Tài liệu Toán 9 chủ đề hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Tài liệu gồm 36 trang, bao gồm kiến thức cần nhớ, các dạng toán và bài tập chủ đề hệ thức Vi-ét và ứng dụng trong chương trình môn Toán 9, có đáp án và lời giải chi tiết. Mời bạn đọc đón xem.

59 30 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn

Môn: Toán 9

Thông tin:

36 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
1
HỆ THỨC VIET VÀ ỨNG DỤNG
A. Lý thuyết
1. Hệ thức Viét
Cho phương trình bậc hai
2
0( 0)
ax bx c a+ += ≠
. Nếu
12
,xx
là hai nghiệm của phương trình thì:
12
b
Sxx
a
−
=+=
và
12
.
c
P xx
a
= =
2. Ứng dụng của hệ thức Viét
a) Nhẩm nghiệm
Xét phương trình bậc hai
( )
2
00ax bx c a+ += ≠
- Nếu
0abc++=
thì phương trình có một nghiệm là
1
1
x =
, nghiệm còn lại là
- Nếu
0abc−+=
thì phương trình có một nghiệm là
1
1x
= −
, nghiệm còn lại là
2
c
x
a
−
=
b) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng bằng
S
và tích bằng
P
thì hai số đó là nghiệm của phương trình
2
0
X SX P− +=
.
c) Xác định dấu của nghiệm
Phương trình
2
0( 0)ax bx c a+ += ≠
có hai nghiệm
12
,xx
+ Nếu
12
0
c
P xx
a
= = <
thì phương trình có hai nghiệm trái dấu
+ Nếu
12
0
c
P xx
a
= = >
và
12
0Sxx=+>
thì phương trình có hai nghiệm dương
+ Nếu
12
0
c
P xx
a
= = >
và
12
0Sxx=+<
thì phương trình có hai nghiệm âm
*) Chú ý: Để áp dụng hệ thức Viét phải chú ý đến điều kiện phương trình là phương trình bậc
hai có nghiệm
0
0
a ≠
∆≥
Dạng 1: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm là
2
Từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
1 2 12
;.
bc
S x x P xx
aa
−
=+= = =
Bước 2: Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài theo tổng
12
xx+
và tích
12
xx
Sau đó áp dụng bước 1
Chú ý: Một số biểu thức đối xứng giữa các nghiệm thường gặp là
+)
22 2 2
( )2 2A a b a b ab S P=+=+ − =−
+)
22 2
( )( )4 4a b a b ab S P−=+− =−
+)
22
( )4 4a b a b ab S P−= + − = −
+)
11ab S
a b ab P
+
+= =
+)
33 3 3
()3() 3a b a b ab a b S SP+=+ − +=−
+)
4 4 2 22 2 2 2 2 2
( )2 ( 2)2a b a b ab S P P+= + − = − −
Bài 1:
Giả sử
12
,xx
là hai nghiệm của phương trình
2
5 30xx− +=
. Không giải phương trình hãy tính
giá trị của các biểu thức sau
a.
22
12
Ax x
= +
b.
33
12
Bx x= +
c.
44
12
11
C
xx
= +
d.
12
Dxx
= −
Lời giải
Ta có:
13 0∆= > ⇒
phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
.
Áp dụng hệ thức Viet ta có
12
12
5
3
xx
xx
+=
=
a) Ta có:
(
)
2
22 2
1 2 1 2 12
2 5 2.3 19A x x x x xx=+= + − =− =
b) Ta có:
( ) ( )
3
33
1 2 12 1212
3 80Bx x xx xxxx=+= + − + =
c) Ta có:
( )
( )
( )
( )
2
2
22
44
1 2 12
12
44
44
12
12 12
2
1 1 343
81
x x xx
xx
C
xx
xx xx
+−
+
=+= = =
d) Ta có
( )
2
2 22
12 12 1 2 12
2Dxx D xx x x xx=−⇒ = − =+−
3
( )
(
)
22
1 2 12 1 2 1 2 12
4 4 13x x xx D x x x x xx=+− ⇒=−= +− =
Bài 2:
Cho phương trình
2
3 5 20
xx− − −=
. Với
12
,xx
là nghiệm của phương trình, không giải phương
trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau
a.
12
12
11
Mx x
xx
=+++
b.
12
11
33
N
xx
= +
++
c.
12
22
12
33
xx
P
xx
−−
= +
c.
12
21
22
xx
Q
xx
= +
++
Lời giải
Ta có:
25 4.3.2 1 0∆= − = > ⇒
phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
.
Áp dụng hệ thức Viet ta có
1 2 12
52
;
33
x x xx
−
+= =
a) Ta có:
( )
1 2 12
12 12
11 11 25
6
Mx x xx M
xx xx

−
=+++= + + + ⇒ =


b) Ta có:
( )
12
1 2 12 1 2
6
1 1 13
3 3 3 9 14
xx
NN
x x xx x x
++
= + = ⇒=
+ + + ++
c) Ta có:
(
)
2 22 2
1 2 12 2 1 2 1
2
22
12
12
33 3 3
49
4
x x xx x x x x
PP
xx
xx
− − −+ −
−
= + = ⇒=
d) Ta có:
(
)
22
1 2 1122
2 1 12 1 2
22
17
2 2 2 4 12
x x xxxx
QQ
x x xx x x
+ ++
−
= + = ⇒=
+ + + ++
Bài 3:
Giả sử
12
,
xx
là hai nghiệm của phương trình:
2
5 10xx− −=
. Không giải phương trình hãy tính
giá trị của các biểu thức sau
a.
22
1 212
Ax x x x= + −−
b.
44
12
Bx x= +
c.
33
12
11
C
xx
= +
d.
12
Dxx= −
Lời giải
a) Ta có
29 0∆= > ⇒
phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, theo định lý Viet, ta có:
22
12 12 12 12 12
5; . 1 ( ) 2 ( ) 5 2( 1) 5 22xx xx A xx xx xx+ = =−⇒ = + − − + = − − − =
4
b)
2
4 4 2 22 22 2 22
1 2 1 2 12 1 2 12 12
( ) 2 ( ) 2 2 727B x x x x xx x x xx xx

=+=+−=+− −=

c)
2
33
12 12 12
12
3 3 33 3
1 2 1 2 12
()()3
11
140
()
xx xx xx
xx
C
x x x x xx

+ +−
+

=+= = =−
d)
2 2 22 2
1 2 1 2 1 2 12 1 2 12
( ) 2 ( ) 4 29 29( 0)D x x D x x x x xx x x xx D D=−⇒=−=+−=+−=⇒= ≥
Bài 4:
Gọi
12
,xx
là hai nghiệm của phương trình
2
3 10
xx
− −=
. Tính giá trị của các biểu thức sau
a.
22
12
Ax x= +
b.
33
11 22 1
( 1) ( )B xx xx x= −+ −
c.
22
12
11
C
xx
= −
Lời giải
a) Ta có:
13 0∆= > ⇒
phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, theo định lý Viet, ta có:
1 2 12 1 2
3; . 1;x x xx x x
a
∆
+= =− −=
22 2 2
1 2 1 2 12
( ) 2 3 2( 1) 11A x x x x xx= + = + − = −−=
b)
3 3 4 433 222 22 22
11 22 1 1 2 1 2 1 2 12 1 2 1 2 12
( 1) ( ) ( ) ( ) 2 ( )( )Bxx xxx xx xx xx xx xxxxxx= −+ − = + − + = + − − + + −
2
11 2 3(11 1) 83= −− + =
c.
1 21 2
2 2 22
1 2 12
.3
( )( )
11
3 13
1
a
xxxx
C
x x xx
∆
−+
=−= = =
Bài 5:
Cho phương trình
( )
2
2 2 2 50x m xm− − + −=
(
m
là tham số)
a) Tìm điều kiện của
m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
b) Với
m
vừa tìm được ở trên, tìm biểu thức liên hệ giữa
12
,xx
không phụ thuộc vào
m
Lời giải
a) Ta có:
( )
2
' 30mm∆= − ≥ ∀ ⇒
phương trình có hai nghiệm
12
,xx
với mọi
m
khi
3m ≠
b) Áp dụng hệ thức Viét ta có
12
1 2 12
12
24
1
25
xx m
x x xx
xx m
+= −
⇒+− =
= −
5
Vậy biểu thức liên hệ giữa
12
,xx
không phụ thuộc vào tham số m là:
1 2 12
1x x xx+− =
.
Bài 6:
Cho phương trình
( )
2
2 20x m xm
++ + =
. Với giá trị nào của tham số
m
thì phương trình có hai
nghiệm phân biệt
12
,xx
? Khi đó, hãy tìm biểu thức liên hệ giữa
12
,
xx
không phụ thuộc vào
tham số
m
.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
22
2
28 44 2 0m mm m m m
∆=+−=−+=−≥∀⇒
phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
,
xx
với mọi
m
khi
2
m ≠
Biểu thức liên hệ giữa
12
,xx
không phụ thuộc vào tham số
m
là
( )
1 2 12
24x x xx++ =−
Bài 7: Tuyển sinh vào 10 HCM, năm học 2014 - 2015
Cho phương trình
2
1 0 (1)x mx− −=
(
x
là ẩn số)
a. Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu
b. Gọi
12
,xx
là các nghiệm của phương trình (1).
Tính giá trị của biểu thức
22
11 22
12
11xx xx
A
xx
+− +−
= −
Lời giải
a. Ta có
10ac
=−<
⇒
phương trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu
b. Ta có
1
x
là nghiệm của phương trình (1)
22
11 1 1
10 1x mx x mx⇒ − −= ⇒ −=
Tương tự ta có
2
12
22
12
( 1) ( 1)
10
mxmx
x mx A
xx
++
−= ⇒ = − =
Vậy
0A =
.
Bài 8: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng, năm học 2014 - 2015
Gọi
12
,xx
là các nghiệm của phương trình
2
2013 2 0xx+ +=
và
34
,xx
là các nghiệm của phương
trình
2
2014 2 0xx+ +=
. Tính
1 32 31 4 2 4
( )( )( )( )A x xx xx xx x=+−+ −
Lời giải
Ta có
12
,0∆∆> ⇒
hai phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Theo định lý Viet ta có:
6
34
12
22
1 3 1 4 1 1 3 4 34 1 1
12 34
2014
2013
; ;( )( ) ( ) 2014 2
.2 .2
xx
xx
xxxx x xxx xx x x
xx xx
+=−
+=−
+ +=+ ++ =− +

= =
Lại có:
22
1 1 1 1 1 32 4 1
2013 2 0 2 2013 ( )( ) 4027x x x x x xx x x+ +=→ +=− → + + =−
+)
22 2
2 3 2 4 2 2 3 4 34 2 2 2 2 2
( )( ) ( ) 2014 2 ( : 2013 2 0)xxxx xxxx xx x x xdox x− − = − + + = + += + +=
12
4027 8054A xx⇒=− =−
Bài 9:
Cho phương trình
2
2( 1) 2 2 0x m xm− + + −=
(
x
là ẩn số ) (1)
a. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
b. Gọi hai nghiệm của (1) là
12
,xx
. Tính theo m giá trị của biểu thức
2
12
2( 1) 2 2Ax m x m=+ + +−
Lời giải
a.
2
' 30mm∆= + > ∀
b. Theo định lý Viet ta có:
12
2( 1)
xx m
+= +
Vì x
1
là nghiệm của phương trình nên ta có:
22
11 1 1
2( 1) 2 2 0 2 2 2( 1)x mxm x m mx− + + −=⇒ + −= +
2
1 2 12
2( 1) 2( 1) 2( 1)( ) 4( 1)
A mx mx m xx m⇒= + + + = + + = +
Bài 10: Chuyên Toán Hà Tĩnh, năm học 2014 - 2015
Gọi
12
,xx
là hai nghiệm của phương trình
2
1 0.xx
−−=
Không giải phương trình. chứng minh
rằng
12
() ( )Px Px=
với
( ) 3 33 25Px x x=−+
Lời giải
Dễ thấy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lý Viet ta có:
1 2 12
1; . 1x x xx+= =−
Ta có:
1 21 1 2 2
( ) ( ) 3 33 25 3 33 25Px Px x x x x= ↔ − += − +
12 1 2
3( ) ( 33 25 33 25) 0xx x x⇔ − − +− + =
12
12
12
33( )
3( ) 0
33 25 33 25
xx
xx
xx
−
⇔ −− =
++ +
12
12
11
1 0 33 25 33 25 11
33 25 33 25
xx
xx
⇔− = ⇔ + + + =
++ +
7
2
1 2 12 1 2
( 33 25 33 25) 121 33( ) 50 2 (33 25)(33 25) 121(*)
x x xx x x
⇔ ++ + = ⇔ + ++ + + =
VT
2 2 22
12 1 2
(*) 33.1 50 2 33 33.25( ) 25 83 2 33 2533 25xx x x= ++ + + + =+− + +
83 2 361 83 83 121
VP=+ =+= =
.
Bài 11: Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định, năm học 2014 - 2015
Cho phương trình
2
2 2 0 (1)
xx m
− +− =
(
m
là tham số)
a. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
b. Giả sử
12
,xx
là hai nghiệm của phương trình (1).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22 2 2
12 1 2
3( ) 4A xx x x= + +−
Lời giải
a. Phương trình có nghiệm
' 1 (2 ) 1 0 1mm m⇔∆ = − − = − ≥ ⇔ ≥
b. Với
1 2 12
1 2; . 2m x x xx m≥⇒ + = =−
Khi đó
22 2 2 22 2 2 2
12 1 2 12 1 2 12
3( ) 4 3( ) 6 4 (2 ) 3.2 6(2 ) 4A xx x x xx x x xx m m= + + −= + + − −= − + − − −
2 22
(2 ) 6(2 ) 9 1 (2 3) 1 ( 1) 1
mm m m= − − − +−= − − −= + −
Do
22
min
1 ( 1) 2 4 4 1 3 1 3m m A mA≥→ + ≥ = ⇒ ≥ −= ⇔ =⇒ =
Bài 12: Chuyên Toán Lào Cai, năm học 2014 - 2015
Cho phương trình
2
2 2 0 (1)x mx m− +− =
(
m
là tham số)
a. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
m
b. Gọi
12
,xx
là hai nghiệm của phương trình (1).
Tìm m để biểu thức
2
1 2 12
24
262
M
mx x x x m
−
=
+ − −+
đạt giá trị nhỏ nhất
Lời giải
a. Ta có:
22 2
17
' ( 2) 2 ( ) 0,
24
m m mm m m∆= − − = −+= − +> ∀
b. Theo Viet, ta có:
1 2 12
2; . 2x x mxx m+= =−
Do
2
x
là nghiệm của (1) nên
22
22 2 2
22022x mx m x mx m− + −=→ = − +
Do đó
2
1 2 12 1 2 12
2 6 2 2 ( ) 6 2 4 2 .2 6( 2) 2 4mx x xx m m x x xx m m m m m+ − − += + − − += − − − +
8
22
24
4 8 16 4( 1) 12 12 2
12
mm m M
−
= − += −+≥⇒ ≥ =−
. Dấu “=” xảy ra
1
m
⇔=
Dạng 2: Giải phương trình bằng phương pháp nhẩm nghiệm
Cách giải: Sử dụng ứng dụng của hệ thức Vi-ét
Bài 1:
Xét tổng
abc++
hoặc
abc−+
rồi tính nhẩm các nghiệm của các phương trình sau
a)
2
15 17 2 0
xx− +=
b)
2
1230 4 1244 0xx−− =
c)
( )
( )
2
2 3 23 2 3 0xx− + −+ =
d)
( )
2
5 2 5 20xx− − −=
Lời giải
a) Ta có:
12
2
15 17 2 0 1;
15
abc x x
++= − +=⇒ = =
b) Ta có:
12
1234
0 1;
1230
abc x x−+=⇒ =− =
c) Ta có:
12
0 1; 7 4 3abc x x+ + = ⇒ = =−−
d) Ta có:
12
25
0 1;
5
abc x x−+=⇒ =− =
Bài 2:
Xét tổng
abc++
hoặc
abc−+
rồi tính nhẩm các nghiệm của các phương trình sau
a)
2
7 9 20xx− +=
b)
2
23 9 32 0xx
−−=
c)
2
1975 4 1979 0xx+− =
d)
2
31,1 50,9 19,8 0xx− +=
Lời giải
a) Ta có:
12
2
0 1;
7
abc x x++=⇒ = =
b) Ta có:
12
32
0 1;
23
abc x x−+=⇒ =− =
c) Ta có:
12
1979
0 1;
1975
abc x x
−
++=⇒ = =
d) Ta có:
12
198
0 1;
311
abc x x++=⇒ = =
9
Bài 3:
Cho phương trình
( ) ( )
2
2 2 5 70m x m xm− − + + +=
với
m
là tham số
a) Chứng minh phương trình luôn có một nghiệm không phụ thuộc vào tham số
m
b) Tìm các nghiệm của phương trình đã cho theo tham số
m
Lời giải
a) Ta có:
( ) ( )
2 2 5 70abc m m m+ + = − +− − + + = ⇒
phương trình luôn có nghiệm
1x =
không
phụ thuộc vào
m
b) Với
2
m =
phương trình có một nghiệm
1x
=
Với
2m ≠
phương trình có hai nghiệm
1x =
và
7
2
m
x
m
+
=
−
.
Bài 4:
Cho phương trình
( ) ( )
2
2 1 3 6 20m x m xm− − − − −=
với
m
là tham số
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm
2x
= −
b) Tìm các nghiệm của phương trình đã cho theo tham số
m
.
Lời giải
a) Thay
2
x = −
vào phương trình đã cho, ta có:
( )( ) ( )( )
2
2 1 2 3 2 6 20m mm− − + − − − −=
(đúng).
Vậy
2
x = −
là nghiệm của phương trình.
b) Với
1
:
2
m =
phương trình chỉ có một nghiệm
2x = −
Với
1
:
2
m ≠
phương trình có hai nghiệm
31
2;
21
m
x
m
+

∈−

−

.
Bài 5:
Cho phương trình
( )
22
3 1 13 4 0mx m x m m
− + + − −=
(với
m
là tham số). Tìm các giá trị của
m
để
phương trình có một nghiệm là
2.x = −
Tìm nghiệm còn lại
Lời giải
Thay
2x = −
vào phương trình ta tìm được
1m =
hoặc
2
m =
- Với
1m =
, ta có:
2
8
6 16 0
2
x
xx
x
=
−−=⇔
= −
10
- Với
2m
=
, ta có:
2
13
2 9 26 0
2
2
x
xx
x
=
−−=⇔
= −
Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích
Cách giải: Để tìm hai số
,xy
khi biết tổng
S xy
= +
và tích
,
P xy=
ta làm như sau
Bước 1: Giải phương trình
2
0X SX P− +=
để tìm các nghiệm
12
,XX
Bước 2: Khi đó các số
,xy
cần tìm là
12
;x Xy X= =
hoặc
21
;x Xy X= =
Bài 1:
Tìm hai số
u
và
v
trong mỗi trường hợp sau:
a)
15; 36u v uv
+= =
b)
22
13; 6u v uv+= =
Lời giải
a) Ta có
,uv
là hai nghiệm của phương trình sau
2
12
15 36 0
3
X
XX
X
=
− +=⇔
=
( ) ( ) ( )
{ }
; 12;3 ; 3;12uv⇒∈
b) Ta có
( )
2
22
5
2 13 2.6 25
5
uv
u v u v uv
uv
+=
+ =++ =+ = ⇔
+=−
- Với
5uv+=
ta có
,
uv
là hai nghiệm của phương trình sau
2
2
5 60
3
X
XX
X
=
− +=⇔
=
- Với
5uv+=−
ta có
,uv
là hai nghiệm của phương trình sau
2
2
5 60
3
X
XX
X
= −
+ +=⇔
= −
Vậy
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
; 2; 3 ; 3; 2 ; 2; 3 ; 3; 2uv ∈ −− −−
.
Bài 2:
Tìm hai số biết:
a. Tổng bằng 4 và tích bằng 1 b. Tổng bằng 6 và tích bằng 9
Lời giải
a. Hai số ần tìm là nghiệm của phương trình:
2
12
4 1 0 2 5; 2 5XX x x− += ⇔ = + = −
b. Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình:
2
12
6 90 3X X xx− +=⇔ = =
11
Bài 3:
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là
23+
và
Lời giải
a) Ta có:
( )
( )
( )
( )
23 234;23231++−= + −=
.
Do đó
và
23−
là hai nghiệm của phương trình sau:
2
4 10XX− +=
Bài 4:
Tìm phương trình bậc hai biết nó nhận 7 và -11 là nghiệm.
Lời giải
Ta có phương trình cần lập là
2
4 77 0XX+ −=
.
Bài 5:
Gọi
12
,xx
là hai nghiệm của phương trình:
2
1 0.
xx−−=
Lập phương trình bậc hai có hai
nghiệm là
a.
12
1; 1
xx++
b.
22
1 22 1
;xxxx++
c.
12
21
;
xx
xx
d.
21
12
11
;
xx
xx
++
Lời giải
Ta có
10ac =−< ⇒
phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
Theo Viet ta có:
1 2 12
1; . 1x x xx
+= =−
a. Có:
1 2 12 1 2 1212
( 1) ( 1) 1 1 3; ( 1)( 1) 1 1 1 1 1x x xx x x xxxx+ + + = + ++= + + = + + +=−++=
12
1; 1xx⇒+ +
là nghiệm của phương trình
2
3 10xx− +=
b.
22 2
1 2 21 12 1212
( )( ) ( ) 2 4x x x x xx xxxx
+ + + = + − ++ =
2 2 22 3 3 3
1 2 2 1 1 2 1 2 12 1 2 12 1 2
( )() ()3()4xxxx xxxxxx xx xxxx+ + = +++ = + − + =
22
1 22 1
;xxxx⇒+ +
là nghiệm của phương trình
2
4 40xx− +=
c.
22 2
1 2 1 2 1 2 12 2 1
2 1 12 12
( )2
4
xx xx xx xxxx
x x xx xx
+ + − ++
+= = =−
2 1 12 1 2
1 2 12
11 1
.1
x x xx x x
x x xx
+ + +++
= = −
12
21
;
xx
xx
⇒
là nghiệm của phương trình
2
4 10xx+ −=
12
Bài 6:
Cho phương trình
2
53 0x xm+− =
(
m
là tham số)
a) Tìm tham số
m
để phương trình có hai nghiệm là
1
x
và
2
x
b) Với điều kiện
m
tìm được ở câu
)a
, hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là
2
1
2
x
và
2
2
2
x
Lời giải
a) Ta có:
25
25 12 0
12
mm
−
∆= + ≥ ⇔ ≥
b) Ta có:
( )
(
)
22
12
2
22 2
12
12
2
2 2 50 12
9
xx
m
S
xx m
xx
+
+
=+= =
và
( )
2
22 2
12
12
22 4 4
.
9
P
xx m
xx
= = =
Với điều kiện:
25
0
12
m
−
≠≥
thì ta có
2
1
2
x
và
2
2
2
x
là hai nghiệm của phương trình bậc hai sau:
( )
2 22
22
50 12 4
0 9 2 6 25 4 0
99
m
X X mX m X
mm
+
− + =⇔ − + +=
.
Bài 7:
Cho phương trình
2
35 0x xm+ −=
(
m
là tham số)
a) Tìm tham số
m
để phương trình có hai nghiệm là
1
x
và
2
x
b) Với điều kiện
m
tìm được ở câu
)a
hãy viết phương trình bậc hai có hai nghiệm là
1
2
1
x
x +
và
2
1
1
x
x +
Lời giải
a) Điều kiện của m là:
25
12
m
−
≥
b) Phương trình cần lập là:
2
10 6 25
02
3 6 2 12
mm
XX m
mm
+−

+ + = −≠ ≥

++

Bài 8:
1. Cho
11 6 2 , 11 6 2
ab=+=−
. Chứng minh rằng
,ab
là hai nghiệm của phương trình bậc
hai với hệ số nguyên
13
2. Cho
22
33
6 3 10, 6 3 10, : ,c d CMR c d= += −
là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với
hệ số nguyên.
Lời giải
1. Ta có
22
11 6 2 11 6 2 (3 2) (3 2) 6; 121 72 7
a b ab+= + + − = + + − = = − =
Vậy a, b là hai nghiệm của phương trình:
2
6 7 0( )x x dpcm− +=
2.
2 32 3
3
3
20 1203 (4 23) 4 23; (4 23) 4 23cb=+ =+=+ =−=−
2 2 22 2
8; . 16 12 4 8 4 0c d cd x x
→ + = = − =→ − +=
Bài 9:
Cho phương trình:
2
90
x mx− +=
(
m
là tham số )
a. Tìm các giá trị của
m
để phương trình có nghiệm kép
b. Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm
12
,xx
hãy lập phương trình bậc hai có
nghiệm là hai số
12
21
;
xx
xx
Lời giải
a)
2
36 0 6mm∆= − = ⇔ =±
b) Phương trình có hai nghiệm
12
2
12
12
, 0 36 0 6
.9
xx m
xx m m
xx
+=
⇔∆>⇔ − >⇔ >⇒
=
Ta có:
22 2
2
1 2 1 2 1 2 12 1 2
2 1 12 12 2 1
( )2
18
;. 1
9
x x x x x x xx x x
m
x x xx xx x x
+ +−
−
+= = = =
Vậy hai nghiệm là nghiệm của phương trình:
2
2
18
10
9
m
xx
−
− +=
Bài 10:
Cho
a
và
b
là hai số thỏa mãn đẳng thức
22
3 8 8 2 3 19 0(1)a b ab a b ab++ −−− +=
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm
a
và
b
.
Lời giải
Ta có
2 22
(1) ( ) 8( ) 16 2 3 3 0 ( 4) ( 3) 0a b a b ab ab a b ab⇔+ − +++− +=⇔+− + − =
2
40
4
4 3 0.
3
30
ab
ab
xx
ab
ab
+−=
+=
⇔ ⇔ ⇒ − +=

=
−=
14
Bài 11:
Tìm hai số
x
và
y
, biết:
a. Tổng của chúng bằng 4 và tổng bình phương bằng 10
b. Tổng của chúng bằng 3 và tổng lập phương bằng 9
c. Tích của chúng bằng 2 và tổng lập phương bằng – 9
d. Tích của chúng bằng -2, tổng lập phương bằng -7
Lời giải
a.
2
22 2
44
41
4 30
33
10 ( ) 2 10
xy xy
xy a
aa
xy a
x y x y xy
+= +=
+= =


⇔ ⇔ ⇒ − +=⇔

= =
+= + − =


Vậy hai số cần tìm là 1 và 3.
b.
2
33 3
33
31
3 20
22
9()3()9
xy xy
xy a
aa
xy a
x y xy xyxy
+= +=
+= =


⇔ ⇔ ⇒ − +=⇔

= =
+= + − +=


c.
33
22
()3()9()6()90
xy xy
xy xyxy xy xy
= =

⇔

+− +=− +−++=

Đặt
33 2
( ) 6( ) 9 0 6 9 0 ( 3)( 3 3) 0xy xy m m m m m+ − + +=⇔ − +=⇔ + − + =
3
3
2
xy
m
xy
+=−
⇔ =−⇒
=
2
12
3 2 0 1; 2AA x x
⇒ + +=⇒ =− =−
d.
3
33 3
22
(*) 6 7 0 1
7 ( ) 6( ) 7 0(*)
xy xy
SS S
x y xy xy
=−=−

⇔ ⇒ ⇔ + +=⇔ =−

+ =− + + + +=

2
1
xy
xy
= −
⇔
+=−
2
2 0 1; 2
AA x x⇒ +−=⇔= =−
Bài 13:
Gọi
12
,
xx
là hai nghiệm của phương trình
2
4 10xx− +=
. Lập phương trình bậc hai có hai
nghiệm là:
a.
1 22 1
3 2 ;3 2x xx x−−
b.
22
1 22 1
;xxxx−−
c.
12
21
;
11
xx
xx++
d.
22
2 11 2
12
;
xxxx
xx
++
e.
22
21 1 2
5 1; 5 1xxxx++ ++
f.
12 21
2 ;2xx x x−−
Lời giải
15
Ta có:
12
12
4
30
.1
xx
xx
+=
∆= > ⇒
=
a)
22 2
1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 12 1 2 12 1 2
3 2 3 2 4;(3 2 )(3 2 ) 13 6( ) 25 6( ) 71
x x x x x x x x x x xx x x xx x x− + − =+= − − = − + = − + =−
Vậy ta được:
2
4 71 0xx−−=
b)
22 2
1 221 12 12 12
()2()10x xx x xx xx xx
−+−= + − − + =
2 2 22 3 3 3
1 2 2 1 1 2 1 2 12 1 2 12 1 2
( )() ( ) 2()3()50x x x x x x x x xx x x xx x x− −= −+ + =−+ + + =−
Vậy ta được
2
10 50 0xx− −=
c.
22 2
1 2 1 212 12 1212
2 1 1 2 12 1 2
( )2
3
1 1 ( 1)( 1) 1
x x x x xx xx xx xx
x x x x xx x x
+ ++ + − ++
+= = =
+ + + + +++
2
1 2 12
2 1 1 2 12 1 2
11 1
. 30
1 1 ( 1)( 1) 1 6 6
x x xx
xx
x x x x xx x x
= = =→ − +=
+ + + + +++
d.
2 2 33
3
211 2 1 2
12 1212
1 2 12
2()3()254
xxxx xx
xx xxxx
x x xx
++ +
+ = += + − + +=
22 2 2
22 3 3 3
211 2 211 2
1 2 1 2 12 1 2 12 1 2
1 2 12
( )( )
. 2()3()54
xxxx xxxx
x x x x xx x x xx x x
x x xx
++ ++
= = +++ =+ + − + =
2
54 54 0xx⇒− +=
e.
22
21 1 2
5 1; 5 1xxxx++ ++
Ta có
1
x
là nghiệm của phương trình
22
1 1 12 1 2 2
41 5 14151 16x x xx x x x⇒ = −⇒ + += −+ += +
Tương tự:
2
21 1
5 1 16xx x+ += +
Mà
2
1 2 12 1 2 12 12
( 16) ( 16) 32 36;( 16)( 16) 16( ) 16 321x x xx x x xx xx
+++=++= + += + ++ =
2
36 321 0xx⇒− + =
f.
22 2
1 2 2 1 12 1 2 12 1 2
2 . 2 5 2( ) 9 2( ) 23x x x x xx x x xx x x− −= − + = − + =
Đặt
2 22
12 21 12 21 12 21
2 2 , 0; (2 ) (2 ) 2 2 . 2a xx x xa a xx x x xx xx= −+ − ≥ = − + − + − −
2 22
1 2 12
5( ) 8 46x x xx=+− +
22
1 2 12
5( ) 18 46 108 6 3 6 3 23 0x x xx a x x= + − + = →= → − + =
16
Dạng 4: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Cách giải: Xét phương trình
( )
2
0 0.ax bx c a+ += ≠
Khi đó:
1. Phương trình có hai nghiệm trái dấu
0P⇔<
2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
0
0P
∆>
⇔
>
3. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
0
0
0
S
P
∆>
⇔>
>
4. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt
0
0
0
S
P
∆>
⇔<
>
5. Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm
dương
0
0
P
S
<
⇔
<
*) Chú ý: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
0
⇔∆>
;
Phương trình có hai nghiệm
0
⇔∆≥
Bài 1:
Tìm các giá trị của tham số
m
để phương trình:
a)
( )
2
2 1 10x m xm− − + +=
có hai nghiệm phân biệt trái dấu
b)
2
8 2 60x xm− + +=
có hai nghiệm phân biệt
c)
( )
2
2 3 84 0x mx m− − +− =
có hai nghiệm phân biệt âm
d)
2
6 2 10x xm− + +=
có hai nghiệm phân biệt cùng dương
e)
( )
2
2 13 0x mx m− − −− =
có đúng một nghiệm dương
Lời giải
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu
01ac m⇔ < ⇔ <−
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt
( )
2
8 42 6 0 5mm⇔∆= − + > ⇔ <
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng âm
( )
2
4 8 40
0
2
0 2 30
1
0
84 0
mm
m
Sm
m
P
m
− +>
∆>
<
⇔ <⇔ − < ⇔

≠

>
−>
17
d) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dương
0 32 8 0
1
0 60 4
2
0 2 10
m
Sm
Pm
∆> − >

−

⇔ >⇔ > ⇔ < <


> +>

e) Vì
(
) (
)
(
)
22
4 1 4 3 2 1 15 0,m m m mZ
∆= −−−−= −+>∀∈⇒
phương trình luôn cí hai nghiệm phân
biệt
Phương trình có đúng một nghiệm dương
30 3
ac m m
=− − < ⇔ >−
Bài 2:
Tìm các giá trị của tham số
m
để phương trình:
a)
( )
22
2 3 1 20x m xm m− + + − −=
có hai nghiệm trái dấu.
b)
( )
2
3 22 1 0mx m x m+ + +=
có hai nghiệm âm
c)
2
10x mx m+ ++ − =
có hai nghiệm lớn hơn m
d)
( )
( )
2
2 2 3 20mx m x m
− − ++ − =
có hai nghiệm cùng dấu.
Lời giải
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu
12
m⇔− < <
b) Phương trình có hai nghiệm âm
0
23
m
m
>
⇔
≤− −
c) Phương trình có hai nghiệm lớn hơn m
1m⇔ <−
d) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu
10m
⇔− ≤ <
Bài 3: Tuyển sinh vào 10 Hải Phòng, năm học 2012 - 2013
Cho phương trình:
2
1 0(1)x mx m+ − −=
(
m
là tham số )
a. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi
m
b. Tìm
m
để phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm không dương
Lời giải
a) Ta có
2
( 2) 0,mm∆= + ≥ ∀ ⇒
phương trình luôn có nghiệm với mọi
m
b) Phương trình có ít nhất 1 nghiệm không dương nên ta có các trường hợp sau:
+) Phương trình có hai nghiệm trái dấu
10 1Pm m⇔ =− − < ⇔ >−
+) Phương trình có một nghiệm bằng 0
0 10 1Pm m⇔ = ⇔− − = ⇔ =−
18
+) Phương trình có hai nghiệm âm
00
10 1
Sm m
Pm m
=−< >

⇔⇔

=− − > <−

(vô nghiệm)
Vậy
1
m ≥−
là các giá trị cần tìm.
Bài 4: Tuyển sinh vào 10 Chuyển Toán Long An, năm học 2014 - 2015
Cho phương trình
2
0(1)x xm−+ =
(
m
là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để
phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
sao cho
12
2xx<<
Lời giải
Cách 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
1
1 4 0 (*)
4
mm⇔∆= − > ⇔ <
Khi đó:
1 1 2 12
12
2 1 2 12 1 2
20 2 20 40
2
2 0 ( 2)( 2) 0 2( ) 4 0
x x x xx
xx
x x x xx x x
−< −+ −< + −<

< <⇔ ⇔ ⇔

−< − − > − + +>

14 0
2
240
m
m
−<
⇔ ⇔ >−
−+>
.
Kết hợp với (*) ta được:
1
2
4
m
−< <
Cách 2: Vì
21 2 12 2
1' 1'
2 2 2 '3
22
x x x xx x
+∆ +∆
> ⇒ = ⇒ < <⇔ <⇔ <⇔∆<
'9⇔ ∆<
14 9 2
mm⇔ − < ⇔ >−
Kết hợp với (*) ta được:
1
2
4
m
−< <
Bài 5: Tuyển sinh vào 10 Chuyển Toán Phú Yên, năm học 2014 - 2015
Cho phương trình
3 22 2
(2 1) (2 2) (2 3 2) 0x m x mm x m m− + + −+ − − + =
(
m
là tham số ).
Tìm
m
để phương trình có ba nghiệm dương phân biệt
Lời giải
Ta có
0abc++=
nên phương trình có 1 nghiệm bằng 1
22
22
10
(1) ( 1)( 2 2 3 2) 0
2 2 3 2 0 (2)
x
x x mx m m
x mx m m
−=
⇔− − + − +=⇔
− + − +=
Yêu cầu của bài toán
(2)
⇔
phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1
'0
0abc
∆>
⇔
++≠
19
22 2
22
33
(2 3 2) 0 2 5 3 0
1;
(*)
22
12 2 3 2 0 3 2 0
12 12
m mm m m
mm m
mm m m m
mm


− − + > − +≠
≠≠ ≠

⇔ ⇔ ⇔⇔

− + − +≠ − + −>



<< <<

Hai nghiệm của pt(2) dương
2
20
0 (**)
2 3 20
Sm
m
Pm m
= >
⇔ ⇔>
= − +>
Vậy
3
;1 2
2
mm≠ <<
là các giá trị cần tìm
Bài 6:
Tìm
m
để phương trình
22 2 2
( 1) ( 2 1) 0
mx mxm+ + ++=
có hai nghiệm phân biệt
121 2
,( )
xxx x<
sao
cho
2
21
3
2
xx= −
Lời giải
Có:
0abc
++=⇒
phương trình có hai nghiệm:
22 2
12
22 2
1; ; 1 1;
11 1
mm m
xx x x
mm m
−− −
=− = >− ⇒ =− =
++ +
Yêu cầu bài toán
2
2 22
2
3
( 1) 2 1 1
12
m
mm m
m
−
⇔ =− − ⇔ = +⇔ =±
+
Vậy
1m = ±
là các giá trị cần tìm.
Bài 7:
Cho phương trình
2
(2 1) 3 0mx m x m− + + −=
. Tìm
m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt
cùng âm
Lời giải
Yêu cầu bài toán
0, 0, 0, 0a SP⇔ ≠ ∆> < >
+)
00
am≠⇔ ≠
+)
1
16 1 0
16
mm
−
∆= + > ⇔ >
+)
1
2 10
2
00
21 1
00
2
2 10 1
(. )
2
0
0
m
m
mm
m
Sm
m
m
m
vo nghiem
m
m
−
>
+>
<<
+−

= <⇔ ⇔ ⇔ < <
+< −

<
>
>
20
+)
3
3
00
0
m
m
P
m
m
>
−
>⇔ >⇔
<
Vậy
1
0
16
m
−
<<
là các giá trị cần tìm.
Dạng 5: Xác định điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn hệ thức
cho trước
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm
0∆≥
Bước 2: Từ hệ thức đã cho và hệ thức Viét, tìm được điều kiện của tham số
Bước 3: Kiểm tra điều kiện của tham số có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết
luận
Bài 1:
Cho phương trình
2
5 40x xm
− + +=
. Tìm các giá trị của tham số
m
để phương trình có hai
nghiệm phân biệt
12
,xx
thỏa mãn
a)
12
4xx+=
b)
12
34 6xx+=
c)
12
21
3
xx
xx
+=−
d)
( ) ( )
2
1 22 1
13 13 23x xx xm−+−=−
Lời giải
Ta có:
( )
2
5 4 4 94mm∆= − + = −
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
9
0
4
m⇔∆> ⇔ <
.
Theo hệ thức Viét ta có:
12
12
5
4
xx
xx m
+=
= +
a) Ta có:
( )
2
1 2 1 2 1 2 12
4 2 2 16 2 4 2 1x x x x xx xx m m m
+ = ⇔ + − + = ⇒ + = − ⇔ ∈∅
b) Ta có:
( )
1 2 12 2 2
3 4 63 6 9x x xx x x+ =⇔ + +=⇒=−
Vì
2
9x = −
là nghiệm của phương trình nên ta có:
( ) ( )
2
9 5. 9 4 0 130mm− − −+ +=⇔ =−
c) Ta có:
( )
2
12
1 2 12
21
3 0 29
xx
x x xx m
xx
+ =−⇔ + + = ⇔ =−
d) Ta có:
( ) (
)
22
1 2 2 1 1 2 12
1 3 1 3 23 6 23 3 13x x x x m x x xx m m− + − = −⇔+− = −⇔=−±
21
Bài 2:
Cho phương trình
2
2( 1) 2 1 0mx m x m− + + +=
(
m
là tham số). Tìm
m
để phương trình có hai
nghiệm phân biệt
12
,xx
thỏa mãn:
a.
12
12
111
()
3
xx
xx
+= +
b.
33
12
28xx+=
Lời giải
Điều kiện:
2
0
' 10
m
mm
≠
∆=− + + >
Áp dụng hệ thức Viét ta có
12
12
2( 1)
21
.
m
xx
m
m
xx
m
+
+=
+
=
a)
12
12
12 12 1212
12
1 2 12
0
111 1
() ()()(3)0
3
33
xx
xx
xx xx xxxx
xx
x x xx
+=
+
+= +⇔ = +⇔+ −=⇔
=
+)
12
01xx m+=⇔=−
(thỏa mãn)
+)
12
21
3 31
m
xx m
m
+
=⇔ =⇔=
(thỏa mãn)
b)
33 3 3 2
1 2 12 1212
28 ( ) 3 ( ) 28 16 3 9 4 0x x xx xxxx m m m+ = ⇔ + − + = ⇔ − − −=
2
( 1)(16 13 4) 0
m mm⇔ − + +=
1m⇔=
Vậy
1m =
Bài 3: Tuyển sinh vào 10 Tây Ninh, năm học 2014 - 2015
Chứng minh rằng phương trình:
2
2( 1) 4 0x m xm− + + −=
luôn có hai nghiệm phân biệt
12
,
xx
và
biể thức
1 22 1
(1 ) (1 )Mx x x x= −+ −
không phụ thuộc vào
m
Lời giải
Ta có
2
' 5 0,mm m∆= + + > ∀
Áp dụng hệ thức Viét ta có
12
12
22
.4
xx m
xx m
+= +
= −
Có
1 12 2 1 2
2 2 2( 4) 2 2 2 8 10M x xx x xx m m m m= − + − = +− − = +− += ⇒
đpcm.
22
Bài 4: Tuyển sinh vào 10 Đà Nẵng, năm học 2014 - 2015
Cho phương trình
22
2( 2) 0x m xm+ − −=
(
m
là tham số)
a. Giải phương trình khi
0m =
b. Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
với
12
xx<
, tìm tất cả các giá
trị của
m
sao cho
12
6xx−=
Lời giải
a) Khi
0m =
ta tìm được
0x =
hoặc
4x =
b) Ta có
2
' 2( 1) 2 0,mm∆= − + > ∀
Áp dụng hệ thức Viét ta có
12
2
12
2(2 )
.0
Sxx m
P xx m
=+= −
= =−≤
Vì
1 2 1 2 12 12
00 6665
P x x x x xx xx m≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ − = ⇔− − = ⇔ + =− ⇔ =
Vậy
5m =
là giá trị cần tìm.
Bài 5: Tuyển sinh vào 10 Long An, năm học 2014 - 2015
Cho phương trình
2
20x xm−+=
(
x
là ẩn và
m
là tham số)
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
thỏa mãn
12
21
10
3
xx
A
xx
−
=+=
Lời giải
Ta có
' 0 1 (*)m∆> ⇔ <
Áp dụng hệ thức Viét ta có
1 2 12
2; .S x x P xx m
=+= = =
12
21
10 4 2 10
3
33
xx
m
Am
xx m
− −−
= + = ⇔ = ⇔=−
(thỏa mãn)
Vậy
3m = −
là giá trị cần tìm.
Bài 6: Tuyển sinh vào 10 Quảng Ninh, năm học 2014 - 2015
Cho phương trình
2
50x xm++ −=
(
x
là ẩn và
m
là tham số)
a. Giải phương trình với
4m =
b. Tìm
m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
,0xx≠
thỏa mãn:
12
21
66
10
3
mx mx
xx
−− −−
+=
23
Lời giải
b) Phương trình có hai nghiệm
12
21
1 4( 5) 0
,0
4
50
5
m
m
xx
m
m
∆= − − >
<
≠⇔ ⇔

−≠
≠
Áp dụng hệ thức Viét ta có
12
12
1
.5
xx
xx m
+=−
= −
Ta có
22
1 2 1 21 2
2 1 12
6 6 (6 ) (6 )
10 10 10
33 3
m x m x mx mx x x
x x xx
−− −− − +− − −
+==⇔ =
2
12 12 12
12
(6)()()2
10
3
mxx xx xx
xx
− +−+ +
⇔=
2
12 12 12
12
(6)()()2
10 3 17 10
11
3 53
mxx xx xx
m
mm
xx m
− +−+ +
−
⇔ = ⇔ = ⇔ =−⇒ =−
−
Vậy
1m = −
là giá trị cần tìm.
Bài 7: Chuyên Toán Hải Dương, năm học 2013 - 2014
Cho phương trình:
2
2( 1) 2 5 0x m xm− − + −=
(
m
là tham số).
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với
m∀
b. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm
12
,xx
thỏa mãn:
22
11 22
( 2 2 1)( 2 2 1) 0x mx m x mx m− +− − +−<
Lời giải
a.
2
' ( 2) 2 0,mm∆= − + > ∀
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của
m
b. Theo Viet ta có
12
12
2( 1)
25
xx m
xx m
+= −
= −
Vì
1
x
là nghiệm của phương trình
22
1 1 11 1
2( 1) 2 5 0 2 2 1 2 4x mxm x mxm x
⇒− − +−=⇔− +−=−+
Tương tự:
2 22
22 2 1 1 22
2 212 4( 2 21)( 2 21)0x mx m x x mx m x mx m− +−=−+⇔− +− − +−<
[ ]
1 2 12 1 2
( 2 4)( 2 4) 0 4 2( ) 4 0 2 5 2.2( 1) 4 0x x xx x x m m⇔− + − +<⇔ − + + <⇔ −− −+<
3
2 30
2
mm
⇔− + < ⇔ >
24
Bài 8:
Cho phương trình
2
2( 1) 2 0
x m xm
− ++=
(
m
là tham số)
a. Giải phương trình với
1m =
b. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
m
c. Gọi hai nghiệm của (1) là
12
,xx
. Tìm giá trị của
m
để
12
,xx
là độ dài hai cạnh của 1 tam
giác vuông có cạnh huyền
2
=
Lời giải
c) Yêu cầu của bài toán
1 12
2 12
00
2( 1) 0
0 (*)
0 .0 20
x xx
m
m
x xx m
> +>
+>

⇔ ⇔ ⇔ ⇔>

>>>

Vì
12
,xx
là độ dài hai cạnh của 1 tam giác vuông có cạnh huyền bằng
2
nên ta có
( )
( )
22 2
1 2 1 2 12
1
12 ( ) 2 12
2
m TM
x x x x xx
m KTM
=
+=⇔ + − =⇔
= −
Vậy
1
m =
là giá trị cần tìm.
Bài 9: Chuyên Toán Hà Tĩnh, năm học 2014 - 2015
Cho phương trình
22
2( 2) 2 2 0mx m x m m− − + − +=
(
m
là tham số)
a. Giải phương trình với
1
m = −
b. Tìm tất cả các giá trị của
m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
thỏa mãn:
1 2 12
2( ) 3x x xx++ =
Lời giải
a) Với
1m = −
tìm được
12
1; 5xx=−=−
b) Ta có
( )
( )
2
2
' 2 22m mm m∆= − − − +
Để phương trình có hai nghiệm nghiệm phân biệt thì
'0∆>
1 (*)m⇔<
Áp dụng hệ thức Viét ta có
( )
2
1 2 12
22
2 2;
mm
x x m xx
m
−+
+= − =
Ta có
1 2 12
1; 3
2( ) 3
1 10
mm
x x xx
m
= = −
++ =⇔
=−±
Kết hợp với (*), ta được:
3; 1 10mm=− =−−
25
Bài 10: Chuyên Hùng Vương Bình Dương, năm học 2014 - 2015
Cho phương trình
2
1 0.mx x m++ −=
Xác định
m
để phương trình có hai nghiệm
12
,xx
thỏa
mãn:
12
11
1
xx
+>
Lời giải
Phương trình có hai nghiệm
2
12
12
0
0
, 0 0 4 4 10
1 0( . 0) 1
m
m
xx m m
m xx m
≠
≠
≠ ⇔∆> ⇔− + +>


−≠ ≠ ≠
2
0
0; 1
4 4 10
12 12
(*)
1
22
m
mm
mm
m
m
≠
≠≠
⇔− + +> ⇔

−+
<<

≠
Theo định lý Viet ta có
1 2 12
1
1;
m
x x xx
m
−
+=− =
1 2 12
12
11 1 1
1 . 11 0 2
m
x x xx m m
xx m m
−
⇒ + >⇔ + > ⇔ > ⇔ −<⇔ < <
Kết hợp với (*) ta được:
12
0 ;1
2
mm
+
<< ≠
Bài 11: Chuyên KonTum, năm học 2014 - 2015
Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH ( H thuộc BC ), biết độ dài hai cạnh góc
vuông là các nghiệm của phương trình
2
2( 1) 2 1x m xm− +++
. Tìm giá trị của tham số m để độ
dài đoạn
1
2
AH =
Lời giải
Phương trình (1) có hai nghiệm
12
1; 2 1xxm= = +
Ta có
12
,xx
là độ dài hai cạnh góc vuông khi:
1
2 10
2
mm
−
+> ⇔ >
Có
22 2 2 2 2
12 1 2
2 22
12
0( )
1 11
2 2(2 1) 1 (2 1)
1( )
m TM
xx x x m m
m KTM
AH x x
=
=+⇒ =+⇔ +=+ +⇔
= −
Vậy
0m =
là giá trị cần tìm.
C
H
B
A
26
Bài 12: Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa, năm học 2014 - 2015
Cho phương trình
2
2013 ( 2014) 2015 0xm x−− − =
(
m
là tham số). Tìm m để phương trình có hai
nghiệm
12
,xx
thỏa mãn:
22
1 12 2
2014 2014x xx x+−=++
Lời giải
Ta có:
2015.2013 0
ac
=− <⇒
phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
Ta có:
22
22
21
1 1 2 2 12 21
22
21
2014 2014 ... ... 0 0
... ..
xx
x x x x xx xx
xx
−
+ −= + +⇔ − ++=⇔ ++=
++ +
12
21
21
22
22
21 2 1
21
0
( )( 1) 0
2014 2014 0(*)
2014 2014
xx
xx
xx
xx x x
xx
+=
−
⇔ + +=⇔
−++ ++ =
+ ++
+)
12
2014
0 0 2014
2013
m
xx m
−
+=⇔ =⇔=
+)
2 2 22 2 2
2 1 2 1 2 1 21 2 1 21
2014 2014 ... ... 0x x x x x x xx x x xx+ + + > + = + ≥−+⇒ ++ ++ −>
Suy ra phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy
2014
m
=
là giá trị cần tìm.
Bài 13: Chuyên Toán Bình Phước, năm học 2013 - 2014
Cho phương trình:
2
4 2 3 (1)x xm−+ −
(
m
là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình
(1) có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
thỏa mãn
1 2 12
3( ) 17x x xx+= +
Lời giải
Điều kiện:
12
12
'0 42 30
4
37
0 40 :
. 23
22
0 2 30
m
xx
S m V iet
xx m
Pm
∆> − + >

+=

> ⇔ > ⇔≤<⇒

= −

> −>

1 2 12 1 2 12 12
3( ) 17 3( 2 ) 17 3(4 2 2 3) 2 3 17x x xx x x xx xx m m+ = + ⇔ + + = + ⇔ + − = −+
2
1
1
62322323 1
2
9(2 3) 2 1
14
m
m
m m mm
m
m mm
m
≥−
≥−
⇔ −= +⇔ −= +⇔ ⇔
=

−= + +
=
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
27
Bài 14: Phổ thông Năng Khiếu HCM, năm học 2014 - 2015
Cho phương trình
2
( 3) 2 1
0 (1)
3
mx m x m
x
+− + −
=
+
a. Giải phương trình khi
1m = −
b. Tìm
m
để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
thỏa mãn:
2
1 22
21 7 (2 ) 58x m xx+ ++ =
Lời giải
b) Với
2
3 (1) ( 3) 2 1 0 ( 2)x mx m x m≠− ⇒ ⇔ + − + − =
(1) có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
khi (2) có hai nghiệm phân biệt
2
0
00
0 7 2 90 1
( 3) 0 8 8 0 9
1(*)
7
m
mm
mm m
fm
m
≠
≠≠
⇔ ∆> ⇔ − − + > ⇔ ≠−


− ≠ +≠ −
<<
Vì
12
,xx
là nghiệm của phương trình nên ta có:
22
2 2 22 2
( 3) 2 1 0 ( 3) 3 1
mx m x m m x x x
+ − + −= ⇒ + + = +
Do đó:
2
1 22 1 2 12
21 7 (2 ) 58 21 7(3 1) 58 21( ) 51x m xx x x xx+ + + = ⇔ + += ⇔ + =
77
( *)
88
m tm m⇔= ⇒=
.
Bài 15:
Cho phương trình
( )
2
1 5 60x m xm+ − + −=
với
m
là tham số. Tìm
m
để phương trình có hai
nghiệm
1
x
và
2
x
thỏa mãn điều kiện:
a)
12
2xx−=
b)
12
431xx+=
c)
12
1; 1xx<<
Lời giải
Ta có
( ) ( )
2
2
1 4 5 6 22 25m m mm∆= − − − = − +
Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi
2
0 22 25 0mm∆≥ ⇔ − + ≥
( )
2
11 96 0 11 4 6mm⇔ − − ≥⇔ − ≥
4 6 11
4 6 11
m
m
≥+
⇔
≤− +
(1)
28
Theo định lí Viét ta có
12
12
1
56
xx m
xx m
+=−
= −
a) Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
22 2
22
1 2 1 2 12
4 1 4 5 6 22 25 2x x x x xx m m m m− = + − =− − −= − + =
( )( )
2
1
22 21 0 1 21 0
21
m
m m mm
m
=
⇒ − +=⇔ − − =⇔
=
(thỏa mãn 1)
b) Ta có
( ) ( )
1 2 1 12 1 1
4 3 1 3 31 1 3 2x x x xx x m x m+ ==+ + =+ − =⇒= −
2
1 3243x mm m⇒ =− − +=− +
Mà
(
)( )
12
56 324356
xx m m m m= −⇔ − − + = −
( )
22
12 9 8 6 5 6 12 12 0 12 1 0m m m m m m mm⇔− + + − = − ⇔− + = ⇔ − =
{ }
0;1m⇔∈
Vậy
{ }
0;1m ∈
.
Bài 16:
Cho phương trình
2
10x mx m− − −=
(
m
là tham số). Tìm các giá trị của tham số
m
để phương
trình
a) Có một nghiệm bằng 5. Tìm nghiệm còn lại
b) Có hai nghiệm phân biệt
c) Có hai nghiệm trái dấu, trong đó nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương
d) Có hai nghiệm cùng dấu
e) Có hai nghiệm
12
,xx
thỏa mãn
33
12
1xx+=−
g) Có hai nghiệm
12
,xx
thỏa mãn
12
3
xx−≥
Lời giải
Ta có:
( )
2
2
44 2mm m
∆= + + = +
a) Ta tìm được
2
4; 1mx= = −
b) Tìm được
1
2
m
m
<−
≠−
c) Tìm được
10m−< <
d) Tìm được
1
2
m
m
<−
≠−
e) Tìm được
1m = −
f) Tìm được
1
5
m
m
≥−
≤−
29
Dạng 6: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
Bài 1: Chuyên Toán Quảng Bình, năm học 2012 - 2013
Cho phương trình
2
24x xa−+
(
x
là ẩn số). Giả sử hai nghiệm
12
,xx
của phương trình là số đo
hai cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông
a. Tìm các giá trị của a để diện tích của tam giác vuông bằng
1
3
b. Tìm GTNN của
12
12
4
A xx
xx
= +
Lời giải
a. Điều kiện:
12
12
' 0 14 0
1
0 40 0
4
20
0
a
xx a a
xx
∆≥ − ≥

> ⇔ > ⇔<≤


>
+>
12
,
xx
của phương trình là số đo hai cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông
12
11
23
xx⇒=
11 1
.4 ( )
23 6
a a tm⇔ =⇔=
b.
12
12
4 1 13
44
44
A xx a a
xx a a a
= + = += + +
Ta có:
1
4
13 1
4
4 2; 3 5; 5 ( )
1
44
4
a
a
a A A a tm
aa
a
=
+ ≥ ≥⇒ ≥ =⇔ ⇔ =
=
Bài 2: Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định, năm học 2014 - 2015
Cho phương trình
2
2 2 0 (1)xx m− +− =
(
m
là tham số).
a. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
b. Giả sử
12
,xx
là nghiệm của phương trình (1). Tìm GTNN của
2 2 22
1 2 12
3( ) 4Ax x x x
=++ + −
Lời giải
a.
'0 10 1mm∆≥⇔ −≥⇔ ≥
b. Với
1m ≥⇒
phương trình (1) có nghiệm
12
,xx
30
Theo định lý Viet, ta có:
1 2 12
2; . 2x x xx m+= =−
22 2 2 2
1 2 1 2 12
3( ) 6 4 (2 ) 3.2 6(2 ) 4A x x x x xx m m= + + − −= − + − − −
2 22
(2 ) 6(2 ) 9 1 (2 3) 1 ( 1) 1
mm m m
= − − − +−= − − −= + −
Do
22
1 ( 1) 2 3 1 min 3 1
m m Am Am
≥⇒ + ≥ ⇒ ≥ ⇔ =⇒ = ↔ =
Bài 3: Chuyên Toán Lào Cai, năm học 2014 - 2015
Cho phương trình:
2
2 2 0 (1)x mx m− + −=
(
x
là ẩn số )
a. Chứng minh rằng (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b. Gọi
12
,xx
là nghiệm của phương trình (1). Tìm
m
để biểu thức
2
1 2 12
24
2 62
A
mx x x x m
−
=
+ − −+
đạt GTNN
Lời giải
a.
22
17
' 2( ) 0
24
mm m m
∆= −+= − +>∀
b. Theo định lý Viet, ta có:
1 2 12
2; . 2
x x mxx m+= =−
Do x
2
là nghiệm của phương trình (1) nên:
22
22 2 2
220(1)22x mx m x mx m
− + −= ⇒ = − +
Do đó:
2 22
1 2 12 1 2 12
2 6 2 2 ( ) 6 2 4 4 8 16 4( 1) 12 12
mx x xx m m x x xx m m m m+ − − += + − − += − + = − + ≥
22
24 24 24 24
21
4( 1) 12 12 4( 1) 12 12
m
mm
−−
⇒≤⇒≥=−↔=
−+ −+
Bài 4: Tuyển sinh vào 10 TPHCM, năm học 2014 - 2015
Cho phương trình
2
5 4 0(1)x mx m
− +=
(
x
là ẩn số)
a. Tìm m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b. Gọi
12
,xx
là nghiệm của phương trình (1).
Tìm
m
để biểu thức
2
2
21
22
12
5 12
5 12
x mx m
m
A
x mx m m
+−
= +
+−
đạt GTNN
Lời giải
a.
2
0
25 16 0 (25 16) 0
16 / 25(*)
m
m m mm
m
<
∆= − >⇔ − >⇔
>
b. Vì
12
,xx
là nghiệm của phương trình (1) nên ta có:
22
11 1 1
5 40 5 4x mx m x mx m− + =⇒= −
31
Do đó:
22
1 2 12
5 12 5 ( ) 16 25 16x mx m m x x m m m+ −= +−= −
Tương tự:
22
22
21
22
25 16
5 12 25 16
25 16
m mm
x mx m m m A
mm m
−
+ − = − ⇒= +
−
Do
2
25 16 0,mm−>
áp dụng bất đẳng thức côsi, ta được:
25 16
2
25 16
mm
A
mm
−
≥⇔ =
−
22
25 16 2 / 3
(25 16)
25 16 8 /13( )
mm m
mm
m m m loai
=−=

⇔= − ⇔ ⇔

=−+ =

. Vậy
2
3
m =
là giá trị cần tìm.
Bài 5:
Tìm m để phương trình
22
2( 1) 1 0x m xm
− + + +=
có nghiệm
12
,xx
sao cho biểu thức
2
11 2 2
()A xx x x= −+
đạt GTNN
Lời giải
Phương trình có nghiệm
'2 0 0mm⇔∆ = ≥ ⇔ ≥
Khi đó theo Viet, ta có:
2
1 2 12
2( 1); . 1x x m xx m+= + =+
22 2 2 2 2
1 2 12 1 2 12
( ) 3 4( 1) 3( 1) 8 1 1( 0)A x x xx x x xx m m m m m⇒ = + − = + − = + − + = + +≥ ≥
Vậy
0m
=
.
Bài 6:
Cho phương trình
2
5 4 0(1)x mx m− +=
(
m
là tham số )
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệ với mọi
m
b. Gọi
12
,
xx
là nghiệm của phương trình (1). Tìm m để biểu thức
22
1 2 12
2A x x xx=+−
đạt GTLN
Lời giải
Ta có
22 2 2
1 2 12 1 2 12
2()4(1)44A x x xx x x xx m= + − = + − = + +≥
Dấu “=” xảy ra
1m⇔=−
Bài 7: Chuyên Toán Vĩnh Phúc, năm học 2014 - 2015
Cho phương trình
2
3 2 0 (1)x mx m− −=
(
m
là tham số )
a. Giải phương trình khi
1m
=
b. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm
12
,xx
sao cho biểu thức
32
2
2
12
22
21
36
36
x mx m
m
A
m x mx m
++
= +
++
đạt GTNN
Lời giải
b) Ta có
222
2
12
2 22
12
0
3( ) 8
98
9 80 ;
8
3( ) 8 9 8
9
m
mx x m
m mm m
mm A
m mx x m m m m
m
>
++
+
∆= + > ⇔ = + = +
−
++ +
<
22
1( )
2 ... 2 (9 8) 1
4
()
5
m tm
mm m
m loai
= −
≥ =⇔ + = ⇔ ⇒=−
−
=
Bài 8: Chuyên Toán Tiền Giang, năm học 2014 - 2015
Cho
,,abc
là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện
0, 2 3 6 0a abc≠ ++=
. Chứng minh rằng
phương trình
2
0
ax bx c
+ +=
có hai nghiệm
12
,
xx
. Tìm GTNN của
12
Axx= −
Lời giải
2 22
2 22 2
(2 6 ) 2(2 6 18 ) 2
4 4 9 ( 3 ) 0( : 0)
9 99
a c a ac c
b ac ac a c a c do a
+ −+

∆= − = − = = + + − > ≠

Ta có:
2
2
22 2 2
2
2
0; ( 9 ( 3 ) :
2 22 9
bb
A A a c ac a
a a aa
−+ ∆ −− ∆ ∆ ∆

≥ = − = = = + +−


22
2 2 3 1 3 23 3
13() 9() ( )
3 3 2 4 34 3
cc c
aa a
= − + = − +≥ =
Dấu “ =” xảy ra
31 3
6 ; 6 min
23
c
a cb c A
a
⇔ =⇔= =− ⇒ =
.
Dạng 7: Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào tham số
Cách giải:
- Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm
12
, ( 0, 0)xxa≠ ∆≥
- Từ định lý Viet, tìm
S
và
P
theo tham số
m
- Khử tham số
m
từ
,SP
để có hệ thức giữa
S
và
P
(tức là hệ thức giữa
12
,)xx
không phụ
thuộc vào tham số
m
Bài 1:
Cho phương trình
2
(2 3) 4 0(1)mx m x m− + + −=
a. Tìm
m
để phương trình có hai nghiệm
12
,xx
33
b. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào
m
Lời giải
a. Điều kiện:
9
0
28
0
0
m
m
m
−
≠
≥
⇔

∆≥
≠
b. Theo Viet:
12
12
2 3 3 12
2 48
4 3 11
4 4 12
1 33
bm
Sxx S
am m m
SP
cm
P xx P
am m m
−+

=+= = =+ =+


⇔ ⇒+=

−

====−=−


Bài 2:
Giả sử
12
,xx
là nghiệm của phương trình
22
2( 1) 1 0.x m xm− − + −=
Tìm hệ thức giữa
12
,
xx
không
phụ thuộc vào tham số
m
Lời giải
Phương trình (1) có nghiệm
'0⇔∆ ≥
22
2
2
2( 1)(1)
2
1 (2) : ( ) 1 4 4
2
2
1(2)
S
Sm m
S
m P PS S
Pm
+
= − ⇒=
+
⇔ ≤⇒ ⇒ = −⇔ = +
= −
Vậy hệ thức là:
2
12 12 12
()4()4xx xx xx+ + +=
Bài 3:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
2
2( 1) 3 3 0.x m xm− ++−=
có hai nghiệm
12
,xx
và tìm hệ thức giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào
m
Lời giải
12 12
2
1 2 12
1 2 12
2( 1) 3( ) 6 6
' 4 0 3( ) 2 12.
. 33 2 66
xx m xx m
m m m x x xx
x x m xx m
+= + + = +

∆= − + ≥ ∀ ⇒ ⇔ ⇒ + − =

=−=−

BÀI TẬP VỀ NHÀ
34
Bài 1:
Cho phương trình
2
3 10
xx− + +=
với
12
,xx
là nghiệm của phương trình, không giải phương
trình hãy tính
a)
22
12
12
22
Ax x
xx
=+++
b)
21
12
33
xx
B
xx
= +
++
c)
12
12
2 52 5
xx
C
xx
−−
= +
d)
12
44
12
11
xx
D
xx
−−
= +
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
3 1 0 1 12 13 0
xx− + + = ∆= + = > ⇒
phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
a) Ta có
22
12
12
2 2 11
9
Ax x
xx
−
=+++ =
b) Ta có
21
12
16
3 3 87
xx
B
xx
=+=
++
c) Ta có
12
12
2 52 5
9
xx
C
xx
−−
=+=
d) Ta có
12
44
12
11
41
xx
D
xx
−−
=+=−
Bài 2:
Tìm hai số u và v biết rằng
a)
8uv
+=−
và
105uv = −
b)
9uv+=
và
90uv = −
Hướng dẫn giải
a) Tìm được
( )
( )
( )
{ }
; 7; 15 ; 15;7uv ∈− −
b) Tìm được
( ) (
) ( )
{
}
; 15; 6 ; 6;15uv
∈ −−
Bài 3:
Cho phương trình
( ) ( )
2
4 1 2 40x mx m+ + + −=
. Tìm giá trị của tham số
m
để phương trình có
hai nghiệm
12
,xx
và:
a) Thỏa mãn điều kiện
21
17xx−=
b) Biểu thức
( )
2
12
A xx= −
có giá trị nhỏ nhất
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Hướng dẫn giải
a) Tìm được
4m = ±
b) Ta có
33 0
min
Am= ⇔=
35
c) Ta có hệ thức:
1 2 12
2 17x x xx++ =−
Bài 4:
Cho phương trình
( ) ( )
2
2 2 1 40m x m xm+ − + + −=
. Tìm giá trị của tham số m để phương trình:
a) Có hai nghiệm trái dấu
b) Có hai nghiệm dương phân biệt
c) Có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm
d) Có hai nghiệm
12
,xx
thỏa mãn
( )
1 2 12
35x x xx+=
Hướng dẫn giải
a) Tìm được:
24
m
−< <
b) Tìm được:
4
9
2
4
m
m
>
−
< <−
c) Tìm được:
21m
− < <−
d) Tìm được:
m
∈∅
Bài 5:
Cho phương trình
( )
22
2 1 60x m xm m− + + + −=
(m là tham số).
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt
c) Gọi
12
,xx
là hai nghiệm của phương trình. Tìm gái trị nhỏ nhất của biểu thức
22
12
Ax x= +
d) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm
12
,xx
thỏa mãn
33
12
19xx+=
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
25 0, mZ∆= > ∀ ∈ ⇒
đpcm b) Tìm được
3m <−
c) Ta có
25 1
22
min
Am
−
= ⇔=
d) Tìm được:
1
0
m
m
= −
=
Bài 6:
Cho phương trình
( )
2
2 2 2 50x m xm− − + −=
(m là tham số).
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Gọi
12
,xx
là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để
12
,xx
thỏa mãn
( ) ( )
1 22 1
1 14x xx x−+ −<
Hướng dẫn giải
36
a) Ta có
( )
2
4 3 0,m mR∆= − ≥ ∀ ∈
b) Tìm được
1.m >
| 1/36
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

HỆ THỨC VIET VÀ ỨNG DỤNG A. Lý thuyết 1. Hệ thức Viét
Cho phương trình bậc hai 2
ax + bx + c = 0(a ≠ 0) . Nếu x , x là hai nghiệm của phương trình thì: 1 2 b S x x − = + = và = = 1 2 . c P x x a 1 2 a
2. Ứng dụng của hệ thức Viét a) Nhẩm nghiệm
Xét phương trình bậc hai 2
ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) - Nếu c
a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x =1, nghiệm còn lại là x = 1 2 a - Nếu −c
a − b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x = 1
− , nghiệm còn lại là x = 1 2 a
b) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình 2
X − SX + P = 0 .
c) Xác định dấu của nghiệm Phương trình 2
ax + bx + c = 0(a ≠ 0) có hai nghiệm x , x 1 2 + Nếu c
P = x x = < 0 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu 1 2 a + Nếu c
P = x x = > 0 và S = x + x > 0 thì phương trình có hai nghiệm dương 1 2 a 1 2 + Nếu c
P = x x = > 0 và S = x + x < 0 thì phương trình có hai nghiệm âm 1 2 a 1 2
*) Chú ý: Để áp dụng hệ thức Viét phải chú ý đến điều kiện phương trình là phương trình bậc
hai có nghiệm a ≠ 0  ∆ ≥ 0
Dạng 1: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm là a ≠ 0  ∆ ≥ 0 1
Từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: b − = + = ; = . c S x x P x x = 1 2 1 2 a a
Bước 2: Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài theo tổng x + x và tích x x 1 2 1 2 Sau đó áp dụng bước 1
Chú ý: Một số biểu thức đối xứng giữa các nghiệm thường gặp là +) 2 2 2 2
A = a + b = (a + b) − 2ab = S − 2P +) 2 2 2
(a − b) = (a + b) − 4ab = S − 4P +) 2 2
a − b = (a + b) − 4ab = S − 4P +) 1 1 a + b S + = = a b ab P +) 3 3 3 3
a + b = (a + b) − 3ab(a + b) = S − 3SP +) 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
a +b = (a + b ) − 2a b = (S − 2P) − 2P Bài 1:
Giả sử x , x là hai nghiệm của phương trình 2
x − 5x + 3 = 0 . Không giải phương trình hãy tính 1 2
giá trị của các biểu thức sau a. 2 2
A = x + x b. 3 3
B = x + x 1 2 1 2 c. 1 1 C = +
d. D = x − x 4 4 x x 1 2 1 2 Lời giải
Ta có: ∆ =13 > 0 ⇒ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x , x . 1 2
Áp dụng hệ thức Viet ta có x + x = 5 1 2  x x =  3 1 2 a) Ta có: 2 2
A = x + x = (x + x )2 2
− 2x x = 5 − 2.3 =19 1 2 1 2 1 2 b) Ta có: 3 3
B = x + x = x + x − 3x x x + x = 80 1 2 ( 1 2)3 1 2 ( 1 2 ) 1 1 x + x ( 2 2 4 4 x + x − 2 x x 1 2 )2 ( 1 2)2 c) Ta có: 343 1 2 C = + = = = 4 4 x x x x x x 81 1 2 ( 1 2)4 ( 1 2)4 d) Ta có 2
D = x − x ⇒ D = (x − x )2 2 2
= x + x − 2x x 1 2 1 2 1 2 1 2 2
= (x + x )2 − 4x x ⇒ D = x − x = (x + x )2 − 4x x = 13 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Bài 2: Cho phương trình 2 3
− x − 5x − 2 = 0 . Với x , x là nghiệm của phương trình, không giải phương 1 2
trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau a. 1 1 M = x + + + x b. 1 1 N = + 1 2 x x x + 3 x + 3 1 2 1 2 c. x − 3 x − 3 x x 1 2 P = + c. 1 2 Q = + 2 2 x x x + 2 x + 2 1 2 2 1 Lời giải
Ta có: ∆ = 25− 4.3.2 =1> 0 ⇒ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x , x . 1 2
Áp dụng hệ thức Viet ta có 5 − 2 x + x = ; x x = 1 2 1 2 3 3 a) Ta có: 1 1  1 1  2 − 5 M = x + +
+ x = x + x +  +  ⇒ M = 1 2 ( 1 2) x xx x  6 1 2 1 2 b) Ta có: 1 1 x + x + 6 13 1 2 N = + = ⇒ N =
x + 3 x + 3 x x + 3 x + x + 9 14 1 2 1 2 ( 1 2) 2 2 2 2 c) Ta có:
x − 3 x − 3 x x − 3x + x x − 3x 49 − 1 2 1 2 2 1 2 1 P = + = ⇒ P = 2 2 x x x x 4 1 2 ( 1 2)2 2 2 d) Ta có: x x
x + 2x + x + 2x 17 − 1 2 1 1 2 2 Q = + = ⇒ Q =
x + 2 x + 2 x x + 2 x + x + 4 12 2 1 1 2 ( 1 2) Bài 3:
Giả sử x , x là hai nghiệm của phương trình: 2
x − 5x −1 = 0. Không giải phương trình hãy tính 1 2
giá trị của các biểu thức sau a. 2 2
A = x + x − x − x b. 4 4
B = x + x 1 2 1 2 1 2 c. 1 1 C = +
d. D = x − x 3 3 x x 1 2 1 2 Lời giải
a) Ta có ∆ = 29 > 0 ⇒ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, theo định lý Viet, ta có: 2 2
x + x = 5; x .x = 1
− ⇒ A = (x + x ) − 2x x − (x + x ) = 5 − 2( 1 − ) − 5 = 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 b) 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
B = x + x = (x + x ) − 2x x = (x + x ) − 2x x  − 2x x = 727 1 2 1 2 1 2  1 2 1 2  1 2 2 3 3 1 1 x + x
(x + x ) (x + x ) − 3x x  c) 1 2  1 2 1 2 1 2 C  = + = = = 140 − 3 3 3 3 3 x x x x (x x ) 1 2 1 2 1 2 d) 2 2 2 2 2
D = x − x ⇒ D = (x − x ) = x + x − 2x x = (x + x ) − 4x x = 29 ⇒ D = 29(D ≥ 0) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Bài 4:
Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình 2
x − 3x −1 = 0 . Tính giá trị của các biểu thức sau 1 2 a. 2 2
A = x + x b. 3 3
B = x (x −1) + x (x − x ) 1 2 1 1 2 2 1 c. 1 1 C = − 2 2 x x 1 2 Lời giải
a) Ta có: ∆ =13 > 0 ⇒ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, theo định lý Viet, ta có: x x ∆ + = 3; x .x = 1; − x − x = 1 2 1 2 1 2 a 2 2 2 2
A = x + x = (x + x ) − 2x x = 3 − 2( 1 − ) =11 1 2 1 2 1 2 b) 3 3 4 4 3 3 2 2 2 2 2 2 2
B = x (x −1) + x (x − x ) = x + x −(x + x ) = (x + x ) − 2x x − (x + x )(x + x − x x ) 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 =11 − 2 − 3(11+1) = 83 ∆ .3 c. 1 1
(x − x )(x + x ) a 1 2 1 2 C = − = = = 3 13 2 2 2 2 x x x x 1 1 2 1 2 Bài 5: Cho phương trình 2
x − 2(m − 2) x + 2m −5 = 0 ( m là tham số)
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x 1 2
b) Với m vừa tìm được ở trên, tìm biểu thức liên hệ giữa x , x không phụ thuộc vào m 1 2 Lời giải
a) Ta có: ∆ = (m − )2 ' 3 ≥ 0 m
∀ ⇒ phương trình có hai nghiệm x , x với mọi m khi m ≠ 3 1 2
b) Áp dụng hệ thức Viét ta có x + x = 2m − 4 1 2 
⇒ x + x − x x =1 1 2 1 2 x x = 2m −  5 1 2 4
Vậy biểu thức liên hệ giữa x , x không phụ thuộc vào tham số m là: x + x − x x =1. 1 2 1 2 1 2 Bài 6: Cho phương trình 2
x + (m + 2) x + 2m = 0 . Với giá trị nào của tham số m thì phương trình có hai
nghiệm phân biệt x , x ? Khi đó, hãy tìm biểu thức liên hệ giữa x , x không phụ thuộc vào 1 2 1 2 tham số m . Lời giải Ta có: ∆ = (m + )2 2
2 −8m = m − 4m + 4 = (m − 2)2 ≥ 0 m
∀ ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt
x , x với mọi m khi m ≠ 2 1 2
Biểu thức liên hệ giữa x , x không phụ thuộc vào tham số m là 2(x + x + x x = 4 − 1 2 ) 1 2 1 2
Bài 7: Tuyển sinh vào 10 HCM, năm học 2014 - 2015 Cho phương trình 2
x − mx −1 = 0 (1) ( x là ẩn số)
a. Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu
b. Gọi x , x là các nghiệm của phương trình (1). 1 2 2 2
Tính giá trị của biểu thức
x + x −1 x + x −1 1 1 2 2 A = − x x 1 2 Lời giải a. Ta có ac = 1
− < 0 ⇒ phương trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu
b. Ta có x là nghiệm của phương trình (1) 2 2
⇒ x − mx −1 = 0 ⇒ x −1 = mx 1 1 1 1 1 Tương tự ta có 2
(m +1)x (m +1)x 1 2
x −1 = mx ⇒ A = − = 0 2 2 x x 1 2 Vậy A = 0 .
Bài 8: Tuyển sinh vào 10 Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng, năm học 2014 - 2015
Gọi x , x là các nghiệm của phương trình 2
x + 2013x + 2 = 0 và x , x là các nghiệm của phương 1 2 3 4 trình 2
x + 2014x + 2 = 0 . Tính A = (x + x )(x − x )(x + x )(x − x ) 1 3 2 3 1 4 2 4 Lời giải
Ta có ∆ ,∆ > 0 ⇒ hai phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 Theo định lý Viet ta có: 5 x + x = 2013 − x + x = 2014 − 1 2 3 4 2 2  ;
;(x + x )(x + x ) = x + x (x + x ) + x x = x − 2014x + 2 1 3 1 4 1 1 3 4 3 4 1 1 x .x = 2 x .x =   2 1 2 3 4 Lại có: 2 2
x + 2013x + 2 = 0 → x + 2 = 2013 −
x → (x + x )(x + x ) = 4027 − x 1 1 1 1 1 3 2 4 1 +) 2 2 2
(x − x )(x − x ) = x − x (x + x ) + x x = x + 2014x + 2 = x (do : x + 2013x + 2 = 0) 2 3 2 4 2 2 3 4 3 4 2 2 2 2 2 ⇒ A = 4027 − x x = 8054 − 1 2 Bài 9: Cho phương trình 2
x − 2(m +1)x + 2m − 2 = 0 ( x là ẩn số ) (1)
a. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
b. Gọi hai nghiệm của (1) là x , x . Tính theo m giá trị của biểu thức 2
A = x + 2(m +1)x + 2m − 2 1 2 1 2 Lời giải a. 2
∆ ' = m + 3 > 0 m ∀
b. Theo định lý Viet ta có: x + x = 2(m +1) 1 2
Vì x1 là nghiệm của phương trình nên ta có: 2 2
x − 2(m +1)x + 2m − 2 = 0 ⇒ x + 2m − 2 = 2(m +1)x 1 1 1 1 2
⇒ A = 2(m +1)x + 2(m +1)x = 2(m +1)(x + x ) = 4(m +1) 1 2 1 2
Bài 10: Chuyên Toán Hà Tĩnh, năm học 2014 - 2015
Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình 2
x − x −1 = 0. Không giải phương trình. chứng minh 1 2
rằng P(x ) = P(x ) với P(x) = 3x − 33x + 25 1 2 Lời giải
Dễ thấy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lý Viet ta có: x + x =1;x .x = 1 − 1 2 1 2
Ta có: P(x ) = P(x ) ↔ 3x − 33x + 25 = 3x − 33x + 25 1 2 1 1 2 2
⇔ 3(x − x ) − ( 33x + 25 − 33x + 25) = 0 1 2 1 2 33(x − x ) 1 2
⇔ 3(x − x ) − = 0 1 2
33x + 25 + 33x + 25 1 2 11 ⇔ 1−
= 0 ⇔ 33x + 25 + 33x + 25 =11 1 2
33x + 25 + 33x + 25 1 2 6 2
⇔ ( 33x + 25 + 33x + 25) =121 ⇔ 33(x + x ) + 50 + 2 (33x + 25)(33x + 25) =121(*) 1 2 1 2 1 2 VT 2 2 2 2
(*) = 33.1+ 50 + 2 33 x x + 33.25(x + x ) + 25 = 83+ 2 33 − + 2533+ 25 1 2 1 2
= 83+ 2 361 = 83+ 83 =121 = VP .
Bài 11: Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định, năm học 2014 - 2015 Cho phương trình 2
x − 2x + 2 − m = 0 (1) ( m là tham số)
a. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
b. Giả sử x , x là hai nghiệm của phương trình (1). 1 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2
A = x x + 3(x + x ) − 4 1 2 1 2 Lời giải
a. Phương trình có nghiệm ⇔ ∆' =1− (2 − m) = m −1≥ 0 ⇔ m ≥1
b. Với m ≥1⇒ x + x = 2; x .x = 2 − m 1 2 1 2 Khi đó 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A = x x + 3(x + x ) − 4 = x x + 3(x + x ) − 6x x − 4 = (2 − m) + 3.2 − 6(2 − m) − 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2
= (2 − m) − 6(2 − m) + 9 −1 = (2 − m − 3) −1 = (m +1) −1 Do 2 2
m ≥1→ (m +1) ≥ 2 = 4 ⇒ A ≥ 4 −1 = 3 ⇔ m =1⇒ A = 3 min
Bài 12: Chuyên Toán Lào Cai, năm học 2014 - 2015 Cho phương trình 2
x − 2mx + 2 − m = 0 (1) ( m là tham số)
a. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b. Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình (1). 1 2 Tìm m để biểu thức 24 M − =
đạt giá trị nhỏ nhất 2
2mx + x − 6x x − m + 2 1 2 1 2 Lời giải a. Ta có: 2 2 1 2 7
∆ ' = m − (m − 2) = m − m + 2 = (m − ) + > 0, m ∀ 2 4
b. Theo Viet, ta có: x + x = 2 ;mx .x = m−2 1 2 1 2
Do x là nghiệm của (1) nên 2 2
x − 2mx + m − 2 = 0 → x = 2mx − m + 2 2 2 2 2 2 Do đó 2
2mx + x − 6x x − m + 2 = 2m(x + x ) − 6x x − 2m + 4 = 2 .2
m m − 6(m − 2) − 2m + 4 1 2 1 2 1 2 1 2 7 2 2 24
4m 8m 16 4(m 1) 12 12 M − = − + = − + ≥ ⇒ ≥ = 2
− . Dấu “=” xảy ra ⇔ m =1 12
Dạng 2: Giải phương trình bằng phương pháp nhẩm nghiệm
Cách giải: Sử dụng ứng dụng của hệ thức Vi-ét Bài 1:
Xét tổng a + b + c hoặc a −b + c rồi tính nhẩm các nghiệm của các phương trình sau a) 2
15x −17x + 2 = 0 b) 2
1230x − 4x −1244 = 0 c) ( − ) 2 2
3 x + 2 3x − (2+ 3) = 0 d) 2
5x − (2− 5) x − 2 = 0 Lời giải a) Ta có: 2
a + b + c =15 −17 + 2 = 0 ⇒ x =1; x = 1 2 15 b) Ta có: 1234
a − b + c = 0 ⇒ x = 1; − x = 1 2 1230
c) Ta có: a + b + c = 0 ⇒ x =1; x = 7 − − 4 3 1 2 d) Ta có: 2 5
a − b + c = 0 ⇒ x = 1; − x = 1 2 5 Bài 2:
Xét tổng a + b + c hoặc a −b + c rồi tính nhẩm các nghiệm của các phương trình sau a) 2
7x − 9x + 2 = 0 b) 2
23x − 9x − 32 = 0 c) 2
1975x + 4x −1979 = 0 d) 2
31,1x − 50,9x +19,8 = 0 Lời giải a) Ta có: 2
a + b + c = 0 ⇒ x =1; x = 1 2 7 b) Ta có: 32
a − b + c = 0 ⇒ x = 1; − x = 1 2 23 c) Ta có: 1979 a b c 0 x 1; x − + + = ⇒ = = 1 2 1975 d) Ta có: 198
a + b + c = 0 ⇒ x =1; x = 1 2 311 8 Bài 3:
Cho phương trình (m − ) 2
2 x − (2m + 5) x + m + 7 = 0 với m là tham số
a) Chứng minh phương trình luôn có một nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
b) Tìm các nghiệm của phương trình đã cho theo tham số m Lời giải
a) Ta có: a + b + c = (m − 2) + ( 2
− m − 5) + m + 7 = 0 ⇒ phương trình luôn có nghiệm x =1 không phụ thuộc vào m
b) Với m = 2 phương trình có một nghiệm x =1 Với m +
m ≠ 2 phương trình có hai nghiệm x =1 và 7 x = . m − 2 Bài 4:
Cho phương trình ( m − ) 2 2
1 x − (m −3) x − 6m − 2 = 0 với m là tham số
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm x = 2 −
b) Tìm các nghiệm của phương trình đã cho theo tham số m . Lời giải a) Thay x = 2
− vào phương trình đã cho, ta có: ( m − )(− )2 2 1 2 + (m − 3)( 2
− ) − 6m − 2 = 0 (đúng). Vậy x = 2
− là nghiệm của phương trình. b) Với 1
m = : phương trình chỉ có một nghiệm x = 2 − 2 Với 1
m ≠ : phương trình có hai nghiệm  3m +1 x  2;  ∈ − . 2  2m 1 −  Bài 5: Cho phương trình 2 mx − (m + ) 2 3
1 x + m −13m − 4 = 0 (với m là tham số). Tìm các giá trị của m để
phương trình có một nghiệm là x = 2.
− Tìm nghiệm còn lại Lời giải Thay x = 2
− vào phương trình ta tìm được m =1 hoặc m = 2 - Với x = 8 m =1, ta có: 2
x − 6x −16 = 0 ⇔  x = 2 − 9  13 - Với x = m = 2 , ta có: 2 2x 9x 26 0  − − = ⇔ 2  x = 2 −
Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích
Cách giải: Để tìm hai số x, y khi biết tổng S = x + y và tích P = xy, ta làm như sau
Bước 1: Giải phương trình 2
X − SX + P = 0 để tìm các nghiệm X , X 1 2
Bước 2: Khi đó các số x, y cần tìm là x = X ; y = X hoặc x = X ; y = X 1 2 2 1 Bài 1:
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v =15;uv = 36 b) 2 2
u + v =13;uv = 6 Lời giải a) Ta có X =12
u,v là hai nghiệm của phương trình sau 2
X −15X + 36 = 0 ⇔  X = 3 ⇒ (u;v)∈ ( { 12;3);(3;12)} b) Ta có (  + = u + v)2 u v 5 2 2
= u + v + 2uv =13+ 2.6 = 25 ⇔  u + v = 5 − - Với X = 2
u + v = 5 ta có u,v là hai nghiệm của phương trình sau 2
X − 5X + 6 = 0 ⇔  X = 3 - Với X = 2 − u + v = 5
− ta có u,v là hai nghiệm của phương trình sau 2
X + 5X + 6 = 0 ⇔  X = 3 − Vậy (u;v)∈ ( { 2;3);(3;2);( 2 − ; 3 − );( 3 − ; 2 − )}. Bài 2: Tìm hai số biết:
a. Tổng bằng 4 và tích bằng 1 b. Tổng bằng 6 và tích bằng 9 Lời giải
a. Hai số ần tìm là nghiệm của phương trình: 2
X − 4X +1 = 0 ⇔ x = 2 + 5; x = 2 − 5 1 2
b. Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình: 2
X − 6X + 9 = 0 ⇔ x = x = 3 1 2 10 Bài 3:
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2 + 3 và 2 − 3 Lời giải
a) Ta có: (2+ 3)+(2− 3) = 4;(2+ 3)(2− 3) =1.
Do đó 2 + 3 và 2 − 3 là hai nghiệm của phương trình sau: 2 X − 4X +1 = 0 Bài 4:
Tìm phương trình bậc hai biết nó nhận 7 và -11 là nghiệm. Lời giải
Ta có phương trình cần lập là 2
X + 4X − 77 = 0 . Bài 5:
Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình: 2
x − x −1 = 0. Lập phương trình bậc hai có hai 1 2 nghiệm là
a. x +1; x +1 b. 2 2
x + x ; x + x 1 2 1 2 2 1 c. x x x +1 x +1 1 2 ; d. 2 1 ; x x x x 2 1 1 2 Lời giải Ta có ac = 1
− < 0 ⇒ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x , x 1 2
Theo Viet ta có: x + x =1; x .x = 1 − 1 2 1 2
a. Có: (x +1) + (x +1) = x + x +1+1= 3;(x +1)(x +1) = x x + x + x +1= 1 − +1+1 =1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
⇒ x +1; x +1 là nghiệm của phương trình 2 x − 3x +1 = 0 1 2 b. 2 2 2
(x + x ) + (x + x ) = (x + x ) − 2x x + x + x = 4 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 3 3
(x + x )(x + x ) = x x + x + x + x x = (x + x ) − 3x x (x + x ) = 4 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2
⇒ x + x ; x + x là nghiệm của phương trình 2
x − 4x + 4 = 0 1 2 2 1 2 2 2 c. x x x + x
(x + x ) − 2x x + x + x 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 + = = = 4 − x x x x x x 2 1 1 2 1 2
x +1 x +1 x x + x + x +1 x x 2 1 1 2 1 2 . = = 1 − 1 2 ⇒ ;
là nghiệm của phương trình 2 x + 4x −1 = 0 x x x x x x 1 2 1 2 2 1 11 Bài 6: Cho phương trình 2
x + 5x − 3m = 0 ( m là tham số)
a) Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm là x và x 1 2
b) Với điều kiện m tìm được ở câu a), hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2 2 x1 và 2 2 x2 Lời giải a) Ta có: 25 25 12m 0 m − ∆ = + ≥ ⇔ ≥ 12 2 2 2( 2 2 x + x 1 2 ) b) Ta có: 50 +12m S = + = = và 2 2 4 4 P = . = = 2 2 x x (x x )2 2 9m 2 2 2 x x x x 9m 1 2 1 2 ( 1 2)2 1 2 Với điều kiện: 25 0 m − ≠ ≥
thì ta có 2 và 2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai sau: 12 2 x 2 x 1 2 2 50 +12m 4 2 2 X − X +
= 0 ⇔ 9m X − 2 6m + 25 X + 4 = 0 . 2 2 ( ) 9m 9m Bài 7: Cho phương trình 2
3x + 5x − m = 0 ( m là tham số)
a) Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm là x và x 1 2
b) Với điều kiện m tìm được ở câu a) hãy viết phương trình bậc hai có hai nghiệm là x1 x +1 2 và x2 x +1 1 Lời giải
a) Điều kiện của m là: 25 m − ≥ 12
b) Phương trình cần lập là: 2 10 + 6m m  25 X X − 0 2 m  + + = − ≠ ≥ 3m 6 m 2 12  + +   Bài 8:
1. Cho a = 11+ 6 2,b = 11− 6 2 . Chứng minh rằng a,b là hai nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số nguyên 12 2. Cho 3 3 2 2
c = 6 3 +10,d = 6 3 −10,CMR : c ,d là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số nguyên. Lời giải 1. Ta có 2 2
a + b = 11+ 6 2 + 11− 6 2 = (3+ 2) + (3− 2) = 6;ab = 121− 72 = 7
Vậy a, b là hai nghiệm của phương trình: 2 x 6
− x + 7 = 0(dpcm) 2. 2 3 3 3 2 3
c = 20 +120 3 = (4 + 2 3) = 4 + 2 3;b = (4 − 2 3) = 4 − 2 3 2 2 2 2 2
→ c + d = 8;c .d =16 −12 = 4 → x −8x + 4 = 0 Bài 9: Cho phương trình: 2
x −mx + 9 = 0 ( m là tham số )
a. Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm kép
b. Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm x , x hãy lập phương trình bậc hai có 1 2
nghiệm là hai số x x 1 2 ; x x 2 1 Lời giải a) 2
∆ = m − 36 = 0 ⇔ m = 6 ±
b) Phương trình có hai nghiệm
x + x = m 2 1 2
x , x ⇔ ∆ > 0 ⇔ m − 36 > 0 ⇔ m > 6 ⇒ 1 2 x .x =  9 1 2 2 2 2 2 Ta có: x x x + x
(x + x ) − 2x x m −18 x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 + = = = ; . =1 x x x x x x 9 x x 2 1 1 2 1 2 2 1 2
Vậy hai nghiệm là nghiệm của phương trình: 2 m −18 x − x +1 = 0 9 Bài 10:
Cho a và b là hai số thỏa mãn đẳng thức 2 2
a + b + 3ab −8a −8b − 2 3ab +19 = 0(1)
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm a và b . Lời giải Ta có 2 2 2
(1) ⇔ (a + b) −8(a + b) +16 + ab − 2 3ab + 3 = 0 ⇔ (a + b − 4) + ( ab − 3) = 0
a + b − 4 = 0 a + b = 4 2 ⇔  ⇔ 
⇒ x − 4x + 3 = 0.  ab − 3 = 0 ab = 3 13 Bài 11:
Tìm hai số x và y , biết:
a. Tổng của chúng bằng 4 và tổng bình phương bằng 10
b. Tổng của chúng bằng 3 và tổng lập phương bằng 9
c. Tích của chúng bằng 2 và tổng lập phương bằng – 9
d. Tích của chúng bằng -2, tổng lập phương bằng -7 Lời giải  + =  + = a. x y 4 x y 4 x + y = 4 a =1 2  ⇔  ⇔ 
⇒ a − 4a + 3 = 0 ⇔ 2 2 2 x + y =10
(x + y) − 2xy =10 xy 3  = a = 3
Vậy hai số cần tìm là 1 và 3.  + =  + = b. x y 3 x y 3 x + y = 3 a =1 2  ⇔  ⇔ 
⇒ a − 3a + 2 = 0 ⇔ 3 3 3 x + y = 9
(x + y) − 3xy(x + y) = 9 xy 2  = a = 2  =  = c. xy 2 xy 2  ⇔  3 3
(x + y) − 3xy(x + y) = 9 −
(x + y) − 6(x + y) + 9 = 0 Đặt x + y = 3 − 3 3 2
(x + y) − 6(x + y) + 9 = 0 ⇔ m − 6m + 9 = 0 ⇔ (m + 3)(m − 3m + 3) = 0 ⇔ m = 3 − ⇒  xy = 2 2
⇒ A + 3A + 2 = 0 ⇒ x = 1; − x = 2 − 1 2  = −  = − d. xy 2 xy 2 xy = 2 − 3  ⇔ 
⇒ (*) ⇔ S + 6S + 7 = 0 ⇔ S = 1 − ⇔  3 3 3 x + y = 7 −
(x + y) + 6(x + y) + 7 = 0(*) x + y = 1 − 2
⇒ A + A − 2 = 0 ⇔ x =1; x = 2 − Bài 13:
Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình 2
x − 4x +1 = 0 . Lập phương trình bậc hai có hai 1 2 nghiệm là:
a. 3x − 2x ;3x − 2x
x − x ; x − x 1 2 2 1 b. 2 2 1 2 2 1 2 2 c. x x
x + x x + x 1 2 ; 2 1 1 2 ;
x +1 x +1 d. x x 2 1 1 2 e. 2 2
x + 5x +1; x + 5x +1
2x − x ; 2x − x 2 1 1 2 f. 1 2 2 1 Lời giải 14 Ta có: x + x = 4 1 2 ∆ = 3 > 0 ⇒  x .x =  1 1 2 a) 2 2 2
3x − 2x + 3x − 2x = x + x = 4;(3x − 2x )(3x − 2x ) =13x x − 6(x + x ) = 25x x − 6(x + x ) = 71 − 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 Vậy ta được: 2
x − 4x − 71 = 0 b) 2 2 2
x − x + x − x = (x + x ) − 2x x − (x + x ) =10 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 3 3
(x − x )(x − x ) = x x − (x + x ) + x x = 2 − (x + x ) + 3x x (x + x ) = 5 − 0 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Vậy ta được 2
x −10x − 50 = 0 2 2 2 c. x x
x + x + x + x
(x + x ) − 2x x + x + x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 + = = = 3 x +1 x +1 (x +1)(x +1)
x x + x + x +1 2 1 1 2 1 2 1 2 x x x x 1 1 1 1 2 1 2 2 . = =
= → x − 3x + = 0
x +1 x +1 (x +1)(x +1) x x + x + x +1 6 6 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 3 3
d. x + x x + x x + x 2 1 1 2 1 2 3 + =
+ 2 = (x + x ) − 3x x (x + x ) + 2 = 54 1 2 1 2 1 2 x x x x 1 2 1 2 2 2 2 2
x + x x + x
(x + x )(x + x ) 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 3 3 3 . =
= x x + x + x + x x = 2 + (x + x ) − 3x x (x + x ) = 54 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x 1 2 1 2 2
⇒ x − 54x + 54 = 0 e. 2 2
x + 5x +1; x + 5x +1 2 1 1 2
Ta có x là nghiệm của phương trình 2 2
⇒ x = 4x −1⇒ x + 5x +1 = 4x −1+ 5x +1 = x +16 1 1 1 1 2 1 2 2 Tương tự: 2
x + 5x +1 = x +16 2 1 1 Mà 2
(x +16) + (x +16) = x + x + 32 = 36;(x +16)(x +16) = x x +16(x + x ) +16 = 321 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
⇒ x − 36x + 321 = 0 f. 2 2 2
2x − x . 2x − x = 5x x − 2(x + x ) = 9x x − 2(x + x ) = 23 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 Đặt 2 2 2
a = 2x − x + 2x − x ,a ≥ 0;a = (2x − x ) + (2x − x ) + 2 2x − x . 2x − x 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2
= 5(x + x ) −8x x + 46 2 2
= 5(x + x ) −18x x + 46 =108 → a = 6 3 → x − 6 3x + 23 = 0 1 2 1 2 1 2 1 2 15
Dạng 4: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Cách giải: Xét phương trình 2
ax + bx + c = 0(a ≠ 0). Khi đó:
1. Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0
2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu ∆ > 0 ⇔  P > 0 ∆ > 0
3. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  ⇔ S > 0 P >  0 ∆ > 0
4. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt  ⇔ S < 0 P >  0
5. Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương P < 0 ⇔  S < 0
*) Chú ý: Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ;
Phương trình có hai nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 Bài 1:
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình: a) 2 x − 2(m − )
1 x + m +1 = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu b) 2
x −8x + 2m + 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt c) 2
x − 2(m −3) x +8− 4m = 0 có hai nghiệm phân biệt âm d) 2
x − 6x + 2m +1 = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dương e) 2 x − 2(m − )
1 x − 3− m = 0 có đúng một nghiệm dương Lời giải
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0 ⇔ m < 1 −
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt 2
⇔ ∆ = 8 − 4(2m + 6) > 0 ⇔ m < 5 2 ∆ > 0
4m −8m + 4 > 0
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng âm    <
⇔ S < ⇔  (m − ) m 2 0 2 3 < 0 ⇔    m ≠ 1 P > 0 8 − 4m > 0  16 ∆ > 0 32  − 8m > 0
d) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dương   1 ⇔ S − > 0 ⇔ 6 > 0 ⇔ < m < 4 2 P 0  > 2m +1 >   0
e) Vì ∆ = (m − )2 − (− − m) = ( m − )2 4 1 4 3 2 1 +15 > 0, m
∀ ∈ Z ⇒ phương trình luôn cí hai nghiệm phân biệt
Phương trình có đúng một nghiệm dương ac = 3
− − m < 0 ⇔ m > 3 − Bài 2:
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình: a) 2 x − (m + ) 2 2 3
1 x + m − m − 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu. b) 2 3mx + 2(2m + )
1 x + m = 0 có hai nghiệm âm c) 2
x + mx + +m −1 = 0 có hai nghiệm lớn hơn m d) 2
mx − 2(m − 2) x + 3
+ (m − 2) = 0 có hai nghiệm cùng dấu. Lời giải
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ 1 − < m < 2 m > 0
b) Phương trình có hai nghiệm âm ⇔  m ≤ 2 − − 3
c) Phương trình có hai nghiệm lớn hơn m ⇔ m < 1 −
d) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu ⇔ 1 − ≤ m < 0
Bài 3: Tuyển sinh vào 10 Hải Phòng, năm học 2012 - 2013 Cho phương trình: 2
x + mx − m −1 = 0(1) ( m là tham số )
a. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m
b. Tìm m để phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm không dương Lời giải a) Ta có 2
∆ = (m + 2) ≥ 0, m
∀ ⇒ phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Phương trình có ít nhất 1 nghiệm không dương nên ta có các trường hợp sau:
+) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ P = −m −1< 0 ⇔ m > 1 −
+) Phương trình có một nghiệm bằng 0 ⇔ P = 0 ⇔ −m −1= 0 ⇔ m = 1 − 17
+) Phương trình có hai nghiệm âm S = −m < 0 m > 0 ⇔  ⇔ (vô nghiệm) P m 1 0  = − − > m < 1 − Vậy m ≥ 1
− là các giá trị cần tìm.
Bài 4: Tuyển sinh vào 10 Chuyển Toán Long An, năm học 2014 - 2015 Cho phương trình 2
x − x + m = 0(1) ( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x sao cho x < x < 2 1 2 1 2 Lời giải
Cách 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1
⇔ ∆ =1− 4m > 0 ⇔ m < (*) 4 Khi đó: x − 2 < 0
x − 2 + x − 2 < 0
x + x − 4 < 0 1 1 2 1 2
x < x < 2 ⇔  ⇔  ⇔ 1 2 x 2 0 (x 2)(x 2) 0  − < − − >
x x − 2(x + x ) + 4 >    0 2 1 2 1 2 1 2 1  − 4 < 0 ⇔  ⇔ m > 2 − . m − 2 + 4 > 0
Kết hợp với (*) ta được: 1 2 − < m < 4 Cách 2: Vì 1+ ∆ ' 1+ ∆ '
x > x ⇒ x =
⇒ x < x < 2 ⇔ x < 2 ⇔
< 2 ⇔ ∆ ' < 3 ⇔ ∆ ' < 9 2 1 2 1 2 2 2 2
⇔ 1− 4m < 9 ⇔ m > 2 −
Kết hợp với (*) ta được: 1 2 − < m < 4
Bài 5: Tuyển sinh vào 10 Chuyển Toán Phú Yên, năm học 2014 - 2015 Cho phương trình 3 2 2 2
x − (2m +1)x + (2m −m + 2)x − (2m −3m + 2) = 0 ( m là tham số ).
Tìm m để phương trình có ba nghiệm dương phân biệt Lời giải
Ta có a + b + c = 0 nên phương trình có 1 nghiệm bằng 1 x −1 = 0 2 2
(1) ⇔ (x −1)(x − 2mx + 2m − 3m + 2) = 0 ⇔  2 2
x − 2mx + 2m − 3m + 2 = 0 (2) Yêu cầu của bài toán ∆ >
⇔ (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1 ' 0 ⇔ 
a + b + c ≠ 0 18 2 2 2  3  3
m − (2m 3 − m + 2) > 0
2m −5m + 3 ≠ 0 m ≠ 1;m ≠ m ≠ ⇔  ⇔  ⇔  2 ⇔  2 (*) 2 2 1
 − 2m + 2m − 3m + 2 ≠ 0
−m + 3m − 2 > 0 1  < m < 2 1  < m < 2  = >
Hai nghiệm của pt(2) dương S 2m 0 ⇔  ⇔ m > 0 (**) 2
P = 2m − 3m + 2 > 0 Vậy 3
m ≠ ;1< m < 2 là các giá trị cần tìm 2 Bài 6:
Tìm m để phương trình 2 2 2 2
(m +1)x + (2m +1)x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt x , x (x < x ) sao 1 2 1 2 cho 2 3 x = x − 2 1 2 Lời giải 2 2 2 Có: −m −m −m
a + b + c = 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm: x = 1; − x = ; > 1 − ⇒ x = 1; − x = 2 2 1 2 2 m +1 m +1 m +1 2 Yêu cầu bài toán −m 2 3 2 2 ⇔ = ( 1) −
− ⇔ 2m = m +1 ⇔ m = 1 ± 2 m +1 2 Vậy m = 1
± là các giá trị cần tìm. Bài 7: Cho phương trình 2
mx − (2m +1)x + m −3 = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng âm Lời giải
Yêu cầu bài toán ⇔ a ≠ 0,∆ > 0,S < 0, P > 0
+) a ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 +) 1 16m 1 0 m − ∆ = + > ⇔ > 16  1 − 2 +1 > 0 m m >  2   +  <   < +) 2m 1 m 0 m 0 1 S − = < 0 ⇔ ⇔ ⇔ < m < 0 m
2m +1< 0  1 − 2    m < m > 0  2 (v . o nghiem)  m > 0 19 +) m − 3 m > 3 P > 0 ⇔ > 0 ⇔ m  m < 0 Vậy 1
− < m < 0 là các giá trị cần tìm. 16
Dạng 5: Xác định điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn hệ thức cho trước
Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ∆ ≥ 0
Bước 2: Từ hệ thức đã cho và hệ thức Viét, tìm được điều kiện của tham số
Bước 3: Kiểm tra điều kiện của tham số có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận Bài 1: Cho phương trình 2 x 5
− x + m + 4 = 0 . Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có hai
nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 1 2 a) x + x = 4 b) 3x + 4x = 6 1 2 1 2 c) x x 1 2 + = 3 −
d) x 1−3x + x 1−3x = m − 23 1 ( 2 ) 2 ( 1 ) 2 x x 2 1 Lời giải Ta có: 2
∆ = 5 − 4(m + 4) = 9 − 4m
Phương trình có hai nghiệm phân biệt 9
⇔ ∆ > 0 ⇔ m < . 4
Theo hệ thức Viét ta có: x + x = 5 1 2  x x = m +  4 1 2
a) Ta có: x + x = 4 ⇔ (x + x )2 − 2x x 2
+ x x =16 ⇒ 2 m + 4 = 2m −1 ⇔ m∈∅ 1 2 1 2 1 2 1 2
b) Ta có: 3x + 4x = 6 ⇔ 3 x + x + x = 6 ⇒ x = 9 − 1 2 ( 1 2) 2 2 Vì x = 9
− là nghiệm của phương trình nên ta có: (− )2 9 − 5.( 9 − ) + + = ⇔ = − 2 m 4 0 m 130 c) Ta có: x x + = 3
− ⇔ (x + x )2 1 2
+ x x = 0 ⇔ m = 29 − 1 2 1 2 x x 2 1
d) Ta có: x (1−3x ) + x (1−3x ) 2 2
= m − 23 ⇔ x + x − 6x x = m − 23 ⇔ m = 3 − ± 13 1 2 2 1 1 2 1 2 20 Bài 2: Cho phương trình 2
mx − 2(m +1)x + 2m +1 = 0 ( m là tham số). Tìm m để phương trình có hai
nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn: 1 2 a. 1 1 1 + = (x + x ) b. 3 3 x + x = 28 1 2 x x 3 1 2 1 2 Lời giải
Điều kiện: m ≠ 0  2
∆ ' = −m + m +1 > 0  2(m +1) x + x =  1 2
Áp dụng hệ thức Viét ta có  m  2m +1 x .x = 1 2  m a) 1 1 1 x + x 1 x + x = 0 1 2 1 2 + = (x + x ) ⇔
= (x + x ) ⇔ (x + x )(x x − 3) = 0 ⇔ 1 2 1 2 1 2 1 2 x x 3 x x 3 x x =  3 1 2 1 2 1 2
+) x + x = 0 ⇔ m = 1 − (thỏa mãn) 1 2 +) 2m +1 x x = 3 ⇔
= 3 ⇔ m =1 (thỏa mãn) 1 2 m b) 3 3 3 3 2
x + x = 28 ⇔ (x + x ) − 3x x (x + x ) = 28 ⇔ 16m − 3m − 9m − 4 = 0 1 2 1 2 1 2 1 2 2
⇔ (m −1)(16m +13m + 4) = 0 ⇔ m =1 Vậy m =1
Bài 3: Tuyển sinh vào 10 Tây Ninh, năm học 2014 - 2015
Chứng minh rằng phương trình: 2
x − 2(m +1)x + m − 4 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x , x và 1 2
biể thức M = x (1− x ) + x (1− x ) không phụ thuộc vào m 1 2 2 1 Lời giải Ta có 2
∆ ' = m + m + 5 > 0, m ∀
Áp dụng hệ thức Viét ta có x + x = 2m + 2 1 2 
x .x = m −  4 1 2
Có M = x − x x +x − x x = 2m + 2 − 2(m − 4) = 2m + 2 − 2m +8 =10 ⇒ đpcm. 1 1 2 2 1 2 21
Bài 4: Tuyển sinh vào 10 Đà Nẵng, năm học 2014 - 2015 Cho phương trình 2 2
x + 2(m − 2)x − m = 0 ( m là tham số)
a. Giải phương trình khi m = 0
b. Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x với x < x , tìm tất cả các giá 1 2 1 2
trị của m sao cho x − x = 6 1 2 Lời giải
a) Khi m = 0 ta tìm được x = 0 hoặc x = 4 b) Ta có 2
∆ ' = 2(m −1) + 2 > 0, m ∀
S = x + x = 2(2 − m)
Áp dụng hệ thức Viét ta có 1 2  2
P = x .x = −m ≤  0 1 2
Vì P ≤ 0 ⇒ x ≤ 0 ≤ x ⇒ x − x = 6 ⇔ −x − x = 6 ⇔ x + x = 6 − ⇔ m = 5 1 2 1 2 1 2 1 2
Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.
Bài 5: Tuyển sinh vào 10 Long An, năm học 2014 - 2015 Cho phương trình 2 x 2
− x + m = 0 ( x là ẩn và m là tham số)
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn x x 10 − 1 2 = + = 1 2 A x x 3 2 1 Lời giải
Ta có ∆' > 0 ⇔ m <1 (*)
Áp dụng hệ thức Viét ta có S = x + x = 2;P = x .x = m 1 2 1 2 x x 10 − 4 − 2m 10 − 1 2 A = + = ⇔ = ⇔ m = 3 − (thỏa mãn) x x 3 m 3 2 1 Vậy m = 3
− là giá trị cần tìm.
Bài 6: Tuyển sinh vào 10 Quảng Ninh, năm học 2014 - 2015 Cho phương trình 2
x +x + m − 5 = 0 ( x là ẩn và m là tham số)
a. Giải phương trình với m = 4
b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x ≠ 0 thỏa mãn: 1 2
6 − m − x 6 − m − x 10 1 2 + = x x 3 2 1 22 Lời giải  21
b) Phương trình có hai nghiệm
∆ =1− 4(m − 5) > 0 m <
x , x ≠ 0 ⇔  ⇔ 1 2  4 m − 5 ≠ 0 m ≠ 5
Áp dụng hệ thức Viét ta có x + x = 1 − 1 2 
x .x = m −  5 1 2 2 2
Ta có 6 − m − x 6 − m − x 10 10
(6 − m)x + (6 − m)x − x − x 10 1 2 1 2 1 2 + = = ⇔ = x x 3 3 x x 3 2 1 1 2 2
(6 − m)(x + x ) − (x + x ) + 2x x 10 1 2 1 2 1 2 ⇔ = x x 3 1 2 2
(6 − m)(x + x ) − (x + x ) + 2x x 10 3m −17 10 1 2 1 2 1 2 ⇔ = ⇔ = ⇔ m = 1 − ⇒ m = 1 − x x 3 m − 5 3 1 2 Vậy m = 1
− là giá trị cần tìm.
Bài 7: Chuyên Toán Hải Dương, năm học 2013 - 2014 Cho phương trình: 2
x − 2(m −1)x + 2m − 5 = 0 ( m là tham số).
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m ∀
b. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn: 1 2 2 2
(x − 2mx + 2m −1)(x − 2mx + 2m −1) < 0 1 1 2 2 Lời giải a. 2 ∆ ' = (m − 2) 2 + > 0, m ∀
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
b. Theo Viet ta có x + x = 2(m −1) 1 2  x x = 2m −  5 1 2
Vì x là nghiệm của phương trình 2 2
⇒ x − 2(m −1)x + 2m − 5 = 0 ⇔ x − 2mx + 2m −1 = 2 − x + 4 1 1 1 1 1 1 Tương tự: 2 2 2
x − 2mx + 2m −1 = 2
− x + 4 ⇔ (x − 2mx 2
+ m −1)(x − 2mx + 2m −1) < 0 2 2 2 1 1 2 2 ⇔ ( 2 − x + 4)( 2 − x 4)
+ < 0 ⇔ 4 x x − 2(x + x ) + 4 < 0 ⇔ 2m − 5 − 2.2(m −1) + 4 < 0 1 2 [ 1 2 1 2 ] 3 ⇔ 2
− m + 3 < 0 ⇔ m > 2 23 Bài 8: Cho phương trình 2
x − 2(m +1)x + 2m = 0 ( m là tham số)
a. Giải phương trình với m =1
b. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
c. Gọi hai nghiệm của (1) là x , x . Tìm giá trị của m để x , x là độ dài hai cạnh của 1 tam 1 2 1 2
giác vuông có cạnh huyền = 2 Lời giải
c) Yêu cầu của bài toán x > 0 x + x > 0 2(m +1) > 0 1 1 2 ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ m > 0 (*) x > 0 x .x > 0 2m > 0 2 1 2
Vì x , x là độ dài hai cạnh của 1 tam giác vuông có cạnh huyền bằng 1 2 2 nên ta có m =1 (TM ) 2 2 2
x + x =12 ⇔ (x + x ) − 2x x =12 ⇔ 1 2 1 2 1 2  m = 2 −  (KTM )
Vậy m =1 là giá trị cần tìm.
Bài 9: Chuyên Toán Hà Tĩnh, năm học 2014 - 2015 Cho phương trình 2 2
mx − 2(m − 2)x + m − 2m + 2 = 0 ( m là tham số)
a. Giải phương trình với m = 1 −
b. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn: 1 2
2(x + x ) + x x = 3 1 2 1 2 Lời giải a) Với m = 1
− tìm được x = 1; − x = 5 − 1 2
b) Ta có ∆ = (m − )2 − m( 2 ' 2 m − 2m + 2)
Để phương trình có hai nghiệm nghiệm phân biệt thì ∆' > 0 ⇔ m <1 (*) 2
Áp dụng hệ thức Viét ta có − 2 + 2 + = 2 − 2 ; m m x x m x x = 1 2 ( ) 1 2 mm =1;m = 3 −
Ta có 2(x + x ) + x x = 3 ⇔ 1 2 1 2  m = 1 − ± 10
Kết hợp với (*), ta được: m = 3 − ;m = 1 − − 10 24
Bài 10: Chuyên Hùng Vương Bình Dương, năm học 2014 - 2015 Cho phương trình 2
mx +x + m −1 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa 1 2 mãn: 1 1 + >1 x x 1 2 Lời giải m ≠ 0 m ≠ 0
Phương trình có hai nghiệm   2
x , x ≠ 0 ⇔ ∆ > 0 ⇔  4
− m + 4m +1 > 0 1 2
m 1 0(x .x 0)  − ≠ ≠ m ≠  1 1 2  m ≠ 0
m ≠ 0;m ≠ 1  2  4m 4m 1 0  ⇔ − + + > ⇔ 1  − 2 1+ 2   < m < (*) m ≠ 1   2 2 Theo định lý Viet ta có −1 + = 1; m x x − x x = 1 2 1 2 m 1 1 1 m −1 ⇒ +
>1 ⇔ x + x > x .x ⇔ >
⇔ m −1 <1 ⇔ 0 < m < 2 1 2 1 2 x x m m 1 2
Kết hợp với (*) ta được: 1+ 2 0 < m < ;m ≠ 1 2
Bài 11: Chuyên KonTum, năm học 2014 - 2015
Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH ( H thuộc BC ), biết độ dài hai cạnh góc
vuông là các nghiệm của phương trình 2
x − 2(m +1)x + 2m +1 . Tìm giá trị của tham số m để độ dài đoạn 1 AH = 2 Lời giải B H
Phương trình (1) có hai nghiệm x =1; x = 2m +1 1 2
Ta có x , x là độ dài hai cạnh góc vuông khi: 1 A C 2m 1 0 m − + > ⇔ > 1 2 2 Có 1 1 1 m = 0 (TM ) 2 2 2 2 2 2 = +
⇒ 2x x = x + x ⇔ 2(2m +1) =1+ (2m +1) ⇔ 2 2 2 1 2 1 2 AH x x  m = 1 − (KTM ) 1 2
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm. 25
Bài 12: Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa, năm học 2014 - 2015 Cho phương trình 2
2013x −(m − 2014)x − 2015 = 0 ( m là tham số). Tìm m để phương trình có hai
nghiệm x , x thỏa mãn: 2 2 x + − x = x + + x 1 2 2014 2014 1 1 2 2 Lời giải Ta có: ac = 2015.2013 −
< 0 ⇒ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x , x 1 2 2 2 Ta có: 2 2 x − x 2 1
x + 2014 − x = x + 2014 + x ⇔ ... − ... + x + x = 0 ⇔ + x + x = 0 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 x +... + x +.. 2 1 x + x = 0 x − x 1 2 2 1 ⇔ (x + x )( +1) = 0 ⇔  2 1 2 2 2 2
x + 2014 + x + 2014
x − x + x + 2014 + x + 2014 = 0(*) 2 1  2 1 2 1 +) m − 2014 x + x = 0 ⇔ = 0 ⇔ m = 2014 1 2 2013 +) 2 2 2 2 2 2
x + 2014 + x + 2014 > x + x = x + x ≥ −x + x ⇒ x +... + x +... + x − x > 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
Suy ra phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy m = 2014 là giá trị cần tìm.
Bài 13: Chuyên Toán Bình Phước, năm học 2013 - 2014 Cho phương trình: 2
x − 4x + 2m − 3 (1) ( m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình
(1) có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn 3( x + x ) = x x +17 1 2 1 2 1 2 Lời giải ∆ ' > 0 4 − 2m + 3 > 0 Điều kiện:   3 7 x + x = 4 1 2
S > 0 ⇔ 4 > 0
⇔ ≤ m < ⇒ Viet : 2 2
x .x = 2m−    3 1 2 P > 0 2m − 3 >   0
3( x + x ) = x x +17 ⇔ 3(x + x + 2 x x ) = x x +17 ⇔ 3(4 + 2 2m − 3) = 2m − 3+17 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 m ≥ 1 − m ≥ 1 − 6 2m 3 2m 2 3 2m 3 m 1  ⇔ − = + ⇔ − = + ⇔  ⇔ m = 2 2 9
 (2m − 3) = m + 2m +1  m =14
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm. 26
Bài 14: Phổ thông Năng Khiếu HCM, năm học 2014 - 2015 2
Cho phương trình mx + (m −3)x + 2m −1 = 0 (1) x + 3
a. Giải phương trình khi m = 1 −
b. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn: 1 2 2
21x + 7m(2 + x +x ) = 58 1 2 2 Lời giải b) Với 2 x ≠ 3
− ⇒ (1) ⇔ mx + (m − 3)x + 2m −1 = 0 (2)
(1) có hai nghiệm phân biệt x , x khi (2) có hai nghiệm phân biệt 1 2  m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0    2 ⇔ ∆ > 0 ⇔  7
− m − 2m + 9 > 0 ⇔ m ≠ 1 −  f ( 3) 0 8  m 8 0  − ≠ + ≠ 9 −    < m <1(*)  7
Vì x , x là nghiệm của phương trình nên ta có: 2 2
mx + (m − 3)x + 2m −1 = 0 ⇒ m(x + x + 3) = 3x +1 1 2 2 2 2 2 2 Do đó: 2
21x + 7m(2 + x + x ) = 58 ⇔ 21x + 7(3x +1) = 58 ⇔ 21(x + x ) = 51 1 2 2 1 2 1 2 7 7 ⇔ m = ( *) tm ⇒ m = . 8 8 Bài 15: Cho phương trình 2 x +(m − )
1 x + 5m − 6 = 0 với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai
nghiệm x và x thỏa mãn điều kiện: 1 2 a) x − x = 2 b) 4x + 3x =1 1 2 1 2
c) x <1; x <1 1 2 Lời giải
Ta có ∆ = (m − )2 − ( m − ) 2 1 4 5
6 = m − 22m + 25
Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi 2
∆ ≥ 0 ⇔ m − 22m + 25 ≥ 0 m ≥ 4 6 +11 ⇔ (m − )2
11 − 96 ≥ 0 ⇔ m −11 ≥ 4 6 ⇔  (1) m ≤ 4 − 6 +11 27
Theo định lí Viét ta có x + x =1− m 1 2  x x = 5m −  6 1 2
a) Ta có (x − x )2 = (x + x )2 − 4x x = (1− m)2 − 4(5m − 6) 2 2
= m − 22m + 25 = 2 1 2 1 2 1 2 m =1 2
⇒ m − 22m + 21 = 0 ⇔ (m − ) 1 (m − ) 21 = 0 ⇔  (thỏa mãn 1) m = 21
b) Ta có 4x + 3x =1= x + 3 x + x = x + 3 1− m =1⇒ x = 3m − 2 1 2 1 ( 1 2) 1 ( ) 1
⇒ x =1− m − 3m + 2 = 4 − m + 3 2
Mà x x = 5m − 6 ⇔ 3m − 2 4
− m + 3 = 5m − 6 1 2 ( )( ) 2 2 ⇔ 12
− m + 9m + 8m − 6 = 5m − 6 ⇔ 12
− m +12m = 0 ⇔ 12m(m − ) 1 = 0 ⇔ m∈{0; } 1 Vậy m∈{0; } 1 . Bài 16: Cho phương trình 2
x −mx − m −1 = 0 ( m là tham số). Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
a) Có một nghiệm bằng 5. Tìm nghiệm còn lại
b) Có hai nghiệm phân biệt
c) Có hai nghiệm trái dấu, trong đó nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương
d) Có hai nghiệm cùng dấu
e) Có hai nghiệm x , x thỏa mãn 3 3 x + x = 1 − 1 2 1 2
g) Có hai nghiệm x , x thỏa mãn x − x ≥ 3 1 2 1 2 Lời giải Ta có: 2
∆ = m + 4m + 4 = (m + 2)2 a) Ta tìm được m < − m = 4; x = 1 − b) Tìm được 1 2  m ≠ 2 − c) Tìm được m < − 1 − < m < 0 d) Tìm được 1  m ≠ 2 − e) Tìm được m ≥ − m = 1 − f) Tìm được 1  m ≤ 5 − 28
Dạng 6: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
Bài 1: Chuyên Toán Quảng Bình, năm học 2012 - 2013 Cho phương trình 2
x − 2x + 4a ( x là ẩn số). Giả sử hai nghiệm x , x của phương trình là số đo 1 2
hai cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông
a. Tìm các giá trị của a để diện tích của tam giác vuông bằng 1 3 b. Tìm GTNN của 4 A = x x + 1 2 x x 1 2 Lời giải ∆ ' ≥ 0 1  − 4a ≥ 0 a. Điều kiện:   1
x x > 0 ⇔ 4a > 0 ⇔ 0 < a ≤ 1 2 4  x + x > 0  2 > 0 1 2
x , x của phương trình là số đo hai cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông 1 1 ⇒ x x = 1 2 1 2 2 3 1 1 1
⇔ .4a = ⇔ a = (tm) 2 3 6 b. 4 1 1 3 A = x x + = 4a + = 4a + + 1 2 x x a 4a 4a 1 2  1 4a =  Ta có: 1 3  4a 1 4a + ≥ 2;
≥ 3 ⇒ A ≥ 5; A = 5 ⇔  ⇔ a = (tm) a 4a 1 4 a =  4
Bài 2: Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định, năm học 2014 - 2015 Cho phương trình 2
x − 2x + 2 − m = 0 (1) ( m là tham số).
a. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
b. Giả sử x , x là nghiệm của phương trình (1). Tìm GTNN của 2 2 2 2
A = x + x + 3(x +x ) − 4 1 2 1 2 1 2 Lời giải
a. ∆' ≥ 0 ⇔ m −1≥ 0 ⇔ m ≥1
b. Với m ≥1⇒ phương trình (1) có nghiệm x , x 1 2 29
Theo định lý Viet, ta có: x + x = 2; x .x = 2 − m 1 2 1 2 2 2 2 2 2
A = x x + 3(x + x ) − 6x x − 4 = (2 − m) + 3.2 − 6(2 − m) − 4 1 2 1 2 1 2 2 2 2
= (2 − m) − 6(2 − m) + 9 −1 = (2 − m − 3) −1 = (m +1) −1 Do 2 2
m ≥1⇒ (m +1) ≥ 2 ⇒ A ≥ 3 ⇔ m =1⇒ min A = 3 ↔ m =1
Bài 3: Chuyên Toán Lào Cai, năm học 2014 - 2015 Cho phương trình: 2
x − 2mx + m − 2 = 0 (1) ( x là ẩn số )
a. Chứng minh rằng (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b. Gọi x , x là nghiệm của phương trình (1). Tìm m để biểu thức 24 − = 1 2 A 2
2mx + x − 6x x −m + 2 1 2 1 2 đạt GTNN Lời giải a. 2 1 2 7
∆ ' = m − m + 2 = (m − ) + > 0 m ∀ 2 4
b. Theo định lý Viet, ta có: x + x = 2 ;
m x .x = m − 2 1 2 1 2
Do x2 là nghiệm của phương trình (1) nên: 2 2
x − 2mx + m − 2 = 0(1) ⇒ x = 2mx − m + 2 2 2 2 2 Do đó: 2 2 2
2mx + x − 6x x − m + 2 = 2m(x + x ) − 6x x − 2m + 4 = 4m −8m +16 = 4(m −1) +12 ≥12 1 2 1 2 1 2 1 2 24 24 24 − 24 − ⇒ ≤ ⇒ ≥ = 2 − ↔ m =1 2 2 4(m −1) +12 12 4(m −1) +12 12
Bài 4: Tuyển sinh vào 10 TPHCM, năm học 2014 - 2015 Cho phương trình 2
x −5mx + 4m = 0(1) ( x là ẩn số)
a. Tìm m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b. Gọi x , x là nghiệm của phương trình (1). 1 2 2 2
Tìm m để biểu thức m
x + 5mx −12m 2 1 A = + đạt GTNN 2 2
x + 5mx −12m m 1 2 Lời giải a. m < 0 2
∆ = 25m −16m > 0 ⇔ m(25m −16) > 0 ⇔  m >16 / 25(*)
b. Vì x , x là nghiệm của phương trình (1) nên ta có: 2 2
x − 5mx + 4m = 0 ⇒ x = 5mx − 4m 1 2 1 1 1 1 30 Do đó: 2 2
x + 5mx −12m = 5m(x + x ) −16m = 25m −16m 1 2 1 2 2 2 Tương tự: 2 2 m 25m −16 + 5 −12 = 25 −16 m x mx m m m ⇒ A = + 2 1 2 2 25m −16m m Do 2 25m 16
− m > 0, áp dụng bất đẳng thức côsi, ta được: m 25 −16 ≥ 2 m A ⇔ = 25 −16m mm = 25m −16 m = 2 / 3 2 2
⇔ m = (25m −16) ⇔ ⇔  . Vậy 2
m = là giá trị cần tìm. m 25m 16  = − +
m = 8 /13(loai) 3 Bài 5: Tìm m để phương trình 2 2
x − 2(m +1)x + m +1 = 0 có nghiệm x , x sao cho biểu thức 1 2 2
A = x (x − x ) + x đạt GTNN 1 1 2 2 Lời giải
Phương trình có nghiệm ⇔ ∆' = 2m ≥ 0 ⇔ m ≥ 0 Khi đó theo Viet, ta có: 2
x + x = 2(m +1); x .x = m +1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2
⇒ A = x + x − x x = (x + x ) − 3x x = 4(m +1) − 3(m +1) = m + 8m +1≥1(m ≥ 0) 1 2 1 2 1 2 1 2 Vậy m = 0. Bài 6: Cho phương trình 2
x −5mx + 4m = 0(1) ( m là tham số )
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệ với mọi m
b. Gọi x , x là nghiệm của phương trình (1). Tìm m để biểu thức 2 2
A = x + x − 2x x đạt GTLN 1 2 1 2 1 2 Lời giải Ta có 2 2 2 2
A = x + x − 2x x = (x + x ) 4
− x x = (m +1) + 4 ≥ 4 1 2 1 2 1 2 1 2
Dấu “=” xảy ra ⇔ m = 1 −
Bài 7: Chuyên Toán Vĩnh Phúc, năm học 2014 - 2015 Cho phương trình 2
x −3mx − 2m = 0 (1) ( m là tham số )
a. Giải phương trình khi m =1
b. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x , x sao cho biểu thức 1 2 31 2 2
x + 3mx + 6m m 1 2 A = + đạt GTNN 2 2 m
x + 3mx + 6m 2 1 Lời giải m > 0 2 2 2 b) Ta có 2
3m(x + x ) + 8m m 9m + 8m m  1 2
∆ = 9m + 8m > 0 ⇔ 8 − ; A = + = + 2 2 2 m < m
3m(x + x ) + 8m m 9m + 8m 1 2  9 m = 1( − tm) 2 2 2 ... 2 (9m 8) m  ≥ = ⇔ + = ⇔ 4 − ⇒ m = 1 − m = (loai)  5
Bài 8: Chuyên Toán Tiền Giang, năm học 2014 - 2015
Cho a,b,c là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện a ≠ 0,2a + 3b + 6c = 0 . Chứng minh rằng phương trình 2
ax + bx + c = 0 có hai nghiệm x , x . Tìm GTNN của A = x − x 1 2 1 2 Lời giải 2 2 2 2 (2a + 6c)
2(2a − 6ac +18c ) 2 2 2 2 ∆ = b 4 − ac = − 4ac =
= a + 9c + (a − 3c)  > 0(do : a ≠ 0) 9 9 9   2 2 Ta có: b − + ∆ b − − ∆ ∆ ∆ 2 2 2 2  2 A ≥ 0; A = − = = =
(a + 9c + (a − 3c) : a 2 2a 2a 2a a 9    2 c
c 2 2 3c 1 2 3 2 3 3 = 1− 3( ) + 9( ) = ( − ) + ≥ = 3 a a 3 a 2 4 3 4 3
Dấu “ =” xảy ra 3c 1 3 ⇔ = ⇔ a = 6 ; c b = 6
− c ⇒ min A = . a 2 3
Dạng 7: Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào tham số Cách giải:
- Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm x , x (a ≠ 0,∆ ≥ 0) 1 2
- Từ định lý Viet, tìm S và P theo tham số m
- Khử tham số m từ S, P để có hệ thức giữa S và P (tức là hệ thức giữa x , x ) không phụ 1 2
thuộc vào tham số m Bài 1: Cho phương trình 2
mx − (2m + 3)x + m − 4 = 0(1)
a. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , x 1 2 32
b. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Lời giải  9 −
a. Điều kiện: m ≠ 0 m ≥  ⇔  28 ∆ ≥ 0 m ≠ 0  b − 2m + 3 3  12
S = x + x = = = 2 + 4S = 8 +  1 2  b. Theo Viet:  a m mm  ⇔  ⇒ 4S + 3P =11 c m − 4 4 12 P x x 1 3  = = = = − P = 3− 1 2  a m m  m Bài 2:
Giả sử x , x là nghiệm của phương trình 2 2
x − 2(m −1)x + m −1 = 0. Tìm hệ thức giữa x , x không 1 2 1 2
phụ thuộc vào tham số m Lời giải
Phương trình (1) có nghiệm ⇔ ∆' ≥ 0  S + 2
S = 2(m −1)(1) ⇒ m = S + 2 2 2 ⇔ m ≤1⇒  2 ⇒ (2) : P = (
) −1 ⇔ 4P = S + 4S  2 2 P = m −1(2) Vậy hệ thức là: 2
(x + x ) + 4(x + x ) = 4x x 1 2 1 2 1 2 Bài 3:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2
x − 2(m +1)x + 3m −3 = 0. có hai nghiệm
x , x và tìm hệ thức giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m 1 2 Lời giải
x + x = 2(m +1) 3
 (x + x ) = 6m + 6 2 1 2 1 2
∆ ' = m − m + 4 ≥ 0 m ∀ ⇒  ⇔ 
⇒ 3(x + x ) − 2x x =12. 1 2 1 2
x .x = 3m − 3 2x x = 6m −   6 1 2 1 2 BÀI TẬP VỀ NHÀ 33 Bài 1: Cho phương trình 2 3
− x + x +1 = 0 với x , x là nghiệm của phương trình, không giải phương 1 2 trình hãy tính a) 2 2 2 2
A = x + + x + b) x x 2 1 B = + 1 2 x x x + 3 x + 3 1 2 1 2 c)
2x − 5 2x − 5 x −1 x −1 1 2 C = + d) 1 2 D = + x x 4 4 x x 1 2 1 2 Hướng dẫn giải Ta có: 2 3
− x + x +1 = 0∆ =1+12 =13 > 0 ⇒ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt a) Ta có 2 2 2 2 11 A x x − = + + + = b) Ta có x x 16 2 1 B = + = 1 2 x x 9 x + 3 x + 3 87 1 2 1 2 c) Ta có
2x − 5 2x − 5 x −1 x −1 1 2 C = + = 9 d) Ta có 1 2 D = + = 41 − x x 4 4 x x 1 2 1 2 Bài 2:
Tìm hai số u và v biết rằng a) u + v = 8 − và uv = 105 −
b) u + v = 9 và uv = 90 − Hướng dẫn giải
a) Tìm được (u;v)∈ ( { 7; 15 − );( 15 − ;7)}
b) Tìm được (u;v)∈ ( { 15; 6 − );( 6 − ;15)} Bài 3: Cho phương trình 2 x + (4m + )
1 x + 2(m − 4) = 0 . Tìm giá trị của tham số m để phương trình có
hai nghiệm x , x và: 1 2
a) Thỏa mãn điều kiện x − x =17 2 1
b) Biểu thức A = (x − x )2 có giá trị nhỏ nhất 1 2
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Hướng dẫn giải a) Tìm được m = 4 ±
b) Ta có A = ⇔ m = min 33 0 34
c) Ta có hệ thức: x + x + 2x x = 17 − 1 2 1 2 Bài 4:
Cho phương trình (m + ) 2 2 x − 2(m + )
1 x + m − 4 = 0 . Tìm giá trị của tham số m để phương trình:
a) Có hai nghiệm trái dấu
b) Có hai nghiệm dương phân biệt
c) Có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm
d) Có hai nghiệm x , x thỏa mãn 3(x + x = 5x x 1 2 ) 1 2 1 2 Hướng dẫn giải m > 4 a) Tìm được: 2 − < m < 4 b) Tìm được:  9 −  < m < 2 −  4 c) Tìm được: 2 − < m < 1 −
d) Tìm được: m∈∅ Bài 5: Cho phương trình 2 x − ( m + ) 2 2
1 x + m + m − 6 = 0 (m là tham số).
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt
c) Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình. Tìm gái trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
A = x + x 1 2 1 2
d) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn 3 3 + = 1 2 x x 19 1 2 Hướng dẫn giải
a) Ta có: ∆ = 25 > 0, m ∀ ∈ Z ⇒ đpcm
b) Tìm được m < 3 − c) Ta có 25 1 m = − A m − = ⇔ = d) Tìm được: 1 min 2 2  m = 0 Bài 6: Cho phương trình 2
x − 2(m − 2) x + 2m −5 = 0 (m là tham số).
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x , x thỏa mãn x 1− x + x 1− x < 4 1 ( 2 ) 2 ( 1 ) 1 2 1 2 Hướng dẫn giải 35
a) Ta có ∆ = (m − )2 4 3 ≥ 0, m ∀ ∈ R
b) Tìm được m >1. 36