ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON Hà Thị Ngọc Yến Hà nội, 9/2020 ĐA THỨC NỘI SUY - Cho bộ điểm
x , y = f (x ) , x  x i
  j, x [a,b] i i i =0, i j i i n
- Đa thức bậc không quá n, P x n ( đ ) i qua
bộ điểm trên được gọi là đa thức nội suy
với các mốc nội suy xii=0,n - Khi đó
f ( x)  P x n ( ) KHAI TRIỂN TAYLOR
f ( x) = a + a ( x − x ) + a ( x − x )2 + 0 1 0 2 0 f ( x = a 0 ) 0
f '( x = a 0 ) 1 ( f '' x f ' x = 2!a  a = 0 ) ( 0) 2 2 2! ( ) n n ( f x f x
= n!a  a = 0 ) ( 0) n n n! ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON
• Ý tưởng: Tìm đa thức nội suy theo cách
xây dựng khai triển Taylor của hàm số
f ( x) = a + a x − x + a x − x x − x + 0 1 ( 0 ) 2 ( 0 ) ( 1 )
f ( x = a  a = y 0 ) 0 0 0 −
f ( x ) = a + a ( x − x ) y y 1 0 = y  a =  f ' x 1 0 1 1 0 1 1 ( 0) x − x 1 0 ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON
• Tỷ sai phân (tỷ hiệu)  f x − f x f x , x := 0 1 ( 1) ( 0) x − x 1 0  f x , x − f x , x
f x , x , x := 0 1 2   1 2  0 1 x − x 2 0  f x ,..., x
− f x ,..., x −
f x , x ,..., x : k k = 0 1 k   1   0 1 x − x k 0 NỘI SUY NEWTON
• Xây dựng đa thức nội suy Newton theo
quy nạp các mốc theo thứ tự tăng dần  f x − y f x, x  ( ) 0 = 0 x − x0
 f (x) = y + f x, x x − x 0  0( 0 )  f x, x − f x , x
f x, x , x = 0 1  0  0 1 x − x1
 f x, x = f x , x + f x,x ,x x − x 0   0 1  0 1( 1 )
 f (x) = y + f x , x x − x + f x,x ,x x − x x − x 0  0 1( 0 )  0 1( 0 ) ( 1 ) NỘI SUY NEWTON
f (x) = P x + R x n ( ) n ( ) −
P x = y + f x x x − x + + f x x
x  x − x n ( )  n , ( )  , ,..., n 1 0 0 1 0 0 1 ( i) i=0 R x = f x x x x x n ( )  , , ,..., w 0 1 n  n 1 + ( ) n w
x =  x − x n 1 + ( ) ( i) i=0
ĐTNS NEWTON MỐC CÁCH ĐỀU
x = x + kh k 0 y  = y − y = y k k 1 + k k 1 + l −
 y =   y k ( l 1 k) l −
 y =   y k ( l 1 k)  k k  y  y f x ,..., x = = k  0 k 0 k! k h k ! k h NS NEWTON MỐC CÁCH ĐỀU
P x = P x + th n ( ) n ( 0 ) 2 n y   y  y 0 0 = y + t + t (t − ) 0 1 + + t t −1 t − n +1 0 ( ) ( ) 1! 2! n! = P x + th n ( n ) 2 y  y  = y + t + t (t + ) n y n n 1 n + + t t + t + n − n ( )1 ( )1 1! 2! n!
Các vấn đề cần giải quyết • Mốc bất kỳ:
– Lập bảng tỷ sai phân, thêm mốc nội suy
– Lập đa thức nội suy newton, thêm mốc nội suy
– Bổ sung dữ liệu bị thiếu
Các vấn đề cần giải quyết • Mốc cách đều – Bảng sai phân – Thêm mốc nội suy – Đa thức nội suy
– Trích xuất dữ liệu phù hợp yêu cầu