Tài liệu toán cao cấp 2 | trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh

lOMoAR cPSD| 49519085
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP. HCM
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
ĐOÀN VƯƠNG NGUYÊN
Tài li ệ u
TOÁN CAO C Ấ P 2 Năm học 2021-2022
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - IUH lOMoAR cPSD| 49519085 Mục lục
Chương 1 ...................................................................................................... 4
1.1. MA TRẬN ............................................................................................... 4
1.1.1. Khái niệm ma trận .......................................................................... 4
1.1.2. Các phép toán trên ma trận .......................................................... 5
1.1.3. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận ........................................ 8
1.1.4. Ma trận bậc thang ........................................................................... 9
1.1.5. Ma trận khả nghịch ........................................................................ 9
1.2. ĐỊNH THỨC ........................................................................................ 10 k
1.2.1. Ma trận con cấp ........................................................................ 10
1.2.2. Định nghĩa định thức ................................................................... 11
1.2.3. Các tính chất cơ bản của định thức ............................................ 11
1.2.4. Công thức Laplace về khai triển định thức .............................. 12
1.2.5. Điều kiện để ma trận vuông khả nghịch .................................. 13
1.2.6. Hạng của ma trận ......................................................................... 13
1.3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG 1 ............................................ 14
Nội đung 1. Các phép toán trên ma trận ............................................ 14
Nội đung 2. Hạng của ma trận ............................................................. 21
Nội đung 3. Hạng của ma trận chứa tham số .................................... 24
Nội đung 4. Tính định thức .................................................................. 26
Nội đung 5. Định thức có chứa tham số ............................................. 28
Nội đung 6. Định thức và các phép biến đổi sơ cấp ......................... 35
Nội đung 7. Điều kiện tồn tại ma trận khả nghịch ............................ 36
Nội đung 8. Định thức và ma trận khả nghịch .................................. 39
Nội đung 9. Ma trận nghịch đảo .......................................................... 41
Chương 2 .................................................................................................... 45
2.1. ĐỊNH NGHĨA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG 1 lOMoAR cPSD| 49519085
QUÁT ............................................................................................................ 45
2.2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER....................................................... 46
2.3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT ........... 47
2.4. ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN
TÍNH TỔNG QUÁT ................................................................................... 47
2.5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT ................. 48
2.5.1. Định nghĩa 2.3 ............................................................................... 48
2.5.2. Nghiệm cơ bản của hệ phương trình thuần nhất .................... 49
2.6 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG 2 ............................................ 51
Nội dung 1. Giải hệ phương trình tuyến tính .................................... 51
Nội dung 2. Điều kiện về số nghiệm của hệ phương trình tuyến
tính............................................................................................................ 58
Chương 3 .................................................................................................... 67
3.1. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTOR ............................................ 67
3.1.1. Định nghĩa không gian vector ....................................................
67 3.1.2. Tính chất của không gian vector V .......................................... 68
3.1.3. Các ví dụ về không gian vector .................................................. 68
3.1.4. Không gian vector con ................................................................. 69
3.2. SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH ......... 69
3.2.2. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính ............................ 69
3.2.3. Hệ vector trong Rn ........................................................................ 70
3.3. SỐ CHIỀU VÀ CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VECTOR ................. 70
3.3.1. Không gian sinh bởi một hệ vector ............................................ 70
3.3.2. Số chiều và cơ sở........................................................................... 71
3.4. TỌA ĐỘ CỦA VECTOR ..................................................................... 72
3.4.1. Tọa độ của vector đối với một cơ sở .......................................... 72
3.4.2. Tọa độ của vector trong các cơ sở khác nhau ........................... 73 lOMoAR cPSD| 49519085
3.5 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG 3 ............................................ 74
Nội dung 1. Biểu diễn tuyến tính .........................................................
74 Nội dung 2. Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính ....................
75 Nội dung 3. Tìm hạng của hệ vector ................................................... 76
Nội dung 4. Cơ sở – tọa độ ................................................................... 77
Nội dung 5. Ma trận chuyển cơ sở, công thức đổi tọa độ ................ 81
Nội dung 6. Tìm cơ sở và số chiều của không gian sinh bởi một hệ
vector ........................................................................................................ 87
Nội dung 7. Tìm cơ sở của không gian nghiệm hệ phương trình
tuyến tính ................................................................................................ 88
Chương 4 .................................................................................................... 91
4.1. KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH .............................................. 91
4.1.1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính ..................................................... 91
4.1.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính .................................................... 91
4.1.3. Định lý chuyển đổi ma trận của ánh xạ tuyến tính ................. 92
4.1.4. Thuật toán tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính ......................... 93
4.2. TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG .......................................................... 94
4.2.1. Ma trận đồng dạng ....................................................................... 94
4.2.2. Đa thức đặc trưng và phương trình đặc trưng ........................ 94 2
4.2.3. Trị riêng, vector riêng .................................................................. 94
4.2.4. Không gian con riêng ................................................................... 95
4.3. CHÉO HÓA MA TRẬN VUÔNG ..................................................... 96
4.3.1. Khái niệm ma trận chéo hóa được ............................................. 96 3 lOMoAR cPSD| 49519085
4.3.2. Điều kiện ma trận chéo hóa được .............................................. 96
4.3.3. Ma trận làm chéo hóa ma trận vuông ....................................... 96
4.3.4. Thuật toán chéo hóa ma trận vuông .......................................... 97
4.4 . BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG 4 ........................................... 98
Nội dung 1. Tìm ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính ..................... 98
Nội dung 2. Tìm công thức biểu diễn ánh xạ tuyến tính ................ 100
Nội dung 3. Công thức liên hệ giữa ảnh và tạo ảnh ........................ 102
Nội dung 4. Tìm đa thức đặc trưng ................................................... 104
Nội dung 5. Tìm trị riêng và vector riêng của ma trận ................... 105
Nội dung 6. Điều kiện chéo được của ma trận ................................ 109
Nội dung 7. Ma trận làm chéo, dạng chéo của ma trận .................. 111
Tài liệu tham khảo .................................................................................. 117 Chương 1
MA TRẬN – ĐỊNH THỨC lOMoAR cPSD| 49519085 nằm ở dòng 5 lOMoAR cPSD| 49519085 • Khi m 1, ta gọi A ) là ma trận dòng.
• Khi n 1, ta gọi A
• Khi m n 1, ta gọi A ) là ma trận 1 phần tử.
▪ Định nghĩa 1.3
• Đường chéo chứa các phần tử a11, a22,..., ann của ma trận vuông A (aij )n
được gọi là đường chéo chính của A, đường chéo còn lại được gọi là đường chéo phụ.
• Ma trận vuông A (aij )n có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính
đều bằng 0 được gọi là ma trận đường chéo (hay gọi tắt là ma trận chéo),
ký hiệu là A diag(a11 a22 ann).
• Ma trận đường chéo cấp n gồm tất cả các phần tử nằm trên đường chéo
chính đều bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị cấp n (gọi tắt là ma trận đơn
vị), ký hiệu là In (hay I khi không bị nhầm lẫn).
• Ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm phía dưới (tương ứng, trên)
đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận tam giác trên (tương ứng, dưới).
• Ma trận vuông A (aij )n có aij aji ( i j, ), nghĩa là có tất cả các cặp phần tử đối
xứng qua đường chéo chính bằng nhau, được gọi là ma trận đối xứng.
▪ Định nghĩa 1.4
Hai ma trận A (aij ) và B (bij ) được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng
cùng cấp và aij bij ( i j, ), ký hiệu là A B.
1.1.2. Các phép toán trên ma trận
Phép cộng và trừ hai ma trận
▪ Định nghĩa 1.5 lOMoAR cPSD| 49519085 ( ij
a ) mn và B ( ij b ) mn Cho hai ma trận A A B ( a ij ij
b ) mn , ta định nghĩa ▪ Chú ý 1.1 7 lOMoAR cPSD| 49519085
Ma trận được gọi là ma trận đối của A (aij )m n . ▪ Tính chất 1.1
Phép cộng ma trận có tính chất giao hoán và tính chất kết hợp: ▪ Nhận xét 1.1
1) Số dòng của ma trận tích AB bằng số dòng của ma trận A, số cột của ma
trận tích AB bằng số cột của ma trận B .
2) Sơ đồ nhân hai ma trận A và B : 8 lOMoAR cPSD| 49519085 dòngi ▪ Quy ước 1.1
[(0 ) ]ij n k (0) ijn , k . ▪ Tính chất 1.4 9 lOMoAR cPSD| 49519085 k i) (In) I , k , n km k m ii) A ) khác . AA ( , km ; A M n( không), iii) Akm
(Ak )m ( k m, ; A Mn( ) khác không). ▪ Chú ý 1.3 Nếu 11 a 22 nn a ) thì A diag(a k A diag( k k k 11 a a 22 nn a ) , k . Phép chuyển vị
▪ Định nghĩa 1.9
Cho ma trận A Mm n( ). Ma trận chuyển vị của ma trận vuông A, ký hiệu AT
, là một ma trận cấp n m nhận được từ A bằng cách chuyển tất cả các dòng
trong A thành các cột tương ứng của AT . Phép biến đổi A thành ma trận
AT được gọi là phép chuyển vị. ▪ Tính chất 1.5
i) (A B)T AT BT , A B, Mm n( ), ii) ( A)T .AT , A Mm n( ), , iii) (AT )T A, A Mm n( ), 4i) (AB)T B AT T , A
Mm n( ), B Mn p( ).
1.1.3. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
▪ Định nghĩa 1.10
Cho ma trận A (aij )m n (m 2). Ta gọi phép biến đổi sơ cấp dòng trên Alà một trong các dạng sau:
1) Hoán vị dòng i và dòng k cho nhau để ma trận A trở thành ma trận B , ký hiệu là A i dd k B ,
2) Nhân dòng i với số 0 để ma trận A trở thành ma trận C, ký hiệu là 10 lOMoAR cPSD| 49519085 A i d i d C ,
3) Thay dòng i bởi tổng của dòng i với lần dòng k để ma trận A trở thành
ma trận D , ký hiệu là A i dd i k d D . ▪ Chú ý 1.4
1) Ma trận sau khi biến đổi, nói chung, không bằng ma trận lúc đầu.
2) Trong dạng biến đổi 3) ở trên, số thực có thể là 0.
3) Trong thực hành ta thường làm gộp A di di dk E.
4) Tương tự, ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên cột của ma trận (trừ
các trường hợp: thuật toán tìm ma trận nghịch đảo và giải hệ phương
trình tuyến tính (chương 2)).
1.1.4. Ma trận bậc thang
▪ Định nghĩa 1.11
• Trong một ma trận, một dòng có tất cả các phần tử đều bằng 0 được gọi
là dòng bằng không hay dòng không.
• Trong một ma trận, phần tử khác 0 đầu tiên tính từ trái sang phải của
một dòng được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó.
• Ma trận bậc thang là ma trận khác không có cấp m n (m n, 2) thỏa cả hai điều kiện sau:
1) các dòng bằng không (nếu có) nằm ở dưới các dòng khác không,
2) phần tử cơ sở của một dòng bất kỳ (trừ dòng thứ nhất) đều nằm bên
phải phần tử cơ sở của dòng ở phía trên dòng đó. ▪ Quy ước 1.2
Ma trận O (0 )ij m n không phải là ma trận bậc thang. ▪ Định lý 1.1
Mọi ma trận đều có thể đưa được về ma trận bậc thang bằng một số hữu hạn các
phép biến đổi sơ cấp.
1.1.5. Ma trận khả nghịch Định nghĩa 1.12 11 lOMoAR cPSD| 49519085
• Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông
cùng cấp B sao cho AB BA n I .
• Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu là B 1 A . ▪ Chú ý 1.5 1) Ma trận B 1
A là duy nhất và B 1 1 A A B .
2) Nếu ma trận vuông A có ít nhất một dòng (hay một cột) bằng không thì không khả nghịch. ▪ Tính chất 1.6 1 I , 1 1 ( A ) ii) 1 1 1 ( ) AB BA . i) I A , 12 lOMoAR cPSD| 49519085
▪ Định nghĩa 1.13
• Ma trận vuông cấp k được lập từ các phần tử nằm trên giao k dòng và k
cột của ma trận A Mm n( ) được gọi là ma trận con cấp k của A (1 k min{m n, }).
• Đặc biệt, nếu A (aij )n (n 2) thì ma trận con có cấp n 1, ký hiệu là Mij , thu
được từ A bằng cách bỏ đi dòng thứ i và cột thứ j được gọi là ma trận con
của A ứng với phần tử aij . 1.2.2. Định nghĩa định thức 13 lOMoAR cPSD| 49519085
(ba phần tử nằm trên các đoạn nối thì nhân với nhau).
1.2.3. Các tính chất cơ bản của định thức
Cho ma trận A M n(
), ta có các tính chất cơ bản sau
Tính chất 1.7 (tính chất 1)
Định thức không đổi nếu ta chuyển vị ma trận đã cho, nghĩa là det(AT ) detA
Tính chất 1.8 (tính chất 2)
Nếu hoán vị hai dòng (hay hai cột) cho nhau thì định thức đổi dấu. ▪ Hệ quả 1.1 14 lOMoAR cPSD| 49519085
Định thức có ít nhất hai dòng (hay hai cột) giống nhau thì bằng 0. Tính
chất 1.9 (tính chất 3)
Nếu nhân một dòng (hay một cột) với số thực thì định thức tăng lên lần. ▪ Hệ quả 1.2
• Định thức có ít nhất một dòng (hay một cột) bằng không thì bằng 0.
• Định thức có hai dòng (hay hai cột) tỉ lệ với nhau thì bằng 0. Tính chất 1.10 (tính chất 4)
Nếu định thức có một dòng (hay một cột) mà mỗi phần tử là tổng của hai số hạng
thì ta có thể tách thành tổng hai định thức. Tính chất 1.11 (tính chất 5)
Định thức sẽ không đổi nếu ta cộng vào một dòng (hay một cột) với lần
dòng (hay cột) khác. ▪ Chú ý 1.7
Trong tính chất 5, dòng (hay cột) mà ta muốn thay đổi thì không được
nhân với bất kỳ số thực nào khác 1.
1.2.4. Công thức Laplace về khai triển định thức
Cho ma trận A (aij )n . Gọi Aij ( 1)i j det(Mij ) là phần bù đại số của phần tử aij ,
ta có công thức khai triển Laplace như sau ▪ Khai triển detA theo dòng thứ i n
det A a Ai1 i1 a Ai2 i2 ... a Ainin a Aijij j 1
▪ Khai triển detA theo cột thứ j n
det A a A1j 1j a A2j 2j ... a Anjnj a Aijij i 1 ▪ Nhận xét 1.3
Khi tính định thức, ta nên khai triển Laplace theo dòng (hay cột) có chứa nhiều phần tử 0 nhất.
▪ Các kết quả đặc biệt cần nhớ 15 lOMoAR cPSD| 49519085 ▪ Định lý 1.4
Nếu ma trận A có tất cả các định thức con cấp k đều bằng 0 thì các định thức
con cấp cao hơn k cũng bằng 0. 16 lOMoAR cPSD| 49519085
Hạng của ma trận
▪ Định nghĩa 1.17
Cấp cao nhất của định thức con khác 0 của ma trận A được gọi là hạng của
ma trận A, ký hiệu là r A( ). ▪ Quy ước 1.3
Nếu A là ma trận không thì ta quy ước r A( ) 0. ▪ Chú ý 1.8
1) Hạng của ma trận không thay đổi khi ta hoán vị dòng hoặc cột. 2) Nếu ma trận A
(aij )m n khác không thì 1 r A( ) min{m n, }.
3) Đặc biệt, nếu A là ma vuông cấp n thì r A() n detA 0
Thuật toán tìm hạng của ma trận
Để tìm hạng của một ma trận, ta thực hiện các bước sau
• Bước 1. Đưa ma trận cần tìm hạng về dạng bậc thang bằng các phép biến
đổi sơ cấp dòng hoặc cột.
• Bước 2. Số dòng khác không của ma trận bậc thang đó chính là hạng của ma trận đã cho. ▪ Chú ý 1.9
Trong trường hợp tham số ở các cột đầu, ta khó đưa ma trận về dạng bậc
thang. Khi đó, ta hoán vị cột của ma trận sao cho tham số ở các cột cuối.
Sau đó, dùng các phép biến đổi thích hợp để đưa ma trận về dạng bậc thang.
1.3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG 1
Nội đung 1. Các phép toán trên ma trận
Câu 1: Cho hai ma trận . A1 .. Kết quả của BA là: 17 lOMoAR cPSD| 49519085
D. BA xác định nhưng AB không xác định
Câu 4: Cho hai ma trận A
2 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AB BA 18 lOMoAR cPSD| 49519085
B. ABxác định nhưng BA không xác định 19