Tổng hợp bài tập xác suất và thống kê các chương ( 03 chỉ) năm 2021 | Trường đại học sư phạm kĩ thuật TP. Hồ Chí Minh
A. Không gian mẫu và biến cố; Bài 1: Lớp có 10 sinh viên giỏi toán, 7 sinh viên giỏi anh và 3 sinh viên vừa giỏi toán, giỏi anh. A là biến cố sinh viên giỏi toán . B là biến cố sinh viên giỏi anh. Tìm C = biến cố sinh viên giỏi 2 môn = ? D = biến cố sinh viên giỏi ít nhất 1 môn = ?(đã có đáp án). Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Xác suất thống kê (Toán 2)
Trường: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Môn:
Trường:
Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
BÀI TẬP XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ( 03 chỉ)
BÀI TẬP CHƯƠNG 2: PHÉP TÍNH XÁC SUẤT
A. Không gian mẫu và biến cố:
Bài 1: Lớp có 10 sinh viên giỏi toán, 7 sinh viên giỏi anh và 3 sinh viên vừa giỏi toán, giỏi anh.
A là biến cố sinh viên giỏi toán .
B là biến cố sinh viên giỏi anh.
Tìm C = biến cố sinh viên giỏi 2 môn = ?
D = biến cố sinh viên giỏi ít nhất 1 môn = ? (đã có đáp án)
Bài 2: Tung 1 con xúc xắc. Các biến cố nào xung khắc, các biến cố nào đối lập nhau? A={1,3,5} B={2,3,6} C={2,6} D={1,4} E={2,4,6}
B. Giải tích tổ hợp:
Bài 3: 5 người lên 7 toa tàu một cách ngẫu nhiên. Có bao nhiêu trường hợp xảy ra a/ có thể xảy ra (16807)
b/ 5 người cùng lên toa thứ 3
c/ 5 người cùng lên một toa
d/ 5 người lên 5 toa đầu và mỗi người một toa. (120)
Bài 4 : Ba người A, B, C đặt vé ô tô hãng Z đi đến cùng một nơi, cùng ngày và cùng giờ.
Hãng xe Z sắp xếp 3 người này lên 5 xe một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất 3 người này
đi trên 3 xe khác nhau. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 5: Một lô hàng có 10 sp trong đó có 8 sp tốt. Lấy ngẫu nhiên 1 sp từ lô hàng này.
Tính xác suất để được sản phẩm tốt.
Bài 6: Trong một hộp có 6 chiếc tất mầu trắng và 8 chiếc tất màu đen. Lấy ngẫu nhiên 2
chiếc từ hộp. Tính xác suất lấy được 2 chiếc cùng mầu. Người lấy cần lấy ra tối thiểu bao
nhiêu chiếc để chắc chắn lấy được 2 chiếc cùng màu. 1
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
Bài 7: Một cửa hàng có 30 máy tính, trong đó có 20 máy tính do cty A sản xuất và 10
máy tính do cty B sản xuất. Một khách hàng đến cửa hàng mua 3 máy tính. Giả sử khả
năng được mua của mỗi máy là như nhau. Tính xác suất để khách hàng này mua được 2
máy của A và 1 máy của B.
Bài 8: Một hộp có 8 quả cam và 7 quả táo. Lấy ra 5 quả. Tính Xác suất lấy được ít nhất 1 quả cam trong 5 quả.
Bài 9: Một lớp có 30 sinh viên, trong đó có 5 nữ sinh giỏi tiếng anh; 6 nam sinh giỏi vi tính. Chọn ngẫu n
hiên 2 sinh viên lớp này. Tính xác suất chọn được 2 sinh viên cùng giới
và cùng giỏi tiếng anh hoặc cùng giỏi vi tính. Đs: 5/87
Bài 10: Lớp A có 30 sinh viên trong đó có 20 sinh viên nữ. Lớp B có 40 sinh viên trong
đó có 28 sinh viên nữ. Gọi ngẫu nhiên 2 sinh viên lớp A và 2 sinh viên lớp B. Tính xác
suất trong các sinh viên gọi được có hai sinh viên nữ.
Bài 11: Có 2 lô hàng: lô I gồm 10 sản phẩm trong đó có 2 phế phẩm; lô II gồm 8 sản
phẩm trong đó có 1 phế phẩm. Từ mỗi lô lấy ngẫu nhiên cùng lúc 2 sản phẩm để kiêm
tra. Tình xác suất cả 4 sản phẩm đều tốt. Đs: 7/15 Bài 1 :
2 Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ một lô hàng có 15 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm
xấu bỏ vào một lô khác có 13 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu. Tính xác suất để số sản
phẩm tốt hoặc số sản phẩm xấu trong 2 lô bằng nhau. Đs: 5/38
Bài 13: Một lô hàng có 50 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm. Một người mua kiểm tra
bằng cách lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm từ lô hàng, nếu có không quá một phế p ẩ h m trong
các sản phẩm được lấy ra thì mua lô hàng. Tính xác suất lô hàng được mua. Đs: 0,8258
Bài 14: Một lô hàng gồm 9 sản phẩm loại 1; 6 sản phẩm loại 2. Lấy ngẫu nhiên 2 sản
phâm từ lô hàng này. Tính xác suất 2 sản phẩm lấy ra khác loại . Đs: 18/35
Bài 15: Cho hai đường thẳng song song ; . Năm điểm A , B ,C , D , ằ 1 2 1 1 1 1 1 E n m trên
và sáu điểm A , B ,C , D , E , ằ
. Lấy ngẫu nhiên 3 điểm trong 11 1 F n m trên 2 2 2 2 2 2 2
điểm. Tính xác suất lấy được 3 đỉnh của một tam giác. Đs: 9/11
Bài 16: Có 3 đường thẳng song song nằm ngang cắt 4 đường thẳng song song thẳng
đứng. Tính xác suất để được một hình chữ n ậ
h t ? (đáp án: xem video bài giải)
Bài 17: Gieo đồng thời 2 con xúc sắc đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện
trên 2 con xúc sắc bằng 9.
Bài 18: Có 5 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 5. Lấy ngẫu nhiên 3 tấm và xếp thành một
hàng, tính xác suất để được một số chia hết cho 3. 2
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
Bài 19: Xếp chỗ 9 người trong đó có 2 người A và B vào một bàn dài. Tính xác suất hai
người A và B ngồi cách nhau đúng 3 người .(đáp án: xem video bài giải)
Bài 20: Mỗi bàn có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 3 ghế. Người ta muốn xếp cho
3 sinh viên nữ và 3 sinh viên nam vào bàn trên. Tính xác suất để hai sinh viên bất kỳ ngồi
đối diện thì khác giới tính nhau? (đáp án: xem video bài giải) Bài 21*
: Xếp ngẫu nhiên 30 sinh viên, trong đó có 2 sinh viên là A và B, ngồi trong 1
phòng có 15 bàn, mỗi bàn có 3 ghế. Tính xác suất để 2 sinh viên A và B ngồi cùng 1 bàn. Đs: 0,04545 Bài 2 *
2 : Chia ngẫu nhiên 30 sản phẩm, trong đó có 20 sản phẩm loại 1 và 10 sản phẩm
loại 2 thành 2 phần, mỗi phần 15 sản phẩm. Tính xác suất để phần nào cng có ít nhất 9
sản phẩm loại 1. Đ/s: 0,7549
Bài 23: Trong một lô hàng có 3 sản phẩm loại 1, 4 sản phẩm loại 2 và 5 sản phẩm loại 3.
Chia ngẫu nhiên 12 sản phẩm này ra làm 2 phần bằng nhau. Tính xác suất để mỗi phần
đều có cả 3 loại sản phẩm
Bài 24: Một hộp chứa 18 sản p ẩ
h m loại I và 7 sản phẩm loại II. Hai người lần lượt lấy
ngẫu nhiên không hoàn lại mỗi người 2 sản phẩm từ hộp này. Tính xác suất trong các sản
phẩm lấy ra có ít nhất 2 sản phẩm loại I. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 25: Một hộp có 20 vé, trong đó có 4 vé trúng thưởng. Hai người lần lượt lấy ngẫu
nhiên mỗi người 2 vé từ hộp này. Tính xác suất để mỗi người lấy được ít nhất 1 vé trúng thưởng.
Bài 26: Xếp chỗ ngẫu nhiên 4 sinh viên vào 3 phòng. Tính xác suất phòng nào cng có
sinh viên trong 4 sinh viên này. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 27*: 6 khách vào 1 ngân hàng có 4 quầy phục vụ. Tính xác suất để quầy nào cng
có khách đến. Đs: 0,3808 Bài 2 *
8 : Trong một lớp có 30 sinh viên có 8 sinh viên giỏi tiếng anh; 7 sinh viên giỏi tin
học và 4 sinh viên giỏi cả 2 môn. Chọn ngẫu nhiên 4 sinh viên từ lớp để thực hiện nhiệm
vụ. Tính xác suất 4 sinh viên này hoàn thành nhiệm vụ, biết nhiệm vụ chỉ có thể hoàn
thành nếu 4 sinh viên này phải có sinh viên giỏi Anh và phải có sinh viên giỏi vi tính. Đs: 0,551
Bài 29* Có 4 cầu thủ mặc áo có số lần lượt là 1, 2, 3, 4 ngồi ngẫu nhiên vào 4 ghế được
đánh số là 1, 2, 3, 4. Tính xác suất để có ít nhất một cầu thủ có số áo và số ghế trùng nhau. 3
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
C. Công thức xác suất cơ bản:
* Công thức cộng, điều kiện, nhân:
Bài 30 (công thức cộng): Một công ty sản xuất giày dép thống kê được trong số các
khách đến xem sản phẩm có 50% khách mua giày (những người này có thể mua dép hoặc
không), 40% khách mua dép (những người này có thể mua giày hoặc không) và 20%
khách mua cả giày và dép. Tính xác suất để một khách đến xem có mua sản phẩm của công ty.
Bài 31: Công ty M đấu thấu 2 dự án A, B với xác suất trúng thầu lần lượt là 0,4 và 0,3.
Xác suất cả 2 dự án cùng trúng thầu là 0,1
a/ Tính xác suất có ít nhất 1 dự án trúng thầu .
b/ Tính xác suất không có dự án nào trúng thầu .
c/ Tính xác suất chỉ có dự án A trúng thầu .(đáp án: xem video bài giải) Bài 3
2 : Chia ngẫu nhiên 12 sản phẩm gồm 7 sản phẩm loại A và 5 sản phẩm loại B
thành 3 phần, mỗi phần có 4 sản phẩm. Tính xác suất có ít nhất một phần chỉ có đúng 1
loại sản phẩm. (đáp án: xem video bài giải) Bài 3
3 (công thức điều kiện): Gieo 3 con xúc sắc đồng chất thấy số c ấ h m xuất hiện trên
3 mặt là khác nhau.Tính xác suất có ít nhất một mặt có số chấm chia hết cho 5 xuất hiện .
(đáp án: xem video bài giải) Bài 3
4 (công thức nhân): Một thủ kho có 1 chùm chìa khóa gồm 9 chiếc bề ngoài giống
hệt nhau, trong đó chỉ có 2 chiếc mở được kho. Anh ta thử ngẫu nhiên từng chìa (chìa nào
không đúng thì mở ra). Tính xác suất anh ta mở được cửa ở lần thứ ba. Đs: 1/6
Bài 35: Một hộp có 4 sản phẩm A và 6 sản phẩm B. Một người lấy ngẫu nhiên lần lượt
không hoàn lại từng sản phẩm trong hộp cho đến khi lấy được các sản phẩm khác loại thì
dừng. Tính xác suất người này dừng lại ở lần lấy thứ 3.
Bài 36: Một chi tiết được gia công qua 3 công đoạn liên tiếp với khả năng gây ra khuyết
tật cho chi tiết ở mỗi công đoạn là độc lập và lần lượt là 0,1; 0,05 và 0,04.
Tính xác suất sau khi gia công chi tiết có lỗi. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 37: Một phân xưởng có 3 máy hoạt động độc lập. Xác suất các máy đó hỏng trong
một ngày làm việc tương ứng là 0,02; 0,04; 0,07. Biết có đúng 1 máy bị hỏng, tính xác
suất máy thứ nhất bị hỏng .
Bài 38: Công ty M đầu tư vào 2 dự án A, B một cách độc lập, với xác suất dự án A, B
mang lại lợi nhuận lần lượt là 0,7 và 0,8. Biết chỉ có một dự án mang lại lợi nhuận, tính
xác suất đó là dự án A. (đáp án: xem video bài giải ) 4
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
Bài 39 : Trong lớp có 40 sinh viên nam và 10 sinh viên nữ. Gọi ngẫu nhiên lần lượt
từng sinh viên cho đến khi được 3 sinh viên nam thì dừng. Tính xác suất sinh viên gọi ra
thứ hai là nam biết rằn
g gọi tới sinh viên thứ 5 thì dừng . Bài 4
0 : Biết 𝑃(𝐴) = 0,5; 𝑃(𝐵) = 0,4 và 𝑃(𝐴𝐵) = 0,2.
Tính xác suất ít nhất một trong hai biến cố 𝐴, 𝐵 xảy ra. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 41: Biết 𝑃(𝐴) = 0,5; 𝑃(𝐵) = 0,4 và 𝑃(𝐴𝐵) = 0,3
Tính xác suất hai biến cố 𝐴, 𝐵 không xảy ra. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 42: Biết 𝑃(𝐴) = 0,5; 𝑃(𝐵) = 0,4 và 𝑃(𝐴𝐵) = 0,2.
1/ Tính xác suất chỉ có cố 𝐴 xảy ra.
2/ Biết biến cố B đã xảy ra tính xác suất biến cố 𝐴 xảy ra. Bài 4 :
3 Biết 𝑃(𝐴) = 0,4; 𝑃(𝐵) = 0,65 v à 𝑃(𝐴𝐵) = 0,25
Tính xác suất chỉ có biến cố 𝐴 xảy ra. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 44: Cho hai biến cố A, B xung khắc nhau và P( )
A = 0,3 ; P(B) = 0,4 . Câu nào dưới đây sai:
a / P(A / B) = 0 b / ( P AB) = 0,12 c / ( P A È B) = 0,7
d / P(A Ç B) = 0,3 Bài 4
5 : Tính Biết 𝑃(𝐴) = 0,3; 𝑃(𝐵) = 0,25; 𝑃(𝐶) = 0,4 và
𝑃(𝐴𝐵) = 0,1; 𝑃(𝐴𝐶) = 0,2; 𝑃(𝐵𝐶) = 0,15; 𝑃(𝐴𝐵𝐶) = 0,05
1/ Tính xác suất không có biến cố nào trong 3 biến cố 𝐴, 𝐵, 𝐶 xảy ra
2/ Tính xác suất 2 biến cố A và B không xảy ra
3/ Tính xác suất có chỉ có biến cố C xảy ra trong 3 biến cố 𝐴, 𝐵, 𝐶
4/ Tính xác suất có ít nhất một biến cố A hoặc B xảy ra biết biến cố C xảy ra Bài 4
6 : Thống kê tại một cửa hàng tiện lợi cho thấy có 50% khách hàng đến mua đồ ăn
và 35% khách hàng đến mua đồ uống. Trong số những người đến mua đồ ăn có 20% là
mua đồ uống. Tính xác suất 1 khách hàng đến cửa hàng này mua ít nhất một nhóm mặt
hàng đồ ăn, thức uống. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 47 : Khu vực A trong thời gian thiếu điện bị cắt điện theo quy luật:
+) ngày lẻ xác suất bị cắt điện là 0,2;
+) ngày chẵn xác suất bị cắt điện khi ngày lẻ trước đó bị cắt điện là 0,1 còn nếu ngày lẻ
trước đó không bị cắt điện thì xác suất bị mất điện là 0,4. 5
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
Hỏi khả năng ngày chẵn bị mất điện là bao nhiêu?
Bài 48 : Thống kê tại một cửa hàng tạp hóa cho thấy có 40% khách hàng đến mua bột
giặt. Trong số những người đã mua nước xả có 35% mua bột giặt. Trong số những người
đến mua bột giặt có 20% là mua nước xả. Tính xác suất 1 khách hàng đến cửa hàng này
mua ít nhất một nhóm mặt hàng bột giặt, nước xả.
*Công thức đầy đủ: Bài 4
9 : Ở một trạm xăng, 40% khách đổ xăng A95, 40% khách đổ xăng A92, và 20%
khách đổ xăng E5. Trong số n ữ
h ng khách đổ xăng A95 chỉ có 50% khách đổ đầy bình;
với xăng A92 thì chỉ có 40% khách đổ đầy bình và với xăng E5 thì có 30% khách đổ đầy
bình. Biết người khách đến trạm xăng đã đổ đầy bình, tính xác suất người này đổ xăng A95.
Bài 50: Trong một kho hàng có 40% sản phẩm công ty A; 35 % sản phẩm công ty B, còn
lại là sản phẩm công ty C. tỷ lệ p ế h p ẩ
h m của công ty A là 1,5%; của công ty B là 1,7%
và của công ty C là 2%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho này. Tính xác suất để được phế phẩm. Đs 0,01695
Bài 51: Một công ty có 3 phân xưởng I, II, III cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỷ lệ
phế phẩm của phân xưởng I, II, III lần lượt là 2%,3%,5%. Một lô hàng của công ty này
có 48% sản phẩm của phân xưởng I, 22% sản phẩm của phân xưởng II, 30% sản phẩm
của phân xưởng III. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng, biết sản phẩm đó là phế
phẩm. Tính xác suất phế phẩm đó là của phân xưởng I. Đs : 30,7%
Bài 52: 2% dân số một vùng có người mắc một loại bệnh A. Một loại xét nghiệm cho ra
kết quả dương tính đối với 94% người có bệnh và 4% với người không mắc bệnh. Già sử
các xét nghiệm được áp dụng độc lập với hai mẫu máu khác nhau từ cùng một cá thể
được lựa chọn ngẫu nhiên.
a/ Một người nhận được kết quả dương tính, tính xác suất cá nhân này thật sự mắc bệnh .
b/ Tính xác suất cả hai kết quả xét nghiệm có cùng chung 1 kết luận
Bài 53: Ba cửa hàng bán nón bảo hiểm. Tỉ lệ nón không ạ
đ t tiêu chuẩn ở cửa hàng 1,2,3
lần lượt là 10%; 15%; 20%. Một người đến ngẫu nhiên một cửa hàng mua một nón thì
được nón đạt chất lượng. Tính xác suất người này mua ở cửa hàng thứ hai. Đs: 1/3
Bài 54: Một người có 4 nơi để đi câu cá với xác suất câu được cá lần lượt là 0,2; 0,25;
0,3 và 0,35. Người này đến ngẫu nhiên 1 nơi để câu cá. Tính xác suất người này câu được cá. 6
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
Bài 55: Có 3 lô hàng. Lô 1 có 8 sp tốt và 2 sp xấu. Lô 2 có 7 sp tốt và 1 sp xấu.Lô 3 có 9
sp tốt và 3 sp xấu. Chọn ngẫu nhiên 1 lô, rồi từ lô này lấy ra 2 sp thì được 2 sp khác loại.
tính xác suất 2 sp này là 2 sp của lô hàng 2. a/ 0,25 b/ 0,2678 c/0,2463 d/0,5463
Bài 56: Có 3 kiện hàng. Kiện thứ nhất có 15 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Kiện thứ
hai có 17 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Kiện thứ ba có 19 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm
xấu. Lấy ngẫu nhiên một kiện hàng rồi từ kiện đó chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm và được 2
sản phẩm khác loại. Tính xác suất các sản phẩm được lấy từ kiện thứ hai. Đs: 0,39
Bài 57: Có 3 lô hàng. Lô 1: 8 sản phẩm tốt – 2 ả
s n phẩm xấu. Lô 2: 7 sản phẩm tốt và 1
sản phẩm xấu. Lô 3: 9 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên một lô rồi từ l ô
đó lấy ra 2 sản phẩm thì được 2 sản phẩm khác loại. Tính xác suất 2 sản phẩm này là 2
sản phẩm của lô 2. Đs:0,2464
Bài 58 : Có 3 gói quà được gửi tới tặng cho trẻ em ở nơi A. Gói thứ nhất đóng gói 25
bóng xanh và 15 bóng đỏ; gói thứ hai đóng gói 25 bóng xanh và 25 bóng đỏ; gói thứ ba
đóng gói 25 bóng xanh và 35 bóng đỏ. Một người chọn ngẫu nhiên một gói quà và từ đó
lấy ngẫu nhiên ra một quả bóng, thấy là bóng mầu đỏ. Tính xác suất quả bóng lấy ra này của gói quà thứ 2.
Bài 59: Một thùng có 3 túi I và 5 túi II. Túi I có 3 bi xanh, 4 bi đỏ. Túi II có 5 bi xanh, 7
bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên một túi từ thùng, sau đó lấy 2 bi từ túi vừa lấy được.
a/Tính xác suất lấy được hai bi xanh.
b/ Giả sử lấy được 2 bi xanh, tính xác suất bi xanh này của túi I
Bài 60: Một lô hàng chứa 70 sản phẩm của nhà máy A và 30 sản phẩm của nhà máy B.
Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lô hàng này để kiểm tra và thấy cả 2 sản phẩm đều đạt chuẩn.
Tính xác suất để cả 2 sản phẩm đạt chuẩn này đều là sản phẩm của nhà máy A, biết xác
suất mỗi sản phẩm của nhà máy A đạt chuẩn là 0,9 và xác suất mỗi sản phẩm của nhà
máy B đạt chuẩn là 0,95
(đáp án: xem video bài giải)
* Công thức Bernoulli:
Bài 61: Công ty M đấu thấu 2 dự án A, B một cách độc lập với xác suất trúng thầu lần lượt là 0,4 và 0,3.
a/ Tính xác suất có ít nhất 1 dự án trúng thầu .
b/ Tính xác suất không có dự án nào trúng thầu .
c/ Tính xác suất chỉ có dự án A trúng thầu. (đáp án: xem video bài giải) 7
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
Bài 62*: (2011) Một người đem bán 5 lô hàng; mỗi lô có 10 sản phẩm, trong đó có 1 sản
phẩm hỏng. Người mua lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô 2 sản phẩm để kiểm tra, nếu lô nào có 2
sản phẩm kiểm tra đều tốt thì mua lô đó. Tính xác suất người này bán được ít nhất 2 lô. Đs: 0,99328
Bài 63*: Có 5 sinh viên trường Đại học M và 4 sinh viên trường Đại học P cùng nộp hồ
sơ tuyển dụng vào công ty X. Xác suất mỗi sinh viên trường M; P được tuyển lần lượt là
0,6 và 0,5. Tính xác suất có đúng 2 sinh viên được chọn trong 9 sinh viên này biết việc
lựa chọn các ứng viên là độc lập. (đáp án: xem video bài giải)
Bài 64*: Có 5 người tốt nghiệp loại Khá, 2 người tốt nghiệp Trung bình và 3 người tốt
nghiệp loại Giỏi cùng ứng tuyển vào công ty A. Thống kê cho thấy xác suất một người
tốt nghiệp loại Giỏi, Khá, Trung bình được tuyển là 0,8; 0,7 và 0,5; Biết có đúng 1 người
được tuyển, tính xác suất người đó tốt nghiệp loại Khá. (đáp án: xem video bài giải) Bài 6 *
5 : (2009) Công ty A cần tuyển nhân viên. Có 2 sinh viên tốt nghiệp loại giỏi, 5
sinh viên tốt nghiệm loại khá và 9 sinh viên tốt nghiệp loại trung bình dự tuyển vào công
ty A. Xác suất để một sinh viên tốt nghiệp loại giỏi, khá, trung bình được dự tuyển vào
công ty A tương ứng là 0,9 ; 0,7 ; 0,5. Công ty A chỉ tuyển được 1 người. Tính xác suất
để người được tuyển tốt nghiệp loại trung bình. Đs: 0,2327 8
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
CHƯƠNG 3: BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC và PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
A. Biến rời rạc:
Bài 1 : Hộp có 10 viên bi đỏ và 4 bi xanh. Lấy ra 3 bi. X là số bi đỏ trong 3 bi lấy ra.
a/ Tìm hàm xác suất của X
b/ Tìm hàm phân phối tích luỹ của X. c/ Tính kì vọng của X
d/ Tính phương sai của X, độ lệch chuẩn của X
(đáp án: xem video bài giải)
Bài 2: Tính a/ E(5X + 7Y −1) b/V (4X − 2Y − 3) (đáp án: xem video bài giải)
Bài 3: Cho X là BNN có luật phân phối. Tính P(X ³ 20) ? X 10 25 40 P 0,2 0,19 0,61
Bài 4: Gọi X là điểm số của học sinh một lớp, có hàm phân phối xác suất như sau : X 3 4 6 7 8 P 0.2 0.2 0.1 0.2 0.3
Tìm điểm trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn, giá trị tin chắc và trung vị?
Bài 5: Cho BNN X có tập các giá trị có thể có là 0, 1, 3 và 5. U 0 1 3 5 PX(u) 0,1 0,15 p 0,35 1) p? đ/s: 0,4
2) P(13) P(X2>1)= ? đ/s: 0,75
4) P((X>1)/(X<5)) ? đ/s: 8/13 5) E(X)=? đ/s: 3,1 6) V(X)=? đ/s : 2,8
Bài 6: Một hộp có 4 chiếc tất màu xanh, 6 chiếc tất mầu trắng và 8 chiếc tất mầu đen.
Một người lấy ngẫu nhiên ra 2 chiếc tất. Gọi X là số tất màu xanh được lấy ra.
a. Hãy tìm hàm xác suất của X; từ đó tính E(X); V(X).
b. Người này cần lấy ra ngẫu nhiên mấy chiếc tất để c ắ
h c chắn lấy được 2 chiếc cùng mầu? 9
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
Bài 7: Một kiện hàng có 4 sản p ẩ
h m loại A và 6 sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên không
hoàn lại từ kiện ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại A trong hai sản phẩm lấy ra. Tính phương sai của X. a/ 87/225 b / 32/75
c/ 0,5267 d/ cả a/b/c đều sai
Bài 8*: Trong một chiếc hộp có 5 bóng đèn trong đó có 3 bóng tốt và 2 bóng hỏng. Một
người thử lần lượt từng chiếc cho đến khi lấy được 2 bóng tốt thì dừng lại. Gọi X là số
lần thử bóng đèn của người này. Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn ủ c a X.
Bài 9: Lấy ngẫu nhiên 6 sản phẩm trong một lô hàng có 60 sản phẩm của nhà máy A và
40 sản phấm của nhà máy B. Gọi X là số sản phẩm của nhà máy A trong các sản phẩm
lấy ra. Tính xác suất có nhiều nhất 3 sản phẩm của nhà máy A.
Bài 10: Một hộp có 5 bi nặng 10g; 5 bi nặng 50g và 2 bi nặng 20g. Chọn ngẫu nhiên 1 bi
và gọi X là trọng lượng bi đó. Tính EX; VX ; (X ) ; Mod X.
Bài 11: Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 7 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu
nhiên ra 3 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm xấu lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của
X. Tính kì vọng và phương sai X, Mod X, Med X. Đs: 0,49
Bài 12: Một lô hàng có 9 sản phẩm loại 1 và 6 sản phẩm loại 2. Lấy ngẫu nhiên 2 sản
phẩm từ lô hàng này. Gọi X là số sản phẩm loại 1 còn lại trong lô hàng. Tìm luật phân
phối xác suất của X và tính EX, DX. Đs: EX=7,8
Bài 13: Một tổ sản xuất 3 mô tơ hoạt động độc lập nhau, xác suất bị hư của mô tơ 1,2,3
trong ca làm việc lần lượt là 0,1 ; 0,2 ; 0,3. Gọi X là số mô tơ bị hư trong ca làm việc. Tính EX. a/ 0,45 b/ 0,3 c/ 0,6 d/ 0, 8
Bài 14: Lớp A có 30 sinh viên trong đó có 20 sinh viên nữ. Lớp B có 40 sinh viên trong
đó có 25 sinh viên nữ. Gọi ngẫu nhiên 2 sinh viên trong lớp A và 2 sinh viên trong lớp B.
Gọi X là số sinh viên nữ trong số 4 sinh viên gọi ra. Tìm hàm xác suất của X, từ đó tính
số sinh viên nữ trung bình trong số 4 sinh viên gọi ra.
Bài 15*: Xác suất mỗi sản phẩm của công ty A hỏng trong thời gian bảo hành là 0,1.
Khi bán 1 sản phẩm lãi 100 000 đ, nhưng nếu phải bảo hành thì lỗ 400 000đ. Công ty đã
bán được 45 000 sản phẩm. Gọi X là số tiền lãi công ty A thu được. Tính EX (đáp án:
xem video bài giải)
Bài 16: Xác suất mỗi sản phẩm của công ty A hỏng trong thời gian bảo hành là 0,15. Khi
bán 1 sản phẩm lãi 100.000 đ, nhưng nếu phải bảo hành thì lỗ 300.000đ. Công ty đã bán
được 55.000 sản phẩm. Gọi X là số tiền lãi công ty A thu được. Tính EX . Đs: 2200 triệu 10
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
Bài 17*: Lấy ngẫu nhiên từng sản phẩm từ lô hàng có 3 sản phẩm loại I và 2 sản phẩm
loại II cho đến khi số sản phẩm loại I và loại II còn lại bằng nhau thì dừn . g Gọi X là số
sản phẩm lấy ra. Tìm hàm xác suất của X, tính E(X) và V(X).
B. Phân phối xác suất :
* Phân phối nhị thức :
Bài 18 : Mua 20 tờ vé số, xác suất trúng mỗi tờ là 0,3. Gọi X là số tờ trúng trong 20 tờ.
a/ Tính xác suất để trúng được 2 tờ.
b/ Tính EX ; Var X (đáp án: xem video bài giải)
Bài 19: Lấy 12 sản phẩm từ kho, xác suất được chính phẩm là 0,98305. Gọi X là số chính phẩm lấy được.
a/ Tính xác suất lấy được 8 chính phẩm .
b/ Tính kì vọng, phương sai. Đ/s: 11,8 ; 0,19995
Bài 20: Một người đem bán 5 lô hàng; mỗi lô có 10 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm
hỏng. Người mua lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô 4 sản phẩm kiểm tra, nếu lô nào cả 4 sản
phẩm kiểm tra đều tốt thì mua lô đó. Gọi X là số lô người này bán được.
1/ Tính kỳ vọng và phương sai của X.
2/ Tính xác suất người này bán được cả 5 lô hàng?
Bài 21: Một lô hàng có 10000 sản phẩm. Số sản phẩm loại B có trong lô là 2000. Người
mua hàng lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm từ lô.
a/ Gọi X là số sp loại B trong 10 sp, tính EX, VarX.
b/ Nếu trong 10 sản phẩm có quá 2 sản phẩm loại B thì mua lô đó. Tính xác suất lô hàng được mua?
Bài 22: Một số điện thoại cụ thể được sử dụng để nhận cả cuộc gọi thoại và tin nhắ fax.
Giả sử 20% các cuộc gọi đến bao gồm các tin nhắn fax. Xét một mẫu của 25 cuộc gọi đến. Tính xác suất:
a/ Tối đa 5 cuộc gọi đến là tin nhắn fax
b/ Chính xác 5 cuộc gọi đến là tin nhắn fax 11
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
c/ Ít nhất 5 cuộc gọi đến là tin nhắn fax
d/ Hơn 6 cuộc gọi đến là tin nhắn fax
e/ Tính số cuộc gọi thông báo fax trung bình, độ lệch chuẩn trong số 30 cuộc gọi đến.
f/ Tính xác suất trong 30 cuộc gọi đến số l ợ
ư ng có liên quan đến việc truyền fax lớn hơn
số cuộc gọi thông báo fax trung bình 2 độ lệch chuẩn.
Bài 23: Trong xưởng thực hành có 10 máy cơ khí. Xác suất một chiếc máy bị hỏng là 5%.
a. Tính xác suất không có chiếc máy nào bị hỏng .
b. Số máy bị hỏng trung bình là bao nhiêu?
c. Biết có ít nhất 1 máy bị hỏng, tính xác suất số máy bị hỏng là không quá 2 máy
Bài *24 : Thống kê cho thấy 60% khách hàng tới cửa hàng S mua bột giặt chọn loại bột
giặt E và số còn lại chọn loại bột giặt H. Trên kệ của cửa hàng lúc này còn 10 gói bột giặt
E và 8 gói bột giặt H. Tính xác suất số bột giặt này đáp ứng được nhu cầu của 12 khách
hàng mua bột giặt tiếp theo.
* Phân phối siêu bội :
Bài 25: Một hộp có 50 viên bi trong đó có 10 bi màu xanh. Lấy ra 20 viên bi. Gọi X là số
bi xanh trong 20 viên lấy ra.
a/ Tính xác suất có 6 viên bi màu xanh.
b/ Tính EX ; Var X (đáp án: xem video bài giải)
Bài 26: Một cửa hàng điện thoại có 20 chiếc điện thoại Samsung, trong đó có 10 chiếc có
kết nối mạng 5G. Giả sử có 6 chiếc được đặt trên kệ trưng bày, gọi X là số chiếc điện
thoại có 5G trong các chiếc trên kệ.
a/ Xác định phân phối của X
b/ Tính xác suất P(X = 2) ; P(X 2) ; P(X 2)
* Phân phối nhị thức âm:
Bài 27: Xác suất trúng của một tờ vé số là 0.1.
a/ Gọi Y là số tờ vé số được mua đến khi nào trúng 1 tờ thì dừng. Tính xác suất phải mua 10 tờ. Tìm EY, VY
b/ Gọi Y là số tờ vé số được mua đến khi nào trúng 3 tờ thì dừng. Tính xác suất phải mua
10 tờ . Tìm EY, VY (đáp án: xem video bài giải) 12
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
Bài 28: Một công ty dầu mỏ thực hiện một nghiên cứu địa chất và thấy rằng khi đào một
giếng dầu có 20% khả năng có dầu .
a/ Tính xác suất đào đến giếng thứ ba thì mới có dầu?
b/ Tính xác suất được ba giếng dầu khi đào đến giếng thứ bảy?
c/ Tính trung bình và phương sai số giếng phải đào nếu công ty muốn có 3 giếng dầu?
Bài 29: Nhà máy M sản xuất sản phẩm với xác suất không đạt chuẩn của mỗi sản phẩm
là 0,045. Kiểm tra ngẫu nhiên từng sản phẩm của nhà máy M cho đến khi được 3 sản
phẩm không đạt chuẩn thì dừng. Gọi X là số sản phẩm cần kiểm tra.
Tính 𝐸(𝑋), 𝑉(𝑋) và 𝑃(𝑋 ≤ 10).
Bài 30: Giả sử rằng P(sinh con trai)=0,5 . Một cặp vợ chồng muốn sinh con đến khi nào có con trai thì dừng.
a/ Tính xác suất họ phải sinh 4 đứa con.
b/ Tính số con trung bình họ phải sinh
Bài 31: Giả sử rằng P(sinh con trai)=0,5 . Một cặp vợ chồng muốn sinh con đến khi nào có hai con trai thì dừng.
a/ Tính xác suất gia đình này có năm người con là bao nhiêu?
b/ Tính xác suất gia đình này có tối đa năm người con là bao nhiêu?
Bi 32: Một đại diện của Ban Marketing của Đội bóng quốc gia chọn ngẫu nhiên vài
người trên một con đường ngẫu nhiên ở thành p ố
h A cho đến khi anh ta tìm được người tham dự buổi bóng á
đ tối qua. Gọi p=0,3 là xác suất anh ta tìm được 1 người như vậy.
a/ Tính xác suất anh ta phải chọn 3 người?
b/ Tính xác suất anh ta phải chọn hơn 5 người?
c/ Tính kì vọng , phương sai số người anh ta cần chọn ?
Bi 33: Cho lần lượt các sản phẩm vào máy kiểm tra chất lượng. Các sản phẩm kém chất
lượng được phát hiện với tỉ lệ là 3%. Kiểm tra đến khi nào thấy 3 sản phẩm xấu thì dừng.
Tính xác suất phải kiểm tra 5 sản phẩm?
Bài 34: Một đồng xu không cân ố
đ i (hay đồng xu thiên vị) với xác suất xuất hiện mặt có
hình gấp 4 lần xác suất xuất hiện mặt không có hình.
1) Xác suất xuất hiện mặt có hình là bao nhiêu? 13
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
2) Tung một đồng xu này. X là số lần xuất hiện mặt có hình. X có phân phối gì?
3) Tung đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt có hình 3 lần thì dừng. X là số lần không
xuất hiện mặt có hình. Hỏi X có phân phối gì?
4) Tung đồng xu này 20 lần. X là số lần xuất hiện mặt có hình. X có phân phối gì?
Trung bình của X bằng bao nhiêu?
* Phân phối Poisson:
Bài 35: Mua 1000 tờ vé số, xác suất trúng mỗi tờ là 0.005. Gọi X là số tờ trúng trong 1000 tờ.
a/ Tính xác suất để trúng được 60 tờ.
b/ Tính EX ; Var X (đáp án: xem video bài giải)
Bài 36: Một máy dệt có 800 ống sợi. Xác suất để một ống sợi bị đứt trong khoảng thời
gian 1 giờ máy hoạt động là 0,25%. Tìm xác suất để trong khoảng thời gian 1 giờ máy
hoạt động có không quá 2 ống sợi bị đứt. Đs: 0,6767
Bài 37: Xác suất để một máy sản xuất ra phế phẩm là một số không đổi và bằng 0,002.
Cho máy sản xuất 1000 sản phẩm. Gọi X là số p ế h p ẩ
h m có trong 1000 sản phẩm do nhà
máy sản xuất. Tính xác suất có 30 phế phẩm . Bài 3 *
8 : Giả sử số lỗi chính tả trong một cuốn tiểu thuyết là biến ngẫu nhiên có phân
phối Poisson. Trung bình trong 100 trang tiểu thuyết có 2 lỗi chính tả. Tính xác suất
1) Trong 500 trang tiểu thuyết có không quá 8 lỗi chính tả.
2) Chương 1 có 200 trang, chương 2 có 300 trang và chương 3 có 200 trang. Tính
xác suất mỗi chương có không quá 3 lỗi chính tả. Bài 3 *
9 : Số khách đến quầy dịch vụ S trong 5 phút là biến ngẫu nhiên có phân phối
Poisson với trung bình là 2. Tính xác suất trong 10 phút có ít nhất 3 khách đến quầy S,
biết có không quá 6 khách đến quầy S trong 10 phút này.
TỔNG HỢP:
Bài 40: Một đồng xu thiên vị với xác suất xuất hiện mặt có hình gấp đôi mặt không có hình.
1) Tung đồng xu này 10 lần, tính xác suất số lần xuất hiện mặt có hình từ 3 đến 6 lần.
2) Tung đồng xu này cho đến khi xuất hiện mặt có hình thì dừng lại. Tính xác suất cần tung 5 lần thì dừng. 14
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
3) Tung đồng xu này cho đến khi xuất hiện mặt có hình 3 lần thì dừng lại. Tính xác suất
cần tung ít nhất 5 lần thì dừng lại.
Bài 41: Trong kho hàng có 30% sản phẩm là của công ty A, 45% sản phẩm là của công
ty B và 25% sản phẩm là của công ty C. Tỷ lệ sản phẩm của công ty A, B, C đạt chuẩn
tương ứng là 0,97; 0,94 và 0,91.
1) Tính tỷ lệ phế phẩm của kho hàng. Đ/s: 0,0585
2) Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho hàng này và thấy nó là sản phẩm đạt chuẩn.
Tính xác suất lấy được sản phẩm của công ty B.
3) Lấy ngẫu nhiên từ kho hàng ra 30 sản phẩm. Tính xác suất có không quá 3 sản
phẩm là phế phẩm trong số các sản phẩm lấy ra.
4) Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm từ kho hàng cho đến khi lấy được sản
phẩm là phế phẩm thì dừng. Tính xác suất lấy ra 10 sản phẩm.
Bài 42: Số khách đến quầy dịch vụ S trong 5 phút là biến ngẫu nhiên có phân phối
Poisson với trung bình là 3. Tính xác suất trong 10 phút có ít nhất 5 khách đến quầy S
biết rằng có không quá 8 khách đến quầy S trong 10 phút. Bài 4
3 :Số cuộc gọi đến trung tâm tư vấn H trong các khung giờ 8 đến 9 giờ, 9 đến 10
giờ và 10 đến 11 giờ là các biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với các tham số lần
lượt là 8; 9 và 9. Tính xác suất trong khoảng thời gian từ 8 đến 11 giờ có không quá 30
cuộc gọi đến trung tâm tư vấn H. 15
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
CHƯƠNG 4: BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC và HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
A. Biến ngẫu nhiên liên tục :
Bài 1 : Theo dõi thực tế trọng lượng của một loại sản phẩm được quy định là có trọng
lượng 2.5 gam, có thể coi trọng lượng này là một biến ngẫu nhiên X liên tục có hàm mật độ ìï 3 2 ï
.(1+ x ) ; 2 £ x £ 4 ï f (x) = í 62 ïïï 0
; x > 2 hay x < 4 î a/ Tính k b/ Tính EX, VX
c/ Tính xác suất trọng lượng loại sản phẩm này thực tế lớn hơn trọng lương quy định
d/ Tính xác suất chênh lệch giữa trọng lượng trong thực tế so với trọng lượng quy định
của loại sản phẩm này nhỏ hơn 0.25 gam.
(đáp án: xem video giải bài tập)
Bài 2 : Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất: ìï k.x.(1- ) x ; 0 £ x £ 1 ï f (x) = í ï 0
; x> 1 hay x< - ïî 1 a/ Tìm k
b/ Tìm hàm phân phối tích luỹ F(x)
c/ Tìm phân vị thứ 75 của X
(đáp án: xem video giải bài tập)
Bài 3: Cho biến ngẫu nhiên 𝑋 có hàm mật độ xác suất
𝑓(𝑥) = {𝑘𝑥 , 𝑥𝜖 [0; 9] 0 , 𝑥 ∉ [0; 9]
a. Xác định k từ đó tính kỳ vọng, phương sai của 𝑋 và 𝐸(2𝑋 + 3). Đ/s 2/81 ; 6 ; 4,5 ; 15
b. Tính 𝑃(3 < 𝑋 < 5); 𝑃(𝑋 > 1/𝑋 < 2); 𝑃(𝑋 < 8/𝑋 > 2) Đ/s: 16/81 ; ¾ ; 60/77
c. Tìm phân vị thứ 60 của X
d. Tính xác suất X lớn hơn trung bình một độ lệch chuẩn 16
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
Bài 4: Một trạm xăng được cung cấp xăng 1 lần trong 1 tuần. Dung lượng kho chứa của
trạm là 10 m3. Dung lượng xăng được yêu cầu bán ra trong 1 tuần của trạm là biến ngẫu
nhiên X (đơn vị: m3) có hàm mật độ xác suất 𝑓(𝑥) = 𝑘(17 − 𝑥)4 nếu 𝑥 ∈ [0; 17], và
𝑓(𝑥) = 0 nếu 𝑥 ∉ [0; 17]. Tính k và xác suất hết xăng trong một tuần của trạm này. Đ/s : 0,01183710754
Bài 5: Thời gian cần thiết để sản xuất một sản phẩm là biến ngẫu nhiên X ( đơn vị: phút)
có hàm mật độ xác suất ( ) A f x =
nếu x [8;10] ; f (x) = 0 nếu x[8;10] . Tìm A, 2 x
thời giant rung bình để sản xuất một sản phẩm, và tỷ lệ sản p ẩ
h m có thời gian sản xuất
nhỏ hơn thời gian trung bình.
Bài 6: Thời gian cần thiết để sản xuất một sản phẩm là biến ngẫu nhiên X ( đơn vị: phút)
có hàm mật độ xác suất ( ) x f x =
nếu x [8;10] ; f (x) = 0 nếu x[8;10] . Tính xác 18
suất để trong 10 sản phẩm đã sản xuất có ít nhất 2 sản phẩm có thời gian sản xuất không quá 9 phút.
Bài 7 : Tuổi thọ của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên X ( đơn vị: năm) có hàm mật độ xác suất 2
f (x) = cx (5 − x) nếu x [0;5] ; f (x) = 0 nếu x [0;5]. Một người mua một
sản phẩm đã sử dụng được 9 tháng. Tính xác suất để có thể sử dụng được sản phẩm này thêm 2 năm nữa.
Bài 8: Tuổi thọ X (đơn vị: năm) của sản phẩm nhà máy H là biến ngẫu nhiên có hàm mật
độ xác suất 𝑓(𝑥) = 𝑘(11 − 𝑥)−3, 𝑥 𝜖 [0; 10] và 𝑓(𝑥) = 0; 𝑥 ∉ [0;10]. Nhà máy H bảo
hành sản phẩm trong 2 năm, tính tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành của nhà máy H.
Bài 9: Thời gian sử dụng thiết bị điện tử A của công ty M là biến ngẫu nhiên liên tục X
(đơn vị: năm) có hàm mật độ xác suất 𝑓(𝑥) = 𝑘(8 − 𝑥)4;𝑥 𝜖 [0;8] và 𝑓(𝑥) = 0 ; 𝑥 ∉
[0;8]. Quan sát ngẫu nhiên một sản phẩm A đã sử dụng được 3 năm, tính xác suất sản
phẩm này sử dụng được thêm 2 năm nữa.
Bài 10: Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối xác suất 0 ; x 0 2 x F (x) = ;0 x 2 4 1 ; x 2
a/ TínhP(X 1,5) ; (
P 0,3 X 1.2) ; P( X 0.8) b/ Tìm trung vị 17
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021 c/ Tìm hàm mật độ f(x) d/ Tính EX, VX
B. Các phân phối của biến liên tục
* Phân phối đều:
Bài 11: Giả sử nhiệt độ phản ứng X ( oC) trong một phản ứng hoá học có phân phối đều với A= -6 ; B=6
a. Tính P(X 0) b. Tính P( 3 − .5 X 3.5) c. Tính P( 1 − X 3)
Bài 12: Biến ngẫu nhiên X có phân phối đều trên đoạn [8; 18].
Xác định trung bình và phương sai của X.
Bài 13: Biến ngẫu nhiên X có phân phối đều trên [1 , 5]. 2 2
Tính 𝑃(4 < 𝑋2 < 7); 𝑃(𝑋 > 1/𝑋 > 0,6) Đ/s: ¼ ; 15/19
Bài 14: Bài báo “Mô hình hóa tương tác của trầm tích và cột nước đối với các chất ô
nhiễm kỵ nước” (Nghiên cứu về nước, 1984: 1169–1174) chỉ ra phân phối đều trên
khoảng (7,5; 20) là mô hình cho độ sâu (cm) của lớp xáo trộn sinh học trong trầm tích ở một vùng nhất định.
a. Giá trị trung bình và phương sai của độ sâu là gì? b. Pdf độ sâu là gì?
c. Xác suất để độ sâu quan sát được nhiều nhất là 9? Từ 8 đến 12?
d. Xác suất để độ sâu quan sát nằm trong khoảng 2 độ lệch chuẩn của giá trị trung bình là
bao nhiêu? Trong khoảng 3 độ lệch chuẩn là bao nhiêu?
Bài 15: Thời gian trễ khi đến trạm M của xe buýt K là biến ngẫu nhiên X (đơn vị: phút)
có phân phối đều trên [0; 6]. Quan sát thấy xe buýt K đã trễ 3 phút, tính xác suất khách đi
xe này không phải đợi thêm quá 2 phút nữa .
Bài 16*: Thời gian cần thiết để sản xuất một sản phẩm loại M là biến ngẫu nhiên X (đơn
vị : phút) có hàm mật độ xác suất 𝑓(𝑥) = 𝑘 nếu 𝑥 ∈[8; B] , 𝑓(𝑥) = 0 nếu 𝑥 ∉ [8 ; 𝐵].
Tìm 𝑘, 𝐵 và thời gian trung bình để sản xuất một sản phẩm loại này, biết xác suất để một
sản phẩm M có thời gian sản xuất không quá 9 phút là 0,25. 18
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
Bài 17*: Thời gian đi đến trường của sinh viên H là biến ngẫu nhiên X (đơn vị: phút) có
phân phối đều trên đoạn [A, 20]. Tính thời gian đi đến trường trung bình của sinh viên H
biết xác suất sinh viên H cần ít nhất 18 phút để đến trường là 0,2.
* Phân phối chuẩn:
Bài 18: Cho X : N(0,1) .Tính f (2,58) = ; f (- 2,01) = ; f (7) = ( P X < 8) = ( P X > 9) = ( P X £ 1, 96) = (
P 0 < X < 2, 06) = ( P X £ - 2,1) = (
P 1< X < 2,58) = ( P X > 1,1) = (
P - 1, 9 < X < 2) = ( P X > - 1,1) =
Bài 19: Một xe máy có vận tốc tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình là
40km/h và độ lệch chuẩn 5.6km/h.
a/ Tính xác suất vận tốc tối đa nhiều nhất 51km/h
b/ Chọn 10 xe máy loại trên. Tính xác suất có 3 xe có vận tốc lớn hơn 35km/h
(đáp án: xem video giải bài tập)
Bài 20 : Điểm thi môn Toán của trường đại học A là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
với trung bình là 6,78 và độ lệch chuẩn là 0,46. Tính tỷ lệ sinh viên trường A có điểm
môn Toán từ 5 điểm trở lên.
Bài 21: Giả sử rằng 15% tổng số trục thép được sản xuất bởi một quy trình nhất định
không phù hợp nhưng có thể được gia công lại (thay vì phải loại bỏ). Hãy xem xét một
mẫu ngẫu nhiên gồm 300 trục và đặt X là số trục được gia công lại. Tính
a/ Xác suất số trục được gia công lại nhiều nhất là 20? b/ ít nhất là 20 c/ giữa 10 và 35
Bài 22*: Chiều cao của nam giới đã trưởng thành là biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn N(160 cm ; 36 cm2) . Tính xác suất để khi lấy ngẫu nhiên 4 nam giới thì có ít nhất
một người có chiều cao trong khoảng ( 157 cm ; 163 cm). Đs: 0,855. 19
Lê Thị Mai Trang – Nguyễn Hồng Nhung 2021
Bài 23*: Thời gian một người tham quan Thảo Cầm Viên là biến ngẫu nhiên có phân
phối chuẩn với thời gian tham quan trung bình là 95 phút, độ lệch chuẩn là 18 phút.
Trong 80 người đến tham quan hãy tính xác suất có 20 người có thời gian tham quan nhỏ hơn 77 phút.
Bài 24*: Tuổi thọ một thiết bị điện là X (đơn vị: năm) có phân phối chuẩn N(16; 4). Tính
xác suất một thiết bị điện thuộc loại này đã sử dụng 10 năm có tuổi thọ dưới 18 năm.
Bài 25*: Nhà máy Q sản xuất một loại trục máy A có đường kính là biến ngẫu nhiên X
có phân phối chuẩn với đường kính trung bình là 1,55 cm và độ lệch chuẩn là 0,04 cm.
Trục máy A có đường kính chênh lệch so với đường kính trung bình không quá 0,03 cm
là trục đạt chuẩn. Tính tỷ lệ trục máy A đạt chuẩn của nhà máy M.
Bài 26*: Thời gian hoạt động của một máy do công ty A sản xuất là một biến n ẫ g u nhiên
(đơn vị: năm) có phân phối chuẩn 𝑁(5; 3,25).
a. Một người mua máy này đã sử dụng được 2 năm, tính xác suất để người này sử
dụng máy được thêm ít nhất 4 năm nữa. Đ/s : 0,3041
b. Công ty bảo hành sản phẩm trong 3 năm. Tính tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành của công ty. Đ/s : 0,13085
c. Một người mua 10 máy của công ty này, tính xác suất có không quá 2 máy phải
bảo hành trong 10 máy này. Đ/s 0,8672
d. Tính xác suất trong 10000 sản phẩm của công ty A, có không quá 1200 sản phẩm phải bảo hành.
* Phân phối mũ:
Bài 27 : Thời gian sử dụng (đơn vị: năm) của một sản phẩm G là biến ngẫu nhiên có
phân phối m. Biết thời gian sử dụng trung bình của sản phẩm G là 3 năm và mỗi sản
phẩm G được bảo hành 1 năm. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm G, tính xác suất sản phẩm
này có thời gian sử dụng vượt quá thời gian bảo hành.
Bài 28 : Gọi X là thời gian giữa hai lần liên tiếp đến quầy phục vụ của một ngân hàng A.
Nếu X có phân phối m với = 2, hãy tính :
a/ EX b/ VX c/ P(X 5) d/ P(3 X 8)
Bài 29: Gọi X là khoảng cách (m) mà một người đi xe đạp có thể đi. Giả sử rằng X có
phân phối m với tham số = 0.0215
a. Tính xác suất để khoảng cách xa nhất là 100 m? Nhiều nhất là 200 m? Giữa 100 và 200 m?
b. Tìm giá trị trung bình, µ, và độ lệch chuẩn, σ. 20