Tài liệu Toán 9 chủ đề phương trình quy về phương trình bậc hai

Tài liệu gồm 27 trang, bao gồm kiến thức cần nhớ, các dạng toán và bài tập chủ đề phương trình quy về phương trình bậc hai trong chương trình môn Toán 9, có đáp án và lời giải chi tiết.Mời bạn đọc đón xem.

32 16 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn

Môn: Toán 9

Thông tin:

27 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
1
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI
A. Lý thuyết
1. Phương trình trùng phương: Phương trình trùng phương là phương trình có dạng:
42
0 ( 0)ax bx c a+ += ≠
Cách giải: Đặt ẩn phụ
( )
2
0t xt= ≥
để đưa phương trình về phương trình bậc hai
2
0( 0)at bt c a+ += ≠
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của ẩn của phương trình
Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được ở bước 2
Bước 4: So sánh các nghiệm tìm được ở bước 3 với điều kiện xác định và kết luận
3. Phương trình đưa về dạng tích
Để giải phương trình đưa về dạng tích, ta có thể thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0
Bước 2: Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm.
B. Bài tập và các dạng toán
I. Phương trình không chứa tham số
Dạng 1: Giải phương trình trùng phương
Cách giải: Xét phương trình trùng phương
42
0( 0)ax bx c a+ += ≠
Bước 1: Đặt
( )
2
0t xt= ≥
ta được phương trình bậc hai:
2
0( 0)at bt c a
+ += ≠
Bước 2: Giải phương trình bậc hai ẩn
t
từ đó tìm được các nghiệm của phương trình trùng
phương đã cho.
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a)
42
5 60xx
+ −=
b)
42
20 0
xx+−=
c)
Lời giải
2
a) Đặt
( )
2
0,x tt= ≥
phương trình đã cho trở thành
( )
( )
2
1
5 60
6
t TM
tt
t KTM
=
+ −=⇔
= −
Với
22
11 1tx x=⇒=⇔=±
Vậy phương trình có tập nghiệm
{ }
1.S = ±
b) Cách 1: Đặt
(
)
2
0,x tt
= ≥
phương trình đã cho trở thành
22
20 0 5 4 20 0tt t tt+−=⇔+−−=
( )( )
( )
( )
2
5
5 40 4 2
4
t KTM
tt x x
t TM
= −
⇔+ − =⇔ ⇒ =⇔=±
=
Vậy phương trình có tập nghiệm
{ }
2.S = ±
Cách 2: Giải trực tiếp
Ta có
( ) ( ) ( )( )
4 2 4 2 2 22 2 2 2
20 0 5 4 20 0 5 4 5 0 5 4 0x x x x x xx x x x+−=⇔ + − − =⇔ +− +=⇔ + −=
2
40 2xx⇔ −=⇔=±
Vậy phương trình có tập nghiệm
{ }
2.S = ±
c) Đặt
( )
2
1 0,xt
+=≥
phương trình đã cho trở thành
2
5 84 0tt−− =
, từ đó
1 23x⇒ =−±
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a)
42
2 7 50xx+ +=
b)
42
4 8 12 0xx+ −=
Lời giải
a) Đặt
( )
2
0,x tt= ≥
phương trình đã cho trở thành
( )
( )
2
1
2 7 50
5
2
t KTM
tt
t KTM
= −
+ +=⇔
= −
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
b) Đặt
( )
2
0,x tt= ≥
ta có:
( )
( )
2
1
4 8 12 0
3
t TM
tt
t KTM
=
+− =⇔
= −
Với
2
11 1tx x=⇒ =⇔=±
Vậy phương trình có tập nghiệm
{ }
1S = ±
.
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a)
42
7
53 0
16
xx− +=
b)
2
2
25
4 29 0x
x
−+ =
3
Lời giải
a) Đặt
2
22 2
2
0,35 0,35
7
( 0) 5 3 0 80 48 7 0
0, 25
16
0.25
yx
y xy y y y y
y
x
= =
= ≥ ⇒ − + =⇔ − +=⇔ ⇔
=
=
{
}
0,35; 0,25x
⇔ ∈± ±
Vậy phương trình có tập nghiệm
{ }
0,35; 0,25S
=±±
b) Điều kiện
0x ≠
Phương trình (1)
42 2
11
4 29 25 0 4 29 25 0
6, 25 2,5
yx
xx yy
yx
= = ±

⇔ − +=⇔ − +=⇔ ⇔

= = ±

Vậy phương trình có tập nghiệm
5
1;
2
S

=±±


Bài 4: Giải các phương trình sau:
a)
42
1
4,5 4 0
2
xx
+ −=
b)
42
10(2 2) 2 2 3 0xx
− − − +=
c)
42
(3 2 5) 10 7 2 0xx− − +− =
d)
42
(53)(451)3540xx− − + + +=
Lời giải
a) Đặt
( )
2
0x tt= ≥
, phương trình đã cho trở thành
22
1
4,5 4 0 9 8 1 0
2
tt tt+ − = ⇔ + −=
Có
( )
( )
1
0
1
9
t KTM
abc
t TM
= −
−+=⇒
=
Với
2
11 1
99 3
tx x=⇒ =⇔=±
Vậy phương trình có tập nghiệm
1
3
S

= ±


.
b) Đặt
( )
2
0
x tt= ≥
, phương trình đã cho trở thành
( )
2
10 2 2 2 2 3 0
tt− − − +=
Bài 5: Giải các phương trình sau:
a)
42
(3 2 5) 10 7 2 0xx− − +− =
b)
42
(53)(451)3540xx− − + + +=
Lời giải
a) Đặt
( )
2
0x tt= ≥
, phương trình đã cho trở thành
( )
2
3 2 5 10 7 2 0tt− − +− =
4
b) Đặt
( )
2
0x tt= ≥
, phương trình đã cho trở thành
( ) ( )
2
5 3 45 1 35 4 0tt− − + + +=
Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Cách giải: Ta thực hiện thep các bước sau
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của ẩn của phương trình
Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được ở bước 2
Bước 4: So sánh các nghiệm tìm được ở bước 3 với điều kiện xác định và kết luận
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a)
2 13 1 7
3
121
x xx
xx x
− −−
+=+
++−
b)
2
2
35 1
63
xx
xx x
−+
=
−− −
c)
2
25 5
2 3 56
x
x x xx
−=
− − −+
Lời giải
a) Điều kiện
1; 2; 1xxx≠− ≠− ≠
Ta có
( )
( )(
)
( )( )
( )
( )
( )
( )
(
)( )( )
( )
( )
(
)
( )
( )(
)
(
)(
)( )
(
)( )(
)
21213111 712 112
11 2 11 2 11 2 11 2
xx x xxx x xx xxx
xxx xxx xxx xxx
−+ − −+− − ++ +−+
⇔ +=+
+−+ +−+ +−+ +−+
( )
(
)(
) (
)
(
)(
)
( )
(
)(
)
(
)(
)
(
)
21213111 712 112
xx x xxx x xx xxx⇒−+ −+−+−=− ++++−+
( )
( )
(
)
( )
(
)
( ) (
)
( )
2 2 22
21 2 2 31 1 7 32 1 2xxxx xx x xx x x⇔−−+−+−−=− +++−+
Tìm được:
5
4
x
−
=
hoặc
5x =
b) Tìm được
1x =
c) Tìm được:
1
2
x =
hoặc
5x =
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a)
25 3
12
xx
xx
−
=
−−
b)
5 35 3
35 35
xx
xx
+−
−=−
−+
c)
11 1 3
:1
1 1 1 14
xx x
xx x x
+− +

− −=

−+ − −

Lời giải
5
a) Điều kiện:
1; 2xx≠≠
( )( )
( )( )
( )
(
)( )
( )( ) ( )
2
25 2 3 1
25 3
2 5 2 3 1 6 10 0
1 2 12 12
x x xx
xx
x x xx x x
x x xx xx
−− −
−
= ⇔ = ⇒ − − = −⇔ + − =
− − −− −−
Ta có:
36 40 76 2 19∆= + = ⇒ ∆=
11
6 2 19 6 2 19
19 3; 19 3
22
xx
−+ −−
⇒= = − = =− −
b) Điều kiện
3; 5
xx≠ ≠−
Ta có phương trình
(
)
( )
( )( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
(
)(
)
( )
(
)(
)
22
5 3 5 3 3 5 75 5 45 3
15 3 5 15 3 5 15 3 5 15 3 5
xx x x x x
xx xx xx xx
−+ − + + −
⇔−=−
−+ −+ −+ −+
( )( ) ( ) (
) (
)
( )
22
5 3 5 3 3 5 75 5 45 3xx x x x x⇔ − + − − += +− −
Tìm được:
17x = −
hoặc
1 31
x =−±
c) Điều kiện
1
1; 1 0; 14
1
x
xx
x
+
≠± − ≠ ≠
−
Ta có
11 1 3
:1
1 1 1 14
xx x
xx x x
+− +

− −=

−+ − −

( ) ( )
( )( )
22
11
11 3
:
1 1 1 1 14
xx
xx
xx x x x

+ −−
+−

⇔ −=


−+ − − −



( ) ( )
( )
( )
22
11
23
:
1 1 1 14
xx
x
xx x x
+ −−
⇔=
−+ − −
( ) ( )
( )
22
11
3
2 1 14
xx
xx x
+ −−
⇔=
+−
( )( )
( )
1111
3
2 1 14
xxxx
xx x
++− +−+
⇔=
+−
23
1 14xx
⇔=
+−
28 2 3 3xx⇒−=+
5 25 5
xx⇔ = ⇔=
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm
5x =
Bài 3: Giải các phương trình sau
a.
2
13 1
1
3 27 4 3xx
+=+
−−
b.
22 3
30 13 18 17
( 1)
1 11
x
x
x xx x
+
− = ≠±
− ++ −
Lời giải
a. Điều kiện xác định:
1 31
3 (1) 1
3( 3)( 3) 4 3
x
xx x
≠± ⇒ ⇔ + = +
+− −
22
4 9( 9) 12( 9) 12( 3)xxx⇒+ − = − + +
{ }
22 2 2
4 9 81 12 108 12 36 3 12 3 0 4 1 0 ...x x x x x xx x⇔+ −= − + +⇔− − −=⇔++=⇔∈
b.
{ }
4;9x ∈−
6
Bài 4: Giải các phương trình sau
c.
42 2 2
38 10 10
20 100 10 10
xx
xx x xx xx
++
= −
− + − +− −+
d.
32 2 2
4 141
0
2 3 8 12 4 2 7 6 2 3xxx x xx x
−− +=
+ −− − ++ +
Lời giải
c. Ta có
2 22
1 39
10 ( ) 0 10 0
24
xx x xx−+ = − + >⇒ +− ≠
( không nên giải điều kiện )
{ }
9;9S⇒=−
d. Ta có:
32 2 2
2 3 8 12 (2 3)( 2)( 2); 4 ( 2)( 2);2 7 6 ( 2)(2 3)xxx xxxx xx xx x x+ − − = + + − −= + − + += + +
Vậy điều kiện xác định:
{ }
1, 5; 2 1; 5
xx S
≠− ≠± ⇒ =
Dạng 3: Phương trình đưa về dạng tích
Cách giải: Để giải phương trình đưa về dạng tích, ta có thể làm theo các bước sau:
Bước 1: Chuyển vế và phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0
Bước 2: Xét từng nhân tử bằng 0 và tìm nghiệm
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a.
32
3 30x xx
+ ++=
b.
22
2 (3 1) 9 1 0xx x− − +=
Lời giải
a)
32 2
3 3 0 ( 3)( 1) 0 3x xx x x x+ ++=⇔ + + =⇔ =−
Vậy phương trình có tập nghiệm
{ }
3S = −
b)
( )
22 2
2
1
3
2 (3 1) 9 1 0 (3 1)(6 1) 0
6 10*
x
xx x x x x
xx
=
− − += ⇔ − −+ = ⇔
−+=
Giải phương trình (*)
2
6 10xx−+=
Có
1 24 23 0∆= − =− <
. Vậy phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy phương trình có tập nghiệm
1
3
S

=


7
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a)
43 2
10 25 36 0xxx− + −=
b)
42
9 24 16 0xx x− − −=
Lời giải
a)
{ }
2
43 2 22
2
5 60
10 25 36 0 ( 5 ) 36 0 1;2;3;6
5 60
xx
x x x xx x
xx
− −=
− + −=⇔ − −=⇔ ⇔∈−
− +=
Vậy phương trình có tập nghiệm
{
}
1; 2; 3; 6S
= −
b)
{ }
42 4 2 4 2
9 24 16 0 (9 24 16) 0 (3 4) 0 1;4xx x x x x x x x− − −=⇔− + + =⇔− + =⇔∈−
Vậy phương trình có tập nghiệm
{ }
1; 4S = −
Bài 1:
Giải phương trình sau:
32
4 2 40xxx
− + +=
Lời giải
Nhận xét: Phương trình này nhẩm được một nghiệm
2x =
nên ta sẽ tách được nhân tử
2x −
Cách 1: Ta có
32 322
4 2 40 2 4 2 40
xxx xxxxx
− + +=⇔ − − + − +=
( )
( ) ( ) ( )
(
)
{ }
22
22 22 20 2 2 20 2;1 3x x xx x x x x x⇔ −− −− −=⇔− − −=⇔∈ ±
Cách 2: Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( )
32 3 2 2
4 240 84 42 20 2 24xxx x x x x xx− ++=⇔ −− −+ −=⇔− ++−
( )( ) ( ) ( )
( )
{ }
2
42 2220 2 220 2;13x x x x xx x− + + − =⇔ − − − =⇒∈ ±
Cách 3: Đặt phép chia đa thức
32
4 2 40
xxx
− + +=
cho đa thức
2x −
ta được thương là
2
22xx−−
nên
( )
( )
{
}
32 2
4 2 4 0 2 2 2 2;1 3
xxx x xx x− + +== − − − ⇒∈ ±
Bài 2: Giải các phương trình sau
a)
32
3 3 40xxx− − −=
b)
( ) (
) ( )
3 33
3
1 1 20x xx x− +++ −+ =
Lời giải
a) Ta có:
( )( )
( )
{ }
32
3 3 4 0 2 2 3 0 2; 3xxx x x x x− − − = ⇔ − + + = ⇔ ∈± −
Vậy phương trình có tập nghiệm
{ }
2; 3; 2
S =−−
b) Ta có:
( )
( ) ( )
3 33
3
1 1 20 4
x xx x x− + + + − + =⇔=
Vậy phương trình có tập nghiệm
{ }
4S =
8
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a)
32
2 7 4 10
xxx− + +=
b)
( ) (
)
22
22
25 5x x xx+ − = −+
Lời giải
a)
32
1
2 7 4 10
5 33
4
x
xxx
x
=
− + += ⇔
±
=
b)
( ) ( )
22
22
1 10
2 5 5 0; ;
23
x x xx x

+ − = −+ ⇔∈


Bài 4: Giải các phương trình sau:
a)
3 223 2 2
( 4 5) ( 6 12 5) 0xx xx x− +−− + −=
b)
32
2 22 22 0xx x
++ + =
Lời giải
a) Ta có
3 223 2 2
( 4 5) ( 6 12 5) 0
xx xx x
− +−− + −=
32 32 3 32
( 4 5 6 12 5)( 4 5 6 12 5) 0xx xx x xx xx x⇔ − ++ − + − − +− + − + =
{ }
32
32 2
2
2 10 12 0
(2 10 12 )(2 12 10) 0 0;1;2;3;5
2 12 10 0
xxx
x x xx x x
xx
− +=
⇔ − + − + =⇔ ⇔∈
− +=
Vậy phương trình có tập nghiệm
{ }
0;1;2;3;5S =
b) Ta có
32 3 3
2 2 2 2 2 0 ( 2) 2 ( 2) 0x x x x xx
+ + + =⇔+ + + =
2
( 2)( 2 2) 2 ( 2) 0x x x xx⇔+ − ++ + =
2
( 2) (2 2) 2 0 2xx x x

⇔ + + − + =⇔=−

Vậy phương trình có tập nghiệm
{ }
2S = −
Dạng 4: Giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Cách giải: Để giải phương trình đưa về dạng tích, ta có thể làm theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện xác định (nếu có)
Bước 2: Đặt ẩn phụ, đặt điều kiện của ẩn phụ (nếu có) và giải phương trình theo ẩn mới
Bước 3: Tìm nghiệm ban đầu và so sánh với điều kiện xác định và kết luận.
Bài 1:
Giải phương trình sau
( )
( )
2
1 16xx x x− −+ =
9
Lời giải
Ta có:
( )
( ) ( )( )
2 22
1 16 16
xx xx xxxx− −+ =⇔ − −+ =
Đặt
2
,tx x= −
ta được
2
2
60
3
t
tt
t
=
+− = ⇔
= −
- Với
{ }
2
2 2 0 1; 2t xx x= ⇒ − − = ⇔ ∈−
- Với
2
3 30t xx x=−⇒ −+=⇔∈∅
Vậy phương trình có tập nghiệm là
{ }
1; 2S = −
.
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a.
( )( )( )
1 2 30xx x x+ + +=
b.
( )( )
22 2
16 60 17 60 6
xx xx x
++ ++=
c.
22
27
1
3 23 5 2
xx
xx x x
−=
−+ + +
Lời giải
a)
( )
( )( )
( )
( )
22
1 2 30 3 320
xx x x xxxx+ + +=⇔ + ++=
.
Đặt
2
31yx x=++
, ta được
3y = ±
Với
3 17
3
2
yx
−±
=±⇒ =
b) Ta đi xét 2 trường hợp
Trường hợp 1: Với
0,x =
thay và phương trình không thấy thỏa mãn
Trường hợp 2: Với
0,x ≠
chia cả 2 vế cho
2
x
ta được:
60 60
16 17 6xx
xx

++ ++ =


Đặt
2 15
60
16
34
yx
yx
yx
x
= = −

=++ ⇒ ⇒

=−=−

c) Ta đi xét 2 trường hợp
Trường hợp 1: Với
0,
x =
thay và phương trình không thấy thỏa mãn
Trường hợp 2: Với
0,x ≠
chia cả 2 vế cho
2
x
sau đó đặt
11
2 11 97
3
2
6
y
yx x
y
x
= −
−±
= +⇒ ⇒=
=
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a.
( ) ( )
2
22
3 6 3 70xx xx− − − −=
b.
63
61 8000 0xx+− =
10
c.
1
10 3
1
xx
xx
+
−=
+
Lời giải
a) Đặt
2
3yx x= −
, từ đó tìm được
3 37
2
x
±
=
hoặc
35
2
x
±
=
b) Đặt
3
,
yx=
từ đó tìm được
4x =
hoặc
5
x = −
c) Tìm được:
5
4
x
−
=
hoặc
2
3
x
−
=
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a)
22
( 1)( 3) 15xx xx−+ −+ =
b)
92 1 0xx−− −=
Lời giải
c. Đặt
22
1,2
5
1 3 1 17
1 ( ) 0 0 ( 2) 15
4( )
24 2
y
y x x x y yy x
y loai
=
±
= −+= + + >⇒>⇒ + = ⇔ ⇒ =
= −
d.
9210(1)2180xx x x−−−=⇔−−−−=
Đặt
2
4
1( 0) 2 8 0 1 4 17
2( )
t
t xt t t x x
t loai
=
= − ≥ ⇒ − −= ⇔ ⇔ −= ⇔ =
= −
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a)
22
3 22 1x x x xx+ = +−+
b)
22
4 44 4 1xx xx−+= −+
Lời giải
a) Điều kiện
2
0
0 ( 1) 0
1
x
x x xx
x
≥
+≥⇔ +≥⇔
≤−
phương trình
(
)
( )
( )
22 2 2
1
3( )2 10 3 2 10 ; 0
1
3
y TM
xx xx y y y xxy
y KTM
=
⇔ + − + −= ⇔ − −= = + ≥ ⇔
−
=
22
15
11
2
xx xx x
−±
⇔ +=⇔ +=⇔=
Vậy phương trình có tập nghiệm
15
2
S

−±

=



b) Điều kiện
2
4 10xx− +≥
11
2 22 22
1
444 41 4134 41 4 30
3
y
xx xx xx xx yy
y
=
−+= −+⇔−++= −+⇔−+=⇔
=
+ Với
( )
( )
22
0
1 4411440
1
x TM
y xx xx
x KTM
=
=⇒ − +=⇔ − = ⇔
=
+ Với
( )
( )
22
1
3 4 4 13 4 4 80
2
x TM
y xx xx
x KTM
= −
=⇒ −+=⇔ −−=⇔
=
Vậy phương trình có tập nghiệm
{ }
1; 0S = −
Dạng 5: Phương trình chứa căn thức
Cách giải: Làm mất dấu căn bằng cách đặt ẩn phụ hoặc lũy thừa hai vế
Chú ý:
2
0B
AB
AB
≥
= ⇔
=
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a.
6 93xx x− +=−
b.
2
13xx x++=−
Lời giải
a) Điều kiện
0,x ≥
ta có:
6 93 3 3 30 0 9xx x x x x x− +=− ⇔ −=− ⇔ −≤⇔≤≤
b)
2
2
3
30
8
13
8
7
13
7
x
x
xx x x
x
xx x
≤
−≥
++=−⇔ ⇔ ⇔ =

=
++=−
.
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a.
57xx−=−
b.
3 7 12xx+− +=
c.
2
48 1xx x
−= −
d.
2
72 72xx++=
Lời giải
a. Điều kiện
7x ≥
Cách 1: Đặt
( )
( )
2 22
1
5 5( 0) (1) 5 7 2 0
2
t KTM
t x xt t tt t t
t TM
= −
= −⇒= + ≥ ⇒ ⇔= +−⇔ −−=⇔
=
Với
2 52 54 9tx x x=⇒ −=⇔−=⇔ =
(thỏa mãn)
12
Cách 2: Bình phương hai vế ta được:
( )
( )
2
9
5 14 49
6
x TM
x xx
x KTM
=
−= − + ⇔
=
b. Điều kiện:
7
3 70
1
3
10
1
x
x
x
x
x
−
+≥
≥
⇔ ⇔ ≥−

+≥
≥−
2
(1) 3 7 2 1 3 7 4 4 1 1 2 1 1 4( 1) (x 1)x x x xx xx x⇔ + = + +⇔ + = + ++ +⇔ += +⇔ + = +
{ }
2
2 3 0 1; 3xx S⇔ − −=⇔ =−
c. Điều kiện:
1x ≥
Ta có
2 2 22 2
(1) ( 4 ) 64( 1) ( 8 8) 8( 8 8) 0xx x xxx xx⇔ − = −⇔ −++ −+=
22
( 8)( 8 8) 0 4 2 2x xx x⇔ + − + =⇔=+
Vậy phương trình có tập nghiệm
{ }
4 22S = +
.
Dạng 6: Một số dạng khác
Cách giải: Ngoài các phương pháp trên, ta còn dùng các phương pháp hằng đẳng thức, thêm
bớt hạng tử, hoặc đánh giá hai vế... để giải phương trình
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a.
4
24 32xx= +
c.
42
2 10xx x− + −=
Lời giải
a)
( )
(
)
2
2
4 42 2 2
24 32 4 4 24 32 2 2 6 1 5
x x xx x x x x x
= +⇔+ = + +⇔ + = + ⇔=±
b)
42
15
2 10
2
xx x x
−±
− + −= ⇔ =
Bài 2: Giải các phương trình sau bằng phương pháp đánh giá
a.
44
11
xx−+ =
b.
22
4 4 5 12 12 19 6xx x x− ++ − + =
Lời giải
a) Điều kiện:
44
0 1 1 1; 1 1x x x x x VT x x VP
≤ ≤⇒ − ≥− ≥ ⇒ ≥−+ ==
Dấu ‘=’ xảy ra
10 1
11 0
xx
xx
−= =

⇔⇒

−= =

b)
22
1
4 4 5 12 12 19 6
2
xx x x x− ++ − + =⇔=
13
Bài 3: Giải các phương trình sau
a.
2
4 4 62 1 6 0xx x− − −+=
b.
( )
2
2
2
25
11
5
x
x
x
+=
+
Lời giải
a) Đặt
( ) { } { }
2
2 1 0 6 5 0 1; 5 2; 0;1; 3x tt t t t x−= ≥ ⇒ − +=⇔∈ ⇒∈−
b)
( )
2
2
2
2
25 5 5
11 2 . 11
55
5
x xx
x xx
xx
x

+ =⇔− + =

++

+
Đặt
{ }
2
1 21
11;1
52
x
tt x
x

±

= ⇒∈− ⇒ ∈

+


14
II. Phương trình chứa tham số
Dạng 1: Phương trình bậc ba đưa được về dạng tích
(
)
( )
2
0x k ax bx c− ++=
Cách giải:
Xét các phương trình bậc ba
32
0ex fx gx h+ + +=
đưa được về dạng tích
( )
( )
(
)
2
2
0
0*
xk
x k ax bx c
ax bx c
=
− ++=⇔
+ +=
Như vậy phương trình bậc ba luôn có nghiệm
xk=
. Lúc này số nghiệm của phương trình bậc
ba phụ thuộc vào điều kiện của phương trình bậc hai
2
0ax bx c
+ +=
*) Các trường hợp về số nghiệm của phương trình bậc ba
1) Phương trình bậc ba có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
2
ax bx c++
có hai
nghiệm phân biệt
12
,xx
khác
2
0
0
k
ak bk c
∆>
⇔
+ +≠
2) Phương trình bậc ba có đúng hai nghiệm phân biệt thì:
Trường hợp 1: Phương trình (*) có nghiệm kép khác
k
Trường hợp 2: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm là
k
, nghiệm
còn lại khác
k
2
0
0ak bk c
∆>
⇔
+ +=
3) Phương trình bậc ba có đúng một nghiệm
Trường hợp 1: Phương trình (*) vô nghiệm
0⇔∆<
Trường hợp 2: Phương trình (*) có nghiệm kép là
2
0
0
xk
ak bk c
∆=
= ⇔
+ +=
Bài 1:
Cho phương trình
( )
3
2 40x mx m− − −=
. Tìm
m
để phương trình
a) Có ba nghiệm phân biệt
b) Có đúng hai nghiệm phân biệt
c) Có đúng một nghiệm
15
d) Có ba nghiệm
123
,,xxx
thỏa mãn
222
1 2 3 123
25
xxxxxx
+++ =
Lời giải
Ta có
( ) ( )
( )
32
2 40 2 24 0x mx m x x x m− − − =⇔ + − +− =
( )
2
2
2
20
2 4 0*
24 0
x
x
xx m
xx m
= −
+=
⇔⇔
− =−=
− =−=
a) Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
khác
2−
( ) ( )
2
'0
30 3
12 0 12
2 2. 2 4 0
mm
mm
m
∆>
−> >

⇔ ⇔⇔

−≠ ≠
− − − +− ≠

b) Có đúng hai nghiệm phân biệt khi phương trình (*) thỏa mãn một trong các trường hợp sau
TH1: Phương trình (*) có nghiệm kép khác
2−
( ) ( )
2
'0
30 3
3
12 0 12
2 2. 2 4 0
mm
m
mm
m
∆=
−= =

⇔ ⇔ ⇔ ⇒=

−≠ ≠
− − − +− ≠

TH2: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng
2−
( ) ( )
2
'0
30 3
12
12 0 12
2 2. 2 4 0
mm
m
mm
m
∆>
−> >

⇔ ⇔ ⇔ ⇒=

−= =
− − − +− =

c) Phương trình đã cho có đúng một nghiệm khi phương trình (*) thỏa mãn một trong các
trường hợp sau:
TH1: Phương trình (*) vô nghiệm
'0 30 3mm
⇔∆<⇔ −<⇔ <
TH2: Phương trình (*) có nghiệm kép bằng
2−
( ) ( )
2
'0
30 3
12 0 12
2 2. 2 4 0
mm
m
mm
m
∆=
−= =

⇔ ⇔ ⇔ ⇒ ∈∅

−= =
− − − +− =

d) Theo ý a) ta có
3
12
m
m
>
≠
thì phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt
123
,,xxx
Trong đẳng thức
222
1 2 3 123
25xxxxxx+++ =
thì
123
,,xxx
có vai trò như nhau nên ta giả sử
3
2x = −
còn
12
,xx
là hai nghiệm của phương trình (*) thỏa mãn hệ thức Viét
12
12
2
4
xx
xx m
+=
= −
Thay
3
2x = −
vào
222
1 2 3 123
25xxxxxx+++ =
ta được
( )
2
22
1 2 12 1 2 12
4 25 3 21 0x x xx x x xx+ +− = ⇔ + − − =
16
( )
29
4 3 4 21 0
3
mm⇔− − − =⇔ =
(thỏa mãn)
Vậy
29
3
m =
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 2:
Cho phương trình
( )
32
3 31 310x x m xm− + + − +=
. Tìm
m
để phương trình
a) Có ba nghiệm phân biệt trong đó có hai nghiệm dương và một nghiệm âm
b) Có đúng hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm trái dấu
c) Có đúng một nghiệm và nghiệm là nghiệm dương
d) Có ba nghiệm
123
,,
xxx
thỏa mãn
( )
1 2 3 123
2x x x xxx++ =
Lời giải
Ta có
( ) ( )
( )
32 2
3 31 310 1 2310x x m xm x x xn− + + − += ⇔ − − + − =
(
)
2
2
1
10
2 3 1 0*
2 3 10
x
x
x xm
x xm
=
−=
⇔⇔
− + −=
− + −=
a) Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt trong đó có hai nghiệm dương và một nghiệm
âm khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu và khác 1.
( )
2
1
1. 3 1 0
1
3
2
3
1 2.1 3 1 0
3
m
m
m
m
m
<
−<

⇔ ⇔ ⇒<

− + −≠
≠
Vậy
1
3
m <
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm trái dấu khi phương trình
(*) thỏa mãn một trong các trường hợp sau:
TH1: Phương trình (*) có nghiệm kép âm
12
12
'0
23 0
1
2
m
b
xx
xx
a
∆=
−=
⇔⇔
−

= =
= = −
(loại vì nghiệm kép
dương)
TH2: Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu trong đó có một nghiệm bằng 1
17
( )
2
1
1. 3 1 0
3
2
1 2.1 3 1 0
3
m
m
m
m
m
<
−<

⇔ ⇔ ⇒ ∈∅

− + −=
=
Vậy không có giá trị nào của
m
thỏa mãn bài toán.
c) Phương trình đã cho có đúng một nghiệm và nghiệm là nghiệm dương khi phương trình (*)
thỏa mãn một trong các trường hợp sau
TH1: Phương trình (*) có nghiệm kép bằng 1
12
12
12
2
'0
23 0
3
1
1
2
m
m
b
xx
xx
xx
a
∆=
−=
=

⇔ ⇔⇔
−

= =
= =

= =
(thỏa mãn)
TH2: Phương trình (*) vô nghiệm
2
'0 23 0
3
mm⇔∆<⇔− <⇔ >
Vậy
2
3
m ≥
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
d) Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt
123
,,xxx
khi phương trình (*) có hai nghiệm
phân biệt khác 1
2
23 0
'0
2
2
3
1 2.1 3 1 0
3
m
m
m
m
−>
∆>
⇔ ⇔ ⇒<

=
− + −≠
Theo giả thiết
( )
1 2 3 123
2x x x xxx++ =
thì
123
,,xxx
có vai trò như nhau nên ta giả sử
3
1x =
còn
12
,xx
là hai nghiệm của phương trình (*) thỏa mãn hệ thức Viét
12
12
2
31
xx
xx m
+=
= −
Thay
3
1
x =
vào
(
)
1 2 3 123
2x x x xxx++ =
ta được
( ) ( ) ( )
1 2 12
5
1 2 2 1.3 1 2
9
x x xx m m++ =⇒ + −=⇔=
Vậy
5
9
m =
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 2:
Cho phương trình
32
3 3 3 40x x mx m− + + +=
. Tìm
m
để phương trình
a) Có ba nghiệm phân biệt trong đó có hai nghiệm âm và một nghiệm dương
b) Có đúng hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm cùng dấu
c) Có đúng một nghiệm và nghiệm là nghiệm âm
18
d) Có ba nghiệm
123
,,
xxx
thỏa mãn
12 23 13
6xx x x xx−− =+
Lời giải
Ta có
( )
( )
32 2
3 3 340 1 4340x x mxm x x xm
− + ++=⇔+ −++=
( )
2
2
1
10
4 3 40*
4 3 40
x
x
x xm
x xm
= −
+=
⇔⇔
− + +=
− + +=
a) Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt trong đó có hai nghiệm âm và một nghiệm
dương khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khác
1−
( ) ( )
2
4
0
3 40
3
3 90
1 4. 1 3 4 0
3
ac
m
m
m
m
m
−
<
+<
<

⇔ ⇔⇔

+≠
− − −+ +=
≠−
b) Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm cùng dấu khi phương
trình (*) thỏa mãn một trong các trường hợp sau:
TH1: Phương trình (*) có nghiệm kép âm khác
1−
Phương trình (*) có nghiệm kép khi
'0 3 0 0mm∆ = ⇔− = ⇔ =
, khi đó nghiệm kéo của phương
trình (*) là
12
2xx= =
(không thỏa mãn)
TH2: Phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng
1−
( ) ( )
2
'0
30 0
3
3 90 3
1 4. 1 3 4 0
mm
m
mm
m
∆>
−> <

⇔ ⇔ ⇔ ⇒=−

+= =−
− − −+ +=

Vậy
3m = −
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
c) Phương trình đã cho có đúng một nhgiệm và nghiệm là nghiệm âm khi phương trình (*)
thỏa mãn một trong các trường hợp sau
TH1: Phương trình (*) có nghiệm kép bằng
1−
Phương trình (*) có nghiệm kép
'0 3 0 0mm⇔∆ = ⇔− = ⇔ =
, khi đó nghiệm kép của phương
trình (*) là
12
2xx= =
(không thỏa mãn)
TH2: Phương trình (*) vô nghiệm
'0 3 0 0mm⇔∆ < ⇔− < ⇔ >
Vậy
0m >
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
19
d) Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt
123
,,xxx
khi phương trình (*) có hai nghiệm
phân biệt khác
1−
(
) ( )
2
'0
30 0
3 90 3
1 4. 1 3 4 0
mm
mm
m
∆>
−> <

⇔ ⇔⇔

+ ≠ ≠−
− − −+ +≠

Ta có
12 23 13 12 23 13
6 60
xx x x xx xx x x xx− − =+ ⇔ + + +=
, trong đẳng thức này vai trò của
123
,,xxx
là
như nhau nên ta giả sử
3
1x = −
thì
12
,xx
là hai nghiệm phân biệt của phương trình (*) thỏa mãn
định lí Viét
12
12
4
34
xx
xx m
+=
= +
Thay
3
1x = −
vào
12 23 13
6xx x x xx−− =+
ta được
( )
12 1 2
60xx x x− + +=
3 4460 2mm⇒ +−+=⇔ =−
(thỏa mãn)
Vậy
2m
= −
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 2:
Cho phương trình
( )
3
2 80x mx− + +=
. Tìm
m
để phương trình
a) Có ba nghiệm âm phân biệt
b) Có đúng hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm trái dấu
c) Gọi
123
,,
xxx
là ba nghiệm phân biệt của phương trình. Chứng minh
333
1 2 3 123
3xxx xxx++=
Lời giải
Ta có
(
)
( )
( )
(
)
32
2
2
2 80 2 2 4 0
24 *
x
x mx x x x m
xx m
= −
− + +=⇔ + + +− =⇔
+ +−
a) Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt
khác
2−
( ) ( )
2
'0
30 3
40 4
2 2. 2 4 0
mm
mm
m
∆>
−> >

⇔ ⇔⇔

−≠
− + − +− =

b) Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm và hai nghiệm trái dấu khi phương trình (*) thỏa
mãn một trong các trường hợp sau:
TH1: Phương trình (*) có nghiệm kép dương
Phương trình (*) có nghiệm kép dương khi
'0 30 3mm∆= ⇔ − = ⇔ =
, khi đó nghiệm kép của
phương trình là
12
1xx= = −
(loại)
TH2: Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu trong đó có một nghiệm bằng
2−
20
( ) ( )
2
40
44
4
40 4
2 2. 2 4 0
m
mm
m
mm
m
−<
>>

⇔ ⇔ ⇔ ⇒>

−≠ ≠
− + − +− =

Vậy
4m >
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
c) Theo ý a) với
3
4
m
m
>
≠
thì phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt
123
,,
xxx
Trong đẳng thức
333
1 2 3 123
3xxx xxx++=
Bài 1:
Cho phương trình
( )
32
3 3 3 4 01x x mx m− + + +=
Tìm
m
để phương trình đã cho:
a) Có ba nghiệm phân biệt
b) Có đúng hai nghiệm khác nhau
c) Có đúng một nghiệm
d) Có ba nghiệm
123
,,xxx
thỏa mãn
12 23 3 1
6.xx xx xx++=−
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
( )
32 2
1 3 43 10 1 443 10x x mx x x x mx⇔ − ++ +=⇔ + − ++ +=
( )
( )
( )
2
2
1
1 4 43 0
4 4 3 02
x
x xx m
xx m
= −
⇔ + − ++ =⇔
− ++ =
a) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt
( )
2⇔
có hai nghiệm phân biệt
1x ≠−
( ) (
)
2
'443 0
0
3
1 4 1 43 0
m
m
m
m
∆= − − >
<
⇔⇔

≠−
− − −++ ≠
Vậy
0; 3mm< ≠−
là các giá trị cần tìm.
b) (1) có đúng hai nghiệm khác nhau
( )
2⇔
có đúng một nghiệm
1x ≠−
- Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép
1
x ≠−
( ) ( )
2
'443 0
0
0
3
1 4 1 43 0
m
m
m
m
m
∆= − − =
=
⇔ ⇔ ⇔=

≠−
− − −++ ≠
21
- Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm
1x = −
( ) ( )
2
'443 0
0
3
1 4 1 43 0
m
m
m
m
∆= − − >
>
⇔⇔

= −
− − −++ =
(lọai)
Vậy
0
m =
là giá trị cần tìm.
c) (1) có đúng hai nghiệm
( )
2⇔
không có nghiệm nào thỏa mãn
1x ≠−
- Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép
1
x = −
( ) ( )
2
'443 0
0
3
1 4 1 43 0
m
m
m
m
∆= − − =
=
⇔⇔

= −
− − −++ =
(lọai)
- Trường hợp 2: (2) vô nghiệm
'443 0 0mm⇔∆ = − − < ⇔ >
Vậy
0m >
là giá trị cần tìm
d) Theo câu a) với
0; 3mm< ≠−
thì (1) có ba nghiệm phân biệt
123
,,xxx
. Do
123
,,xxx
vai trò như
nhau và trong ba nghiệm của (1) có một nghiệm bằng -1 nên ta giả sử
3
1
x = −
thì
12
,xx
là hai
nghiệm của (2).
Theo định lý Viet, ta có
1 2 12
4; 3 4
bc
x x xx m
aa
−
+= = == +
Thay
3
1x = −
vào
12 23 3 1
6xx xx xx++=−
ta được:
(
)
12 1 2
6 3 44 6 2xx x x m m− + =−⇔ +− =−⇔ =−
(tm)
Vậy
2m
= −
là giá trị cần tìm.
Dạng 2: Phương trình trùng phương
Bài toán: Tìm
m
để phương trình
42
0( 0)ax bx c a+ += ≠
(1)
a) Có bốn nghiệm phân biệt
b) Có đúng ba nghiệm khác nhau
c) Có đúng hai nghiệm khác nhau
d) Có đúng một nghiệm
e) Vô nghiệm
Cách giải:
Bước 1: Đặt
( )
2
0,t xt= ≥
phương trình đã cho trở thành
2
0at bt c+ +=
Bước 2: Nhận xét
- Với
0t <
thì không có x
22
- Với
0t =
thì có một giá trị
0x =
- Với
0t >
thì có hai giá trị của x là
xt= ±
Do đó ta có các kết quả sau
a) (1) có bốn nghiệm phân biệt khi (2) có hai nghiệm phân biệt
12
0; 0
tt
>>
b) (1) có đúng ba nghiệm khác nhau khi (2) có hia nghiệm phân biệt
12
0; 0tt= >
c) (1) có đúng hai nghiệm khác nhau xảy ra hai trường hợp:
- Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép
12
0tt= >
- Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
12
0tt<<
d) (1) có đúng một nghiệm xảy ra 2 trường hợp
- Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép
12
0tt= =
- Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
12
0; 0tt<=
e) (1) vô nghiệm xảy ra ba trường hợp
- Trường hợp 1: (2) vô nghiệm
12
0tt= <
- Trường hợp 2: (2) có nghiệm kép
- Trường hợp 3: (2) có hai nghiệm phân biệt
12
0; 0tt<<
Bài 2:
Cho phương trình:
( )
4 22
2( 1) 0 1x m xm− + +=
. Tìm
m
để:
a. Phương trình có bốn nghiệm
b. Phương trình vô nghiệm
c. Phương trình có ba nghiệm phân biệt
Lời giải
Đặt
22 2 2
( 0) 2( 1) 0(2); ' 2 1; 2( 1);y xy y m ym m S m P m= ≥ ⇒ − + + = ∆= + = + =
a. (1) có 4 nghiệm phân biệt
(2)⇔
có hai nghiệm dương phân biệt
2
0 2 10
1
0 2( 1) 0
2
0
0
0
m
m
Sm
m
P
m
∆> + >
−
>

⇔ >⇔ +>⇔


≠
>
>
b. (1) vô nghiệm khi (2) vô nghiệm hoặc (2) có hai nghiệm âm
23
+) (2) vô nghiệm
1
'2 10
2
mm
−
⇔∆ = + < ⇔ <
+) (2) có hai nghiệm âm
(vô nghiệm)
Vậy (1) vô nghiệm khi
1
2
m
−
<
c) (1) có 3 nghiệm phân biệt
2
0
cm⇔= =
(
( )
1
có nghiệm
0x
=
)
42
0
(1) 2 0
2
x
xx
x
=
⇔− =⇔
= ±
Bài 3:
Cho phương trình:
43
4 8 (1)x x xm− +=
. Tìm
m
để:
a. Giải phương trình với
5m
=
b. Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt
Lời giải
a. Với
{
}
222
5 (1) ( 2) 4( 2) 5 0 1;1 6
m xx xx S=⇒⇔−−−−=⇒=±
b. Đặt
2 22
2 ( 1) 1 1 4 0t x x x t tm= − = − − ≥− ⇒ − − =
Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt
1
2
'0
10 4 5
10
tm
t
∆>
⇔ + > ⇔− < <
+>
Bài 4:
Cho phương trình:
( ) ( )
42
2 1 2 2 01x m xm− − + −=
. Tìm
m
để phương trình đã cho
a) Có bốn nghiệm phân biệt
b) Có đúng ba nghiệm khác nhau
c) Có đúng hai nghiệm khác nhau
d) Có bốn nghiệm phân biệt thỏa mãn
4444
1 234
10xxxx
+++=
Lời giải
Cách 1:
24
a) Đặt
2
, 0,t xt= ≥
phương trình (1) trở thành
( ) ( )
2
2 1 2 2 02t m tm− − + −=
Nhận xét:
- Với
0
t <
thì không có
x
- Với
0t =
thì có một giá trị
0x =
- Với
0t >
thì có hai giá trị của
x
là
xt= ±
a) (1) có bốn nghiệm phân biệt khi (2) có hai nghiệm phân biệt
12
0; 0
tt
<>
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 22
2 1 4.1. 2 2 2 1 8 8 2 2
m m mmm

∆= − − − − = − − + = −

- (2) có hai nghiệm phân biệt
12
,tt
khi
(
)
2
3
0 23 0
2
mm∆>⇔ − >⇔ ≠
Theo định lý Viet, ta có
1 2 12
2 1; 2 2
bc
t t m tt m
aa
−
+= = − == −
-
12
12
12
0
2 10
0; 0 1
0 2 20
tt
m
tt m
tt m
+>
−>
> >⇔ ⇔ ⇔ >

> −>
Vậy
3
1;
2
mm>≠
là giá trị cần tìm.
b) (1) có đúng ba nghiệm khác nhau khi (2) có hai nghiệm phân biệt
12
0; 0
tt= >
- Theo trên thì (2) có hai nghiệm phân biệt
12
;tt
khi
3
2
m ≠
-
( )
( )
2
12
12
0 2 1 .0 2 2 0
0; 0 1
2 10
mm
t t m tm
tt m
− − + −=
= >⇔ ⇔ =
+ = −>
Vậy
1
m =
là giá trị cần tìm.
c) (1) có đúng hai nghiệm khác nhau xả ra hia trường hợp
- Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép
( )
2
12
23 0
3
0
2
2 10
m
tt m
b
m
a
∆= − =
= >⇔ ⇔ =
−
= −>
- Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
12
0 2 20 1
c
tt m m
a
<< ⇔ = −<⇔ <
Vậy
3
1;
2
mm<=
là các giá trị cần tìm.
d) Theo câu a) thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi
3
1;
2
mm>≠
25
Do
12
0; 0tt>>
nên bốn nghiệm phân biệt của (1) là:
1 12 13 2 4 2
;; ;x txtx txt=−==−=
Suy ra
( )
( ) ( ) ( )
( )
22 2 2
4444 22
1 2 3 4 1 1 2 2 12
2xxxx t t t t tt+++=− + +− + = +
( ) ( ) ( )
( )
22
2
1 2 12
2 2 2 2 1 22 2 24 8 5t t tt m m m m

= + − = −− − = −+

Do
( )
4444 2 2
1 234
0( )
10 2 4 8 5 10 4 8 0
2( )
m loai
xxxx m m m m
m tm
=
+++=⇔ − +=⇔ − =⇔
=
Vậy
2m =
là giá trị cần tìm.
Cách 2: Đưa về tích
Phương trình (1)
4 2 2 42 2
2 2 20 22 2 0
x mx x m x x mx m⇔− ++−=⇔+−− +=
( )( ) ( )
( )
(
)
22 2 22 2
1 2 2 1 0 1 2 2 0 1; 2 2xx mx xxmx xxm⇔− +− −=⇔− − +=⇔=± =−
a) Vì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là
1x
= ±
nên để phương trình đã cho có
bốn nghiệm phân biệt thì phương trình
2
22
xm= −
phải có hai nghiệm phân biệt khác
1±
( )
2
2 20
3
1;
2
22 11
m
mm
m
−>
⇔ ⇔> ≠
− ≠± =
Vậy
3
1;
2
mm
>≠
là giá trị cần tìm
b) Vì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là
1
x
= ±
nên phương trình đã cho có ba
nghiệm khác nhau thì phương trình
2
22xm= −
phải có đúng một nghiệm
0 2 20 1
xm m=⇔ −=⇔ =
Vậy
1m
=
là giá trị cần tìm
c) Vì phương trình đã cho có hai nghiệm khác nhau là
1x
= ±
nên để phương trình đã cho có
đúng hai nghiệm khác nhau thì phương trình
2
22xm= −
hoặc vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm
là
1
2 20
1
3
2 21
2
m
m
x
m
m
<
−<
=±⇔ ⇔
−=
=
Vậy
3
1;
2
mm<=
là giá trị cần tìm.
d) Theo câu a) thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi
3
1;
2
mm>≠
khi đó bốn
nghiệm của (1) là
1; 2 2 ,xx m=±=± −
do đó
4444
1 234
10xxxx+++=
26
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
44
4 22 2
4
11 22 22 101122 2210 22 4m m mm m⇔−++− −+ −=⇔++ −+ −=⇔ −=
(
)
( )
0
222
2
m loai
m
m tm
=
⇔ − =±⇔
=
Vậy
2m =
là giá trị cần tìm.
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Giải các phương trình sau
a.
42
6 16 0
xx− −=
b.
(
) (
)
42
1 1 20 0
xx
+++−=
Hướng dẫn giải
a)
42
6 16 0 2 2xx x− − =⇔=±
b)
(
)
( )
{
}
42
1 1 20 0 1; 3
xx x+++−=⇔∈−
Bài 2: Giải các phương trình sau
a.
( )
( )
2
2 4 11 2
11 2
x xx
x xx
+ −−
=
− −+
b.
( )
( )(
)
81
2
42 2 4
x
xx
x x xx
+
+=
+− −+
Hướng dẫn giải
a)
( )
( )
2
2 4 11 2 2
11 2 5
x xx
x
x xx
+ −−
= ⇔=
− −+
b) Phương trình vô nghiệm
Bài 3: Giải các phương trình sau
a.
( )
( )
( )
2
13 2 2x x xx+ − −=−
b.
( )
( )( )
2
6532 135x xx+ + +=
c.
( )(
)
22 2
58 682xx xx x++ ++=
b.
41
2
41
xx
x
x
−
+=
−
Hướng dẫn giải
a)
( )( )
( )
2
13
13 2 2
12
x
x x xx
x
= ±
+ − − =−⇔
= ±
b)
( ) ( )( )
2
5 21
6532 135
6
x xx x
−±
+ + += ⇔=
27
c)
( )( )
22 2
7 17
58 682
2
xx xx x x
−±
+ + + + = ⇔=
d)
41
2 23
41
xx
x
x
x
−
+ =⇔=±
−
Bài 4: Giải các phương trình sau
a.
32
8 60xx x− − −=
b.
32
1
3
xxx− −=
Hướng dẫn giải
a)
32
1
8 60
17
x
xx x
x
= −
− − −=⇔
= ±
b)
32
3
11
3
41
xxx x− −= ⇔=
−
| 1/27
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI A. Lý thuyết
1. Phương trình trùng phương: Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: 4 2
ax + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Cách giải: Đặt ẩn phụ 2
t = x (t ≥ 0) để đưa phương trình về phương trình bậc hai 2
at + bt + c = 0(a ≠ 0)
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của ẩn của phương trình
Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được ở bước 2
Bước 4: So sánh các nghiệm tìm được ở bước 3 với điều kiện xác định và kết luận
3. Phương trình đưa về dạng tích
Để giải phương trình đưa về dạng tích, ta có thể thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0
Bước 2: Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm.
B. Bài tập và các dạng toán
I. Phương trình không chứa tham số
Dạng 1: Giải phương trình trùng phương
Cách giải: Xét phương trình trùng phương 4 2
ax + bx + c = 0(a ≠ 0) Bước 1: Đặt 2
t = x (t ≥ 0) ta được phương trình bậc hai: 2
at + bt + c = 0(a ≠ 0)
Bước 2: Giải phương trình bậc hai ẩn t từ đó tìm được các nghiệm của phương trình trùng phương đã cho.
Bài 1: Giải các phương trình sau: a) 4 2 x + 5x 6 − = 0 b) 4 2 x + x 20 − = 0
c) (x + )4 − (x + )2 1 5 1 −84 = 0 Lời giải 1 t =1 (TM ) a) Đặt 2
x = t (t ≥ 0), phương trình đã cho trở thành 2t + 5t − 6 = 0 ⇔  t = 6 −  (KTM ) Với 2 2
t =1⇒ x =1 ⇔ x = 1 ±
Vậy phương trình có tập nghiệm S ={± } 1 . b) Cách 1: Đặt 2
x = t (t ≥ 0), phương trình đã cho trở thành 2 2
t + t − 20 = 0 ⇔ t + 5t − 4t − 20 = 0 t = 5 − (KTM )
⇔ (t + 5)(t − 4) 2 = 0 ⇔  ⇒ = ⇔ = ± t =  (TM ) x 4 x 2 4
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {± } 2 . Cách 2: Giải trực tiếp Ta có 4 2 4 2 2 2
x + x − = ⇔ x + x − x − = ⇔ x ( 2 x + ) − ( 2 x + ) = ⇔ ( 2 x + )( 2 20 0 5 4 20 0 5 4 5 0 5 x − 4) = 0 2
⇔ x − 4 = 0 ⇔ x = 2 ±
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {± } 2 . c) Đặt (x + )2
1 = t ≥ 0, phương trình đã cho trở thành 2t − 5t −84 = 0 , từ đó ⇒ x = 1 − ± 2 3
Bài 2: Giải các phương trình sau: a) 4 2 2x + 7x 5 + = 0 b) 4 2
4x + 8x −12 = 0 Lời giải t = 1 − (KTM ) a) Đặt 2
x = t (t ≥ 0), phương trình đã cho trở thành 2 2t 7t 5 0  + + = ⇔  5 t = − (KTM )  2
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. t =1 (TM ) b) Đặt 2
x = t (t ≥ 0), ta có: 2
4t + 8t −12 = 0 ⇔  t = 3 −  (KTM ) Với 2
t =1⇒ x =1 ⇔ x = 1 ±
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {± } 1 .
Bài 3: Giải các phương trình sau: a) 4 2 7 5x − 3x + = 0 b) 2 25 4x − 29 + = 0 16 2 x 2 Lời giải 2  =  a) Đặt 7 y 0,35 x = 0,35 2 2 2
y = x (y ≥ 0) ⇒ 5y − 3y +
= 0 ⇔ 80y − 48y + 7 = 0 ⇔ ⇔   2 16  y = 0, 25 x = 0.25
⇔ x ∈{± 0,35;± 0,25}
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {± 0,35;± 0,25}
b) Điều kiện x ≠ 0 Phương trình (1)  y =1 x = 1 ± 4 2 2
⇔ 4x − 29x + 25 = 0 ⇔ 4y − 29y + 25 = 0 ⇔ ⇔   y 6, 25  = x = 2, ± 5
Vậy phương trình có tập nghiệm 5 S  1;  = ± ± 2  
Bài 4: Giải các phương trình sau: a) 4 2 1
4,5x + 4x − = 0 b) 4 2
x −10(2 − 2)x − 2 2 + 3 = 0 2 c) 4 2
x − (3 2 − 5)x +10 − 7 2 = 0 d) 4 2
( 5 − 3)x − (4 5 +1)x + 3 5 + 4 = 0 Lời giải a) Đặt 2 1
x = t (t ≥ 0) , phương trình đã cho trở thành 2 2
4,5t + 4t − = 0 ⇔ 9t + 8t −1 = 0 2 t = 1 − (KTM ) Có a b c 0  − + = ⇒  1 t = (TM )  9 Với 1 2 1 1
t = ⇒ x = ⇔ x = ± 9 9 3
Vậy phương trình có tập nghiệm 1 S   = ± . 3   b) Đặt 2
x = t (t ≥ 0) , phương trình đã cho trở thành 2t −10(2− 2)t − 2 2 +3 = 0
Bài 5: Giải các phương trình sau: a) 4 2
x − (3 2 − 5)x +10 − 7 2 = 0 b) 4 2
( 5 − 3)x − (4 5 +1)x + 3 5 + 4 = 0 Lời giải a) Đặt 2
x = t (t ≥ 0) , phương trình đã cho trở thành 2t − (3 2 −5)t +10−7 2 = 0 3 b) Đặt 2
x = t (t ≥ 0) , phương trình đã cho trở thành ( − ) 2 5 3 t − (4 5 + ) 1 t + 3 5 + 4 = 0
Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Cách giải: Ta thực hiện thep các bước sau
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của ẩn của phương trình
Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được ở bước 2
Bước 4: So sánh các nghiệm tìm được ở bước 3 với điều kiện xác định và kết luận
Bài 1: Giải các phương trình sau: 2
a) 2x −1 3x −1 x − 7 x − 3x + 5 1 + = + 3 b) = x +1 x + 2 x −1 2 x − x − 6 x − 3 c) 2x 5 5 − = 2
x − 2 x − 3 x − 5x + 6 Lời giải
a) Điều kiện x ≠ 1; − x ≠ 2 − ; x ≠ 1 Ta có (2x − )
1 (x + 2)(x − ) 1 (3x − ) 1 (x + ) 1 (x − ) 1 (x −7)(x + ) 1 (x + 2) (x + ) 1 (x − ) 1 (x + 2) ⇔ ( + = + x + ) 1 (x − ) 1 (x + 2) (x + ) 1 (x − ) 1 (x + 2) (x + ) 1 (x − ) 1 (x + 2) (x + ) 1 (x − ) 1 (x + 2) ⇒ (2x − )
1 (x + 2)(x − ) 1 + (3x − ) 1 (x + ) 1 (x − )
1 = (x − 7)(x + )
1 (x + 2) + (x + ) 1 (x − ) 1 (x + 2) ⇔ ( x − )( 2
x − x + x − ) + ( x − )( 2
x − ) = (x − )( 2 x + x + ) + ( 2 2 1 2 2 3 1 1 7 3 2 x − ) 1 (x + 2) Tìm được: 5 x − = hoặc x = 5 4 b) Tìm được x =1 c) Tìm được: 1
x = hoặc x = 5 2
Bài 2: Giải các phương trình sau: a) 2x −5 3x + − =
b) x 5 x 3 5 3 − = − x −1 x − 2 3 5 x − 3 x + 5
c) 1+ x 1− x  1+ x  3 −  : −  1 = 
1 x 1 x  1 x  − + −  14 − x Lời giải 4
a) Điều kiện: x ≠1; x ≠ 2 2x − 5 3x
(2x −5)(x − 2) 3x(x − ) 1 = ⇔ = ⇒ − − = − ⇔ + − = x − x −
(x − )(x − ) (x − )(x − ) (2x 5)(x 2) 3x(x ) 2 1 x 6x 10 0 1 2 1 2 1 2
Ta có: ∆ = 36 + 40 = 76 ⇒ ∆ = 2 19 6 − + 2 19 6 − − 2 19 ⇒ x = = 19 − 3; x = = − 19 − 3 1 1 2 2
b) Điều kiện x ≠ 3; x ≠ 5 − 2 2
Ta có phương trình 5(x −3)(x +5) 3(x −3) (x + 5) 75(x + 5) 45(x − 3) ⇔ − = −
15(x − 3)(x + 5) 15(x − 3)(x + 5) 15(x − 3)(x + 5) 15(x −3)(x + 5)
⇔ (x − )(x + )2 − (x − )2 5 3 5 3
3 (x + 5) = 75(x + 5) − 45(x − 3) Tìm được: x = 17 − hoặc x = 1 − ± 31 c) Điều kiện 1+ ≠ 1; x x ± −1 ≠ 0; x ≠ 14 1− x 2 2  + − − 
Ta có 1+ x 1− x  1+ x  3
(1 x) (1 x)  + − − 1 x 1 x  3  : −  1 =  ⇔   : − =  
1 x 1 x  1 x  − + −  14 − x
 (1− x)(1+ x)  1− x 1− x  14 − x  
( + x)2 −( − x)2 1 1 2x 3
( + x)2 −( − x)2 1 1 ⇔ 3 ( = ⇔ = − x)( + x) : 1 1 1− x 14 − x 2x(1+ x) 14 − x
(1+ x +1− x)(1+ x −1+ x) 3 2 3 ⇔ = ⇔ =
⇒ 28 − 2x = 3+ 3x 2x(1+ x) 14 − x 1+ x 14 − x
⇔ 5x = 25 ⇔ x = 5 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm x = 5
Bài 3: Giải các phương trình sau a. 1 3 1 + + = 1+ b. 30 13 18x 17 − = (x ≠ 1) ± 2 3x − 27 4 x − 3 2 2 3
x −1 x + x +1 x −1 Lời giải
a. Điều kiện xác định: 1 3 1 x ≠ 3 ± ⇒ (1) ⇔ + =1+
3(x + 3)(x − 3) 4 x − 3 2 2
⇒ 4 + 9(x − 9) =12(x − 9) +12(x + 3) 2 2 2 2
⇔ 4 + 9x −81 =12x −108 +12x + 36 ⇔ 3
− x −12x − 3 = 0 ⇔ x + 4x +1 = 0 ⇔ x ∈{ } ... b. x∈{ 4; − } 9 5
Bài 4: Giải các phương trình sau c. 38 x +10 x +10 = − 4 2 2 2
x − x + 20x −100 x + x −10 x − x +10 d. 4 1 4 1 − − + = 0 3 2 2 2
2x + 3x −8x −12 x − 4 2x + 7x + 6 2x + 3 Lời giải c. Ta có 2 1 2 39 2
x − x +10 = (x − ) +
> 0 ⇒ x + x −10 ≠ 0 ( không nên giải điều kiện ) ⇒ S = { 9; − } 9 2 4 d. Ta có: 3 2 2 2
2x + 3x −8x −12 = (2x + 3)(x + 2)(x − 2); x − 4 = (x + 2)(x − 2);2x + 7x + 6 = (x + 2)(2x + 3)
Vậy điều kiện xác định: x ≠ 1 − ,5; x ≠ 2 ± ⇒ S = {1; } 5
Dạng 3: Phương trình đưa về dạng tích
Cách giải: Để giải phương trình đưa về dạng tích, ta có thể làm theo các bước sau:
Bước 1: Chuyển vế và phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0
Bước 2: Xét từng nhân tử bằng 0 và tìm nghiệm
Bài 1: Giải các phương trình sau: a. 3 2
x + 3x + x + 3 = 0 b. 2 2
2x(3x −1) − 9x +1 = 0 Lời giải a) 3 2 2
x + 3x + x + 3 = 0 ⇔ (x + 3)(x +1) = 0 ⇔ x = 3 −
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {− } 3  1 = b) x 2 2 2
2x(3x 1) 9x 1 0 (3x 1)(6x x 1) 0  − − + = ⇔ − − + = ⇔ 3  2
6x − x +1 = 0  (*) Giải phương trình (*) 2 6x − x +1 = 0 Có ∆ =1− 24 = 23
− < 0. Vậy phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy phương trình có tập nghiệm 1 S   =  3   6
Bài 4: Giải các phương trình sau: a) 4 3 2
x −10x + 25x − 36 = 0 b) 4 2
x − 9x − 24x −16 = 0 Lời giải 2  a)
x − 5x − 6 = 0 4 3 2 2 2
x −10x + 25x − 36 = 0 ⇔ (x − 5x) − 36 = 0 ⇔  ⇔ x ∈{ 1 − ;2;3; } 6 2
x − 5x + 6 = 0
Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 1; − 2;3; } 6 b) 4 2 4 2 4 2
x − 9x − 24x −16 = 0 ⇔ x − (9x + 24x +16) = 0 ⇔ x − (3x + 4) = 0 ⇔ x∈{ 1 − ; } 4
Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 1; − } 4 Bài 1: Giải phương trình sau: 3 2
x − 4x + 2x + 4 = 0 Lời giải
Nhận xét: Phương trình này nhẩm được một nghiệm x = 2 nên ta sẽ tách được nhân tử x − 2 Cách 1: Ta có 3 2 3 2 2
x − 4x + 2x + 4 = 0 ⇔ x − 2x − x + 4x − 2x + 4 = 0 2
⇔ x (x − ) − x(x − ) − (x − ) = ⇔ (x − )( 2 2 2 2 2 2 0
2 x − 2x − 2) = 0 ⇔ x∈{2;1± 3} Cách 2: Ta có 3 2
x − x + x + = ⇔ ( 3 x − ) − ( 2
x − ) + (x − ) = ⇔ (x − )( 2 4 2 4 0 8 4 4 2 2 0
2 x + 2x + 4) −
(x − )(x + )+ (x − ) = ⇔ (x − )( 2 4 2 2 2 2 0
2 x − 2x − 2) = 0 ⇒ x∈{2;1± 3}
Cách 3: Đặt phép chia đa thức 3 2
x − 4x + 2x + 4 = 0 cho đa thức x − 2 ta được thương là 2
x − 2x − 2 nên 3 2
x − x + x + = = (x − )( 2 4 2 4 0
2 x − 2x − 2) ⇒ x∈{2;1± 3}
Bài 2: Giải các phương trình sau a) 3 2
x − 3x − 3x − 4 = 0 b) (x − )3 3 1 + x + (x + )3 1 − (x + 2)3 = 0 Lời giải a) Ta có: 3 2
x − 3x − 3x − 4 = 0 ⇔ (x − 2)(x + 2)(x +3) = 0 ⇔ x∈{± 2;− } 3
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {− 2; 3 − ; 2} b) Ta có: (x − )3 3 1 + x + (x + )3
1 − (x + 2)3 = 0 ⇔ x = 4
Vậy phương trình có tập nghiệm S = { } 4 7
Bài 3: Giải các phương trình sau: a) 3 2
2x − 7x + 4x +1 = 0
b) (x + x − )2 = (x − x + )2 2 2 2 5 5 Lời giải x = 1 a) 3 2 2x 7x 4x 1 0  − + + = ⇔ 5 ±  33 x =  4 b) (x x )2 (x x )2 2 2 1 10 2 5 5 x 0; ;  + − = − + ⇔ ∈  2 3   
Bài 4: Giải các phương trình sau: a) 3 2 2 3 2 2
(x − 4x + 5) − (x − 6x +12x − 5) = 0 b) 3 2
x + 2x + 2 2x + 2 2 = 0 Lời giải a) Ta có 3 2 2 3 2 2
(x − 4x + 5) − (x − 6x +12x − 5) = 0 3 2 3 2 3 3 2
⇔ (x − 4x + 5 + x − 6x +12x − 5)(x − 4x + 5 − x + 6x −12x + 5) = 0 3 2
2x −10x +12x = 0 3 2 2
⇔ (2x −10x +12x)(2x −12x +10) = 0 ⇔  ⇔ x ∈{0;1;2;3; } 5 2
2x −12x +10 = 0
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {0;1;2;3; } 5 b) Ta có 3 2 3 3
x + 2x + 2 2x + 2 2 = 0 ⇔ x + ( 2) + 2x(x + 2) = 0 2
⇔ (x + 2)(x − x 2 + 2) + 2x(x + 2) = 0 2
⇔ (x + 2) x + (2 − 2)x + 2 = 0 ⇔ x = − 2  
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {− 2}
Dạng 4: Giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Cách giải: Để giải phương trình đưa về dạng tích, ta có thể làm theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện xác định (nếu có)
Bước 2: Đặt ẩn phụ, đặt điều kiện của ẩn phụ (nếu có) và giải phương trình theo ẩn mới
Bước 3: Tìm nghiệm ban đầu và so sánh với điều kiện xác định và kết luận. Bài 1:
Giải phương trình sau x(x − )( 2 1 x − x + ) 1 = 6 8 Lời giải
Ta có: x(x − )( 2x − x + ) = ⇔ ( 2x − x)( 2 1 1 6 x − x + ) 1 = 6 Đặt t = 2 2
t = x − x, ta được 2t + t − 6 = 0 ⇔  t = 3 − - Với 2
t = 2 ⇒ x − x − 2 = 0 ⇔ x∈{ 1; − } 2 - Với 2 t = 3
− ⇒ x − x + 3 = 0 ⇔ x ∈∅
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = { 1; − } 2 .
Bài 2: Giải các phương trình sau: a. x(x + )
1 (x + 2)(x + 3) = 0 b. ( 2 x + x + )( 2 x + x + ) 2 16 60 17 60 = 6x c. 2x 7x − = 1 2 2
3x − x + 2 3x + 5x + 2 Lời giải
a) x(x + )(x + )(x + ) = ⇔ ( 2x + x)( 2 1 2 3 0 3
x + 3x + 2) = 0 . Đặt 2
y = x + 3x +1, ta được y = 3 ± Với 3 17 y 3 x − ± = ± ⇒ = 2
b) Ta đi xét 2 trường hợp
Trường hợp 1: Với x = 0, thay và phương trình không thấy thỏa mãn
Trường hợp 2: Với x ≠ 0, chia cả 2 vế cho 2 x ta được:  60  60 x 16 x 17  + + + + =    6 x  x  Đặt 60  y = 2 x = 15 − y = x +16 + ⇒ ⇒ x   y 3  = − x = 4 −
c) Ta đi xét 2 trường hợp
Trường hợp 1: Với x = 0, thay và phương trình không thấy thỏa mãn
Trường hợp 2: Với  y = − − ±
x ≠ 0, chia cả 2 vế cho 2 x sau đó đặt 2 11 11 97 y = 3x + ⇒ ⇒  x = xy = 2 6
Bài 3: Giải các phương trình sau: a. (x − x)2 2 − ( 2 3
6 x − 3x) − 7 = 0 b. 6 3
x + 61x −8000 = 0 9 c. x x +1 −10 = 3 x +1 x Lời giải a) Đặt 2
y = x − 3x , từ đó tìm được 3 37 x ± = hoặc 3 5 x ± = 2 2 b) Đặt 3
y = x , từ đó tìm được x = 4 hoặc x = 5 − c) Tìm được: 5 x − = hoặc 2 x − = 4 3
Bài 4: Giải các phương trình sau: a) 2 2
(x − x +1)(x − x + 3) =15 b) x −9 − 2 x −1 = 0 Lời giải c. Đặt 1 3  y = 5 2 2 1± 17
y = x − x +1 = (x + ) + > 0 ⇒ y > 0 ⇒ y(y + 2) =15 ⇔ ⇒ x =  1,2 2 4  y = 4( − loai) 2
d. x −9 − 2 x −1 = 0 ⇔ (x −1) − 2 x −1 −8 = 0 Đặt t = 4 2
t = x −1(t ≥ 0) ⇒ t − 2t −8 = 0 ⇔
⇔ x −1 = 4 ⇔ x =  17 t = 2( − loai)
Bài 4: Giải các phương trình sau: a) 2 2
3x + 2x = 2 x + x − x +1 b) 2 2
x − 4x + 4 = 4 x − 4x +1 Lời giải a) Điều kiện x ≥ 0 2
x + x ≥ 0 ⇔ x(x +1) ≥ 0 ⇔  x ≤ 1 −  y =1 TM phương trình 2 2 2 3(x x) 2 x x 1 0 3y 2y 1 0 ( 2 y x x; y 0) ( )  ⇔ + − + − = ⇔ − − = = + ≥ ⇔ 1 −  y = (KTM )  3 2 2 1 5 x x 1 x x 1 x − ± ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = 2 − ± 
Vậy phương trình có tập nghiệm 1 5 S  =  2    b) Điều kiện 2
x − 4x +1≥ 0 10 y =1 2 2 2 2 2
x − 4x + 4 = 4 x − 4x +1 ⇔ x − 4x +1+ 3 = 4 x − 4x +1 ⇔ y − 4y + 3 = 0 ⇔   y = 3 x = 0 (TM ) + Với 2 2
y =1⇒ 4x − 4x +1 =1 ⇔ 4x − 4x = 0 ⇔  x = 1  (KTM ) x = 1 − (TM ) + Với 2 2
y = 3 ⇒ 4x − 4x +1 = 3 ⇔ 4x − 4x −8 = 0 ⇔  x = 2  (KTM )
Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 1; − } 0
Dạng 5: Phương trình chứa căn thức
Cách giải: Làm mất dấu căn bằng cách đặt ẩn phụ hoặc lũy thừa hai vế  ≥ Chú ý: B 0 A = B ⇔  2 A = B
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a. x − 6 x + 9 = 3− x b. 2
x + x +1 = 3− x Lời giải
a) Điều kiện x ≥ 0, ta có: x − 6 x + 9 = 3− x ⇔ x −3 = 3− x ⇔ x −3 ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 9 x ≤ 3 b) 3  − x ≥ 0 2  8
x + x +1 = 3− x ⇔  ⇔  ⇔ x = . 2 8
x + x +1 = 3 − xx = 7  7
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a. x −5 = x − 7
b. 3x + 7 − x +1 = 2 c. 2
x − 4x = 8 x −1 d. 2 x + x + 72 = 72 Lời giải
a. Điều kiện x ≥ 7 t = 1 − (KTM ) Cách 1: Đặt 2 2 2
t = x − 5 ⇒ x = t + 5(t ≥ 0) ⇒ (1) ⇔ t = t + 5 − 7 ⇔ t − t − 2 = 0 ⇔  t = 2  (TM )
Với t = 2 ⇒ x −5 = 2 ⇔ x −5 = 4 ⇔ x = 9 (thỏa mãn) 11 x = 9 (TM )
Cách 2: Bình phương hai vế ta được: 2
x − 5 = x −14x + 49 ⇔  x = 6  (KTM )  7 − b. Điều kiện: 3  x + 7 ≥ 0 x ≥  ⇔  3 ⇔ x ≥ 1 − x +1 ≥ 0 x ≥ 1 − 2
(1) ⇔ 3x + 7 = 2 + x +1 ⇔ 3x + 7 = 4 + 4 x +1 + x +1 ⇔ 2 x +1 = x +1 ⇔ 4(x +1) = (x+1) 2
⇔ x − 2x − 3 = 0 ⇔ S = { 1; − } 3
c. Điều kiện: x ≥1 Ta có 2 2 2 2 2
(1) ⇔ (x − 4x) = 64(x −1) ⇔ x (x −8x + 8) + 8(x −8x + 8) = 0 2 2
⇔ (x + 8)(x −8x + 8) = 0 ⇔ x = 4 + 2 2
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {4+ 2 2}.
Dạng 6: Một số dạng khác
Cách giải: Ngoài các phương pháp trên, ta còn dùng các phương pháp hằng đẳng thức, thêm
bớt hạng tử, hoặc đánh giá hai vế... để giải phương trình
Bài 1: Giải các phương trình sau: a. 4
x = 24x + 32 c. 4 2
x − x + 2x −1 = 0 Lời giải a) 4 4 2 2 x = x +
⇔ x + x = x + x + ⇔ ( 2 24 32 4 4 24 32
x + 2)2 = (2x + 6)2 ⇔ x =1± 5 b) 4 2 1 5 x x 2x 1 0 x − ± − + − = ⇔ = 2
Bài 2: Giải các phương trình sau bằng phương pháp đánh giá a. 4 4
1− x + x =1 b. 2 2
4x − 4x + 5 + 12x −12x +19 = 6 Lời giải a) Điều kiện: 4 4
0 ≤ x ≤1⇒ 1− x ≥1− ;
x x ≥ x ⇒ VT ≥1− x + x =1 = VP Dấu ‘=’ xảy ra 1  − x = 0 x =1 ⇔ ⇒ 1   x 1  − = x = 0 b) 2 2 1
4x − 4x + 5 + 12x −12x +19 = 6 ⇔ x = 2 12
Bài 3: Giải các phương trình sau 2 a. 2
4x − 4x − 6 2x −1 + 6 = 0 25x b. 2 x + = 11 ( x + 5)2 Lời giải
a) Đặt x − = t (t ≥ ) 2 2 1
0 ⇒ t − 6t + 5 = 0 ⇔ t ∈{1; } 5 ⇒ x ∈{ 2 − ;0;1; } 3 2 2 b) 2 25x  5x  5 + =11 ⇔ − + 2 . x x x x =   11 (x +5)2  x + 5  x + 5 2 Đặt x  ±  t t { } 1 21 11;1 x  = ⇒ ∈ − ⇒ ∈ x 5  2  +   13
II. Phương trình chứa tham số
Dạng 1: Phương trình bậc ba đưa được về dạng tích (x − k)( 2
ax + bx + c) = 0 Cách giải:
Xét các phương trình bậc ba 3 2
ex + fx + gx + h = 0 đưa được về dạng tích (  = x − k )( x k 2
ax + bx + c) = 0 ⇔  2
ax + bx + c = 0  (*)
Như vậy phương trình bậc ba luôn có nghiệm x = k . Lúc này số nghiệm của phương trình bậc
ba phụ thuộc vào điều kiện của phương trình bậc hai 2
ax + bx + c = 0
*) Các trường hợp về số nghiệm của phương trình bậc ba
1) Phương trình bậc ba có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 2
ax + bx + c có hai ∆ > nghiệm phân biệt 0 x , x khác ⇔ 1 2 k  2
ak + bk + c ≠ 0
2) Phương trình bậc ba có đúng hai nghiệm phân biệt thì:
Trường hợp 1: Phương trình (*) có nghiệm kép khác k
Trường hợp 2: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm là k , nghiệm ∆ > còn lại khác 0 k ⇔  2
ak + bk + c = 0
3) Phương trình bậc ba có đúng một nghiệm
Trường hợp 1: Phương trình (*) vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 ∆ =
Trường hợp 2: Phương trình (*) có nghiệm kép là 0 x = k ⇔  2
ak + bk + c = 0 Bài 1:
Cho phương trình 3x − mx − 2(m − 4) = 0 . Tìm m để phương trình
a) Có ba nghiệm phân biệt
b) Có đúng hai nghiệm phân biệt c) Có đúng một nghiệm 14
d) Có ba nghiệm x , x , x thỏa mãn 2 2 2
x + x + x + x x x = 25 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Lời giải
Ta có 3x − mx − (m − ) = ⇔ (x + )( 2 2 4 0
2 x − 2x + 4 − m) = 0 x + 2 = 0 x = 2 − ⇔  ⇔  2 2
x − 2x = 4 − m = 0
x − 2x = 4 − m = 0  (*)
a) Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2 − ∆ ' > 0  m − 3 > 0 m > 3 ⇔ ( ⇔  ⇔   2 −  )2 − 2.( 2 − ) + 4 − m ≠ 0 12  − m ≠ 0 m ≠ 12
b) Có đúng hai nghiệm phân biệt khi phương trình (*) thỏa mãn một trong các trường hợp sau
TH1: Phương trình (*) có nghiệm kép khác 2 − ∆ ' = 0  m − 3 = 0 m = 3 ⇔ ( ⇔  ⇔  ⇒ m =  2 −  ) 3 2 − 2.( 2 − ) + 4 − m ≠ 0 12  − m ≠ 0 m ≠ 12
TH2: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 2 − ∆ ' > 0  m − 3 > 0 m > 3 ⇔ ( ⇔  ⇔  ⇒ m =  2 −  ) 12 2 − 2.( 2 − ) + 4 − m = 0 12  − m = 0 m =12
c) Phương trình đã cho có đúng một nghiệm khi phương trình (*) thỏa mãn một trong các trường hợp sau:
TH1: Phương trình (*) vô nghiệm ⇔ ∆' < 0 ⇔ m −3 < 0 ⇔ m < 3
TH2: Phương trình (*) có nghiệm kép bằng 2 − ∆ ' = 0  m − 3 = 0 m = 3 ⇔ ( ⇔  ⇔  ⇒ m∈∅  2 −  )2 − 2.( 2 − ) + 4 − m = 0 12  − m = 0 m =12
d) Theo ý a) ta có m > 3 
thì phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt x , x , x m ≠ 12 1 2 3 Trong đẳng thức 2 2 2
x + x + x + x x x = 25 thì x , x , x có vai trò như nhau nên ta giả sử x = 2 − 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3  + = còn x x 2
x , x là hai nghiệm của phương trình (*) thỏa mãn hệ thức Viét 1 2 1 2 x x = 4−  m 1 2 Thay x = 2 − vào 2 2 2
x + x + x + x x x = 25 ta được 2 2
x + x + 4 − x x = 25 ⇔ x + x − 3x x − 21 = 0 1 2 1 2 ( 1 2)2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 15 ⇔ − ( − m) 29 4 3 4 − 21 = 0 ⇔ m = (thỏa mãn) 3 Vậy 29 m =
thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3 Bài 2: Cho phương trình 3 2
x − 3x + (3m + )
1 x − 3m +1 = 0 . Tìm m để phương trình
a) Có ba nghiệm phân biệt trong đó có hai nghiệm dương và một nghiệm âm
b) Có đúng hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm trái dấu
c) Có đúng một nghiệm và nghiệm là nghiệm dương
d) Có ba nghiệm x , x , x thỏa mãn (x + x + x x x x = 2 1 2 3 ) 1 2 3 1 2 3 Lời giải Ta có 3 2
x − x + ( m + ) x − m + = ⇔ (x − )( 2 3 3 1 3 1 0
1 x − 2x + 3n − ) 1 = 0 x −1 = 0 x =1 ⇔  ⇔  2 2
x − 2x + 3m −1 = 0
x − 2x + 3m −1 = 0  (*)
a) Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt trong đó có hai nghiệm dương và một nghiệm
âm khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu và khác 1.  1 1.  (3 − ) 1 < 0 m m <  3 1 ⇔  ⇔  ⇒ m < 2 1
 − 2.1+ 3m −1 ≠ 0 2 3 m ≠  3 Vậy 1
m < thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3
b) Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm trái dấu khi phương trình
(*) thỏa mãn một trong các trường hợp sau: ∆ ' = 0   − =
TH1: Phương trình (*) có nghiệm kép âm 2 3m 0 ⇔  b − ⇔ (loại vì nghiệm kép x = x  = − x = x =1 1 2 1 2  2a dương)
TH2: Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu trong đó có một nghiệm bằng 1 16  1 1.  (3 − ) 1 < 0 m m <  3 ⇔  ⇔  ⇒ m∈∅ 2 1
 − 2.1+ 3m −1 = 0 2 m =  3
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn bài toán.
c) Phương trình đã cho có đúng một nghiệm và nghiệm là nghiệm dương khi phương trình (*)
thỏa mãn một trong các trường hợp sau
TH1: Phương trình (*) có nghiệm kép bằng 1 ∆ ' = 0  2  2 − 3m = 0 m = ⇔  b − ⇔  ⇔  3 (thỏa mãn) x = x = x = x =1 1 2 1 2 2ax = x =   1 1 2
TH2: Phương trình (*) vô nghiệm 2
⇔ ∆ ' < 0 ⇔ 2 − 3m < 0 ⇔ m > 3 Vậy 2
m ≥ thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3
d) Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt x , x , x khi phương trình (*) có hai nghiệm 1 2 3 phân biệt khác 1 2 − 3m > 0 ∆ ' > 0  2 ⇔  ⇔  ⇒ m < 2 2 1
 − 2.1+ 3m −1 ≠ 0 m = 3  3
Theo giả thiết (x + x + x x x x = 2 thì x , x , x có vai trò như nhau nên ta giả sử x =1 còn 1 2 3 ) 1 2 3 1 2 3 3 x + x = 2
x , x là hai nghiệm của phương trình (*) thỏa mãn hệ thức Viét 1 2 1 2 x x = 3m−  1 1 2
Thay x =1 vào (x + x + x x x x = 2 ta được ( 5
x + x +1 x x = 2 ⇒ 2 +1 . 3m −1 = 2 ⇔ m = 1 2 ) 1 2 ( ) ( ) 1 2 3 ) 3 1 2 3 9 Vậy 5
m = thỏa mãn yêu cầu bài toán. 9 Bài 2: Cho phương trình 3 2
x − 3x + 3mx + 3m + 4 = 0 . Tìm m để phương trình
a) Có ba nghiệm phân biệt trong đó có hai nghiệm âm và một nghiệm dương
b) Có đúng hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm cùng dấu
c) Có đúng một nghiệm và nghiệm là nghiệm âm 17
d) Có ba nghiệm x , x , x thỏa mãn −x x − x x = 6 + x x 1 2 3 1 2 2 3 1 3 Lời giải Ta có 3 2
x − x + mx + m + = ⇔ (x + )( 2 3 3 3 4 0
1 x − 4x + 3m + 4) = 0 x +1 = 0 x = 1 − ⇔  ⇔  2 2
x − 4x + 3m + 4 = 0
x − 4x + 3m + 4 = 0  (*)
a) Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt trong đó có hai nghiệm âm và một nghiệm
dương khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khác 1 −  4 ac < 0  3  m + 4 < 0 − m < ⇔ (  −  ) ⇔  ⇔ 2  1 − 4.(− ) 3 1 + 3m + 4 = 0 3  m + 9 ≠ 0 m ≠ 3 −
b) Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm cùng dấu khi phương
trình (*) thỏa mãn một trong các trường hợp sau:
TH1: Phương trình (*) có nghiệm kép âm khác 1 −
Phương trình (*) có nghiệm kép khi ∆' = 0 ⇔ 3
− m = 0 ⇔ m = 0, khi đó nghiệm kéo của phương
trình (*) là x = x = 2 (không thỏa mãn) 1 2
TH2: Phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1 − ∆ ' > 0   3 − m > 0 m < 0 ⇔ (  −  ) ⇔  ⇔  ⇒ m = 3 − 2 1 − 4.(− ) 1 + 3m + 4 = 0 3  m + 9 = 0 m = 3 − Vậy m = 3
− thỏa mãn yêu cầu bài toán.
c) Phương trình đã cho có đúng một nhgiệm và nghiệm là nghiệm âm khi phương trình (*)
thỏa mãn một trong các trường hợp sau
TH1: Phương trình (*) có nghiệm kép bằng 1 −
Phương trình (*) có nghiệm kép ⇔ ∆' = 0 ⇔ 3
− m = 0 ⇔ m = 0 , khi đó nghiệm kép của phương
trình (*) là x = x = 2 (không thỏa mãn) 1 2
TH2: Phương trình (*) vô nghiệm ⇔ ∆' < 0 ⇔ 3
− m < 0 ⇔ m > 0
Vậy m > 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 18
d) Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x , x , x khi phương trình (*) có hai nghiệm 1 2 3 ∆ ' > 0 phân biệt khác   3 − m > 0 m < 0 1 − ⇔ (   −  ) ⇔  ⇔ 2  1 − 4.(− ) 1 + 3m + 4 ≠ 0 3  m + 9 ≠ 0 m ≠ 3 −
Ta có −x x − x x = 6 + x x ⇔ x x + x x + x x + 6 = 0, trong đẳng thức này vai trò của x , x , x là 1 2 2 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3
như nhau nên ta giả sử x = 1
− thì x , x là hai nghiệm phân biệt của phương trình (*) thỏa mãn 3 1 2
định lí Viét x + x = 4 1 2  x x = 3m +  4 1 2 Thay x = 1
− vào −x x − x x = 6 + x x ta được x x − x + x + 6 = 0 1 2 ( 1 2) 3 1 2 2 3 1 3
⇒ 3m + 4 − 4 + 6 = 0 ⇔ m = 2 − (thỏa mãn) Vậy m = 2
− thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài 2:
Cho phương trình 3x − m(x + 2) +8 = 0. Tìm m để phương trình
a) Có ba nghiệm âm phân biệt
b) Có đúng hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm trái dấu
c) Gọi x , x , x là ba nghiệm phân biệt của phương trình. Chứng minh 3 3 3
x + x + x = 3x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Lời giải x = 2 −
Ta có 3x − m(x + 2) +8 = 0 ⇔ (x + 2)( 2x + 2x + 4− m) = 0 ⇔  2
x + 2x + 4 − m  (*)
a) Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt ∆ ' > 0   − >  > khác m 3 0 m 3 2 − ⇔ ( ⇔  ⇔   2 −  )2 + 2.( 2 − ) + 4 − m = 0 4 − m  0 m ≠ 4
b) Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm và hai nghiệm trái dấu khi phương trình (*) thỏa
mãn một trong các trường hợp sau:
TH1: Phương trình (*) có nghiệm kép dương
Phương trình (*) có nghiệm kép dương khi ∆' = 0 ⇔ m −3 = 0 ⇔ m = 3, khi đó nghiệm kép của
phương trình là x = x = 1 − (loại) 1 2
TH2: Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu trong đó có một nghiệm bằng 2 − 19 4 − m < 0  m > 4 m > 4 ⇔ ( ⇔  ⇔  ⇒ m >  2 −  ) 4 2 + 2.( 2 − ) + 4 − m = 0 4 − m ≠ 0 m ≠ 4
Vậy m > 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
c) Theo ý a) với m > 3 
thì phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x , x , x m ≠ 4 1 2 3 Trong đẳng thức 3 3 3
x + x + x = 3x x x 1 2 3 1 2 3 Bài 1: Cho phương trình 3 2
x − 3x + 3mx + 3m + 4 = 0( ) 1
Tìm m để phương trình đã cho:
a) Có ba nghiệm phân biệt
b) Có đúng hai nghiệm khác nhau c) Có đúng một nghiệm
d) Có ba nghiệm x , x , x thỏa mãn x x + x x + x x = 6. − 1 2 3 1 2 2 3 3 1 Lời giải Ta có: ( ) 3 2
⇔ x − x + + m(x + ) = ⇔ (x + )( 2 1 3 4 3 1 0
1 x − 4x + 4) + 3m(x + ) 1 = 0 ⇔ ( + ) x = − x 1 ( 1 2
x − 4x + 4 + 3m) = 0 ⇔  2
x − 4x + 4 + 3m = 0  (2)
a) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt x ≠ 1 −
∆ ' = 4 − 4 − 3m > 0  m < 0 ⇔ (   −  ) ⇔ 2  1 − 4(− ) 1 + 4 + 3m ≠ 0 m ≠ 3 −
Vậy m < 0;m ≠ 3
− là các giá trị cần tìm.
b) (1) có đúng hai nghiệm khác nhau ⇔ (2) có đúng một nghiệm x ≠ 1 −
- Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép x ≠ 1 −
∆ ' = 4 − 4 − 3m = 0  m = 0 ⇔ (   −  ) ⇔  ⇔ m = 0 2 1 − 4(− ) 1 + 4 + 3m ≠ 0 m ≠ 3 − 20
- Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x = 1 −
∆ ' = 4 − 4 − 3m > 0  m > 0 ⇔ (lọai) (   −  ) ⇔ 2  1 − 4(− ) 1 + 4 + 3m = 0 m = 3 −
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.
c) (1) có đúng hai nghiệm ⇔ (2) không có nghiệm nào thỏa mãn x ≠ 1 −
- Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép x = 1 −
∆ ' = 4 − 4 − 3m = 0  m = 0 ⇔ (lọai) (   −  ) ⇔ 2  1 − 4(− ) 1 + 4 + 3m = 0 m = 3 −
- Trường hợp 2: (2) vô nghiệm ⇔ ∆' = 4 − 4 −3m < 0 ⇔ m > 0
Vậy m > 0 là giá trị cần tìm
d) Theo câu a) với m < 0;m ≠ 3
− thì (1) có ba nghiệm phân biệt x , x , x . Do x , x , x vai trò như 1 2 3 1 2 3
nhau và trong ba nghiệm của (1) có một nghiệm bằng -1 nên ta giả sử x = 1
− thì x , x là hai 3 1 2 nghiệm của (2). Theo định lý Viet, ta có b − + = = 4; c x x x x = = 3m + 4 1 2 1 2 a a Thay x = 1
− vào x x + x x + x x = 6
− ta được: x x − x + x = 6
− ⇔ 3m + 4 − 4 = 6 − ⇔ m = 2 − (tm) 1 2 ( 1 2) 3 1 2 2 3 3 1 Vậy m = 2
− là giá trị cần tìm.
Dạng 2: Phương trình trùng phương
Bài toán: Tìm m để phương trình 4 2
ax + bx + c = 0(a ≠ 0) (1)
a) Có bốn nghiệm phân biệt
b) Có đúng ba nghiệm khác nhau
c) Có đúng hai nghiệm khác nhau d) Có đúng một nghiệm e) Vô nghiệm Cách giải: Bước 1: Đặt 2
t = x (t ≥ 0), phương trình đã cho trở thành 2
at + bt + c = 0 Bước 2: Nhận xét
- Với t < 0 thì không có x 21
- Với t = 0 thì có một giá trị x = 0
- Với t > 0 thì có hai giá trị của x là x = ± t
Do đó ta có các kết quả sau
a) (1) có bốn nghiệm phân biệt khi (2) có hai nghiệm phân biệt t > 0;t > 0 1 2
b) (1) có đúng ba nghiệm khác nhau khi (2) có hia nghiệm phân biệt t = 0;t > 0 1 2
c) (1) có đúng hai nghiệm khác nhau xảy ra hai trường hợp:
- Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép t = t > 0 1 2
- Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn t < 0 < t 1 2
d) (1) có đúng một nghiệm xảy ra 2 trường hợp
- Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép t = t = 0 1 2
- Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn t < 0;t = 0 1 2
e) (1) vô nghiệm xảy ra ba trường hợp
- Trường hợp 1: (2) vô nghiệm t = t < 0 1 2
- Trường hợp 2: (2) có nghiệm kép
- Trường hợp 3: (2) có hai nghiệm phân biệt t < 0;t < 0 1 2 Bài 2: Cho phương trình: 4 2 2
x − 2(m +1)x + m = 0 ( ) 1 . Tìm m để:
a. Phương trình có bốn nghiệm
b. Phương trình vô nghiệm
c. Phương trình có ba nghiệm phân biệt Lời giải Đặt 2 2 2 2
y = x (y ≥ 0) ⇒ y − 2(m +1)y + m = 0(2);∆ ' = 2m +1;S = 2(m +1); P = m
a. (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm dương phân biệt ∆ > 0 2m +1 > 0  1   m − >
⇔ S > 0 ⇔ 2(m +1) > 0 ⇔  2   2 P > 0   > m ≠ 0 m 0
b. (1) vô nghiệm khi (2) vô nghiệm hoặc (2) có hai nghiệm âm 22 +) (2) vô nghiệm 1 ' 2m 1 0 m − ⇔ ∆ = + < ⇔ < 2 ∆ ≥ 0 2m +1≥ 0
+) (2) có hai nghiệm âm S 0  ⇔
< ⇔ 2(m +1) < 0 (vô nghiệm)   2 P > 0 m > 0 Vậy (1) vô nghiệm khi 1 m − < 2
c) (1) có 3 nghiệm phân biệt 2
⇔ c = m = 0 (( ) 1 có nghiệm x = 0 ) x = 0 4 2
(1) ⇔ x − 2x = 0 ⇔  x = ± 2 Bài 3: Cho phương trình: 4 3
x − 4x + 8x = m (1) . Tìm m để:
a. Giải phương trình với m = 5
b. Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt Lời giải a. Với 2 2 2
m = 5 ⇒ (1) ⇔ (x − 2x) − 4(x − 2x) − 5 = 0 ⇒ S = {1;1± 6} b. Đặt 2 2 2
t = x − 2x = (x −1) −1≥ 1
− ⇒ t − 4t − m = 0 ∆ ' > 0
Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt t  ⇔  +1 > 0 ⇔ 4
− < m < 5 1 t  +1>  0 2 Bài 4: Cho phương trình: 4
x − ( m − ) 2 2 1 x 2 + m − 2 = 0( )
1 . Tìm m để phương trình đã cho
a) Có bốn nghiệm phân biệt
b) Có đúng ba nghiệm khác nhau
c) Có đúng hai nghiệm khác nhau
d) Có bốn nghiệm phân biệt thỏa mãn 4 4 4 4
x + x + x + x =10 1 2 3 4 Lời giải Cách 1: 23 a) Đặt 2
t = x ,t ≥ 0, phương trình (1) trở thành 2t −(2m − )
1 t + 2m − 2 = 0(2) Nhận xét:
- Với t < 0 thì không có x
- Với t = 0 thì có một giá trị x = 0
- Với t > 0 thì có hai giá trị của x là x = ± t
a) (1) có bốn nghiệm phân biệt khi (2) có hai nghiệm phân biệt t < 0;t > 0 1 2
Ta có ∆ = −( m − )2 −
( m − ) = ( m − )2 − m + = ( m − )2 2 1 4.1. 2 2 2 1 8 8 2 2  
- (2) có hai nghiệm phân biệt t ,t khi ∆ > 0 ⇔ (2m −3)2 3 > ⇔ ≠ 1 2 0 m 2 Theo định lý Viet, ta có b − + = = 2 −1; c t t m
t t = = 2m − 2 1 2 1 2 a a - t  + t > 0 2m −1 > 0 1 2
t > 0;t > 0 ⇔  ⇔  ⇔ m >1 1 2 tt > 0 2m − 2 > 0 1 2 Vậy 3
m >1;m ≠ là giá trị cần tìm. 2
b) (1) có đúng ba nghiệm khác nhau khi (2) có hai nghiệm phân biệt t = 0;t > 0 1 2
- Theo trên thì (2) có hai nghiệm phân biệt t ;t khi 3 1 2 m ≠ 2 2 0 −(2m − ) - 1 .0 + 2m − 2 = 0
t = 0;t > 0 ⇔  ⇔ m =1 tm 1 2 ( ) t  + 
t = 2m −1 > 0 1 2
Vậy m =1 là giá trị cần tìm.
c) (1) có đúng hai nghiệm khác nhau xả ra hia trường hợp ∆ = (2m −3)2 = 0
- Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép  3
t = t > 0 ⇔  ⇔ m = 1 2 b −  = 2m −1 > 0 2  a
- Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn < 0 c t
< t ⇔ = 2m − 2 < 0 ⇔ m <1 1 2 a Vậy 3
m <1;m = là các giá trị cần tìm. 2
d) Theo câu a) thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi 3 m >1;m ≠ 2 24
Do t > 0;t > 0 nên bốn nghiệm phân biệt của (1) là: x = − t ; x = t ; x = − t ; x = t 1 2 1 1 2 1 3 2 4 2
Suy ra x + x + x + x = (− t )2 +( t )2 +(− t )2 +( t )2 4 4 4 4 = 2( 2 2 t + t 1 2 3 4 1 1 2 2 1 2 )
= 2 (t + t )2 − 2t t  = 2 (2m − )2
1 − 2(2m − 2) = 2( 2 4m −8m + 5 1 2 1 2 )     Do m = 0(loai) 4 4 4 4
x + x + x + x =10 ⇔ 2( 2 4m −8m + 5) 2
=10 ⇔ 4m −8m = 0 ⇔ 1 2 3 4  m = 2(tm)
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Cách 2: Đưa về tích Phương trình (1) 4 2 2 4 2 2
⇔ x − 2mx + x 2
+ m − 2 = 0 ⇔ x + x − 2 − 2mx 2 + m = 0 ⇔ ( 2 x − )( 2 x + ) − m( 2 x − ) = ⇔ ( 2 x − )( 2 x − mx + ) 2 1 2 2 1 0 1 2 2 = 0 ⇔ x = 1; ± x = 2m − 2
a) Vì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là x = 1
± nên để phương trình đã cho có
bốn nghiệm phân biệt thì phương trình 2
x = 2m − 2 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 ± 2m − 2 > 0  3 ⇔ 
⇔ m > m ≠ 2m − 2 ≠  (± ) 1; 2 1 =1 2 Vậy 3
m >1;m ≠ là giá trị cần tìm 2
b) Vì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là x = 1
± nên phương trình đã cho có ba
nghiệm khác nhau thì phương trình 2
x = 2m − 2 phải có đúng một nghiệm
x = 0 ⇔ 2m − 2 = 0 ⇔ m =1
Vậy m =1 là giá trị cần tìm
c) Vì phương trình đã cho có hai nghiệm khác nhau là x = 1
± nên để phương trình đã cho có
đúng hai nghiệm khác nhau thì phương trình 2
x = 2m − 2 hoặc vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm m <1 là 2m − 2 < 0 x 1  = ± ⇔ ⇔  3 2m − 2 = 1 m =  2 Vậy 3
m <1;m = là giá trị cần tìm. 2
d) Theo câu a) thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi 3
m >1;m ≠ khi đó bốn 2
nghiệm của (1) là x = 1;
± x = ± 2m − 2, do đó 4 4 4 4
x + x + x + x =10 1 2 3 4 25 ⇔ (− ) 4
1 +1 + (− 2m − 2)4 +( 2m − 2)4 4
= 10 ⇔ 1+1+ (2m − 2)2 + (2m − 2)2 =10 ⇔ (2m − 2)2 = 4 m = 0(loai) ⇔ 2m − 2 = 2 ± ⇔  m = 2  (tm)
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Giải các phương trình sau a. 4 2
x − 6x −16 = 0
b. (x + )4 +(x + )2 1 1 − 20 = 0 Hướng dẫn giải a) 4 2
x − 6x −16 = 0 ⇔ x = 2 ± 2
b) (x + )4 +(x + )2 1
1 − 20 = 0 ⇔ x ∈{1;− } 3
Bài 2: Giải các phương trình sau 2
a. x + 2 4x −11x − 2 x 2x 8 x +1 = + =
x −1 (1− x)(x + 2) b. ( )
x + 4 2 − x (2 − x)(x + 4) Hướng dẫn giải 2
a) x + 2 4x −11x − 2 2 = ⇔ x =
x −1 (1− x)(x + 2) 5
b) Phương trình vô nghiệm
Bài 3: Giải các phương trình sau
a. (x + )(x − )( 2 1 3 x − 2x) = 2 − b. ( x + )2 6 5 (3x + 2)(x + ) 1 = 35 c. ( − 2 x + x + )( 2 x + x + ) 2 5 8 6 8 = 2x x x b. 4 1 + = 2 4x −1 x Hướng dẫn giải  a) ( + ) x = ± x 1 (x −3)( 1 3 2 x − 2x) = 2 − ⇔  x =1± 2
b) ( x )2 ( x )(x ) 5 21 6 5 3 2 1 35 x − ± + + + = ⇔ = 6 26
c) ( 2x x )( 2x x ) 2 7 17 5 8 6 8 2x x − ± + + + + = ⇔ = 2 d) x 4x −1 +
= 2 ⇔ x = 2 ± 3 4x −1 x
Bài 4: Giải các phương trình sau a. 3 2
x − x −8x − 6 = 0 b. 3 2 1
x − x − x = 3 Hướng dẫn giải x = 1 − a) 3 2
x − x −8x − 6 = 0 ⇔ 1 1  b) 3 2
x − x − x = ⇔ x = x = 1± 7 3 3 4 −1 27