Tóm tắt công thức toán A2 | Môn toán cao cấp
Vi phân cấp một hàm 2 biến: df x y( , ) f dxx f dyy .Vi phân cấp một hàm 3 biến: df x y z( , , ) f dxx f dyy f dzz. Vi phân cấp hai của hàm 2 biến: d z2 f dxxx 2 2 f dxdyxy f dyyy 2. Vi phân cấp hai của hàm 3 biến. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem !
Môn: Toán Cao Cấp (KTHCM)
Trường: Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh
Thông tin:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
lOMoAR cPSD| 47207194 Công thức 1
1. Đoạn thẳng MN nối từ M x y( M M,
) ến N x y( N N, ) :
x xM (xN xM )t
y yM (yN yM )t ,0 t1. a
2. Phương trình tham số mặt phẳng qua M x y(
M M M, ,z ), vecto chỉ phương (a a a1, 2, 3) , b b b b ( 1 2, , 3)
x xM a s1 bt1 y
yM a s2 b t s t2 , , .
z zM a s3 b t3
3. Đường tròn tâm I a b( , ) bán kính R: (x a )2 (y b)2 R2, phương trình tham số x a R cos sin ,0 2 . y b R
4. Mặt cầu tâm I a b c( , , ) bán kính R: (x a )2
(y b)2 (z c)2 R2, phương trình tham số x a Rsin cos b Rsin sin ,0 ,0 2 . y z c R cos x2 y2 z2
2ax 2by 2cz d 0 I a b c , ,
R a2 b2 c2 d
5. Elip có ộ dày trục lớn 2a, trục nhỏ 2b: x2 2 2
y2 1, phương trình tham số a b x acost
y bsint ,0 t 2 . 2 2 2
6. Đường astroid: x3 y3 a3 , phương trình tham số: lOMoAR cPSD| 47207194
x acos3t t 2 3 ,0 .
y asin t Công thức 2 1 4. 1 1. ( )c 0 2. (xn)' nxn 1 3. 2 x x n nn 1 x x
5. (sin x)' cos x 7. (tan x)' 1 8. (cot x)' 1
6. (cos x)' sin x 2 2 cos x sin x 11. (ln x)' 9. (ex)' ex
10. (ax)' ax ln a 1 x 12. (loga x)' 14. (arctan x) 1 1 2 1 13. (arcsin x)' 1 x 2 15. 1 Qui tắc 2 1 x lOMoAR cPSD| 47207194 x x u uv uv 1.(ku) ku 2.(u v) u v
3.(uv) uv uv 4. 2 v v Công thức 3 ' 1. (u 4. n)' nu un (tanu)' u 1 '
2.(sin )'u u'cosu
3.(cos )'u u'sinu 2 cos u 5. 8. (ln u)' u (cot u)'
u '2 6.(eu)' u e' u sin
7.(au)' u a' u ln a ' u u 9.(log u ' 1 a u)'
u ' 10. (arcsinu)' u ' u ln a 1 u ' 2 11.(arctanu)' 2 12. u2 1 u u u 13. u u ' 2 u Công thức 4
1. Vi phân cấp một hàm 2 biến: df x y( , ) f dxx f dyy .
2. Vi phân cấp một hàm 3 biến: df x y z( , , ) f dxx f dyy f dzz.
3. Vi phân cấp hai của hàm 2 biến: d z2 f dx 2 2 xx 2 f dxdy f dy . xy yy
4. Vi phân cấp hai của hàm 3 biến: d f2 f dx 2 2 2 xx
f dyyy f dzzz 2 f dxdyxy 2 f dxdzxz 2 f dydzyz . 5. Hàm hợp z df f u df
f u v u( , ), u x y( , ), v v x y( , ) thì f v ; f u f v .
dx u x v x dy u y v y
6. Hàm ẩn F x y z( , , ) 0 có: z Fx ; z Fy . x Fz y Fz
7. Mặt cong F x y z( , ,
) 0 có vectơ pháp tuyến F F Fx, y, z . 8. f x y( , ) fx, fy Công thức 5 lOMoAR cPSD| 47207194
Cực trị hàm z f x y( , )
+ Giải hệ: zx 0;zy 0. Suy ra iểm dừng M x y( 0, 0).
+ Tính A fxx(x y0, 0),B fxy(x y0, 0),C fyy(x y0, 0); AC B2 Nếu
0, A 0 thì M x y( 0, 0) là iểm cực tiểu.
Nếu 0, A 0 thì M x y( 0, 0) là iểm cực ại. Nếu
0 thì M x y( 0, 0) không là iểm cực trị ( iểm yên ngựa). Công thức 6
Cực trị hàm z f x y( , ) thỏa iều kiện g x y( , ) 0 .
+ Hàm Lagrange: L x y( , ) f x y( ,) g x y( ,) . + Giải hệ:
Lx 0;Ly 0; ( ,g x y) 0 .
Cực trị hàm w f x y z( , , ) thỏa iều kiện g x y z( , , ) 0.
+ Hàm Lagrange: L x y z( , ,) f x y z( , ,) g x y z( , , ) .
+ Giải hệ: Lx 0;Ly 0;Lz 0; ( , ,g x y z) 0. Suy ra iểm dừng M x y z( 0, 0, 0) . + Tính vi phân cấp hai: d L2 L dx 2 2 2 xx
L dyyy L dzzz 2L dxdyxy 2L dxdzxz 2L dydzyz x y z 2 dy2 dz2 0
g dx g dy g dz 0;dx lOMoAR cPSD| 47207194
Nếu d L2 0 thì M x y z( 0, 0, 0) là iểm cực tiểu.
Nếu d L2 0 thì M x y z( 0, 0, 0) là iểm cực ại.
Nếu d L2 không xác ịnh dấu thì M x y z( 0, 0, 0) không là iểm cực trị. Công thức 8 xn 1 1 1. x dxn C n, 1
2. dx ln | x C| 3. e dxx ex C n 1 x ax 4. a dxx C 5. sin xdx cos x C
6. cos xdx sin x C ln a 1 1 7. 2 dx tan x C 8. 2 dx cot x cos x C sin x Công thức 9 1 (ax b)n 1 1 1. (ax b dx)n C n, 2.
dx 1 ln | ax b C | 1 a n 1 ax b a
3. e dxax b 1 eax b 4. sin(ax b dx ) 1 cos(ax b C a C ) a 1 5. 1 x cos( ax ) b dx sin( ax ) b C 6. arc sin a 2 2 a x a 1 x 7. 1 1 2 2 arctan C 8. ln 2 x a x 2 a x a a 2 2 a x
Công th ứ c 10 lOMoAR cPSD| 47207194
1. Hàm f x y( , ) liên tục trên D {(x y a x b g x,
) | , 1( ) y g x2( )} thì b g x2( ) f x y dxdy( , ) f x y dy dx( , ) . D a g x1( )
2. Hàm f x y( , ) liên tục trên D {(x y h y, ) | 1( ) x h y c y d2( ), } thì d h y2( ) f x y dxdy( , ) f x y dx dy( , ) . D c h y1( ) x r cos
3. Đổi sang tọa ộ cực: sin J r , y r f x y dxdy( , )
f r( cos , sin r ) J drd
f r( cos , sin r )rdrd . D Dr Dr 4. Hàm thế (x y,
) của cặp ( f x y g x y( , ), ( , )) (x y,) x y a f t b dt( ,)
b g x t dt( , ) C Công thức 11
Cho ường cong phẳng ( ):C x x t y( ), y t a( ), t b thì b f x y ds( , )
f x t( ( ), ( )) (y t x t ( ))2 (y t ( ))2dt . C a Công thức 12
Cho ường cong ghềnh (C) : x x t y( ), y t z( ), z t a( ), t b thì b f x y z ds( , , )
f x t y t z t( ( ), ( ), ( )) ( ( ))x t 2 (y
t ( ))2 z t dt ( )2 . C a Công thức 13
Cho ường cong phẳng (C) : x x t y( ), y t a( ), t b thì b
P x y dx( , ) Q x y dy( , ) P t x t( ) ( ) Q t y t dt( ) ( ) . C a Công thức 14 lOMoAR cPSD| 47207194
(Công thức Green) Tích phân trên ường cong kín D Pdx Qdy D Qx Py dxdy. Công thức 15
1. Nghiệm tổng quát của phương trình y P x y( ) 0 là P x dx( ) . y Ce
2. Nghiệm tổng quát của phương trình y P x y( ) Q x( ) là P x dx( )
e P x dx( ) Q x dx C( ) . y e Công thức 16
Phương trình vi phân toàn phần P x y dx( , ) Q x y dy( , ) 0 thỏa P Q có nghiệm y x x y a P t b dt( , )
b Q x t dt( , ) C 0; Công thức 17 Phương trình vi phân: (*) ay by
cy 0 có phương trình ặc trưng a 2 b c 0. Nếu (*) có hai nghiệm
1, 2 thì : y Ae 1x Be 2x;
Nếu (*) có nghiệm kép 0 thì : y (Ax B e ) 0x; Nếu (*) có nghiệm phức
i thì: y e x Acos x Bsin x . Công thức 18
Phương trình vi phân: ay by cy g x( ) +
Nếu g x( ) e P xkx n( ) thì nghiệm riêng có dạng y xr( ) e Q xkx n( );
Nếu k là nghiệm bội m của phương trình ặc trưng thì: y xr( ) x e Q xm kx ( ).
+ Nếu g x( ) e P xkx n( )cos(nx) (hoặc g x( ) e P xkx n( )sin(nx) ) thì nghiệm riêng có dạng lOMoAR cPSD| 47207194
y xr ( ) ekx Q xn( )cos(nx) R xn(
)sin(nx) ; Nếu k ni là nghiệm bội m của phương trình ặc trưng
thì: y xr ( ) x em kx Q x( )cos(nx) R x( )sin(nx) .