Tài liệu Toán 9 chủ đề hàm số và đồ thị hàm số y = ax2 (a khác 0)
Tài liệu gồm 20 trang, bao gồm kiến thức cần nhớ, các dạng toán và bài tập chủ đề hàm số và đồ thị hàm số y = ax2 (a khác 0) trong chương trình môn Toán 9, có đáp án và lời giải chi tiết. Mời bạn đọc đón xem.
Chủ đề: Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn
Môn: Toán 9
Thông tin:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
-
Chuyên đề hàm số
126 63
Preview text:
ÔN TẬP HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2
y = ax (a ≠ 0)
A. Các kiến thức cần nhớ
1. Tính chất của hàm số 2
y = ax (a ≠ 0)
- Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0
- Nế a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0 *) Nhận xét:
- Nếu a > 0 thì y > 0 với mọi x ≠ 0; y = 0 khi x = 0
Giá trị nhỏ nhất của y bằng 0.
- Nếu a < 0 thì y < 0 với mọi x ≠ 0; y = 0 khi x = 0
Giá trị lớn nhất của y bằng 0.
2. Đồ thị của hàm số 2
y = ax (a ≠ 0) Đồ thị của hàm số 2
y = ax (a ≠ 0) là một đường cong luôn đi qua gốc tọa độ và nhận Oy làm trục đối xứng
Đường cong được gọi là Parabol với đỉnh O
- Nếu a > 0 thì (P) nằm phía trên trục hoành và O là điểm thấp nhất
- Nếu a < 0 thì (P) nằm phía dưới trục hoành và O là điểm cao nhất.
B. Bài tập áp dụng
Dạng 1: Tính giá trị của hàm số tại một điểm cho trước
Cách giải: Giá trị của hàm số 2
y = ax tại điểm x = x là 2 y = ax 0 0 Bài 1: Cho hàm số 2
y = f (x) = 2 − x
a. Tìm giá trị của hàm số khi x nhận các giá trị lần lượt là 2; − 0 và 3− 2 2
b. Tìm các giá trị của a , biết rằng f (a) = 10 − + 4 6
c. Tìm điều kiện của b biết rằng f (b) ≥ 4b + 6 . Lời giải a) Ta có: f ( 2) − = 8
− ; f (0) = 0; f (3− 2 2) = 34 − + 24 2
b) Ta có: f (a) = 10
− + 4 6 ↔ a = ±( 3 − 2) 1 c) Ta có: 2 2
f (b) ≥ 4b + 6 ⇒ 2
− b ≥ 4b + 6 ⇔ b + 2b + 3 ≤⇒ b∈∅ Bài 2: Cho hàm số 2
y = f (x) = 3x
a. Tìm giá trị của hàm số khi x nhận các giá trị lần lượt là 3 − ;2 2;3− 2 2
b. Tìm các giá trị của a , biết rằng f (a) =12 + 6 3
c. Tìm b biết rằng f (b) ≥ 6b +12 Lời giải a) Ta có: f ( 3
− ) = 27; f (2 2) = 24; f (1− 2 3) = 39−12 3 b) Ta có: 2
f (a) =12 + 6 3 ⇔ 3a =12 + 6 3 ⇔ a = ±( 3 + ) 1 c) Ta có: b ≥1+ 5 2 2
f (b) ≥ 6b +12 ⇔ 3b ≥ 6b +12 ⇔ 3b − 6b −12 ≥ 0 ⇔ b ≤1− 5 Bài 3: Cho hàm số 2
y = (2m +1)x (m là tham số). Tìm các giá trị của tham số m để:
a. Đồ thị hàm số đi qua điểm 2 4 A ; 3 3
b. Đồ thị hàm số đi qua điểm (x ; y ) với (x ; y ) là nghiệm của hệ phương trình 0 0 0 0 2x + y = 3 − 2 x − 2y = 2 Lời giải 2 a. Thay 2 4 A ; 2
vào phương trình y = (2m + ) 2 4
1 x ⇒ = (2m + ) 1 ⇔ m = 1 3 3 3 3 + = − b. 2x y 3 x = 2 − ⇔ ⇒ ( 2; − )
1 là nghiệm của hệ phuương trình 3 m − ⇒ = 2 x − 2y = 2 y =1 8 Bài 4: Cho hàm số 2
y = (2m −1)x (m là tham số).
a. Tìm các giá trị của m để y = 2 − khi x = 1 −
b. Tìm giá trị của m biết ( ;x y) thỏa mãn 2 + = +) x − y =1 x y 2 +) 2x − y = 3 2 x − 2y = 4 − Lời giải a) Thay y = 2 − và x = 1 − vào hàm số 2
y = (2m −1)x (m :t . ham so) ta được: m ( )2 1 2 (2 1) 1 m − − = − − ⇔ = . 2
b) Ta đi giải các hệ phương trình +) x − y =1 x = 2 5 ⇔ ⇒ m = 2x − y = 3 y = 1 8 x = 0 2 + = + = + = = − +) x y 2 2x 2y 4 x 2x 0 x 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ m =1 2 2 x − 2y = 4 − x − 2y = 4 − x + y = 2 y = 2 y = 4 3
Dạng 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Cách giải: Xét hàm số 2
y = ax (a ≠ 0). Ta có:
- Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0
- Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến khi x > 0 và đồng biến khi x < 0 Bài 1: Cho hàm số 2 2
y (3m 2)x m − = + ≠
. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: 3
a. Đồng biến với mọi x < 0
b. Nghịch biến với mọi x < 0
c. Đạt giá trị nhỏ nhất là 0.
d. Đạt giá trị lớn nhất là 0. Lời giải a) Ta có: 2 3m 2 0 m − + < ⇔ < . Vậy 2 m − < là giá trị cần tìm. 3 3 b) Ta có: 2 3m 2 0 m − + > ⇔ > . Vậy 2 m − > là giá trị cần tìm. 3 3 c) Ta có: 2 3m 2 0 m − + > ⇔ > . Vậy 2 m − > là giá trị cần tìm. 3 3 d) Ta có: 2 3m 2 0 m − + < ⇔ < . Vậy 2 m − < là giá trị cần tìm. 3 3 Bài 2: Cho hàm số 2 4
y (3m 4)x m = − ≠
. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: 3
a. Nghịch biến với mọi x > 0
b. Đồng biến với mọi x > 0
c. Đạt giá trị lớn nhất là 0
d. Đạt giá trị nhỏ nhất là 0 Lời giải a) Ta có: 4
3m − 4 < 0 ⇔ m < . Vậy 4
m < là giá trị cần tìm. 3 3 b) Ta có: 4
3m − 4 > 0 ⇔ m > . Vậy 4
m > là giá trị cần tìm. 3 3 c) Ta có: 4
3m − 4 < 0 ⇔ m < . Vậy 4
m < là giá trị cần tìm. 3 3 d) Ta có: 4
3m − 4 > 0 ⇔ m > . Vậy 4
m > là giá trị cần tìm. 3 3 4 Bài 3: Cho hàm số y = ( 2
−m − m − ) 2 2 3 x
a) Chứng minh rằng với mọi tham số m, hàm số luôn nghịch biến với mọi x > 0 và đồng biến với mọi x < 0
b) Tìm các giá trị của tham số m để khi 1 x = hoặc 1 x = − thì 11 y − = 2 2 4 Lời giải
a) Ta có: a = −m − m − = −(m + )2 2 2 3 1 − 2 < 0 m ∀ ⇒ đpcm. b) Ta có: ( 2 m m − ) 1 11 − − − 2 3 = ⇔ m∈{ 4; − } 2 4 4 Bài 4:
Cho hàm số y = ( m− − ) 2 2 3 2 x với 3 7
m ≥ ;m ≠ . Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng 2 2
biến với mọi x > 0 và nghịch biến với mọi x < 0 Lời giải
Yêu cầu bài toán 2m −3 − 2 > 0 7 ⇔ ⇔ m > . Vậy 7
m > là giá trị cần tìm. 2m − 3 ≥ 0 2 2 5
Dạng 3: Vẽ đồ thị hàm số 2
y = ax (a ≠ 0)
Cách giải: Ta lập bảng giá trị sau: x -2 -1 0 1 2 2 y = ax -2a a 0 a 2a
- Biểu diễn các điểm đặc biệt trên mặt phẳng tọa độ và vẽ đồ thị dạng Parabol của hàm số đi
qua các điểm đặc biệt đó. Bài 1: Cho hàm số 2
y = ax (a ≠ 0) có đồ thị là Parabol (P).
a. Xác định a để (P) đi qua điểm ( A − 2;4)
b. Với giá trị a vừa tìm được, hãy:
- Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ
- Tìm các điểm trên (P) có tung độ bằng 2
- Tìm các điểm trên (P) cách đều hai trục tọa độ. Lời giải a. (
A − 2;4)∈(P) ⇒ a = 2. Vậy a = 2 là giá trị cần tìm. b. Ta có 2 y = 2x
Cho y = 2 ⇒ x = 1 ± ⇒ (1;2);( 1; − 2)
- Ta có: M (x ; y )∈(P) ⇒ y = 2x . 0 0 0 0
M cách đều Ox, Oy nên ta có: 1 1 x y x 2x x − 0; ; = ⇒ = ± ⇒ ∈ 0 0 0 0 0 2 2 1 1 1 1 M (0;0);M ; ;M − ; ⇒ . 1 2 3 2 2 2 2 Bài 2: Cho hàm số 2
y = (m −1)x (m ≠ 1) có đồ thị là Parabol (P).
a. Xác định m để (P) đi qua điểm ( A − 3;1)
b. Với giá trị m vừa tìm được, hãy:
- Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ 6
- Tìm các điểm trên (P) có hoành độ bằng 1
- Tìm các điểm trên (P) có tung độ gấp đôi hoành độ. Lời giải
a) Ta có (P) đi qua điểm A(− )⇒ =(m− ) 2 4 3;1 1 1 .3 ⇔ m = 3 b) Ta có 4 2 y = x 3
Vì các điểm có hoành độ bằng 1 nên ta có: 4 2 1 y = −1 .1 ⇔ y = ⇒ điểm cần tìm 1 1; 3 3 3
+) Các điểm trên (P) có tung độ gấp đôi hoành độ là: (0;0);(6;12) Bài 3: Cho hàm số 2
y = x có đồ thị là Parabol (P).
a) Vẽ (P) trên hệ trục tọa độ
b) Trong các điểm A(1;2);B( 1 − ;− ) 1 ;C (10; 200 −
), điểm nào thuộc (P) , điểm nào không thuộc (P) . Lời giải
b) Thay x =1; y =1 vào (P) , ta được đẳng thức luôn đúng do đó điểm A thuộc (P)
- Tương tự ta có điểm B,C không thuộc vào (P) . 7
Dạng 4: Sự tương giao giữa (P) và (d )
Cách giải: Cho (P) : 2
y = ax và (d ) : y = mx + n(m ≠ 0) . Để tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của
(P) và d ta làm như sau:
Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d : 2
ax = mx + n(*)
Bước 2: Giải phương trình (*) ta tìm được nghiệm (nếu có). Từ đó ta tìm được tọa độ giao
điểm của (P) và d
*) Chú ý: Số nghiệm của (*) đúng bằng số giao điểm của (P) và d , cụ thể
- Nếu (*) vô nghiệm thì d không cắt (P)
- Nếu (*) có nghiệm kép thì d tiếp xúc với (P)
- Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì d cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Bài 1: Cho 2
(P) : y = x và đường thẳng 1
d : y = x 2
a) Vẽ (P) và d trên cùng một hệ trục tọa độ
b) Xác định tọa độ giao điểm của (P) và d
c) Dựa vào đồ thị, hãy giải bất phương trình: 2 1 x ≥ x 2 Lời giải x = 0
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d : 2 1 x x = ⇔ 1 ⇒ ( ) 1 1 0;0 ; ; 2 x 2 4 = 2
c) Dựa vào đồ thị, ta thấy x ≤ 0 hoặc 1
x ≥ là nghiệm của bất phương trình 2 1 x ≥ x . 2 2 Bài 2: Cho 2
(P) : y = 2x và đường thẳng d : y = x +1
a) Vẽ (P) và d trên cùng một hệ trục tọa độ
b) Xác định tọa độ giao điểm của (P) và d
c) Dựa vào đồ thị, hãy giải bất phương trình: 2
2x − x −1< 0 8 Lời giải x =1
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d: 2 2 x x − = + ⇔ 1 − ⇒ ( ) 1 1 2 1 1;2 ; ; x 2 2 = 2
c) Dựa vào đồ thị, ta thấy 1
− < x <1 là nghiệm của bất phương trình 2
2x − x −1< 0 . 2 Bài 3: Cho hàm số 2
y = 2x có đồ thị là (P)
a) Vẽ (P) trên hệ trục tọa độ
b) Tìm các điểm thuộc (P) thỏa mãn: - Có tung độ bằng 4
- Cách đều hai trục tọa độ
c) Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình 2
2x − 2m + 3 = 0 theo m . Lời giải
b) Thay y = 4 vào hàm số 2
y = 2x ta được các điểm thỏa mãn bài toán là: ( 2;4);(− 2;4)
- Các điểm cách đều hai trục tọa độ là: ( ) 1 1 1 − 1 0;0 ; ; ; ; 2 2 2 2 c) Ta có: 2
2x − 2m + 3 = 0. Đường thẳng d : y = 2m − 3 là song song với trục hoành. Dựa vào đồ thị ta có: - Với 3
m = : Phương trình có nghiệm duy nhất x = 0 2 - Với 3 m m
> : Phương trình có hai nghiệm 2 3 x − = ± 2 1,2 2 - Với 3
m < : Phương trình vô nghiệm. 2 Bài 4: Cho 1 2
(P) : y = x có đồ thị là (P) 2
a) Vẽ (P) trên hệ trục tọa độ
b) Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2
2x − 2m + 4 = 0 theo m. 9 Lời giải
b) Với m = 2: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 0
- Với m > 2: Phương trình có hai nghiệm x = ± 2m − 4 1,2
- Với m < 2: Phương trình vô nghiệm. Bài 5: Cho hàm số 2
y = x (P) và y = x + 2(d)
a. Vẽ đồ thị cả hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ
b. Gọi A và B là giao điểm của (P) và (d ). Tính S AOB Lời giải a) Xét hàm số 2
y = x (P) x -2 -1 0 1 2 y 4 1 0 1 4
- Xét hàm số y = x + 2(d) x 0 -2 y 2 0
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm: x = 1 − y =1 2 x = x + 2 ⇔ ⇒ ⇒ d ∩ P tại hai điểm x = 2 y = 4 phân biệt ( A 1; − 1); B(2;4) - Gọi 1 1
M = (d) ∩Oy; N = BN ⊥ Oy;S = S + S = OM + OM AOB AOM OMB .1 .2 2 2 3 3 ⇒ S = OM = = (đvdt). AOB . .2 3 2 2 Bài 6: Cho hàm số 2
y = ax (a ≠ 0) có đồ thị hàm số là (P) .
a. Tìm hệ số a biết rằng (P) đi qua điểm M ( 2; − 4)
b. Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm N(2;4)
c. Vẽ (P) và d xác định được ở các câu a và b trên cùng một hệ trục tọa độ
d. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) ở các câu a và b 10 Lời giải a) Tìm được a =1
b) Ta có d đi qua O nên d : y = mx vì d đi qua N(2;4) nên 2m = 4 ⇔ m = 2 ⇒ d : y = 2x
d) Xét phương trình hoành độ giao điểm của x = 0 y = 0
d và (P): 2x = 2x ⇔ ⇔ ⇒ (0;0);(2;4) x = 2 y = 4 Bài 7: Cho 2
(P) : y = x ;(d) : y = 2x + m − 2 . Tìm m sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho:
a. A và B ở hai phía của Oy
b. A và B ở cùng 1 phía Oy c. A và B ở bên phải Oy d. A và B ở bên trái Oy Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2
x − 2x − m + 2 = 0(1)
Để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt:
⇔ ∆ ' =1+ m − 2 > 0 ⇔ m >1
a. Theo Viet: x + x = 2(1) 1 2 x .x = 2 − m(2) 1 2
Để A và B ở hai phía của Oy thì x , x trái dấu ⇔ x .x < 0 ⇔ 2 − m < 0 ⇔ m > 2(tm) 1 2 1 2
b. x .x > 0 ⇔ m < 2 1 2 c.
x + x = 2 > 0 1 2
x > 0; x > 0 ⇔ ⇔ m < 2 1 2
x .x = 2 − m > 0 1 2 d. x + x < 0 < 1 2 2 0
x < 0; x < 0 ⇔ ⇔ (v . o nghiem) 1 2 x .x > 0 2 − m > 0 1 2
Bài 8: Tuyển sinh vào 10 Hà Nội, năm học 2011 - 2012 Cho 2
(P) : y = −x ;(d) : y = mx −1
a. Chứng minh rằng: với mọi m thì (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt
b. Gọi x , x là hoành độ cuả A và B. Tìm m sao cho: 2 2
x .x + x .x − x .x = 3(*) 1 2 1 2 2 1 1 2 Lời giải a) Xét phương trình: 2 2
x + mx −1 = 0;∆ = m + 4 > 0 ⇒ dpcm 11
b. Theo Viet, ta có: (*) ↔ x x (x + x −1) = 3 ↔ m = 2 → m = 2 1 2 1 2
x + x = −m 1 2 x .x = 1 − 1 2
Bài 9: Tuyển sinh vào 10 Hà Nội, năm học 2011 - 2012
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = −x + 6, 2
(P) : y = x
a. Tìm tọa độ các giao điểm của d và (P) b. Gọi ,
A B là hai giao điểm của d và (P). Tính S AOB Lời giải
a. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là 2
x = −x + 6 ⇔ x ∈{2;− } 3 ⇔ ( A 3 − ;9); B(2;4)
b. Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A và B xuống trục hoành Ta có: S = S − S − S
A B = x − x = x − x = A A = y = BB = y = OAB A AB B A A OBB ; ' ' B A B A 5; ' A 9; ' B 4 ' ' '0 ' ' ' ' ' Diện tích hình thang:
A' A + BB ' 9 + 4 65 S = A B = = A AB B . ' ' .5 ' ' 2 2 2 1 27 1 65 27 S = A A A O = S = BB B O = → S = S − S = − + = dvdt A AO ' . ' ; OBB '. ' 4 AOB A AB B OA A ( 4) 15( ) ' ' ' ' ' 2 2 2 2 2 Bài 10: Cho 2 2
(P) : y = x ;(d) : y = 2mx − m + 4
a. Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 1
b. Tìm m sao cho (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B có hoành độ x , x thỏa mãn: 1 2 2 2 x + x = 26 1 2 Lời giải a. Xét phương trình: 2 2
x − 2mx + m − 4 = 0(1) Khi x = 1 − 1 m =1⇒ (1) ⇔ ⇒ (d) ∩
(P) tại hai điểm phân biệt A, B x = 3 2 +) x = 1 − ⇒ y =1⇒ ( A 1; − 1) 1 1
+) x = 3 ⇒ y = 9 ⇒ ( A 3;9) 2 2
b. (1) phải có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆' > 0 ⇔ 4 > 0(dung) 12
x + x = m Theo Viet: 2 1 2 2
x .x = m − 4 1 2 Ta có: 2 2 2
x + x = 26 ⇔ (x + x ) − 2x x = 26 ⇔ m = 3 ± 1 2 1 2 1 2 c. Thỏa mãn: 3 3 3 3 2 3
x + x = 28 ↔ (x + x ) − 3x x (x + x ) = 28 ⇔ 8m − 3.2m(m − 4) = 28 ⇔ m +12m −14 = 0 ⇔ ... 1 2 1 2 1 2 1 2 Bài 11: Cho 2
(P) : y = x ;(d) : y = mx − m +1
a. Tìm m sao cho d cắt P tại hai điểm phân biệt
b. Gọi x , x là các hoành độ của hai giao điểm. Tìm m để 1 2
+) x = 9x +) x − x = 2 2 1 2 1
+) 3x + 2x = 7 +) x + x = 3 1 2 1 2 Lời giải a. 2
x − mx + m −1 = 0(1)
(1) phải có hai nghiệm phân biệt 2 2
↔ ∆ = m − 4(m −1) > 0 ↔ (m − 2) > 0 ↔ m ≠ 2
b. Theo Viet, ta có: x + x = m(1) 1 2
x .x = m − 1(2) 1 2 +) Do m 9 = 9 → + 9 m x x x
x = m → x = → x = 2 1 1 1 1 2 10 10 m =10 1 Từ (2) m 9m 2 . m 1 9m 100m 100 0 → = − ↔ − + = ↔ 10 10 10 m = 2 9
+) 3x + 2x = 7 ↔ x + 2(x +x ) = 7 ↔ x + 2m = 7 ↔ x = 7 − 2m → x = m − x = 3m − 7 1 2 1 1 2 1 1 2 1 m = 3 1
Từ (2) (7 2m)(3m 7) m 1 → − − = − ↔ 8 (tm) m = 2 3 +) m = 0 2 2 2 2 1
x − x = 2 ↔ (x − x ) = 4 ↔ x + x − 2x x = 4 ↔ (x + x ) − 4x x = 4 ↔ 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 m = 4 2 2 2 2 2
x + x = 3 ↔ ( x + x ) = 9 ↔ x + x + 2 x x = 9 ↔ (x + x ) − 2x x + 2 x x = 9 +) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
↔ m − 2(m −1) + 2 m −1 = 9(*) 13
- Nếu m ≥1(m ≠ 2),(*) ↔ m = 3 ± (m = 3.t . hoa man) - Nếu m = 1( − t . hoa man) m <1(*) ↔ m = 5(loai) Bài 12: Cho 2
(P) : y = x ;(d) : y = ax +1; K(0;1)
a. Chứng minh rằng với mọi a, d luôn cắt P tại hai điểm A và B
b. Gọi E và F là hình chiếu vuông góc của A và B trên Ox, Chứng minh rằng tam giác KFE vuông. Lời giải a. 2
∆ = a + 4 > 0 ⇒ dpcm
b. Gọi x , x là hoành độ của A và B 1 2
E(x ;0); F(x ;0) ⇒ OE = x ; FO = x 1 2 1 2 Theo Viet, ta có: 2 OE OK = − = ⇒ = ⇒ =
⇒ = ⇒ + 0 x .x 1;OE.FO OK tan OKE tan KFO OKE KFO KEO KFO = 90 +) 1 2 KO FO
Hoặc dùng tam giác đồng dạng cũng được.
(Lưu ý: Nên vẽ hình minh họa )
Bài 13: Chuyên Sư Phạm 1 Cho 2 2
(P) : y = x ;(d) : y = mx − m + 3
Tìm m để d cắt P tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x , x là các độ dài của hai cạnh góc vuông 1 2
của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 2 Lời giải Xét phương trình: 2 2 2 2
x − mx + m − 3 = 0(1);∆ = 3
− m +1 > 0 ⇔ m < 4 ⇔ 2 − < m < 2
x + x = m a Theo định lý Viet: ( ) 1 2 2
x .x = m − 3(b) 1 2 14
x + x = m > 0 m > 1 2 0 Yêu cầu bài toán 2 2 5 2 2
⇔ x > 0; x > 0; x + x = ⇔ x .x = m −3 > 0 ⇔ m > 3 1 2 1 2 1 2 2 2 2 5 2 5 x + x =
(x + x ) − 2x x = (*) 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 5 2 7 7
(*) ⇔ m − 2(m − 3) = ⇔ m = ⇔ m = (m > 0) 2 2 2 Bài 14: Cho 2
(P) : y = 2x ;(d) : y = 4x + m + 2 .
Tìm m để d cắt P tại 2 điểm phân biệt (
A x ; y ); B(x ; y ) thỏa mãn: 1 1 2 2
a. 2x −3x = 4 b. y + 2y = 22 c. y .y > 4 1 2 1 2 1 2 Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: 2
2x − 4x − m − 2 = 0(1)
∆ ' = m + 4 > 0 ⇔ m > 4 − x + x = 2 1 2 Theo định lý Viet: −m − 2 x .x = 1 2 2
a. Ta có: x + x = 2 x = 2 1 2 1 −m − 2 ⇔ ⇒ = 2.0 ⇔ m = 2( − tm) 2x − 3x = 4 x = 0 2 1 2 2
b. y = 4x + m + 2; y = 4x + m + 2 ⇒ y + 2y = 22 ⇒ 4x + m + 2 + 2(4x + m + 2) = 22 1 1 2 2 1 2 1 2 16 3 2 m x x − ⇔ + = 1 2 4 Kết hợp: 3m 8 − 3m −m − 2
3m(8 − 3m) −m − 2
x + x = 2,t . a co : x = ; x = ; x .x = ⇒ = 1 2 1 2 1 2 4 4 2 16 2 m = 4 2 9m 32m 16 0 ⇔ − − = ⇔ 4 c. m − = 9 2
y .y > 4 ⇔ (4x + m + 2)(4x + m + 2) > 4 ⇔ 16x x + 4(m + 2)(x + x ) + (m + 2) > 4 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2
⇔ 16x x + 4(m + 2)(x + x ) + (m + 2) > 4 ⇔ 8
− (m + 2) + 8(m + 2) + (m + 2) > 4 ⇔ (m + 2) > 4 1 2 1 2 m + 2 > 2 m > 0 ⇔ m + 2 > 4 ⇔ ⇔
. Vậy m > 0 là các giá trị cần tìm. m 2 2 + < − m < 4 − 15
Bài 15: Chuyên Hùng Vương Phú Thọ, năm học 2014 - 2015
Trong mặt phẳng cho hệ trục tọa độ Oxy và điểm A(1;3), 2
(P) : y = x ,(d) : y = ax + 3− a
a. Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
b. Giả sử B và C là hai giao điểm của d và (P). Tìm a, biết AB = 2AC Lời giải
a. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: 2 2
x = ax + 3− a ⇔ x − ax + a − 3 = 0(1) 2
∆ = (a − 2) + 8 > 0 a ∀
b. Theo Viet, có: x + x = a 1 2
⇒ x .x = x + x 3( − *) 1 2 1 2
x .x = a − 3 1 2
Ta có: B(x ;ax + 3− a);C(x ;ax + 3− a) 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
AB = 2AC ⇔ (x −1) + (ax − a) = 2 (x −1) + (ax − a) ⇔ (a +1)(x −1) = 4(a +1)(x −1) 1 1 2 2 1 2
x −1 = 2(x −1) x = 2x −1 2 2 1 2 1 2
⇔ (x −1) = 4(x −1) ⇔ ⇔ 1 2
x 1 2(x 1) − = − − x = 2 − x + 3 1 2 2 2 +) 2
x = 2x −1⇒ (*) : 2x − 4x + 4 = 0(v . o nghiem) 1 2 2 2 +) x = 0 2 x = 2 − x + 3 ⇒ (*) ⇒ 1 2 x = 2 2
- x = 0 ⇒ x = 3 ⇒ a = 3 2 1
- x = 2 ⇒ x = 1 − ⇒ a =1 2 1
Vậy a = 1, a = 3 là các giá trị cần tìm.
Bài 16: Chuyên Sư Phạm Hà Nội, năm học 2014 - 2015 Trong mặt phẳng cho hệ trục tọa độ Oxy và điểm A(1;3), 2 2 − 1
(P) : y = x ,(d) : y =
(m +1)x + (m :t . ham so) 3 3
a. Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
b. Gọi x , x là hoành độ các giao điểm của (P) và d, đặt 3 2
f (x) = x + (m +1)x − x . 1 2 Chứng minh rằng: 1 − 3
f (x ) − f (x ) = (x − x ) 1 2 1 2 2 Lời giải 16 a. 2 2 − 1 2 x =
(m +1)x + ⇔ 3x + 2(m +1)x −1 = 0(1) 3 3
Ta có: .ac < 0 ⇒ (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x , x 1 2 2 x +x − = (m +1) 3 − 1 2 b. Theo Viet, ta có: 3 m +1 = (x + x ) 1 2 ⇒ 2 1 x − .x = 1 − = 3x x 1 2 1 2 3 3 3 2 2 2 2
f (x ) − f (x ) = x − x + (m +1)(x − x ) + x − x = (x − x ) x + x x + x + (m +1)(x + x ) −1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2
= (x − x ) x + x x + x − (x + x ) + 3x x = (x − x ) 2x + 8x x + 2x − 3(x + x ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 − 3
= (x − x )(−x + 2x x − x ) =
(x − x ) (dpcm) 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2
Bài 17: Chuyên Tiền Giang, năm học 2014-2015
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2
(P) : y = x ,(d) : y = x
Tìm trên (P) điểm A và B sao cho AB = 3 2 và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng
d, biết rằng điểm A có hoành độ dương Lời giải
Vì AB ⊥ d ⇒ (d): y = −x + m
Hoành độ của A, B là nghiệm của phương trình: 2 2
x = −x + m ⇔ x + x − m = 0(1)
Vì A, B phân biệt nên (1) có hai nghiệm phân biệt x , x hay: 1 1 4m 0 m − ∆ = + > ⇔ > 1 2 4 Khi đó 2 2 2 (
A x ;−x + m); B(x ;−x + m) ⇒ AB = 3 2 ⇔ AB =18 ⇔ (x − x ) + (x − x ) =18 1 1 2 2 2 1 2 1
x =1⇒ y =1⇒ ( A 1;1) 2 2
⇔ (x − x ) = 9 ⇔ (x + x ) − 4x x − 9 = 0 ⇔ 1− 4(−m) − 9 = 0 ⇔ m = 2 ⇒ 1 2 1 2 1 2 x = 2
− ⇒ y = 4 ⇒ B( 2; − 4) 17 BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1:
không vẽ đồ thị hãy tìm tọa độ các giao điểm của các đồ thị hàm số sau (m là tham số) a) 2 y = x và 1 y = x b) 2
y = x và y = 2x −1 2 c) 2
y = x và y = 2x −3 d) 1 2 y = − x và 1 2
y = mx + m −8 2 2 Hướng dẫn giải x = 0 y = 0
a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là: 2 1 x x 1 = ⇔ ⇒ 1 ⇒ ( ) 1 1 0;0 ; ; 2 x = y = 2 4 2 4
b) Ta tìm được tọa độ giao điểm của (P) và d là: A(1; ) 1
c) Không tồn tại giao điểm 2 2
d) Ta tìm được tọa độ giao điểm của (P) và d là: − −
− − 4; m − 4 − 8; 4 − ; m B m m C m + 4m −8 2 2 Bài 2: Cho hàm số 1 2
y = x . Xác định giá trị của tham số m để các điểm sau thuộc đồ thị hàm số 4 a) A(2;m) b) B(− 2;m) c) 3 C ; m 4 Hướng dẫn giải
a) Ta có A(2;m) thuộc đồ thị hàm số 1 2
⇒ m = .2 ⇔ m =1. Vậy m =1 là giá trị cần tìm. 4
b) Ta có B(− 2;m) thuộc đồ thị hàm số 1 1
⇒ m = .2 ⇔ m = . Vậy 1
m = là giá trị cần tìm. 4 2 2 c) Ta có 3 C ; m 3 1 thuộc đồ thị hàm số 2
⇒ = .m ⇔ m = ± 3 . Vậy ± 3 là giá trị cần tìm 4 4 4 Bài 3: Cho hàm số y = ( 2 m + m + ) 2 2 3 x (m là tham số)
a) Chứng minh hàm số luôn nghịch biến với mọi x < 0 và đồng biến với mọi x > 0
b) Tìm các giá trị của m biết khi x =1 hoặc x = 1 − thì y = 4 18 Hướng dẫn giải
a) Ta có: m + m + = (m + )2 2 2 3 1 + 2 > 0 m ∀ ⇒ đpcm b) Ta có: m = 1 − + 2 2
m + 2m + 3 = 4 ⇔ . Vậy m∈{ 1 − + 2; 1 − − 2}. m = 1 − − 2 Bài 4: Cho hàm số y − = ( m + − ) 2 3 4 3 x với 4 5 m ≥
;m ≠ . Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: 3 3
a) Nghịch biến với mọi x > 0
b) Đồng biến với mọi x > 0 Hướng dẫn giải
a) Hàm số nghịch biến với 4 − 5 x > 0 ⇔ ≤ m < . 3 3
b) Hàm số đồng biến với mọi 5
x > 0 ⇔ m > . 3 Bài 5:
Cho hàm số y = ( m + ) 2 3 1 x với 1 m − ≠
. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: 3 a) Đi qua điểm 1 1 A ; 2 4 b) Đi qua điểm x − y =
B(x ; y với (x ; y là nghiệm của hệ phương trình: 3 4 2 0 0 ) 0 0 ) 4 − x + 3y = 5 − Hướng dẫn giải
a) Hàm số đi qua điểm 1 1 A ; ⇔ m = 0 2 4 b) 3 x − 4y = 2 12 x −16y = 8 7 − y = 7 − x = 2 ⇔ ⇔ ⇔
. Hàm số đi qua điểm có tọa độ 4x 3y 5 12x 9y 15 4x 3y 5 − + = − − + = − − + = − y = 1 ( ) 1 2;1 m − ⇔ = . 4 Bài 6: Cho Parabol (P) 2 : y = 2x và 3
d : y = x Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: 2 19
a) Vẽ (P) và d trên cùng một hệ trục tọa độ
b) Tìm tọa độ gia điểm của (P) và d
c) Dựa vào đồ thị, hãy giải bất phương trình: 2 3 2x ≤ x 2 Hướng dẫn giải
b) Tọa độ giao điểm của (P) và d là: (0;0) và 3 9 ; 4 8 c) Bất phương trình: 2 3 3
2x ≤ x ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 4 20