Tài liệu Toán 9 chủ đề giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Tài liệu gồm 19 trang, bao gồm kiến thức cần nhớ, các dạng toán và bài tập chủ đề giải hệ phương trình bằng phương pháp thế trong chương trình môn Toán 9, có đáp án và lời giải chi tiết.
Chủ đề: Chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Môn: Toán 9
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ A. Tóm tắt lý thuyết 1. Quy tắc thế
- Từ 1 phương trình của hpt đã cho (coi như phương trình thứ nhất), ta biểu diễn 1 ẩn theo ẩn
kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được 1 phương trình mới (chỉ còn 1 ẩn)
- Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ phương trình và
giữ nguyên pt thứ nhất, ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho.
2. Giải và biện luận phương trình: ax + b = 0 - Nếu − ≠ 0 b a ⇒ x = a
- Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm
- Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.
B. Bài tập và các dạng toán
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Cách giải: Căn cứ vào quy tắc thế để giải hpt bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế ta làm như sau
- Từ 1 phương trình của hệ phương trình đã cho (coi như pt thứ nhất), ta biểu diễn 1 ẩn theo
ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được 1 phương trình mới (chỉ còn 1 ẩn).
- Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ phương trình và
giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta được hpt mới tương đương với hệ phương trình đã cho.
*) Chú ý: Ta thường chọn phương trình có các hệ số có giá trị tuyệt đối không quá lớn thường là 1 và -1
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau a. x + y = 5 x − y = b. 2 2 4x − 3y = 1 − 2x − 4y = 4 Lời giải
a) Cách 1: Thế y theo x ở phương trình thứ nhất 1 x + y = y = − x Ta có 5 5 y = 5 − x x = 2 ⇔ ⇔ ⇔ 4x − 3y = 1 − 4x 3
(5 x) 1 7x =14 − − = − y = 3
Cách 2: Thế x theo y ở phương trình thứ nhất x + y = 5
x = 5 − y Ta có x = 5 − y x = 2 ⇔ ⇔ ⇔ 4x − 3y = 1 − 4 (5 y) 3y 1 7 − y = 21 − − = − − y = 3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất ( ;x y) = (2;3) x − y = x = + y b) Cách 1: Ta có 2 2 2 2 x = 2 + 2y ⇔ ⇔ 2x − 4y = 4 2 (2 2y) 4y 4 + − = 0y = 0
Ta thấy rằng 0y = 0 có nghiệm đúng với mọi y∈ R
Do đó hệ phương trình vô số nghiệm.
Cụ thể, tập nghiệm của nó cũng là tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn x = 2 + 2y
Do đó, hệ phương trình có nghiệm ( x = + y ;
x y) tính bởi công thức 2 2 ⇔ y ∈ R 1 y = x −1 1
Cách 2: Ta có x − 2y = 2 2 y = x −1 ⇔ ⇔ 2 2x − 4y = 4 1
2x − 4 x −1 = 4 0x = 0 2
Ta thấy rằng 0x = 0 có nghiệm đúng với mọi x∈ R
Do đó hệ phương trình vô số nghiệm.
Cụ thể, tập nghiệm của nó cũng là tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 1 y = x −1 2 1
Do đó, hệ phương trình có nghiệm ( y = x −1 ;
x y) tính bởi công thức ⇔ 2 x∈R
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau a. 8 x − 2y =10 x − y + = b. 3 4 2 0 4 − x + y = 3 5 x + 2y = 14 Lời giải 8 x − 2y =10 8
x − 2(3+ 4x) a) Cách 1: Ta có = 10 0x =16 ⇔ ⇔ 4x y 3 − + = y = 3+ 4x y = 3 + 4x 2
Ta thấy phương trình Ox =16 vô nghiệm với mọi x∈ R
Do đó hệ phương trình vô nghiệm. 1 3 0y =16 Cách 2: Ta có 8 x − 2y =10 8 y − − 2y = 10 ⇔ 4 4 ⇔ 1 3 4 − x + y = 3 x = y − y − 3 = 4x 4 4
Ta thấy phương trình Oy =16 vô nghiệm với mọi y∈ R
Do đó hệ phương trình vô nghiệm. 4y − 2 x = 4y − 2 b) 3
x − 4y + 2 = 0 3 x − 4y = 2 − 3 x = x = 2 ⇔ ⇔ ⇔ 3 ⇔ 5 x + 2y =14 5 x + 2y =14 4y 2 − + = y = 2 5. 2y 14 26y = 52 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ;x y) = (2;2)
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau x 2 3x + 2y = 0 = a. y 3 b. 2
x + y 2y 5
x + y −1 = 0 − = 2 3 2 Lời giải
a) Điều kiện x ≠ 0; y ≠ 0 2 x 2 = 3 x − 2y = 0 3 (− + ) 1 − 2 = 0 x y y = 5 y 3 ⇔ ⇔ ⇔ x y 1 = − +
x = −y +1 3
x + y −1 = 0 y = 5
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x y) 2 3 ; ; = 5 5 3x + 2y = 0 b) 2 3 x + 4y = 0 x = 4 ⇔ ⇔ x y 2y 5 3( x y) 4y 15 + + − = y = 3 − − = 2 3 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ;x y) = (4; 3 − ) 3
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau
a) ( 2 −1)x − y = 2 −x − y = b) 2 3
x + ( 2 +1)y =1
2x + 2y = − 6 Lời giải − − = = − −
y = ( 2 −1)x − 2 a) ( 2 1)x y 2 y ( 2 1)x 2 ⇔ ⇔
x + ( 2 +1)y =1
x + ( 2 +1)y =1 x + ( 2 + ) 1 . ( 2 − ) 1 x − 2 =1 2 + 3
y = ( 2 −1)x − 2 x = ⇔ ⇔ x + ( + ) ( − ) 2 2 1 . 2 1 x − 2 =1 (*) 1 y − = 2 ( ) x x ( ) 3 2 * 2 2 1 1 2x 2 2 1 2x 3 2 x + ⇔ + − + = ⇔ = + + ⇔ = + ⇔ = 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( + x y) 2 3 1 ; = ;− 2 2
−x − 2y = 3
x = − 2y − 3 = − − b) x 2y 3
x = − 2y − 3 ⇔ ⇔ ⇔
2x + 2y = − 6 2
(− 2y− 3)+2y = − 6 2−y− 6 +2y = − 6 − 6 = − 6 (luôn đúng)
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau
x 5 + y = 6 + 5
a) x − y 2 = 0 b) 3
x 2 + 3y = 5 2
x + (1− 5) y = 1 − 5 Lời giải
x − y 2 = 0 x = y 2 x = y 2 x = 2 a) Cách 1: Ta có ⇔ ⇔ ⇔
x 2 + 3y = 5 2
y 2. 2 + 3y = 5 2 5 y = 5 2 y = 2 1 1 y = x y = x
x − y 2 = 0 2 2 x = 2 Cách 2: Ta có ⇔ ⇔ ⇔
x 2 + 3y = 5 2 1 5 y = 2 x 2 + 3. x = 5 2 x = 5 2 2 2 4
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ;x y) = (2; 2)
x 5 + y = 6 + 5
y = 6 + 5 − x 5 b) Cách 1: Ta có 3 ⇔ x + ( − ) 3 1 5 y = 1 −
x + (1− 5)(6+ 5 − x 5) = 1 − (*) 5 5
Giải riêng phương trình (*): ( ) 3 ⇔ − ( − ) x = − − ( + )( − ) 2 * 1 5 5 1 6 5 1 5 ⇔ 1 − + x = 2 − + 5 5 ⇔ x = 5 5 5
Khi đó y = 6 + 5 − 5. 5 =1+ 5 Cách 2: Ta có: 6 1 + = + = + − x = +1 5 6 5 5 6 5 − y x y x y 5 5 3 ⇔ ⇔ x + (1− 5) 3 y = 1 −
x + (1− 5) y = 1 − 3 6 1 5 5 . +1− y + (1− 5) = 1 − (**) 5 5 5
Giải riêng phương trình (**) ta được: ( ) 3 3 18 2 − 5 5 23 − − 3 5 ** ⇔ 1− 5 − y = 1 − − − ⇔ y = ⇔ y =1+ 5 5 5 5 5 5 Khi đó 6 1 x = +1− (1+ 5)= 5 5 5
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ;x y) = ( 5;1+ 5). 5
Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Cách giải:
- Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn tìm được.
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau 5
(x + 2y) −3(x − y)
x + y − = xy − a. = 99 ( 1)( 1) 1 b.
x − 3y = 7x − 4y −17 ( x − 3
)( y −3) = xy −3 Lời giải 5
(x + 2y) −3(x − y) a) = 99 5
x +10y − 3x + 3y = 99 2x +13y = 99 x = 4 ⇔ ⇔ ⇔
x − 3y = 7x − 4y −17
x − 3y − 7x + 4y = 17 − 6 − x + y = 17 − y = 7
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ;x y) = (4;7)
(x +1)(y −1) = xy −1 b)
xy − x + y −1 = xy −1 −x + y = 0 ( ⇔ ⇔ ⇔ = = x − )( y − ) x y 2 3 3 = xy − 3
xy − 3x − 3y + 9 = xy − 3 3 − x − 3y = 1 − 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ;x y) = (2;2)
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau a. 3(
y − 5) + 2(x − 3) = 0 x + y − = x − y + − b. ( 1)( 1) ( 2)( 1) 1
7(x − 4) + 3(x + y −1) −14 = 0
2(x − 2)y − x = 2xy − 3 Lời giải a. 3(
y − 5) + 2(x − 3) = 0 2x + 3y = 21 x = 3 ⇔ ⇔
7(x 4) 3(x y 1) 14 0 10 x 3y 45 − + + − − = + = y = 5
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ;x y) = (3;5) 17 x = + − = − + − − =
b. (x 1)(y 1) (x 2)(y 1) 1 2x 3y 2 11 ⇔ ⇔
2(x 2)y x 2xy 3 x 4y 3 − − = − + = 4 y = 11
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x y) 17 4 ; ; = 11 11 6
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau 2x + 3 = a. 1 x − y + = x − y + 3y − 2 b. ( 2)(6 1) (2 3)(3 1)
(2x +1)(12y − 9) = (4x −1)(6y − 5) 3
(3y + 2)−4(x + 2y) = 0 Lời giải 2x + 3 = a) 1 2
2x + 3 = 3y − 2 x = 2,3 3y − 2
(3y − 2 ≠ 0 ⇔ y ≠ ) ⇔ ⇔ (tm) 3 9
y + 6 − 4x − 8y = 0 y = 3, 2 3
(3y + 2) − 4(x + 2y) = 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ;x y) = (2,3;3,2)
b) (x − 2)(6y +1) = (2x −3)(3y +1)
6xy + x −12y = 6xy + 2x − 9y − 3 x = 2 − ⇔ ⇔
(2x 1)(12y 9) (4x 1)(6y 5)
24xy 18x 12y 9 24xy 20x 6y 5 + − = − − − + − = − − + y = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ;x y) = ( 2; − ) 1
Bài 4: Giải hệ phương trình sau
2x − 3y x + y −1 − = 2x − y −1 4 5
4x + y − 2 2x − y − 3 x − y −1 = − 4 6 3 Lời giải
2x − 3y x + y −1 2 − = 2x − y −1 x = − − + − = − − Ta có: 4 5
5(2x 3y) 4(x y 1) 20(2x y 1) 3 ⇔ ⇔
4x y 2 2x y 3 x y 1 3
(4x y 2) 2(2x y 3) 4(x y 1) + − − − − − + − = − − − − − 4 = − y − = 4 6 3 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x y) 2 4 − ; ; = 3 3
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau
a. 2x − 2 3y = 14 − − x − y = b. ( 3 1) 3 3
3x + 2y = 3(4 − 3 2)
x + ( 3 +1)y =1 Lời giải 4 3 − 3 6 − 3 3x y = − = − a) 2x 2 3y 14 2 x(9 + 2) = 9 − 2 − 2 ⇔ ⇔ 3
3x + 2y = 3(4 − 3 2) 4 3 − 3 6 − 3 3x y = 2 3 2x − 2 3( ) = 14 − 2 7 x = − 2 ⇔ y = 2 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ;x y) = (− 2;2 3) 4 + 3 − − = = − − x = b. ( 3 1)x y 3 y ( 3 1)x 3
y = ( 3 −1)x − 3 3 ⇔ ⇔ ⇔
x + ( 3 +1)y =1
x + ( 3 +1). .x[( 3 −1)x − 3]=1 3 x = 4 + 3 1 y − = 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( + − x y) 4 3 1 ; = ; 3 3
Bài 6: Giải các hệ phương trình sau 2 2 2 2 a. 2
− 3x + 3 5y = 21 −
(x −1) + (y − 2) = (x +1) +1+ (y +1) b.
4x − 2 3y = 2 3(2 + 5) 2 2
(x − y − 3) = (x − y −1) Lời giải 4 3 + 2 15 + 2 3 2 − 3( y)+3 5y = 21 − − + = − = a) 2 3x 3 5y 21 4 x 3 ⇔ ⇔
4x − 2 3y = 2 3(2 + 5) 4 3 + 2 15 + 2 3y y = − 5 x = y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ;x y) = ( 3;− 5) 2 2 2 2
b) (x −1) + (y − 2) = (x +1) +1+ (y +1) x =1,5 ⇔ 2 2
(x − y − 3) = (x − y −1) y = 0, − 5
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ;x y) = (1,5; 0 − ,5) 8
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Chọn ẩn phụ cho các biểu thức của hệ phương trình đã cho để được hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn mới ở dạng cơ bản (tìm điều kiện của ẩn phụ nếu có).
Bước 2: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, từ đó tìm nghiệm của
hệ phương trình đã cho.
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau 1 1 1 + = 2 1 + = 3 a. x y 12
x + 2y y + 2x b. 8 15 + =1 4 3 − = 1 x y
x + 2y y + 2x Lời giải 1 1 2 a = + = + = a. Điều kiện =
x, y ≠ 0 . Đặt 1 1 a b 8a 8b 28 x 28 = ; a = b ⇒ 12 ⇔ 3 ⇔ ⇔ x y 1 + = + = y = 21 8a 15b 1 8a 15b 1 b = 21
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ;x y) = (28; ) 21 . 2 1 10 1 + = 3 a = x = + + + =
b. x 2y y 2x a b 3 7 3 (x ≠ 2 − y; y ≠ 2 − x) ⇔ ⇔ ⇔ 4 3 4a 3b 1 11 − = 1 1 b − = = y =
x + 2y y + 2x 7 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1 x = y = 3
Bài 2: Giải hệ phương trình sau 5 2 − = 8
x + y −3 x − y +1 3 1 3 + =
x + y −3 x − y +1 2 Lời giải 5 2 1 − = 8 u = 1 = 1
Ta có: x + y −3 x − y +1 5 u − 2v = 8 x + y − 3
(x + y ≠ 3; x − y ≠ 1) − ⇔ ⇔ 3 − ⇔ 3 1 3 3 u + v = 1,5 v = 1 3 − 2 + = =
x + y −3 x − y +1 2
x − y +1 2 9 1 x =1
x + y − 3 = 1 6 ⇔ ⇔ 3 (x y 1) 2 − + = − 5 y = 2 6
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x y) 1 5 ; 1 ;2 = 6 6
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau 4 5 5 − = 3 1 1 + =
a. x + y −1 2x − y + 3 2 5x y 10 b. 3 1 7 + = 3 3 1 + =
x + y −1 2x − y + 3 5 4x 4y 12 Lời giải 4 5 5 5 10 − − = 4u − 5v = x = + − − + − =
a. x y 1 2x y 3 2 2 8u 10v 5 3 ⇔ ⇔ ⇔ .... 3 1 7 7 15 u 5v 7 + = 19 + = 3u v + = y =
x + y −1 2x − y + 3 5 5 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x y) 10 − 19 ; ; = 3 3 3 1 1 3 1 1 + = u + v = u = b. 5x y 10 5 10 36 x = 36
(x, y ≠ 0) ⇔ ⇔ ⇔ (tm) 3 3 1 3 3 1 1 y = 12 + = u + v = v = 4x 4y 12 4 4 12 12
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ;x y) = (36;12)
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau
x −1−3 y + 2 = 2
4 x +3 −9 y +1 = 2 a. (x ≥1; y ≥ 2 − ) b. (x ≥ 3 − ; y ≥ 1) −
2 x −1 + 5 y + 2 =15 5
x + 3 + 3 y +1 = 31 2
2(x − 2x) + y +1 = 0 c. (y ≥ 1) − 2 3(
x − 2x) + ( 2 − y +1) = 7 − Lời giải
x −1−3 y + 2 = 2 u − 3v = 2 u = 5 x −1 = 5 = a. x 26 (x ≥1; y ≥ 2 − ) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
2 x −1 + 5 y + 2 =15 2u + 5v =15 v =1 y + 2 =1 y = 1 − 10
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ;x y) = (26;− ) 1
4 x +3 −9 y +1 = 2 = b. x 22 (x ≥ 3 − ; y ≥ 1) − ⇔ 5
x + 3 + 3 y +1 = 31 y = 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ;x y) = (22;3)
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau 2
2(x − 2x) + y +1 = 0 (y ≥ 1) − 2 3(
x − 2x) + ( 2 − y +1) = 7 − Lời giải 2 2
2(x − 2x) + y +1 = 0
x − 2x = 1 − = Ta có: x 1 (y ≥ 1) − ⇔ ⇔ 2 3(
x − 2x) + ( 2 − y +1) = 7 − y +1 = 2 y = 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ;x y) = (1;3)
Bài 6: Giải các hệ phương trình sau 7 4 5 − = x − 7 y + 6 3 a.
(x > 7; y > 6 − ) 5 3 13 + = x − 7 y + 6 6 2 5
x −1 − 3 y + 2 = 7 − + ≥ b. 4x 8x 4 0 ĐK : 2 2 2
2 4x −8x + 4 + 5 y + 4y + 4 =13
y 4y 4 0 + + ≥ Lời giải 7 4 5 1 1 − = = x − 7 y + 6 3
x−7 3 x− = = a. 7 3 x 16
(x > 7; y > 6 − ) ⇔ ⇔ ⇔ 5 3 13 1 1 + = = y + 6 = 6 y = 30 x −7 y + 6 6 y + 6 6
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ;x y) = (16;30) 5
x −1 − 3 y + 2 = 7 5
x −1 −3 y + 2 = 7 5 u − 3v = 7 x −1 = 2 b. ⇔ ⇔ ⇔ 2 2
2 4x −8x + 4 + 5 y + 4y + 4 =13
4 x −1 + 5 y + 2 =13 4u + 5v =13 y + 2 =1
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm: (3;-1); (3;-3); (-1;-1); (-1;-3) 11
Bài 7: Giải các hệ phương trình sau 2 2 2 2 3
a. 7x +13y = 39 − 2x + y =10
(x + 3) − 2y = 6 b. c. 2 5
x −11y = 33 2 2
x − 2y = 5 2 3 3(
x + 2) + 5y = 7 Lời giải a. Đặt
7u −13v = 39 − x = 0 2
x = u ≥ 0; y = v ⇒ ⇔ 5 u 11v 33 − = y = 3 −
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ;x y) = (0; 3 − ) 2
b. Đặt x = u ≥ 0 2u + v =10 u = 5 x = 5 ± ⇔ ⇔ ⇔ 2
y = v ≥ 0 u − 2v = 5 v = 0 y = 0
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( ;x y) = (5;0);( 5; − 0) x = 1 − 2 2 + = ≥ − = =
c. Đặt (x 3) u 0 u 2v 6 u 4 (x + 3) = 4 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = 5 − 3 3 v = y 3 u + 5v = 7 v = 1 − y = 1 − v = 1 −
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( ;x y) = ( 1 − ;− ) 1 ;( 5 − ;− ) 1
Bài 8: Giải các hệ phương trình sau 2 3 2 2
a. 2(x −1) −3y = 7
x + 2(y + 2y) =10 b. 2 3 5
(x −1) + 6y = 4 2 2 3
x − (y + 2y) = 9 Lời giải 2 b) Đặt u = x ≥ 0 u + 2v = 10 u = 4 ⇔ ⇔ ⇒ ( ; x y)∈{(2;1);(2; 3) − ;(−2;1);(−2;− } 3) 2
v = y + 2y
6u − 2v = 18 v = 3
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm ( ;x y)∈{(2;1),(2; 3) − ,( 2; − 1),( 2; − − } 3) 12
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước
Cách giải: Ta thường sử dụng các kiến thức sau + =
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm ( ax by c x ; y ) 0 0 ⇔ 0 0
a'x +b' y = c' 0 0
- Đường thẳng d : ax +by = c đi qua điểm M (x ; y ⇔ ax + by = c 0 0 ) 0 0 Bài 1: Xác định các hệ số x + ay =
a và b , biết rằng hệ phương trình sau: (I ) 4 6 có nghiệm là: bx − 2ay = 8 a) (1; − ) 1 b) (− 2; 3) Lời giải a) Vì (1; − )
1 là một nghiệm của phương trình (I), nên thay giá trị này vào hệ phương trình (I) 4.1+ .a(− ) 1 = 6 ta được: 4 − a = 6 a = 2 − a = 2 − ⇔ ⇔ ⇔ .1 b − 2 . a (− )1 = 8 b + 2a = 8 b = 8 − 2a b = 12 Vậy a = 2; − b =12 (− ) 4 2 4 2 a = 2 4. 2 + .3 a = 6 a + = 2 + b) Tương tự ta có: 3 ⇔ ⇔ . b ( 2 ) 3 2 .3 a 8 − − = .b (− 2 ) = 2 .3 a + 8 .b(− 2) 4 2 = 6.2 + + 8 3 4 2 a = 2 + ⇔ 3 . Vậy 4 2 a = 2 + ; b = 10 − 2 −8 3 b = 10 − 2 −8 Bài 2:
Cho hệ phương trình: (3a + b)x + (4a −b +1)y = 35 . Tìm các giá trị của a,b để hệ phương trình bx + 4ay = 29 có nghiệm (1; 3 − ) Lời giải
Thay x =1; y = 3
− vào hệ phương trình ta được: 13 (
3a + b).1+ (4a −b + ) 1 .( 3 − ) = 35 3
a + b −12a + 3b − 3 = 35 9 − a + 4b = 38 a = 2 − ⇔ ⇔ ⇔ .1 b + 4 . a ( 3 − ) = 29 b −12a = 29 b −12a = 29 b = 5 Vậy a = 2; − b = 5 Bài 3:
Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức x − a khi và chỉ khi P(a) = 0
Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x + 2 và x −1: P(x) 3
= mx + (m − ) 2 5 x − (2n + ) 1 x + 3n Lời giải
Theo giả thiết P(x) đồng thời chia hết cho đa thức x + 2 và x −1, do đó ta có: P( 2 − ) = 0 . m ( 2 − )3 + (m −5).( 2 − )2 −(2n + ) 1 .( 2 − ) + 3n = 0 4 − m + 7n =18 4
− m + 7(6 − 2m) =18 ⇔ ⇔ ⇔ P ( ) 3 1 = 0 .1 m + (m −5) 2 .1 − (2n + ) 1 .1+ 3n = 0 2m + n = 6
n = 6 − 2m 4 18 − = 24 m m = − 3 ⇔ ⇔ n 6 2m = − 10 n = 3 Vậy 4 m = và 10 n = . 3 3 Bài 4:
Cho hai đường thẳng (d : mx − 2 3n + 2 y = 6; d : 3m −1 x + 2ny = 56. 1 ) ( ) ( 2) ( )
Tìm các giá trị của tham số m và n để d ,d cắt nhau tại điểm I (2; 5 − ) 1 2 Lời giải I ∈ d
2m − 2(3n + 2).( 5 − ) = 6 Vì m = 8
d , d cắt nhau tại điểm I (2; 5 − ) nên 1 ⇔ ⇒ 1 2 I d ∈ 3m −1 .2 + 2 . n 5 − = 56 n = 1 − 2 ( ) ( )
Vậy m = 8;n = 1
− là các giá trị cần tìm.
Bài 5: Tuyển sinh vào 10, Bắc Ninh năm 2011 - 2012
Cho hệ phương trình: 2x + y = 5m −1 , m là tham số x − 2y = 2
a. Giải hệ phương trình khi m =1 14
b. Tìm m để hệ có nghiệm x, y thỏa mãn 2 2 x − 2y =1 Lời giải
Hệ phương trình tương đương 2x + y = 5m −1 x = 2m ⇔ ⇔ x 2y 2 − = y = m −1 a. Với x = m =1 ta được: 2 y = 0
b. Hệ có nghiệm (x, y) thỏa mãn 2 2
x − 2y =1 khi và chỉ khi: 2 2 2 2 10 4m 2(m 1) 1 2m 4m 3 0 m − ± − − = ⇔ + − = ⇔ = 2 Vậy 2 10 m − ± =
là các giá trị cần tìm. 2 Bài 6:
Cho hệ phương trình: (m −1)x + y = m(1)
, m là tham số, giả sử hệ có nghiệm duy nhất (x, y)
x + (m −1)y = 2(2)
a. Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m
b. Tìm giá trị của m thỏa mãn 2 2x − 7y =1
c. Tìm các giá trị nguyên của m để biểu thức 2x −3y nhận giá trị nguyên. x + y Lời giải
a. Từ (1) ta có: y = m −(m − )
1 x , thay vào phương trình (2) ta được:
x + (m − ) m − (m − ) x = ⇔ ( 2 m − m) 2 1 1 2
2 x = m − m − 2 ⇔ m(m − 2) x = (m − 2)(m + ) 1 m +1 x = ≠
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất m 0 m ⇔ ⇒ m 2 ≠ 1 y = m m +1 x = Ta có: m
⇒ x − y =1 là hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. 1 y = m y =1 b. Ta có: 2 2 x y 1
x y 1;2(y 1) 7y 1 2y 3y 1 0 − = ⇒ = + + − = ⇔ − + = ⇔ 1 y = 2 15 +) Với 1 y =1⇒ = 1 ⇔ m =1 m +) Với 1 1 1 y = ⇒
= ⇔ m = 2(loai) 2 m 2
Vậy m =1 là giá trị cần tìm.
c. Ta có 2x −3y 2(y +1) −3y 2 − y 2m −1 5 5 = = = = 2 − ∈ Z ⇔ ∈ Z x + y 2y +1 2y +1 m + 2 m + 2 m + 2 ⇔ m + 2∈{ 1 ± ;± } 5 ⇒ m∈{ 1 − ; 3 − ;3;− } 7 Vậy m∈{ 1 − ; 3 − ;3;− } 7 Bài 7:
Cho hệ phương trình: (2m +1)x −3y = 3m − 2 (1)
(m + 3)x − (m +1)y = 2m (2)
a. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất ( ;x y) thỏa mãn x ≥ 2y
c. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất ( ;x y) sao cho 2 2
P = x + 3y đạt giá trị nhỏ nhất Lời giải Từ (1)
(2m 1)x 3m 2 y + − + ⇒ =
thay vào phương trình (2) ta được: 3
(m +1) (2m + )
1 x − 3m + 2 (m 3)x + −
= 2m ⇔ 3(m + 3)x − (m +1)(2m +1)x + (m +1)(3m − 2) = 6m 3 2 2
⇔ 2(m − 4)x = 3m − 5m − 2 (*) 2 m − 4 = 0
a. Hệ có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm m = 2 2 ⇔ 3
m − 5m − 2 = 0 ⇔ m ≠ 2 ± 2 m − 4 ≠ 0
Vậy điều kiện: m ≠ 2 .
b. Hệ có nghiệm duy nhất 2
⇔ m − 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ±
(2m +1)(3m +1) −3m+2 Khi đó: (3m +1)(m − 2) 3m +1 2(m + 2) 3− (*) m ⇔ x = = ⇒ y = =
2(m − 2)(m + 2) 2(m + 2) 3 2(m + 2) 16 m −1≥ 0 + − − + > Do đó: 3m 1 2(3 m) 5m 5 m 2 0 m ≥1 x ≥ 2y ⇔ ≥ ⇔ ≥ 0 ⇔ ⇔
2(m + 2) 2(m + 2) 2(m + 2) m −1≤ 0 m < 2 − m + 2 < 0
Vậy m > 2 hoặc 1≤ m < 2 hoặc m < 2
− là các giá trị cần tìm.
c. Hệ có nghiệm duy nhất khi m ≠ 2
± , khi đó nghiệm của hệ là: 3m +1 x = 2 2 2 2(m + 2) (3m +1) 3(3− m) 3m − 3m + 7 ⇒ P = + = 2 2 2 3− m 4(m + 2) 4(m + 2) m + 4m + 4 y = 2(m + 2) 2 3 (3m − 4) 3 4 P − =
≥ 0 ⇒ P ≥ ⇔ m = . 2 4 (m + 2) 4 3 BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau 17 x y
a. x − y = 3 b. − =1 2 3 3 x − 4y = 2 5
x −8y = 3 Hướng dẫn x y x = 3
a) x − y = 3 x =10 − = 1 ⇔ b) 2 3 ⇔ 3 3 x 4y 2 − = y = 7 5 − 8 = 3 y x y = 2
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau
a. 2(x + y) + 3(x − y) = 4 x + y − = xy − b. ( 1)( 1) 1
(x + y) + 2(x − y) = 5
(x − 3)(y + 3) = xy − 3 Hướng dẫn 1 x − = + + − =
a) 2(x y) 3(x y) 4 2 x + y − = xy − x = ∅ ⇔ b) ( 1)( 1) 1 ⇔
(x y) 2(x y) 5 + + − = 13 − + = − = ∅ y − x y xy y = ( 3)( 3) 3 2
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau 1 1 + = 2 1 1 5 + =
a. x − 2 2y −1
2x + y x − 2y 8 b. 2 3 − − = 1 1 1 3 − =
x − 2 2y −1
2x + y x − 2y 8 Hướng dẫn 1 1 19 + = 2 x = − − a) x 2 2y 1 7 ( ;x y) 19 4 ; ⇔ ⇒ = 2 3 4 7 3 − = 1 y =
x − 2 2y −1 3 1 1 5 18 + = x = + − b) 2x y x 2y 8 5 ( ;x y) 18 4 ; ⇔ ⇒ = 1 1 3 4 5 5 − − = y =
2x + y x − 2y 8 5 Bài 4: 18
Cho hệ phương trình (3a − 2)x + 2(2b +1)y = 30
. Tìm các giá trị của a,b để hệ phương trình có
(a + 2)x − 2(3b −1)y = 20 − nghiệm là (3; ) 1 − Hướng dẫn
Thay x = 3; y = 1
− vào hệ phương trình ta được a = 2;b = 5 − 19