇔ =
4
Bài 6
:
Cho phương trình
22
(2 1) 2 3 0 (1)x m xm m− + + − +=
. Giải phương trình (1) biết phương trình (1)
có một nghiệm
2x =
Lời giải
Vì phương trình có nghiệm x = 2 nên ta có:
22
2 (2 1).2 2 3 0
m mm− + + − +=
{ }
22
442 230 650 1; 5m m m m m mm m⇔−−+−+=⇔−+=⇔∈= =
+)
{
}
2
1 3 2 0 1; 2
m xx x=⇒ − +=⇔∈
+)
{ }
2
5 11 18 0 9;2m xx x=⇒ − + =⇔∈
5
Dạng 2: Giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm
thu gọn
Cách giải: Sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
để giải.
Bài 1:
Xác định hệ số
,,;abc
Tính biệt thức
∆
(hoặc
'∆
nếu
2'bb=
) rồi tìm nghiệm của các phương
trình sau
a)
2
2 3 50xx− −=
b)
2
6 80
xx− +=
c)
2
9 12 4 0xx
− +=
d)
2
3 4 40xx− + −=
Lời giải
a) Ta có:
2; 3; 5ab c
= =−=−
và
49 0
∆= > ⇒
phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1,2
5
1;
22
b
xx
a
−± ∆

= ⇒ ∈−


b) Ta có:
{ }
1; 6; ' 3; 8; ' 1 0 2; 4ab b c x= =− =− = ∆= > ⇒ ∈
c) Ta có:
9; 12; 4; 0ab c= =− = ∆= ⇒
phương trình có nghiệm kép:
12
2
3
xx= =
d) Ta có:
3; 4; 4; 32 0a bc=− = =− ∆=− < ⇒
phương trình vô nghiệm.
Bài 2:
Xác định hệ số
,,;abc
Tính biệt thức
∆
(hoặc
'∆
nếu
2'bb=
) rồi tìm nghiệm của các phương
trình sau
a)
2
11 0xx
−− =
b)
2
4 40xx
− +=
c)
2
5 4 10xx− − +=
d)
2
2 30xx− +−=
Lời giải
a) Ta có:
1 35
1; 1; 1 1; 45 0
2
ab c x

±

= =− =− ∆= > ⇒ ∈



b) Ta có:
1; 4; 4; 0 2ab c x
= =− = ∆= ⇒ =
c) Ta có:
1
5; 4; 1; 3 6 0 1;
5
abc x

=− =− = ∆= > ⇒ ∈ −


6
d) Ta có:
2; 1; 3; 23 0a bc
=− = =− ∆=− < ⇒
phương trình vô nghiệm.
Bài 3:
Giải các phương trình sau
a)
2
5 10
xx+ −=
b)
2
2 22 1 0xx− +=
c)
( )
2
3 1 3 10xx− − −=
d)
2
3 46 4 0xx− + +=
Lời giải
a) Ta có:
53
1; 5 ; 1; 9 0 3
2
ab c x

−±

= = =− ∆= > ⇒ ∆= ⇒ ∈



b) Ta có:
2
2; 2 2 ; 1; 0
2
ab c x= =− = ∆= ⇒ =
c) Ta có:
( )
3
3 ; 1 3 ; 1; 4 6 3 0 1;
3
ab c x


= =− − =− ∆= + > ⇒ ∈ −



d) Ta có:
6 26 6 26
3; 4 6; 4; 144 0 ;
33
ab c x

+ −+

=− = = ∆= > ⇒ ∈



Bài 4:
Giải các phương trình sau
a)
2
2 2 11 7 0xx+ −=
b)
2
152 5 1 0
xx− +=
c)
( )
2
2 3 23 0xx−+ + =
d)
2
3 23 1 0xx− +=
Lời giải
a) Ta có:
11 5
2; 2 11; 7; 100 0
2
ab c x

−±

= = =− ∆= > ⇒ ∈



b) Ta có:
152; 5; 1; 583 0a bc x= =− = ∆ = − < ⇒ ∈∅
c) Ta tính được:
{ }
2; 3x ∈
d) Ta tính được:
3
3
x =
7
Bài 5:
Giải các phương trình sau
a)
2
25 4 0xx+ +=
b)
2
2 3 50xx− +=
Lời giải
a) Ta có
( )
2
' 5 41 '1∆= − = ⇒ ∆=
Vậy phương trình có hai nghiệm
1
51
2
x
−−
=
và
2
51
2
x
−+
=
b) Ta có
2
3 4.5. 2 9 20 2 0∆= − = − <
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 6:
Cho phương trình
( )
2
35 2 0
x mx m
− − +− =
với
m ∈
là tham số
a) Xác định các hệ số
,,abc
của phương trình
b) Giải phương trình trong các trường hợp
2; 5; 1mmm= = =
Lời giải
a) Ta có
( )
3, 5 , 2a b mc m= =−− =−
b) Với
5m =
ta có phương trình
22
3 30 1 1x xx−=⇔ =⇔ =±
Với
2m =
ta có phương trình
( )
2
0
3 303 10
1
x
x x xx
x
=
− =⇔ −=⇔
=
Với
1m =
ta có phương trình
(
)
( )
22
1
3 4 10 3 3 10 3 1 1 0
3
1
x
x x x xx x x
x
=
− == ⇔ − −+= ⇔ − − = ⇔
=
*) Nhận xét: Trong cả 3 trường hợp phương trình đều có nghiệm
1x =
Ta có thể biến đổi phương trình ban đầu tương đương với
( )( )
1
13 2 0
2
3
x
x xm
m
x
=
− −+ =⇔
−
=
.
8
Dạng 3: Sử dụng công thức nghiệm, xác định số nghiệm của phương trình dạng bậc hai
Cách giải: Xét phương trình bậc hai:
2
0
ax bx c
+ +=
1. Phương trình có nghiệm kép
0
0
a ≠
⇔
∆=
2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt
0
0
a ≠
⇔
∆>
3. Phương trình có đúng một nghiệm
0; 0
0
0
ab
a
= ≠
⇔
≠
∆=
4. Phương trình vô nghiệm
0; 0; 0
0; 0
abc
a
= = ≠
⇔
≠ ∆<
Chú ý: Nếu
2'bb=
ta có thể thay thế điều kiện của
∆
tương ứng bằng
'∆
Bài 1:
Cho phương trình
2
4 4 6 0(1)x mx m
+ + +=
. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép
Lời giải
Ta có:
2
' 4 4 24
mm
∆= − −
Phương trình (1) có nghiệm kép
22
2
'0 4 4 240 60
3
m
m m mm
m
= −
⇔∆ = ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔
=
Vậy
{ }
2;3
m ∈−
.
Bài 2:
Cho phương trình
( ) ( )
2
2 5 201mx m x m+ − + −=
với
m ∈
là tham số. Khi nào
a) Phương trình (1) có nghiệm
b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
Lời giải
Xét 2 tường hợp
TH1: Với
0m =
phương trình trở thành
2
5 20
5
xx− −=⇔=−
TH2: Với
0m ≠
phương trình
( )
2
2 5 20mx m x m+ − + −=
là một phương trình bậc hai và có
( ) ( )
2
2 5 4 2 12 25m mm m∆= − − − =− +
9
+ Nếu
25
12 25 0
12
mm
∆=− + > ⇔ <
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
+ Nếu
25
12 25 0
12
mm∆=− + = ⇔ =
thì phương trình có nghiệm kép
12
xx=
Vậy:
a) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi
25
12
m
≤
b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
0m ≠
và
25
12
m
<
Bài 3:
Cho phương trình
( ) (
)
2
2 3 2 2 10mx mx− − − −=
với
m
là tham số. Khi nào
a) Giải phương trình với
2m
=
b) Chứng minh rằng với mọi
m
∈
, phương trình luôn có nghiệm. Với giá trị nào của
m
thì
phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải
a) Với
2m
=
, phương trình đã cho trở thành
2
10 1
xx−= ⇔ =±
b) Xét hai trường hợp
TH1: Với
3
2
m =
phương trình đã cho trở thành
10 1xx
−= ⇔ =
TH2: Với
3
2
m ≠
phương trình
( )
( )
2
2 3 2 2 10
mx mx− − − −=
là một phương trình bậc hai và có
( ) ( ) ( )
22
' 2 2 3 1 0,m mm m
∆= − + − = − ≥ ∀ ∈
Suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi
m ∈
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
(
)
2
3
3
2
2
1
10
m
m
m
m
≠
≠

⇔


≠
∆= − >
Cách khác:
( ) ( ) ( ) ( )
22
23 2 2 10 23 23 10mx mx mx mxx− − − −= ⇔ − − − + −=
( ) ( )
( )
1
12 3 1 0
23 1
x
x mx
mx
=

⇔− − +=⇔

−+
Suy ra phương trình luôn có nghiệm
1x =
với mọi
m ∈
.
10
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
( )
2 3 10mx− +=
có nghiệm
khác 1
2 30
3
2
1
1
1
23
m
m
x
m
m
−≠
≠

⇔⇔

=−≠

≠
−
Bài 4:
Cho phương trình
( )
2
2 1 30mx m x m− − + −=
(m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương
trình
a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép
c) Vô nghiệm d) Có đúng một nghiệm
e) Có nghiệm
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
2
1 31m mm m∆= − − − = +
a) Phương tình có hai nghiệm phân biệt
00
01
mm
m
≠≠

⇔⇔

∆> >−

b) Xét
0.m ≠
Phương trình có nghiệm kép khi
0
1
'0
m
m
≠
⇔=−
∆=
c) Ta tìm được
1
m <−
d) Ta tìm được
0; 1mm= = −
e) Ta tìm được
1m ≥−
Bài 5:
Cho phương trình
( ) ( )
2
2 21 0m x m xm
− − + +=
(m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương
trình
a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép
c) Vô nghiệm d) Có đúng một nghiệm
e) Có nghiệm
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
2
' 1 24 1m mm m∆= + − − = +
11
a) Phương tình có hai nghiệm phân biệt
0
2
1
'0
4
m
m
m
≠
≠
⇔⇔

−
∆>
>
b) Tìm được
1
4
m
−
=
c) Ta tìm được
1
4
m
−
<
d) Ta tìm được
1
2;
4
mm
−
= =
e) Ta tìm được
1
4
m
−
≥
Bài 6:
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau vô nghiệm
2
2 2 70x xm+ − +=
;
22
6 60x xm+ + +=
Lời giải
Đặt
2
2 2 70x xm+ − +=
là phương trình (1)
22
6 60x xm
+ + +=
là phương trình (2)
Ta có
'
1
12726
mm∆=+ − = −
và
(
)
'2 2 2
2
3 63
mm∆= − + = −
Suy ra
( )
( )
2
'' 2 2
12
2 63 2 1 2 1 20m m mm m∆ +∆ = − + − =− − + − =− − − <
với mọi
m ∈
Vậy một trong hai
'
1
∆
và
'
2
∆
có ít nhất một số nhỏ hơn 0 (đpcm).
Bài 7:
Với giá trị nào của
m
, hai phương trình sau có nghiệm chung
( ) ( )
2
1 2 3 2 12 0x mx− + +=
và
( ) ( )
2
2 4 9 2 36 0x mx− − +=
Lời giải
Gọi
0
x
là một nghiệm chung của hai phương trình, ta có
( )
( )
( ) ( )
2
00
22
0 00 0
2
00
2 3 2 12 0
4 9 2 36 2 2 3 2 12 0
4 9 2 36 0
x mx
x mx x mx
x mx
− + +=

⇒− − +− − + +=

− − +=
( ) ( )
0
3 6 12 0 *mx⇒− + + =
+ Nếu
3 60 2mm− +=⇔ =
thì phương trình (*) vô nghiệm
+ Nếu
3 60 2mm− +≠⇔ ≠
thì phương trình (*) có 1 nghiệm
0
12 4
36 2
x
mm
−
= =
−+ −
Thay vào phương trình (1) ta có
12
( )
( )( ) ( )
2
2
3 24
4
2 12 0 16 2 3 2 2 6 2 0
22
m
mm m
mm
+

− +=⇔− + −+ − =

−−

( ) (
)
22
16 2 3 4 4 6 4 4 0 16 48 0 3mm mm m m
⇔− −−+ −+=⇔− +=⇔=
Vậy với
3
m =
hai phương trình đã cho có một nghiệm chung
0
4x =
.
Bài 8:
Cho phương trình
( )
(
)
2
5 3 20xm x m+ − − −=
với
m ∈
là tham số
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm
3x =
với mọi
m ∈
b) Tìm
m
để phương trình có nghiệm kép
c) Tìm
m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
thỏa mãn
12
3xx=
Lời giải
a) Ta có
(
) ( )
( ) ( )
22
5 3 20 3 2 3 20
xmxm xxmxm+ − − −=⇔−+ − − −=
( ) (
)( )
( )( )
3
3 2 30 3 20
2
x
xx m x x x m
xm
=
⇔ −+ − − =⇔ − +− =⇔
= −
Vậy phương trình trên luôn có nghiệm
3x =
với mọi
m ∈
b) Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi hai nghiệm của phương trình trùng nhau
Theo câu a) suy ra
23 1mm−=⇒=−
Ta cũng có thể xét
( ) ( ) ( )
22
2
5 4.3 2 2 1 1m m mm m∆= − + − = + + = +
Phương trình có nghiệm kép
( )
2
0 10 1mm⇔∆= ⇔ + = ⇔ =−
c) Xét 2 trường hợp
TH1:
1
3x =
và
2
2xm= −
Khi đó
(
)
12
3 3 32 2 1 1xx m m m= ⇒= − ⇒− =⇔ =
TH2:
1
2xm
= −
và
2
3x =
Khi đó
12
1
3 2 3 42
2
x x mm m m= ⇒− = ⇒ =⇔ =
.
Bài 9:
Cho Parabol
( )
2
:4Py x=
và đường thẳng
:2 1d y mx= −
với
m ∈
là tham số. Tìm
m
để:
a) Đường thẳng
d
cắt parabol
( )
P
tại hai điểm phân biệt
13
b) Đường thẳng
d
là tiếp tuyến của parabol
( )
P
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
P
và
d
là
( )
22
4 2 1 4 2 1 01x mx x mx= +⇔ − −=
a) Đường thẳng
d
cắt
(
)
P
tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm
phân biệt
22
2
'0 40 4 2
2
m
m mm
m
>
⇔∆>⇔ −>⇔ >⇔ >⇔
<−
Vậy đường thẳng
d
cắt
( )
P
tại 2 điểm phân biệt khi
2m >
hoặc
2
m <−
.
b) Đường thẳng
d
là một tiếp tuyến của
( )
P
khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm kép
2
40 2mm⇔∆= − = ⇔ =±
Khi đó ta có đường thẳng
41ym= −
và
41ym=−−
là các tiếp tuyến của Parabol
( )
P
.
Bài 10:
Cho phương trình:
2
(2 1) 1 0mx m x m
− + + +=
a. Giải phương trình với
3
5
m
−
=
b. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với
mR∀∈
c. Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm lớn hơn 2
Lời giải
b)
+)
01
mx=⇒=
+)
0 1 0 (1)
m ≠ ⇒∆= > ⇒
luôn có nghiệm
mR∀∈
c) Với m = 0 thì phương trình (1) có 1 nghiệm x = 1 < 2
Với
0 (1)m pt≠⇒
luôn có 2 nghiệm phân biệt:
12
12
; 12
2
mm
xx
mm
+
= = = <
Vậy phương trình (1) có nghiệm lớn hơn 2
0
1
2(3)
m
m
m
≠
⇔
+
>
14
10 1
01
00
12 1
(3) 0 0
10 1
( .)
00
mm
m
mm
mm m
mm m
mm
vo ly
mm

−> <

⇔< <


>>
+−


⇔ − >⇔ >⇔ ⇔

−< >



<<



Vậy 0 < m < 1.
15
Dạng 4: Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai
Cách giải: Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai theo tham số m là tìm tập nghiệm của
phương trình tùy theo sự thay đổi của m.
*) Xét phương trình bậc hai dạng:
2
0ax bx c+ +=
với
2
4b ac∆= −
(hoặc
2
''b ac∆= −
).
- Nếu
0a =
, ta đưa về biện luận phương trình bậc nhất
- Nếu
0a
≠
, ta biện luận phương trình bậc hai theo
∆
.
Bài 1:
Giải và biện luận phương trình
2
( 2) ( 2 1) 2 0m x m xm− − − + +=
Lời giải
+)
4
2
3
mx=↔=
+)
2, 4 17mm≠ ∆=− +
-
17
0 (1). .
4
m vo nghiem> →∆< →
-
12
17 2 1 5
0 (1). . . :
4 2( 2) 3
m
m o nghiem kep x x
m
−
= →∆= → = = =
−
-
1,2
17 2 1 4 17
0 (1). . , . . :
4 2( 2)
mm
m co hai nghiem phan biet x
m
−± − +
< →∆> → =
−
Vậy m = 2 phương trinhf có nghiệm
4
3
x
=
17
. ..
4
m phuong trinh vo nghiem
>→
17
4
m = ⇒
phương trình có nghiệm kép
5
3
x =
2
17
4
m
m
≠
⇒
<
phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2:
Cho phương trình
2
21mx mx m− ++
(m là tham số)
a. Giải phương trình khi m = - 2
b. Giải và biện luận phương trình them m
16
Lời giải
a.
22
2
2
mx
±
=−⇒ =
b. Ta xét hai trường hợp sau:
- TH1:
0 1 0( . )m vo nghiem=⇒=
- TH2:
0' 0mm≠ ⇒∆ =− ≠
+)
1,2
0 '0
mm
mx
m
±−
<⇒∆>⇒ =
+)
0 '0 .m vo nghiem>⇒∆<⇒
Kết luận: -
0m ≥⇒
phương trình vô nghiệm
-
1,2
0
mm
mx
m
±−
<⇒ =
Bài 3:
Giải và biện luận các phương trình sau (m là tham số)
a)
(
)
2
10
x mx m+− −=
b)
(
)
2
3 2 60m x mx m− − + −=
Lời giải
a) Ta có:
( )
2
2
2 1 1 0, 1mm m m m∆= + + = + ≥ ∀ ⇒ ∆= +
+)
0 1:m∆= ⇔ =−
Phương trình đã cho có nghiệm kép:
12
1
2
m
xx
−
= =
+)
0 1:m∆> ⇔ ≠−
Phương trình đã cho có hai nghiệm pahan biệt:
12
;1x mx= = −
b) Với
3m = ⇒
Phương trình có dạng:
1
6 30
2
xx
−
− −=⇔ =
Với
3 ' 9 18mm≠ ⇒∆ = −
+)
' 0 9 18 0 2 :mm∆<⇔ − <⇔ <
Phương trình vô nghiệm
+)
' 0 9 18 0 2 :mm∆= ⇔ − = ⇔ =
Phương trình có nghiệm kép:
12
3
m
xx
m
= =
−
+)
3
'0 :
2
m
m
≠
∆> ⇔
>
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1,2
9 18
3
mm
x
m
±−
=
−
Bài 4:
Giải và biện luận các phương trình sau (m là tham số)
a)
( )
2
2 1 20mx m x m+ − + +=
b)
( ) ( )
2
2 21 0m x m xm− − + +=
Lời giải
17
a) Với
02mx=⇒=
Với
0 12 1mm≠ ⇒∆=− +
+)
1
0:
12
m∆< ⇔ >
Phương trình vô nghiệm
+)
1
0:
12
m∆= ⇔ =
Phương trình có nghiệm kép:
12
12
2
m
xx
m
−
= =
+)
0
0:
1
12
m
m
≠
∆> ⇔
<
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1,2
1 2 1 12
2
mm
x
m
− ±−
=
b) Với
1
2
3
mx=⇔=
Với
2 '4 1mm
≠ ⇒∆ = +
+)
1
'0
4
m
−
∆< ⇔ <
Phương trình vô nghiệm
+)
1
'0 :
4
m
∆= ⇔ =
Phương trình có nghiệm kép:
12
1
2
m
xx
m
+
= =
−
+)
0
'0 :
1
4
m
m
≠
∆> ⇔
−
>
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1,2
141
2
mm
x
m
+± +
=
−
18
Dạng 5: Dạng toán liên quan đến tính có nghiệm của phương trình bậc hai, nghiệm chung của
phương trình bậc hai
Cách giải:
1. Phương trình bậc hai
( )
2
00ax bx c a+ += ≠
có nghiệm
0⇔∆≥
(hoặc
'0∆≥
).
2. Muốn tìm điều kiện của tham số để hai phương trình dạng bậc hai
2
0ax bx c
+ +=
và
2
' ' '0
ax bx c+ +=
có nghiệm chung ta làm như sau:
Bước 1: Gọi
0
x
là nghiệm chung của hai phương trình. Thay
0
x
vào 2 phương trình để tìm
được điều kiện của tham số.
Bước 2: Với giá trị của tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem 2 phương trình có
nghiệm chung hay không và kết luận.
3. Muốn tìm điều kiện của tham số để hai phương trình dạng bậc hai
2
0ax bx c+ +=
và
2
' ' '0ax bx c+ +=
tương đương, ta xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Hai phương trình cùng vô nghiệm
- Trường hợp 2: Hai phương trình cùng có nghiệm. Khi đó:
+) Điều kiện cần để hai phương trình tương đương là chúng có nghiệm chung. Từ đó tìm
được điều kiện của tham số
+) Điều kiện đủ với giá trị của tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem 2 phương
trình tập nghiệm bằng nhau không và kết luận.
Bài 1:
Cho hai phương trình:
22
0; 1 0x x a x ax++ = + +=
a. Tìm a để hai phương trình có nghiệm chung
b. Tìm a để hai phương trình tương đương
Lời giải
a. Giả sử
0
x
là nghiệm chung của hai phương trình
→
ta có hệ:
2
00
0
2
0
00
0(1)
1
(1) (2) (1 )( 1) 0
1
1 0(2)
x xa
a
ax
x
x ax
+ +=
=
→ − =− −=↔
=
+ +=
+) Với
2
1 1 0( )a x x vn=→ ++=
19
+)
1
2
0
2
2
1
20
1 (1) : 2
2
2 10
1
x
xx
xa
x
xx
x
=
+−=

=→ =−→ ↔
= −

− +=
=
Vậy với a = -2 thì hai phương trình có nghiệm chung x = 1.
b. Theo câu a hai phương trình có tập nghiệm khác nhau. Vậy để chúng tương đương khi và
chỉ khi chúng cùng vô nghiệm
1
2
2
14 0
1
2
4
40
a
a
a
∆=− <
↔ ↔<<
∆= − <
Bài 2:
Giả sử hai phương trình:
22
0; 0x ax b x mx n+ += + +=
có nghiệm chung. Chứng minh rằng:
2
( ) ( )( )(1)n b m a an bm−=− −
Lời giải
Giả sử
0
x
là nghiệm chung của hai phương trình
→
ta có hệ:
2
00
0
2
00
0
( ) (*)
0
x ax b
a mx n b
x mx n
+ +=
→− =−
+ +=
+)
0 (*) (1) :a m a m n b dung− =↔= → →=→
+)
0
(*) ,
nb
am x
am
−
≠→ → =
−
thay vào phương trình ban đầu ta được:
2
()()0
nb nb
ab
am am
−−
+ +=
−−
2 22 2
()()( )( )0()( )( )0()( )( )nb anbam bam nb amanbm nb maanbm↔− + − − + − =↔− +− − =↔− = − −
Bài 3:
Tìm m để hai phương trình:
22
(2 3) 6 0; 2 5 0x m x x xm− − + = ++ −=
có duy nhất
nghiệm chung.
Lời giải
Giả sử
0
x
là nghiệm chung của hai phương trình
→
ta có hệ:
2
00
2
2
00
2 32
00
0
00 0 0 0
2
0
00
2
00
36
(2 3) 6 0
36
2
2 543760
2
2 50
25
xx
m
x mx
xx
x
xx x x x
x
x xm
m xx
++
=
− − +=
++

↔ → =− − +↔ + − +=

+ + −=
=− −+
2
0 00 0
( 2)(4 5 3) 0 2 1x xx x m↔ + − + = ↔ =−→ =−
+)
1m = −
hai phương trình ban đầu trở thành:
22
5 60;2 60x x xx+ += +−=
Hai phương trình này có nghiệm chung x = -2. Vậy m = -1 là giá trị cần tìm.
20
Bài 4:
Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình
( )
22 2 2 2 2
0bx b c a x c
− +− +=
luôn vô nghiệm.
Lời giải
Ta có:
( )( )( )( )
bcabcabcabca∆= −− −+ +− ++
Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên:
0; 0; 0; 0 0
bca bca bca bca−−< +−> −+> ++>⇒∆<⇒
phương trình luôn vô nghiệm.
Bài 5:
Cho phương trình
( ) ( )
2
0x a b c x ab bc ca++++++=
với a, b, c là ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh phương trình trên luôn vô nghiệm
Lời giải
Ta có:
222
222a b c ab bc ca∆= + + − − −
Vì
2
.abc a abca<+⇒ < +
Tương tự ta có:
22
;0b ab bc c ca cb< + < + ⇒∆< ⇒
phương trình luôn
vô nghiệm.
Bài 6:
Cho hai phương trình
2
0x ax b+ +=
và
2
0x cx d+ +=
. Chứng minh nếu hai phương trình trên
có nghiệm chung thì:
( ) ( )( )
2
0
b d a c ad bc− +− − =
Lời giải
Gọi
0
x
là nghiệm chung của hai phương trình. Ta có:
( )
0
a cx d b−=−
- Nếu
0
.
db
ac x
ac
−
≠⇒ =
−
Thay
0
x
vào phương trình ta được đpcm.
- Nếu
ac bd=⇒=⇒
đpcm.
Bài 7:
Cho hai phương trình
2
0x ax b+ +=
và
2
0x bx a+ +=
trong đó
111
.
2ab
+=
Chứng minh rằng có ít
nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.
Lời giải
21
Ta có:
( )
22
12
4.
a b ab∆ +∆ = + − +
Từ
( )
2
22
12
111 1
20
22
a b ab a b ab a b
ab
+ = ⇒ + = ⇒∆ +∆ = + − = + ≥ ⇒
đpcm.
Bài 8:
Cho hai phương trình
2
0x xm+− =
và
2
10x mx− +=
. Tìm các giá trị của tham số m để:
a) Hai phương trình có nghiệm chung
b) Hai phương trình tương đương
Lời giải
a) Gọi
0
x
là nghiệm chung của hai phương trình. Ta biến đổi được
( )
0
1 1.
mx m+=+
Tìm được
1m = −
hoặc
2m =
b) Ta xét 2 trường hợp:
- Trường hợp 1: Hai phương trình cùng vô nghiệm
1
2
4
m
−
⇒− < <
- Trường hợp2 : Hai phương trình cùng có nghiệm và tập nghiệm giống nhau
1m⇒=−
Vậy
1
2
4
m
−
−< <
thì hai phương trình tương đương.
Bài 9:
Cho hai phương trình
2
2 30x ax
− +=
và
2
0x xa−+=
(a là tham số). Với giá trị nào của tham
số a thì:
a) Hai phương trình có nghiệm chung
b) Hai phương trình trên tương đương
Lời giải
a) Ta tìm được
a ∈∅
b) Tìm được
1
3
4
a<<
22
Dạng 6: Chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm, vô nghiệm
Cách giải:
Để chứng minh một phương trình bậc hai vô nghiệm ta chứng minh phương trình có
0∆<
.
Để chứn minh phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng minh phương trình bậc hai có
0∆≥
.
Ngoài ra để chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm ta còn có cách dựa vào tính chất
sau: Cho
2
( ) (1)f x ax bx c
= ++
Nếu có 1 số thực m sao cho
.() 0
af m
<
thì (1) có hai nghiệm phân biệt
Chứng minh tính chất:
Ta có:
2 22
22
() . ( ) 0 0 0
24 24 4 2
b bb
fx ax afm am am
aa a a
∆ ∆∆
 
=+−⇒ = +−<⇔> +≥⇒∆>
 
 
Bài 1:
Chứng minh rằng với
m∀
các phương trình sau luôn có nghiệm:
a)
(
)
2
2 2 70x m xm− + − −=
b)
22
4 4 20
x mx m− − −=
Lời giải
a) Ta có
(
) ( )
2
2
2
5 19
' 2 7 5 11 0, ' 0
24
m m mm m m

∆= + − − = + + = + + > ∀ ⇒∆>


với mọi m
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Ta có
44
'4422(221)mm mm∆= ++= ++
mà
22
4 42 2 2
1 111
2 2 12 2 2 2 0
4 422
m m mm mm m m

+ += − + + + + = − + + ≥


Dấu “=” xảy ra
2
1
0
2
( . ). ' 0 .
1
0
2
m
vo nghiem m
m
−=
⇔ ⇒∆ > ∀
+=
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
23
Bài 2:
Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài các cạnh của 1 tam giác thì phương trình sau vô
nghiệm:
22 2 2 2 2
( )0ax a b c x b+ +− + =
Lời giải
Ta có
2
0a ≠
2222 22 222 222 22 22
( ) 4 ( 2)( 2) ( ) ( )abc ab abc ababc ab ab c ab c

∆= +− − = +−− +−+ = − − + −

0000
( )( )( )( ) 0abcabcabcabc
><>>
= − + − − + + + − ⇒∆< ⇒
   
phương trình vô nghiệm
Bài 3:
Cho các số thực a, b, c thoảm nã
(
)
( )
2
2
4 2 1 0.a a b ac+ + + + +<
Chứng minh rằng phương trình
2
0ax bx c
+ +=
luôn có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải
Phân tích: Vì bài toán yêu cầu chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt nên phương
trình đã cho phải là phương trình bậc hai, tức là
0a ≠
. Điều này dễ thấy luôn đúng , vì nếu
0
a =
thì từ giả thiết ta có
2
10b +<
(vô lí). Do vậy để chứng minh yêu cầu bài toán, chúng ta
cần chứng minh
2
40b ac∆= − >
hoặc chỉ ra số thực m sao cho
( )
.0af m
<
với
( )
2
f x ax bx c= ++
Cách 1: Để chứng minh
2
40b ac∆= − >
, ta biến đổi giả thiết bài toán như sau:
(
) ( ) ( ) ( )
2 2 22
2 22 2 2
16 4 4 8 4 0 4 16 4 4 8 4 12 4 4 1 0a a b ac a b ac a a b ac a a a b b a+++++<⇔−> +++++= +++++≥
2
40b ac⇒∆= − >
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt
Cách 2: Để chỉ ra có một số thực m sao cho
( )
( )
2
.0a f m a am bm c= + +<
Ta viết lại giả thiết bài toán như sau:
22 2
4 2 2 10a a ab b ac a+ + + + + +<
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
42 1 0 42 0 .20a a bc a b a a bc af⇔ ++<−+ −≤⇒ ++<⇔ <
.
Do đó, phương trình
( )
0fx=
luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài 4:
Cho các sô thực a, b, c thỏa mãn
3 5 15 0.ab c++ =
Chứng minh rằng phương trình
2
0ax bx c+ +=
luôn có nghiệm.
24
Lời giải
Phương trình đã cho chưa phải là phương trình bậc hai vì ta chưa biết
0a =
hay
0.a ≠
Do đó
ta xét các trường hợp sau
+ Xét
0a =
, khi đó:
-
0,b =
từ giả thiết có
0.c =
Do đó, phương trình đã cho có vô số nghiệm
-
0b
≠
thì phươn trình đã cho có nghiệm
c
x
b
−
=
+ Xét
0a ≠
, khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai. Để chứng minh phương trình
có nghiệm, ta có thể chứng minh
2
40b ac∆= − ≥
hoặc chỉ ra số thực m thỏa mãn
( )
.0af m <
với
( )
2
.f x ax bx c= ++
Cách 1: Để chứng minh
2
40b ac∆= − ≥
ta biến đổi như sau:
Ta có
2
22
2
3 15 9 10 225
44
5 25
a c a ac c
b ac ac
+ −+

∆=−= −=


Vì
( )
2
2 22 222 22
9 10 225 25 10 8 200 5 8 200 0.a ac c c ac a a c c a a c−+ =−+++ =−++ ≥
0,⇒∆≥
với mọi a, b, c. Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.
Cách 2: Để chỉ ra số thực m thỏa mãn
( )
.0af m <
ta xử lí như sau
Ta có
( ) ( )
111
0 ;1 ; .
242
f cf abcf a bc

= =++ = + +


Giả sử
(
) ( )
( )
1 11
. 0 . 1 . 3 5 15 3 5 15
2 42
xf yf zf ab c y za y zbxyzc ab c

+ + =++ ⇔ + ++ +++ =++


1
3
4
1
1
58
2
6
15
yz
y
yz z
x
xyz
+=
=

⇒+ = ⇔=


=
++=
Vậy ta có
( ) ( )
1
6. 0 1 8. 0
2
ff f

++ =


Do đó trong ba số
( ) ( )
1
0, 1,
2
f ff



luôn có một số không âm và một số không dương. Giả sử
hai số đó là
( ) ( )
0, 1,ff
tức là:
( ) ( ) ( ) ( )
0. 1 0 . 0. 1 0f f a f af≤⇒ ≤
25
Do đó, ta suy ra
( )
00af ≤
hoặc
1
0.
2
af

≤


Từ đây, ta có phương trình đã cho luôn có nghiệm.
Chú ý: Khi đề bài cho a, b, c thỏa mãn
0
ma nb pc
++=
và yêu cầu chứng minh phương trình
2
ax bx c++
có ngiệm, ta có thể chứng minh như sau
Cách 1: Chứng minh
2
40
b ac∆= − ≥
(khi
0a ≠
)
Cách 2: Chỉ ra tồn tại x, y, z thỏa mãn:
( ) ( ) ( )
...x f y f z f ma nb pc
αβγ
+ + = ++
khi đó trong ba
số
( ) ( ) ( )
,,fff
αβγ
luôn có hai số trái dấu. Từ đó ta có đpcm.
Bài 5:
Cho các sô a, b, c thỏa mãn
2 3 1.abc
++=
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình
sau có nghiệm:
( )
22
4 4 2 1 4 192 1 0x a x a abc− + + + +=
và
( )
22
4421496 10x b x b abc− + + + +=
Lời giải
Hia phương trình trên lần lượt có
( ) ( )
12
' 16 1 48 ; ' 16 1 24a bc b ac∆= − ∆= −
. Vì a, b là các số dương
nên
12
', '∆∆
lần lượt cùng dấu với
1 48bc−
và
1 24ac−
. Để chứng minh bài toán, ta cần chứng
minh trong hai biệt thức
12
', '∆∆
luôn có ít nhất một số không âm. Để chứng minh điều này, ta
đi xét tổng
12
' '.∆ +∆
Nếu
12
' '0∆ +∆ ≥
thì trong hai số
12
', '∆∆
có ít nhất một số không âm. Ta có
( ) ( ) ( )
2
1 48 1 24 2 24 2 2 24 1 3 2 6 1 0bc ac c a b c c c− +− = − + = − − = − ≥
Hay
12
' '0
∆ +∆ ≥
Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.
Bài 6:
Cho phương trình
2 33
4 0( 0)ax bx b c abc a+++− = ≠
vô nghiệm. Chứng minh rằng trong hai
phương trình sau có 1 phương trình vô nghiệm, 1 phương trình có hai nghiệm phân biệt:
22
0(2); 0(3)ax bx c ax cx b+ += + +=
Lời giải
Phương trình (1) vô nghiệm
22 3 3
1
4 ( 4 ) 0(*)b c a b c abc⇒∆ = − + − <
Ta có
22
23
4; 4b ac c ab∆= − ∆= −
Ta đi chứng minh
23
.0∆∆<
26
Có
2
3
22
23
2
3
0
0
(*) ( 4 )( 4 ) 0 . 0
0
0
b ac c ab dpcm
∆>
∆<
⇔ − − <⇒∆∆<⇒ ⇒
∆<
∆>
Bài 7:
Cho a, b, c là các số thực có tổng khác 0. Chứng minh rằng phương tình sau luôn có nghiệm:
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0(1)axbxc bxcxa cxaxb− −+ − −+ − −=
Lời giải
22
0
(1)()2( )30;'( )3()a b c x ab bc ca x abc ab bc ca abc a b c
≠
⇔ ++ − + + + = ∆= + + − ++
 
22 22 2 2 2 2 2
1
( ) ( )( )( ) 0
2
a b b c c a abc a b c ab bc bc ca ca ab dpcm

= + + − ++ = − + − + − ≥⇒

Bài 8:
Cho các số a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh rằng có ít nhất 1 trong ba phương trình
sau có nghiệm:
22 2
10; 10; 10x ax x bx x cx+ += + += + +=
Lời giải
2
2 2 2 222 2
1 2 3 123
()
4; 4; 4 12 12
2
bc
a b c abc a
+
∆ = − ∆ = − ∆ = − ⇒∆ +∆ +∆ = + + − ≥ + −
22
2
123
(6 ) 3( 2)
12 0 0
22
aa
a dpcm
−−
= + − = ≥ ⇒∆ +∆ +∆ ≥ ⇒
Bài 9:
Cho phương trình
2 33
4 0(1)( 0)ax bcx b c abc a+ ++− = ≠
vô nghiệm. Chứng minh rằng trong hai
phương trình sau có một phương trình vô nghiệm và một phương trình có hai nghiệm phân
biệt
22
0(2); 0(3)ax bx c ax cx d+ += + + =
Lời giải
Vì phương trình (1) vô nghiệm nên ta có:
22 3 3
1
4 ( 4 ) 0(*)b c a b c abc∆= − + − <
Hai phương trình (2)(3) có
22
23
4; 4b ac c ab∆= − ∆= −
Để chứng minh bài toán ta cần chứng minh trong hai số
23
,∆∆
luôn có một số âm và một số
dương. Điều này gợi ý ta đi chứng minh
23
.0∆∆<
27
22
23
(*) ( 4 )( 4 ) 0 . 0
b ac c ab⇔ − − < ⇔∆ ∆ < ⇒
trong hai số
23
,∆∆
có một số âm và một số dương
dẫn đến trong hai phương trình (2)(3) luôn có một phương trình có hai nghiệm phân biệt và
một phương trình vô nghiệm.
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Giải các phương trình sau
a)
(
)
2
2 122 2 0xx−− − =
b)
( )
2
3 32 1xx+= +
c)
( )
( )( )
2
2 21 1 1x xx− −= + −
d)
( ) ( )
2
1
11
2
xx x
+= −
Hướng dẫn giải
a) Ta tìm được:
1
;2
2
x

∈−


b) Ta tìm được:
x ∈∅
c) Ta tìm được:
2
2;
3
x


∈



d) Ta tìm được:
5 17
2
x

±

∈



Bài 2:
Cho phương trình
( )
22
2 4 3 2 10x m xm− + + −=
(m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương
trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép
c) Vô nghiệm d) Có đúng một nghiệm
e) Có nghiệm
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
( )
2
22 2
4 3 4.2. 2 1 16 24 9 16 8 24 17m m mm m m∆= + − − = + + − + = +
a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi
17
24
m
−
>
b) Phương trình có nghiệm kép khi
17
24
m
−
=
c) Phương trình vô nghiệm khi
17
24
m
−
<
d) Không có giá trị nào của m để phương trình có đúng một nghiệm
e) Phương trình có nghiệm khi
17
24
m
−
≥
.
28
Bài 3:
Biện luận theo m số nghiệm phương trình
( )
2
4 1 4 80mx m x m
− − + +=
(m là tham số).
Hướng dẫn giải
Ta chia ra làm các trường hợp sau:
-
0; 1mm≠ >−
-
1m = −
-
1m <−
-
0m =
-
1m ≥−
Bài 4:
Cho hai phương trình
2
20x mx+ +=
và
2
20x xm+ +=
. Xác định các giá trị của tham số m để
hai phương trình:
a) Có nghiệm chung
b) Tương đương
Hướng dẫn giải
a) Ta tìm được
2m
=
hoặc
3m = −
b) Ta tìm được
1 22m<<
.
| 1/28
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A. Kiến thức cần nhớ
1. Phương trình bậc hai một ẩn
- Phương trình bậc hai một ẩn (hay còn gọi là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: 2
ax + bx + c = 0(a ≠ 0), trong đó a,b,c là các số thực cho trước và x là ẩn số.
- Giải phương trình bậc hai một ẩn là đi tìm tập nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn đó.
2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai 2
ax + bx + c = 0(a ≠ 0) và biệt thức 2 ∆ = b − 4 . ac
- Trường hợp 1: Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
- Trường hợp 2: Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép b x x − = = . 1 2 2a
- Trường hợp 3: Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt b x − ± ∆ = . 1,2 2a
3. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai 2
ax + bx + c = 0(a ≠ 0) với b = 2b'. Gọi biệt thức 2 ∆ ' = b' − . ac
- Trường hợp 1: Nếu ∆' < 0 thì phương trình vô nghiệm.
- Trường hợp 2: Nếu ∆' = 0 thì phương trình có nghiệm kép: b − ' x = x = . 1 2 a
- Trường hợp 3: Nếu ∆' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: b − '± ∆ ' x = . 1,2 a
*) Chú ý: Trong trường hợp hệ số b có dạng 2b' ta nên sử dụng ∆' để giải phương trình sẽ
cho lời giải ngắn gọn hơn.
- Nếu a,c trái dấu thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
B. Bài tập và các dạng toán
Dạng 1: Không dùng công thức nghiệm, giải phương trình bậc hai một ẩn cho trước
Cách giải: Ta có thể sử dụng một trong các cách sau
Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng tích 1
Cách 2: Đưa phương trình đã cho về phương trình mà vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số.
Bài 1: Giải các phương trình sau a) 2 5x − 7x = 0 b) 2 3 − x + 9 = 0 c) 2
x − 6x + 5 = 0 d) 2 3x +12x +1 = 0 Lời giải a) Ta có: 2 x x x( x ) 7 5 7 0 5 7 0 x 0;  − = ⇔ − = ⇔ ∈  5   b) Ta có: 2 2
− x + = ⇔ x − = ⇔ ( 2 3 9 0 3 9 0
3 x − 3) = 0 ⇔ x∈{± } 3 c) Ta có: 2
x − 6x + 5 = 0 ⇔ (x − )
1 (x − 5) = 0 ⇔ x∈{1; } 5 d) Ta có: x x (x )2 2 6 33 3 12 1 0 3 2 11 x − ± + + = ⇔ + = ⇔ = 3
Bài 2: Giải các phương trình sau a) 2
− 3x − 7x = 0 b) 3 − 2 7 x − = 0 5 2 c) 2
x − x − 9 = 0 d) 2 3x + 6x + 5 = 0 Lời giải a) Ta có: 2
− 3x − 7x = 0 ⇔ −x( 3x + 7) = 0 ⇔ x∈{0;2 } 3 b) Ta có: 3 − 2 7 2 2 35 x − − = 0 ⇔ 6
− x − 35 = 0 ⇔ x = ⇔ x ∈∅ 5 2 6 c) Ta có:  ±  2 1 37 x x 9 0 x  − − = ⇔ ∈  2    d) Ta có: x xx x  + + = ⇔ + + = ⇔ (x + )2 2 2 5 3 6 5 0 3 2 0 3 1 + 2 =   0 (vô lý).  3 
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 3: Giải các phương trình sau a) 2 x + 2 2x = 0 b) ( 2 m + ) 2
2 x − 5 = 0 với m∈ 2 2 c)  1 2x  − − 0,25 =   0 d) 2
x − 3x + 2 = 0  2  Lời giải x = 0 a) Ta có 2
x + 2 2x = 0 ⇔ x(x + 2 2) = 0 ⇔  x = 2 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0;2 2} b) Ta có ( 2 m + ) 2 2 5 5
2 x − 5 = 0 ⇔ x = ⇔ x = ± (vì 2 m + 2 > 0 ) 2 2 m + 2 m + 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là  5 5  S  ;  = − 2 2  m 2 m 2  + +    1 1 2 2 2x − =  1  c) Ta có  1   1  1 1 2 2 x =  2x  0,25 0  2x  0,25 2x  − − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔  ⇔ 2  2   2  2 2  1 1  2x − = − x = 0  2 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 S  ;0 =  2    d) Ta có x = 1 2 2
x − 3x + 2 = 0 ⇔ x − x − 2x + 2 = 0 ⇔ (x − ) 1 (x − 2) = 0 ⇔  x = 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; } 2 . Bài 4:
Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 2 2
4x + m x + 4m = 0 có nghiệm x =1 Lời giải
Thay x =1 vào phương trình ta có: 2 2
4.1 + m .1+ 4m = 0 ⇔ m = 2 − . Vậy m = 2 − Bài 5: Cho phương trình 2 2
4mx − x −10m = 0. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm x = 2 Lời giải
Thay x = 2 vào phương trình ta được: 2 2 2 4 11 4 .2 m 2 10m 0 10m 16m 2 0 m ± − − = ⇔ − + − = ⇔ = . 5 3 Bài 6 : Cho phương trình 2 2
x − (2m +1)x + m − 2m + 3 = 0 (1) . Giải phương trình (1) biết phương trình (1)
có một nghiệm x = 2 Lời giải
Vì phương trình có nghiệm x = 2 nên ta có: 2 2
2 − (2m +1).2 + m − 2m + 3 = 0 2 2
⇔ 4 − 4m − 2 + m − 2m + 3 = 0 ⇔ m − 6m + 5 = 0 ⇔ m∈{m =1;m = } 5 +) 2
m =1⇒ x − 3x + 2 = 0 ⇔ x ∈{1; } 2 +) 2
m = 5 ⇒ x −11x +18 = 0 ⇔ x ∈{9; } 2 4
Dạng 2: Giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn
Cách giải: Sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai để giải. Bài 1:
Xác định hệ số a,b, ;c Tính biệt thức ∆ (hoặc ∆' nếu b = 2b' ) rồi tìm nghiệm của các phương trình sau a) 2
2x − 3x − 5 = 0 b) 2
x − 6x + 8 = 0 c) 2
9x −12x + 4 = 0 d) 2 3
− x + 4x − 4 = 0 Lời giải
a) Ta có: a = 2;b = 3 − ;c = 5
− và ∆ = 49 > 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt: b − ± ∆  5 x x  1;  = ⇒ ∈ − 1,2 2a 2  
b) Ta có: a =1;b = 6; − b' = 3
− ;c = 8;∆ ' =1 > 0 ⇒ x ∈{2; } 4
c) Ta có: a = 9;b = 1
− 2;c = 4;∆ = 0 ⇒ phương trình có nghiệm kép: 2 x = x = 1 2 3 d) Ta có: a = 3
− ;b = 4;c = 4; − ∆ = 3
− 2 < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm. Bài 2:
Xác định hệ số a,b, ;c Tính biệt thức ∆ (hoặc ∆' nếu b = 2b' ) rồi tìm nghiệm của các phương trình sau a) 2
x − x −11 = 0 b) 2
x − 4x + 4 = 0 c) 2 5
− x − 4x +1 = 0 d) 2 2
− x + x − 3 = 0 Lời giải a) Ta có: 1± 3 5  a 1;b 1;c 11; 45 0 x  = = − = − ∆ = > ⇒ ∈  2   
b) Ta có: a =1;b = 4;
− c = 4;∆ = 0 ⇒ x = 2 c) Ta có: 1 a 5;b 4;c 1; 36 0 x  1;  = − = − = ∆ = > ⇒ ∈ − 5   5 d) Ta có: a = 2 − ;b =1;c = 3 − ;∆ = 2
− 3 < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm. Bài 3:
Giải các phương trình sau a) 2 x + 5x −1 = 0 b) 2
2x − 2 2x +1 = 0 c) 2
3x − (1− 3) x −1= 0 d) 2 3
− x + 4 6x + 4 = 0 Lời giải a) Ta có:  5 − ± 3  a 1;b 5;c 1; 9 0 3 x  = =
= − ∆ = > ⇒ ∆ = ⇒ ∈  2    b) Ta có: 2 a = 2;b = 2
− 2;c =1;∆ = 0 ⇒ x = 2 c) Ta có:   a b ( ) 3 3; 1 3 ;c 1; 4 6 3 0 x  1;  = = − − = − ∆ = + > ⇒ ∈ − 3    d) Ta có: 6 + 2 6 6 − + 2 6  a 3;b 4 6;c 4; 144 0 x ;  = − = = ∆ = > ⇒ ∈  3 3    Bài 4:
Giải các phương trình sau a) 2
2x + 2 11x − 7 = 0 b) 2
152x − 5x +1 = 0 c) 2
x − (2+ 3) x + 2 3 = 0 d) 2
3x − 2 3x +1 = 0 Lời giải a) Ta có: − 11 ± 5
a 2;b 2 11;c 7; 100 0 x  = = = − ∆ = > ⇒ ∈  2   
b) Ta có: a =152;b = 5 − ;c =1;∆ = 583 − < 0 ⇒ x ∈∅
c) Ta tính được: x∈{2; } 3 d) Ta tính được: 3 x = 3 6 Bài 5:
Giải các phương trình sau a) 2
x + 2 5x + 4 = 0 b) 2
2x − 3x + 5 = 0 Lời giải a) Ta có ∆ = ( )2 ' 5 − 4 =1⇒ ∆ ' =1
Vậy phương trình có hai nghiệm 5 1 x − − = và 5 1 x − + = 1 2 2 2 b) Ta có 2
∆ = 3 − 4.5. 2 = 9 − 20 2 < 0
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 6: Cho phương trình 2
3x − (5 − m) x + 2 − m = 0 với m∈ là tham số
a) Xác định các hệ số a,b,c của phương trình
b) Giải phương trình trong các trường hợp m = 2;m = 5;m =1 Lời giải
a) Ta có a = 3,b = −(5− m),c = 2 − m
b) Với m = 5 ta có phương trình 2 2
3x − 3 = 0 ⇔ x =1 ⇔ x = 1 ± Với x = 0
m = 2 ta có phương trình 2
3x − 3x = 0 ⇔ 3x(x − ) 1 = 0 ⇔  x =1  1 Với x =
m =1 ta có phương trình 2 2 3x 4x 1 0 3x 3x x 1 0
(3x )1(x )1 0  − = = ⇔ − − + = ⇔ − − = ⇔ 3  x =1
*) Nhận xét: Trong cả 3 trường hợp phương trình đều có nghiệm x =1 x =1
Ta có thể biến đổi phương trình ban đầu tương đương với (x ) 1 (3x 2 m) 0  − − + = ⇔ 2 − m . x =  3 7
Dạng 3: Sử dụng công thức nghiệm, xác định số nghiệm của phương trình dạng bậc hai
Cách giải: Xét phương trình bậc hai: 2
ax + bx + c = 0
1. Phương trình có nghiệm kép a ≠ 0 ⇔  ∆ = 0
2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt a ≠ 0 ⇔  ∆ > 0 a = 0;b ≠ 0
3. Phương trình có đúng một nghiệm  ⇔ a ≠ 0   ∆ = 0
4. Phương trình vô nghiệm a = 0;b = 0;c ≠ 0 ⇔  a ≠ 0;∆ < 0
Chú ý: Nếu b = 2b' ta có thể thay thế điều kiện của ∆ tương ứng bằng ∆' Bài 1: Cho phương trình 2
4x + 4mx + m + 6 = 0(1) . Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép Lời giải Ta có: 2
∆ ' = 4m − 4m − 24
Phương trình (1) có nghiệm kép m = 2 − 2 2
⇔ ∆ ' = 0 ⇔ 4m − 4m − 24 = 0 ⇔ m − m − 6 = 0 ⇔  m = 3 Vậy m∈{ 2; − } 3 . Bài 2: Cho phương trình 2
mx + (2m −5) x + m − 2 = 0 ( )
1 với m∈ là tham số. Khi nào
a) Phương trình (1) có nghiệm
b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Lời giải Xét 2 tường hợp
TH1: Với m = 0 phương trình trở thành 2 5
− x − 2 = 0 ⇔ x = − 5
TH2: Với m ≠ 0 phương trình 2
mx + (2m −5) x + m − 2 = 0 là một phương trình bậc hai và có ∆ = ( m − )2 2
5 − 4m(m − 2) = 12 − m + 25 8 + Nếu 25 ∆ = 12
− m + 25 > 0 ⇔ m <
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 12 + Nếu 25 ∆ = 12
− m + 25 = 0 ⇔ m =
thì phương trình có nghiệm kép x = x 12 1 2 Vậy:
a) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 25 m ≤ 12
b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m ≠ 0 và 25 m < 12 Bài 3:
Cho phương trình ( m − ) 2 2
3 x − 2(m − 2) x −1 = 0 với m là tham số. Khi nào
a) Giải phương trình với m = 2
b) Chứng minh rằng với mọi m∈ , phương trình luôn có nghiệm. Với giá trị nào của m thì
phương trình có hai nghiệm phân biệt. Lời giải
a) Với m = 2 , phương trình đã cho trở thành 2
x −1 = 0 ⇔ x = 1 ± b) Xét hai trường hợp TH1: Với 3
m = phương trình đã cho trở thành x −1 = 0 ⇔ x =1 2 TH2: Với 3
m ≠ phương trình ( m − ) 2 2
3 x − 2(m − 2) x −1 = 0 là một phương trình bậc hai và có 2
∆ = (m − )2 + ( m − ) = (m − )2 ' 2 2 3 1 ≥ 0, m ∀ ∈ 
Suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi m∈  3  3 m ≠
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi  2 m ≠ ⇔  2 ∆ =  (m − )2 1 > 0 m ≠1
Cách khác: ( m − ) 2
x − (m − ) x − = ⇔ ( m − ) 2 2 3 2 2 1 0 2
3 x − (2m − 3) x + x −1 = 0 ⇔ (  =
x − ) ( m − ) x 1 1 2 3 x +1 = 0 ⇔  
(2m − 3) x +1
Suy ra phương trình luôn có nghiệm x =1 với mọi m∈ . 9
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2m −3) x +1= 0 có nghiệm 2m − 3 ≠ 0  3 khác 1  m ≠ ⇔  1 ⇔  2 x = − ≠ 1  2m − 3 m ≠1 Bài 4: Cho phương trình 2 mx − 2(m − )
1 x + m − 3 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình
a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép c) Vô nghiệm d) Có đúng một nghiệm e) Có nghiệm Lời giải Ta có: ∆ = (m − )2
1 − m(m − 3) = m +1
a) Phương tình có hai nghiệm phân biệt m ≠ 0 m ≠ 0 ⇔  ⇔  0  ∆ > m > 1 − b) Xét m ≠
m ≠ 0. Phương trình có nghiệm kép khi 0  ⇔ m = 1 − ∆ ' = 0
c) Ta tìm được m < 1 −
d) Ta tìm được m = 0;m = 1 −
e) Ta tìm được m ≥ 1 − Bài 5:
Cho phương trình (m − ) 2 2 x − 2(m + )
1 x + m = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình
a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép c) Vô nghiệm d) Có đúng một nghiệm e) Có nghiệm Lời giải Ta có: ∆ = (m + )2 '
1 − m(m − 2) = 4m +1 10 m ≠ 0
a) Phương tình có hai nghiệm phân biệt m ≠ 2  ⇔  ⇔  1  ' 0 m − ∆ > >  4 b) Tìm được 1 m − = c) Ta tìm được 1 m − < 4 4 d) Ta tìm được 1 m 2;m − = = e) Ta tìm được 1 m − ≥ 4 4 Bài 6:
Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau vô nghiệm 2
x + 2x − 2m + 7 = 0 ; 2 2
x + 6x + m + 6 = 0 Lời giải Đặt 2
x + 2x − 2m + 7 = 0 là phương trình (1) 2 2
x + 6x + m + 6 = 0 là phương trình (2)
Ta có '∆ =1+ 2m − 7 = 2m −6 và ' 2
∆ = 3 − m + 6 = 3− m 2 ( 2 ) 2 1
Suy ra ∆ + ∆ = 2m − 6 +3− m = −(m − 2m + )1− 2 = −(m − )2 ' ' 2 2
1 − 2 < 0 với mọi m∈ 1 2  Vậy một trong hai ' ∆ và '
∆ có ít nhất một số nhỏ hơn 0 (đpcm). 1 2 Bài 7:
Với giá trị nào của m , hai phương trình sau có nghiệm chung ( ) 2
1 2x − (3m + 2) x +12 = 0 và ( ) 2
2 4x − (9m − 2) x + 36 = 0 Lời giải
Gọi x là một nghiệm chung của hai phương trình, ta có 0 2
 2x − 3m + 2 x +12 =  0 0 ( ) 0 2 
⇒ 4x − (9m − 2) 2
x + 36 − 2 2x − 3m + 2 x +12 = 0 0 0  0 ( )  4x  (9m 2) 0 2 x 36 0  − − + = 0 0 ⇒ ( 3
− m + 6) x +12 = 0 * 0 ( ) + Nếu 3
− m + 6 = 0 ⇔ m = 2 thì phương trình (*) vô nghiệm + Nếu 3
− m + 6 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 thì phương trình (*) có 1 nghiệm 12 − 4 x = = 0 3
− m + 6 m − 2
Thay vào phương trình (1) ta có 11 2  4  (3m + 2)4 2 −
+12 = 0 ⇔ 16 − 2(3m + 2)(m − 2) + 6(m − 2)2 =   0  m − 2  m − 2 ⇔ − ( 2
m − m − ) + ( 2 16 2 3 4
4 6 m − 4m + 4) = 0 ⇔ 16
− m + 48 = 0 ⇔ m = 3
Vậy với m = 3 hai phương trình đã cho có một nghiệm chung x = 4. 0 Bài 8: Cho phương trình 2
x + (m −5) x −3(m − 2) = 0 với m∈ là tham số
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm x = 3 với mọi m∈
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn x = 3x 1 2 1 2 Lời giải a) Ta có 2
x + (m − ) x − (m − ) 2 5 3
2 = 0 ⇔ x − 3x + (m − 2) x −3(m − 2) = 0  =
⇔ x(x − ) + (m − )(x − ) = ⇔ (x − )(x + m − ) x 3 3 2 3 0 3 2 = 0 ⇔  x = 2 − m
Vậy phương trình trên luôn có nghiệm x = 3 với mọi m∈
b) Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi hai nghiệm của phương trình trùng nhau
Theo câu a) suy ra 2 − m = 3 ⇒ m = 1 −
Ta cũng có thể xét ∆ = (m − )2 + (m − ) = m + m + = (m + )2 2 5 4.3 2 2 1 1
Phương trình có nghiệm kép ⇔ ∆ = ⇔ (m + )2 0 1 = 0 ⇔ m = 1 − c) Xét 2 trường hợp
TH1: x = 3 và x = 2 − m 1 2
Khi đó x = 3x ⇒ 3 = 3 2 − m ⇒ 2 − m =1⇔ m =1 1 2 ( )
TH2: x = 2 − m và x = 3 1 2 Khi đó 1
x = 3x ⇒ 2 − m = 3m ⇒ 4m = 2 ⇔ m = . 1 2 2 Bài 9: Cho Parabol (P) 2
: y = 4x và đường thẳng d : y = 2mx −1 với m∈ là tham số. Tìm m để:
a) Đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt 12
b) Đường thẳng d là tiếp tuyến của parabol (P) Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là 2 2
4x = 2mx +1 ⇔ 4x − 2mx −1 = 0 ( ) 1
a) Đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt m > 2 2 2
⇔ ∆ ' > 0 ⇔ m − 4 > 0 ⇔ m > 4 ⇔ m > 2 ⇔  m < 2 −
Vậy đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi m > 2 hoặc m < 2 − .
b) Đường thẳng d là một tiếp tuyến của (P) khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm kép 2
⇔ ∆ = m − 4 = 0 ⇔ m = 2 ±
Khi đó ta có đường thẳng y = 4m −1 và y = 4
− m −1 là các tiếp tuyến của Parabol (P) . Bài 10: Cho phương trình: 2
mx − (2m +1)x + m +1 = 0
a. Giải phương trình với 3 m − = 5
b. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với m ∀ ∈ R
c. Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm lớn hơn 2 Lời giải b)
+) m = 0 ⇒ x =1
+) m ≠ 0 ⇒ ∆ =1> 0 ⇒ (1) luôn có nghiệm m ∀ ∈ R
c) Với m = 0 thì phương trình (1) có 1 nghiệm x = 1 < 2 Với +
m ≠ 0 ⇒ pt(1) luôn có 2 nghiệm phân biệt: m 1 2 = ; m x x = = 1< 2 1 2 m 2mm ≠ 0
Vậy phương trình (1) có nghiệm lớn hơn 2  ⇔ m +1 >  2(3)  m 13  1  − m > 0 m <1   ⇔ 0 < m <1 m +1 2m 1− m m > 0 m > 0 (3) ⇔ − > 0 ⇔ > 0 ⇔ ⇔ m m m  1  m 0  − < m > 1     (v . o ly) m < 0 m < 0 Vậy 0 < m < 1. 14
Dạng 4: Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai
Cách giải: Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai theo tham số m là tìm tập nghiệm của
phương trình tùy theo sự thay đổi của m.
*) Xét phương trình bậc hai dạng: 2
ax + bx + c = 0 với 2
∆ = b − 4ac (hoặc 2
∆ ' = b' − ac ).
- Nếu a = 0 , ta đưa về biện luận phương trình bậc nhất
- Nếu a ≠ 0, ta biện luận phương trình bậc hai theo ∆ . Bài 1:
Giải và biện luận phương trình 2
(m − 2)x − (2m −1)x + m + 2 = 0 Lời giải +) 4 m = 2 ↔ x = 3 +) m ≠ 2,∆ = 4 − m +17 - 17 m >
→ ∆ < 0 → (1).v . o nghiem 4 - 17 2m −1 5 m = → ∆ = 0 → (1). . o nghie .
m kep : x = x = = 1 2 4 2(m − 2) 3 - 17 2m −1± 4 − m +17 m <
→ ∆ > 0 → (1).c . o hai,nghie . m . phan biet : x = 1,2 4 2(m − 2)
Vậy m = 2 phương trinhf có nghiệm 4 x = 3 17 m > → phuong.tri . nh v . o nghiem 4 17 m =
⇒ phương trình có nghiệm kép 5 x = 4 3 m ≠ 2  
17 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt. m <  4 Bài 2: Cho phương trình 2 mx 2
− mx + m +1 (m là tham số)
a. Giải phương trình khi m = - 2
b. Giải và biện luận phương trình them m 15 Lời giải a. 2 2 m 2 x ± = − ⇒ = 2
b. Ta xét hai trường hợp sau:
- TH1: m = 0 ⇒1= 0(v .onghiem) - TH2: m ≠ 0 ⇒ ∆' = −m ≠ 0 +) ± − < 0 ⇒ ∆ ' > 0 m m m ⇒ x =
+) m > 0 ⇒ ∆' < 0 ⇒ v .onghiem 1,2 m
Kết luận: - m ≥ 0 ⇒phương trình vô nghiệm - ± − < 0 m m m ⇒ x = 1,2 m Bài 3:
Giải và biện luận các phương trình sau (m là tham số) a) 2
x + (1− m) x − m = 0 b) (m − ) 2
3 x − 2mx + m − 6 = 0 Lời giải
a) Ta có: ∆ = m + m + = (m + )2 2 2 1 1 ≥ 0, m ∀ ⇒ ∆ = m +1 +) ∆ = 0 ⇔ m = 1
− : Phương trình đã cho có nghiệm kép: m 1 x x − = = 1 2 2
+) ∆ > 0 ⇔ m ≠ 1
− : Phương trình đã cho có hai nghiệm pahan biệt: x = ; m x = 1 − 1 2
b) Với m = 3 ⇒ Phương trình có dạng: 1 6x 3 0 x − − − = ⇔ = 2
Với m ≠ 3 ⇒ ∆' = 9m −18
+) ∆' < 0 ⇔ 9m −18 < 0 ⇔ m < 2: Phương trình vô nghiệm
+) ∆' = 0 ⇔ 9m −18 = 0 ⇔ m = 2: Phương trình có nghiệm kép: m x = x = 1 2 m − 3 +) m ≠ 3 ± − ∆ ' > 0 ⇔ m 9m 18 
: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = m > 2 1,2 m − 3 Bài 4:
Giải và biện luận các phương trình sau (m là tham số) a) 2 mx + (2m − ) 1 x + m + 2 = 0 b) (m − ) 2 2 x − 2(m + ) 1 x + m = 0 Lời giải 16
a) Với m = 0 ⇒ x = 2
Với m ≠ 0 ⇒ ∆ = 12 − m +1 +) 1 ∆ < 0 ⇔ m >
: Phương trình vô nghiệm 12 +) 1 − ∆ = 0 ⇔ m =
: Phương trình có nghiệm kép: 1 2m x = x = 12 1 2 2mm ≠ 0 +) − m ± − m 0  ∆ > ⇔ 1 2 1 12 
1 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = m < 1,2  2m  12 b) Với 1 m = 2 ⇔ x = 3
Với m ≠ 2 ⇒ ∆' = 4m +1 +) 1 ' 0 m − ∆ < ⇔ < Phương trình vô nghiệm 4 +) 1 +
∆ ' = 0 ⇔ m = : Phương trình có nghiệm kép: m 1 x = x = 4 1 2 m − 2 m ≠ 0 +) + ± + ' 0  m m ∆ > ⇔ 1 4 1  1
− : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = m > 1,2  m − 2  4 17
Dạng 5: Dạng toán liên quan đến tính có nghiệm của phương trình bậc hai, nghiệm chung của phương trình bậc hai Cách giải: 1. Phương trình bậc hai 2
ax + bx + c = 0(a ≠ 0) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 (hoặc ∆' ≥ 0).
2. Muốn tìm điều kiện của tham số để hai phương trình dạng bậc hai 2
ax + bx + c = 0 và 2
a ' x + b' x + c ' = 0 có nghiệm chung ta làm như sau:
Bước 1: Gọi x là nghiệm chung của hai phương trình. Thay x vào 2 phương trình để tìm 0 0
được điều kiện của tham số.
Bước 2: Với giá trị của tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem 2 phương trình có
nghiệm chung hay không và kết luận.
3. Muốn tìm điều kiện của tham số để hai phương trình dạng bậc hai 2
ax + bx + c = 0 và 2
a ' x + b' x + c ' = 0 tương đương, ta xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Hai phương trình cùng vô nghiệm
- Trường hợp 2: Hai phương trình cùng có nghiệm. Khi đó:
+) Điều kiện cần để hai phương trình tương đương là chúng có nghiệm chung. Từ đó tìm
được điều kiện của tham số
+) Điều kiện đủ với giá trị của tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem 2 phương
trình tập nghiệm bằng nhau không và kết luận. Bài 1: Cho hai phương trình: 2 2
x + x + a = 0; x +ax +1 = 0
a. Tìm a để hai phương trình có nghiệm chung
b. Tìm a để hai phương trình tương đương Lời giải
a. Giả sử x là nghiệm chung của hai phương trình → ta có hệ: 0 2
x + x + a = 0(1) a =1 0 0 
→ (1) − (2) = (1− a)(x −1) = 0 ↔ 0 2
x + ax +1 = 0(2)  x = 1 0 0 0 +) Với 2
a =1→ x +x +1 = 0(vn) 18 x =1 2 1 +)
x + x − 2 = 0 x 1 (1) : a 2  = → = − →  ↔ x = 2 − 0 2 2
x − 2x +1 = 0  x = 1
Vậy với a = -2 thì hai phương trình có nghiệm chung x = 1.
b. Theo câu a hai phương trình có tập nghiệm khác nhau. Vậy để chúng tương đương khi và
∆ =1− 4a < 0
chỉ khi chúng cùng vô nghiệm 1 1 ↔  ↔ < a < 2 2 ∆ =  a − 4 < 0 4 2 Bài 2:
Giả sử hai phương trình: 2 2
x +ax + b = 0; x + mx + n = 0 có nghiệm chung. Chứng minh rằng: 2
(n − b) = (m − a)(an − bm)(1) Lời giải
Giả sử x là nghiệm chung của hai phương trình → ta có hệ: 0 2
x + ax + b = 0 0 0 
→ (a − m)x = n − b(*) 0 2
x + mx + n = 0 0 0
+) a − m = 0 ↔ a = m → (*) → n = b → (1): dung +) − − − ≠ → (*) n b a m → x =
, thay vào phương trình ban đầu ta được: n b 2 ( ) + ( n b a ) + b = 0 0 a − m a − m a − m 2 2 2 2
↔ (n − b) + a(n − b)(a − m) + b(a − m) = 0 ↔ (n − b) + (a − m)(an − bm) = 0 ↔ (n − b) = (m − a)(an − bm) Bài 3:
Tìm m để hai phương trình: 2 2
x − (2m − 3)x + 6 = 0;2x +x + m − 5 = 0 có duy nhất nghiệm chung. Lời giải
Giả sử x là nghiệm chung của hai phương trình → ta có hệ: 0 2  x + 3x + 6 2 0 0 2
x − (2m −3)x + 6 = 0 m = 0 0 x + 3x + 6 0 0 2 3 2  ↔  2x → = − − + ↔ + − + = 0 2x x 5 4x 3x 7x 6 0 0 0 0 0 0 2
2x + x + m − 5 = 0 2x 0 0  2 0 m = 2 − x − x +  5 0 0 2
↔ (x + 2)(4x − 5x + 3) = 0 ↔ x = 2 − → m = 1 − 0 0 0 0 +) m = 1
− hai phương trình ban đầu trở thành: 2 2
x + 5x + 6 = 0;2x + x − 6 = 0
Hai phương trình này có nghiệm chung x = -2. Vậy m = -1 là giá trị cần tìm. 19 Bài 4:
Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình 2 2 b x − ( 2 2 2
b + c − a ) 2 x + c = 0 luôn vô nghiệm. Lời giải
Ta có: ∆ = (b − c − a)(b − c + a)(b + c − a)(b + c + a)
Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên:
b − c − a < 0;b + c − a > 0;b − c + a > 0;b + c + a > 0 ⇒ ∆ < 0 ⇒ phương trình luôn vô nghiệm. Bài 5: Cho phương trình 2
x + (a + b + c) x + (ab + bc + ca) = 0 với a, b, c là ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh phương trình trên luôn vô nghiệm Lời giải Ta có: 2 2 2
∆ = a + b + c − 2ab − 2bc − 2ca Vì 2
a < b + c ⇒ a < ab + c .
a Tương tự ta có: 2 2
b < ab + b ;
c c < ca + cb ⇒ ∆ < 0 ⇒ phương trình luôn vô nghiệm. Bài 6: Cho hai phương trình 2
x + ax + b = 0 và 2
x + cx + d = 0 . Chứng minh nếu hai phương trình trên
có nghiệm chung thì: (b − d )2 +(a −c)(ad −bc) = 0 Lời giải
Gọi x là nghiệm chung của hai phương trình. Ta có: (a − c) x = d −b 0 0 - Nếu d − b
a ≠ c ⇒ x =
. Thay x vào phương trình ta được đpcm. 0 a − c 0
- Nếu a = c ⇒ b = d ⇒ đpcm. Bài 7: Cho hai phương trình 2
x + ax + b = 0 và 2
x + bx + a = 0 trong đó 1 1 1
+ = . Chứng minh rằng có ít a b 2
nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm. Lời giải 20 Ta có: 2 2
∆ + ∆ = a + b − 4 a + b . 1 2 ( ) Từ 1 1 1 1
+ = ⇒ a + b = ab ⇒ ∆ + ∆ = a + b − 2ab = (a + b)2 2 2 ≥ 0 ⇒ đpcm. 1 2 a b 2 2 Bài 8: Cho hai phương trình 2
x + x − m = 0 và 2
x − mx +1 = 0 . Tìm các giá trị của tham số m để:
a) Hai phương trình có nghiệm chung
b) Hai phương trình tương đương Lời giải
a) Gọi x là nghiệm chung của hai phương trình. Ta biến đổi được (1+ m) x = m +1. Tìm được 0 0 m = 1 − hoặc m = 2 b) Ta xét 2 trường hợp:
- Trường hợp 1: Hai phương trình cùng vô nghiệm 1 2 m − ⇒ − < < 4
- Trường hợp2 : Hai phương trình cùng có nghiệm và tập nghiệm giống nhau ⇒ m = 1 − Vậy 1 2 m − − < <
thì hai phương trình tương đương. 4 Bài 9: Cho hai phương trình 2
x − 2ax + 3 = 0 và 2
x − x + a = 0 (a là tham số). Với giá trị nào của tham số a thì:
a) Hai phương trình có nghiệm chung
b) Hai phương trình trên tương đương Lời giải
a) Ta tìm được a∈∅
b) Tìm được 1 < a < 3 4 21
Dạng 6: Chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm, vô nghiệm Cách giải:
Để chứng minh một phương trình bậc hai vô nghiệm ta chứng minh phương trình có ∆ < 0 .
Để chứn minh phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng minh phương trình bậc hai có ∆ ≥ 0 .
Ngoài ra để chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm ta còn có cách dựa vào tính chất sau: Cho 2
f (x) = ax + bx + c(1)
Nếu có 1 số thực m sao cho .a f (m) < 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt
Chứng minh tính chất: 2 2 2 Ta có:  b  ∆ 2  b  ∆ ∆ 2 ( ) . ( ) 0  b f x a x a f m a m a m  = + − ⇒ = + − < ⇔ > + ≥ 0 ⇒ ∆ >       0  2a  4a  2a  4 4  2a Bài 1:
Chứng minh rằng với m
∀ các phương trình sau luôn có nghiệm: a) 2
x − 2(m + 2) x − m − 7 = 0 b) 2 2
x − 4m x − 4m − 2 = 0 Lời giải 2
a) Ta có ∆ = (m + )2 −(m − ) 2  5  19 ' 2
7 = m + 5m +11 = m + + > 0, m ∀ ⇒ ∆ ' >   0 với mọi m  2  4
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Ta có 4 4
∆ ' = 4m + 4m + 2 = 2(2m + 2m +1) 2 2 mà 4  4 2 1   2 1   2 1   1 2m 2m 1 2 m m 2 m m 2 m 2 m  + + = − + + + + = − + + ≥         0  4   4   2   2   2 1 m − = 0  Dấu “=” xảy ra  2 ⇔  (v .
o nghiem). ⇒ ∆ ' > 0∀ . m 1 m + = 0  2
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 22 Bài 2:
Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài các cạnh của 1 tam giác thì phương trình sau vô nghiệm: 2 2 2 2 2 2
a x + (a + b − c )x + b = 0 Lời giải Ta có 2 a ≠ 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
∆ = (a + b − c ) − 4a b = (a + b − c − 2ab)(a + b − c + 2ab) = (a − b) − c  (a + b) − c     
= (a − b + c)(a − b − c)(a + b + c)(a + b − c) ⇒ ∆ < 0 ⇒         phương trình vô nghiệm >0 <0 >0 >0 Bài 3:
Cho các số thực a, b, c thoảm nã a + (a +b)2 2 4
+ a(c + 2) +1< 0. Chứng minh rằng phương trình 2
ax + bx + c = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Lời giải
Phân tích: Vì bài toán yêu cầu chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt nên phương
trình đã cho phải là phương trình bậc hai, tức là a ≠ 0. Điều này dễ thấy luôn đúng , vì nếu
a = 0 thì từ giả thiết ta có 2
b +1< 0 (vô lí). Do vậy để chứng minh yêu cầu bài toán, chúng ta cần chứng minh 2
∆ = b − 4ac > 0 hoặc chỉ ra số thực m sao cho .
a f (m) < 0 với ( ) 2
f x = ax + bx + c
Cách 1: Để chứng minh 2
∆ = b − 4ac > 0, ta biến đổi giả thiết bài toán như sau:
a + (a + b)2 + ac + a + < ⇔ b − ac > a + (a + b)2 + ac + a + = a + (a + b)2 + b + (a + )2 2 2 2 2 2 16 4 4 8 4 0 4 16 4 4 8 4 12 4 4 1 ≥ 0 2
⇒ ∆ = b − 4ac > 0
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt
Cách 2: Để chỉ ra có một số thực m sao cho a f (m) = a( 2 .
am + bm + c) < 0
Ta viết lại giả thiết bài toán như sau: 2 2 2
4a + a + 2ab + b + ac + 2a +1< 0
⇔ a( a + b + c) < −(a + )2 2 4 2
1 − b ≤ 0 ⇒ a(4a + 2b + c) < 0 ⇔ . a f (2) < 0 .
Do đó, phương trình f (x) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Bài 4:
Cho các sô thực a, b, c thỏa mãn 3a + 5b +15c = 0. Chứng minh rằng phương trình 2
ax + bx + c = 0 luôn có nghiệm. 23 Lời giải
Phương trình đã cho chưa phải là phương trình bậc hai vì ta chưa biết a = 0 hay a ≠ 0. Do đó
ta xét các trường hợp sau
+ Xét a = 0 , khi đó:
- b = 0, từ giả thiết có c = 0. Do đó, phương trình đã cho có vô số nghiệm
- b ≠ 0 thì phươn trình đã cho có nghiệm −c x = b
+ Xét a ≠ 0, khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai. Để chứng minh phương trình
có nghiệm, ta có thể chứng minh 2
∆ = b − 4ac ≥ 0 hoặc chỉ ra số thực m thỏa mãn . a f (m) < 0 với f (x) 2 = ax + bx + . c
Cách 1: Để chứng minh 2
∆ = b − 4ac ≥ 0 ta biến đổi như sau: 2 2 2 Ta có 2  3a +15c  9a −10ac + 225 ∆ = − 4 = −  4 c b ac ac =   5  25 Vì a − ac +
c = c − ac + a + a +
c = ( c − a)2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 10 225 25 10 8 200 5
+ 8a + 200c ≥ 0.
⇒ ∆ ≥ 0, với mọi a, b, c. Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.
Cách 2: Để chỉ ra số thực m thỏa mãn .a f (m) < 0 ta xử lí như sau
Ta có f ( ) = c f ( )  1  1 1 0 ; 1 = a + b + ; c f = a + b +   . c  2  4 2
Giả sử x f ( ) y f ( )  1   1   1 . 0 . 1 z. f 3a 5b 15c y z a y z  + + = + + ⇔ + + +
b + (x + y + z)c = 3a + 5b +       15c  2   4   2   1 y + z = 3  4  y =1  1 y z 5  ⇒ + = ⇔ z = 8 2  x =  6
x + y + z =15 
Vậy ta có f ( ) f ( ) 1 6. 0 1 8. f   + + =   0  2 
Do đó trong ba số f ( ) f ( ) 1 0 , 1 , f   
luôn có một số không âm và một số không dương. Giả sử 2   
hai số đó là f (0), f ( )
1 , tức là: f (0). f ( ) 1 ≤ 0 ⇒ . a f (0).af ( ) 1 ≤ 0 24
Do đó, ta suy ra af (0) ≤ 0 hoặc 1 af   ≤
  0. Từ đây, ta có phương trình đã cho luôn có nghiệm.  2 
Chú ý: Khi đề bài cho a, b, c thỏa mãn ma + nb + pc = 0 và yêu cầu chứng minh phương trình 2
ax + bx + c có ngiệm, ta có thể chứng minh như sau
Cách 1: Chứng minh 2
∆ = b − 4ac ≥ 0 (khi a ≠ 0 )
Cách 2: Chỉ ra tồn tại x, y, z thỏa mãn: .xf (α )+ .yf (β )+ z.f (γ ) = ma + nb + pc khi đó trong ba số
f (α ), f (β ), f (γ ) luôn có hai số trái dấu. Từ đó ta có đpcm. Bài 5:
Cho các sô a, b, c thỏa mãn a + 2b + 3c =1. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: 2 x − ( a + ) 2 4
4 2 1 x + 4a +192abc +1 = 0 và 2 x − ( b + ) 2 4
4 2 1 x + 4b + 96abc +1 = 0 Lời giải
Hia phương trình trên lần lượt có ∆' =16a 1− 48bc ;∆' =16b 1− 24ac . Vì a, b là các số dương 1 ( ) 2 ( )
nên ∆' ,∆' lần lượt cùng dấu với 1− 48bc và 1− 24ac . Để chứng minh bài toán, ta cần chứng 1 2
minh trong hai biệt thức ∆' ,∆' luôn có ít nhất một số không âm. Để chứng minh điều này, ta 1 2
đi xét tổng ∆' + ∆' . Nếu ∆' + ∆' ≥ 0 thì trong hai số ∆' ,∆' có ít nhất một số không âm. Ta có 1 2 1 2 1 2
− bc + − ac = − c(a + b) = − c( − c) = ( c − )2 1 48 1 24 2 24 2 2 24 1 3 2 6 1 ≥ 0 Hay ∆' + ∆' ≥ 0 1 2
Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm. Bài 6: Cho phương trình 2 3 3
ax + bx + b + c − 4abc = 0(a ≠ 0) vô nghiệm. Chứng minh rằng trong hai
phương trình sau có 1 phương trình vô nghiệm, 1 phương trình có hai nghiệm phân biệt: 2 2
ax + bx + c = 0(2);ax + cx + b = 0(3) Lời giải
Phương trình (1) vô nghiệm 2 2 3 3
⇒ ∆ = b c − 4a(b +c − 4abc) < 0(*) 1 Ta có 2 2 ∆ = b − 4 ;
ac ∆ = c − 4ab 2 3
Ta đi chứng minh ∆ .∆ < 0 2 3 25 ∆ > 0 2 ∆ <  0 Có 2 2 3
(*) ⇔ (b − 4ac)(c − 4ab) < 0 ⇒ ∆ .∆ < 0 ⇒ ⇒ dpcm 2 3 ∆ < 0 2   ∆ >  0 3 Bài 7:
Cho a, b, c là các số thực có tổng khác 0. Chứng minh rằng phương tình sau luôn có nghiệm:
a(x − b)(x − c) + b(x − c)(x − a) + c(x − a)(x − b) = 0(1) Lời giải 2 2
(1) ⇔ (a + b + c)x − 2(ab + bc + ca)x + 3abc = 0;∆ ' = (ab + bc + ca) − 3abc(a + b + c)  ≠0 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2
= a b + b c + c a − abc(a + b + c) = (ab − bc) + (bc − ca) + (ca − ab)  ≥ 0 ⇒ dpcm 2   Bài 8:
Cho các số a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh rằng có ít nhất 1 trong ba phương trình sau có nghiệm: 2 2 2
x +ax +1 = 0; x + bx +1 = 0; x + cx +1 = 0 Lời giải 2 2 2 2 2 2 2 2 (b c) a 4; b 4; c 4 a b c 12 a + ∆ = − ∆ = − ∆ = − ⇒ ∆ + ∆ + ∆ = + + − ≥ + −12 1 2 3 1 2 3 2 2 2 2 (6 − a) 3(a − 2) = a + −12 =
≥ 0 ⇒ ∆ + ∆ + ∆ ≥ 0 ⇒ dpcm 1 2 3 2 2 Bài 9: Cho phương trình 2 3 3
ax + bcx + b +c − 4abc = 0(1)(a ≠ 0) vô nghiệm. Chứng minh rằng trong hai
phương trình sau có một phương trình vô nghiệm và một phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 2
ax + bx + c = 0(2);ax + cx + d = 0(3) Lời giải
Vì phương trình (1) vô nghiệm nên ta có: 2 2 3 3
∆ = b c − 4a(b + c − 4abc) < 0(*) 1
Hai phương trình (2)(3) có 2 2 ∆ = b − 4 ;
ac ∆ = c − 4ab 2 3
Để chứng minh bài toán ta cần chứng minh trong hai số ∆ ,∆ 2
3 luôn có một số âm và một số
dương. Điều này gợi ý ta đi chứng minh ∆ .∆ < 0 2 3 26 2 2 (*) ⇔ (b 4
− ac)(c − 4ab) < 0 ⇔ ∆ .∆ < 0 ⇒ trong hai số ∆ ,∆ có một số âm và một số dương 2 3 2 3
dẫn đến trong hai phương trình (2)(3) luôn có một phương trình có hai nghiệm phân biệt và
một phương trình vô nghiệm. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Giải các phương trình sau a) 2
2x − (1− 2 2) x − 2 = 0 b) 2 3x + 3 = 2(x + ) 1 c) ( x − )2 2 2 −1 = (x + ) 1 (x − ) 1 d) 1 x(x + ) 1 = (x − )2 1 2 Hướng dẫn giải a) Ta tìm được: 1 x  ; 2 ∈ −
b) Ta tìm được: x∈∅ 2       ±  c) Ta tìm được: 2 x 2;  ∈   d) Ta tìm được: 5 17 x ∈ 3       2   Bài 2: Cho phương trình 2 x − ( m + ) 2 2 4
3 x + 2m −1 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép c) Vô nghiệm d) Có đúng một nghiệm e) Có nghiệm Hướng dẫn giải
Ta có: ∆ = ( m + )2 − ( 2 m − ) 2 2 4 3 4.2. 2
1 =16m + 24m + 9 −16m + 8 = 24m +17
a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 17 m − > 24
b) Phương trình có nghiệm kép khi 17 m − = 24
c) Phương trình vô nghiệm khi 17 m − < 24
d) Không có giá trị nào của m để phương trình có đúng một nghiệm
e) Phương trình có nghiệm khi 17 m − ≥ . 24 27 Bài 3:
Biện luận theo m số nghiệm phương trình 2 mx − 4(m − )
1 x + 4m + 8 = 0 (m là tham số). Hướng dẫn giải
Ta chia ra làm các trường hợp sau:
- m ≠ 0;m > 1 − - m = 1 − - m < 1 − - m = 0 - m ≥ 1 − Bài 4: Cho hai phương trình 2
x + mx + 2 = 0 và 2
x + 2x + m = 0. Xác định các giá trị của tham số m để hai phương trình: a) Có nghiệm chung b) Tương đương Hướng dẫn giải
a) Ta tìm được m = 2 hoặc m = 3 −
b) Ta tìm được 1< m < 2 2 . 28