Tổng hợp 15 câu hỏi và đáp án ôn tập bài tập học kỳ II môn xác suất thống kê | Trường đại học sư phạm kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh

Bài 1: Một hộp có 4 sản phẩm A và 6 sản phẩm B. Một người lấy ngẫu nhiên lần lượt
không hoàn lại từng sản phẩm trong hộp cho đến khi lấy được các sản phẩm khác loại thì
dừng. Tính xác suất người này dừng lại ở lần lấy thứ 3.
TNNN: lấy ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại từng sản phẩm trong hộp cho đến khi lấy
được các sản phẩm khác loại thì dừng. Gọi A là bi n c l n th i l c s n ph m A ; i ế ố ầ ứ ấy đượ ả ẩ 𝑖 ∈ {1,2,3}
Gọi Bj là biến cố lần thứ j lấy được sản phẩm B ; 𝑗 ∈ {1,2,3}
Gọi N là biến cố người này dừng lại ở lần thứ 3
𝑁 = A1. A2. B3 + B1. B2. A3
𝐶1 𝐶1 𝐶1 𝐶1 𝐶1 𝐶1 4 𝑃(𝑁) = 𝑃(A 4 3 6 6 5 4
1. A2. B3) + 𝑃(B1. B2. A3) = 𝐶1 . 1 . 1 + 1 . 1 . 1 = 10 𝐶9 𝐶8 𝐶10 𝐶9 𝐶8 15
Bài 2: Có 3 gói quà được gửi tới tặng cho trẻ em ở nơi A. Gói thứ nhất đóng gói 25 bóng
xanh và 15 bóng đỏ; gói thứ hai đóng gói 25 bóng xanh và 25 bóng đỏ; gói thứ ba đóng gói
25 bóng xanh và 35 bóng đỏ. Một người chọn ngẫu nhiên một gói quà và từ đó lấy ngẫu
nhiên ra một quả bóng, thấy là bóng mầu đỏ. Tính xác suất quả bóng lấy ra này của gói quà thứ 2. Tóm tắt:
Gói thứ nhất đóng gói 25 bóng xanh và 15 bóng đỏ;
gói thứ hai đóng gói 25 bóng xanh và 25 bóng đỏ;
gói thứ ba đóng gói 25 bóng xanh và 35 bóng đỏ.
TNNN: chọn ngẫu nhiên một gói quà và từ đó lấy ngẫu nhiên ra một quả bóng.
Gọi A1 là biến cố người này chọn được gói thứ nhất A là bi n c i này ch c gói th hai 2 ế ố ngườ ọn đượ ứ A là bi n c i này ch c gói th 3 ế ố ngườ ọn đượ ứ ba
Gọi 𝐸 là biến cố người này lấy ra được bóng đỏ từ gói quà đã chọn 1 15 3
P(A1) = 3; P(E|A1) = 25 + 15 = 8 1 25 1
P(A2) = 3; P(E|A2) =25 + 25 = 2 1 35 7
P(A3) = 3; P(E|A3) =25 + 35 = 12 Vì A là h
nên áp d ng công th c xác su ta có: 1, A2, A3 ệ đầy đủ ụ ứ ất đầy đủ
P(E) = P(E|A1). P(A1) + P(E|A2). P(A2) + P(E|A3). P(A3) 3 1 1 1 7 1 35 = 8.3 + 2.3 + 12. 3 = 72
Áp dụng công thức Bayes ta có xác suất quả bóng lấy ra này của gói quà thứ 2 là: 1 P(A P(E|A 12 P(A 2. E) 2). P(A2) 2 . 13 2|E) = P(E) = P(E) = 35 = 35 72
Bài 3: Thời gian sử dụng (đơn vị: năm) của một loại sản phẩm sản xuất ra là biến ngẫu
nhiên có hàm mật độ xác suất có dạng 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥2(5 − 𝑥) với 𝑥 ∈ [0; 5] và 𝑓(𝑥) = 0 với 𝑥 ∉ [0; 5].
a/ Tính tỷ lệ sản phẩm có thời gian sử dụng vượt quá tuổi thọ trung bình của sản phẩm.
b/ Tính xác suất trong 30 sản phẩm này có ít nhất 15 sản phẩm có thời gian sử dụng vượt
quá tuổi thọ trung bình của sản phẩm. Ta có: +∞ ∫ f(x)dx = 1 −∞ 0 5 +∞
⇔ ∫ 0dx + ∫ k[𝑥2. (5 − 𝑥)]dx + ∫ 0dx = 1 −∞ 0 5 5
⇔ ∫ k[𝑥2. (5 − 𝑥)]dx = 1 0 625 ⇔ k. 12= 1 12 ⇔ k = 625
a/ Tuổi thọ trung bình của loại sản phẩm này là : +∞ 0 512 +∞
E(X) = ∫ x. f(x)dx= ∫ 0x dx + ∫ + ∫ 0x dx = 3 (𝑛ă𝑚) −∞ −∞ 0 625 x[𝑥2. (5 − 𝑥)]dx 5
Tỷ lệ sản phẩm có thời gian sử dụng vượt quá tuổi thọ trung bình là: +∞ 5 12 328
𝑃(𝑋 > E(X)) = 𝑃(𝑋 > 3) = ∫ f(x)dx = ∫ [𝑥2. (5 − 𝑥)]dx = 3 3 625 625 = 0,5248
b/ TNNN: Đếm xem trong 30 sản phẩm có bao nhiêu sản phẩm có có thời gian sử
dụng vượt quá tuổi thọ trung bình của sản phẩm.
BNN: Gọi Y là số sản phẩm trong 30 sản phẩm có thời gian sử dụng vượt quá tuổi thọ trung bình.
⇒ Y tuân theo quy luật phân phối nhị thức với 𝑛 = 30 và 𝑝 = 0,5248 hay 𝑌~𝐵(30; 0,5248)
Xác suất trong 30 sản phẩm này có ít nhất 15 sản phẩm có thời gian sử dụng vượt quá tuổi
thọ trung bình của sản phẩm. 30 30
𝑃(𝑌 ≥ 15) =∑ b(u; 30; 0,5248) =∑ 𝑝𝑌(𝑢) 𝑢=15 𝑢=15 30 =∑ 𝐶 𝑢 30
. (0,5248)𝑢. (1 − 0,5248)30−𝑢= 0,6758714371 𝑢=15
Bài 4 : Điểm thi môn Toán của sinh viên trường đại học A là biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn với trung bình là 6,78 và độ lệch chuẩn là 0,46. Tính tỷ lệ sinh viên trường A có
điểm môn Toán từ 5 điểm trở lên.
Gọi X là điểm thi môn Toán của sinh viên trường Đại học A
X có phân phối chuẩn với 𝜇 = 6,78; 𝜎2 = 0,462
⇒ Chuẩn tắc hoá: Z = X− 𝜇 = X− 6,78~ N(0, 1) 𝜎 0,46
Tỷ lệ sinh viên có điểm thi môn Toán từ 5 trở lên là: 5 − 6,78 −89
P(X ≥ 5) = 1 − P(X < 5) = 1 − P (Z < 0,46 ) = 1 − P(Z < 23 ) −89
= 1 − Φ ( 23 ) = 0,999945464
Bài 1: Một chi tiết được gia công qua 3 công đoạn liên tiếp với khả năng gây ra khuyết tật
cho chi tiết ở mỗi công đoạn là độc lập và lần lượt là 0,1; 0,15 và 0,08. Tính xác suất sau
khi gia công chi tiết có lỗi.
TNNN: Một chi tiết được gia công qua 3 công đoạn liên tiếp
Gọi Ai là biến cố công đoạn thứ i bị khuyết tật ; 𝑖 = 1,2,3
Ta có: P(A1) = 0,1 ; P(A2) = 0,15 ; P(A3) = 0,08
Xác suất sau khi gia công chi tiết có lỗi 𝑃(𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3)
= 𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝐴2) + 𝑃(𝐴3) − 𝑃(𝐴1.𝐴2) − 𝑃(𝐴1.𝐴3) − 𝑃(𝐴2. 𝐴3) + 𝑃(𝐴1. 𝐴2. 𝐴3)
= 0,1 + 0,15 + 0,08 − 0,1.0,15 − 0,1.0,08 − 0,15.0,08 + 0,1.0,15.0,08 = 0,2962
𝑃(𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3) = 1 − 𝑃(𝐴1′𝐴2′𝐴3′) = 1 − (1 − 0,1)(1 − 0,15)(1 − 0,08) = 0,2962
Bài 2: Lớp A có 30 sinh viên trong đó có 20 sinh viên nữ. Lớp B có 40 sinh viên trong đó
có 25 sinh viên nữ. Gọi ngẫu nhiên 2 sinh viên trong lớp A và 2 sinh viên trong lớp B. Gọi
X là số sinh viên nữ trong số 4 sinh viên gọi ra. Tìm hàm xác suất của X, từ đó tính số sinh
viên nữ trung bình trong số 4 sinh viên gọi ra.
TNNN: Gọi ngẫu nhiên 2 sinh viên trong lớp A và 2 sinh viên trong lớp B Tóm tắt:
𝐿ớ𝑝 𝐴: 30 sinh viên {20 𝑛ữ
10 𝑛𝑎𝑚 → 𝐶ℎọ𝑛 2 sinh viên
𝐿ớ𝑝 𝐵: 40 sinh viên {25 𝑛ữ
15 𝑛𝑎𝑚 → 𝐶ℎọ𝑛 2 sinh viên
Gọi X là số sinh viên nữ trong số 4 sinh viên gọi ra, 𝑋 ∈ {0,1,2,3,4} Ta có: 𝐶2 𝐶2 21 𝑝 10 15
𝑋(0) = 𝑃(𝑋 = 0) = 𝐶2 . 2 = 30 𝐶40 1508 𝐶1 . 𝐶1 𝐶2 𝐶2 𝐶1 . 𝐶1 505 𝑝 20 10 15 10 25 15 𝑋(1) = 𝑃(𝑋 = 1) = 𝐶2 . 2 + 2 . 2 = 30 𝐶40 𝐶30 𝐶40 4524 𝐶2 𝐶2 𝐶2 𝐶 2 𝐶1 . 𝐶1 𝐶1 . 𝐶1 241 𝑝 20 15 10 25 20 10 25 15
𝑋(2) = 𝑃(𝑋 = 2) = 𝐶2 . 2 + 2 . 2 + 2 . 2 = 30 𝐶40 𝐶30 𝐶40 𝐶30 𝐶40 754 𝐶1 . 𝐶1 𝐶2 𝐶2 𝐶1 . 𝐶1 875 𝑝 20 10 25 20 25 15 𝑋(3) = 𝑃(𝑋 = 3) = 𝐶2 . 2 + 2 . 2 = 30 𝐶40 𝐶30 𝐶40 2262 𝐶2 𝐶2 190 𝑝 20 25
𝑋(4) = 𝑃(𝑋 = 4) = 𝐶2 . 2 = 30 𝐶40 1131
Hàm xác suất của X có dạng 21 1508 𝑘ℎ𝑖 𝑢 = 0 505 4524 𝑘ℎ𝑖 𝑢 = 1 𝑝 241 𝑋(𝑢) = 754 𝑘ℎ𝑖 𝑢 = 2 875 2262 𝑘ℎ𝑖 𝑢 = 3 190 {1131 𝑘ℎ𝑖 𝑢 = 4
Bảng phân phối xác suất của X: u 0 1 2 3 4 𝑝 21 505 241 875 190 𝑋 (u) 1508 4524 754 2262 1131
Số sinh viên nữ trung bình trong số 4 sinh viên gọi ra là: 4 21 505 241 875 190 31
𝐸(𝑋) = ∑ 𝑢. 𝑝𝑋(𝑢) = 0. 1508 + 1.4524 + 2.754 + 3. 2262 + 4.1131 = 12 𝑢=0 = 2,58(3)
Bài 3: Thời gian trễ khi đến trạm M của xe buýt K là biến ngẫu nhiên X (đơn vị: phút) có
phân phối đều trên [0; 6]. Quan sát thấy xe buýt K đã trễ 3 phút, tính xác suất khách đi xe
này không phải đợi thêm quá 2 phút nữa.
X có phân phối đều trên [0; 6] nên hàm mật độ xác suất của X có dạng: 1 f(x) = { 6 , x ϵ[0;6] 0, x ∉ [0; 6]
Xác suất để khách đi xe không phải đợi thêm quá 2 phút nữa, biết xe buýt K đã trễ 3 phút là: P(3 ≤ X ≤ 5) ∫5 1 2 P (X ≤ 5 3 6 dx X ⁄ ≥ 3) = P(X ≥ 3) = = ∫6 1 3 3 6 dx
Bài 4 : Thời gian sử dụng (đơn vị: năm) của một sản phẩm G là biến ngẫu nhiên có phân
phối mũ. Biết thời gian sử dụng trung bình của sản phẩm G là 3 năm và mỗi sản phẩm G
được bảo hành 1 năm. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm G, tính xác suất sản phẩm này có
thời gian sử dụng vượt quá thời gian bảo hành.
Gọi X (đơn vị: năm) là thời gian sử dụng của sản phẩm G
X là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với tham số 𝜆
Thời gian sử dụng trung bình là 3 năm ⇒ 𝐸(𝑋) = 1 = 3 ⇒ 𝜆 = 1 > 0 𝜆 3
Khi đó, hàm phân phối tích lũy của X là: −1
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = {1 − 𝑒3 𝑥 ; 𝑥 ≥ 0 0 ;𝑥 < 0
Hàm phân phối bù của X là: −1
𝐹𝑐(𝑥) = 𝑃(𝑋 > 𝑥) = {𝑒3 𝑥 ;𝑥 ≥ 0 1 ; 𝑥 < 0
Xác suất để sản phẩm này có thời gian sử dụng vượt quá thời gian bảo hành: 1
𝑃(𝑋 > 1) = 𝑒(−13).1 = √3 𝑒
Bài 5: Tuổi thọ một thiết bị điện là X (đơn vị: năm) có phân phối chuẩn N(16; 4). Tính xác
suất một thiết bị điện thuộc loại này đã sử dụng 10 năm có tuổi thọ dưới 1 8 năm.
Gọi X (đơn vị: năm) là tuổi thọ của thiết bị điện .
X có phân phối chuẩn với 𝜇 = 16; 𝜎2 = 4
⇒ Chuẩn tắc hoá: Z = X− 𝜇 = X− 16 ~ N(0, 1) 𝜎 2
Xác suất một thiết bị điện thuộc loại này có tuổi thọ dưới 18 năm biết đã sử dụng 10 năm là: P(10 < X < 18) P (10 − 16 P(X < 18 2 < Z < 18 − 16 2 ) X
⁄ > 10) = P(X > 10) = 1−P(Z ≤ 10−16 2 )
P(−3 < Z < 1) Φ(1) − Φ(−3) 0,84134 − 1,35.10−3
= 1 − P(Z ≤ −3) = 1 − Φ(−3) = 1 − 1,35.10−3 = 0,8411255195
Bài 1 Thống kê tại một cửa hàng tạp hóa cho thấy có 40% khách hàng đến mua bột giặt.
Trong số những người đã mua nước xả có 35% mua bột giặt. Trong số những người đến
mua bột giặt có 20% là mua nước xả. Tính xác suất 1 khách hàng đến cửa hàng này mua ít
nhất một nhóm mặt hàng bột giặt, nước xả.
TNNN: Quan sát khách đến cửa hàng tạp hóa
Gọi A là biến cố một khách đến cửa hàng mua bột giặt.
Gọi B là biến cố một khách đến cửa hàng mua nước xả.
Ta có: 𝑃(𝐴) = 0,4; 𝑃(𝐵|𝐴) = 0,2; 𝑃(𝐴|𝐵) = 0,35
Mà 𝑃(𝐴. 𝐵) = 𝑃(𝐵|𝐴). 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴|𝐵). 𝑃(𝐵)
Xác suất 1 khách hàng mua cả bột giặt và nước xả l à :
𝑃(𝐴. 𝐵) = 𝑃(𝐵|𝐴). 𝑃(𝐴) = 0,2.0,4 = 0,08 𝑃(𝐵|𝐴).𝑃(𝐴) 𝑃(𝐵) = 0,2.0,4 8 𝑃(𝐴|𝐵) = 0,35 = 35
Xác suất 1 khách hàng đến cửa hàng mua ít nhất một nhóm mặt hàng là: 8 96
𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴. 𝐵) = 0,4 + 35− 0,08 = 175
Bài 2 Một người có 4 nơi để đi câu cá với xác suất câu được cá lần lượt là 0,2; 0,25; 0,3 và
0,35. Người này đến ngẫu nhiên 1 nơi để câu cá. Tính xác suất người này câu được cá.
TNNN: Người này đến ngẫu nhiên 1 trong 4 nơi để câu cá
Gọi 𝐴𝑖 là biến cố người này đi đến nơi thứ 𝑖 để câu cá ; 𝑖 ∈ {1,2,3,4}.
Gọi 𝐵 là biến cố người này câu được cá Ta có: 1 P(A1) = 4; P(B|A1) = 0,2 1 P(A2) =4; P(B|A2) = 0,25 1 P(A3) =4; P(B|A3) = 0,3 1 P(A4) =4; P(B|A4) = 0,35 Vì A là h
nên áp d ng công th c xác su ta có: 1, A2, A3, A4 ệ đầy đủ ụ ứ ất đầy đủ
P(B) = P(B|A1).P(A1) + P(B|A2). P(A2) + P(B|A3). P(A3) + P(B|A4). P(A4) 1 1 1 1
= 4.0,2 + 4.0,25 +4.0,3 + 4.0,35 = 0,275
Bài 3 Lấy ngẫu nhiên 6 sản phẩm trong một lô hàng có 60 sản phẩm của nhà máy A và 40
sản phấm của nhà máy B. Gọi X là số sản phẩm của nhà máy A trong các sản phẩm lấy ra.
Tính xác suất có nhiều nhất 3 sản phẩm của nhà máy A.
TNNN: Lấy ngẫu nhiên 6 sản phẩm trong lô hàng có 60 sp A và 40 sp B.
Gọi X là số sản phẩm của nhà máy A trong 6 sản phẩm lấy ra
X có phân phối siêu bội với 𝑛 = 6, 𝑀 = 60, 𝑁 = 100 hay 𝑋~𝐻(6, 60, 100)
Xác suất có nhiều nhất 3 sản phẩm của nhà máy A là: 3 𝐶3 𝑢 . 𝐶6−𝑢
𝑃(𝑋 ≤ 3) = ∑ ℎ(𝑢; 6, 60, 100) = ∑ 60 40 𝐶 6 = 0,4556618149 𝑢=0 100 𝑢=0 E(X)= V(X)=
Bài 4 Tuổi thọ X (đơn vị: năm) của sản phẩm nhà máy H là biến ngẫu nhiên có hàm mật
độ xác suất 𝑓(𝑥) = 𝑘(11 − 𝑥)−3, 𝑥 𝜖 [0; 10] và 𝑓(𝑥) = 0; 𝑥 ∉ [0; 10]. Nhà máy H bảo
hành sản phẩm trong 2 năm, tính tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành của nhà máy H. Ta có: +∞ ∫ f(x)dx = 1 −∞ 0 10 +∞
⇔ ∫ 0dx + ∫ 𝑘(11 − 𝑥)−3 dx + ∫ 0dx= 1 −∞ 0 10 10
⇔ ∫ 𝑘(11 − 𝑥)−3 dx = 1 0 60 ⇔ k.121 = 1 121 ⇔ k = 60
Tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành của nhà máy H là: 1 2 21 2 121 1 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 2) = ∫ = ∫ = 0 60. (11 − 𝑥)−3 dx 0 60. (11 − 𝑥)−3dx 243
Bài 5 Thời gian nhận cuộc gọi của khách hàng từ nhân viên tiếp thị của công ty S là biến
ngẫu nhiên X (đơn vị: phút) có phân phối mũ với trung bình là 1 3 ⁄ phút. Quan sát ngẫu
nhiên 20 cuộc gọi của nhân viên tiếp thị, tính xác suất có ít nhất 10 cuộc gọi có thời gian từ 1 phút trở lên.
TNNN: Quan sát ngẫu nhiên 20 cuộc gọi của nhân viên tiếp thị. Đếm xem có bao nhiêu
cuộc gọi có thời gian từ 1 phút trở lên.
Gọi Y là số cuộc gọi trong số 20 cuộc gọi có thời gian từ 1 phút trở lên.
⇒ Y tuân theo quy luật phân phối nhị thức với 𝑛 = 20 và 𝑝 = 𝑃(𝑋 ≥ 1)
X là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với tham số 𝜆
Thời gian nhận cuộc gọi trung bình là 1 phút ⇒ 𝐸(𝑋) = 1= 1 ⇒ 𝜆 = 3 3 𝜆 3 1
𝑃(𝑋 ≥ 1) = 𝑒(−3).1 = 𝑒3 Vậy 𝑌~𝐵 (20; 1 ) 𝑒3
Xác suất có ít nhất 10 cuộc gọi c
ó thời gian từ 1 phút trở lên. 20 1 20 𝑢 20−𝑢
𝑃(10 ≤ 𝑌 ≤ 20) =∑ b (u; 20; 𝑢 1 1 𝑒3)=∑ 𝐶20 . ( 𝑒3) .(1 − 𝑒3) 𝑢=10 𝑢=10 = 1,088888232. 10−8
Bài 1 Một hộp chứa 15 sản phẩm loại I và 5 sản phẩm loại II. Hai người lần lượt lấy ngẫu
nhiên không hoàn lại mỗi người 2 sản phẩm từ hộp này. Tính xác suất trong các sản phẩm
lấy ra có ít nhất 2 sản phẩm loại I.
TNNN: Hai người lần lượt lấy ngẫu nhiên không hoàn lại mỗi người 2 sản phẩm từ hộp. |𝑆| = 𝐶2 2
20 . 𝐶18 = 29070 (𝑐á𝑐ℎ)
Gọi A là biến cố “Trong các sản phẩm lấy ra có ít nhất 2 sản phẩm loại I” Cách 1 : T
a có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A là :
+ (4 sản phẩm lấy ra là loại I) Mỗi người lấy được 2 sản phẩm loại I: 𝐶2 2 15. 𝐶13 (𝑐á𝑐ℎ)
+ (có 3 sản phẩm lấy ra là loại I) 1 người lấy được 2 sản phẩm loại I, người còn lại lấy 1
sản phẩm loại I và 1 sản phẩm loại II 𝐶2 1 1 1 1 2
15. 𝐶13 . 𝐶5 + 𝐶15. 𝐶5 . 𝐶14
+ (có 2 sản phẩm lấy ra là loại I) Mỗi người lấy được 1 sản phẩm loại I, 1 sản phẩm loại II
hoặc Một trong 2 người lấy được 2 sản phẩm loại I còn người kia lấy ra 2 sản phẩm loại II 𝐶1 1 1 1 2 2
15. 𝐶5 . 𝐶14. 𝐶4 + 𝐶15. 𝐶5 . 2 Suy ra |𝐴| = 𝐶2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2
15. 𝐶13 + 𝐶15. 𝐶13. 𝐶5 + 𝐶15. 𝐶5 . 𝐶14 + 𝐶15. 𝐶5. 𝐶14 . 𝐶4 + 2. 𝐶15 . 𝐶5 = 28140
Vậy xác suất cần tính là: |𝐴| 28140 938
𝑃(𝐴) = |𝑆| = 29070 = 969 = 0,9680082559
Cách 2: Ta có các trường hợp không thuận lợi cho biến cố A là :
+ (có 0 sản phẩm loại I) Mỗi người lấy được 2 sản phẩm loại II: 𝐶2 2 5 . 𝐶3 (𝑐á𝑐ℎ)
+ (có 1 sản phẩm loại I) Chỉ 1 người lấy được 1 sản phẩm loại I: 𝐶1 1 2 2 1 1
15. 𝐶5 . 𝐶4 + 𝐶5 . 𝐶15. 𝐶3 (𝑐á𝑐ℎ) Suy ra |𝐴′| = 𝐶2 2 1 1 2 2 1 1
5 . 𝐶3 + 𝐶15 . 𝐶5 . 𝐶4 + 𝐶5 . 𝐶15. 𝐶3 = 930 (cách)
Vậy xác suất cần tính là: |𝐴′| 930 938
𝑃(𝐴) = 1 − |𝑆| = 1 −29070 = 969 = 0,9680082559
Bài 2 Một phân xưởng có 3 máy hoạt động độc lập. Xác suất các máy đó hỏng trong một
ngày làm việc tương ứng là 0,02; 0,04; 0,07. Biết có đúng 1 máy bị hỏng, tính xác suất máy thứ nhất bị hỏng.
TNNN: Quan sát việc hoạt động của 3 máy
Gọi 𝐴, 𝐵, C lần lượt là các biến cố máy thứ nhất, thứ hai, thứ ba bị hỏng trong một ngày làm việc. Theo đề ta có:
P(𝐴) = 0,02 ; P(B) = 0,04 ; P(C) = 0,07
Gọi 𝐻 là biến cố có một trong ba máy bị hỏng
𝐻 = 𝐴𝐵′𝐶′ + 𝐴′𝐵𝐶′ + 𝐴′𝐵′𝐶 Suy ra Cách 1.
P(𝐻) = P(𝐴𝐵′𝐶′ + 𝐴′𝐵𝐶′ + 𝐴′𝐵′𝐶) = 𝑃(𝐴𝐵′𝐶′) + 𝑃(𝐴′𝐵𝐶′) + 𝑃(𝐴′𝐵′𝐶)
= P(𝐴). P(𝐵′). P(𝐶′) + P(𝐴′). P(𝐵). P(𝐶′) + P(𝐴′). P(𝐵′).P(𝐶)
= 0,02.0,96.0,93 + 0,98.0,04.0,93 + 0,98.0,96.0,07 = 0,120168 Cách 2.
P(𝐻) = 1 − P(𝐴𝐵𝐶′ + 𝐴𝐵′𝐶 + 𝐴′𝐵𝐶) − 𝑃(𝐴𝐵𝐶) − 𝑃(𝐴′𝐵′𝐶′)
= 1 − 𝑃(𝐴𝐵𝐶′) − 𝑃(𝐴𝐵′𝐶) − 𝑃(𝐴′𝐵𝐶) − 𝑃(𝐴𝐵𝐶)
= 1 − P(𝐴). P(𝐵). P(𝐶′) − P(𝐴). P(𝐵′). P(𝐶) − P(𝐴′).P(𝐵).P(𝐶)
− P(𝐴). P(𝐵). P(𝐶) − P(𝐴′).P(𝐵′). P(𝐶′)
= 1 − 0,02.0,04.0,93 − 0,02.0,96.0,07 − 0,98.0,04.0,07
− 0,02.0,04.0,07 − 0,98.0,96.0,93 = 0,120168
Xác suất máy thứ nhất bị hỏng, biết có một trong ba máy bị hỏng là: P(A. H)
𝑃(𝐴𝐵′𝐶′) 0,02.0,96.0,93 248
P(𝐴|H) = P(H) = P(H) = 0,120168 = 1669 = 0,1485919712
Bài 3 Nhà máy M sản xuất sản phẩm với xác suất không đạt chuẩn của mỗi sản phẩm là
0,045. Kiểm tra ngẫu nhiên từng sản phẩm của nhà máy M cho đến khi được 3 sản phẩm
không đạt chuẩn thì dừng. Gọi X là số sản phẩm cần kiểm tra. Tính 𝐸(𝑋), 𝑉(𝑋) và 𝑃(𝑋 ≤ 10).
TNNN: Kiểm tra ngẫu nhiên từng sản phẩm của nhà máy M cho đến khi được 3 sản phẩm
ko đạt chuẩn thì dừng.
Gọi X là số sản phẩm cần kiểm tra
⇒ X có phân phối nhị thức âm với 𝑟 = 3 và p = 0,045
Hàm xác suất của X có dạng : 𝑝 2 𝑢−3
𝑋(𝑢) = 𝐶𝑢−1. p3. (1 − 𝑝) ; u=3; 4; 5;…
Số sản phẩm lấy ra trung bình là: 𝑟 3 200 𝐸(𝑋) = (
𝑝 = 0,045 = 3 = 66, (6) sản p ẩm h ) Phương sai:
𝑟(1 − 𝑝) 3. (1 − 0,045) 38200 𝑉(𝑋) = 𝑝2 = 0,0452 = 27 10 10 P(𝑋 ≤ 10) = ∑ 𝐶 2 𝑢−3 2 𝑢−1 . p3. (1 − 𝑝)
= ∑ 𝐶𝑢−1 . 0,0453. (1 − 0,045)𝑢−3 𝑢=3 𝑢=3 = 0,008613831793
Bài 4 Số khách đến quầy dịch vụ S trong 5 phút là biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson
với trung bình là 2. Tính xác suất trong 10 phút có ít nhất 3 khách đến quầy S, biết có không
quá 6 khách đến quầy S trong 10 phút này.
Gọi X là số khách đến quầy dịch vụ S trong 5 phút.
⇒ X có phân phối Poisson với λ = 2 hay 𝑋~𝑃(2)
Gọi Y là số khách đến quầy dịch vụ S trong 10 phút.
⇒ Y có phân phối Poisson với λ = 4 hay 𝑌~𝑃(4)
Hàm xác suất của Y có dạng : 𝑒−4.4𝑢
𝑝𝑌(𝑢) = 𝑃(𝑌 = 𝑢) = 𝑢! 𝑣ớ𝑖 𝑢 = 0,1,2,…
Xác suất trong 10 phút có ít nhất 3 khách đến quầy S, biết có không quá 6 khách đến
quầy S trong 10 phút này : P(3 ≤ Y ≤ 6) ∑6 𝑒−4. 4𝑢 320 P (Y ≥ 3 𝑢=3 𝑢! Y ⁄ ≤ 6) = =
P(Y ≤ 6) = ∑6 𝑒−4.4𝑢 437 = 0,7322654462 𝑢=0 𝑢!
Bài 5 Thời gian sử dụng thiết bị điện tử A của công ty M là biến ngẫu nhiên liên tục X
(đơn vị: năm) có hàm mật độ xác suất 𝑓(𝑥) = 𝑘(8 − 𝑥)4; 𝑥 𝜖 [0; 8] và 𝑓(𝑥) = 0 ; 𝑥 ∉
[0; 8]. Quan sát ngẫu nhiên một sản phẩm A đã sử dụng được 3 năm, tính xác suất sản
phẩm này sử dụng được thêm 2 năm nữa.
Gọi X (đơn vị: năm) là thời gian sử dụng thiết bị điện tử A của công ty M. X là biến ngẫu
nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất: 4
f(x) = { 𝑘(8 − 𝑥) , x ϵ[0;8] 0, x ∉ [0; 8] Ta có: +∞ ∫ f(x)dx = 1 −∞ 0 8 +∞
⇔ ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx = 1 −∞ 0 8 8
⇔ ∫ 𝑘(8 − 𝑥)4𝑑𝑥 = 1 0 32768 ⇔ k. 5 = 1 5 ⇔ k = 32768
Xác suất sản phẩm A sử dụng được thêm 2 năm nữa, biết sản phẩm này đã sử dụng được 3 năm là: P(X ≥ 5) P (X ≥ 5 X ⁄ ≥ 3) = P(X ≥ 3) ∫8𝑘. (8 − 𝑥)4dx = 5 ∫8 𝑘. (8 − 𝑥)4dx 3 ∫8 5 8 − 𝑥 4dx = 5 32768 . ( ) ∫8 5 4 3 32768 . (8 − 𝑥) dx 243⁄ 243 = 32768 3125 = ⁄32768 3125 = 0,07776
Cấu trúc đề thi cuối kỳ I.
Xác suất (4,5 điểm) 1. 2. 3. 4.
Nội dung: tính xác suất của biến cố ngẫu nhiên trong không gian mẫu đồng khả năng,
công thức tính xác suất; Biến ngẫu nhiên rời rạc, các phân phối như nhị thức, siêu bội,
nhị thức âm, Poisson; Biến ngẫu nhiên liên tục, các phân phối đều, chuẩn, mũ. II.
Thống kê (5,5 điểm) 1. 2. 3. 4.
5. Tương quan hồi qui tuyến tính
Nội dung: ước lượng khoảng (xác định độ tin cậy, xác định cỡ mẫu), kiểm định giả
thuyết Thống kê dựa trên thông tin của 1 mẫu hay 2 mẫu (2 mẫu độc lập hay 2 mẫu ghép cặp ;
) Tương quan hồi qui tuyến tính;