Tổng hợp 27 Bài tập Toán kinh tế 2 – Chương 2: Định lý Bao | Trường đại học sư phạm kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh

Bài tập Toán kinh tế 2 – Chương 2 CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÝ BAO 2.1. Cho hàm sản xuất 1 1 Q  F L,K  4 3  L K và hàm lợi nhuận 1 1  L,K ,w,r  4 3  L K  wL  rK
a) Tìm hàm cầu theo các yếu tố và hàm cung.
b) Tìm hàm lợi nhuận cực đại và chứng minh rằng nó là hàm thuần nhất.
2.2. Xét bài toán lợi ích cực đại với 2 loại hàng hóa U Q ,
và ràng buộc về thu nhập 1 2 Q  là Y  
. Giả sử hàm lợi ích tối ưu tìm được là 1 P 1 Q 2 P 2 Q 2 1 1   * U Y , P , P  Y  2P  3P 1 2  3 2 3 1 2
a) Tìm hàm cầu theo các yếu tố (hàm cầu Marshallian)
b) Tìm độ co giãn của các hàm cầu trên theo thu nhập.
2.3. Xét bài toán cực đại hóa lợi nhuận với hàm lợi nhuận
 (L, K, P,W , R)  PF (L, K ) WL  RK
a) Dùng vi phân toàn phần, chứng tỏ rằng đường cong cầu của công ty: Q ( ,
P W , R)  F (L(P,W , R), K (P,W , R))  
có độ dốc hướng lên, nghĩa là Q ( , P W, ) R  0 . P b) Chứng tỏ rằng Q(P,W, R) L  ( P, W, R)   W P 
2.4. Xét hàm sản xuất Cobb- Douglas 1/ 2 1/ 3 Q  F ( , L K )  L K
Giả sử hàm lợi nhuận của công ty là
 (L, K, w,r)  L1/2K1/3  wL  rK
trong đó w là lương thật sự và r chi phí thật sự của vốn. 1
Bài tập Toán kinh tế 2 – Chương 2
a) Tìm các mức lao động và vốn  L và 
K để làm cực đại hóa lợi nhuận.  ( , )  ( , ) b) L w r K w r Chứng tỏ rằng 
và chứng tỏ điều kiện đạo hàm cấp hai được r w  thỏa.
c) Chứng minh rằng hàm lợi nhuận   ( , w r)   (L( , w r), K  ( , w r), , w r) được cho bởi  1 3 2  ( , w r)  w r 432 d) Chứng minh   ( , w ) r     ( , w )  L ( , w r ) v à r  K (w,r ) w  r
2.5. Một máy bay gồm Q chỗ ngồi, trong đó Q1 số chỗ ngồi dành cho hạng thương gia và
Q2 số chỗ ngồi dành cho hạng phổ thông. Doanh thu của hãng đối với chiếc máy bay này là
R Q , Q   R Q   R Q  2 Q 1  60 1 2 1 2 1 Q 2
a) Chứng minh rằng doanh thu đạt cực tiểu khi doanh thu biên đối với số chỗ ngồi
của hạng thương gia và hạng phổ thông bằng nhau. * dR  Q
b) Áp dụng định lý bao tính . dQ
2.6. Cho hàm chi phí tối ưu của một quá trình sản xuất là 3 2 *  C  Q,W , R 4 3  Q W R a) Xác định chỉ số α
b) Tìm hàm cầu theo các yếu tố.
2.7. Giả sử hàm chi phí tối ưu của công ty được cho bởi 1 1  2 3 3 3 C ( , Q W , R)  Q (W  R ) Tính   L , K và   ?
2.8. Giả sử hàm chi phí tối ưu của công ty được cho bởi 1 1  2 2 2 C ( , Q W , R)  Q(W  R ) 2
Bài tập Toán kinh tế 2 – Chương 2
a) Chứng tỏ rằng C(Q,W, R) là hàm thuần nhất bậc 1 theo W và R .
b) Tìm L(Q,W , R) và K(Q,W, R) và chứng tỏ rằng chúng là các hàm thuần nhất bậc 0 theo W và R . L (  Q,W , R) c) Chứng tỏ rằng  0 W
2.9. Cho hàm chi phí tối ưu của một quá trình sản xuất là 1 2 * C Q W R  4 3 3 , ,  Q W R
Chứng minh rằng hàm cầu theo các yếu tố là hàm thuần nhất bậc 0.
2.10. Nếu ta sử dụng thêm một biến ngoại sinh T (nhiệt độ) trong mô hình lợi nhuận dài
hạn sao cho khi nhiệt độ tăng thì sản lượng Q  F L,K ,T. Áp dụng định lý bao chứng minh rằng  F   * * L , K , ( , , , ) T P W R T   P  0 T T 1 2.11. Cho hàm 2 f ( , x )
r  x  rx với x  0 . Tìm hàm *
f r  là giá trị lớn nhất của hàm
f (x,r ) theo biến r. Biểu diễn đồ thị của hàm * f r  và hàm f ( , x )
r với một số giá trị cụ
thể của x biết rằng trục nằm ngang biểu diễn biến r. 2.12. Cho 2 2
f (x)  x  2ax  4a là hàm số theo biến số x mà phụ thuộc vào tham số a
Hãy xác định giá trị tối ưu f (a) của hàm số. Kiểm tra định lý bao.
2.13. Giả sử f (x, y,a)  ax2  2x  y2  4ay , trong đó a là một tham số. Với mỗi a  0 cố
định, hãy tìm điểm dừng (x(a), y(a)) của f . Tìm giá trị tối ưu f (a)  f (x(a), y(a),a)
và kiểm tra định lý bao trong trường hợp này.
2.14. Đầu ra của một doanh nghiệp phụ thuộc vào lượng đầu vào x và một tham số a theo hàm f ( , x )
a . Giá của đầu ra là p > 0 và giá của đầu vào là w > 0. Xác định dấu của
đạo hàm của hàm lợi nhuận cực đại theo a biết hàm f (x,a) tăng theo a.
2.15. Đầu ra của một sản phẩm là a
x .y với x, y là lượng của 2 loại nguyên liệu đầu vào
và a > 1 là một tham số. Một doanh nghiệp mà chính phủ quản lý được chỉ đạo phải tối 3
Bài tập Toán kinh tế 2 – Chương 2
đa hóa đầu ra với ràng buộc 2x  y  12
a) Giải bài toán cực trị ràng buộc trên.
b) Áp dụng định lý bao cho biết đầu ra cực đại thay đổi như thế nào theo tham số a?
2.16. Xét xem các hàm số sau có là hàm thuần nhất. Nếu là hàm thuần nhất, hãy tìm bậc thuần nhất. a) 1/ 2 2 / 3 y  f (x , x )  1 2 1 x 2 x b) 3 2 3 x  f (x , x )  x  2  1 2 1 x x x 1 2 2
2.17. Hàm lợi nhuận của một công ty là 2 2
 (x, y)  px  qy x  y
trong đó p và q là các giá trên đơn vị sản phẩm và 2 2
x  y là các chi phí của việc sản
xuất và bán x đơn vị sản phẩm của loại hàng hóa thứ nhất và y đơn vị sản phẩm của loại
hàng hóa thứ hai. Các hằng số đều dương.
a) Tìm các giá trị của x và y làm cực đại hóa lợi nhuận. Ký hiệu chúng là x và  y .
Kiểm tra rằng các điều kiện đạo hàm cấp hai được thỏa.     b) ( p, q) ( p, q) Định nghĩa   (x, y)   (  x ,  y ) . Kiểm tra   x và   y . Đưa ra p q
các giải thích kinh tế kết quả này.
2.18. Một công ty sản xuất hai loại hàng hóa A và B . Giá của loại hàng hóa A là 13 và
giá của loại hàng hóa B là p . Giả sử chi phí tổng cộng để sản xuất hai loại hàng hóa là C( , x y)  . 0 04 2 x  0 0 . 1xy  0 0 . 1 2 y  4x  2 y  500
Hãy xác định giá trị tối ưu 
 ( p) của hàm lợi nhuận. Kiểm tra định lý bao.
2.19. Xét bài toán cực đại hóa hàm lợi ích ( , ) a
U x y  x  y , với điều kiện ràng buộc
px y  m , trong đó các hằng số đều dương và a   0,1
a) Tìm các hàm cầu x (p ,m ,a ); y (p ,m ,a ) * b) U  Tìm hàm tối ưu * U  ( p, , m a) và chứng minh  x  p ,m ,a  p 
2.20. Xét bài toán cực đại hóa hàm 4
Bài tập Toán kinh tế 2 – Chương 2 f ( y, x)  x  3y với điều kiện h( y, x) 2 2  x  ay 10 .
Hãy xác định giá trị tối ưu f ( )
a . Kiểm tra định lý bao.
2.21. Giả sử một hộ gia đình muốn cực đại hóa hàm tiện ích U(Q ,Q ) theo ràng buộc kế 1 2 hoạch là Y  
. Khi đó, hàm tiện ích tối ưu là 1 P 1 Q 2 P 2 Q 1 1 1 2    3 2 2 3 U (P , P ,Y )  Y (P  P ) 1 2 1 2 Tìm nhân tử Lagrange 
 và đường cong cầu 
Q (P , P ,Y ) . Tìm độ co dãn thu nhập đối 1 1 2 với * Q ? 1
2.22. Một người tiêu dùng với hàm lợi ích U  x, y   x  y  
1 , trong đó x, y là số lượng 2
loại hàng hóa có giá lần lượt là px và py. Người này có mức ngân sách là B.
a) Từ điều kiện bậc nhất hãy tìm biểu thức của các hàm cầu Marshallian. Khi py >
B/2 thì điều gì xảy ra?
b) Tìm hàm lợi ích cực đại * *
U  U  p , p , B . Từ đó rút ra biểu thức của hàm chi x y  phí * B  B  * p , p , U x y 
c) Xét lại bài toán tìm cực tiểu của p x p y với ràng buộc 0 U  x y   1 . Tìm giá x y  
trị của x, y thỏa mãn bài toán này và chứng minh rằng B  , B x y  với hàm p p x y chi phí B ở câu b.    w w      2.23. * * *
Giả sử x w , w , y   x , x    y e   2 1 1   ,  1 2 1 2  
. Với giá trị nào của α và β  1 w   w2     thì *
x là hàm cầu theo các yếu tố w1, w2 trong bài toán có ràng buộc. 2 p 2.24. * 1   1
Giả sử   p, w ,w  ,   1 2  A 1 w 2 w 1 w 2 w 4A
a) Với giá trị nào của α và β thì *
 là một hàm lợi nhuận. 5
Bài tập Toán kinh tế 2 – Chương 2
b) Với giá trị của α và β ở trên hãy tìm hàm cầu theo các yếu tố w1, w2 và hàm chi phí của bài toán.
2.25. Một người tiêu dùng 2 loại hàng hóa x1, x2 với hàm lợi ích là U x ,x  x  4  1 2  1
x2 . Tìm các hàm cầu Marshallian biết ngân sách của người này là B. 1 1
2.26. Xét bài toán lợi ích cực đại maxU  , x y 2 3
 x  y với ràng buộc px qy  W x ,y 2 3 a) * * *
Tìm phương án tối ưu x , y và lợi ích tối ưu U b) *
Áp dụng định lý bao để tìm sự ảnh hưởng của W đến giá trị U
c) Viết lại bài toán trên trở thành bài toán cực tiểu hóa chi phí tiêu dùng với ràng
buộc là lợi ích tối thiểu phải là U*, nhân tử của bài toán này là μ
d) Chứng minh rằng kết quả của hệ các điều kiện bậc nhất ở bài toán cực tiểu hóa chi
phí tiêu dùng giống với kết quả của bài toán ban đầu.
e) Cho biết mối quan hệ giữa λ và μ f) *
Áp dụng định lý bao tìm sự ảnh hưởng của U trên giá trị của hàm đối ngẫu và giải
thích kết quả nhận được.
2.27. Xét một công ty cạnh tranh với một đầu vào duy nhất là lao động (L), giá tiền công
là w, chi phí cố định là FC, giá bán sản phẩm trên thị trường là p và hàm sản xuất có dạng 2 3 q  5L .
a) Viết biểu thức hàm lợi nhuận π.
b) Viết điều kiện cần và đủ của cực đại lợi nhuận. Từ đó xác định hàm cầu lao động của công ty.
c) Phân tích sự ảnh hưởng của p, w và FC lên lợi nhuận tối ưu. 6